Hvordan løse en ligning grafisk. Grafiske metoder for å løse ligninger

La det være en fullstendig andregradsligning: A*x2+B*x+C=0, hvor A, B og C er alle tall, og A ikke er lik null. Dette er et generelt tilfelle av en kvadratisk ligning. Det er også en redusert form hvor A=1. For å løse en ligning grafisk, må du flytte begrepet med høyeste grad til en annen del og likestille begge deler til en variabel.

Etter dette vil A*x2 forbli på venstre side av ligningen, og B*x-C på høyre side (vi kan anta at B er et negativt tall, dette endrer ikke essensen). Den resulterende ligningen er A*x2=B*x-C=y. For klarhetens skyld er begge deler i dette tilfellet likestilt med variabelen y.

Plotte grafer og bearbeide resultater

Nå kan vi skrive to ligninger: y=A*x2 og y=B*x-C. Deretter må du plotte en graf for hver av disse funksjonene. Grafen y=A*x2 er en parabel med et toppunkt i origo, hvis grener er rettet oppover eller nedover, avhengig av tegnet på tallet A. Hvis det er negativt, er grenene rettet nedover, hvis de er positive, grenene er rettet oppover.

Grafen y=B*x-C er en vanlig rett linje. Hvis C=0, går linjen gjennom origo. I det generelle tilfellet avskjærer den et segment som er lik C fra ordinataksen. Helningsvinkelen til denne linjen i forhold til abscisseaksen bestemmes av koeffisienten B. Den er lik tangens til helningen til denne vinkelen.

Etter at grafene er plottet, vil det sees at de skjærer hverandre i to punkter. Koordinatene til disse punktene langs x-aksen bestemmer røttene til kvadratisk ligning. For å bestemme dem nøyaktig, må du tydelig bygge grafer og velge riktig skala.

En annen grafisk løsning

Det er en annen måte å løse en andregradsligning grafisk på. Det er ikke nødvendig å flytte B*x+C til den andre siden av ligningen. Du kan umiddelbart plotte funksjonen y=A*x2+B*x+C. En slik graf er en parabel med et toppunkt i et vilkårlig punkt. Denne metoden er mer komplisert enn den forrige, men du kan bare bygge én graf for å...

Først må du bestemme toppunktet til parabelen med koordinatene x0 og y0. Abscissen beregnes ved å bruke formelen x0=-B/2*a. For å bestemme ordinaten, må du erstatte den resulterende abscisseverdien i den opprinnelige funksjonen. Matematisk er denne setningen skrevet som følger: y0=y(x0).

Deretter må du finne to punkter symmetriske til parabelens akse. I dem må den opprinnelige funksjonen forsvinne. Etter dette kan du bygge en parabel. Punktene i dens skjæringspunkt med X-aksen vil gi to røtter av kvadratisk ligning.

Noen ganger løses ligninger grafisk. For å gjøre dette må du transformere ligningen slik (hvis den ikke allerede er presentert i en transformert form) at det til venstre og høyre for likhetstegnet er uttrykk som du enkelt kan tegne funksjonsgrafer for. For eksempel gitt følgende ligning:
x² – 2x – 1 = 0

Hvis vi ennå ikke har studert å løse kvadratiske ligninger algebraisk, kan vi prøve å gjøre dette enten ved å faktorisere eller grafisk. For å løse en slik ligning grafisk, presenterer vi den i denne formen:
x² = 2x + 1

Fra denne representasjonen av ligningen følger det at det er nødvendig å finne slike verdier av x hvor venstre side vil være lik høyre.

Som du vet, er grafen til funksjonen y = x² en parabel, og y = 2x + 1 er en rett linje. X-koordinaten til punktene til koordinatplanet som ligger både på den første grafen og på den andre (det vil si skjæringspunktene til grafene) er nøyaktig de x-verdiene der venstre side av ligningen vil være lik til høyre. Med andre ord, x-koordinatene til skjæringspunktene til grafene er røttene til ligningen.

Grafer kan krysse hverandre på flere punkter, på ett punkt, eller ikke krysse i det hele tatt. Det følger at en ligning kan ha flere røtter, eller én rot, eller ingen i det hele tatt.

La oss se på et enklere eksempel:
x² – 2x = 0 eller x² = 2x

La oss tegne grafer for funksjonene y = x² og y = 2x:

Som det fremgår av tegningen, skjærer parabelen og den rette linjen i punktene (0; 0) og (2; 4). X-koordinatene til disse punktene er henholdsvis lik 0 og 2. Dette betyr at likningen x² – 2x = 0 har to røtter - x 1 = 0, x 2 = 2.

La oss sjekke dette ved å løse ligningen ved å ta den felles faktoren ut av parentes:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Nullpunktet på høyre side kan forekomme enten når x er 0 eller 2.

Grunnen til at vi ikke grafisk løste ligningen x² – 2x – 1 = 0 er at røttene i de fleste ligninger er reelle (brøk) tall, og det er vanskelig å nøyaktig bestemme verdien av x på en graf. Derfor, for de fleste ligninger, er ikke den grafiske løsningen den beste. Kunnskap om denne metoden gir imidlertid en dypere forståelse av sammenhengen mellom likninger og funksjoner.

I denne leksjonen skal vi se på å løse systemer av to likninger i to variabler. La oss først se på den grafiske løsningen av et system med to lineære ligninger og spesifikasjonene til settet med grafene deres. Deretter skal vi løse flere systemer ved hjelp av den grafiske metoden.

Tema: Ligningssystemer

Leksjon: Grafisk metode for å løse et likningssystem

Vurder systemet

Et tallpar som samtidig er en løsning på både den første og andre ligningen i systemet kalles løse et ligningssystem.

Å løse et ligningssystem betyr å finne alle løsningene, eller fastslå at det ikke finnes noen løsninger. Vi har sett på grafene til de grunnleggende ligningene, la oss gå videre til å vurdere systemer.

Eksempel 1. Løs systemet

Løsning:

Dette er lineære ligninger, grafen til hver av dem er en rett linje. Grafen til den første ligningen går gjennom punktene (0; 1) og (-1; 0). Grafen til den andre ligningen går gjennom punktene (0; -1) og (-1; 0). Linjene skjærer hverandre i punktet (-1; 0), dette er løsningen på ligningssystemet ( Ris. 1).

Løsningen på systemet er et tallpar. Ved å erstatte dette tallparet i hver ligning, får vi den riktige likheten.

Vi har fått en unik løsning på det lineære systemet.

Husk at når du løser et lineært system, er følgende tilfeller mulig:

systemet har en unik løsning - linjene krysser hverandre,

systemet har ingen løsninger - linjene er parallelle,

systemet har et uendelig antall løsninger - de rette linjene faller sammen.

Vi vurderte et spesielt tilfelle av systemet når p(x; y) og q(x; y) er lineære uttrykk for x og y.

Eksempel 2. Løs et likningssystem

Løsning:

Grafen til den første ligningen er en rett linje, grafen til den andre ligningen er en sirkel. La oss bygge den første grafen etter poeng (fig. 2).

Sentrum av sirkelen er i punktet O(0; 0), radiusen er 1.

Grafene skjærer hverandre i punkt A(0; 1) og punkt B(-1; 0).

Eksempel 3. Løs systemet grafisk

Løsning: La oss bygge en graf av den første ligningen - det er en sirkel med sentrum ved t.O(0; 0) og radius 2. Grafen til den andre ligningen er en parabel. Den forskyves oppover med 2 i forhold til origo, dvs. toppunktet er punkt (0; 2) (fig. 3).

Grafene har ett felles punkt - det vil si A(0; 2). Det er løsningen på systemet. La oss plugge et par tall inn i ligningen for å sjekke om den er riktig.

Eksempel 4. Løs systemet

Løsning: La oss konstruere en graf av den første ligningen - dette er en sirkel med sentrum ved t.O(0; 0) og radius 1 (fig. 4).

La oss plotte funksjonen Dette er en stiplet linje (fig. 5).

La oss nå flytte den 1 ned langs oy-aksen. Dette vil være grafen til funksjonen

La oss plassere begge grafene i samme koordinatsystem (fig. 6).

Vi får tre skjæringspunkter - punkt A(1; 0), punkt B(-1; 0), punkt C(0; -1).

Vi så på den grafiske metoden for å løse systemer. Hvis du kan plotte en graf for hver ligning og finne koordinatene til skjæringspunktene, er denne metoden ganske tilstrekkelig.

Men ofte gjør den grafiske metoden det mulig å finne bare en omtrentlig løsning av systemet eller svare på spørsmålet om antall løsninger. Derfor trengs andre metoder, mer nøyaktige, og vi vil behandle dem i de følgende leksjonene.

1. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Lærebok. For allmennutdanning Institusjoner.- 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Makarychev Yu. 9. klasse: lærerikt. for allmennpedagogiske studenter. institusjoner / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. utgave, rev. og tillegg - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. klasse. 16. utg. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasse. I 2 deler Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. utg., slettet. - M.: 2010. - 224 s.: ill.

6. Algebra. 9. klasse. I 2 deler Del 2. Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina og andre; Ed. A.G. Mordkovich. — 12. utgave, rev. - M.: 2010.-223 s.: ill.

1. College.ru delen om matematikk ().

2. Internett-prosjektet "Oppgaver" ().

3. Utdanningsportal "I WILL LOLVE the Unified State Exam" ().

1. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 105, 107, 114, 115.

Hvis du vil lære å svømme, gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære hvordan du løser problemer, løs dem.

D. Polya

Ligningen er en likhet som inneholder en eller flere ukjente, forutsatt at oppgaven er å finne de verdiene til de ukjente som den er sann for.

Løs ligningen- dette betyr å finne alle verdiene til de ukjente der det blir til en korrekt numerisk likhet, eller fastslå at det ikke finnes slike verdier.

Rekkevidde av akseptable verdier ligninger (O.D.Z.) er settet med alle verdiene til variabelen (variablene) der alle uttrykk som er inkludert i ligningen er definert.

Mange ligninger presentert i Unified State Examination løses ved hjelp av standardmetoder. Men ingen forbyr å bruke noe uvanlig, selv i de enkleste tilfellene.

Så, for eksempel, vurder ligningen 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

La oss løse det grafisk, og finn deretter det aritmetiske gjennomsnittet av røttene økt med seks ganger.

For å gjøre dette, vurder funksjonene y=3 – x 2 Og y = 6 / (2 – x) og bygge sine grafer.

Funksjonen y = 3 – x 2 er kvadratisk.

La oss omskrive denne funksjonen i formen y = -x 2 + 3. Grafen er en parabel, hvis grener er rettet nedover (siden a = -1< 0).

Toppunktet til parablen vil bli forskjøvet langs ordinataksen med 3 enheter oppover. Dermed er koordinaten til toppunktet (0; 3).

For å finne koordinatene til skjæringspunktene til parabelen med abscisseaksen, likestiller vi denne funksjonen til null og løser den resulterende ligningen:

Således, i punkter med koordinater (√3; 0) og (-√3; 0) skjærer parablen abscisseaksen (fig. 1).

Grafen til funksjonen y = 6 / (2 – x) er en hyperbel.

Grafen til denne funksjonen kan plottes ved hjelp av følgende transformasjoner:

1) y = 6 / x – omvendt proporsjonalitet. Grafen til en funksjon er en hyperbel. Det kan bygges punkt for punkt for å gjøre dette, la oss lage en tabell med verdier for x og y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – grafen til funksjonen oppnådd i trinn 1 vises symmetrisk i forhold til ordinataksen (fig. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – skift grafen oppnådd i trinn 2 langs x-aksen med to enheter til høyre (fig. 4).

La oss nå plotte funksjonene y = 3 – x 2 og y = 6 / (2 – x) i samme koordinatsystem (fig. 5).

Figuren viser at grafene skjærer hverandre i tre punkter.

Det er viktig å forstå at den grafiske løsningen ikke lar deg finne den nøyaktige verdien av roten. Så tallene er -1; 0; 3 (abscisser av skjæringspunktene til funksjonsgrafene) er så langt bare de antatte røttene til ligningen.

Ved hjelp av en sjekk vil vi sørge for at tallene er -1; 0; 3 er faktisk røttene til den opprinnelige ligningen:

Rot -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Deres aritmetiske gjennomsnitt:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

La oss øke den seks ganger: 6 2/3 = 4.

Denne ligningen kan selvfølgelig løses på en mer kjent måte – algebraisk.

Så finn det aritmetiske gjennomsnittet av røttene til ligning 3 økt med seks ganger – x 2 = 6 / (2 – x).

La oss begynne å løse ligningen ved å søke etter O.D.Z. Nevneren til brøken skal ikke være null, derfor:

For å løse ligningen bruker vi den grunnleggende egenskapen proporsjon, dette vil tillate oss å bli kvitt brøken.

(3 – x 2)(2 – x) = 6.

La oss åpne parentesene og presentere lignende termer:

6-3x – 2x 2 + x 3 = 6;

x 3 – 2x 2 – 3x = 0.

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

x(x 2 – 2x – 3) = 0.

La oss dra nytte av det faktum at produktet er lik null bare når minst en av faktorene er lik null, så vi har:

x = 0 eller x 2 – 2x – 3 = 0.

La oss løse den andre ligningen.

x 2 – 2x – 3 = 0. Det er kvadratisk, så vi bruker diskriminanten.

D=4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Alle tre oppnådde røtter tilfredsstiller O.D.Z.

La oss derfor finne deres aritmetiske gjennomsnitt og øke det seks ganger:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Faktisk brukes den grafiske metoden for å løse ligninger ganske sjelden. Dette skyldes det faktum at den grafiske representasjonen av funksjoner tillater å løse ligninger bare tilnærmet. Denne metoden brukes hovedsakelig i de problemene der det er viktig å ikke søke etter røttene til ligningen selv - deres numeriske verdier, men bare etter deres mengde.

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

I denne videoleksjonen tilbys emnet "Funksjon y=x 2" for studier. Grafisk løsning av ligninger." I løpet av denne timen vil elevene kunne bli kjent med en ny måte å løse likninger på – grafisk, som er basert på kunnskap om egenskapene til grafer over funksjoner. Læreren skal vise hvordan man løser funksjonen y=x 2 grafisk.

Emne:Funksjon

Lekse:Funksjon. Grafisk løsning av ligninger

Grafisk løsning av ligninger er basert på kunnskap om funksjonsgrafer og deres egenskaper. La oss liste opp funksjonene hvis grafer vi kjenner:

1), er grafen en rett linje parallelt med abscisseaksen, som går gjennom et punkt på ordinataksen. La oss se på et eksempel: y=1:

For ulike verdier får vi en familie av rette linjer parallelt med x-aksen.

2) Funksjon av direkte proporsjonalitet, grafen til denne funksjonen er en rett linje som går gjennom opprinnelsen til koordinatene. La oss se på et eksempel:

Vi har allerede konstruert disse grafene i tidligere leksjoner, husker at for å konstruere hver linje, må du velge et punkt som tilfredsstiller den, og ta opprinnelsen til koordinatene som det andre punktet.

La oss huske rollen til koeffisienten k: når funksjonen øker, er vinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til x-aksen spiss; når funksjonen avtar, er vinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til x-aksen stump. I tillegg eksisterer følgende forhold mellom to parametere k med samme fortegn: for positiv k, jo større den er, jo raskere øker funksjonen, og for negative reduseres funksjonen raskere for store verdier av k i absolutt verdi .

3) Lineær funksjon. Når - får vi skjæringspunktet med ordinataksen og alle linjer av denne typen går gjennom punktet (0; m). I tillegg, når funksjonen øker, er vinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til x-aksen spiss; når funksjonen avtar, er vinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til x-aksen stump. Og selvfølgelig påvirker verdien av k endringshastigheten til funksjonsverdien.

4). Grafen til denne funksjonen er en parabel.

La oss se på eksempler.

Eksempel 1 - Løs ligningen grafisk:

Vi kjenner ikke funksjoner av denne typen, så vi må transformere den gitte ligningen for å fungere med kjente funksjoner:

Vi får kjente funksjoner på begge sider av ligningen:

La oss bygge grafer over funksjoner:

Grafene har to skjæringspunkter: (-1; 1); (2; 4)

La oss sjekke om løsningen er funnet riktig og erstatte koordinatene i ligningen:

Det første punktet ble funnet riktig.

, , , , , ,

Det andre punktet ble også funnet riktig.

Så løsningene til ligningen er og

Vi fortsetter på samme måte som i forrige eksempel: vi transformerer den gitte ligningen til funksjoner kjent for oss, konstruerer grafene deres, finner skjæringsstrømmene og herfra indikerer løsningene.

Vi får to funksjoner:

La oss bygge grafer:

Disse grafene har ikke skjæringspunkter, noe som betyr at den gitte ligningen ikke har noen løsninger

Konklusjon: i denne leksjonen gjennomgikk vi funksjonene og deres grafer kjent for oss, husket egenskapene deres og så på den grafiske metoden for å løse ligninger.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra 7. 6. utgave. M.: Opplysning. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. og andre Algebra 7.M.: Opplysning. 2006

Oppgave 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. og andre Algebra 7, nr. 494, art.

Oppgave 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. og andre Algebra 7, nr. 495, art.

Oppgave 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. og andre Algebra 7, nr. 496, art.