Hvordan løse et system ved hjelp av Cramers metodeeksempler. Tre tilfeller ved løsning av systemer med lineære ligninger

Cramers metode eller den såkalte Cramers regel er en metode for å søke etter ukjente størrelser fra ligningssystemer. Den kan bare brukes hvis antall søkte verdier tilsvarer antallet algebraiske ligninger i systemet, det vil si at hovedmatrisen dannet fra systemet må være kvadratisk og ikke inneholde null-rader, og også om dens determinant ikke må være null.

Teorem 1

Cramers teorem Hvis hoveddeterminanten $D$ til hovedmatrisen, kompilert på grunnlag av koeffisientene til ligningene, ikke er lik null, så er ligningssystemet konsistent, og det har en unik løsning. Løsningen til et slikt system beregnes gjennom de såkalte Cramer-formlene for å løse systemer lineære ligninger: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Hva er Cramer-metoden?

Essensen av Cramers metode er som følger:

1. For å finne en løsning på systemet ved hjelp av Cramers metode, beregner vi først og fremst hoveddeterminanten til matrisen $D$. Når den beregnede determinanten til hovedmatrisen, når den beregnes etter Cramers metode, viser seg å være lik null, så har ikke systemet en enkelt løsning eller har et uendelig antall løsninger. I dette tilfellet, for å finne et generelt eller grunnleggende svar for systemet, anbefales det å bruke Gauss-metoden.
2. Deretter må du erstatte den ytterste kolonnen i hovedmatrisen med en kolonne med frie termer og beregne determinanten $D_1$.
3. Gjenta det samme for alle kolonner, og få determinanter fra $D_1$ til $D_n$, der $n$ er nummeret til kolonnen lengst til høyre.
4. Etter at alle determinantene $D_1$...$D_n$ er funnet, kan de ukjente variablene beregnes ved hjelp av formelen $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Teknikker for å beregne determinanten til en matrise

For å beregne determinanten til en matrise med en dimensjon større enn 2 ganger 2, kan du bruke flere metoder:

• Trekantregelen, eller Sarrus sin regel, som minner om samme regel. Essensen av trekantmetoden er at når man beregner determinanten, skrives produktene av alle tall forbundet i figuren med den røde linjen til høyre med et plusstegn, og alle tall koblet på lignende måte i figuren til venstre. skrives med et minustegn. Begge reglene passer for matriser med størrelse 3 x 3. Når det gjelder Sarrus-regelen, skrives selve matrisen først om, og ved siden av den skrives dens første og andre kolonne om igjen. Diagonaler trekkes gjennom matrisen og disse tilleggssøylene; matriseelementer som ligger på hoveddiagonalen eller parallelt med den er skrevet med et plusstegn, og elementer som ligger på eller parallelt med sekundærdiagonalen er skrevet med et minustegn.

Figur 1. Trekantregel for beregning av determinanten for Cramers metode

• Ved å bruke en metode kjent som Gauss-metoden, kalles denne metoden også noen ganger å redusere rekkefølgen til determinanten. I dette tilfellet blir matrisen transformert og redusert til trekantet utsikt, og så multipliseres alle tallene på hoveddiagonalen. Det bør huskes at når du søker etter en determinant på denne måten, kan du ikke multiplisere eller dele rader eller kolonner med tall uten å ta dem ut som en multiplikator eller divisor. Ved søk etter en determinant er det bare mulig å subtrahere og legge til rader og kolonner til hverandre, etter tidligere å ha multiplisert den subtraherte raden med en ikke-nullfaktor. Når du omorganiserer radene eller kolonnene i matrisen, bør du også huske behovet for å endre det endelige tegnet på matrisen.
• Når du løser en SLAE med 4 ukjente ved hjelp av Cramer-metoden, er det best å bruke Gauss-metoden for å søke og finne determinanter eller bestemme determinanten ved å søke etter mindreårige.

Løse ligningssystemer ved hjelp av Cramers metode

La oss bruke Cramers metode for et system med 2 ligninger og to nødvendige mengder:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

La oss vise det i utvidet form for enkelhets skyld:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

La oss finne determinanten til hovedmatrisen, også kalt hoveddeterminanten til systemet:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Hvis hoveddeterminanten ikke er lik null, er det nødvendig å beregne et par determinanter til fra to matriser med kolonnene i hovedmatrisen erstattet av en rad med frie termer for å løse sloughen ved hjelp av Cramers metode:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

La oss nå finne de ukjente $x_1$ og $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Eksempel 1

Cramers metode for å løse SLAE-er med en hovedmatrise av 3. orden (3 x 3) og tre nødvendige.

Løs ligningssystemet:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

La oss beregne hoveddeterminanten til matrisen ved å bruke regelen angitt ovenfor under punkt nummer 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Og nå tre andre determinanter:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

La oss finne de nødvendige mengdene:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Metoder Kramer Og Gauss- en av de mest populære løsningsmetodene SLAU. I tillegg er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke spesifikke metoder. Økten er nær, og nå er det på tide å gjenta eller mestre dem fra bunnen av. I dag skal vi se på løsningen ved hjelp av Cramers metode. Tross alt er det en veldig nyttig ferdighet å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Cramer-metoden.

Systemer av lineære algebraiske ligninger

Et system med lineære algebraiske ligninger er et system av ligninger av formen:

Verdi satt x , der likningene til systemet blir til identiteter, kalles en løsning av systemet, en Og b er reelle koeffisienter. Et enkelt system som består av to ligninger med to ukjente kan løses i hodet ditt eller ved å uttrykke en variabel i form av den andre. Men det kan være mye mer enn to variabler (xes) i en SLAE, og her er ikke enkle skolemanipulasjoner nok. Hva å gjøre? Løs for eksempel SLAE-er ved å bruke Cramers metode!

Så, la systemet bestå av n ligninger med n ukjent.

Et slikt system kan skrives om som matriseform

Her EN – hovedmatrisen til systemet, X Og B , henholdsvis kolonnematriser av ukjente variabler og frie termer.

Løse SLAEer ved hjelp av Cramers metode

Hvis determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null (matrisen er ikke-singular), kan systemet løses ved hjelp av Cramers metode.

I følge Cramers metode finner man løsningen ved å bruke formlene:

Her delta er determinanten for hovedmatrisen, og delta x nth – determinant hentet fra determinanten til hovedmatrisen ved å erstatte den n-te kolonnen med en kolonne med frie termer.

Dette er hele essensen av Cramer-metoden. Erstatte verdiene som er funnet ved å bruke formlene ovenfor x inn i det ønskede systemet, er vi overbevist om riktigheten (eller omvendt) av løsningen vår. For å hjelpe deg med å få kjernen av det raskere, la oss gi et eksempel nedenfor. detaljert løsning SLAE etter Cramer-metoden:

Selv om du ikke lykkes første gang, ikke bli motløs! Med litt øvelse vil du begynne å knekke SLAUer som nøtter. Dessuten, nå er det absolutt ikke nødvendig å granske en notatbok, løse tungvinte beregninger og skrive opp kjernen. Du kan enkelt løse SLAE-er ved å bruke Cramers metode online, bare ved å erstatte koeffisientene i den ferdige formen. Prøv det online kalkulator Løsninger som bruker Cramers metode finner du for eksempel på denne nettsiden.

Og hvis systemet viser seg å være sta og ikke gir opp, kan du alltid henvende deg til våre forfattere for å få hjelp, for eksempel til. Hvis det er minst 100 ukjente i systemet, vil vi definitivt løse det riktig og i tide!

La systemet med lineære ligninger inneholde like mange ligninger som antall uavhengige variabler, dvs. ser ut som

Slike systemer med lineære ligninger kalles kvadratiske. En determinant sammensatt av koeffisienter for uavhengig systemvariabler(1.5) kalles hoveddeterminanten for systemet. Vi vil betegne det med den greske bokstaven D. Dermed,

. (1.6)

Hvis hoveddeterminanten inneholder en vilkårlig ( j th) kolonne, erstatt med en kolonne med gratis systemvilkår (1.5), så kan du få n hjelpekvalifiseringer:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramers regelå løse kvadratiske systemer av lineære ligninger er som følger. Hvis hoveddeterminanten D til systemet (1.5) er forskjellig fra null, har systemet en unik løsning, som kan finnes ved å bruke formlene:

(1.8)

Eksempel 1.5. Løs ligningssystemet ved å bruke Cramers metode

.

La oss beregne hoveddeterminanten for systemet:

Siden D¹0 har systemet en unik løsning, som kan finnes ved hjelp av formler (1.8):

Dermed,

Handlinger på matriser

1. Multiplisere en matrise med et tall. Operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er definert som følger.

2. For å multiplisere en matrise med et tall, må du multiplisere alle elementene med dette tallet. Det er

. (1.9)

Eksempel 1.6. .

Matrisetillegg.

Denne operasjonen introduseres bare for matriser av samme rekkefølge.

For å legge til to matriser, er det nødvendig å legge til de tilsvarende elementene i en annen matrise til elementene i en matrise:

(1.10)
Operasjonen av matriseaddisjon har egenskapene assosiativitet og kommutativitet.

Eksempel 1.7. .

Matrisemultiplikasjon.

Hvis antall matrisekolonner EN sammenfaller med antall matriserader I, så for slike matriser introduseres multiplikasjonsoperasjonen:

2

Altså når man multipliserer en matrise EN dimensjoner m´ n til matrisen I dimensjoner n´ k vi får en matrise MED dimensjoner m´ k. I dette tilfellet matriseelementene MED beregnes ved hjelp av følgende formler:

Oppgave 1.8. Finn, hvis mulig, produktet av matriser AB Og B.A.:

Løsning. 1) For å finne et arbeid AB, trenger du matriserader EN multiplisere med matrisekolonner B:

2) Arbeid B.A. eksisterer ikke, fordi antall matrisekolonner B samsvarer ikke med antall matriserader EN.

Invers matrise. Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Matrise EN- 1 kalles inversen til en kvadratisk matrise EN, hvis likestillingen er oppfylt:

hvor gjennom Jeg betegnet med identitetsmatrise samme rekkefølge som matrisen EN:

.

For å kvadratisk matrise hadde en invers, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant er forskjellig fra null. Den inverse matrisen er funnet ved å bruke formelen:

, (1.13)

Hvor A ij - algebraiske tillegg til elementer en ij matriser EN(merk at algebraiske tillegg til matriserader EN er plassert i den inverse matrisen i form av tilsvarende kolonner).

Eksempel 1.9. Finn den inverse matrisen EN- 1 til matrise

.

Vi finner den inverse matrisen ved hjelp av formel (1.13), som for tilfellet n= 3 har formen:

.

La oss finne det EN = | EN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Siden determinanten til den opprinnelige matrisen ikke er null, eksisterer den inverse matrisen.

1) Finn algebraiske komplementer A ij:

For enkel plassering invers matrise, plasserte vi de algebraiske tilleggene til radene i den opprinnelige matrisen i de tilsvarende kolonnene.

Fra de oppnådde algebraiske addisjonene komponerer vi en ny matrise og deler den med determinanten det EN. Dermed får vi den inverse matrisen:

Kvadratiske systemer av lineære ligninger med en hoveddeterminant som ikke er null kan løses ved å bruke den inverse matrisen. For å gjøre dette er system (1.5) skrevet i matriseform:

Hvor

Multiplisere begge sider av likhet (1,14) fra venstre med EN- 1, får vi løsningen på systemet:

, hvor

Altså for å finne en løsning kvadratisk system, må du finne den inverse matrisen til hovedmatrisen til systemet og multiplisere den til høyre med kolonnematrisen med frie ledd.

Oppgave 1.10. Løs et system med lineære ligninger

ved å bruke den inverse matrisen.

Løsning. La oss skrive systemet i matriseform: ,

Hvor - hovedmatrisen til systemet, - kolonnen med ukjente og - kolonnen med frie termer. Siden den viktigste determinanten av systemet , deretter hovedmatrisen til systemet EN har en invers matrise EN-1 . For å finne den inverse matrisen EN-1 , beregner vi de algebraiske komplementene til alle elementene i matrisen EN:

Fra de oppnådde tallene vil vi komponere en matrise (og algebraiske tillegg til radene i matrisen EN skriv det i de aktuelle kolonnene) og del det med determinanten D. Dermed har vi funnet den inverse matrisen:

Vi finner løsningen på systemet ved hjelp av formel (1.15):

Dermed,

Løse systemer av lineære ligninger ved å bruke den vanlige Jordan-elimineringsmetoden

La et vilkårlig (ikke nødvendigvis kvadratisk) system av lineære ligninger gis:

(1.16)

Det kreves å finne en løsning på systemet, d.v.s. et slikt sett med variabler som tilfredsstiller alle systemlikhetene (1.16). I generell sak system (1.16) kan ikke bare ha én løsning, men også utallige beslutninger. Det kan heller ikke ha noen løsninger i det hele tatt.

Når man løser slike problemer, er det velkjente skolekurs metoden for å eliminere ukjente, som også kalles metoden for vanlig Jordan-eliminering. Essensen denne metoden ligger i det faktum at i en av systemlikningene (1.16) er en av variablene uttrykt i form av andre variabler. Denne variabelen erstattes deretter med andre ligninger i systemet. Resultatet er et system som inneholder én ligning og én variabel mindre enn det opprinnelige systemet. Ligningen som variabelen ble uttrykt fra huskes.

Denne prosessen gjentas til en siste ligning gjenstår i systemet. Gjennom prosessen med å eliminere ukjente, kan noen ligninger bli sanne identiteter, f.eks. Slike ligninger er ekskludert fra systemet, siden de er tilfredsstilt for eventuelle verdier av variablene og derfor ikke påvirker løsningen av systemet. Hvis, i prosessen med å eliminere ukjente, minst én ligning blir en likhet som ikke kan tilfredsstilles for noen verdier av variablene (for eksempel), så konkluderer vi med at systemet ikke har noen løsning.

Hvis det ikke oppstår noen motstridende ligninger under løsningen, blir en av de gjenværende variablene i den funnet fra den siste ligningen. Hvis det bare er én variabel igjen i den siste ligningen, uttrykkes den som et tall. Hvis andre variabler forblir i den siste ligningen, regnes de som parametere, og variabelen uttrykt gjennom dem vil være en funksjon av disse parameterne. Deretter den såkalte " omvendt slag" Den funnet variabelen erstattes med den sist huskede ligningen og den andre variabelen blir funnet. Deretter erstattes de to funnet variablene i den nest siste lagrede ligningen og den tredje variabelen blir funnet, og så videre, opp til den første lagrede ligningen.

Som et resultat får vi en løsning på systemet. Denne avgjørelsen vil være unik hvis de funnet variablene er tall. Hvis den første variabelen som ble funnet, og deretter alle de andre, avhenger av parameterne, vil systemet ha et uendelig antall løsninger (hvert sett med parametere tilsvarer en ny løsning). Formler som lar deg finne en løsning på et system avhengig av et bestemt sett med parametere kalles den generelle løsningen til systemet.

Eksempel 1.11.

x

Etter å ha husket den første ligningen og med lignende termer i den andre og tredje ligningen kommer vi til systemet:

La oss uttrykke y fra den andre ligningen og erstatte den med den første ligningen:

La oss huske den andre ligningen, og fra den første finner vi z:

Å jobbe bakover finner vi konsekvent y Og z. For å gjøre dette, bytter vi først inn i den sist huskede ligningen, hvorfra vi finner y:

.

Deretter erstatter vi den i den første lagrede ligningen hvor vi kan finne den x:

Oppgave 1.12. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

. (1.17)

Løsning. La oss uttrykke variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

.

La oss huske den første ligningen

I dette systemet motsier den første og andre ligningen hverandre. Faktisk uttrykke y , får vi at 14 = 17. Denne likheten gjelder ikke for noen verdier av variablene x, y, Og z. Følgelig er system (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen løsning.

Vi inviterer leserne til selv å sjekke at hoveddeterminanten til det opprinnelige systemet (1.17) er lik null.

La oss se på et system som skiller seg fra system (1.17) med bare én fri term.

Oppgave 1.13. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

. (1.18)

Løsning. Som før uttrykker vi variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

.

La oss huske den første ligningen og presentere lignende termer i den andre og tredje ligningen. Vi kommer til systemet:

Uttrykke y fra den første ligningen og erstatte den med den andre ligningen , får vi identiteten 14 = 14, som ikke påvirker løsningen til systemet, og derfor kan det ekskluderes fra systemet.

I den sist huskede likheten, variabelen z vi vil betrakte det som en parameter. Vi tror. Deretter

La oss erstatte y Og z inn i den første huskede likhet og finne x:

.

Dermed har system (1.18) et uendelig antall løsninger, og enhver løsning kan finnes ved å bruke formler (1.19), ved å velge en vilkårlig verdi av parameteren t:

(1.19)
Så løsningene til systemet, for eksempel, er følgende sett med variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14), osv. Formler (1.19) uttrykker den generelle (hvilken som helst) løsning av systemet (1.18) ).

I tilfelle når det opprinnelige systemet (1.16) har tilstrekkelig et stort nummer av ligninger og ukjente, virker den angitte metoden for vanlig Jordan-eliminering tungvint. Det er det imidlertid ikke. Det er nok å utlede en algoritme for å beregne systemkoeffisientene på nytt ved ett trinn generelt syn og formulere løsningen på problemet i form av spesielle Jordan-tabeller.

La et system av lineære former (ligninger) gis:

, (1.20)
Hvor x j- uavhengige (søkte) variabler, en ij- konstante odds
(jeg = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rette deler av systemet y jeg (jeg = 1, 2,…, m) kan enten være variabler (avhengige) eller konstanter. Det er nødvendig å finne løsninger på dette systemet ved å eliminere de ukjente.

La oss vurdere følgende operasjon, heretter kalt "ett trinn med ordinære Jordan-elimineringer". Fra vilkårlig ( r th) likhet uttrykker vi en vilkårlig variabel ( xs) og erstatte i alle andre likheter. Dette er selvfølgelig bare mulig hvis en rs¹ 0. Koeffisient en rs kalt det løsende (noen ganger veiledende eller hoved) element.

Vi vil få følgende system:

. (1.21)

Fra s- systemlikhet (1.21), finner vi deretter variabelen xs(etter at de resterende variablene er funnet). S Den -te linjen huskes og ekskluderes deretter fra systemet. Det gjenværende systemet vil inneholde en ligning og en mindre uavhengig variabel enn det opprinnelige systemet.

La oss beregne koeffisientene til det resulterende systemet (1.21) gjennom koeffisientene til det opprinnelige systemet (1.20). La oss begynne med r likning, som etter å ha uttrykket variabelen xs gjennom de resterende variablene vil det se slik ut:

Dermed de nye koeffisientene r ligningene beregnes ved å bruke følgende formler:

(1.23)
La oss nå beregne de nye koeffisientene b ij(Jeg¹ r) vilkårlig ligning. For å gjøre dette, la oss erstatte variabelen uttrykt i (1.22) xs V Jeg systemligningen (1.20):

Etter å ha kommet med lignende vilkår får vi:

(1.24)
Fra likhet (1.24) får vi formler som de gjenværende koeffisientene til systemet (1.21) beregnes med (med unntak av r ligning):

(1.25)
Transformasjonen av systemer med lineære ligninger ved metoden for vanlig Jordan-eliminering presenteres i form av tabeller (matriser). Disse tabellene kalles "Jordan-tabeller".

Dermed er problem (1.20) assosiert med følgende Jordan-tabell:

Tabell 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	en 11	en 12		en 1j		en 1s		en 1n
…………………………………………………………………..
y jeg=	en i 1	en i 2		en ij		a er		en inn
…………………………………………………………………..
y r=	en r 1	en r 2		en rj		en rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	en m 1	en m 2		en mj		en ms		en mn

Jordan tabell 1.1 inneholder en venstre overskriftskolonne der de høyre delene av systemet (1.20) er skrevet og en øvre overskriftsrad der uavhengige variabler er skrevet.

De resterende elementene i tabellen danner hovedmatrisen av koeffisienter for systemet (1.20). Hvis du multipliserer matrisen EN til matrisen som består av elementene i den øverste tittelraden, får du en matrise som består av elementene i den venstre tittelkolonnen. Det vil si at Jordan-tabellen i hovedsak er en matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: . System (1.21) tilsvarer følgende Jordan-tabell:

Tabell 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b er		b inn
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permitterende element en rs vi vil fremheve med fet skrift. Husk at for å implementere ett trinn i Jordan-eliminering, må løsningselementet være ikke-null. Tabellraden som inneholder aktiveringselementet kalles aktiveringsraden. Kolonnen som inneholder aktiveringselementet kalles aktiveringskolonnen. Når du går fra en gitt tabell til neste tabell, vil en variabel ( xs) fra den øverste overskriftsraden i tabellen flyttes til venstre overskriftskolonne og omvendt et av de ledige medlemmene av systemet ( y r) flyttes fra venstre hodekolonne i tabellen til øverste hoderad.

La oss beskrive algoritmen for å beregne koeffisientene på nytt ved flytting fra Jordan-tabellen (1.1) til tabellen (1.2), som følger av formlene (1.23) og (1.25).

1. Det løsende elementet erstattes av det omvendte tallet:

2. De gjenværende elementene i den løsende strengen deles inn i det løsende elementet og endrer tegnet til det motsatte:

3. De resterende elementene i oppløsningskolonnen er delt inn i oppløsningselementet:

4. Elementer som ikke er inkludert i tillatelsesraden og tillatelseskolonnen, beregnes på nytt ved å bruke formlene:

Den siste formelen er lett å huske hvis du legger merke til at grunnstoffene som utgjør brøken , er i krysset Jeg-å og r linjene og j th og s th kolonner (løse rad, løse kolonne, og raden og kolonnen i skjæringspunktet der det omkalkulerte elementet er plassert). Mer presist, når du memorerer formelen du kan bruke følgende diagram:

-21 -26 -13 -37

Når du utfører det første trinnet med Jordan-unntak, kan du velge et hvilket som helst element i tabell 1.3 i kolonnene som et løsende element x 1 ,…, x 5 (alle angitte elementer er ikke null). Bare ikke velg aktiveringselementet i den siste kolonnen, fordi du må finne uavhengige variabler x 1 ,…, x 5 . For eksempel velger vi koeffisienten 1 med variabel x 3 i den tredje linjen i Tabell 1.3 (aktiveringselementet er vist i fet skrift). Når du flytter til tabell 1.4 vil variabelen x De 3 fra den øverste overskriftsraden byttes med konstant 0 i den venstre overskriftskolonnen (tredje rad). I dette tilfellet er variabelen x 3 uttrykkes gjennom de resterende variablene.

String x 3 (Tabell 1.4) kan, etter å ha husket på forhånd, utelates fra Tabell 1.4. Den tredje kolonnen med null i den øverste tittellinjen er også ekskludert fra tabell 1.4. Poenget er at uavhengig av koeffisientene til en gitt kolonne b i 3 alle tilsvarende ledd i hver ligning 0 b i 3 systemer vil være lik null. Derfor trenger ikke disse koeffisientene beregnes. Eliminerer én variabel x 3 og husker en av ligningene, kommer vi til et system som tilsvarer tabell 1.4 (med linjen krysset ut x 3). Velge i tabell 1.4 som et løsende element b 14 = -5, gå til tabell 1.5. I tabell 1.5, husk den første raden og ekskluder den fra tabellen sammen med den fjerde kolonnen (med en null øverst).

Tabell 1.5 Tabell 1.6

Fra siste bord 1.7 finner vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Ved å erstatte de allerede funnet variablene i de huskede linjene, finner vi de gjenværende variablene:

Dermed har systemet uendelig mange løsninger. Variabel x 5, kan vilkårlige verdier tildeles. Denne variabelen fungerer som en parameter x 5 = t. Vi beviste kompatibiliteten til systemet og fant det felles vedtak:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Å gi parameter t forskjellige betydninger, vil vi få et uendelig antall løsninger på det opprinnelige systemet. Så for eksempel er løsningen på systemet følgende sett med variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Med samme antall ligninger som antall ukjente med hoveddeterminanten til matrisen, som ikke er lik null, er koeffisientene til systemet (for slike ligninger er det en løsning og det er bare en).

Cramers teorem.

Når determinanten for matrisen til et kvadratisk system ikke er null, betyr det at systemet er konsistent og det har én løsning, og det kan finnes ved å Cramers formler:

hvor Δ - determinant for systemmatrisen,

Δ Jeg er determinanten for systemmatrisen, hvor i stedet for Jeg Den th kolonnen inneholder kolonnen med høyre sider.

Når determinanten for et system er null, betyr det at systemet kan bli samarbeidende eller inkompatibelt.

Denne metoden brukes vanligvis for små systemer med omfattende beregninger og hvis det er nødvendig å fastslå en av de ukjente. Metodens kompleksitet er at mange determinanter må beregnes.

Beskrivelse av Cramer-metoden.

Det er et ligningssystem:

Et system med 3 likninger kan løses ved hjelp av Cramer-metoden, som ble diskutert ovenfor for et system med 2 likninger.

Vi komponerer en determinant fra koeffisientene til de ukjente:

Det blir det systemdeterminant. Når D≠0, som betyr at systemet er konsistent. La oss nå lage 3 ekstra determinanter:

,,

Vi løser systemet ved Cramers formler:

Eksempler på løsning av ligningssystemer ved bruk av Cramers metode.

Eksempel 1.

Gitt system:

La oss løse det ved å bruke Cramers metode.

Først må du beregne determinanten til systemmatrisen:

Fordi Δ≠0, som betyr at fra Cramers teorem er systemet konsistent og det har én løsning. Vi beregner tilleggsdeterminanter. Determinanten Δ 1 oppnås fra determinanten Δ ved å erstatte dens første kolonne med en kolonne med frie koeffisienter. Vi får:

På samme måte får vi determinanten til Δ 2 fra determinanten til systemmatrisen ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie koeffisienter: