Allerede inne grunnskole elever har med brøker å gjøre. Og så dukker de opp i hvert emne. Det er umulig å glemme handlinger med disse tallene. Derfor må du vite all informasjon om vanlige og desimalbrøker. Disse konseptene er enkle, det viktigste er å forstå alt i orden.

Hvorfor trengs brøker?

Verden rundt oss består av hele gjenstander. Derfor er det ikke behov for aksjer. Men hverdagen presser stadig folk til å jobbe med deler av gjenstander og ting.

Sjokolade består for eksempel av flere skiver. Tenk på situasjonen der flisen er dannet av tolv rektangler. Deler du den i to får du 6 deler. Det blir godt delt i tre. Men de fem vil ikke kunne gi et helt antall skiver sjokolade.

Forresten, disse skivene er allerede fraksjoner. Og deres videre inndeling fører til utseendet til mer komplekse tall.

Hva er en "brøk"?

Dette er et tall som består av deler av en. Utad ser det ut som to tall atskilt med en horisontal eller skråstrek. Denne funksjonen kalles brøkdel. Tallet som er skrevet øverst (til venstre) kalles telleren. Den nederst (til høyre) er nevneren.

Faktisk viser brøkstreken seg å være et divisjonstegn. Det vil si at telleren kan kalles et utbytte, og nevneren kan kalles en divisor.

Hva er brøkene?

I matematikk er det bare to typer av dem: ordinære og desimalbrøker. Skoleelever blir først introdusert for grunnskole, kaller dem ganske enkelt "brøker". Den andre lærer i 5. klasse. Det er da disse navnene dukker opp.

Vanlige brøker er alle de som er skrevet som to tall atskilt med en strek. For eksempel 4/7. Desimal er et tall der brøkdelen har en posisjonsnotasjon og er skilt fra heltallet med komma. For eksempel 4.7. Elevene må være tydelige på at de to eksemplene som er gitt er helt forskjellige tall.

Hver enkel brøk kan skrives som en desimal. Denne uttalelsen er nesten alltid sann i motsatt retning. Det er regler som lar deg skrive en desimalbrøk som en vanlig brøk.

Hvilke underarter har disse typene fraksjoner?

Bedre start kl kronologisk rekkefølge mens de studeres. Gå først vanlige brøker. Blant dem kan 5 underarter skilles.

Riktig. Dens teller er alltid mindre enn nevneren.

Feil. Dens teller er større enn eller lik nevneren.

Reduserbar / irreduserbar. Det kan enten være rett eller galt. En annen ting er viktig, om teller og nevner har felles faktorer. Hvis det er det, skal de dele begge deler av brøken, det vil si å redusere den.

Blandet. Et heltall er tilordnet dens vanlige korrekte (feilaktige) brøkdel. Og den står alltid til venstre.

Sammensatte. Den er dannet av to fraksjoner delt inn i hverandre. Det vil si at den har tre brøkfunksjoner samtidig.

Desimaler har bare to underarter:

endelig, det vil si en der brøkdelen er begrenset (har en ende);

uendelig - et tall hvis sifre etter desimaltegn ikke slutter (de kan skrives uendelig).

Hvordan konvertere desimal til vanlig?

Hvis dette endelig antall, så brukes en assosiasjon basert på regelen - som jeg hører, så skriver jeg. Det vil si at du må lese den riktig og skrive den ned, men uten komma, men med en brøklinje.

Som et hint om den nødvendige nevneren, husk at det alltid er en og noen få nuller. Sistnevnte må skrives like mange som sifrene i brøkdelen av det aktuelle tallet.

Hvordan konvertere desimalbrøker til vanlige brøker hvis de hele delen fraværende, dvs. lik null? For eksempel 0,9 eller 0,05. Etter å ha brukt den angitte regelen, viser det seg at du må skrive null heltall. Men det er ikke angitt. Det gjenstår å skrive ned bare brøkdelene. For det første tallet vil nevneren være 10, for det andre - 100. Det vil si at de angitte eksemplene vil ha tall som svar: 9/10, 5/100. Dessuten viser det seg at sistnevnte er mulig å redusere med 5. Derfor må resultatet for det skrives 1/20.

Liker fra desimalbrøkå lage en vanlig en hvis heltallsdelen er forskjellig fra null? For eksempel 5.23 eller 13.00108. Begge eksemplene leser heltallsdelen og skriver verdien. I det første tilfellet er dette 5, i det andre 13. Deretter må du gå videre til brøkdelen. Med dem er det nødvendig å utføre den samme operasjonen. Det første tallet har 23/100, det andre har 108/100000. Den andre verdien må reduseres igjen. Svaret er blandede brøker: 5 23/100 og 13 27/25000.

Hvordan konvertere en uendelig desimal til en vanlig brøk?

Hvis det er ikke-periodisk, kan en slik operasjon ikke utføres. Dette faktum skyldes det faktum at hver desimalbrøk alltid konverteres til enten endelig eller periodisk.

Det eneste som er lov å gjøre med en slik brøk er å runde den. Men da vil desimalen være omtrent lik den uendelige. Den kan allerede gjøres om til en vanlig. Men den omvendte prosessen: konvertering til desimal - vil aldri gi Opprinnelig verdi. Det vil si uendelig ikke-periodiske brøker er ikke konvertert til ordinært. Dette må huskes.

Hvordan skrive en uendelig periodisk brøk i form av en vanlig?

I disse tallene vises alltid ett eller flere sifre etter desimaltegnet, som gjentas. De kalles perioder. For eksempel 0,3(3). Her "3" i perioden. De er klassifisert som rasjonelle, da de kan konverteres til vanlige brøker.

De som har møtt periodiske fraksjoner vet at de kan være rene eller blandede. I det første tilfellet starter punktum umiddelbart fra kommaet. I den andre begynner brøkdelen med alle tall, og deretter begynner repetisjonen.

Regelen som du trenger for å skrive en uendelig desimal i form av en vanlig brøk vil være forskjellig for disse to typene tall. Det er ganske enkelt å skrive rene periodiske brøker som vanlige brøker. Som med de siste, må de konverteres: skriv punktum inn i telleren, og tallet 9 vil være nevneren, gjenta så mange ganger som det er sifre i perioden.

For eksempel 0,(5). Tallet har ikke en heltallsdel, så du må umiddelbart fortsette til brøkdelen. Skriv 5 i telleren, og skriv 9 i nevneren. Det vil si at svaret blir brøken 5/9.

En regel om hvordan man skriver en vanlig desimalbrøk som er en blandet brøk.

Se på lengden på perioden. Så mye 9 vil ha en nevner.

Skriv ned nevneren: først niere, deretter nuller.

For å bestemme telleren må du skrive forskjellen på to tall. Alle sifre etter desimaltegnet vil bli redusert, sammen med punktum. Subtraherbar - den er uten punktum.

For eksempel 0,5(8) - skriv den periodiske desimalbrøken som en vanlig brøk. Brøkdelen før perioden er ett siffer. Så null blir en. Det er også bare ett siffer i perioden - 8. Det vil si at det bare er en ni. Det vil si at du må skrive 90 i nevneren.

For å bestemme telleren fra 58 må du trekke fra 5. Det blir 53. Du må for eksempel skrive 53/90 som svar.

Hvordan konverteres vanlige brøker til desimaler?

av de fleste enkelt alternativ det viser seg tallet i nevneren som er tallet 10, 100 og så videre. Deretter forkastes nevneren ganske enkelt, og et komma settes mellom brøk- og heltallsdelen.

Det er situasjoner hvor nevneren lett blir til 10, 100 osv. For eksempel tallene 5, 20, 25. Det er nok å gange dem med henholdsvis 2, 5 og 4. Bare det er nødvendig å multiplisere ikke bare nevneren, men også telleren med samme tall.

For alle andre tilfeller vil en enkel regel komme godt med: del telleren på nevneren. I dette tilfellet kan du få to svar: en siste eller en periodisk desimalbrøk.

Operasjoner med vanlige brøker

Addisjon og subtraksjon

Elevene blir kjent med dem tidligere enn andre. Og først med brøker samme nevnere og så annerledes. Generelle regler kan reduseres til en slik plan.

Finn det minste felles multiplum av nevnerne.

Skriv tilleggsfaktorer til alle vanlige brøker.

Multipliser tellerne og nevnerne med faktorene som er definert for dem.

Legg til (trekk fra) tellerne av brøker, og la fellesnevneren være uendret.

Hvis telleren til minuenden er mindre enn subtrahenden, må du finne ut om vi har et blandet tall eller en egen brøk.

I det første tilfellet må heltallsdelen ta en. Legg til en nevner til telleren av en brøk. Og så gjør subtraksjonen.

I den andre - det er nødvendig å bruke subtraksjonsregelen fra færre mer. Det vil si, trekk modulen til minuenden fra modulen til subtrahenden, og sett "-" tegnet som svar.

Se nøye på resultatet av addisjon (subtraksjon). Hvis det viste seg uekte brøk, så er det nødvendig å velge hele delen. Det vil si å dele telleren på nevneren.

Multiplikasjon og divisjon

For gjennomføringen trenger ikke brøker reduseres til fellesnevner. Dette gjør det lettere å iverksette tiltak. Men de må fortsatt følge reglene.

Når du multipliserer vanlige brøker, er det nødvendig å vurdere tallene i tellerne og nevnerne. Hvis noen teller og nevner har en felles faktor, kan de reduseres.

Multipliser tellere.

Multipliser nevnerne.

Hvis du får en reduserbar brøk, skal den forenkles igjen.

Når du deler, må du først erstatte divisjon med multiplikasjon, og divisor (andre brøk) med en resiprok (bytt om teller og nevner).

Fortsett deretter som i multiplikasjon (starter fra trinn 1).

I oppgaver der du må multiplisere (dividere) med et heltall, skal sistnevnte skrives som en uekte brøk. Det vil si med en nevner på 1. Fortsett deretter som beskrevet ovenfor.



Operasjoner med desimaler

Addisjon og subtraksjon

Selvfølgelig kan du alltid gjøre om en desimal til en vanlig brøk. Og handle i henhold til den allerede beskrevne planen. Men noen ganger er det mer praktisk å handle uten denne oversettelsen. Da vil reglene for addisjon og subtraksjon deres være nøyaktig de samme.

Utlign antall sifre i brøkdelen av tallet, det vil si etter desimaltegn. Tilordne det manglende antallet nuller i den.

Skriv brøker slik at kommaet står under kommaet.

Legg til (trekk fra) som naturlige tall.

Fjern kommaet.

Multiplikasjon og divisjon

Det er viktig at du ikke trenger å legge til nuller her. Brøker er ment å stå slik de er gitt i eksemplet. Og så gå etter planen.

For multiplikasjon må du skrive brøker under hverandre, ikke ta hensyn til komma.

Multipliser som naturlige tall.

Sett et komma i svaret, og tell fra høyre side av svaret like mange sifre som de er i brøkdelene av begge faktorene.

For å dele må du først konvertere divisoren: gjør den til et naturlig tall. Det vil si, gang det med 10, 100 osv., avhengig av hvor mange sifre som er i brøkdelen av divisoren.

Multipliser utbyttet med samme tall.

Del en desimal med et naturlig tall.

Sett et komma i svaret i det øyeblikket delingen av hele delen avsluttes.



Hva om det er begge typer brøker i ett eksempel?

Ja, i matematikk er det ofte eksempler på at du må utføre operasjoner på vanlige og desimalbrøker. Det er to mulige løsninger på disse problemene. Du må objektivt veie tallene og velge den beste.

Første måte: representere vanlige desimaler

Det egner seg hvis du ved deling eller oversettelse får endelige brøker. Hvis minst ett tall gir en periodisk del, er denne teknikken forbudt. Derfor, selv om du ikke liker å jobbe med vanlige brøker, må du telle dem.

Den andre måten: skriv desimalbrøker som vanlige

Denne teknikken er praktisk hvis det er 1-2 sifre i delen etter desimaltegn. Hvis det er flere av dem, kan en veldig stor ordinær brøk dukke opp, og desimaloppføringer vil tillate deg å beregne oppgaven raskere og enklere. Derfor er det alltid nødvendig å nøkternt vurdere oppgaven og velge den enkleste løsningsmetoden.

§ 102. Foreløpige avklaringer.

I forrige del tok vi for oss brøker med alle mulige nevnere og kalte dem vanlige brøker. Vi var interessert i hver brøk som oppsto i prosessen med å måle eller dele, uavhengig av hva slags nevner vi fikk.

Nå, fra hele settet med brøker, vil vi velge brøker med nevnere: 10, 100, 1 000, 10 000, osv., dvs. slike brøker, hvis nevnere bare er tall representert av enhet (1) etterfulgt av nuller (en eller flere). Slike brøker kalles desimal.

Her er eksempler på desimaler:

Vi har møtt desimalbrøker tidligere, men har ikke angitt noen spesielle egenskaper som ligger i dem. Nå skal vi vise at de har noen bemerkelsesverdige egenskaper, som forenkler alle beregninger med brøker.

§ 103. Bilde av en desimalbrøk uten nevner.

Desimalbrøker skrives vanligvis ikke på samme måte som vanlige brøker, men etter reglene som hele tall skrives etter.

For å forstå hvordan du skriver en desimal uten en nevner, må du huske hvordan du skriver inn desimalsystem hvilket som helst heltall. Hvis vi for eksempel skriver tresifret tall ved å bruke bare tallet 2, dvs. tallet 222, vil hver av disse to ha spesiell betydning avhengig av plassen den opptar i antallet. De to første fra høyre står for enheter, den andre for tiere og den tredje for hundrevis. Dermed angir et hvilket som helst siffer til venstre for et annet siffer enheter som er ti ganger større enn de som er angitt av det forrige sifferet. Hvis et siffer mangler, skrives null i stedet.

Så i et helt tall er enheter på første plass til høyre, tiere er på andre plass osv.

La oss nå reise spørsmålet om hvilken kategori enheter som vil bli oppnådd hvis vi for eksempel er i tallet 222 med Ikke sant side vil vi legge til ett nummer til. For å svare på dette spørsmålet må du ta hensyn til at de to siste (den første fra høyre) angir enheter.

Derfor, hvis vi etter toeren, som angir enheter, skriver et annet tall, for eksempel 3, litt tilbake, så vil det betegne enheter, ti ganger mindre enn de forrige, med andre ord vil det betegne tideler enheter; resultatet er et tall som inneholder 222 hele enheter og 3 tideler av en enhet.

Det er vanlig å sette et komma mellom heltalls- og brøkdelene av tallet, dvs. skrive slik:

Hvis vi etter trippelen i dette tallet legger til et annet tall, for eksempel 4, vil det bety 4 hundredeler brøkdeler av en enhet; nummeret vil se slik ut:

og uttales: to hundre og tjueto punkt, trettifire hundredeler.

Et nytt siffer, for eksempel 5, som blir tildelt dette nummeret, gir oss tusendeler: 222.345 (to hundre og tjueto poeng, tre hundre og førtifem tusendeler).

For større klarhet kan arrangementet i antall heltalls- og brøksiffer presenteres i form av en tabell:

Dermed har vi forklart hvordan desimalbrøker skrives uten nevner. La oss skrive noen av disse brøkene.

For å skrive en brøk uten nevner 5/10, må du ta hensyn til at den ikke har heltall, og derfor må plassen til heltall være okkupert av null, dvs. 5/10 = 0,5.

Brøken 2 9/100 uten nevner vil bli skrevet slik: 2,09, det vil si at null må settes i stedet for tiendedelene. Hvis vi hoppet over denne 0-en, ville vi fått en helt annen brøk, nemlig 2,9, altså to hele poeng og ni tideler.

Så når du skriver desimalbrøker, må du angi de manglende heltalls- og brøksifrene med null:

0,325 - ingen heltall,
0,012 - ingen heltall og ingen tideler,
1,208 - ingen hundredeler,
0,20406 - ingen heltall, ingen hundredeler og ingen ti tusendeler.

Tallene til høyre for desimaltegnet kalles desimalplasser.

For å unngå feil når du skriver desimalbrøker, må du huske at etter desimaltegnet i bildet av en desimalbrøk skal det være like mange sifre som det vil være nuller i nevneren hvis vi skrev denne brøken med en nevner, dvs.

0,1 \u003d 1 / 10 (nevneren har en null og ett siffer etter desimalpunktet);

§ 104. Å sette nuller til en desimalbrøk.

I forrige avsnitt ble det beskrevet hvordan desimalbrøker uten nevnere vises. Veldig viktig når du skriver desimalbrøker, har den en null. Hver vanlig desimalbrøk har en null i stedet for heltall for å indikere at en slik brøk ikke har heltall. Vi skal nå skrive flere forskjellige desimaler ved å bruke tallene: 0, 3 og 5.

0,35 - 0 heltall, 35 hundredeler,
0,035 - 0 heltall, 35 tusendeler,
0,305 - 0 heltall, 305 tusendeler,
0,0035 - 0 heltall, 35 titusendeler.

La oss nå finne ut hva som er meningen med nullene plassert på slutten av desimalbrøken, dvs. til høyre.

Hvis vi tar et heltall, for eksempel 5, setter et komma etter det, og så skriver null etter kommaet, så vil denne nullen bety null tideler. Derfor vil denne nullen som er tilordnet til høyre ikke påvirke verdien av tallet, dvs.

La oss nå ta tallet 6.1 og legge til null til det til høyre, vi får 6.10, dvs. vi hadde 1/10 etter desimalpunktet, og det ble 10/100, men 10/100 er lik 1/10. Dette betyr at verdien av tallet ikke er endret, og fra oppgaven til høyre for null er det bare formen på tallet og uttalen som er endret (6,1 - seks komma en tiendedel; 6,10 - seks komma ti hundredeler).

Ved lignende resonnement kan vi sørge for at det å tilordne nuller til høyre til en desimalbrøk ikke endrer verdien. Derfor kan vi skrive følgende likheter:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 osv.

Hvis vi tildeler nuller til venstre for desimalbrøken, vil de ikke ha noen betydning. Faktisk, hvis vi skriver null til venstre for tallet 4.6, vil tallet ha formen 04.6. Hvor er null? Den står i stedet for tiere, det vil si at den viser at det ikke er tiere i dette tallet, men dette er tydelig selv uten null.

Imidlertid bør det huskes at noen ganger blir nuller tilordnet desimalbrøker til høyre. For eksempel er det fire brøker: 0,32; 2,5; 13,1023; 5.238. Vi tildeler nuller til høyre til de brøkene som har færre desimaler etter desimaltegn: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Hva er den til? Når vi tilordner nuller til høyre, fikk vi fire sifre etter desimaltegnet for hvert tall, noe som betyr at hver brøk vil ha en nevner på 10 000, og før vi tilordner nuller, var nevneren for den første brøken 100, den andre 10, den tredje 10 000 og den fjerde 1 000. Så dermed, ved å tilordne nuller, utjevnet vi antall desimaler i brøkene våre, dvs. brakte dem til en fellesnevner. Derfor utføres reduksjon av desimalbrøker til en fellesnevner ved å tilordne nuller til disse brøkene.

På den annen side, hvis en desimalbrøk har nuller til høyre, kan vi forkaste dem uten å endre verdien, for eksempel: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.

Hvordan skal man forstå en slik forkasting av nuller til høyre for desimalbrøken? Det tilsvarer reduksjonen, og dette kan sees hvis vi skriver disse desimalbrøkene med en nevner:

§ 105. Sammenligning av desimalbrøker i størrelsesorden.

Ved bruk av desimalbrøker er det svært viktig å kunne sammenligne brøker med hverandre og svare på spørsmålet om hvilke av dem som er like, hvilke som er større og hvilke som er mindre. Sammenligning av desimaler gjøres annerledes enn å sammenligne heltall. For eksempel et heltall tosifret tall alltid større enn et enkelt siffer, uansett hvor mange enheter det er i et enkelt siffer; et tresifret tall er mer enn et tosifret tall, og enda mer et ettsifret tall. Men når man sammenligner desimalbrøker, vil det være en feil å telle alle tegnene som brøker skrives med.

La oss ta to brøker: 3,5 og 2,5, og sammenligne dem i størrelse. De har samme desimaler, men den første brøken har 3 heltall, og den andre har 2. Den første brøken er større enn den andre, dvs.

La oss ta andre brøker: 0,4 og 0,38. For å sammenligne disse brøkene er det nyttig å tilordne null til høyre for den første brøken. Så skal vi sammenligne brøkene 0,40 og 0,38. Hver av dem har to sifre etter desimaltegnet, som betyr at disse brøkene har samme nevner 100.

Vi trenger bare å sammenligne deres tellere, men telleren 40 er større enn 38. Så den første brøken er større enn den andre, dvs.

Den første brøken har flere tideler enn den andre, men den andre brøken har 8 flere hundredeler, men de er mindre enn en tidel, fordi 1/10 \u003d 10/100.

La oss nå sammenligne slike brøker: 1,347 og 1,35. Vi tildeler null til høyre for den andre brøken og sammenligner desimalbrøkene: 1,347 og 1,350. Heltallsdelene er de samme, så du trenger bare å sammenligne brøkdelene: 0,347 og 0,350. Nevneren til disse brøkene er felles, men telleren til den andre brøken er større enn telleren til den første, noe som betyr at den andre brøken er større enn den første, dvs. 1.35\u003e 1.347.

Til slutt, la oss sammenligne ytterligere to brøker: 0,625 og 0,62473. Vi legger til to nuller til den første brøken slik at sifrene er like, og sammenligner de resulterende brøkene: 0,62500 og 0,62473. Deres nevnere er de samme, men telleren til den første brøken 62500 er større enn telleren til den andre brøken 62473. Derfor er den første brøken større enn den andre, dvs. 0,625 > 0,62473.

Basert på det foregående kan vi trekke følgende konklusjon: av to desimalbrøker er den med flere heltall større; når heltallene er like, er den brøkdelen større, der antallet tideler er større; når heltall og tideler er like, er den brøkdelen større, hvor antallet hundredeler er større osv.

§ 106. Økning og reduksjon av en desimalbrøk med 10, 100, 1 000 osv. ganger.

Vi vet allerede at å legge til nuller til en desimal ikke påvirker verdien. Da vi studerte heltall, så vi at hver null som ble tildelt til høyre økte tallet med 10 ganger. Det er ikke vanskelig å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis vi tar et heltall, for eksempel 25, og tildeler null til høyre for det, vil tallet øke med 10 ganger, tallet 250 er 10 ganger større enn 25. Når null dukket opp til høyre, tallet 5, som pleide å betegne enheter, begynte nå å betegne tiere, og tallet 2, som pleide å stå for tiere, står nå for hundrevis. Så takket være utseendet til null, ble de gamle sifrene erstattet av nye, de ble større, de flyttet ett sted til venstre. Når det er nødvendig å øke en desimalbrøk, for eksempel med 10 ganger, må vi også flytte sifrene ett sted til venstre, men en slik bevegelse kan ikke oppnås med null. En desimalbrøk består av en heltallsdel og en brøkdel, atskilt med komma. Til venstre for desimaltegnet er det laveste heltallssifferet, til høyre er det høyeste brøksifferet. Tenk på en brøkdel:

Hvordan kan vi flytte sifrene i den, minst ett sted, dvs. med andre ord, hvordan kan vi øke den 10 ganger? Hvis vi flytter kommaet ett sted til høyre, vil dette først og fremst påvirke skjebnen til de fem: det er fra regionen brøktall faller inn i hele talls rike. Nummeret vil da ha formen: 12345.678. Endringen skjedde med alle andre tall, og ikke bare med fem. Alle tall som er inkludert i nummeret begynte å spille ny rolle, skjedde følgende (se tabell):

Alle rangene skiftet navn, og alle rangenheter steg så å si en plass. Fra dette økte hele tallet med 10 ganger. Hvis du flytter kommaet ett tegn til høyre, økes tallet med 10 ganger.

La oss se på noen flere eksempler:

1) Ta brøken 0,5 og flytt kommaet ett sted til høyre; vi får tallet 5, som er 10 ganger mer enn 0,5, for før betydde de fem tideler av en enhet, og nå betyr det hele enheter.

2) Flytt kommaet i tallet 1.234 to sifre til høyre; tallet blir 123,4. Dette tallet er 100 ganger større enn det forrige, fordi tallet 3 i det begynte å betegne enheter, tallet 2 - tiere og tallet 1 - hundrevis.

For å øke desimalbrøken med 10, må du flytte kommaet i den ett sted til høyre; for å øke den med 100 ganger, må du flytte kommaet to steder til høyre; å øke 1000 ganger - tre sifre til høyre osv.

Hvis det samtidig ikke er nok tegn for nummeret, blir det tildelt nuller til høyre. La oss for eksempel øke brøkdelen 1,5 med 100 ganger ved å flytte kommaet med to sifre; vi får 150. La oss øke brøkdelen 0,6 med 1000 ganger; vi får 600.

tilbake om nødvendig avta desimalbrøk med 10, 100, 1000 osv. ganger, så må du flytte kommaet til venstre i det med ett, to, tre osv. tegn. La brøken 20,5 gis; la oss redusere den med 10 ganger; for å gjøre dette, flytter vi komma ett-tegnet til venstre, brøken vil ha formen 2.05. La oss redusere brøken 0,015 med 100 ganger; vi får 0,00015. La oss redusere tallet 334 med 10 ganger; vi får 33,4.

I denne artikkelen vil vi analysere hvordan konvertere vanlige brøker til desimaler, og vurdere også den omvendte prosessen - konvertering av desimalbrøker til vanlige brøker. Her vil vi uttrykke reglene for å invertere brøker og gi detaljerte løsninger typiske eksempler.

Sidenavigering.

Konvertering av vanlige brøker til desimaler

La oss betegne rekkefølgen vi skal forholde oss til konvertere vanlige brøker til desimaler.

Først skal vi se på hvordan vi kan representere vanlige brøker med nevnerne 10, 100, 1000, ... som desimalbrøker. Dette er fordi desimalbrøker i hovedsak er en kompakt form av vanlige brøker med nevnerne 10, 100, ....

Etter det skal vi gå videre og vise hvordan enhver vanlig brøk (ikke bare med nevnere 10, 100, ...) kan skrives som en desimalbrøk. Med denne konverteringen av vanlige brøker oppnås både endelige desimalbrøker og uendelige periodiske desimalbrøker.

Nå om alt i orden.

Konvertering av vanlige brøker med nevnere 10, 100, ... til desimalbrøker

Noen vanlige brøker trenger "foreløpig forberedelse" før de konverteres til desimaler. Dette gjelder vanlige brøker, hvor antall sifre i telleren er mindre enn antallet nuller i nevneren. For eksempel må den vanlige brøken 2/100 først klargjøres for konvertering til en desimalbrøk, men brøken 9/10 trenger ikke å forberedes.

Den "foreløpige forberedelsen" av korrekte vanlige brøker for konvertering til desimalbrøker består i å legge til så mange nuller til venstre i telleren at det Total sifre ble lik antallet nuller i nevneren. For eksempel vil en brøk etter å ha lagt til nuller se ut som .

Etter å ha forberedt riktig ordinær brøk, kan du begynne å konvertere den til en desimalbrøk.

La oss gi regel for å konvertere en vanlig fellesbrøk med en nevner på 10, eller 100, eller 1000, ... til en desimalbrøk. Den består av tre trinn:

• skriv ned 0 ;
• sett et desimaltegn etter det;
• skriv ned tallet fra telleren (sammen med lagt til nuller, hvis vi la dem til).

Vurder bruken av denne regelen for å løse eksempler.

Eksempel.

Konverter den riktige brøken 37/100 til desimal.

Løsning.

Nevneren inneholder tallet 100, som har to nuller i oppføringen. Telleren inneholder tallet 37, det er to sifre i posten, derfor trenger ikke denne brøken å forberedes for konvertering til en desimalbrøk.

Nå skriver vi 0, setter et desimaltegn, og skriver tallet 37 fra telleren, mens vi får desimalbrøken 0,37.

Svar:

0,37 .

For å konsolidere ferdighetene til å oversette vanlige vanlige brøker med tellere 10, 100, ... til desimalbrøker, vil vi analysere løsningen av et annet eksempel.

Eksempel.

skrive ned riktig brøkdel 107/10 000 000 som desimal.

Løsning.

Antall sifre i telleren er 3, og antall nuller i nevneren er 7, så denne vanlige brøken må forberedes for konvertering til desimal. Vi må legge til 7-3=4 nuller til venstre i telleren slik at det totale antallet sifre der blir lik antallet nuller i nevneren. Vi får .

Det gjenstår å danne ønsket desimalbrøk. For å gjøre dette skriver vi for det første ned 0, for det andre setter vi et komma, for det tredje skriver vi ned tallet fra telleren sammen med nuller 0000107 , som et resultat har vi en desimalbrøk 0,0000107 .

Svar:

0,0000107 .

Uekte vanlige brøker trenger ikke forberedelse når du konverterer til desimalbrøker. Følgende bør følges regler for å konvertere uekte fellesbrøker med nevnere 10, 100, ... til desimalbrøker:

• skriv ned tallet fra telleren;
• vi skiller med et desimaltegn like mange sifre til høyre som det er null i nevneren til den opprinnelige brøken.

La oss analysere bruken av denne regelen når vi løser et eksempel.

Eksempel.

Konverter uekte vanlig brøk 56 888 038 009/100 000 til desimal.

Løsning.

For det første skriver vi ned tallet fra telleren 56888038009, og for det andre skiller vi 5 sifre til høyre med et desimaltegn, siden det er 5 nuller i nevneren til den opprinnelige brøken. Som et resultat har vi en desimalbrøk 568 880,38009.

Svar:

568 880,38009 .

For å konvertere et blandet tall til en desimalbrøk, hvor nevneren til brøkdelen er tallet 10, eller 100, eller 1000, ..., kan du konvertere det blandede tallet til en uekte vanlig brøk, hvoretter den resulterende brøken kan konverteres til en desimalbrøk. Men du kan også bruke følgende regelen for å konvertere blandede tall med en nevner av brøkdelen 10, eller 100, eller 1000, ... til desimalbrøker:

• om nødvendig utfører vi "foreløpig forberedelse" av brøkdelen av det opprinnelige blandede tallet ved å legge til nødvendig beløp nuller til venstre i telleren;
• skriv ned heltallsdelen av det opprinnelige blandede tallet;
• sette et desimaltegn;
• vi skriver tallet fra telleren sammen med de adderte nullene.

La oss vurdere et eksempel, i løsningen som vi vil utføre alle nødvendige trinn for å representere et blandet tall som en desimalbrøk.

Eksempel.

Konverter blandet tall til desimal.

Løsning.

Det er 4 nuller i nevneren til brøkdelen, og tallet 17 i telleren, som består av 2 sifre, derfor må vi legge til to nuller til venstre i telleren slik at antall tegn der blir lik antall nuller i nevneren. Ved å gjøre dette vil telleren være 0017 .

Nå skriver vi ned heltallsdelen av det opprinnelige tallet, det vil si tallet 23, setter et desimaltegn, hvoretter vi skriver tallet fra telleren sammen med de adderte nullene, det vil si 0017, mens vi får ønsket desimal. brøk 23.0017.

La oss kort skrive ned hele løsningen: .

Det var utvilsomt mulig å først representere det blandede tallet som en uekte brøk, og deretter konvertere det til en desimalbrøk. Med denne tilnærmingen ser løsningen slik ut:

Svar:

23,0017 .

Konvertering av vanlige brøker til endelige og uendelige periodiske desimalbrøker

Ikke bare vanlige brøker med nevnerne 10, 100, ... kan konverteres til en desimalbrøk, men vanlige brøker med andre nevnere. Nå skal vi finne ut hvordan dette gjøres.

I noen tilfeller reduseres den opprinnelige ordinære brøken lett til en av nevnerne 10, eller 100, eller 1000, ... (se reduksjonen av en ordinær brøk til en ny nevner), hvoretter det ikke er vanskelig å presentere resulterende brøk som en desimalbrøk. For eksempel er det åpenbart at brøken 2/5 kan reduseres til en brøk med nevneren 10, for dette må du multiplisere telleren og nevneren med 2, noe som vil gi en brøk 4/10, som ifølge regler diskutert i forrige avsnitt, kan enkelt konverteres til en desimalbrøk 0, fire .

I andre tilfeller må du bruke en annen måte å konvertere en vanlig brøk til en desimal, som vi nå skal vurdere.

For å konvertere en vanlig brøk til en desimalbrøk, deles telleren av brøken på nevneren, telleren erstattes først med en lik desimalbrøk med et hvilket som helst antall nuller etter desimaltegnet (vi snakket om dette i avsnittet lik og ulik desimalbrøk). I dette tilfellet utføres divisjon på samme måte som divisjon med en kolonne med naturlige tall, og et desimaltegn plasseres i kvotienten når divisjonen av heltallsdelen av utbyttet avsluttes. Alt dette vil bli klart fra løsningene av eksemplene gitt nedenfor.

Eksempel.

Konverter fellesbrøken 621/4 til desimal.

Løsning.

Vi representerer tallet i telleren 621 som en desimalbrøk ved å legge til et desimaltegn og noen nuller etter det. Til å begynne med vil vi legge til 2 sifre 0, senere, om nødvendig, kan vi alltid legge til flere nuller. Så vi har 621,00 .

La oss nå dele tallet 621 000 med 4 med en kolonne. De tre første trinnene er ikke forskjellig fra deling med en kolonne naturlige tall, hvoretter vi kommer til følgende bilde:

Så vi kom til desimaltegnet i utbyttet, og resten er forskjellig fra null. I dette tilfellet setter vi et desimaltegn i kvotienten, og fortsetter divisjonen med en kolonne, og ignorerer kommaene:

Denne inndelingen er fullført, og som et resultat fikk vi desimalbrøken 155,25, som tilsvarer den opprinnelige ordinære brøken.

Svar:

155,25 .

For å konsolidere materialet, vurder løsningen av et annet eksempel.

Eksempel.

Konverter fellesbrøken 21/800 til desimal.

Løsning.

For å konvertere denne vanlige brøken til en desimal, la oss dele desimalbrøken 21 000 ... med 800 med en kolonne. Etter det første trinnet må vi sette et desimaltegn i kvotienten, og deretter fortsette divisjonen:

Til slutt fikk vi resten 0, på denne er konverteringen av ordinær brøk 21/400 til desimalbrøk fullført, og vi har kommet til desimalbrøk 0,02625.

Svar:

0,02625 .

Det kan hende at når vi deler telleren med nevneren til en vanlig brøk, får vi aldri en rest av 0. I disse tilfellene kan delingen fortsette så lenge det er ønskelig. Fra et bestemt trinn begynner imidlertid resten å gjenta seg med jevne mellomrom, mens sifrene i kvotienten også gjentar seg. Dette betyr at den opprinnelige fellesbrøken oversettes til en uendelig periodisk desimal. La oss vise dette med et eksempel.

Eksempel.

Skriv fellesbrøken 19/44 som en desimal.

Løsning.

For å konvertere en vanlig brøk til en desimal, utfører vi divisjon med en kolonne:

Det er allerede klart at ved deling begynte restene 8 og 36 å gjenta seg, mens tallene 1 og 8 gjentas i kvotienten. Dermed blir den opprinnelige ordinære brøken 19/44 oversatt til en periodisk desimalbrøk 0,43181818…=0,43(18) .

Svar:

0,43(18) .

Avslutningsvis av dette avsnittet vil vi finne ut hvilke vanlige brøker som kan konverteres til siste desimalbrøker, og hvilke som kun kan konverteres til periodiske.

La oss ha en irreduserbar vanlig brøk foran oss (hvis brøken er reduserbar, så utfører vi først reduksjonen av brøken), og vi må finne ut hvilken desimalbrøk den kan konverteres til - endelig eller periodisk.

Det er klart at hvis en vanlig brøk kan reduseres til en av nevnerne 10, 100, 1000, ..., så kan den resulterende brøken enkelt konverteres til en endelig desimalbrøk i henhold til reglene diskutert i forrige avsnitt. Men til nevnerne 10, 100, 1000 osv. ikke alle vanlige brøker er gitt. Bare brøker kan reduseres til slike nevnere, hvis nevnere er minst ett av tallene 10, 100, ... Og hvilke tall kan være delere av 10, 100, ...? Tallene 10, 100, … lar oss svare på dette spørsmålet, og de er som følger: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Det følger at divisorene på 10, 100, 1000, etc. det kan bare være tall hvis utvidelser til primære faktorer inneholder bare tallene 2 og (eller) 5 .

Nå kan vi lage en generell konklusjon om konvertering av vanlige brøker til desimalbrøker:

• hvis bare tallene 2 og (eller) 5 er tilstede i dekomponeringen av nevneren til primfaktorer, kan denne brøken konverteres til en endelig desimalbrøk;
• hvis det i tillegg til to og femmere er andre i utvidelsen av nevneren primtall, så blir denne brøken oversatt til en uendelig desimal periodisk brøk.

Eksempel.

Uten å konvertere vanlige brøker til desimaler, fortell meg hvilken av brøkene 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 som kan konverteres til en endelig desimalbrøk, og hvilke som bare kan konverteres til en periodisk.

Løsning.

Primfaktoriseringen av nevneren til brøken 47/20 har formen 20=2 2 5 . Det er bare toere og femmere i denne utvidelsen, så denne brøken kan reduseres til en av nevnerne 10, 100, 1000, ... (i dette eksempelet til nevneren 100), og kan derfor konverteres til en siste desimal brøkdel.

Primfaktoriseringen av nevneren til brøken 7/12 har formen 12=2 2 3 . Siden den inneholder en enkel faktor 3 forskjellig fra 2 og 5, kan ikke denne brøken representeres som en endelig desimalbrøk, men kan konverteres til en periodisk desimalbrøk.

Brøkdel 21/56 - kontraktible, etter reduksjon har den formen 3/8. Dekomponeringen av nevneren til primfaktorer inneholder tre faktorer lik 2, derfor kan den ordinære brøken 3/8, og dermed brøken lik den 21/56, oversettes til en endelig desimalbrøk.

Til slutt er utvidelsen av nevneren til brøken 31/17 i seg selv 17, derfor kan denne brøken ikke konverteres til en endelig desimalbrøk, men den kan konverteres til en uendelig periodisk.

Svar:

47/20 og 21/56 kan konverteres til siste desimal, mens 7/12 og 31/17 kun kan konverteres til periodisk desimal.

Vanlige brøker konverteres ikke til uendelige ikke-repeterende desimaler

Informasjonen i forrige avsnitt reiser spørsmålet: "Kan en uendelig ikke-periodisk brøk oppnås ved å dele telleren til en brøk med nevneren"?

Svar: nei. Når du oversetter en vanlig brøk, kan enten en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk oppnås. La oss forklare hvorfor det er slik.

Fra delelighetsteoremet med rest er det klart at resten alltid er mindre divisor, det vil si at hvis vi deler et heltall med et heltall q , så kan resten være bare ett av tallene 0, 1, 2, ..., q−1 . Det følger at etter at delingen av heltallsdelen av telleren til en ordinær brøk med nevneren q er fullført, etter ikke mer enn q trinn, vil en av følgende to situasjoner oppstå:

• enten får vi resten 0 , dette vil avslutte divisjonen, og vi får den siste desimalbrøken;
• eller vi får en rest som allerede har dukket opp før, hvoretter restene vil begynne å gjenta seg som i forrige eksempel (siden ved deling like tall på q oppnås like rester, som følger av det allerede nevnte delelighetsteoremet), så en uendelig periodisk desimalbrøk vil bli oppnådd.

Det kan ikke være andre alternativer, derfor, når du konverterer en vanlig brøk til en desimalbrøk, kan en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk ikke oppnås.

Det følger også av begrunnelsen gitt i denne paragrafen at lengden på perioden til en desimalbrøk alltid er mindre enn verdien av nevneren til den tilsvarende vanlige brøken.

Konverter desimaler til vanlige brøker

La oss nå finne ut hvordan du konverterer en desimalbrøk til en vanlig. La oss starte med å konvertere siste desimaler til vanlige brøker. Etter det, vurder metoden for å invertere uendelige periodiske desimalbrøker. Avslutningsvis, la oss si om umuligheten av å konvertere uendelige ikke-periodiske desimalbrøker til vanlige brøker.

Konvertering av sluttdesimaler til vanlige brøker

Å få en vanlig brøk, som skrives som en siste desimalbrøk, er ganske enkelt. Regelen for å konvertere en siste desimalbrøk til en vanlig brøk består av tre trinn:

• først, skriv den gitte desimalbrøken inn i telleren, etter å ha forkastet desimaltegnet og alle nullene til venstre, hvis noen;
• for det andre, skriv én i nevneren og legg til så mange nuller til den som det er sifre etter desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken;
• for det tredje, om nødvendig, reduser den resulterende fraksjonen.

La oss vurdere eksempler.

Eksempel.

Konverter desimaltallet 3,025 til en vanlig brøk.

Løsning.

Hvis vi fjerner desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken, får vi tallet 3025. Den har ingen nuller til venstre som vi ville forkastet. Så i telleren for den nødvendige brøken skriver vi 3025.

Vi skriver tallet 1 i nevneren og legger til 3 nuller til høyre for det, siden det er 3 sifre i den opprinnelige desimalbrøken etter desimaltegnet.

Så vi fikk en vanlig brøk 3 025/1 000. Denne brøkdelen kan reduseres med 25, får vi .

Svar:

.

Eksempel.

Konverter desimal 0,0017 til vanlig brøk.

Løsning.

Uten et desimaltegn, ser den opprinnelige desimalbrøken ut som 00017, forkastet nuller til venstre, får vi tallet 17, som er telleren til ønsket ordinær brøk.

I nevneren skriver vi en enhet med fire nuller, siden det i den opprinnelige desimalbrøken er 4 siffer etter desimaltegnet.

Som et resultat har vi en ordinær brøk 17/10 000. Denne brøken er irreduserbar, og konverteringen av en desimalbrøk til en vanlig er fullført.

Svar:

.

Når heltallsdelen av den opprinnelige endelige desimalbrøken er forskjellig fra null, kan den umiddelbart konverteres til et blandet tall, utenom den vanlige brøken. La oss gi regel for å konvertere en siste desimal til et blandet tall:

• tallet før desimaltegnet må skrives som heltallsdelen av ønsket blandet tall;
• i telleren til brøkdelen må du skrive tallet oppnådd fra brøkdelen av den opprinnelige desimalbrøken etter å ha forkastet alle nullene til venstre i den;
• i nevneren til brøkdelen må du skrive tallet 1, som til høyre legger til så mange nuller som det er sifre i oppføringen av den opprinnelige desimalbrøken etter desimaltegnet;
• om nødvendig, reduser brøkdelen av det resulterende blandede antallet.

Tenk på et eksempel på å konvertere en desimalbrøk til et blandet tall.

Eksempel.

Uttrykk desimal 152,06005 som et blandet tall

Brøker

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Brøker på videregående er ikke særlig plagsomme. Foreløpig. Helt til du kjører inn i grader med rasjonelle indikatorer ja logaritmer. Og der…. Du trykker, du trykker på kalkulatoren, og den viser hele resultattavlen for noen tall. Du må tenke med hodet, som i tredje klasse.

La oss ta oss av brøker, endelig! Vel, hvor mye kan du bli forvirret i dem!? Dessuten er det hele enkelt og logisk. Så, hva er brøker?

Typer av brøker. Transformasjoner.

Brøker skjer tre typer.

1. Vanlige brøker , for eksempel:

Noen ganger, i stedet for en horisontal linje, setter de en skråstrek: 1/2, 3/4, 19/5, vel, og så videre. Her vil vi ofte bruke denne skrivemåten. Det øverste nummeret kalles teller, Nedre - nevner. Hvis du stadig forveksler disse navnene (det skjer ...), fortell deg selv setningen med uttrykket: " Zzzzz huske! Zzzzz nevner - ut zzzz u!" Se, alt vil bli husket.)

En strek, som er horisontal, som er skrå, betyr inndeling toppnummer (teller) til bunnnummer (nevner). Og det er det! I stedet for en strek er det fullt mulig å sette et divisjonstegn - to prikker.

Når delingen er fullt mulig, må den gjøres. Så i stedet for brøken "32/8" er det mye mer behagelig å skrive tallet "4". De. 32 er ganske enkelt delt på 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Jeg snakker ikke om brøkdelen "4/1". Som også bare er "4". Og hvis den ikke deler seg helt, lar vi den være en brøkdel. Noen ganger må du gjøre det motsatte. Lag en brøk fra et helt tall. Men mer om det senere.

2. Desimaler , for eksempel:

Det er i denne formen det vil være nødvendig å skrive ned svarene på oppgavene "B".

3. blandede tall , for eksempel:

Blandede tall brukes praktisk talt ikke på videregående skole. For å kunne jobbe med dem må de konverteres til vanlige brøker. Men du må definitivt vite hvordan du gjør det! Og så vil et slikt tall komme over i puslespillet og henge ... Fra bunnen av. Men vi husker denne prosedyren! Litt lavere.

Mest allsidig vanlige brøker. La oss begynne med dem. Forresten, hvis det er alle slags logaritmer, sinus og andre bokstaver i brøken, endrer ikke dette noe. I den forstand at alt handlinger med brøkuttrykk er ikke forskjellig fra handlinger med vanlige brøker!

Grunnleggende egenskap til en brøk.

Så la oss gå! Først av alt vil jeg overraske deg. Hele utvalget av brøktransformasjoner leveres av en enkelt egenskap! Det er det den heter grunnleggende egenskap til en brøk. Huske: Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (deltes) med samme tall, vil ikke brøken endres. De:

Det er klart du kan skrive videre, helt til du er blå i ansiktet. Ikke la sinus og logaritmer forvirre deg, vi vil behandle dem videre. Det viktigste å forstå er at alle disse forskjellige uttrykkene er samme brøkdel . 2/3.

Og vi trenger det, alle disse transformasjonene? Og hvordan! Nå vil du se selv. La oss først bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk for brøkforkortelser. Det ser ut til at saken er elementær. Vi deler teller og nevner med samme tall og det er det! Det er umulig å gå galt! Men... mennesket er et kreativt vesen. Du kan gjøre feil overalt! Spesielt hvis du må redusere ikke en brøkdel som 5/10, men brøkuttrykk med alle slags bokstaver.

Hvordan du reduserer brøker riktig og raskt uten å gjøre unødvendig arbeid, finner du i spesialparagraf 555.

En vanlig elev gidder ikke å dele teller og nevner med samme tall (eller uttrykk)! Han bare krysser ut alt likt ovenfra og nedenfra! Det er her den gjemmer seg typisk feil, blooper hvis du vil.

For eksempel må du forenkle uttrykket:

Det er ingenting å tenke på, vi krysser ut bokstaven "a" ovenfra og toeren nedenfra! Vi får:

Alt er riktig. Men egentlig delte du hele teller og hele nevner "a". Hvis du er vant til å bare krysse ut, så kan du i en fart krysse ut "a" i uttrykket

og få igjen

Noe som ville vært kategorisk feil. Fordi her hele teller på "a" allerede ikke delt! Denne brøkdelen kan ikke reduseres. Forresten, en slik forkortelse er, um ... en alvorlig utfordring for læreren. Dette er ikke tilgitt! Huske? Ved reduksjon er det nødvendig å dele hele teller og hele nevner!

Å redusere brøker gjør livet mye enklere. Du vil få en brøk et sted, for eksempel 375/1000. Og hvordan jobbe med henne nå? Uten kalkulator? Multipliser, si, legg til, firkant!? Og hvis du ikke er for lat, men forsiktig reduser med fem, og til og med med fem, og til og med ... mens den reduseres, kort sagt. Vi får 3/8! Mye finere, ikke sant?

Den grunnleggende egenskapen til en brøk lar deg konvertere vanlige brøker til desimaler og omvendt uten kalkulator! Dette er viktig for eksamen, ikke sant?

Hvordan konvertere brøker fra en form til en annen.

Det er enkelt med desimaler. Som det er hørt, slik er det skrevet! La oss si 0,25. Det er nullpunkt, tjuefem hundredeler. Så vi skriver: 25/100. Vi reduserer (deler telleren og nevneren med 25), vi får den vanlige brøken: 1/4. Alt. Det skjer, og ingenting reduseres. Som 0,3. Dette er tre tideler, dvs. 3/10.

Hva om heltall er ikke-null? Det er greit. Skriv ned hele brøken uten komma i telleren, og i nevneren - det som høres. For eksempel: 3.17. Dette er tre hele, sytten hundredeler. Vi skriver 317 i telleren, og 100 i nevneren.Vi får 317/100. Ingenting er redusert, det betyr alt. Dette er svaret. Elementær Watson! Fra alt det ovennevnte, en nyttig konklusjon: enhver desimalbrøk kan konverteres til en vanlig brøk .

Men invers transformasjon, vanlig til desimal, noen uten kalkulator kan ikke gjøre. Men du må! Hvordan vil du skrive ned svaret på eksamen!? Vi leser nøye og mestrer denne prosessen.

Hva er en desimalbrøk? Hun har i nevneren bestandig er verdt 10 eller 100 eller 1000 eller 10000 og så videre. Hvis din vanlige brøk har en slik nevner, er det ikke noe problem. For eksempel, 4/10 = 0,4. Eller 7/100 = 0,07. Eller 12/10 = 1,2. Og hvis det i svaret på oppgaven i avsnitt "B" viste seg 1/2? Hva vil vi skrive som svar? Desimaler kreves...

Vi husker grunnleggende egenskap til en brøk ! Matematikk lar deg fordelaktig gange telleren og nevneren med samme tall. For alle, forresten! Bortsett fra null, selvfølgelig. La oss bruke denne funksjonen til vår fordel! Hva kan nevneren ganges med, dvs. 2 slik at det blir 10, eller 100, eller 1000 (mindre er bedre, selvfølgelig...)? 5, åpenbart. Multipliser gjerne nevneren (dette er oss nødvendig) med 5. Men da må telleren også multipliseres med 5. Dette er allerede matte krav! Vi får 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Det er alt.

Men alle slags nevnere kommer over. For eksempel vil brøken 3/16 falle. Prøv det, finn ut hva du skal gange 16 med for å få 100, eller 1000... Fungerer det ikke? Deretter kan du ganske enkelt dele 3 med 16. I mangel av en kalkulator, må du dele med et hjørne, på et stykke papir, som i lavere karakterer undervist. Vi får 0,1875.

Og det er noen veldig dårlige nevnere. For eksempel kan ikke brøken 1/3 gjøres om til en god desimal. Både på en kalkulator og på et stykke papir får vi 0,3333333 ... Dette betyr at 1/3 inn i en eksakt desimalbrøk oversetter ikke. Akkurat som 1/7, 5/6 og så videre. Mange av dem er uoversettelige. Derfor en annen nyttig konklusjon. Ikke hver vanlig brøk konverteres til en desimal. !

Forresten, dette nyttig informasjon for selvtest. I avsnitt "B" som svar, må du skrive ned en desimalbrøk. Og du fikk for eksempel 4/3. Denne brøken konverteres ikke til desimal. Dette betyr at du har gjort en feil et sted på veien! Kom tilbake, sjekk løsningen.

Altså med vanlige og desimalbrøker sortert ut. Det gjenstår å håndtere blandede tall. For å jobbe med dem, må de alle konverteres til vanlige brøker. Hvordan gjøre det? Du kan ta en sjetteklassing og spørre ham. Men det er ikke alltid en sjetteklassing er for hånden ... Vi må gjøre det selv. Dette er ikke vanskelig. Multipliser nevneren til brøkdelen med heltallsdelen og legg til telleren til brøkdelen. Dette vil være telleren vanlig brøk. Hva med nevneren? Nevneren vil forbli den samme. Det høres komplisert ut, men det er faktisk ganske enkelt. La oss se et eksempel.

La inn problemet du så med skrekk nummeret:

Rolig, uten panikk, forstår vi. Hele delen er 1. En. Brøkdelen er 3/7. Derfor er nevneren til brøkdelen 7. Denne nevneren vil være nevneren til ordinær brøk. Vi teller telleren. Vi multipliserer 7 med 1 (heltallsdelen) og legger til 3 (telleren til brøkdelen). Vi får 10. Dette vil være telleren til en vanlig brøk. Det er alt. Det ser enda enklere ut i matematisk notasjon:

Helt klart? Da sikrer du suksess! Konverter til vanlige brøker. Du bør få 10/7, 7/2, 23/10 og 21/4.

Den omvendte operasjonen - å konvertere en uekte brøk til et blandet tall - er sjelden nødvendig på videregående skole. Vel, hvis... Og hvis du - ikke på videregående - kan du se nærmere på den spesielle seksjon 555. På samme sted vil du forresten lære om uekte brøker.

Vel, nesten alt. Du husket brøktyper og forsto hvordan konvertere dem fra en type til en annen. Spørsmålet gjenstår: Hvorfor gjør det? Hvor og når skal man bruke denne dype kunnskapen?

Jeg svarer. Ethvert eksempel i seg selv antyder de nødvendige handlingene. Hvis i eksemplet vanlige brøker, desimaler og partall blandede tall, konverterer vi alt til vanlige brøker. Det kan alltid gjøres. Vel, hvis noe som 0,8 + 0,3 er skrevet, så tror vi det, uten noen oversettelse. Hvorfor trenger vi ekstraarbeid? Vi velger den løsningen som er praktisk oss !

Hvis oppgaven er full av desimalbrøker, men um ... noen slags onde, gå til vanlige, prøv det! Se, alt blir bra. For eksempel må du kvadrere tallet 0,125. Ikke så lett hvis du ikke har mistet vanen med kalkulatoren! Ikke bare må du gange tallene i en kolonne, men også tenke på hvor du skal sette inn komma! Det fungerer absolutt ikke i mine tanker! Og hvis du går til en vanlig brøkdel?

0,125 = 125/1000. Vi reduserer med 5 (dette er for det første). Vi får 25/200. Nok en gang på 5. Vi får 5/40. Å, det krymper! Tilbake til 5! Vi får 1/8. Lett firkant (i tankene dine!) og få 1/64. Alt!

La oss oppsummere denne leksjonen.

1. Det er tre typer brøker. Vanlige, desimale og blandede tall.

2. Desimaler og blandede tall bestandig kan konverteres til vanlige brøker. Omvendt oversettelse ikke alltid tilgjengelig.

3. Valget av type brøker for arbeid med oppgaven avhenger av nettopp denne oppgaven. I nærvær av forskjellige typer brøker i en oppgave, er det mest pålitelige å bytte til vanlige brøker.

Nå kan du øve. Konverter først disse desimalbrøkene til vanlige:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Du bør få svar som dette (i et rot!):

På dette vil vi avslutte. I denne leksjonen har vi pusset opp de viktigste punktene om brøker. Det hender imidlertid at det ikke er noe spesielt å oppdatere ...) Hvis noen har glemt det helt, eller ikke har mestret det ennå ... De kan gå til en spesiell seksjon 555. Alt det grunnleggende er detaljert der. Mange plutselig forstå alt starter. Og de løser brøker i farten).

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Desimalbrøker er de samme vanlige brøkene, men i såkalt desimalnotasjon. Desimalnotasjon brukt for brøker med nevnere 10, 100, 1000 osv. I dette tilfellet, i stedet for brøk 1/10; 1/100; 1/1000; ... skriv 0,1; 0,01; 0,001;... .

For eksempel, 0,7 ( null komma sju) er en brøk 7/10; 5,43 ( fem komma førti-tre hundredeler) er en blandet fraksjon 5 43/100 (eller, tilsvarende, en upassende fraksjon 543/100).

Det kan skje at det er en eller flere nuller rett etter desimaltegnet: 1,03 er brøken 1 3/100; 17.0087 er brøken 1787/10000. Generell regel er dette: det må være like mange nuller i nevneren til en vanlig brøk som det er sifre etter desimaltegnet i desimalbrøken.

En desimal kan ende på én eller flere nuller. Det viser seg at disse nullene er "ekstra" - de kan ganske enkelt fjernes: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Kan du finne ut hvorfor det er slik?

Desimaler oppstår naturlig når du deler med "runde" tall - 10, 100, 1000, ... Sørg for å forstå følgende eksempler:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Legger du merke til et mønster her? Prøv å formulere det. Hva skjer hvis du multipliserer en desimal med 10, 100, 1000?

For å konvertere en vanlig brøk til en desimal, må du bringe den til en slags "rund" nevner:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 osv.

Å legge til desimalbrøker er mye mer praktisk enn vanlige brøker. Addisjon utføres på samme måte som med vanlige tall - i henhold til tilsvarende sifre. Når du legger til i en kolonne, må begrepene skrives slik at kommaene deres er på samme vertikal. Sumkommaet vil også vises på samme vertikal. Subtraksjonen av desimalbrøker utføres på nøyaktig samme måte.

Hvis, når du adderer eller subtraherer i en av brøkene, antall sifre etter desimaltegnet er mindre enn i den andre, bør det nødvendige antallet nuller legges til på slutten av denne brøken. Du kan ikke legge til disse nullene, men bare forestille deg dem i tankene dine.

Når du multipliserer desimalbrøker, skal de igjen multipliseres som vanlige tall (i dette tilfellet er det ikke lenger nødvendig å skrive komma under komma). I resultatet som er oppnådd, må du skille antall tegn lik det totale antallet desimaler i begge faktorene med komma.

Når du deler desimalbrøker, kan du samtidig flytte kommaet til høyre med samme antall sifre i utbytte og divisor: kvotienten vil ikke endre seg fra dette:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Forklar hvorfor det er slik?

1. Tegn en firkant på 10x10. Mal over en del av det lik: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 av arealet av hele torget.
2. Hva er 2,43 kvadrater? Tegn inn bildet.
3. Del 37 med 10; 795; fire; 2,3; 65,27; 0,48 og skriv resultatet som en desimalbrøk. Del disse tallene med 100 og 1000.
4. Multipliser med 10 tallene 4,6; 6,52; 23.095; 0,01999. Multipliser disse tallene med 100 og 1000.
5. Uttrykk desimalen som en brøk og reduser den:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Tenk deg i formen blandet fraksjon: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Skriv en vanlig brøk som en desimal:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 25/13; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Finn summen: a) 7,3 + 12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Tenk på en enhet som summen av to desimaler. Finn tjue andre måter å gjøre dette på.
10. Finn forskjellen: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67-52,07; f) 35.24–34.9975.
11. Finn produktet: a) 7,6 3,8; b) 4,8 12,5; c) 2,39 7,4; d) 3,74 9,65.