Program for å løse lineær, kvadratisk og fraksjonelle ulikheter gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser løsningsprosessen for å teste kunnskap i matematikk og/eller algebra.

Videre, hvis det i prosessen med å løse en av ulikhetene er nødvendig å løse for eksempel en kvadratisk ligning, vises dens detaljerte løsning (den er inneholdt i en spoiler).

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole i forberedelsene til tester, til foreldre for å overvåke barnas løsninger på ulikheter.

Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever i allmennutdanningsskoler når de forbereder seg til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State Exam, og for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? lekser

i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du bruke dine egen trening og/eller trene deres yngre brødre

eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Regler for å gå inn i ulikheter
Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.

For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Tall kan legges inn som hele eller brøktall. Dessuten, brøktall

kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.
Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma. For eksempel kan du gå inn desimaler

slik: 2,5x - 3,5x^2
Regler for inntasting av vanlige brøker.

Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ. Når du går inn numerisk brøk /
Telleren er atskilt fra nevneren med et divisjonstegn: Hele delen &
atskilt fra brøken med et og-tegnet:
Inndata: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

Du kan bruke parenteser når du legger inn uttrykk. I dette tilfellet, når man løser ulikheter, blir uttrykkene først forenklet.
For eksempel: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Velge det rette tegnet ulikheter og skriv inn polynomene i boksene nedenfor.

Systemets første ulikhet.

Klikk på knappen for å endre typen av den første ulikheten.

> >= < <=

Løs systemet med ulikheter

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Systemer av ulikheter med en ukjent. Numeriske intervaller

Du ble kjent med begrepet et system i 7. klasse og lærte å løse systemer av lineære ligninger med to ukjente. Deretter vil vi vurdere systemer lineære ulikheter med en ukjent. Sett med løsninger på systemer av ulikheter kan skrives ved hjelp av intervaller (intervaller, halvintervaller, segmenter, stråler). Du vil også bli kjent med notasjonen av tallintervaller.

Hvis i ulikhetene \(4x > 2000\) og \(5x \leq 4000\) ukjent nummer x er like, så vurderes disse ulikhetene sammen og de sies å danne et system av ulikheter: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \right .$$

Den krøllede parentesen viser at du må finne verdier av x der begge ulikhetene i systemet blir til korrekte numeriske ulikheter. Dette systemet- et eksempel på et system med lineære ulikheter med en ukjent.

Løsningen på et system av ulikheter med en ukjent er verdien av det ukjente hvor alle ulikhetene i systemet blir til sanne numeriske ulikheter. Å løse et system med ulikheter betyr å finne alle løsninger på dette systemet eller fastslå at det ikke finnes noen.

Ulikhetene \(x \geq -2 \) og \(x \leq 3 \) kan skrives som en dobbel ulikhet: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Løsningene på ulikhetssystemer med en ukjent er forskjellige tallsett. Disse settene har navn. Således, på tallaksen, settet med tall x slik at \(-2 \leq x \leq 3 \) er representert av et segment med ender på punktene -2 og 3.

-2

3

Hvis \(a er et segment og er angitt med [a; b]

Hvis \(a er et intervall og er angitt med (a; b)

Sett med tall \(x\) som tilfredsstiller ulikhetene \(a \leq x er halvintervaller og er angitt henholdsvis [a; b) og (a; b]

Segmenter, intervaller, halvintervaller og stråler kalles numeriske intervaller.

Slik, numeriske intervaller kan spesifiseres i form av ulikheter.

Løsningen på en ulikhet i to ukjente er et tallpar (x; y) som gjør den gitte ulikheten til en sann numerisk ulikhet. Å løse en ulikhet betyr å finne et sett med alle dens løsninger. Dermed vil løsningene på ulikheten x > y for eksempel være tallpar (5; 3), (-1; -1), siden \(5 \geq 3 \) og \(-1 \geq - 1\)

Løse ulikhetssystemer

Du har allerede lært hvordan du løser lineære ulikheter med en ukjent. Vet du hva et system av ulikheter og en løsning på systemet er? Derfor vil prosessen med å løse ulikhetssystemer med en ukjent ikke forårsake noen vanskeligheter.

Og likevel, la oss minne deg på: for å løse et system av ulikheter, må du løse hver ulikhet separat, og deretter finne skjæringspunktet mellom disse løsningene.

For eksempel ble det opprinnelige systemet med ulikheter redusert til formen:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

For å løse dette systemet av ulikheter, merk løsningen til hver ulikhet på talllinjen og finn deres skjæringspunkt:

-2

3

Skjæringspunktet er segmentet [-2; 3] - dette er løsningen på det opprinnelige systemet med ulikheter.

Temaet for leksjonen er "Løse ulikheter og deres systemer" (matematikk klasse 9)

Leksjonstype: leksjon om systematisering og generalisering av kunnskap og ferdigheter

Leksjonsteknologi: teknologiutvikling kritisk tenkning, differensiert læring, IKT-teknologier

Hensikten med leksjonen: gjenta og systematisere kunnskap om egenskapene til ulikheter og metoder for å løse dem, skape forutsetninger for å utvikle ferdighetene til å anvende denne kunnskapen ved løsning av standard og kreative oppgaver.

Oppgaver.

Pedagogisk:

bidra til utvikling av studentenes ferdigheter til å generalisere ervervet kunnskap, gjennomføre analyser, syntese, sammenligninger og trekke de nødvendige konklusjonene

organisere aktivitetene til studentene for å anvende den ervervede kunnskapen i praksis

fremme utvikling av ferdigheter til å anvende ervervet kunnskap under ikke-standardiserte forhold

Pedagogisk:

fortsette dannelsen logisk tenkning, oppmerksomhet og hukommelse;

forbedre ferdighetene til analyse, systematisering, generalisering;

skape forhold som sikrer utvikling av selvkontrollferdigheter hos elevene;

fremme tilegnelse av nødvendige selvstendige ferdigheter pedagogiske aktiviteter.

Pedagogisk:

dyrke disiplin og ro, ansvar, uavhengighet, kritisk holdning til seg selv og oppmerksomhet.

Planlagte pedagogiske resultater.

Personlig: ansvarlig holdning til læring og kommunikativ kompetanse i kommunikasjon og samarbeid med jevnaldrende i prosessen pedagogiske aktiviteter.

Kognitiv: evnen til å definere begreper, lage generaliseringer, selvstendig velge grunnlag og kriterier for klassifisering, bygge logiske resonnementer og trekke konklusjoner;

Forskrift: evnen til å identifisere potensielle vanskeligheter når du løser en pedagogisk og kognitiv oppgave og finne midler for å eliminere dem, evaluere ens prestasjoner

Kommunikativ: evnen til å gjøre vurderinger ved hjelp av matematiske termer og begreper, formulere spørsmål og svar underveis i oppgaven, utveksle kunnskap mellom gruppemedlemmer for å gjøre effektiv felles vedtak.

Grunnleggende begreper og begreper: lineær ulikhet, kvadratisk ulikhet, system av ulikheter.

Utstyr

Projektor, lærerens bærbare, flere netbooks for studenter;

Presentasjon;

Kort med grunnleggende kunnskap og ferdigheter om emnet for leksjonen (vedlegg 1);

Kort med selvstendig arbeid (vedlegg 2).

Leksjonsplan

Leksjonsfremgang
Teknologiske stadier. Mål.	Læreraktiviteter	Studentaktiviteter
Introduksjons- og motivasjonskomponent
1.Organisatorisk Mål: psykologisk forberedelse til kommunikasjon.	Hallo. Hyggelig å se dere alle sammen. Sett deg ned. Sjekk om du har alt klart til timen. Hvis alt er i orden, så se på meg.	De sier hei. Sjekk tilbehør. Gjør seg klar til jobb.	Personlig. En ansvarlig holdning til læring dannes.
2. Oppdatere kunnskap (2 min) Mål: identifisere individuelle kunnskapshull om et emne	Temaet for leksjonen vår er "Løse ulikheter med én variabel og deres systemer." (lysbilde 1) Her er en liste over grunnleggende kunnskaper og ferdigheter om emnet. Vurder dine kunnskaper og ferdigheter. Plasser de riktige ikonene. (lysbilde 2)	Vurdere sine egne kunnskaper og ferdigheter. (vedlegg 1)	Regulatorisk Selvevaluering av dine kunnskaper og ferdigheter
3. Motivasjon (2 min) Formål: å tilby aktiviteter for å bestemme leksjonsmål .	I arbeidet til OGE i matematikk avgjør flere spørsmål i både første og andre del evnen til å løse ulikheter. Hva må vi gjenta i klassen for å fullføre disse oppgavene?	De resonnerer og navngir spørsmål for repetisjon.	Kognitiv. Identifisere og formulere et kognitivt mål.
Befruktningsstadiet (innholdskomponent)
4.Selvfølelse og valg av bane (1-2 min)	Avhengig av hvordan du vurderte dine kunnskaper og ferdigheter om emnet, velg arbeidsform i timen. Du kan jobbe med hele klassen med meg. Du kan jobbe individuelt på netbooks, ved å bruke min konsultasjon, eller i par og hjelpe hverandre.	Bestemmes fra individuell bane opplæring. Bytt plass om nødvendig.	Regulatorisk identifisere potensielle vanskeligheter når du løser en pedagogisk og kognitiv oppgave og finne måter å eliminere dem på
5-7 Arbeid i par eller individuelt (25 min)	Læreren gir råd til elevene om å jobbe selvstendig.	Studenter, ok kunnskapsrik om emnet arbeid individuelt eller i par med en presentasjon (lysbilder 4-10) Gjennomfør oppgaver (lysbilder 6,9).	Kognitiv evne til å definere begreper, lage generaliseringer, bygge en logisk kjede Regulatorisk evne til å bestemme handlinger i samsvar med pedagogisk og kognitiv oppgave Kommunikasjon evne til å organisere utdanningssamarbeid og felles aktiviteter, arbeid med informasjonskilden Personlig ansvarlig holdning til læring, beredskap og evne til egenutvikling og egenutdanning
5. Løse lineære ulikheter. (10 min)	Hvilke egenskaper ved ulikheter bruker vi for å løse dem? Kan du skille mellom lineære og kvadratiske ulikheter og deres systemer? (lysbilde 5) Hvordan løse lineær ulikhet? Følg løsningen. (lysbilde 6) Læreren overvåker løsningen ved tavlen. Sjekk riktigheten av løsningen.	Nevn egenskapene til ulikheter etter svaret eller i tilfelle vanskeligheter åpner læreren lysbilde 4. Ringte særegne trekk ulikheter Bruke egenskapene til ulikheter. En elev løser ulikhet nr. 1 ved styret. Resten er i notatbøker, etter svarerens avgjørelse. Ulikheter nr. 2 og 3 tilfredsstilles uavhengig. De sjekker det klare svaret.	Kognitiv Kommunikasjon
6.Løsning kvadratiske ulikheter. (10 min)	Hvordan løse ulikhet? Hva slags ulikhet er dette? Hvilke metoder brukes for å løse kvadratiske ulikheter? La oss huske parabelmetoden (lysbilde 7). Læreren husker stadiene for å løse en ulikhet. Intervallmetoden brukes til å løse ulikheter i andre eller flere høye grader. (lysbilde 8) For å løse kvadratiske ulikheter kan du velge en metode som er praktisk for deg. Løs ulikhetene. (lysbilde 9). Læreren overvåker fremdriften til løsningen, minner om hvordan man løser ufullstendig andregradsligninger. Læreren gir råd til individuelt arbeidende elever.	Svar: Vi løser kvadratiske ulikheter ved hjelp av parabelmetoden eller intervallmetoden. Elevene følger opp presentasjonsløsningen. På tavla bytter elevene på å løse ulikheter nr. 1 og 2. De sjekker svaret. (for å løse nerve nr. 2 må du huske metoden for å løse ufullstendige andregradsligninger). Ulikhet nr. 3 løses selvstendig og sjekkes opp mot svaret.	Kognitiv evnen til å definere begreper, lage generaliseringer, bygge resonnement ut fra generelle mønstre til spesielle løsninger Kommunikasjon evne til å presentere muntlig og skriftlig en detaljert plan over dine egne aktiviteter;
7. Løse ulikhetssystemer (4-5 min)	Husk stadiene for å løse et system av ulikheter. Løs systemet (lysbilde 10)	Nevn trinnene i løsningen Eleven løser ved tavlen og sjekker løsningen på lysbildet.
Reflekterende-evaluerende stadium
8.Kontroll og testing av kunnskap (10 min) Mål: å identifisere kvaliteten på å lære materialet.	La oss teste kunnskapen din om emnet. Løs problemene selv. Læreren sjekker resultatet ved hjelp av ferdige svar.	Utfør selvstendig arbeid med alternativer (vedlegg 2) Etter endt arbeid rapporterer eleven dette til læreren. Eleven fastsetter sin karakter etter kriteriene (lysbilde 11). Etter vellykket gjennomføring av arbeidet kan han begynne tilleggsoppgave(lysbilde 11)	Kognitiv. Bygg logiske kjeder av resonnement.
9. Refleksjon (2 min) Mål: tilstrekkelig selvtillit av ens evner og evner, fordeler og begrensninger dannes	Er det en forbedring i resultatet? Hvis du fortsatt har spørsmål, se læreboken hjemme (s. 120)	Vurdere egne kunnskaper og ferdigheter på samme stykke papir (vedlegg 1). Sammenlign med selvtillit i begynnelsen av timen og trekk konklusjoner.	Regulatorisk Selvevaluering av dine prestasjoner
10.Lekser (2 min) Mål: konsolidering av det studerte materialet.	Bestem lekser basert på resultater selvstendig arbeid(lysbilde 13)	Bestem og noter individuelle oppdrag	Kognitiv. Bygg logiske kjeder av resonnement. Analyser og transformer informasjon.

Liste over brukt litteratur: Algebra. Lærebok for 9. klasse. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Utdanning, 2014

Denne artikkelen gir innledende informasjon om ulikhetssystemer. Her er en definisjon av et system av ulikheter og en definisjon av en løsning på et system av ulikheter. Hovedtyper av systemer som oftest må jobbes med i algebratimene på skolen er også listet opp, og det gis eksempler.

Sidenavigering.

Hva er et ulikhetssystem?

Det er praktisk å definere systemer av ulikheter på samme måte som vi introduserte definisjonen av et likningssystem, det vil si etter typen notasjon og betydningen som er innebygd i den.

Definisjon.

System av ulikheter er en post som representerer et visst antall ulikheter skrevet under hverandre, forent til venstre med en krøllete klammeparentes, og angir settet med alle løsninger som samtidig er løsninger på hver ulikhet i systemet.

La oss gi et eksempel på et system med ulikheter. La oss ta to vilkårlige, for eksempel 2 x−3>0 og 5−x≥4 x−11, skriv dem under hverandre
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
og foren deg med et systemtegn - en krøllete klammeparentes, som et resultat får vi et system med ulikheter i følgende form:

En lignende idé gis om ulikhetssystemer i skolebøkene. Det er verdt å merke seg at deres definisjoner er gitt mer snevert: for ulikheter med én variabel eller med to variabler.

Hovedtyper av ulikhetssystemer

Det er klart at man kan komponere uendelig mange ulike systemer ulikheter For ikke å gå seg vill i dette mangfoldet, er det tilrådelig å vurdere dem i grupper som har sine egne særtrekk. Alle ulikhetssystemer kan deles inn i grupper i henhold til følgende kriterier:

• ved antall ulikheter i systemet;
• etter antall variabler som er involvert i registreringen;
• av typen ulikheter i seg selv.

Basert på antall ulikheter som er inkludert i posten, skilles systemer med to, tre, fire osv. ut. ulikheter I forrige avsnitt ga vi et eksempel på et system, som er et system med to ulikheter. La oss vise et annet eksempel på et system med fire ulikheter .

Hver for seg vil vi si at det ikke er noen vits i å snakke om et system med én ulikhet, i dette tilfellet i hovedsak vi snakker om om ulikhet i seg selv, ikke om systemet.

Hvis du ser på antall variabler, så er det systemer med ulikheter med en, to, tre osv. variabler (eller, som de også sier, ukjente). Se på siste system ulikheter skrevet to avsnitt ovenfor. Det er et system med tre variabler x, y og z. Vær oppmerksom på at hennes to første ulikheter ikke inneholder alle tre variablene, men bare én av dem. I sammenheng med dette systemet skal de forstås som ulikheter med tre variabler i skjemaet henholdsvis x+0·y+0·z≥−2 og 0·x+y+0·z≤5. Merk at skolen fokuserer på ulikheter med én variabel.

Det gjenstår å diskutere hvilke typer ulikheter som er involvert i registreringssystemer. På skolen vurderer de hovedsakelig systemer med to ulikheter (sjeldnere - tre, enda sjeldnere - fire eller flere) med en eller to variabler, og ulikhetene i seg selv er vanligvis hele ulikheter første eller andre grad (sjeldnere - høyere grader eller brøkdel rasjonell). Men ikke bli overrasket hvis du i forberedelsesmaterialet for Unified State-eksamenen kommer over systemer med ulikheter som inneholder irrasjonelle, logaritmiske, eksponentielle og andre ulikheter. Som et eksempel gir vi systemet med ulikheter , den er hentet fra .

Hva er løsningen på et ulikhetssystem?

La oss introdusere en annen definisjon relatert til ulikhetssystemer - definisjonen av en løsning på et ulikhetssystem:

Definisjon.

Løse et system av ulikheter med én variabel kalles en slik verdi av en variabel som gjør hver av ulikhetene i systemet til sanne, med andre ord er det en løsning på hver ulikhet i systemet.

La oss forklare med et eksempel. La oss ta et system med to ulikheter med én variabel. La oss ta verdien av variabelen x lik 8, det er en løsning på vårt system av ulikheter per definisjon, siden dens substitusjon i systemets ulikheter gir to riktige numeriske ulikheter 8>7 og 2−3·8≤0. Tvert imot er ikke enhet en løsning på systemet, siden når den erstattes med variabelen x, vil den første ulikheten bli til den feilaktige numeriske ulikheten 1>7.

På samme måte kan man introdusere definisjonen av en løsning på et system av ulikheter med to, tre og et stort antall variabler:

Definisjon.

Løse et system av ulikheter med to, tre osv. variabler kalt et par, tre osv. verdier av disse variablene, som samtidig er en løsning på enhver ulikhet i systemet, det vil si gjør enhver ulikhet i systemet til en korrekt numerisk ulikhet.

For eksempel er et verdipar x=1, y=2 eller i en annen notasjon (1, 2) en løsning på et system av ulikheter med to variabler, siden 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systemer av ulikheter kan ha ingen løsninger, kan ha et begrenset antall løsninger, eller kan ha et uendelig antall løsninger. Folk snakker ofte om settet med løsninger på et system av ulikheter. Når et system ikke har noen løsninger, er det et tomt sett av dets løsninger. Når det er et endelig antall løsninger, så inneholder løsningssettet et endelig antall elementer, og når det er uendelig mange løsninger, så består løsningssettet av et uendelig antall elementer.

Noen kilder introduserer definisjoner av en spesiell og generell løsning på et system av ulikheter, som for eksempel i Mordkovichs lærebøker. Under privat løsning av ulikhetssystemet forstå hennes en eneste avgjørelse. I sin tur generell løsning på ulikhetssystemet- Dette er alle hennes private avgjørelser. Imidlertid gir disse begrepene mening bare når det er nødvendig å spesifikt understreke hva slags løsning vi snakker om, men vanligvis er dette allerede klart fra konteksten, så mye oftere sier de bare "en løsning på et system av ulikheter."

Fra definisjonene av et system av ulikheter og dets løsninger introdusert i denne artikkelen, følger det at en løsning på et system av ulikheter er skjæringspunktet mellom settene med løsninger på alle ulikheter i dette systemet.

Referanser.

1. Algebra: lærebok for 8. klasse. generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Unified State-eksamen-2013. Matematikk: standard eksamensmuligheter: 30 alternativer / utg. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Publishing House “National Education”, 2012. – 192 s. – (BRUK-2013. FIPI - skole).

1. Begrepet ulikhet med én variabel

2. Tilsvarende ulikheter. Teoremer om ekvivalens av ulikheter

3. Løse ulikheter med én variabel

4. Grafisk løsning av ulikheter med én variabel

5. Ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet

6. Hovedkonklusjoner

Ulikheter med én variabel

Tilbud 2 X + 7 > 10-tallet, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 kalles ulikheter med én variabel.

Generelt er dette konseptet definert som følger:

Definisjon. La f(x) og g(x) være to uttrykk med variabel x og domene X. Da en ulikhet på formen f(x) > g(x) eller f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Variabel verdi x fra mange X, der ulikheten blir til en sann numerisk ulikhet kalles avgjørelse.Å løse en ulikhet betyr å finne mange løsninger på den.

Altså, ved å løse ulikhet 2 x + 7 > 10 -x, x? R er tallet x= 5, siden 2 5 + 7 > 10 - 5 er en sann numerisk ulikhet. Og settet med løsningene er intervallet (1, ∞), som finnes ved å utføre transformasjonen av ulikheten: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Tilsvarende ulikheter. Teoremer om ekvivalens av ulikheter

Grunnlaget for å løse ulikheter med én variabel er ekvivalensbegrepet.

Definisjon. To ulikheter sies å være like hvis løsningsmengdene deres er like.

For eksempel ulikheter 2 x+ 7 > 10 og 2 x> 3 er ekvivalente, siden løsningsmengdene deres er like og representerer intervallet (2/3, ∞).

Teoremer om ekvivalens av ulikheter og konsekvensene av dem ligner de tilsvarende teoremene om ekvivalens av ligninger. Beviset deres bruker egenskapene til sanne numeriske ulikheter.

Teorem 3. La ulikhet f(x) > g(x) definert på settet X Og h(x) er et uttrykk definert på samme sett. Så ulikhetene f(x) > g(x) og f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) er likeverdige på settet X.

Følger følger av denne teoremet, som ofte brukes når man løser ulikheter:

1) Hvis til begge sider av ulikheten f(x) > g(x) legg til samme nummer d, da får vi ulikheten f(x) + d > g(x)+ d, tilsvarende den originale.

2) Hvis et begrep (numerisk uttrykk eller uttrykk med en variabel) overføres fra en del av ulikheten til en annen, og endrer fortegnet til begrepet til det motsatte, får vi en ulikhet tilsvarende den gitte.

Teorem 4. La ulikhet f(x) > g(x) definert på settet X Og h(X X fra mange X uttrykk h(x) godtar positive verdier. Så ulikhetene f(x) > g(x) og f(x) h(x) > g(x) h(x) er likeverdige på settet X.

f(x) > g(x) gange med det samme positivt tall d, da får vi ulikheten f(x) d > g(x) d, tilsvarende dette.

Teorem 5. La ulikhet f(x) > g(x) definert på settet X Og h(X) - et uttrykk definert på samme sett, og for alle X det er mange av dem X uttrykk h(X) godtar negative verdier. Så ulikhetene f(x) > g(x) og f(x) h(x) > g(x) h(x) er likeverdige på settet X.

En konsekvens følger av dette teoremet: hvis begge sider av ulikheten f(x) > g(x) gange med det samme negativt tall d og endre ulikhetstegnet til det motsatte, får vi ulikheten f(x) d > g(x) d, tilsvarende dette.

Løse ulikheter med én variabel

La oss løse ulikhet 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, og vi vil rettferdiggjøre alle transformasjonene vi skal utføre i løsningsprosessen.

Løse ulikheten X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 er intervallet (-∞, 7).

Øvelser

1. Bestem hvilke av følgende oppføringer som er ulikheter med én variabel:

a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12-8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3x-4> 0.

2. Er 3-tallet en løsning på ulikheten 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Hva med tallet 4,25?

3. Er følgende par av ulikheter ekvivalente på settet med reelle tall:

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 og 3 X-1>0;

c) 6-5 x>-4 og X<2?

4. Hvilke av følgende påstander er sanne:

a) -7 X < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Løs ulikhet 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 og begrunn alle transformasjonene du vil utføre.

6. Bevis det ved å løse ulikheten 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) er et hvilket som helst reelt tall.

7. Bevis at det ikke eksisterer reelt tall, som ville være en løsning på ulikheten 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Den ene siden av trekanten er 5 cm, og den andre er 8 cm. Hva kan være lengden på den tredje siden hvis omkretsen av trekanten er:

a) mindre enn 22 cm;

b) mer enn 17 cm?

GRAFISK LØSNING AV ULIKHETER MED EN VARIABEL. Til grafisk løsning ulikheter f (x) > g (x) trenger å bygge grafer over funksjoner

y = f (x) = g (x) og velg de intervallene til abscisseaksen som grafen til funksjonen på y = f(x) plassert over grafen til funksjonen y = g(x).

Eksempel 17.8. Løs grafisk ulikheten x 2- 4 > 3X.

Y - x* - 4

Løsning. La oss konstruere grafer av funksjoner i ett koordinatsystem

y = x 2 - 4 og y = Zx (fig. 17.5). Figuren viser at grafene til funksjoner på= x 2- 4 er plassert over grafen til funksjonen y = 3 X på X< -1 og x > 4, dvs. settet med løsninger på den opprinnelige ulikheten er settet

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Svar: x О(- oo; -1) og ( 4; + oo).

Rute kvadratisk funksjon på= øks 2 + bx + c er en parabel med grener som peker oppover if a > 0, og ned hvis EN< 0. I dette tilfellet er tre tilfeller mulige: parabelen skjærer aksen Åh(dvs. ligning ah 2+ bx+ c = 0 har to ulike røtter); parabel berører aksen X(dvs. ligning øks 2 + bx+ c = 0 har én rot); parablen skjærer ikke aksen Åh(dvs. ligning ah 2+ bx+ c = 0 har ingen røtter). Dermed er det seks mulige posisjoner av parabelen, som fungerer som en graf for funksjonen y = ah 2+b x + c(Fig. 17.6). Ved å bruke disse illustrasjonene kan du løse kvadratiske ulikheter.

Eksempel 17.9. Løs ulikheten: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Løsning, a) Ligningen 2x 2 + 5x -3 = 0 har to røtter: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabel fungerer som en graf for en funksjon på= 2x2+ 5x -3, vist i fig. EN. Ulikhet 2x2+ 5x -3 > 0 er tilfredsstilt for disse verdiene X, for hvilke punktene til parablen ligger over aksen Å: det blir kl X< х х eller når X> x g> de. på X< -3 eller kl x > 0,5. Dette betyr at settet med løsninger til den opprinnelige ulikheten er settet av (- ¥; -3) og (0,5; + ¥).

b) Ligning -Зх ​​2 + 2x- 6 = 0 har ingen reelle røtter. Parabel fungerer som en graf for en funksjon på= - 3x 2 - 2x - 6, vist i fig. 17.6 Ulikhet -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, for hvilke punktene til parablen ligger under aksen Oh. Siden hele parabelen ligger under aksen Å, da er settet med løsninger til den opprinnelige ulikheten settet R .

ULIKHETER SOM INNEHOLDER EN VARIABEL UNDER MODULTEGNET. Når du løser disse ulikhetene, bør det huskes at:

|f(x) | =

f(x), Hvis f(x) ³ 0,

- f(x), Hvis f(x) < 0,

Samtidig er området akseptable verdier ulikheter bør deles inn i intervaller, hvor uttrykkene under modultegnet beholder sitt fortegn på hvert av dem. Deretter, ved å utvide modulene (ta hensyn til tegnene til uttrykkene), må du løse ulikheten på hvert intervall og kombinere de resulterende løsningene til et sett med løsninger til den opprinnelige ulikheten.

Eksempel 17.10. Løs ulikheten:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Løsning. Punktene x = 1 og x = 2 deler den numeriske aksen (ODZ for ulikhet (17,9) i tre intervaller: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. La oss løse denne ulikheten for hver av dem. Hvis x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; derfor |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Dette betyr at ulikhet (17.9) har formen: 1- x + 2 - x > 3 + x, dvs. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Hvis 1 £ x £.2, så x - 1 ³ 0 og 2 – x ³ 0; derfor | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Dette betyr at systemet inneholder:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Det resulterende systemet med ulikheter har ingen løsninger. Derfor, på intervallet [ 1; 2] settet med løsninger på ulikhet (17.9) er tomt.

Hvis x > 2, så x - 1 >0 og 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 eller

Ved å kombinere løsningene funnet på alle deler av ODZ-ulikheten (17.9), får vi løsningen - settet (-¥; 0) È (6; +oo).

Noen ganger er det nyttig å bruke den geometriske tolkningen av modulen til et reelt tall, ifølge hvilken | en | betyr avstanden til punkt a på koordinatlinjen fra origo O, a | a - b | betyr avstanden mellom punktene a og b på koordinatlinjen. Alternativt kan du bruke metoden for å kvadrere begge sider av ulikheten.

Teorem 17.5. Hvis uttrykk f(x) og g(x) for enhver x ta bare ikke-negative verdier, deretter ulikhetene f (x) > g (x) Og f (x) ² > g (x) ² er likeverdige.

58. Hovedkonklusjoner § 12

I denne delen har vi definert følgende konsepter:

Numerisk uttrykk;

Betydning numerisk uttrykk;

Et uttrykk som ikke har noen mening;

Uttrykk med variabel(er);

Uttrykksdefinisjonsomfang;

Identisk like uttrykk;

Identitet;

Identitetstransformasjon uttrykk;

Numerisk likhet;

Numerisk ulikhet;

Ligning med én variabel;

Roten til ligningen;

Hva vil det si å løse en ligning;

Ekvivalente ligninger;

Ulikhet med én variabel;

Løse ulikheter;

Hva vil det si å løse ulikhet;

Tilsvarende ulikheter.

I tillegg undersøkte vi teoremer om ekvivalens av likninger og ulikheter, som er grunnlaget for deres løsning.

Kunnskap om definisjonene av alle ovennevnte begreper og teoremer om ekvivalens av likninger og ulikheter - nødvendig tilstand metodisk kompetent studie med yngre skolebarn algebraisk materiale.

Kommunebudsjett utdanningsinstitusjon

"Gjennomsnittlig ungdomsskolen №26

Med fordypning enkeltvarer»

byen Nizhnekamsk i republikken Tatarstan

Mattetimersnotater
i 8. klasse

Løse ulikheter med én variabel

og deres systemer

forberedt

mattelærer

først kvalifikasjonskategori

Kungurova Gulnaz Rafaelovna

Nizhnekamsk 2014

Disposisjon lekse

Lærer: Kungurova G.R.

Fag: matematikk

Emne: "Løse lineære ulikheter med én variabel og deres systemer."

Klasse: 8B

Dato: 04.10.2014

Leksjonstype: leksjon om generalisering og systematisering av det studerte materialet.

Mål for leksjonen: konsolidering av praktiske ferdigheter i å løse ulikheter med en variabel og deres systemer, ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

generalisering og systematisering av elevenes kunnskap om måter å løse ulikheter med én variabel;

utvidelse av typen ulikheter: doble ulikheter, ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet, ulikhetssystemer;

etablering tverrfaglig kommunikasjon mellom matematikk, russisk språk, kjemi.

Pedagogisk:

aktivering av oppmerksomhet, mental aktivitet, utvikling matematisk tale, kognitiv interesse hos studenter;

mestre metodene og kriteriene for egenvurdering og selvkontroll.

Pedagogisk:

fremme uavhengighet, nøyaktighet og evnen til å jobbe i et team

Grunnleggende metoder brukt i leksjonen: kommunikativ, forklarende-illustrativ, reproduktiv, metode for programmert kontroll.

Utstyr:

computer

datamaskin presentasjon

monoblokker (utføre en individuell online test)

utdelingsark (individuelle oppgaver på flere nivåer);

selvkontroll ark;

Leksjonsplan:

1. Organisatorisk øyeblikk.

4. Selvstendig arbeid

5. Refleksjon

6. Leksjonssammendrag.

Leksjonsfremgang:

1. Organisatorisk øyeblikk.

(Læreren forteller elevene målene og målene for leksjonen.).

I dag står vi overfor en veldig viktig oppgave. Vi må oppsummere dette temaet. Nok en gang vil det være nødvendig å jobbe veldig nøye med teoretiske spørsmål, gjøre beregninger og vurdere den praktiske anvendelsen av dette emnet i vår hverdagen. Og vi må aldri glemme hvordan vi resonnerer, analyserer og bygger logiske kjeder. Vår tale skal alltid være leselig og korrekt.

Hver av dere har et selvkontrollark på skrivebordet. Gjennom hele leksjonen, husk å merke bidragene dine til denne leksjonen med et "+"-tegn.

Læreren tildeler lekser og kommenterer dem:

№1026(a,b), nr. 1019(c,d); i tillegg - nr. 1046(a)

2. Oppdatere kunnskap, ferdigheter og evner

1) Før vi starter praktiske oppgaver, la oss gå til teorien.

Læreren kunngjør begynnelsen av definisjonen, og elevene skal fullføre formuleringen.

a) En ulikhet i én variabel er en ulikhet på formen ax>b, ax<в;

b) Å løse en ulikhet betyr å finne alle dens løsninger eller bevise at det ikke finnes løsninger;

c) Løsningen på en ulikhet med én variabel er verdien av variabelen som gjør den til en sann ulikhet;

d) Ulikheter sies å være ekvivalente hvis løsningene deres faller sammen. Hvis de ikke har noen løsninger, kalles de også likeverdige

2) På brettet er det ulikheter med én variabel, ordnet i én kolonne. Og ved siden av, i en annen kolonne, er løsningene deres skrevet i form av numeriske intervaller. Studentenes oppgave er å etablere samsvar mellom ulikheter og tilsvarende intervaller.

Etabler samsvar mellom ulikheter og numeriske intervaller:

1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]

2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)

3. 4x > 3 c) (2; + ∞)

4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)

3) Praktisk arbeid i en selvtestnotisbok.

Elevene skriver en lineær ulikhet i én variabel på tavlen. Etter å ha fullført dette, uttaler en av studentene sin avgjørelse og feilene som er gjort blir rettet)

Løs ulikheten:

4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;

8x - 4 - 3x - 18 > x;

8x - 3x – x > 4+18 ;

4x > 22;

x > 5,5.

Svare. (5,5; +∞)

3. Praktisk bruk ulikheter i hverdagen ( kjemisk eksperiment)

Ulikheter i hverdagen vår kan være gode hjelpere. Og dessuten er det selvfølgelig en uløselig sammenheng mellom skolefag. Matematikk går hånd i hånd ikke bare med det russiske språket, men også med kjemi.

(På hvert skrivebord er det en referanseskala for pH-verdien, fra 0 til 12)

Hvis 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;

hvis pH = 7, så er miljøet nøytralt;

hvis indikatoren er 7< pH ≤ 12, то среда щелочная

Læreren heller 3 fargeløse løsninger i forskjellige prøverør. Fra kjemikurset blir studentene bedt om å huske typene løsningsmedier (surt, nøytralt, alkalisk). Deretter bestemmes eksperimentelt, ved å involvere studenter, miljøet for hver av de tre løsningene. For å gjøre dette senkes en universell indikator i hver løsning. Det som skjer er at hver indikator er farget tilsvarende. Og av fargevalg Takket være standardskalaen etablerer studentene miljøet for hver av de foreslåtte løsningene.

Konklusjon:

1 indikator blir rød, indikator 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке

2 indikatoromdreininger grønn, pH = 7, som betyr at mediet i den andre løsningen er nøytralt, dvs. vi hadde vann i reagensrør 2

3 indikatoromdreininger blå, indikator 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь

Når du kjenner pH-grensene, kan du bestemme surhetsgraden til jord, såpe og mange kosmetikk.

Fortsatt oppdatering av kunnskap, ferdigheter og evner.

1) Igjen begynner læreren å formulere definisjoner, og elevene må fullføre dem

Fortsett definisjoner:

a) Å løse et system med lineære ulikheter betyr å finne alle løsningene eller bevise at det ikke finnes noen

b) Løsningen på et system av ulikheter med én variabel er verdien av variabelen som hver av ulikhetene er sanne for

c) For å løse et system av ulikheter med én variabel, må du finne en løsning på hver ulikhet, og finne skjæringspunktet mellom disse intervallene

Læreren minner igjen elevene om at evnen til å løse lineære ulikheter med én variabel og deres systemer er grunnlaget, grunnlaget for flere komplekse ulikheter, som skal studeres i høyere klassetrinn. Det legges et kunnskapsgrunnlag, hvis styrke vil måtte bekreftes ved OGE i matematikk etter 9. klasse.

Elevene skriver i notatbøkene sine for å løse systemer med lineære ulikheter med én variabel. (2 elever fullfører disse oppgavene på tavlen, forklarer løsningen deres, gir uttrykk for egenskapene til ulikhetene som brukes til å løse systemene).

№1012(d). Løs systemet med lineære ulikheter

0,3 x+1< 0,4х-2;

1,5 x-3 > 1,3 x-1. Svare. (30; +∞).

№1028(d). Løs den doble ulikheten og skriv opp alle heltallene som er løsningen

1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0

2) Løse ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet.

Praksis viser at ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet forårsaker angst og selvtvil hos elevene. Og ofte tar studentene rett og slett ikke på seg slike ulikheter. Og grunnen til dette er et dårlig lagt grunnlag. Læreren oppfordrer elevene til å jobbe med seg selv i tide og konsekvent lære alle trinnene for å lykkes med å implementere disse ulikhetene.

Muntlig arbeid utføres. (Forreste undersøkelse)

Løse ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet:

1. Modulen til et tall x er avstanden fra origo til punktet med koordinat x.

| 35 | = 35,

| - 17 | = 17,

| 0 | = 0

2. Løs ulikheter:

a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)

b) | x | > 2. Svare. (- ∞; -2) U (2; +∞)

Fremdriften for å løse disse ulikhetene vises i detalj på skjermen, og algoritmen for å løse ulikheter som inneholder en variabel under modultegnet er stavet ut.

4. Selvstendig arbeid

For å kontrollere graden av mestring av dette emnet, tar 4 studenter plass ved monoblokkene og tar tematisk online testing. Testtiden er 15 minutter. Etter gjennomføring gjennomføres en selvtest både i poeng og i prosent.

Resten av elevene ved pultene deres gjør selvstendig arbeid i varianter.

Selvstendig arbeid (gjennomføringstid 13 min)

Alternativ 1

Alternativ 2

1. Løs ulikhetene:

a) 6+x< 3 - 2х;

b) 0,8 (x-3) - 3,2 ≤ 0,3 (2 - x).

3(x+1) - (x-2)< х,

2 > 5x - (2x-1) .

-6 < 5х - 1 < 5

4*. (I tillegg)

Løs ulikheten:

| 2- 2x | ≤ 1

1. Løs ulikhetene:

a) 4+x< 1 - 2х;

b) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).

2. Løs systemet med ulikheter:

2(x+3) - (x - 8)< 4,

6x > 3(x+1) -1.

3. Løs dobbel ulikhet:

-1 < 3х - 1 < 2

4*. (I tillegg)

Løs ulikheten:

| 6x-1 | ≤ 1

Etter å ha fullført selvstendig arbeid, overleverer elevene notatbøkene sine for kontroll. Elever som jobbet med monoblokker leverer også notatbøkene sine til læreren for sjekk.

5. Refleksjon

Læreren minner elevene på selvkontrollarkene, der de måtte evaluere arbeidet sitt med et "+" gjennom hele leksjonen, på de ulike stadiene.

Men studentene må gi hovedvurderingen av aktivitetene deres først nå, etter å ha uttalt en gammel lignelse.

Lignelse.

En vismann gikk, og 3 personer møtte ham. De bar vogner med steiner under den varme solen for byggingen av templet.

Vismannen stoppet dem og spurte:

– Hva gjorde du hele dagen?

"Jeg bar de fordømte steinene," svarte den første.

"Jeg gjorde jobben min samvittighetsfullt," svarte den andre.

«Og jeg deltok i byggingen av templet,» svarte den tredje stolt.

I selvkontrollarkene, i punkt nr. 3, må elevene skrive inn en setning som svarer til deres handlinger i denne leksjonen.

Selvkontrollark __________________________________________

№ n /n

Leksjonstrinn

Vurdering av pedagogisk virksomhet

Muntlig arbeid i klassen

Praktisk del:

Løse ulikheter med én variabel;

løse systemer for ulikheter;

løsning doble ulikheter;

løse ulikheter med modultegn

Speilbilde

I avsnitt 1 og 2, merk de riktige svarene i leksjonen med et "+"-tegn;

i avsnitt 3, evaluer arbeidet ditt i klassen i henhold til instruksjonene

6. Leksjonssammendrag.

Læreren, som oppsummerer leksjonen, noterer vellykkede øyeblikk og problemer som det gjenstår ytterligere arbeid med.

Studentene blir bedt om å vurdere arbeidet sitt etter selvkontrollark, og studentene får en karakter til basert på resultatene av selvstendig arbeid.

På slutten av leksjonen trekker læreren elevenes oppmerksomhet til ordene til den franske forskeren Blaise Pascal: "Storheten til en person ligger i hans evne til å tenke."

Referanser:

1 . Algebra. 8. klasse. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:

Mnemosyne, 2012

2. Algebra.8. klasse. Didaktisk materiale. Metodiske anbefalinger/ I.E. Feoktistov.

2. utgave., St.-M.: Mnemosyne, 2011

3. Prøve- og målematerialer: 8. klasse / Utarbeidet av L.I. Martyshova.-

M.: VAKO, 2010

Internettressurser: