Hvordan uttrykke et tall fra en eksponent. Ekstremer, øke, minke

EXP-funksjonen i Excel brukes til å heve Euler-tallet (konstanten e, som er omtrent lik 2,718) til spesifisert grad og returnerer den tilsvarende numeriske verdien.

Eksempler på EXP-funksjoner i Excel

Bankinnskyteren ble tilbudt to innskuddsalternativer:

Innskudd med en årlig rente på 16 % og månedlig kapitalisering.
Kontinuerlig kapitaliseringsinnskudd (antall kapitaliseringsperioder - uendelig sett i løpet av innskuddsavtalen) med en årlig rente på 16 %.

Hvilket tilbud er mer lønnsomt? Innskuddsbeløpet er 50 000 rubler, kontraktens varighet er 5 år.

Visning av den opprinnelige datatabellen:

Formelen for å beregne den fremtidige verdien av innskuddet for den første versjonen av innskuddsavtalen:

BS(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

I det andre tilfellet skjer store bokstaver kontinuerlig, så du kan bruke følgende funksjon:

Beskrivelse av argumenter:

C3 - årlig rate;
C5 – kontraktens varighet;
C6 er det første innskuddsbeløpet.

Resultater:

Alternativet med kontinuerlig vekst av kapitalisering er mer lønnsomt.

Beregning av vevscelledelingshastighet i Excel

I første øyeblikk gang var det bare én celle av levende materie. Hvert 5. minutt deler en slik celle seg i 2 identiske celler. Bestem hvor mange vevsceller som dannes på 0,5 timer, 1,5 timer eller om dagen?

Den originale tabellen ser slik ut:

For å beregne bruker vi matriseformelen:

EXP(A3*C3:C5/B3)

Beskrivelse av argumenter:

A3 - økning i antall celler (100%, det vil si at resultatet av delingen av en celle er to nye celler);
C3:C5/B3 - periodene angitt av tilstanden, delt på cellens levetid til slutten av delingsprosessen.

Resultater:

Verdien 1,E+125 tilsvarer 10 25 .

Graden av reduksjon i massen til et radioaktivt stoff over tid

Mengde radioaktivt stoff halvert på seks måneder. Hvor mye vil stoffet veie etter 2 år hvis den opprinnelige massen var 18 kg.

Visning av den originale tabellen:

Formel for beregning:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Beskrivelse av argumenter:

B5 er startmassen til stoffet;
B2 - vekst ( negativ betydning, siden mengden stoff reduseres);
B4 / B3 - antall perioder som halveringstiden inntreffer.

Beregningsresultat:

Etter 2 år er det bare ca 330 g igjen fra 18 kg.

Funksjoner ved bruk av EXP-funksjonen i Excel

EXP-funksjonen har følgende syntaksnotasjon:

EXP(tall)

Det eneste og obligatoriske argumentet er tallet , som karakteriserer den numeriske verdien til eksponenten som det er nødvendig å heve konstanten e til.

Merknader 1:

Funksjonene LN og EXP er motsatte av hverandre i det returnerte resultatet. Logaritmen indikerer kraften som basen må heves til (i tilfelle av en naturlig logaritme lnx eksponent er omtrent 2,718) for å få x eksponent. EXP-funksjonen bestemmer eksponenten x.
Tallargumentet kan være et hvilket som helst tall i området reelle tall(hel og brøk negativ, positive verdier og 0). Resultatet av å kjøre =EXP(0) er 1.
De boolske verdiene TRUE og FALSE kan sendes som et argument til EXP og vil automatisk bli konvertert til henholdsvis de numeriske verdiene 1 og 0.
Hvis et tall ble sendt som et argument som ikke kan konverteres til numerisk verdi navn eller tekststreng, vil EXP-funksjonen returnere #VALUE!-feilkoden.
Funksjonen kan brukes som en matriseformel.

Merknader 2:

Tallet e er som kjent en indikator på graden av den naturlige logaritmen, som for eksempel skrives slik: ln10, det vil si logaritmen med grunntallet 2,718 av 10. Tallet e i seg selv er en indikator for vekst for enhver prosess, hvis avhengige mengder endres kontinuerlig med endringen av uavhengige. Eksempler inkluderer prosesser som deling av levende celler i kroppen (etter en viss tidsperiode deler en celle seg i to, deretter deler hver av disse to seg i to til, og så videre) eller nedbrytning av radioaktive stoffer (velvitende henfallskoeffisient kan du finne ut hvor mye radioaktivt stoff som er brutt ned til enklere grunnstoffer.
Tallet e brukes til å tilnærme (lage en forenklet modell) systemer hvis verdier endres ujevnt.
For å forstå den fysiske betydningen av tallet e, vurder prosessen med vekst av kapitalinvesteringer i en bank. For eksempel tilbød en bank en kapitalforhøyelse på 100 % på slutten av viss periode f.eks 12 måneder. Det vil si at fortjenesten til investoren vil dobles. Anta at prosessen med kapitalvekst er kontinuerlig gjennom hele året. Deretter, for å beregne mengden kapital etter 6 måneder, kan du bruke formelen R=(1+100%/2) 2 , hvor R er kapitalvekst, 2 er antall veksthalvperioder. Hvis vi bestemmer oss for å bestemme veksten i 4 måneder, vil formelen ha formen R=(1+100%/3) 3 , i 3 måneder - R=(1+100%/4) 4 osv. I generell sak vi har formelen R=(1+100%/x) x . Hvis x→∞ (går til uendelig) vil R (vekst) være 2,718. Det følger av dette at maksimalt mulig 100% vekst i den minste tidsperioden ikke kan overstige verdien av 2,718, som er tallet e (Euler-tallet). I det generelle tilfellet kan enhver vekst uttrykkes med formelen R \u003d e p * t, der p er økningen i verdi (for eksempel ikke 100%, som i eksemplene diskutert ovenfor, men 30%, det vil si 0,3 ), og t er tid (for eksempel hvis innskuddsavtalen er utformet for 5 år, så er t=5). Deretter, for å beregne i Excel, er det nok å angi formelen = EXP (0,3 * 5).

Ingeniørkalkulator online

Vi skynder oss å gi alle en gratis ingeniørkalkulator. Med dens hjelp kan enhver student raskt og, viktigst av alt, enkelt utføre ulike typer matematiske beregninger på nett.

Kalkulatoren er hentet fra siden - web 2.0 vitenskapelig kalkulator

En enkel og brukervennlig teknisk kalkulator med et diskret og intuitivt grensesnitt vil virkelig være nyttig for det bredeste spekteret av Internett-brukere. Nå, når du trenger en kalkulator, besøk nettstedet vårt og bruk den gratis tekniske kalkulatoren.

En teknisk kalkulator kan utføre like enkelt aritmetiske operasjoner, samt ganske komplekse matematiske beregninger.

Web20calc er en teknisk kalkulator som har stor mengde fungerer for eksempel som beregningen av alle elementære funksjoner. Kalkulatoren støtter også trigonometriske funksjoner, matriser, logaritmer og til og med plotting.

Web20calc vil utvilsomt være av interesse for gruppen mennesker som leter etter enkle løsninger vinner inn søkemotorer spørring: matematikk online kalkulator. Den gratis webapplikasjonen vil hjelpe deg med å umiddelbart beregne resultatet av et hvilket som helst matematisk uttrykk, for eksempel subtrahere, addere, dele, trekke ut roten, heve til en potens, etc.

I uttrykket kan du bruke operasjonene eksponentiering, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, prosent, PI-konstant. Parentes bør brukes for komplekse beregninger.

Funksjoner til ingeniørkalkulatoren:

1. grunnleggende aritmetiske operasjoner;
2. arbeide med tall i en standardform;
3. utregning trigonometriske røtter, funksjoner, logaritmer, eksponentiering;
4. statistiske beregninger: addisjon, aritmetisk gjennomsnitt eller standardavvik;
5. bruk av en minnecelle og brukerfunksjoner av 2 variabler;
6. arbeid med vinkler i radian- og gradmål.

Den tekniske kalkulatoren tillater bruk av en rekke matematiske funksjoner:

Utvinning av røtter (kvadratrot, kubikkrot, samt roten av n-te grad);
eks (e til x potens), eksponent;
trigonometriske funksjoner: sinus - sin, cosinus - cos, tangent - tan;
inverse trigonometriske funksjoner: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hyperbolske funksjoner: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangent - tanh;
logaritmer: base to binær logaritme - log2x, desimal logaritme base ti - logg, naturlig logaritme–ln.

Denne tekniske kalkulatoren inkluderer også en konverteringskalkulator fysiske mengder Til ulike systemer mål - dataenheter, avstand, vekt, tid osv. Med denne funksjonen kan du umiddelbart konvertere miles til kilometer, pund til kilogram, sekunder til timer osv.

For å gjøre matematiske beregninger, skriv først inn en sekvens av matematiske uttrykk i det aktuelle feltet, klikk deretter på likhetstegnet og se resultatet. Du kan legge inn verdier direkte fra tastaturet (for dette må kalkulatorområdet være aktivt, derfor vil det være nyttig å sette markøren i inntastingsfeltet). Data kan blant annet legges inn ved hjelp av knappene på selve kalkulatoren.

For å bygge grafer i inntastingsfeltet, skriv funksjonen som angitt i eksempelfeltet eller bruk verktøylinjen spesialdesignet for dette (for å gå til den, klikk på knappen med ikonet i form av en graf). For å konvertere verdier, trykk på Enhet, for å jobbe med matriser - Matrise.

Eksponent (tall e) - irrasjonelt tall, omtrent lik 2,71828. Tallet e spiller en stor rolle i differensialen og integralregning og brukes i nesten alle vitenskapelige felt. Så tørt matematisk definisjon avslører ikke essensen av fysisk sans utstillere. La oss vurdere mer detaljert.

Betydningen av tallet e

Tallet Pi er ikke bare et irrasjonelt tall lik 3,1415, men forholdet mellom omkretsen og diameteren som er det samme for alle tilfeller. På samme måte har tallet e sin egen betydning.

Eksponenten er basisvekstforholdet for alle vekstprosesser. Ethvert tall kan betraktes som en skalert enhet, hvilken som helst firkant som en skalert enhetskvadrat, hvilken som helst likesidet trekant- som forstørret eller forminsket høyre trekant, men enhver vekstfaktor kan representeres som en skalert faktor e.

Det er operasjonene på tallet e som vil gi deg muligheten til å bestemme vekstraten i situasjoner som befolkningsvekst, renter på et forekomst eller halveringstiden til et radioaktivt stoff.

Diskret vekst

Et grunnleggende eksempel på et kontinuerlig doblingssystem er multiplikasjonen av bakterier som dobles hver dag. Hvis dobling skjer én gang, så får vi matematisk 2 til første potens, det vil si bare 2. Hvis dobling x ganger, så får vi til slutt 2 til x potens av bakterier, penger eller andre gode.

Systemet kan imidlertid ikke endres 2 ganger, men for eksempel med 20 % eller 120 %. I dette tilfellet kan vi representere dobling ikke som en toer, men som 1 + 1 eller 1 + 100%. I en slik post kan vi erstatte enhver vekstfaktor og få vekstformelen som:

Vekst \u003d (1 + vekst) x,

hvor x er antall vekstsykluser.

Takket være denne formelen kan vi finne ut hvor mange bakterier vi får fra en celle etter 30 dager. Bakterier deler seg imidlertid diskret, det vil si at inntil en ny celle er dannet i løpet av et døgn, vil den ikke være i stand til å produsere nye organismer. Ved å bruke denne formelen på penger får vi et helt annet resultat.

Kontinuerlig vekst

Ved beregning av renter på penger er det ikke en diskret, men kontinuerlig vekst. Så snart en fortjeneste på et par pennies er påløpt på innskuddet, begynner disse pengene å gi sin egen fortjeneste. Det er ikke nødvendig å vente til en hel dollar er "født", som begynner å dele seg i likhet med bakterier. Det er nok å danne en cent, som vil begynne å generere mikroprofitt.

La oss forestille oss at vi har investert $1 i en virksomhet som lover oss 100 % fortjeneste på et år. Det betyr at vi får en økning:

Inntekt = (1 + 1) 1 = 2

Bare $2 - sparsomt. Men deler vi året inn i to halvår, får vi 50 øre for hvert halvår. De mottatte centene kan allerede generere overskudd på egen hånd, og da vil formelen endres.

Inntekt = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Siden vi nå har to doblingsperioder, har vi kvadrert økningen og har ytterligere 25 øre i inntekt. Hvis vi deler opp overskuddet vårt i 5 deler av 20 cent, vil det vise seg enda mer attraktivt:

Inntekt = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Kanskje vi kan dele overskuddet på ubestemt tid et stort nummer av små deler og få uendelig profitt? Dessverre ikke. Selv om vi deler dollaren vår i 100 000 deler, er inntekten:

Inntekt = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

Med en uendelig oppdeling av dollaren vil overskuddet øke med hundre tusendeler etter desimaltegn. Vår fortjeneste på $2,71826 vil vende mot 2,718281828, som ikke er annet enn tallet E.

Og hva betyr det hele

En eksponent er det størst mulige resultatet av 100 % kontinuerlig vekst over en bestemt tidsperiode. Ja, i utgangspunktet er vi lovet 100 % fortjeneste, det vil si bare $2, men hver cent gir sitt eget utbytte, og som et resultat har vi nøyaktig $2,71828 fortjeneste. Tallet e er det maksimale vi kan få når vi deler fortjenesten inn i summer av uendelig små verdier.

Dette betyr at hvis vi, med en potensiell avkastning på 100 %, investerer $1 i virksomheten, vil vi motta $2718 i netto fortjeneste. Hvis $2, så vil vi få 2x netto fortjeneste, og hvis $100, vil vår fortjeneste være 100x. Dermed er e en begrensende konstant som begrenser vekstprosesser på samme måte som lysets hastighet begrenser bevegelsen av informasjon i rommet. Tallet e er det maksimalt mulige resultatet, vanskelig å oppnå i praksis, derfor er mange prosesser i virkeligheten beskrevet ved å bruke deler av eksponenten.

Bruke eksponenten i praksis

Ved første øyekast er veksten avbildet som et tillegg på 1%, men matematisk uttrykkes en slik økning som en multiplikasjon med 1,01. I operasjoner med tallet e bruker vi altså potenser eller røtter. Eller naturlige logaritmer, hvis vi trenger den inverse operasjonen. Uansett hvilken vekstrate vi tar, vil det bety kraften for tallet e. Hvis vi for eksempel vet at vi innen 3 år vil tjene 200 %, så ganger vi ganske enkelt veksten (e 2) med 3 perioder og får :

Høyde \u003d (e 3) 2 \u003d e 6

Til bedre forståelse la oss se på eksempler.

Bankinnskudd

La oss si at vi har satt inn $100 i en bank med en årlig rente på 8 %. Den valgte banken tilbyr oss en full kapitalisering av renter, hvilket overskudd vil vi få om 5 år? Siden banken gir oss en kontinuerlig vekst av penger, vil kontoen vår allerede om 5 år ha:

Fortjeneste = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Utrolig, ikke sant? Dessverre bruker ekte banker sjelden renters rente, og hvis de beregner store bokstaver, så etter deres egne formler, som er noe forskjellig fra den klassiske eksponenten.

Halvt liv

Tenk deg at du har 5 kg radioaktivt uran, som forfaller med en hastighet på 100 % per år. Hvor mye uran vil du ha igjen etter 2 år? I teorien skulle alt uran forfalle det første året, men det er ikke slik. Etter 6 måneder vil du bare ha 2,5 kg uran igjen, som igjen vil begynne å forfalle med en hastighet på bare 2,5 kg per år. Om et par måneder til vil 1 kg uran være igjen i lageret ditt, men det vil også forfalle med mer lavere hastighet på nivået 1 kg per år. Over tid mister du radioaktivt drivstoff, og nedbrytningshastigheten avtar også. Så etter 2 år vil du ha:

Radioaktiv rest = 5 × e −2 = 0,676

Konklusjon

Eksponenten har bred bruk i situasjoner der noe vokser kontinuerlig eller diskret. Du kan bruke e-eksponentieringskalkulatoren til å beregne vekstresultatene for enhver kontinuerlig prosess.

y (x) = e x, hvis deriverte er lik selve funksjonen.

Eksponenten er betegnet som , eller .

e nummer

Grunnlaget for graden av eksponenten er e nummer. Dette er et irrasjonelt tall. Det er omtrent likt
e ≈ 2,718281828459045...

Tallet e bestemmes gjennom sekvensens grense. Dette såkalte andre fantastiske grensen:
.

Tallet e kan også representeres som en serie:
.

Utstillerkart

Eksponentplott, y = e x .

Grafen viser eksponenten, e i den grad X.
y (x) = e x
Grafen viser at eksponenten øker monotont.

Formler

Grunnformlene er de samme som for eksponentiell funksjon med base e.

;
;
;

Uttrykk for en eksponentiell funksjon med en vilkårlig base av grad a gjennom eksponenten:
.

Private verdier

La y (x) = e x. Deretter
.

Eksponentegenskaper

Eksponenten har egenskapene til en eksponentiell funksjon med en gradbasis e > 1 .

Definisjonsdomene, sett med verdier

Eksponent y (x) = e x definert for alle x.
Omfanget er:
- ∞ < x + ∞ .
Dens sett med betydninger:
0 < y < + ∞ .

Ekstremer, øke, redusere

Eksponenten er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene er presentert i tabellen.

Invers funksjon

Den gjensidige av eksponenten er naturlig logaritme.
;
.

Derivert av eksponenten

Derivat e i den grad X er lik e i den grad X :
.
Derivert av n-te orden:
.
Utledning av formler > > >

Integral

Komplekse tall

Handlinger med komplekse tall gjennomført gjennom Euler formler:
,
hvor er den imaginære enheten:
.

Uttrykk i form av hyperbolske funksjoner

; ;
.

Uttrykk i form av trigonometriske funksjoner

; ;
;
.

Power serie utvidelse

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for ingeniører og studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner, Lan, 2009.