Matrisetransponering

Matrisetransponering kalles å erstatte radene i en matrise med dens kolonner og samtidig bevare rekkefølgen deres (eller, hva er det samme, erstatte kolonnene i en matrise med radene).

La startmatrisen bli gitt MEN:

Deretter, ifølge definisjonen, den transponerte matrisen MEN" ser ut som:

En forkortet form av: En transponert matrise betegnes ofte

Eksempel 3. La matriser gis A og B:

Da har de tilsvarende transponerte matrisene formen:

Det er lett å legge merke til to regelmessigheter ved operasjonen av matrisetransponering.

1. Den to ganger transponerte matrisen er lik den opprinnelige matrisen:

2. Når du transponerer kvadratiske matriser, endrer ikke elementene som ligger på hoveddiagonalen sine posisjoner, dvs. hoveddiagonal kvadratisk matrise endres ikke når det transponeres.

Matrisemultiplikasjon

Matrisemultiplikasjon er en spesifikk operasjon som danner grunnlaget for matrisealgebra. Rader og kolonner med matriser kan sees på som radvektorer og kolonnevektorer med tilsvarende dimensjoner; med andre ord kan enhver matrise tolkes som en samling av radvektorer eller kolonnevektorer.

La to matriser gis: MEN- størrelse t X P og PÅ- størrelse p x k. Vi vil vurdere matrisen MEN som et sett t radvektorer en) dimensjoner P hver, og matrisen AT - som et sett til kolonnevektorer b Jt inneholder P koordinerer hver:

Matrise rad vektorer MEN og kolonnevektorer av matrisen PÅ er vist i representasjonen av disse matrisene (2.7). Matrise rad lengde MEN lik høyden på matrisekolonnen PÅ, og derfor gir skalarproduktet til disse vektorene mening.

Definisjon 3. Produkt av matriser MEN og PÅ kalles en matrise C, hvis elementer Su er lik skalarproduktene til radvektorer en ( matriser MEN inn i kolonnevektorer bj matriser PÅ:

Produkt av matriser MEN og PÅ- matrise C - har størrelsen t X til, siden lengden l av radvektorer og kolonnevektorer forsvinner når produktene av koordinatene til disse vektorene summeres i deres prikkprodukter, som vist i formlene (2.8). For å beregne elementene i den første raden i matrisen C, er det derfor nødvendig å sekvensielt oppnå skalarproduktene til den første raden i matrisen MEN til alle kolonnene i matrisen PÅ den andre raden i matrisen C oppnås som skalarproduktene til den andre radvektoren i matrisen MEN til alle kolonnevektorer i matrisen PÅ, og så videre. For å gjøre det lettere å huske størrelsen på produktet av matriser, må du dele produktene av størrelsene på matrisefaktorene: - , så gir de resterende i forhold til antallet størrelsen på produktet til

dsnia, t.s. størrelsen på matrisen C er t X til.

Operasjonen av matrisemultiplikasjon har fremtredende trekk: produkt av matriser MEN og PÅ er fornuftig hvis antall kolonner i MEN tilsvarer antall linjer inn PÅ. Så hvis A og B - rektangulære matriser, deretter produktet PÅ og MEN vil ikke lenger gi mening, siden skalarproduktene som danner elementene i den tilsvarende matrisen må involvere vektorer med samme nummer koordinater.

Hvis matriser MEN og PÅ kvadrat, størrelse l x l, gir mening som et produkt av matriser AB, og produktet av matriser VA, og størrelsen på disse matrisene er den samme som de opprinnelige faktorene. Samtidig, i generell sak matrisemultiplikasjon, er permutabilitetsregelen (kommutativitet) ikke observert, dvs. AB * BA.

Tenk på eksempler på matrisemultiplikasjon.

Siden antall matrisekolonner MEN er lik antall matriserader PÅ, matriseprodukt AB har betydningen. Ved å bruke formler (2.8) får vi en 3x2 matrise i produktet:

Arbeid VA ns er fornuftig, siden antall kolonner i matrisen PÅ samsvarer ikke med antall matriserader MEN.

Her finner vi produktene av matriser AB og VA:

Som det fremgår av resultatene avhenger produktmatrisen av rekkefølgen på matrisene i produktet. I begge tilfeller har matriseproduktene samme størrelse som de opprinnelige faktorene: 2x2.

PÅ denne saken matrise PÅ er en kolonnevektor, dvs. en matrise med tre rader og en kolonne. Generelt er vektorer spesielle tilfeller av matriser: en radvektor med lengde P er en matrise med en rad og P kolonner, og høydekolonnevektoren P- matrise med P rader og én kolonne. Størrelsen på de reduserte matrisene er henholdsvis 2 x 3 og 3 x I, så produktet av disse matrisene er definert. Vi har

Produktet gir en 2 x 1 matrise eller en kolonnevektor med høyde 2.

Ved suksessiv matrisemultiplikasjon finner vi:

Egenskaper til produktet av matriser. La A, B og C - matriser av tilsvarende størrelser (slik at produktene til matrisene er definert), og en - ekte nummer. Så er det følgende egenskaper matriseprodukter:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Begrepet identitetsmatrise E ble introdusert i klausul 2.1.1. Det er lett å verifisere at i matrisealgebraen spiller den rollen som en enhet, dvs. Vi kan legge merke til ytterligere to egenskaper assosiert med multiplikasjon med denne matrisen fra venstre og fra høyre:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = MEN.

Med andre ord, produktet av en hvilken som helst matrise ved identitetsmatrise, hvis det gir mening, endrer ikke den opprinnelige matrisen.

PÅ høyere matematikk et slikt konsept som en transponert matrise studeres. Det skal bemerkes at mange tror at dette er nok vanskelig tema som er umulig å mestre. Det er det imidlertid ikke. For å forstå nøyaktig hvordan en så enkel operasjon utføres, er det bare nødvendig å gjøre deg litt kjent med det grunnleggende konseptet - matrisen. Emnet kan forstås av enhver student hvis han tar seg tid til å studere det.

Hva er en matrise?

Matriser i matematikk er ganske vanlige. Det skal bemerkes at de også forekommer i informatikk. Takket være dem og med deres hjelp er det enkelt å programmere og lage programvare.

Hva er en matrise? Dette er tabellen som elementene er plassert i. Det har hun definitivt rektangulær visning. Enkelt sagt er en matrise en talltabell. Det er betegnet med enhver hovedstad latinske bokstaver. Det kan være rektangulært eller kvadratisk. Det er også separate rader og kolonner, som kalles vektorer. Slike matriser mottar bare én linje med tall. For å forstå hvilken størrelse en tabell har, må du være oppmerksom på antall rader og kolonner. Den første er betegnet med bokstaven m, og den andre - n.

Det er viktig å forstå hva en matrisediagonal er. Det er en side og en hoveddel. Den andre er den stripen med tall som går fra venstre til høyre fra det første til det siste elementet. I dette tilfellet vil sidelinjen være fra høyre til venstre.

Med matriser kan du gjøre nesten alle de enkleste tingene. aritmetiske operasjoner, det vil si addere, subtrahere, multiplisere seg imellom og hver for seg med et tall. De kan også transponeres.

Transponeringsprosess

En transponert matrise er en matrise der radene og kolonnene er reversert. Dette gjøres så enkelt som mulig. Det er betegnet som A med en hevet T (AT). I prinsippet skal det sies at i høyere matematikk er dette en av de mest enkle operasjoner over matriser. Bordstørrelsen er bevart. En slik matrise kalles transponert.

Egenskaper til transponerte matriser

For å kunne utføre transponeringsprosessen riktig, er det nødvendig å forstå hvilke egenskaper ved denne operasjonen som eksisterer.

• Det må være en innledende matrise til enhver transponert tabell. Determinantene deres må være like med hverandre.
• Hvis det er en skalarenhet, kan den tas ut når du utfører denne operasjonen.
• Når en matrise transponeres to ganger, vil den være lik den opprinnelige.
• Hvis vi sammenligner to stablede tabeller med endrede kolonner og rader, med summen av elementene som denne operasjonen ble utført på, vil de være de samme.
• Den siste egenskapen er at hvis du transponerer tabellene multiplisert med hverandre, så må verdien være lik resultatene oppnådd under multiplikasjonen av de transponerte matrisene i motsatt rekkefølge.

Hvorfor transponere?

En matrise i matematikk er nødvendig for å løse visse problemer med den. Noen av dem må beregnes omvendt tabell. For å gjøre dette må du finne en determinant. Deretter beregnes elementene i den fremtidige matrisen, og deretter transponeres de. Det gjenstår bare å finne den direkte inverse tabellen. Vi kan si at i slike problemer kreves det å finne X, og dette er ganske enkelt å bruke grunnleggende kunnskap teori om likninger.

Resultater

I denne artikkelen ble det vurdert hva en transponert matrise er. Dette emnet vil være nyttig for fremtidige ingeniører som trenger å kunne beregne komplekse strukturer riktig. Noen ganger er ikke matrisen så lett å løse, du må bryte hodet. Men i løpet av studentmatematikk utføres denne operasjonen så enkelt som mulig og uten anstrengelse.

Når du arbeider med matriser, må du noen ganger transponere dem, det vil si ved å si med enkle ord, snu. Du kan selvfølgelig overskrive dataene manuelt, men Excel tilbyr flere måter å gjøre det enklere og raskere på. La oss ta en titt på dem i detalj.

Matrisetransponering er prosessen med å bytte kolonner og rader. PÅ Excel-program Det er to muligheter for å transponere: bruk av funksjonen TRANSP og bruke Lim inn spesialverktøyet. La oss vurdere hvert av disse alternativene mer detaljert.

Metode 1: TRANSPOSE-operator

Funksjon TRANSP tilhører kategorien operatører "Referanser og matriser". Det særegne er at, i likhet med andre funksjoner som fungerer med arrays, er resultatet av utstedelsen ikke innholdet i cellen, men hele arrayen av data. Funksjonssyntaksen er ganske enkel og ser slik ut:

TRANSPOSER(matrise)

Det vil si at det eneste argumentet til denne operatoren er en referanse til en matrise, i vårt tilfelle, en matrise, som bør konverteres.

La oss se hvordan denne funksjonen kan brukes ved å bruke et eksempel med en ekte matrise.

1. Vi velger en tom celle på arket, som er planlagt å være den øverste venstre cellen i den transformerte matrisen. Klikk deretter på ikonet "Sett inn funksjon", som ligger nær formellinjen.



2. Lansering Funksjonsveivisere. Åpne en kategori "Referanser og matriser" eller "Full alfabetisk liste". Etter å ha funnet navnet "TRANSP", velg den og klikk på knappen OK.



3. Funksjonsargumentvinduet åpnes TRANSP. Det eneste argumentet til denne operatøren tilsvarer feltet "Array". Du må angi koordinatene til matrisen for å bli snudd inn i den. For å gjøre dette, plasser markøren i feltet og hold nede venstre museknapp og velg hele området til matrisen på arket. Etter at adressen til området er vist i argumentvinduet, klikker du på knappen OK.



4. Men som du kan se, i cellen som er designet for å vise resultatet, vises en feil verdi i form av en feil "#VERDI!". Dette er på grunn av særegenhetene ved driften av array-operatører. For å rette opp denne feilen velger vi et celleområde der antall rader må være lik antall kolonner i den opprinnelige matrisen, og antall kolonner må være lik antall rader. Denne korrespondansen er svært viktig for at resultatet skal vises riktig. I dette tilfellet cellen som inneholder uttrykket "#VERDI!" må være den øverste venstre cellen i matrisen som skal velges, og det er fra denne cellen valgprosedyren skal startes ved å holde nede venstre museknapp. Etter at du har gjort et valg, plasserer du markøren i formellinjen rett etter operatoruttrykket TRANSP, som skal vises i den. Etter det, for å utføre beregningen, må du ikke klikke på knappen Tast inn, som er vanlig i konvensjonelle formler, og slå en kombinasjon Ctrl+Shift+Enter.



5. Etter disse handlingene ble matrisen vist som vi trenger, det vil si i en transponert form. Men det er et annet problem. Poenget er at nå er den nye matrisen koblet sammen med formel en matrise som ikke kan endres. Hvis du prøver å gjøre endringer i innholdet i matrisen, vil en feil dukke opp. Noen brukere er ganske fornøyd med denne tilstanden, siden de ikke kommer til å gjøre endringer i matrisen, men andre trenger en matrise som de kan jobbe fullt ut med.

   Å løse dette problemet, velg hele det transponerte området. Flyttet til fanen "Hjem" klikk på ikonet "Kopiere", som er plassert på båndet i gruppen "Utklippstavle". I stedet for den spesifiserte handlingen, etter valg, kan du angi en standard hurtigtast for kopiering ctrl+c.



6. Deretter, uten å fjerne utvalget fra det transponerte området, klikker vi på det med høyre museknapp. I kontekstmenyen i en gruppe "Lim inn alternativer" klikk på ikonet "Verdier", som har form av et ikon med bildet av tall.

   

   Etter dette, matriseformelen TRANSP slettes, og bare én verdi blir igjen i cellene, som du kan jobbe med på samme måte som med den opprinnelige matrisen.

Metode 2: Matrisetransponering med Paste Special

I tillegg kan matrisen transponeres ved å bruke et enkelt hurtigmenyelement kalt "Lim inn spesial".

Etter disse handlingene vil bare den transformerte matrisen forbli på arket.

På de samme to måtene som ble diskutert ovenfor, kan du transponere i Excel ikke bare matriser, men også fullverdige tabeller. Fremgangsmåten vil være nesten identisk.

Så det fant vi ut i programmet Excel matrise kan transponeres, det vil si vendes ved å bytte kolonner og rader, på to måter. Det første alternativet innebærer å bruke funksjonen TRANSP, og den andre er Lim inn spesialverktøy. I det store og hele er sluttresultatet som oppnås ved bruk av begge disse metodene ikke annerledes. Begge metodene fungerer i nesten alle situasjoner. Så når du velger et konverteringsalternativ, kommer de personlige preferansene til en bestemt bruker i forgrunnen. Det vil si hvilken av disse metodene som er mer praktisk for deg personlig, bruk den.