Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse. Grunnleggende om spillbalanse: tilfeldighet og sannsynligheten for forskjellige hendelser

I økonomien, så vel som på andre områder av menneskelig aktivitet eller i naturen, må vi hele tiden forholde oss til hendelser som ikke kan forutsies nøyaktig. Salgsvolumet av varer avhenger således av etterspørselen, som kan variere betydelig, og av en rekke andre faktorer som er nesten umulige å ta hensyn til. Derfor, i organiseringen av produksjon og salg, må man forutsi resultatet av slike aktiviteter på grunnlag av enten ens egen tidligere erfaring, eller lignende erfaring fra andre mennesker, eller intuisjon, som også i stor grad er basert på eksperimentelle data.

For på en eller annen måte å evaluere hendelsen under vurdering, er det nødvendig å ta hensyn til eller spesielt organisere forholdene der denne hendelsen er registrert.

Implementeringen av visse betingelser eller handlinger for å identifisere den aktuelle hendelsen kalles erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kalles tilfeldig hvis det, som et resultat av eksperimentet, kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kalles pålitelig, hvis det nødvendigvis vises som et resultat av denne opplevelsen, og umulig hvis det ikke kan vises i denne opplevelsen.

For eksempel er snøfall i Moskva 30. november en tilfeldig hendelse. Den daglige soloppgangen kan betraktes som en bestemt hendelse. Snøfall ved ekvator kan sees på som en umulig hendelse.

Et av hovedproblemene i sannsynlighetsteori er problemet med å bestemme et kvantitativt mål på muligheten for at en hendelse skal inntreffe.

Algebra av hendelser

Hendelser kalles uforenlige hvis de ikke kan observeres sammen i samme opplevelse. Dermed er tilstedeværelsen av to og tre biler i en butikk for salg på samme tid to uforenlige hendelser.

sum hendelser er en hendelse som består i forekomsten av minst én av disse hendelsene

Et eksempel på en sum av hendelser er tilstedeværelsen av minst ett av to produkter i en butikk.

arbeid hendelser kalles en hendelse som består i samtidig forekomst av alle disse hendelsene

En begivenhet som består i at to varer dukker opp samtidig i butikken er et produkt av hendelser: - utseendet til ett produkt, - utseendet til et annet produkt.

Hendelser utgjør en komplett gruppe av hendelser hvis minst én av dem nødvendigvis inntreffer i opplevelsen.

Eksempel. Havnen har to båtplasser for skip. Tre hendelser kan vurderes: - fravær av fartøy ved kai, - tilstedeværelse av ett fartøy ved en av kai, - tilstedeværelse av to fartøy ved to kaier. Disse tre arrangementene utgjør en komplett gruppe av arrangementer.

Motsatte to unike mulige hendelser som utgjør en komplett gruppe kalles.

Hvis en av hendelsene som er motsatt er angitt med , så er den motsatte hendelsen vanligvis angitt med .

Klassiske og statistiske definisjoner av sannsynligheten for en hendelse

Hvert av de like mulige testresultatene (eksperimentene) kalles et elementært utfall. De er vanligvis merket med bokstaver. For eksempel kastes en terning. Det kan være seks elementære utfall i henhold til antall poeng på sidene.

Fra elementære utfall kan du komponere en mer kompleks hendelse. Så hendelsen med et partall poeng bestemmes av tre utfall: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål på muligheten for å inntreffe den aktuelle hendelsen er sannsynligheten.

To definisjoner av sannsynligheten for en hendelse er mest brukt: klassisk og statistisk.

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er knyttet til forestillingen om et gunstig utfall.

Exodus kalles gunstig denne hendelsen, hvis forekomsten medfører forekomsten av denne hendelsen.

I det gitte eksemplet er hendelsen som vurderes et partall poeng på den tapte kanten, har tre gunstige utfall. I dette tilfellet er det generelle
antall mulige utfall. Så her kan du bruke den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse.

Klassisk definisjon er lik forholdet mellom antall gunstige utfall og det totale antallet mulige utfall

hvor er sannsynligheten for hendelsen , er antall gunstige utfall for hendelsen, er det totale antallet mulige utfall.

I det betraktede eksemplet

Den statistiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse i eksperimenter.

Den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse beregnes ved hjelp av formelen

hvor er antallet forekomster av en hendelse i en serie eksperimenter (tester).

Statistisk definisjon. Sannsynligheten for en hendelse er tallet i forhold til som den relative frekvensen er stabilisert (etablert) med en ubegrenset økning i antall eksperimenter.

I praktiske problemer tas den relative frekvensen for et tilstrekkelig stort antall forsøk som sannsynligheten for en hendelse.

Fra disse definisjonene av sannsynligheten for en hendelse kan man se at ulikheten alltid holder

For å bestemme sannsynligheten for en hendelse basert på formel (1.1), brukes ofte kombinatoriske formler for å finne antall gunstige utfall og totalt antall mulige utfall.

Sannsynlighet - graden (relativt mål, kvantitativ vurdering) av muligheten for forekomsten av en hendelse. Når årsakene til at en mulig hendelse faktisk oppstår oppveier de motsatte årsakene, kalles denne hendelsen sannsynlig, ellers - usannsynlig eller usannsynlig. Overvekten av positive grunner fremfor negative, og omvendt, kan være i varierende grad, som et resultat av at sannsynligheten (og usannsynligheten) er større eller mindre. Derfor estimeres sannsynligheten ofte på et kvalitativt nivå, spesielt i tilfeller hvor en mer eller mindre nøyaktig kvantitativ vurdering er umulig eller ekstremt vanskelig. Ulike gradasjoner av "sannsynlighetsnivåer" er mulige.
Studiet av sannsynlighet fra et matematisk synspunkt er en spesiell disiplin - sannsynlighetsteorien. I sannsynlighetsteori og matematisk statistikk er begrepet sannsynlighet formalisert som en numerisk karakteristikk av en hendelse - et sannsynlighetsmål (eller dens verdi) - et mål på et sett av hendelser (undersett av et sett med elementære hendelser), med verdier fra
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Betydning
(\displaystyle 1)
Tilsvarer en gyldig hendelse. En umulig hendelse har en sannsynlighet på 0 (det motsatte er vanligvis ikke alltid sant). Hvis sannsynligheten for at en hendelse inntreffer er
(\displaystyle p)
Da er sannsynligheten for ikke-forekomst lik
(\displaystyle 1-p)
Spesielt sannsynligheten
(\displaystyle 1/2)
Betyr lik sannsynlighet for at hendelsen inntreffer og ikke inntreffer.
Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er basert på begrepet likesannsynlighet for utfall. Sannsynligheten er forholdet mellom antall utfall som favoriserer en gitt hendelse og det totale antallet like sannsynlige utfall. For eksempel er sannsynligheten for å få hoder eller haler på et tilfeldig myntkast 1/2 hvis bare disse to mulighetene antas å forekomme og de er like sannsynlige. Denne klassiske "definisjonen" av sannsynlighet kan generaliseres til tilfellet med et uendelig antall mulige verdier - for eksempel hvis en hendelse kan oppstå med lik sannsynlighet på et hvilket som helst punkt (antall poeng er uendelig) av et begrenset område av plass (plan), da er sannsynligheten for at det vil forekomme i en del av dette tillatte området lik forholdet mellom volumet (arealet) av denne delen og volumet (arealet) av arealet til alle mulige punkter .
Den empiriske "definisjonen" av sannsynlighet er knyttet til frekvensen av forekomsten av en hendelse, basert på det faktum at med et tilstrekkelig stort antall forsøk, bør frekvensen tendere til den objektive grad av mulighet for denne hendelsen. I den moderne presentasjonen av sannsynlighetsteorien er sannsynlighet definert aksiomatisk, som et spesialtilfelle av den abstrakte teorien om et setts mål. Likevel er koblingen mellom det abstrakte målet og sannsynligheten, som uttrykker graden av mulighet for en hendelse, nettopp frekvensen av dens observasjon.
Den sannsynlige beskrivelsen av visse fenomener har blitt utbredt i moderne vitenskap, spesielt innen økonometri, statistisk fysikk av makroskopiske (termodynamiske) systemer, der selv i tilfelle av en klassisk deterministisk beskrivelse av partiklers bevegelse, en deterministisk beskrivelse av hele systemet av partikler er ikke praktisk mulig og hensiktsmessig. I kvantefysikk er de beskrevne prosessene i seg selv av sannsynlighet.

Det er lite sannsynlig at mange tenker på om det er mulig å beregne hendelser som er mer eller mindre tilfeldige. Enkelt sagt, er det realistisk å vite hvilken side av terningen som faller neste gang. Det var dette spørsmålet som to store vitenskapsmenn stilte, som la grunnlaget for en slik vitenskap som sannsynlighetsteorien, der sannsynligheten for en hendelse studeres ganske omfattende.

Opprinnelse

Hvis du prøver å definere et slikt begrep som sannsynlighetsteori, får du følgende: dette er en av matematikkens grener som studerer konstansen til tilfeldige hendelser. Selvfølgelig avslører dette konseptet egentlig ikke hele essensen, så det er nødvendig å vurdere det mer detaljert.

Jeg vil gjerne starte med skaperne av teorien. Som nevnt ovenfor var det to av dem, og det var de som var blant de første som forsøkte å beregne utfallet av en hendelse ved hjelp av formler og matematiske beregninger. I det hele tatt dukket begynnelsen av denne vitenskapen opp i middelalderen. På den tiden prøvde forskjellige tenkere og forskere å analysere gambling, for eksempel rulett, terninger og så videre, for derved å etablere et mønster og prosentandel av et bestemt tall som faller ut. Grunnlaget ble lagt i det syttende århundre av de nevnte vitenskapsmennene.

Til å begynne med kunne deres arbeid ikke tilskrives de store prestasjonene på dette feltet, fordi alt de gjorde var ganske enkelt empiriske fakta, og eksperimentene ble gjort visuelt, uten bruk av formler. Over tid viste det seg å oppnå gode resultater, som dukket opp som et resultat av å observere kasting av terninger. Det var dette verktøyet som hjalp til med å utlede de første forståelige formlene.

Likesinnede mennesker

Det er umulig å ikke nevne en slik person som Christian Huygens, i ferd med å studere et emne kalt "sannsynlighetsteori" (sannsynligheten for en hendelse dekkes nettopp i denne vitenskapen). Denne personen er veldig interessant. Han, som forskerne presentert ovenfor, prøvde å utlede regelmessigheten til tilfeldige hendelser i form av matematiske formler. Det er bemerkelsesverdig at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil si at alle verkene hans ikke på noen måte krysset disse sinnene. Huygens hentet ut

Et interessant faktum er at arbeidet hans kom ut lenge før resultatene av oppdagernes arbeid, eller rettere sagt, tjue år tidligere. Blant de utpekte konseptene er de mest kjente:

begrepet sannsynlighet som en tilfeldighetsstørrelse;
matematisk forventning for diskrete tilfeller;
teoremer om multiplikasjon og addisjon av sannsynligheter.

Det er også umulig å ikke huske hvem som også ga et betydelig bidrag til studiet av problemet. Ved å gjennomføre sine egne tester, uavhengig av noen, klarte han å presentere et bevis på loven om store tall. På sin side var forskerne Poisson og Laplace, som arbeidet på begynnelsen av det nittende århundre, i stand til å bevise de opprinnelige teoremene. Det var fra dette øyeblikket sannsynlighetsteori begynte å bli brukt til å analysere feil i løpet av observasjoner. Russiske forskere, eller rettere sagt Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne heller ikke omgå denne vitenskapen. Basert på arbeidet utført av de store geniene, fastsatte de dette faget som en gren av matematikken. Disse figurene fungerte allerede på slutten av det nittende århundre, og takket være deres bidrag, fenomener som:

lov om store tall;
teori om Markov-kjeder;
sentral grensesetning.

Så med historien til vitenskapens fødsel og med hovedpersonene som påvirket den, er alt mer eller mindre klart. Nå er det på tide å konkretisere alle fakta.

Enkle konsepter

Før du berører lover og teoremer, er det verdt å studere de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori. Arrangementet tar hovedrollen i det. Dette emnet er ganske omfangsrikt, men uten det vil det ikke være mulig å forstå alt annet.

En hendelse i sannsynlighetsteori er ethvert sett med utfall av et eksperiment. Det er ikke så mange konsepter av dette fenomenet. Så, forskeren Lotman, som jobber i dette området, sa at i dette tilfellet snakker vi om hva som "hendte, selv om det kanskje ikke har skjedd."

Tilfeldige hendelser (sannsynlighetsteori legger spesiell vekt på dem) er et konsept som innebærer absolutt ethvert fenomen som har evnen til å oppstå. Eller omvendt, dette scenariet kan ikke skje når mange betingelser er oppfylt. Det er også verdt å vite at det er tilfeldige hendelser som fanger opp hele volumet av fenomener som har skjedd. Sannsynlighetsteori indikerer at alle forhold kan gjentas konstant. Det var deres oppførsel som ble kalt «eksperiment» eller «prøve».

En bestemt hendelse er en som vil 100 % oppstå i en gitt test. Følgelig er en umulig hendelse en som ikke vil skje.

Kombinasjonen av et par handlinger (betinget tilfelle A og tilfelle B) er et fenomen som oppstår samtidig. De er utpekt som AB.

Summen av par av hendelser A og B er C, med andre ord, hvis minst en av dem skjer (A eller B), vil C oppnås. Formelen for det beskrevne fenomenet er skrevet som følger: C \u003d A + B.

Usammenhengende hendelser i sannsynlighetsteori innebærer at de to tilfellene er gjensidig utelukkende. De kan aldri skje samtidig. Felles hendelser i sannsynlighetsteori er deres antipode. Dette innebærer at hvis A skjedde, så forhindrer det ikke B på noen måte.

Motsatte hendelser (sannsynlighetsteori behandler dem i detalj) er enkle å forstå. Det er best å forholde seg til dem i sammenligning. De er nesten de samme som uforenlige hendelser i sannsynlighetsteori. Men forskjellen deres ligger i det faktum at ett av de mange fenomenene uansett må inntreffe.

Like sannsynlige hendelser er de handlingene, hvor muligheten for gjentakelse er lik. For å gjøre det klarere, kan vi forestille oss kasting av en mynt: tap av en av sidene er like sannsynlig å falle ut av den andre.

En gunstig hendelse er lettere å se med et eksempel. La oss si at det er episode B og episode A. Den første er terningkastet med utseendet til et oddetall, og den andre er utseendet til tallet fem på terningen. Så viser det seg at A favoriserer B.

Uavhengige hendelser i sannsynlighetsteorien projiseres bare på to eller flere tilfeller og innebærer uavhengigheten av enhver handling fra en annen. For eksempel, A - å slippe haler når du kaster en mynt, og B - å få en knekt fra kortstokken. De er uavhengige hendelser i sannsynlighetsteori. På dette tidspunktet ble det klarere.

Avhengige hendelser i sannsynlighetsteori er også tillatt bare for deres sett. De innebærer avhengigheten av den ene av den andre, det vil si at fenomenet B kan oppstå bare hvis A allerede har skjedd eller tvert imot ikke har skjedd når dette er hovedbetingelsen for B.

Utfallet av et tilfeldig eksperiment bestående av én komponent er elementære hendelser. Sannsynlighetsteori forklarer at dette er et fenomen som bare skjedde én gang.

Grunnleggende formler

Så begrepene "hendelse", "sannsynlighetsteori" ble vurdert ovenfor, definisjonen av hovedvilkårene for denne vitenskapen ble også gitt. Nå er det på tide å bli direkte kjent med de viktige formlene. Disse uttrykkene bekrefter matematisk alle hovedbegrepene i et så vanskelig fag som sannsynlighetsteori. Sannsynligheten for en hendelse spiller en stor rolle også her.

Det er bedre å begynne med de viktigste. Og før du fortsetter til dem, er det verdt å vurdere hva det er.

Kombinatorikk er først og fremst en gren av matematikk, den omhandler studiet av et stort antall heltall, så vel som forskjellige permutasjoner av både tallene selv og deres elementer, forskjellige data, etc., som fører til utseendet til en rekke kombinasjoner. I tillegg til sannsynlighetsteori er denne grenen viktig for statistikk, informatikk og kryptografi.

Så nå kan du gå videre til presentasjonen av selve formlene og deres definisjon.

Den første av disse vil være et uttrykk for antall permutasjoner, det ser slik ut:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)...3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ligningen gjelder bare hvis elementene bare er forskjellige i rekkefølgen.

Nå skal plasseringsformelen vurderes, den ser slik ut:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Dette uttrykket gjelder ikke bare for elementets rekkefølge, men også for dets sammensetning.

Den tredje ligningen fra kombinatorikk, og den er også den siste, kalles formelen for antall kombinasjoner:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

En kombinasjon kalles henholdsvis et utvalg som ikke er bestilt, og denne regelen gjelder for dem.

Det viste seg å være lett å finne ut av formlene for kombinatorikk, nå kan vi gå videre til den klassiske definisjonen av sannsynligheter. Dette uttrykket ser slik ut:

I denne formelen er m antall forhold som er gunstige for hendelsen A, og n er antallet absolutt alle like mulige og elementære utfall.

Det er et stort antall uttrykk, artikkelen vil ikke dekke alle, men de viktigste av dem vil bli berørt, som for eksempel sannsynligheten for summen av hendelser:

P(A + B) = P(A) + P(B) - denne teoremet er kun for å legge til inkompatible hendelser;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun for å legge til kompatible.

Sannsynlighet for å produsere hendelser:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - denne teoremet er for uavhengige hendelser;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er for pårørende.

Hendelsesformelen avslutter listen. Sannsynlighetsteori forteller oss om Bayes' teorem, som ser slik ut:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

I denne formelen er H 1 , H 2 , …, H n hele gruppen av hypoteser.

Eksempler

Hvis du nøye studerer en hvilken som helst gren av matematikk, er den ikke komplett uten øvelser og eksempelløsninger. Det samme er sannsynlighetsteorien: hendelser, eksempler her er en integrert komponent som bekrefter vitenskapelige beregninger.

Formel for antall permutasjoner

La oss si at det er tretti kort i en kortstokk, og starter med pålydende ett. Neste spørsmål. Hvor mange måter er det å stable kortstokken slik at kort med en pålydende verdi på én og to ikke ligger ved siden av hverandre?

Oppgaven er satt, la oss nå gå videre til å løse den. Først må du bestemme antall permutasjoner av tretti elementer, for dette tar vi formelen ovenfor, det viser seg P_30 = 30!.

Basert på denne regelen vil vi finne ut hvor mange alternativer det er for å brette kortstokken på forskjellige måter, men vi må trekke fra dem de der det første og andre kortet er neste. For å gjøre dette, la oss starte med alternativet når den første er over den andre. Det viser seg at det første kortet kan ta tjueni plasser - fra det første til det tjueniende, og det andre kortet fra det andre til det trettiende, viser det seg bare tjueni plasser for et kortpar. På sin side kan resten ta tjueåtte plasser, og i hvilken som helst rekkefølge. Det vil si at for en permutasjon på tjueåtte kort, er det tjueåtte alternativer P_28 = 28!

Som et resultat viser det seg at hvis vi vurderer løsningen når det første kortet er over det andre, er det 29 ⋅ 28 ekstra muligheter! = 29!

Ved å bruke samme metode må du beregne antall overflødige alternativer for saken når det første kortet er under det andre. Det blir også 29 ⋅ 28! = 29!

Av dette følger det at det er 2 ⋅ 29! ekstra alternativer, mens det er 30 nødvendige måter å bygge kortstokken på! - 2 ⋅ 29!. Det gjenstår bare å telle.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nå må du gange alle tallene fra én til tjueni med hverandre, og deretter multiplisere alt med 28 på slutten. Svaret er 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Eksempel løsning. Formel for plasseringsnummer

I denne oppgaven må du finne ut hvor mange måter det er å legge femten bind på en hylle, men under forutsetning av at det er tretti bind totalt.

I dette problemet er løsningen litt enklere enn i den forrige. Ved å bruke den allerede kjente formelen er det nødvendig å beregne det totale antallet arrangementer fra tretti bind på femten.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 003

Svaret vil henholdsvis være lik 202.843.204.931.727.360.000.

La oss nå ta oppgaven litt vanskeligere. Du må finne ut hvor mange måter det er å arrangere tretti bøker på to bokhyller, forutsatt at bare femten bind kan være på én hylle.

Før jeg starter løsningen, vil jeg presisere at noen problemer løses på flere måter, så det er to måter i denne, men samme formel brukes i begge.

I denne oppgaven kan du ta svaret fra den forrige, for der regnet vi ut hvor mange ganger du kan fylle en hylle med femten bøker på forskjellige måter. Det viste seg at A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vi beregner den andre hyllen i henhold til permutasjonsformelen, fordi femten bøker er plassert i den, mens bare femten gjenstår. Vi bruker formelen P_15 = 15!.

Det viser seg at det totalt vil være A_30^15 ⋅ P_15 måter, men i tillegg må produktet av alle tall fra tretti til seksten multipliseres med produktet av tall fra én til femten, som et resultat, produktet av alle tall fra én til tretti vil bli oppnådd, det vil si at svaret er lik 30!

Men dette problemet kan løses på en annen måte – enklere. For å gjøre dette kan du tenke deg at det er én hylle for tretti bøker. Alle er plassert på dette flyet, men siden tilstanden krever at det er to hyller, kutter vi en lang i to, det blir to femten hver. Av dette viser det seg at plasseringsalternativene kan være P_30 = 30!.

Eksempel løsning. Formel for kombinasjonsnummer

Nå skal vi vurdere en variant av det tredje problemet fra kombinatorikk. Du må finne ut hvor mange måter det er å ordne femten bøker på, forutsatt at du må velge mellom tretti helt identiske.

For løsningen vil selvfølgelig formelen for antall kombinasjoner bli brukt. Av betingelsen blir det klart at rekkefølgen på de identiske femten bøkene ikke er viktig. Derfor må du først finne ut det totale antallet kombinasjoner av tretti bøker på femten.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : femten! = 155 117 520

Det er alt. Ved å bruke denne formelen var det mulig å løse et slikt problem på kortest mulig tid, svaret er henholdsvis 155 117 520.

Eksempel løsning. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet

Ved å bruke formelen ovenfor kan du finne svaret i en enkel oppgave. Men det vil hjelpe å visuelt se og spore handlingsforløpet.

Problemet er gitt at det er ti helt like kuler i urnen. Av disse er fire gule og seks er blå. En ball tas fra urnen. Du må finne ut sannsynligheten for å bli blå.

For å løse problemet er det nødvendig å angi å få den blå ballen som hendelse A. Denne opplevelsen kan ha ti utfall, som igjen er elementære og like sannsynlige. Samtidig er seks av ti gunstige for arrangement A. Vi løser ved hjelp av formelen:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Ved å bruke denne formelen fant vi ut at sannsynligheten for å få en blå ball er 0,6.

Eksempel løsning. Sannsynlighet for summen av hendelser

Nå vil en variant presenteres, som løses ved hjelp av formelen for sannsynligheten for summen av hendelser. Så, i den tilstanden gitt at det er to bokser, inneholder den første en grå og fem hvite kuler, og den andre inneholder åtte grå og fire hvite kuler. Som et resultat ble en av dem tatt fra den første og andre boksen. Det er nødvendig å finne ut hva som er sjansen for at kulene som tas ut blir grå og hvite.

For å løse dette problemet er det nødvendig å utpeke hendelser.

Så, A - ta en grå ball fra den første boksen: P(A) = 1/6.
A '- de tok en hvit ball også fra den første boksen: P (A ") \u003d 5/6.
B - en grå ball ble tatt ut allerede fra den andre boksen: P(B) = 2/3.
B' - de tok en grå ball fra den andre boksen: P(B") = 1/3.

I henhold til tilstanden til problemet er det nødvendig at ett av fenomenene oppstår: AB 'eller A'B. Ved å bruke formelen får vi: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nå er formelen for å multiplisere sannsynligheten brukt. Deretter, for å finne ut svaret, må du bruke ligningen for addisjonen deres:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Så ved å bruke formelen kan du løse lignende problemer.

Utfall

Artikkelen ga informasjon om emnet "Sannsynlighetsteori", der sannsynligheten for en hendelse spiller en avgjørende rolle. Selvfølgelig ble ikke alt tatt i betraktning, men basert på den presenterte teksten kan man teoretisk sett bli kjent med denne delen av matematikken. Den aktuelle vitenskapen kan være nyttig ikke bare i profesjonelt arbeid, men også i hverdagen. Med dens hjelp kan du beregne enhver mulighet for enhver hendelse.

Teksten berørte også viktige datoer i historien om dannelsen av sannsynlighetsteorien som en vitenskap, og navnene på folk hvis arbeid ble investert i den. Dette er hvordan menneskelig nysgjerrighet førte til at folk lærte å beregne selv tilfeldige hendelser. En gang var de bare interessert i det, men i dag vet alle om det allerede. Og ingen vil si hva som venter oss i fremtiden, hvilke andre strålende funn knyttet til teorien som er under vurdering som vil bli gjort. Men én ting er sikkert – forskning står ikke stille!

I bloggen hans, en oversettelse av neste forelesning av kurset "Principles of Game Balance" av spilldesigner Jan Schreiber, som jobbet med prosjekter som Marvel Trading Card Game og Playboy: the Mansion.

Fram til i dag har nesten alt vi har snakket om vært deterministisk, og forrige uke tok vi en nærmere titt på transitiv mekanikk, og delte det ned så detaljert som jeg kan forklare. Men til nå har vi ikke tatt hensyn til andre aspekter ved mange spill, nemlig ikke-deterministiske øyeblikk – med andre ord tilfeldighet.

Å forstå tilfeldighetens natur er veldig viktig for spilldesignere. Vi lager systemer som påvirker brukeropplevelsen i et gitt spill, så vi må vite hvordan disse systemene fungerer. Hvis det er tilfeldighet i systemet, må vi forstå arten av denne tilfeldigheten og vite hvordan vi kan endre den for å få de resultatene vi trenger.

Terning

La oss starte med noe enkelt – terningkast. Når de fleste tenker på terninger, tenker de på en sekssidig terning kjent som en d6. Men de fleste spillere har sett mange andre terninger: firesidig (d4), åttesidig (d8), tolvsidig (d12), tjuesidig (d20). Hvis du er en ekte nerd, har du kanskje 30- eller 100-korns terninger et sted.

Hvis du ikke er kjent med denne terminologien, står d for en terning, og tallet etter den er tallet på ansiktene. Hvis tallet kommer før d, så indikerer det antall terninger når du kaster. For eksempel, i Monopol, kaster du 2d6.

Så i dette tilfellet er uttrykket "terninger" en konvensjonell betegnelse. Det er et stort antall andre tilfeldige tallgeneratorer som ikke ser ut som plastfigurer, men utfører samme funksjon - de genererer et tilfeldig tall fra 1 til n. En vanlig mynt kan også representeres som en dihedral d2 terning.

Jeg så to design av en syvsidig terning: en av dem så ut som en terning, og den andre så mer ut som en syvsidig treblyant. En tetraedrisk dreidel, også kjent som en titotum, er en analog av et tetraedrisk bein. Spillebrettet med en spinnende pil i Chutes & Ladders, hvor resultatet kan være fra 1 til 6, tilsvarer en sekssidig terning.

En tilfeldig tallgenerator i en datamaskin kan generere et hvilket som helst tall fra 1 til 19 hvis designeren gir en slik kommando, selv om datamaskinen ikke har en 19-sidig terning (generelt vil jeg snakke mer om sannsynligheten for å få tall på en datamaskin neste uke). Alle disse elementene ser forskjellige ut, men faktisk er de likeverdige: du har lik sjanse for hvert av flere mulige utfall.

Terninger har noen interessante egenskaper som vi trenger å vite om. For det første er sannsynligheten for å få noen av ansiktene den samme (jeg antar at du kaster en vanlig geometrisk terning). Hvis du vil vite gjennomsnittsverdien av et kast (kjent som den matematiske forventningen for de som er glad i sannsynlighetsteori), summerer du verdiene på alle kantene og deler dette tallet på antall kanter.

Summen av verdiene til alle flater for en standard sekssidig terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Del 21 med antall flater og få gjennomsnittsverdien av kastet: 21 / 6 = 3,5. Dette er et spesielt tilfelle fordi vi antar at alle utfall er like sannsynlige.

Hva om du har spesielle terninger? For eksempel så jeg et spill med en sekssidig terning med spesielle klistremerker på ansiktene: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det oppfører seg som en merkelig tresidig terning, som er mer sannsynlig å rulle nummer 1 enn 2, og det er mer sannsynlig å kaste en 2 enn en 3. Hva er den gjennomsnittlige kastverdien for denne terningen? Så, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, del på 6 - du får 5/3, eller omtrent 1,66. Så hvis du har en spesiell terning og spillere kaster tre terninger og legger sammen resultatene, vet du at totalen deres vil være omtrent 5, og du kan balansere spillet basert på den antakelsen.

Terning og uavhengighet

Som jeg allerede har sagt, går vi ut fra antagelsen om at frafallet av hvert ansikt er like sannsynlig. Det spiller ingen rolle hvor mange terninger du kaster her. Hvert kast med terningen er uavhengig, noe som betyr at tidligere kast ikke påvirker resultatene av påfølgende kast. Med nok forsøk, vil du garantert legge merke til en rekke tall – for eksempel rullende for det meste høyere eller lavere verdier – eller andre funksjoner, men det betyr ikke at terningene er "varme" eller "kalde". Vi snakker om dette senere.

Hvis du kaster en standard sekssidig terning og tallet 6 kommer opp to ganger på rad, er sannsynligheten for at resultatet av neste kast blir en 6 også 1/6. Sannsynligheten øker ikke fordi terningen "varmet opp ". Samtidig reduseres ikke sannsynligheten: det er feil å hevde at tallet 6 allerede har falt ut to ganger på rad, noe som betyr at nå må et annet ansikt falle ut.

Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tjue ganger og tallet 6 kommer opp hver gang, er sjansen for at en 6 kommer opp den tjueførste gangen ganske høy: du kan bare ha feil terning. Men hvis terningen er riktig, er sannsynligheten for å få hver av flatene den samme, uavhengig av resultatene av andre kast. Du kan også forestille deg at vi bytter terning hver gang: hvis tallet 6 kastet to ganger på rad, fjern den "varme" terningen fra spillet og erstatt den med en ny. Jeg beklager hvis noen av dere allerede visste om dette, men jeg trengte å avklare dette før jeg gikk videre.

Hvordan få terningkast mer eller mindre tilfeldig

La oss snakke om hvordan du får forskjellige resultater på forskjellige terninger. Hvis du kaster terningen bare én eller flere ganger, vil spillet føles mer tilfeldig når terningen har flere kanter. Jo oftere du kaster terningen og jo flere terninger du kaster, jo mer nærmer resultatene seg gjennomsnittet.

For eksempel, i tilfelle 1d6 + 4 (det vil si hvis du kaster en standard sekssidig terning én gang og legger til 4 til resultatet), vil gjennomsnittet være et tall mellom 5 og 10. Hvis du kaster 5d2, vil gjennomsnittet være et tall mellom 5 og 10. vil også være et tall mellom 5 og 10. Resultatet av å rulle 5d2 vil stort sett være tallene 7 og 8, sjeldnere andre verdier. Samme serie, til og med samme gjennomsnittsverdi (7,5 i begge tilfeller), men tilfeldighetens natur er forskjellig.

Vent litt. Sa jeg ikke akkurat at terninger ikke «varmes opp» eller «kjøles ned»? Og nå sier jeg: hvis du kaster mange terninger, er resultatene av kastene nærmere gjennomsnittsverdien. Hvorfor?

La meg forklare. Hvis du kaster en enkelt terning, er sannsynligheten for at hvert av ansiktene kommer opp den samme. Dette betyr at hvis du kaster mange terninger over tid, vil hvert ansikt komme opp omtrent like mange ganger. Jo flere terninger du kaster, jo mer vil totalresultatet nærme seg gjennomsnittet.

Dette er ikke fordi det rullede tallet "får" et annet tall til å rulle som ennå ikke har blitt rullet. Fordi en liten rekke med å kaste tallet 6 (eller 20, eller hva som helst) vil ikke gjøre stor forskjell til slutt hvis du kaster terningen ti tusen ganger til og det er stort sett gjennomsnittet. Nå vil du ha noen få store tall, og senere noen små - og over tid vil de nærme seg gjennomsnittsverdien.

Dette er ikke fordi tidligere kast påvirker terningene (seriøst, terningene er laget av plast, den har ikke hjernen til å tenke "Åh, det er lenge siden en 2 kom opp"), men fordi det vanligvis skjer med mange kast, spiller terninger.

Så det er ganske enkelt å beregne for ett tilfeldig kast med en terning - i det minste beregne gjennomsnittsverdien av kastet. Det er også måter å beregne "hvor tilfeldig" noe er og si at resultatene av et 1d6 + 4 kast vil være "mer tilfeldig" enn 5d2. For 5d2 vil rullede resultater fordeles jevnere. For å gjøre dette må du beregne standardavviket: jo større verdi, jo mer tilfeldig blir resultatene. Jeg vil ikke gi så mange beregninger i dag, jeg vil forklare dette emnet senere.

Det eneste jeg skal be deg huske på er at, som en generell regel, jo færre terninger du kaster, jo mer tilfeldig. Og jo flere sider terningen har, jo mer tilfeldighet, siden det er flere mulige alternativer for verdien.

Hvordan beregne sannsynlighet ved å bruke telling

Du lurer kanskje på: hvordan kan vi beregne den nøyaktige sannsynligheten for at et bestemt resultat kommer? Faktisk er dette ganske viktig for mange spill: hvis du kaster terningen i utgangspunktet, er det sannsynligvis et optimalt resultat. Svaret er: vi må beregne to verdier. For det første det totale antallet utfall når du kaster en terning, og for det andre antallet gunstige utfall. Ved å dele den andre verdien på den første får du ønsket sannsynlighet. For å få en prosent, multipliser resultatet med 100.

Eksempler

Her er et veldig enkelt eksempel. Du vil kaste en 4 eller høyere og kaste en sekssidig terning én gang. Maksimalt antall utfall er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Av disse er 3 utfall (4, 5, 6) gunstige. Så for å beregne sannsynligheten deler vi 3 på 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et eksempel som er litt mer komplisert. Du vil at kast med 2d6 skal komme opp med et partall. Maksimalt antall utfall er 36 (6 alternativer for hver terning, en terning påvirker ikke den andre, så vi ganger 6 med 6 og får 36). Vanskeligheten med denne typen spørsmål er at det er lett å telle to ganger. For eksempel, på et kast med 2d6, er det to mulige utfall av en 3: 1+2 og 2+1. De ser like ut, men forskjellen er hvilket tall som vises på den første terningen og hvilken som er på den andre.

Du kan også forestille deg at terningene er av forskjellige farger: så for eksempel i dette tilfellet er en terning rød, den andre er blå. Tell deretter antall mulige forekomster av et partall:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Det viser seg at det er 18 alternativer for et gunstig utfall av 36 - som i forrige tilfelle er sannsynligheten 0,5 eller 50%. Kanskje uventet, men ganske nøyaktig.

Monte Carlo simulering

Hva om du har for mange terninger for denne utregningen? For eksempel vil du vite hva som er sannsynligheten for at totalt 15 eller mer kommer opp på et kast med 8d6. Det er et stort antall forskjellige utfall for åtte terninger, og manuelt telle dem ville ta veldig lang tid - selv om vi kunne finne en god løsning for å gruppere de forskjellige seriene med terningkast.

I dette tilfellet er den enkleste måten ikke å telle manuelt, men å bruke en datamaskin. Det er to måter å beregne sannsynlighet på en datamaskin. Den første måten kan få det nøyaktige svaret, men det innebærer litt programmering eller skripting. Datamaskinen vil se på hver mulighet, vurdere og telle totalt antall iterasjoner og antall iterasjoner som samsvarer med ønsket resultat, og deretter gi svarene. Koden din kan se omtrent slik ut:

Hvis du ikke er programmerer og vil ha et omtrentlig svar i stedet for et eksakt, kan du simulere denne situasjonen i Excel, hvor du ruller 8d6 noen tusen ganger og får svaret. Bruk formelen for å rulle 1d6 i Excel =GULV(RAND()*6)+1.

Det er et navn på situasjonen når du ikke vet svaret og bare prøver mange ganger - Monte Carlo-simulering. Dette er en flott løsning å falle tilbake på når det er for vanskelig å beregne sannsynligheten. Det fine er at i dette tilfellet trenger vi ikke å forstå hvordan regnestykket fungerer, og vi vet at svaret vil være "ganske bra" fordi, som vi allerede vet, jo flere kast, jo mer nærmer resultatet seg gjennomsnittlig verdi.

Hvordan kombinere uavhengige forsøk

Hvis du spør om flere gjentatte, men uavhengige forsøk, så påvirker ikke utfallet av ett kast utfallet av andre kast. Det er en annen enklere forklaring på denne situasjonen.

Hvordan skille mellom noe avhengig og uavhengig? I prinsippet, hvis du kan isolere hvert kast (eller serie med kast) av en terning som en separat hendelse, så er den uavhengig. For eksempel kaster vi 8d6 og ønsker å kaste totalt 15. Denne hendelsen kan ikke deles opp i flere uavhengige terningkast. For å få resultatet regner du ut summen av alle verdiene, så resultatet kastet på en terning påvirker resultatene som skal rulle på andre.

Her er et eksempel på uavhengige kast: du spiller et terningspill og du kaster sekssidige terninger noen ganger. Det første kastet må kaste en 2 eller høyere for at du skal holde deg i spillet. For andre kast - 3 eller høyere. Tredje krever 4 eller mer, fjerde krever 5 eller mer, og femte krever 6. Hvis alle fem kast er vellykkede, vinner du. I dette tilfellet er alle kast uavhengige. Ja, hvis ett kast mislykkes, vil det påvirke utfallet av hele spillet, men ett kast påvirker ikke det andre. For eksempel, hvis ditt andre terningkast er veldig bra, betyr det ikke at de neste terningkastene blir like gode. Derfor kan vi vurdere sannsynligheten for hvert terningkast separat.

Hvis du har uavhengige sannsynligheter og vil vite hva som er sannsynligheten for at alle hendelser skal inntreffe, bestemmer du hver enkelt sannsynlighet og multipliserer dem. En annen måte: hvis du bruker konjunksjonen "og" for å beskrive flere forhold (for eksempel, hva er sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse og en annen uavhengig tilfeldig hendelse inntreffer?) - beregn de individuelle sannsynlighetene og multipliser dem.

Det spiller ingen rolle hva du tror – summer aldri de uavhengige sannsynlighetene. Dette er en vanlig feil. For å forstå hvorfor dette er feil, se for deg en situasjon der du kaster en mynt og du vil vite hva som er sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad. Sannsynligheten for å falle ut av hver side er 50 %. Hvis du summerer disse to sannsynlighetene, får du 100 % sjanse for å få hoder, men vi vet at det ikke er sant, fordi to påfølgende haler kan komme opp. Hvis du i stedet multipliserer de to sannsynlighetene, får du 50 % * 50 % = 25 % – som er det riktige svaret for å regne ut sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad.

Eksempel

La oss gå tilbake til spillet med sekssidige terninger, hvor du først må kaste et tall som er større enn 2, deretter mer enn 3 – og så videre opp til 6. Hva er sjansene for at i en gitt serie med fem kast, alle vil resultatene være gunstige?

Som nevnt ovenfor er dette uavhengige forsøk, så vi beregner sannsynligheten for hvert enkelt kast, og ganger dem deretter. Sannsynligheten for at utfallet av det første kastet blir gunstig er 5/6. Den andre - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde - 2/6, den femte - 1/6. Vi multipliserer alle resultatene med hverandre og får omtrent 1,5 %. Gevinster i dette spillet er ganske sjeldne, så hvis du legger til dette elementet i spillet ditt, trenger du en ganske stor jackpot.

Negasjon

Her er et annet nyttig hint: noen ganger er det vanskelig å beregne sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe, men det er lettere å fastslå sjansene for at en hendelse ikke vil inntreffe. Anta for eksempel at vi har et annet spill: du kaster 6d6 og vinner hvis du kaster en 6. Hva er sannsynligheten for å vinne?

I dette tilfellet er det mange alternativer å vurdere. Det er mulig at ett tall 6 faller ut, det vil si at tallet 6 faller på en av terningene, og tallene fra 1 til 5 faller på de andre, da er det 6 alternativer for hvilken av terningene som vil ha en 6. Du kan få tallet 6 på to terningbein, eller tre, eller enda flere, og hver gang må du gjøre en egen beregning, så det er lett å bli forvirret her.

Men la oss se på problemet fra den andre siden. Du taper hvis ingen av terningene kaster 6. I dette tilfellet har vi 6 uavhengige forsøk. Sannsynligheten for at hver av terningene kaster et annet tall enn 6 er 5/6. Multipliser dem - og få omtrent 33%. Dermed er sannsynligheten for å tape én av tre. Derfor er sannsynligheten for å vinne 67 % (eller to til tre).

Fra dette eksemplet er det åpenbart at hvis du beregner sannsynligheten for at en hendelse ikke vil inntreffe, må du trekke resultatet fra 100%. Hvis sannsynligheten for å vinne er 67 %, er sannsynligheten for å tape 100 % minus 67 %, eller 33 %, og omvendt. Hvis det er vanskelig å beregne en sannsynlighet, men det er lett å beregne det motsatte, regner du det motsatte, og trekker deretter dette tallet fra 100%.

Koblingsbetingelser for én uavhengig test

Jeg sa litt tidligere at man aldri skal summere sannsynligheter i uavhengige forsøk. Er det noen tilfeller hvor det er mulig å summere sannsynlighetene? Ja, i en spesiell situasjon.

Hvis du vil beregne sannsynligheten for flere ikke-relaterte gunstige utfall på samme prøve, summerer du sannsynlighetene for hvert gunstige utfall. For eksempel er sannsynligheten for å rulle 4, 5 eller 6 på 1d6 lik summen av sannsynligheten for å rulle 4, sannsynligheten for å rulle 5 og sannsynligheten for å rulle 6. Denne situasjonen kan representeres som følger: hvis du bruk konjunksjonen "eller" i et spørsmål om sannsynlighet (for eksempel hva er sannsynligheten for et eller annet utfall av en tilfeldig hendelse?) - beregn de individuelle sannsynlighetene og oppsummer dem.

Vennligst merk: når du beregner alle mulige utfall av spillet, må summen av sannsynlighetene for at de skjer, være lik 100 %, ellers ble beregningen din gjort feil. Dette er en god måte å dobbeltsjekke beregningene dine på. For eksempel analyserte du sannsynligheten for å få alle kombinasjoner i poker. Hvis du legger sammen alle resultatene du får, bør du få nøyaktig 100 % (eller i det minste en verdi ganske nær 100 %: hvis du bruker en kalkulator, kan det være en liten avrundingsfeil, men hvis du legger til de nøyaktige tallene for hånd, skal alt legges sammen. ). Hvis summen ikke stemmer, har du mest sannsynlig ikke tatt hensyn til noen kombinasjoner eller beregnet sannsynlighetene for noen kombinasjoner feil, og beregningene må kontrolleres på nytt.

Ulik sannsynlighet

Til nå har vi antatt at hver side av terningen faller ut med samme frekvens, fordi det er slik terningen fungerer. Men noen ganger kan du møte en situasjon der forskjellige utfall er mulige og de har forskjellige sjanser for å falle ut.

For eksempel, i et av tilleggene til kortspillet Nuclear War, er det et spillefelt med en pil, som bestemmer resultatet av en rakettoppskyting. Oftest gir den normal skade, mer eller mindre, men noen ganger blir skaden doblet eller tredoblet, eller raketten eksploderer på utskytningsrampen og skader deg, eller det skjer en annen hendelse. I motsetning til pilbrettet i Chutes & Ladders eller A Game of Life, er ikke resultatene av brettet i Nuclear War like sannsynlige. Noen deler av spillefeltet er større og pilen stopper på dem mye oftere, mens andre deler er veldig små og pilen stopper sjelden på dem.

Så ved første øyekast ser beinet omtrent slik ut: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - vi har allerede snakket om det, det er noe som en vektet 1d3. Derfor må vi dele alle disse seksjonene i like deler, finne den minste måleenheten, divisoren, som alt er et multiplum til, og deretter representere situasjonen i formen d522 (eller en annen), der settet med terninger ansikter vil representere samme situasjon, men med flere utfall. Dette er en måte å løse problemet på, og det er teknisk mulig, men det er et enklere alternativ.

La oss gå tilbake til våre standard sekssidige terninger. Vi sa at for å beregne gjennomsnittsverdien av et kast for en normal terning, må du summere verdiene av alle ansiktene og dele dem med antall ansikter, men hvordan gjøres beregningen nøyaktig? Du kan uttrykke det annerledes. For en sekssidig terning er sannsynligheten for at hvert ansikt kommer opp nøyaktig 1/6. Nå multipliserer vi utfallet av hver fasett med sannsynligheten for det utfallet (i dette tilfellet 1/6 for hver fasett) og summerer deretter de resulterende verdiene. Så summering (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), vi får samme resultat (3,5) som i regnestykket ovenfor. Faktisk beregner vi dette hver gang: vi multipliserer hvert utfall med sannsynligheten for det utfallet.

Kan vi gjøre samme beregning for pilen på spillebrettet i Nuclear War? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi summerer alle de funnet resultatene, får vi gjennomsnittsverdien. Alt vi trenger å gjøre er å beregne sannsynligheten for hvert utfall for pilen på spillefeltet og multiplisere med verdien av utfallet.

Et annet eksempel

Den nevnte metoden for å beregne gjennomsnittet er også hensiktsmessig hvis resultatene er like sannsynlige, men har forskjellige fordeler - for eksempel hvis du kaster en terning og vinner mer på noen fjes enn andre. La oss for eksempel ta et spill som skjer i et kasino: du plasserer en innsats og kaster 2d6. Hvis tre tall med lav verdi (2, 3, 4) eller fire tall med høy verdi (9, 10, 11, 12) kommer opp, vil du vinne et beløp som tilsvarer innsatsen din. Tallene med lavest og høyeste verdi er spesielle: Hvis en 2 eller 12 kommer opp, vil du vinne dobbelt så mye som innsatsen din. Hvis et annet tall kommer opp (5, 6, 7, 8), vil du tape innsatsen din. Dette er et ganske enkelt spill. Men hva er sannsynligheten for å vinne?

La oss starte med å telle hvor mange ganger du kan vinne. Maksimalt antall utfall på et 2d6 kast er 36. Hva er antallet gunstige utfall?

Det er 1 alternativ som vil kaste 2, og 1 alternativ som vil kaste 12.
Det er 2 alternativer for en 3 og 2 alternativer for en 11.
Det er 3 alternativer for en 4 og 3 alternativer for en 10.
Det er 4 alternativer som vil kaste 9.

Oppsummerer vi alle alternativene, får vi 16 gunstige utfall av 36. Dermed vil du under normale forhold vinne 16 ganger av 36 mulige - sannsynligheten for å vinne er litt mindre enn 50%.

Men to ganger av disse seksten vil du vinne dobbelt så mye - det er som å vinne to ganger. Hvis du spiller dette spillet 36 ganger, satser $1 hver gang, og hvert av alle mulige utfall kommer opp én gang, vinner du totalt $18 (faktisk vinner du 16 ganger, men to av dem teller som to seire). Hvis du spiller 36 ganger og vinner $18, betyr ikke det at sannsynlighetene er jevne?

Ta den tiden du trenger. Hvis du teller antall ganger du kan tape, får du 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 ganger og satser $1 hver gang, vil du vinne totalt $18 når alle oddsene ruller. Men du vil tape totalt $20 på alle 20 dårlige utfall. Som et resultat vil du ligge litt bak: du taper i gjennomsnitt $2 netto for hver 36. kamp (du kan også si at du taper et gjennomsnitt på $1/18 per dag). Nå ser du hvor lett det er å gjøre en feil i dette tilfellet og beregne sannsynligheten feil.

Permutasjon

Så langt har vi antatt at rekkefølgen tallene kastes i ikke spiller noen rolle når man kaster terningen. Et kast med 2 + 4 er det samme som et kast med 4 + 2. I de fleste tilfeller teller vi manuelt antall gunstige utfall, men noen ganger er denne metoden upraktisk og det er bedre å bruke en matematisk formel.

Et eksempel på denne situasjonen er fra terningspillet Farkle. For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og alle mulige utfall av 1-2-3-4-5-6 (Straight) kommer opp, vil du få en stor bonus. Hva er sannsynligheten for at dette vil skje? I dette tilfellet er det mange alternativer for tap av denne kombinasjonen.

Løsningen er som følger: på en av terningene (og bare på en) skal tallet 1 falle ut Hvor mange alternativer for at tallet 1 skal falle ut på en terning? Det er 6 alternativer, siden det er 6 terninger, og tallet 1 kan falle på hvilken som helst av dem. Ta derfor en terning og legg den til side. Nå skal tallet 2 falle på en av de gjenværende terningene.Det er 5 alternativer for dette. Ta en annen terning og sett den til side. Da kan 4 av de gjenværende terningene lande på en 3, 3 av de gjenværende terningene kan lande på en 4, og 2 av de resterende terningene kan lande på en 5. Som et resultat sitter du igjen med én terning, hvor tallet 6 skal falle (i sistnevnte tilfelle, en terning er det bare ett bein, og det er ikke noe valg).

For å telle antall gunstige utfall for at en rett kombinasjon skal komme opp, multipliserer vi alle de forskjellige uavhengige alternativene: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - det ser ut til å være et ganske stort antall alternativer for denne kombinasjonen kommer opp.

For å beregne sannsynligheten for å få en rett kombinasjon, må vi dele 720 på antallet av alle mulige utfall for å rulle 6d6. Hva er antallet av alle mulige utfall? Hver terning kan kaste 6 flater, så vi ganger 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (et mye større tall enn den forrige). Vi deler 720 med 46656 og vi får en sannsynlighet lik ca 1,5 %. Hvis du skulle designe dette spillet, ville det være nyttig for deg å vite dette slik at du kan lage et passende poengsystem. Nå forstår vi hvorfor du i Farkle får en så stor bonus hvis du treffer en rett kombinasjon: denne situasjonen er ganske sjelden.

Resultatet er også interessant av en annen grunn. Eksemplet viser hvor sjelden i løpet av en kort periode resultatet tilsvarende sannsynligheten faller ut. Selvfølgelig, hvis vi kastet flere tusen terninger, ville forskjellige sider av terningene komme opp ganske ofte. Men når vi kaster bare seks terninger, skjer det nesten aldri at hver eneste terning kommer opp. Det blir klart at det er dumt å forvente at nå skal det falle ut et ansikt som ennå ikke har vært det, for «vi har ikke droppet 6-tallet på lenge». Se, tilfeldig tallgeneratoren din er ødelagt.

Dette fører oss til den vanlige misoppfatningen at alle utfall kommer opp i samme hastighet over en kort periode. Hvis vi kaster terningen flere ganger, vil frekvensen på hver av ansiktene ikke være den samme.

Hvis du noen gang har jobbet med et nettspill med en slags tilfeldig tallgenerator før, så har du mest sannsynlig støtt på en situasjon der en spiller skriver til teknisk støtte med en klage om at tilfeldig tallgeneratoren ikke viser tilfeldige tall. Han kom til denne konklusjonen fordi han drepte 4 monstre på rad og mottok 4 nøyaktig de samme belønningene, og disse belønningene skulle bare falle 10% av tiden, så dette skulle åpenbart nesten aldri skje.

Du holder på med matematikk. Sannsynligheten er 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, det vil si at 1 utfall av 10 tusen er et ganske sjeldent tilfelle. Det er det spilleren prøver å fortelle deg. Er det et problem i dette tilfellet?

Alt avhenger av omstendighetene. Hvor mange spillere er på serveren din nå? Tenk deg at du har et ganske populært spill, og hver dag spiller 100 000 mennesker det. Hvor mange spillere vil drepe fire monstre på rad? Sannsynligvis alt, flere ganger om dagen, men la oss anta at halvparten av dem bare handler med forskjellige varer på auksjoner, chatter på RP-servere eller driver med andre spillaktiviteter - så bare halvparten av dem jakter på monstre. Hva er sannsynligheten for at noen får samme belønning? I denne situasjonen kan du forvente at dette skjer minst et par ganger om dagen.

Forresten, det er derfor det virker som noen få ukers mellomrom vinner i lotto, selv om den personen aldri har vært deg eller noen du kjenner. Hvis nok folk spiller regelmessig, er sjansen stor for at det vil være minst én heldig person et sted. Men hvis du spiller i lotto selv, er det lite sannsynlig at du vinner, det er mer sannsynlig at du blir invitert til å jobbe på Infinity Ward.

Kart og avhengighet

Vi har diskutert uavhengige hendelser, som å kaste en terning, og nå kjenner vi mange kraftige verktøy for å analysere tilfeldighet i mange spill. Sannsynlighetsberegningen er litt mer komplisert når det kommer til å trekke kort fra kortstokken, fordi hvert kort vi tar ut påvirker de som blir igjen i kortstokken.

Hvis du har en standard kortstokk med 52 kort, trekker du 10 hjerter fra den, og du vil vite sannsynligheten for at neste kort vil ha samme farge - sannsynligheten har endret seg fra originalen fordi du allerede har fjernet ett hjertekort fra kortet. Dekk. Hvert kort du fjerner endrer sannsynligheten for at neste kort dukker opp i bunken. I dette tilfellet påvirker den forrige hendelsen den neste, så vi kaller denne sannsynlighetsavhengig.

Legg merke til at når jeg sier "kort" mener jeg enhver spillmekaniker som har et sett med objekter og du fjerner en av objektene uten å erstatte den. En "kortstokk" i dette tilfellet er analog med en pose med sjetonger som du tar ut en sjetong fra, eller en urne som fargede baller tas ut fra (jeg har aldri sett spill med en urne som fargede baller vil bli tatt fra ut, men lærere i sannsynlighetsteori om hva av en eller annen grunn er dette eksempelet foretrukket).

Avhengighetsegenskaper

Jeg vil gjerne presisere at når det kommer til kort, antar jeg at du trekker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver av disse handlingene er en viktig egenskap. Hvis jeg hadde en kortstokk med for eksempel seks kort nummerert fra 1 til 6, ville jeg blandet dem og trukket ett kort, for så å blande alle seks kortene igjen - dette ville vært likt å kaste en sekssidig terning, fordi ett resultat ikke påvirke her for de neste. Og hvis jeg trekker kort og ikke erstatter dem, så ved å trekke et 1-kort, øker jeg sannsynligheten for at neste gang jeg trekker et kort med tallet 6. Sannsynligheten vil øke til jeg eventuelt trekker dette kortet eller blander bunken.

Det at vi ser på kort er også viktig. Hvis jeg tar et kort ut av bunken og ikke ser på det, vil jeg ikke ha ytterligere informasjon, og faktisk vil sannsynligheten ikke endres. Dette kan høres ulogisk ut. Hvordan kan bare det å snu et kort på magisk vis endre oddsen? Men det er mulig fordi du bare kan beregne sannsynligheten for ukjente gjenstander basert på det du vet.

For eksempel, hvis du blander en standard kortstokk, avslører 51 kort og ingen av dem er kløverdronning, kan du være 100 % sikker på at det gjenværende kortet er en kløverdronning. Hvis du blander en standard kortstokk og trekker 51 kort uten å se på dem, så er sannsynligheten for at det gjenværende kortet er kløverdronningen fortsatt 1/52. Når du åpner hvert kort, får du mer informasjon.

Å beregne sannsynligheten for avhengige hendelser følger de samme prinsippene som for uavhengige hendelser, bortsett fra at det er litt mer komplisert, ettersom sannsynlighetene endres når du avslører kortene. Dermed må du multiplisere mange forskjellige verdier, i stedet for å multiplisere den samme verdien. Dette betyr faktisk at vi må kombinere alle beregningene vi gjorde i én kombinasjon.

Eksempel

Du blander en standard kortstokk med 52 kort og trekker to kort. Hva er sannsynligheten for at du tar ut et par? Det er flere måter å beregne denne sannsynligheten på, men den enkleste er kanskje som følger: hva er sannsynligheten for at du etter å ha trukket ett kort ikke vil kunne trekke et par? Denne sannsynligheten er null, så det spiller ingen rolle hvilket første kort du trekker, så lenge det stemmer med det andre. Det spiller ingen rolle hvilket kort vi trekker først, vi har fortsatt en sjanse til å trekke et par. Derfor er sannsynligheten for å ta ut et par etter å ha tatt ut det første kortet 100 %.

Hva er sannsynligheten for at det andre kortet vil matche det første? Det er 51 kort igjen i bunken, og 3 av dem matcher det første kortet (faktisk ville det vært 4 av 52, men du fjernet allerede ett av de matchende kortene da du trakk det første kortet), så sannsynligheten er 1/ 17. Så neste gang fyren overfor deg ved bordet spiller Texas Hold'em, sier han: «Kult, et annet par? Jeg er heldig i dag», vil du vite at han med stor sannsynlighet bløffer.

Hva om vi legger til to jokere, så vi har 54 kort i kortstokken, og vi vil vite hva som er sannsynligheten for å trekke et par? Det første kortet kan være en joker, og da vil det bare være ett kort i bunken som passer, ikke tre. Hvordan finne sannsynligheten i dette tilfellet? Vi deler sannsynlighetene og multipliserer hver mulighet.

Vårt første kort kan være en joker eller et annet kort. Sannsynligheten for å trekke en joker er 2/54, sannsynligheten for å trekke et annet kort er 52/54. Hvis det første kortet er en joker (2/54), er sannsynligheten for at det andre kortet vil matche det første 1/53. Vi multipliserer verdiene (vi kan multiplisere dem fordi de er separate hendelser og vi vil at begge hendelsene skal skje) og vi får 1/1431 - mindre enn en tiendedel av en prosent.

Hvis du trekker et annet kort først (52/54), er sannsynligheten for å matche det andre kortet 3/53. Vi multipliserer verdiene og får 78/1431 (litt mer enn 5,5%). Hva gjør vi med disse to resultatene? De krysser ikke hverandre, og vi vil vite sannsynligheten for hver av dem, så vi summerer verdiene. Vi får sluttresultatet 79/1431 (fortsatt ca. 5,5%).

Hvis vi ønsket å være sikre på nøyaktigheten av svaret, kunne vi beregne sannsynligheten for alle andre mulige utfall: å trekke jokeren og ikke matche det andre kortet, eller trekke et annet kort og ikke matche det andre kortet. Ved å summere opp disse sannsynlighetene og sannsynligheten for å vinne, ville vi fått nøyaktig 100%. Jeg vil ikke gi matematikken her, men du kan prøve matematikken for å dobbeltsjekke.

Monty Hall-paradokset

Dette bringer oss til et ganske velkjent paradoks som ofte forvirrer mange, Monty Hall-paradokset. Paradokset er oppkalt etter programlederen for TV-programmet Let's Make a Deal. For de som aldri har sett dette TV-programmet, vil jeg si at det var det motsatte av The Price Is Right.

I The Price Is Right er verten (tidligere vært av Bob Barker, nå Drew Carey? Nevermind) din venn. Han vil at du skal vinne penger eller kule premier. Den prøver å gi deg alle muligheter til å vinne, så lenge du kan gjette hvor mye de sponsede gjenstandene faktisk er verdt.

Monty Hall oppførte seg annerledes. Han var som den onde tvillingen til Bob Barker. Målet hans var å få deg til å se ut som en idiot på nasjonal TV. Hvis du var på showet, var han motstanderen din, du spilte mot ham og oddsen var i hans favør. Kanskje jeg er altfor streng, men å se på et show er det mer sannsynlig at du kommer inn i hvis du har på deg et latterlig kostyme, det er akkurat det jeg kommer til.

En av de mest kjente memene i showet var dette: det er tre dører foran deg, dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kan velge én dør gratis. Bak en av dem ligger en praktfull premie – for eksempel en ny bil. Det er ingen premier bak de to andre dørene, begge er uten verdi. De skal ydmyke deg, så bak dem er ikke bare ingenting, men noe dumt, for eksempel en geit eller en enorm tube med tannkrem - alt annet enn en ny bil.

Du velger en av dørene, Monty er i ferd med å åpne den for å fortelle deg om du vant eller ikke... men vent. Før vi vet, la oss ta en titt på en av de dørene du ikke valgte. Monty vet hvilken dør premien er bak, og han kan alltid åpne en dør som ikke har en premie bak seg. «Velger du dør nummer 3? Så la oss åpne dør nummer 1 for å vise at det ikke var noen premie bak." Og nå, av generøsitet, tilbyr han deg muligheten til å bytte den valgte dør nummer 3 mot det som er bak dør nummer 2.

På dette tidspunktet oppstår spørsmålet om sannsynlighet: øker denne muligheten sjansen for å vinne, eller senker den, eller forblir den uendret? Hva tror du?

Riktig svar: muligheten til å velge en annen dør øker sjansen for å vinne fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har støtt på dette paradokset før, så tenker du mest sannsynlig: vent, hvordan er det: ved å åpne en dør, endret vi på magisk vis sannsynligheten? Som vi så med karteksemplet, er dette nøyaktig hva som skjer når vi får mer informasjon. Det er klart, når du velger for første gang, er sannsynligheten for å vinne 1/3. Når en dør åpnes, endrer det ikke sannsynligheten for å vinne for førstevalget i det hele tatt: sannsynligheten er fortsatt 1/3. Men sannsynligheten for at den andre døren er riktig er nå 2/3.

La oss se på dette eksemplet fra den andre siden. Du velger en dør. Sannsynligheten for å vinne er 1/3. Jeg foreslår at du endrer de to andre dørene, som er det Monty Hall gjør. Selvfølgelig åpner han en av dørene for å vise at det ikke er noen premie bak, men han kan alltid gjøre dette, så det endrer egentlig ingenting. Selvfølgelig vil du velge en annen dør.

Hvis du ikke helt forstår spørsmålet og trenger en mer overbevisende forklaring, klikk på denne lenken for å gå til en flott liten Flash-applikasjon som lar deg utforske dette paradokset mer detaljert. Du kan starte med ca 10 dører og deretter gradvis gå opp til et spill med tre dører. Det er også en simulator hvor du kan spille med et hvilket som helst antall dører fra 3 til 50 eller kjøre flere tusen simuleringer og se hvor mange ganger du ville vunnet hvis du spilte.

Velg en av de tre dørene - sannsynligheten for å vinne er 1/3. Nå har du to strategier: å endre valget etter å ha åpnet feil dør eller ikke. Hvis du ikke endrer valget ditt, vil sannsynligheten forbli 1/3, siden valget bare er på det første stadiet, og du må gjette med en gang. Hvis du endrer, så kan du vinne hvis du først velger feil dør (så åpner de en annen feil, den rette gjenstår - endre avgjørelsen, du bare tar den). Sannsynligheten for å velge feil dør i begynnelsen er 2/3 – så det viser seg at ved å endre avgjørelsen dobler du sannsynligheten for å vinne.
En kommentar fra en lærer i høyere matematikk og en spesialist i spillbalanse Maxim Soldatov - selvfølgelig hadde ikke Schreiber det, men uten det er det ganske vanskelig å forstå denne magiske transformasjonen

Å besøke Monty Hall Paradox

Når det gjelder selve showet, selv om Monty Halls rivaler ikke var gode i matematikk, var han god til det. Her er hva han gjorde for å endre spillet litt. Hvis du valgte døren bak som premien var, med en sannsynlighet på 1/3, tilbød han deg alltid muligheten til å velge en annen dør. Du velger en bil og så bytter den mot en geit, og du ser ganske dum ut - som er akkurat det du trenger, for Hall er en slags ond fyr.

Men hvis du velger en dør som ikke har en premie, vil han bare tilby deg en annen dør halvparten av tiden, eller så vil han bare vise deg den nye geiten din og du forlater scenen. La oss analysere dette nye spillet hvor Monty Hall kan bestemme om du vil tilby deg muligheten til å velge en annen dør eller ikke.

Anta at han følger denne algoritmen: Hvis du velger en dør med premie, gir han deg alltid muligheten til å velge en annen dør, ellers er det like sannsynlig at han vil tilby deg å velge en annen dør eller gi deg en geit. Hva er sannsynligheten for at du vinner?

I ett av de tre alternativene velger du umiddelbart døren som premien er plassert bak, og verten inviterer deg til å velge en annen.

Av de resterende to alternativene av tre (du velger i utgangspunktet døren uten premie), i halvparten av tilfellene vil verten tilby deg å endre avgjørelsen din, og i den andre halvparten av tilfellene ikke.

Halvparten av 2/3 er 1/3, det vil si at i ett tilfelle av tre får du en geit, i ett av tre vil du velge feil dør og verten vil tilby deg å velge en annen, og i ett tilfelle av tre vil du velge riktig dør, men han tilbyr igjen en annen.

Hvis tilretteleggeren tilbyr å velge en annen dør, vet vi allerede at ett av de tre tilfellene da han gir oss en geit og vi går, ikke skjedde. Dette er nyttig informasjon: det betyr at sjansene våre for å vinne har endret seg. To av de tre tilfellene der vi har et valg: i det ene tilfellet betyr det at vi gjettet riktig, og i det andre tilfellet at vi gjettet feil, så hvis vi i det hele tatt ble tilbudt et valg, så er sannsynligheten for at vi vinner 1 /2 , og matematisk spiller det ingen rolle om du holder fast ved valget ditt eller velger en annen dør.

Som poker er det et psykologisk spill, ikke et matematisk. Hvorfor ga Monty deg et valg? Tror han at du er en enkeling som ikke vet at å velge en annen dør er den "riktige" avgjørelsen og vil hardnakket holde på valget hans (tross alt er situasjonen psykologisk mer komplisert når du velger en bil og så mister den) ?

Eller gir han deg denne sjansen, som bestemmer deg for at du er smart og velger en annen dør, fordi han vet at du først gjettet riktig og faller på kroken? Eller kanskje han er ukarakteristisk snill og presser deg til å gjøre noe nyttig for deg, fordi han ikke har gitt biler på lenge og produsentene sier at publikum begynner å kjede seg, og det ville være bedre å gi en stor premie snart slik at gikk rangeringene ned?

Dermed klarer Monty noen ganger å tilby et valg, mens den totale vinnersannsynligheten forblir lik 1/3. Husk at sannsynligheten for at du taper umiddelbart er 1/3. Det er 1/3 sjanse for at du gjetter med en gang, og 50 % av de gangene vil du vinne (1/3 x 1/2 = 1/6).

Sannsynligheten for at du tipper feil først, men så har en sjanse til å velge en annen dør er 1/3, og i halvparten av disse tilfellene vinner du (også 1/6). Legg sammen to uavhengige vinnermuligheter og du får en sannsynlighet på 1/3, så det spiller ingen rolle om du forblir på valget ditt eller velger en annen dør - den totale sannsynligheten for å vinne gjennom hele spillet er 1/3.

Sannsynligheten blir ikke større enn i situasjonen da du gjettet døren og verten rett og slett viste deg hva som ligger bak, uten å tilby deg å velge en annen. Poenget med forslaget er ikke å endre sannsynligheten, men å gjøre beslutningsprosessen morsommere for TV-titting.

Forresten, dette er en av grunnene til at poker kan være så interessant: i de fleste formater mellom runder, når innsatser gjøres (for eksempel floppen, turn og river i Texas Hold'em), avsløres kortene gradvis, og hvis du i begynnelsen av spillet har én sjanse til å vinne, så endres denne sannsynligheten etter hver budrunde, når flere kort er åpne.

Gutte- og jenteparadoks

Dette bringer oss til et annet velkjent paradoks som har en tendens til å forvirre alle, gutte-jente-paradokset. Det eneste jeg skriver om i dag som ikke er direkte relatert til spill (selv om jeg antar at jeg bare må presse deg til å lage passende spillmekanikk). Dette er mer et puslespill, men interessant, og for å løse det, må du forstå den betingede sannsynligheten som vi snakket om ovenfor.

Oppgave: Jeg har en venn med to barn, minst en av dem er en jente. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er en jente? La oss anta at i enhver familie er sjansen for å få en jente og en gutt 50/50, og dette er sant for hvert barn.

Faktisk har noen menn mer sæd med et X-kromosom eller et Y-kromosom i sæden, så oddsen varierer litt. Hvis du vet at ett barn er en jente, er sjansen for å få en annen jente litt høyere, og det er andre forhold, for eksempel hermafroditisme. Men for å løse dette problemet, vil vi ikke ta hensyn til dette og anta at fødselen av et barn er en uavhengig begivenhet og fødselen av en gutt og en jente er like sannsynlig.

Siden vi snakker om en 1/2 sjanse, forventer vi intuitivt at svaret er 1/2 eller 1/4, eller et annet multiplum av to i nevneren. Men svaret er 1/3. Hvorfor?

Vanskeligheten i dette tilfellet er at informasjonen vi har reduserer antallet muligheter. Anta at foreldrene er fans av Sesame Street og uansett kjønn på barna kalte dem A og B. Under normale forhold er det fire like sannsynlige muligheter: A og B er to gutter, A og B er to jenter, A er en gutt og B er jente, A er jente og B er gutt. Siden vi vet at minst ett barn er en jente, kan vi utelukke at A og B er to gutter. Så vi sitter igjen med tre muligheter - fortsatt like sannsynlige. Hvis alle muligheter er like sannsynlige og det er tre av dem, er sannsynligheten for hver av dem 1/3. Bare i ett av disse tre alternativene er begge barn jenter, så svaret er 1/3.

Og igjen om paradokset til en gutt og en jente

Løsningen på problemet blir enda mer ulogisk. Tenk deg at venninnen min har to barn og en av dem er en jente som ble født på tirsdag. La oss anta at under normale forhold er det like sannsynlig at et barn blir født på hver av ukens syv dager. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er en jente?

Du tror kanskje svaret fortsatt vil være 1/3: hva betyr tirsdag? Men i dette tilfellet svikter intuisjonen oss. Svaret er 13/27, som ikke bare ikke er intuitivt, men veldig merkelig. Hva er saken i denne saken?

Tirsdag endrer faktisk sannsynligheten fordi vi ikke vet hvilken baby som ble født på tirsdag, eller kanskje begge ble født på tirsdag. I dette tilfellet bruker vi samme logikk: vi teller alle mulige kombinasjoner når minst ett barn er en jente som ble født på tirsdag. Som i forrige eksempel, anta at barna heter A og B. Kombinasjonene ser slik ut:

A er en jente som ble født på tirsdag, B er en gutt (i denne situasjonen er det 7 muligheter, en for hver ukedag da en gutt kunne blitt født).
B - en jente som ble født på tirsdag, A - en gutt (også 7 muligheter).
A er en jente som ble født på tirsdag, B er en jente som ble født på en annen ukedag (6 muligheter).
B - en jente som ble født på tirsdag, A - en jente som ikke ble født på tirsdag (også 6 sannsynligheter).
A og B er to jenter som ble født på tirsdag (1 mulighet, du må være oppmerksom på dette for ikke å telle to ganger).

Vi oppsummerer og får 27 forskjellige like mulige kombinasjoner av fødsel av barn og dager med minst en mulighet for at en jente blir født på tirsdag. Av disse er 13 muligheter når to jenter blir født. Det ser også helt ulogisk ut - det ser ut til at denne oppgaven ble oppfunnet bare for å forårsake hodepine. Hvis du fortsatt lurer, har nettsiden til spillteoretiker Jesper Juhl en god forklaring på dette.

Hvis du for øyeblikket jobber med et spill

Hvis det er tilfeldighet i spillet du designer, er dette en flott mulighet til å analysere det. Velg et hvilket som helst element du vil analysere. Spør deg selv først hva du forventer at sannsynligheten for et gitt element skal være i konteksten av spillet.

For eksempel, hvis du lager et rollespill og du tenker på hvor sannsynlig det bør være for en spiller å slå et monster i kamp, spør deg selv hvilken gevinstprosent som føles riktig for deg. Vanligvis, når det gjelder konsoll-RPG-er, blir spillere veldig opprørt når de taper, så det er bedre at de taper sjelden - 10 % av tiden eller mindre. Hvis du er en RPG-designer, vet du sannsynligvis bedre enn meg, men du må ha en grunnleggende ide om hva sannsynligheten bør være.

Spør deg selv om sannsynlighetene dine er avhengige (som med kort) eller uavhengige (som med terninger). Diskuter alle mulige utfall og deres sannsynligheter. Pass på at summen av alle sannsynligheter er 100 %. Og, selvfølgelig, sammenligne resultatene med dine forventninger. Er det mulig å kaste terninger eller trekke kort slik du har tenkt, eller det er klart at verdiene må justeres. Og, selvfølgelig, hvis du finner feil, kan du bruke de samme beregningene for å finne ut hvor mye du trenger for å endre verdiene.

Hjemmelekser

Dine "lekser" denne uken vil hjelpe deg å finpusse sannsynlighetsferdighetene dine. Her er to terningspill og et kortspill som du må analysere ved hjelp av sannsynlighet, samt en merkelig spillmekaniker som jeg en gang utviklet som du skal teste Monte Carlo-metoden på.

Spill #1 - Dragon Bones

Dette er et terningspill som kollegene mine og jeg en gang fant på (takket være Jeb Havens og Jesse King) – det blåser bevisst folks sinn med sine sannsynligheter. Dette er et enkelt kasinospill kalt "Dragon Dice" og det er en gambling terningkonkurranse mellom spilleren og etablissementet.

Du får en vanlig terning på 1d6. Målet med spillet er å rulle et tall høyere enn husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men på en av ansiktene i stedet for en - bildet av en drage (dermed har kasinoet en drage-2-3-4-5-6 terning). Hvis institusjonen får en drage, vinner den automatisk, og du taper. Hvis begge får samme tall, er det uavgjort og du kaster terningen igjen. Den som kaster det høyeste tallet vinner.

Alt er selvfølgelig ikke helt i spillerens favør, for casinoet har en fordel i form av et dragefjes. Men er det virkelig slik? Det er dette du må regne ut. Men sjekk først intuisjonen din.

La oss si at gevinsten er 2 til 1. Så hvis du vinner, beholder du innsatsen din og får dobbelt beløp. For eksempel, hvis du satser $1 og vinner, beholder du den dollaren og får ytterligere $2 på toppen, for totalt $3. Hvis du taper, taper du bare innsatsen din. Ville du spilt? Føler du intuitivt at sannsynligheten er større enn 2 til 1, eller tror du fortsatt at den er mindre? Med andre ord, i gjennomsnitt over 3 kamper, forventer du å vinne mer enn én gang, eller mindre eller én gang?

Når du har fått intuisjonen din ut av veien, bruk regnestykket. Det er bare 36 mulige posisjoner for begge terningene, så du kan enkelt telle alle. Hvis du er usikker på dette 2-til-1-tilbudet, bør du vurdere dette: La oss si at du har spilt spillet 36 ganger (ved $1 hver gang). For hver seier får du $2, for hvert tap taper du $1, og uavgjort endrer ingenting. Tell alle dine sannsynlige gevinster og tap og avgjør om du vil tape noen dollar eller vinne. Spør deg selv hvor riktig intuisjonen din viste seg å være. Og så innse hvilken skurk jeg er.

Og, ja, hvis du allerede har tenkt på dette spørsmålet - jeg forvirrer deg bevisst ved å forvrenge den virkelige mekanikken til terningspill, men jeg er sikker på at du kan overvinne denne hindringen med bare en god tanke. Prøv å løse dette problemet selv.

Spill #2 - Roll of Luck

Dette er et terningspill kalt Roll of Luck (også Birdcage fordi noen ganger ikke terningene blir kastet, men plassert i et stort trådbur, som minner om bingoburet). Spillet er enkelt, det koker i bunn og grunn til dette: Sats for eksempel $1 på et tall mellom 1 og 6. Så kaster du 3d6. For hver terning som treffer nummeret ditt, får du $1 (og beholder din opprinnelige innsats). Hvis nummeret ditt ikke lander på noen av terningene, får kasinoet dollaren din og du får ingenting. Så hvis du satser på 1 og får 1 på ansiktet tre ganger, får du $3.

Intuitivt ser det ut til at sjansene er jevne i dette spillet. Hver terning er en individuell vinnersjans på 1 av 6, så vinnersjansen din er 3 til 6 på tre kast. Men husk selvfølgelig at du stabler tre separate terninger og at du bare har lov til å legge til hvis vi er snakker om separate vinnende kombinasjoner av samme terning. Noe du trenger for å multiplisere.

Når du har beregnet alle mulige utfall (sannsynligvis lettere å gjøre i Excel enn for hånd, det er 216 av dem), ser spillet fortsatt like rart ut ved første øyekast. Faktisk er det fortsatt større sannsynlighet for at kasinoet vinner – hvor mye mer? Spesielt, hvor mye penger forventer du å tape i gjennomsnitt per spillerunde?

Alt du trenger å gjøre er å legge sammen gevinstene og tapene for alle 216 resultatene og deretter dele på 216, noe som burde være ganske enkelt. Men som du kan se, er det noen fallgruver du kan falle i, og det er derfor jeg sier at hvis du tror det er en jevn sjanse for å vinne i dette spillet, har du misforstått.

Spill #3 - 5 Card Stud

Hvis du allerede har varmet opp på tidligere spill, la oss sjekke hva vi vet om betinget sannsynlighet ved å bruke dette kortspillet som et eksempel. La oss forestille oss poker med en kortstokk på 52 kort. La oss også forestille oss 5 card stud hvor hver spiller bare får 5 kort. Kan ikke kaste et kort, kan ikke trekke et nytt, ingen felles kortstokk - du får bare 5 kort.

En royal flush er 10-J-Q-K-A i én hånd, for totalt fire, så det er fire mulige måter å få en royal flush. Regn ut sannsynligheten for at du får en av disse kombinasjonene.

Jeg har én ting å advare deg om: husk at du kan trekke disse fem kortene i hvilken som helst rekkefølge. Det vil si at du først kan trekke et ess eller en ti, det spiller ingen rolle. Så når du gjør dine beregninger, husk at det faktisk er mer enn fire måter å få en royal flush på, forutsatt at kortene ble delt ut i rekkefølge.

Spill #4 - IMF-lotteri

Den fjerde oppgaven vil ikke være så lett å løse ved hjelp av metodene vi snakket om i dag, men du kan enkelt simulere situasjonen ved hjelp av programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problemet du kan regne ut Monte Carlo-metoden.

Jeg nevnte tidligere Chron X-spillet som jeg en gang jobbet med, og det var ett veldig interessant kort - IMF-lotteriet. Slik fungerte det: du brukte det i et spill. Etter at runden var over, ble kortene omfordelt, og det var 10 % sjanse for at kortet ville være ute av spill og at en tilfeldig spiller ville motta 5 av hver type ressurs som hadde en token på det kortet. Et kort ble satt i spill uten en eneste brikke, men hver gang det forble i spill i begynnelsen av neste runde, fikk det en brikke.

Så det var 10 % sjanse for at du ville sette det i spill, runden ville avsluttes, kortet ville forlate spillet, og ingen ville få noe. Hvis den ikke gjør det (med 90 % sjanse), er det 10 % sjanse (faktisk 9 %, siden det er 10 % av 90 %) for at hun forlater spillet i neste runde og noen får 5 ressurser. Hvis kortet forlater spillet etter en runde (10 % av de 81 % som er tilgjengelig, så sannsynligheten er 8,1 %), vil noen motta 10 enheter, en ny runde - 15, ytterligere 20, og så videre. Spørsmål: hva er den forventede verdien av antall ressurser du vil motta fra dette kortet når det endelig forlater spillet?

Normalt ville vi prøve å løse dette problemet ved å beregne sannsynligheten for hvert utfall og multiplisere med antallet av alle utfall. Det er 10 % sjanse for at du får 0 (0,1 * 0 = 0). 9 % at du vil motta 5 enheter med ressurser (9 % * 5 = 0,45 ressurser). 8,1 % av det du får er 10 (8,1 % * 10 = 0,81 ressurser – generelt sett forventet verdi). Og så videre. Og så vil vi oppsummere det hele.

Og nå er problemet åpenbart for deg: det er alltid en sjanse for at kortet ikke forlater spillet, det kan forbli i spillet for alltid, i et uendelig antall runder, så det er ingen måte å beregne noen sannsynlighet på. Metodene vi har lært i dag tillater oss ikke å beregne den uendelige rekursjonen, så vi må lage den kunstig.

Hvis du er god nok til å programmere, skriv et program som vil simulere dette kortet. Du bør ha en tidssløyfe som bringer variabelen til startposisjonen til null, viser et tilfeldig tall, og med 10 % sjanse for at variabelen går ut av loopen. Ellers legger den til 5 til variabelen og loopen gjentas. Når den endelig går ut av loopen, øker du det totale antallet prøvekjøringer med 1 og det totale antallet ressurser (med hvor mye avhenger av hvor variabelen stoppet). Tilbakestill deretter variabelen og start på nytt.

Kjør programmet flere tusen ganger. Til slutt deler du de totale ressursene med det totale antallet kjøringer - dette vil være din forventede verdi av Monte Carlo-metoden. Kjør programmet flere ganger for å sikre at tallene du får er omtrent de samme. Hvis spredningen fortsatt er stor, øk antall repetisjoner i den ytre løkken til du begynner å få fyrstikker. Du kan være sikker på at alle tallene du ender opp med vil være tilnærmet riktige.

Hvis du er ny på programmering (selv om du er det), her er en liten øvelse for å teste Excel-ferdighetene dine. Hvis du er en spilldesigner, vil disse ferdighetene aldri være overflødige.

Nå vil if og rand-funksjonene være veldig nyttige for deg. Rand krever ikke verdier, den produserer bare et tilfeldig desimaltall mellom 0 og 1. Vi kombinerer det vanligvis med gulv og plusser og minuser for å simulere et terningkast, som jeg nevnte tidligere. Men i dette tilfellet gir vi bare 10 % sjanse for at kortet forlater spillet, så vi kan bare sjekke om rand er mindre enn 0,1 og ikke bekymre oss for det lenger.

If har tre verdier. I rekkefølge, betingelsen som enten er sann eller ikke, deretter verdien som returneres hvis betingelsen er sann, og verdien som returneres hvis betingelsen er usann. Så følgende funksjon vil returnere 5% av tiden, og 0 de andre 90% av tiden: =HVIS(RAND()<0.1,5,0) .

Det er mange måter å sette denne kommandoen på, men jeg vil bruke denne formelen for cellen som representerer den første runden, la oss si at det er celle A1: =HVIS(RAND()<0.1,0,-1) .

Her bruker jeg en negativ variabel som betyr "dette kortet har ikke forlatt spillet og har ikke gitt noen ressurser ennå". Så hvis første runde er over og kortet er ute av spill, er A1 0; ellers er det -1.

For neste celle som representerer andre runde: =HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1)) . Så hvis den første runden avsluttes og kortet umiddelbart forlater spillet, er A1 0 (antall ressurser) og denne cellen vil ganske enkelt kopiere den verdien. Ellers er A1 -1 (kortet har ikke forlatt spillet ennå), og denne cellen fortsetter å bevege seg tilfeldig: 10 % av tiden vil den returnere 5 enheter med ressurser, resten av tiden vil verdien fortsatt være - 1. Hvis vi bruker denne formelen på flere celler, vil vi få flere runder, og uansett hvilken celle du ender opp med, vil du få sluttresultatet (eller -1 hvis kortet ikke har forlatt spillet etter alle rundene du har spilt).

Ta denne raden med celler, som er den eneste runden med dette kortet, og kopier og lim inn noen hundre (eller tusenvis) rader. Vi kan kanskje ikke gjøre en uendelig test for Excel (det er et begrenset antall celler i tabellen), men vi kan i det minste dekke de fleste tilfeller. Velg deretter en celle hvor du vil sette gjennomsnittet av resultatene fra alle runder - Excel gir vennligst gjennomsnitts()-funksjonen for dette.

På Windows kan du i det minste trykke F9 for å beregne alle tilfeldige tall på nytt. Som før, gjør dette noen ganger og se om du får de samme verdiene. Hvis spredningen er for stor, doble antall kjøringer og prøv igjen.

Uløste problemer

Hvis du tilfeldigvis har en grad i sannsynlighetsteori og problemene ovenfor virker for enkle for deg - her er to problemer som jeg har klø meg i hodet over i årevis, men dessverre er jeg ikke så god i matematikk til å løse dem.

Uløst problem #1: IMF-lotteri

Det første uløste problemet er den forrige hjemmeoppgaven. Jeg kan enkelt bruke Monte Carlo-metoden (ved å bruke C++ eller Excel) og være sikker på svaret på spørsmålet "hvor mange ressurser spilleren vil motta", men jeg vet ikke nøyaktig hvordan jeg skal gi et nøyaktig bevisbart svar matematisk (dette er en uendelig serie).

Uløst problem #2: Shape Sequences

Denne oppgaven (den går også langt utover oppgavene som er løst i denne bloggen) ble kastet til meg av en kjent spiller for mer enn ti år siden. Mens han spilte blackjack i Vegas, la han merke til en interessant funksjon: ved å trekke kort fra en 8-dekks sko, så han ti brikker på rad (en brikke eller et ansiktskort er 10, Joker, Konge eller Dronning, så det er 16 totalt i en standard kortstokk med 52 kort eller 128 i en 416-korts sko).

Hva er sannsynligheten for at denne skoen inneholder minst én sekvens på ti eller flere deler? La oss anta at de ble blandet ærlig, i tilfeldig rekkefølge. Eller, hvis du foretrekker det, hva er sannsynligheten for at det ikke er noen sekvens med ti eller flere former noe sted?

Vi kan forenkle oppgaven. Her er en sekvens på 416 deler. Hver del er 0 eller 1. Det er 128 enere og 288 nuller tilfeldig spredt utover sekvensen. Hvor mange måter er det å tilfeldig sammenflette 128 enere med 288 nuller, og hvor mange ganger vil det være minst én gruppe på ti eller flere enere på disse måtene?

Hver gang jeg satte i gang med å løse dette problemet, virket det enkelt og opplagt for meg, men så snart jeg fordypet meg i detaljene, falt det plutselig fra hverandre og virket rett og slett umulig.

Så ikke skynd deg å utdype svaret: sett deg ned, tenk deg godt om, studer forholdene, prøv å koble inn reelle tall, for alle personene jeg snakket med om dette problemet (inkludert flere doktorgradsstudenter som jobber i dette feltet) reagerte mye på samme måte: "Det er helt åpenbart ... å nei, vent, ikke åpenbart i det hele tatt." Dette er tilfellet når jeg ikke har en metode for å beregne alle alternativene. Selvfølgelig kunne jeg brutt force problemet gjennom en datamaskinalgoritme, men det ville vært mye mer interessant å finne ut den matematiske måten å løse det på.

Jeg forstår at alle ønsker å vite på forhånd hvordan et idrettsarrangement ender, hvem som vinner og hvem som taper. Med denne informasjonen kan du satse på sportsbegivenheter uten frykt. Men er det i det hele tatt mulig, og i så fall hvordan beregner man sannsynligheten for en hendelse?

Sannsynlighet er en relativ verdi, derfor kan den ikke snakke med nøyaktighet om noen hendelse. Denne verdien lar deg analysere og evaluere behovet for å plassere et spill på en bestemt konkurranse. Definisjonen av sannsynligheter er en hel vitenskap som krever nøye studier og forståelse.

Sannsynlighetskoeffisient i sannsynlighetsteori

I sportsbetting er det flere alternativer for utfallet av konkurransen:

seier til førstelaget;
seier til andrelaget;
tegne;
Total

Hvert utfall av konkurransen har sin egen sannsynlighet og hvor ofte denne hendelsen vil skje, forutsatt at de opprinnelige egenskapene er bevart. Som nevnt tidligere, er det umulig å nøyaktig beregne sannsynligheten for enhver hendelse - det kan være sammenfallende eller ikke. Dermed kan innsatsen din enten vinne eller tape.

Det kan ikke være noen eksakt 100 % forutsigelse av resultatene av konkurransen, siden mange faktorer påvirker resultatet av kampen. Naturligvis vet bookmakerne ikke utfallet av kampen på forhånd og antar kun resultatet, tar en avgjørelse på analysesystemet deres og tilbyr visse odds for spill.

Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse?

La oss si at oddsen til bookmakeren er 2,1/2 – vi får 50 %. Det viser seg at koeffisienten 2 er lik sannsynligheten på 50 %. Etter samme prinsipp kan du få et break-even sannsynlighetsforhold - 1 / sannsynlighet.

Mange spillere tror at etter flere gjentatte tap vil en seier definitivt skje - dette er en feilaktig oppfatning. Sannsynligheten for å vinne et spill avhenger ikke av antall tap. Selv om du kaster flere hoder på rad i et myntspill, forblir sannsynligheten for å kaste haler den samme - 50%.