Hvilken funksjon kalles løsningen av en differensialligning. Rekkefølgen av differensialligningen og dens løsninger, Cauchy-problemet

differensial ligning det kalles en ligning som relaterer den uavhengige variabelen x, den ønskede funksjonen y=f(x) og dens deriverte y",y"",\ldots,y^((n)), dvs. en ligning av formen

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

Hvis den ønskede funksjonen y \u003d y (x) er en funksjon av en uavhengig variabel x, kalles differensialligningen ordinær; for eksempel,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Når den ønskede funksjonen y er en funksjon av to eller flere uavhengige variabler, for eksempel hvis y=y(x,t) , så en ligning av formen

F\!\venstre(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

kalles en partiell differensialligning. Her er k,l ikke-negative heltall slik at k+l=m ; for eksempel

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte i ligningen. For eksempel er differensialligningen y"+xy=e^x en førsteordensligning, differensialligningen y""+p(x)y=0, hvor p(x) er en kjent funksjon, er en andre- ordensligning; differensialligningen y^( (9))-xy""=x^2 - 9. ordensligning.

Ved å løse differensialligningen n'te orden på intervallet (a,b) er en funksjon y=\varphi(x) definert på intervallet (a,b) sammen med dets deriverte opp til n'te orden inklusive, og slik at substitusjonen av funksjonen y= \varphi (x) til en differensialligning gjør sistnevnte til en identitet i x på (a,b) . For eksempel er funksjonen y=\sin(x)+\cos(x) en løsning på ligningen y""+y=0 på intervallet (-\infty,+\infty) . Vi har faktisk differensiert funksjonen to ganger

Y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

Ved å erstatte uttrykkene y"" og y i differensialligningen får vi identiteten

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

Grafen for å løse en differensialligning kalles integrert kurve denne ligningen.

Generell oversikt over førsteordensligningen

F(x,y,y")=0.

Hvis ligning (1) kan løses med hensyn til y" , så får vi første ordens ligning løst med hensyn til den deriverte.

Y"=f(x,y).

Cauchy-problemet er problemet med å finne en løsning y=y(x) av ligningen y"=f(x,y) som tilfredsstiller startbetingelsen y(x_0)=y_0 (en annen notasjon y|_(x=x_0) =y_0).

Geometrisk betyr dette at vi ser etter en integralkurve som går gjennom en gitt
punkt M_0(x_0,y_0) i xOy-planet (fig. 1).

Eksistens- og unikhetsteorem for løsning av Cauchy-problemet

La en differensialligning gis y"=f(x,y) , hvor funksjonen f(x,y) er definert i et område D i xOy-planet som inneholder punktet (x_0,y_0) . Hvis funksjonen f(x) ,y) tilfredsstiller betingelsene

a) f(x,y) er en kontinuerlig funksjon av to variabler x og y i domenet D ;

b) f(x,y) har en partiell derivert avgrenset i området D , så er det et intervall (x_0-h,x_0+h) hvor det er en unik løsning y=\varphi(x) av denne ligningen som tilfredsstiller betingelsen y(x_0 )=y_0 .

Teoremet gir tilstrekkelige betingelser for eksistensen av en unik løsning på Cauchy-problemet for ligningen y"=f(x,y) , men disse betingelsene er ikke nødvendig. Det kan nemlig være en unik løsning av ligningen y"=f(x,y) som tilfredsstiller betingelsen y(x_0)=y_0 , selv om betingelsene a) eller b) eller begge ikke er oppfylt i punktet (x_0,y_0 ).

Tenk på eksempler.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Her f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). Ved punktene (x_0,0) på Ox-aksen er betingelsene a) og b) ikke oppfylt (funksjonen f(x,y) og dens partielle deriverte \frac(\partial(f))(\partial(y)) er diskontinuerlige på Ox-aksen og ubegrenset ved y\to0 ), men en unik integralkurve y=\sqrt(3(x-x_0)) går gjennom hvert punkt på Ox-aksen (fig. 2).

2. y"=xy+e^(-y) . Høyre side av ligningen f(x,y)=xy+e^(-y) og dens partielle deriverte \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y) er kontinuerlige i x og y på alle punkter i planet xOy . I kraft av eksistens- og unikhetsteoremet har regionen der den gitte ligningen har en unik løsning
er hele planet xOy.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Høyre side av ligningen f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) er definert og kontinuerlig på alle punkter i xOy-planet. Delvis avledet \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) går til uendelig ved y=0 , dvs. på aksen Ox , slik at betingelse b) i eksistens- og unikhetsteoremet brytes for y=0. Følgelig, ved punktene på okseaksen, kan det unike krenkes. Det er lett å sjekke at funksjonen er en løsning av den gitte ligningen. I tillegg har ligningen en åpenbar løsning y\equiv0 . Således passerer minst to integrerte linjer gjennom hvert punkt på Ox-aksen, og følgelig blir unikheten faktisk krenket ved punktene til denne aksen (fig. 3).

De integrerte linjene i denne ligningen vil også være linjer sammensatt av biter av kubiske parabler y=\frac((x+c)^3)(8) og segmenter av Ox-aksen, for eksempel ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x, etc., slik at et uendelig sett med integrerte linjer passerer gjennom hvert punkt på Ox-aksen.

Lipschitz tilstand

Kommentar. Avledet bundet tilstand \partial(f)/\partial(y), som opptrer i eksistens- og unikhetsteoremet for løsning av Cauchy-problemet, kan svekkes noe og erstattes av den såkalte Lipschitz tilstand.

Det sies at en funksjon f(x,y) definert i et domene D tilfredsstiller Lipschitz-betingelsen på y i D hvis det eksisterer en slik konstant L ( Lipschitz konstant) at for enhver y_1,y_2 fra D og enhver x fra D er ulikheten

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Eksistens i domenet D av en avgrenset derivat \frac(\partial(f))(\partial(y)) er tilstrekkelig for at funksjonen f(x,y) skal tilfredsstille Lipschitz-betingelsen i D. Tvert imot, Lipschitz-betingelsen innebærer ikke avgrensningsbetingelsen \frac(\partial(f))(\partial(y)); sistnevnte eksisterer kanskje ikke engang. For eksempel, for ligningen y"=2|y|\cos(x) funksjonen f(x,y)=2|y|\cos(x) ikke differensierbar med hensyn til y på et punkt (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), men Lipschitz-tilstanden er oppfylt i et nabolag på dette punktet. Faktisk,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

fordi det |\cos(x)|\leqslant1, en ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Således er Lipschitz-betingelsen tilfredsstilt med konstanten L=2.

Teorem. Hvis funksjonen f(x,y) er kontinuerlig og tilfredsstiller Lipschitz-betingelsen på y i domenet D, så er Cauchy-problemet

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

har en unik løsning.

Lipschitz-tilstanden er avgjørende for det unike ved løsningen av Cauchy-problemet. Tenk på ligningen som et eksempel

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(caser)

Det er lett å se at funksjonen f(x, y) er kontinuerlig; på den andre siden,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

Hvis en y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, deretter

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta) ^2))|Y-y|,

og Lipschitz-betingelsen er ikke oppfylt i noen region som inneholder opprinnelsen O(0,0) , siden faktoren ved |Y-y| viser seg å være ubegrenset for x\to0 .

Denne differensialligningen tillater en løsning y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), hvor C er en vilkårlig konstant. Dette viser at det er et uendelig sett med løsninger som tilfredsstiller startbetingelsen y(0)=0.

Generell løsning differensialligning (2) kalles funksjonen

Y=\varphi(x, C),

avhengig av en vilkårlig konstant C , og slik at

1) den tilfredsstiller ligning (2) for alle tillatte verdier av konstanten C;

2) uansett starttilstand

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

man kan velge en slik verdi C_0 av konstanten C at løsningen y=\varphi(x,C_0) vil tilfredsstille den gitte startbetingelsen (4). Det antas at punktet (x_0,y_0) tilhører regionen der betingelsene for løsningens eksistens og egenart er oppfylt.

Privat avgjørelse differensialligning (2) er løsningen oppnådd fra den generelle løsningen (3) for en bestemt verdi av en vilkårlig konstant C .

Eksempel 1. Sjekk at funksjonen y=x+C er en generell løsning av differensialligningen y"=1 og finn en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsen y|_(x=0)=0. Gi en geometrisk tolkning av resultatet.

Løsning. Funksjonen y=x+C tilfredsstiller denne ligningen for alle verdier av en vilkårlig konstant C . Faktisk, y"=(x+C)"=1.

La oss sette en vilkårlig startbetingelse y|_(x=x_0)=y_0 . Setter vi x=x_0 og y=y_0 i ligningen y=x+C , finner vi at C=y_0-x_0 . Ved å erstatte denne verdien av C i denne funksjonen vil vi ha y=x+y_0-x_0 . Denne funksjonen tilfredsstiller den gitte startbetingelsen: setter vi x=x_0 , får vi y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Så funksjonen y=x+C er den generelle løsningen av denne ligningen.

Spesielt ved å sette x_0=0 og y_0=0 , får vi en bestemt løsning y=x .

Den generelle løsningen av denne ligningen, dvs. funksjonen y=x+C , definerer i xOy-planet en familie av parallelle linjer med helning k=1 . En enkelt integrert linje y=x+y_0-x_0 går gjennom hvert punkt M_0(x_0,y_0) i xOy-planet. Den spesielle løsningen y=x bestemmer en av integralkurvene, nemlig den rette linjen som går gjennom origo (fig. 4).

Eksempel 2. Sjekk at funksjonen y=Ce^x er den generelle løsningen av ligningen y"-y=0 og finn en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsen y|_(x=1)=-1. .

Løsning. Vi har y=Ce^x,~y"=Ce^x. Ved å erstatte uttrykkene y og y" i denne ligningen får vi Ce^x-Ce^x\equiv0 , dvs. funksjonen y=Ce^x tilfredsstiller denne ligningen for alle verdier av konstanten C .

La oss sette en vilkårlig startbetingelse y|_(x=x_0)=y_0 . Ved å erstatte x_0 og y_0 i stedet for x og y i funksjonen y=Ce^x , vil vi ha y_0=Ce^(x_0) , derfra C=y_0e^(-x_0) . Funksjonen y=y_0e^(x-x_0) tilfredsstiller startbetingelsen. Faktisk, forutsatt x=x_0, får vi y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. Funksjonen y=Ce^x er den generelle løsningen av denne ligningen.

For x_0=1 og y_0=-1 får vi en spesiell løsning y=-e^(x-1) .

Fra et geometrisk synspunkt definerer den generelle løsningen en familie av integralkurver, som er grafene til eksponentielle funksjoner; en spesiell løsning er en integralkurve som går gjennom punktet M_0(1;-1) (fig.5).

En relasjon av formen \Phi(x,y,C)=0 , som implisitt bestemmer den generelle løsningen, kalles felles integral differensialligning av første orden.

Relasjonen oppnådd fra det generelle integralet ved en bestemt verdi av konstanten C kalles privat integral differensial ligning.

Problemet med å løse eller integrere en differensialligning er å finne en generell løsning eller et generelt integral av en gitt differensialligning. Hvis en startbetingelse i tillegg er gitt, er det nødvendig å velge en bestemt løsning eller et bestemt integral som tilfredsstiller den gitte startbetingelsen.

Siden, fra et geometrisk synspunkt, er x- og y-koordinatene like, sammen med ligningen \frac(dx)(dy)=f(x,y) vi vil vurdere ligningen \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
ActiveX-kontroller må være aktivert for å kunne gjøre beregninger!

differensial ligning det kalles en ligning som relaterer den uavhengige variabelen x, den ønskede funksjonen y=f(x) og dens deriverte y",y"",\ldots,y^((n)), dvs. en ligning av formen

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

Hvis den ønskede funksjonen y \u003d y (x) er en funksjon av en uavhengig variabel x, kalles differensialligningen ordinær; for eksempel,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Når den ønskede funksjonen y er en funksjon av to eller flere uavhengige variabler, for eksempel hvis y=y(x,t) , så en ligning av formen

F\!\venstre(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

kalles en partiell differensialligning. Her er k,l ikke-negative heltall slik at k+l=m ; for eksempel

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

Ved å løse differensialligningen n'te orden på intervallet (a,b) er en funksjon y=\varphi(x) definert på intervallet (a,b) sammen med dets deriverte opp til n'te orden inklusive, og slik at substitusjonen av funksjonen y= \varphi (x) til en differensialligning gjør sistnevnte til en identitet i x på (a,b) . For eksempel funksjonen y=\sin(x)+\cos(x) er en løsning av ligningen y""+y=0 på intervallet (-\infty,+\infty). Vi har faktisk differensiert funksjonen to ganger

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

Ved å erstatte uttrykkene y"" og y i differensialligningen får vi identiteten

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

Grafen for å løse en differensialligning kalles integrert kurve denne ligningen.

Generell oversikt over førsteordensligningen

F(x,y,y")=0.

Hvis ligning (1) kan løses med hensyn til y" , så får vi første ordens ligning løst med hensyn til den deriverte.

y"=f(x,y).

Cauchy-problemet er problemet med å finne en løsning y=y(x) av ligningen y"=f(x,y) som tilfredsstiller startbetingelsen y(x_0)=y_0 (en annen notasjon y|_(x=x_0) =y_0).

Geometrisk betyr dette at vi ser etter en integralkurve som går gjennom en gitt
punkt M_0(x_0,y_0) i xOy-planet (fig. 1).

Eksistens- og unikhetsteorem for løsning av Cauchy-problemet

La en differensialligning gis y"=f(x,y) , hvor funksjonen f(x,y) er definert i et område D i xOy-planet som inneholder punktet (x_0,y_0) . Hvis funksjonen f(x) ,y) tilfredsstiller betingelsene

a) f(x,y) er en kontinuerlig funksjon av to variabler x og y i domenet D ;

Tenk på eksempler.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Her f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). Ved punktene (x_0,0) på Ox-aksen er betingelsene a) og b) ikke oppfylt (funksjonen f(x,y) og dens partielle deriverte \frac(\partial(f))(\partial(y)) er diskontinuerlige på Ox-aksen og ubegrensede for y\to0 ), men en enkelt integralkurve går gjennom hvert punkt på Ox-aksen y=\sqrt(3(x-x_0))(Fig. 2).

Lipschitz tilstand

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

fordi det |\cos(x)|\leqslant1, en ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Således er Lipschitz-betingelsen tilfredsstilt med konstanten L=2.

Teorem. Hvis funksjonen f(x,y) er kontinuerlig og tilfredsstiller Lipschitz-betingelsen på y i domenet D, så er Cauchy-problemet

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

har en unik løsning.

Lipschitz-tilstanden er avgjørende for det unike ved løsningen av Cauchy-problemet. Tenk på ligningen som et eksempel

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(caser)

Det er lett å se at funksjonen f(x, y) er kontinuerlig; på den andre siden,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

Hvis en y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, deretter

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta) ^2))|Y-y|,

og Lipschitz-betingelsen er ikke oppfylt i noen region som inneholder opprinnelsen O(0,0) , siden faktoren ved |Y-y| viser seg å være ubegrenset for x\to0 .

Generell løsning differensialligning (2) kalles funksjonen

y=\varphi(x,C),

avhengig av en vilkårlig konstant C , og slik at

1) den tilfredsstiller ligning (2) for alle tillatte verdier av konstanten C;

2) uansett starttilstand

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

Privat avgjørelse differensialligning (2) er løsningen oppnådd fra den generelle løsningen (3) for en bestemt verdi av en vilkårlig konstant C .

Løsning. Funksjonen y=x+C tilfredsstiller denne ligningen for alle verdier av en vilkårlig konstant C . Faktisk, y"=(x+C)"=1.

La oss sette en vilkårlig startbetingelse y|_(x=x_0)=y_0 . Setter vi x=x_0 og y=y_0 i ligningen y=x+C , finner vi at C=y_0-x_0 . Ved å erstatte denne verdien av C i denne funksjonen vil vi ha y=x+y_0-x_0 . Denne funksjonen tilfredsstiller den gitte startbetingelsen: ved å sette x=x_0 , får vi y=x_0+y_0-x_0=y_0. Så funksjonen y=x+C er den generelle løsningen av denne ligningen.

Spesielt ved å sette x_0=0 og y_0=0 , får vi en bestemt løsning y=x .

Eksempel 2. Sjekk at funksjonen y=Ce^x er den generelle løsningen av ligningen y"-y=0 og finn en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsen y|_(x=1)=-1. .

For x_0=1 og y_0=-1 får vi en spesiell løsning y=-e^(x-1) .

En relasjon av formen \Phi(x,y,C)=0 , som implisitt bestemmer den generelle løsningen, kalles felles integral differensialligning av første orden.

Relasjonen oppnådd fra det generelle integralet ved en bestemt verdi av konstanten C kalles privat integral differensial ligning.

Siden, fra et geometrisk synspunkt, er x- og y-koordinatene like, sammen med ligningen \frac(dx)(dy)=f(x,y) vi vil vurdere ligningen \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

landbruksakademi"

Institutt for høyere matematikk

FØRSTE ORDENS DIFFERENSIALLIGNINGER

Forelesningsoppsummering for regnskapsstudenter

korrespondanseform for utdanning (NISPO)

Gorki, 2013

Første ordens differensialligninger

Konseptet med en differensialligning. Generelle og spesielle løsninger

Når man studerer ulike fenomener, er det ofte ikke mulig å finne en lov som direkte forbinder den uavhengige variabelen og den ønskede funksjonen, men det er mulig å etablere en sammenheng mellom den ønskede funksjonen og dens deriverte.

Relasjonen som forbinder den uavhengige variabelen, den ønskede funksjonen og dens deriverte kalles differensial ligning :

Her x er en uavhengig variabel, y er ønsket funksjon,
er derivatene av den ønskede funksjonen. I dette tilfellet krever relasjon (1) tilstedeværelsen av minst én derivat.

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte i ligningen.

Tenk på differensialligningen

. (2)

Siden denne ligningen inkluderer en derivert av bare første orden, kalles den er en førsteordens differensialligning.

Hvis ligning (2) kan løses med hensyn til den deriverte og skrives som

, (3)

da kalles en slik ligning en førsteordens differensialligning i normalform.

I mange tilfeller er det hensiktsmessig å vurdere en formlikning

som kalles en førsteordens differensialligning skrevet i differensialform.

Fordi
, så kan ligning (3) skrives som
eller
, hvor man kan telle
og
. Dette betyr at ligning (3) er konvertert til ligning (4).

Vi skriver likning (4) i skjemaet
. Deretter
,
,
, hvor man kan telle
, dvs. en ligning av formen (3) oppnås. Dermed er ligningene (3) og (4) likeverdige.

Ved å løse differensialligningen (2) eller (3) en hvilken som helst funksjon kalles
, som, når du erstatter det med ligning (2) eller (3), gjør det til en identitet:

eller
.

Prosessen med å finne alle løsninger av en differensialligning kalles dens integrering , og løsningsgrafen
differensialligning kalles integrert kurve denne ligningen.

Hvis løsningen av differensialligningen er oppnådd i implisitt form
, da heter det integrert gitt differensialligning.

Generell løsning differensialligning av første orden er en familie av funksjoner av formen
, avhengig av en vilkårlig konstant FRA, som hver er en løsning av den gitte differensialligningen for enhver tillatt verdi av en vilkårlig konstant FRA. Dermed har differensialligningen et uendelig antall løsninger.

Privat avgjørelse differensialligning kalles løsningen oppnådd fra den generelle løsningsformelen for en spesifikk verdi av en vilkårlig konstant FRA, gjelder også
.

Cauchy-problemet og dets geometriske tolkning

Ligning (2) har et uendelig antall løsninger. For å skille ut én løsning fra dette settet, som kalles en bestemt løsning, må noen tilleggsbetingelser spesifiseres.

Problemet med å finne en bestemt løsning på ligning (2) under gitte forhold kalles Cauchy problem . Dette problemet er et av de viktigste i teorien om differensialligninger.

Cauchy-problemet er formulert som følger: blant alle løsninger av ligning (2) finne en slik løsning
, der funksjonen
tar en gitt numerisk verdi hvis den uavhengige variabelen x tar en gitt numerisk verdi , dvs.

,
, (5)

hvor D er funksjonens domene
.

Betydning kalt startverdien til funksjonen , a – startverdien til den uavhengige variabelen . Tilstand (5) kalles innledende tilstand eller Cauchy tilstand .

Fra et geometrisk synspunkt kan Cauchy-problemet for differensialligning (2) formuleres som følger: fra settet med integralkurver av ligning (2) velg den som går gjennom et gitt punkt
.

Differensialligninger med separerbare variabler

En av de enkleste typene differensialligninger er en førsteordens differensialligning som ikke inneholder den ønskede funksjonen:

. (6)

Gitt at
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. Ved å integrere begge sider av den siste ligningen får vi:
eller

. (7)

Dermed er (7) en generell løsning på ligning (6).

Eksempel 1 . Finn den generelle løsningen av differensialligningen
.

Løsning . Vi skriver ligningen i skjemaet
eller
. Vi integrerer begge deler av den resulterende ligningen:
,
. La oss endelig skrive ned
.

Eksempel 2 . Finn en løsning på ligningen
på betingelse av
.

Løsning . La oss finne den generelle løsningen av ligningen:
,
,
,
. Etter tilstand
,
. Erstatter i den generelle løsningen:
eller
. Vi erstatter den funnet verdien av en vilkårlig konstant i formelen for den generelle løsningen:
. Dette er den spesielle løsningen av differensialligningen som tilfredsstiller den gitte betingelsen.

Ligningen

(8)

kalt en førsteordens differensialligning som ikke inneholder en uavhengig variabel . Vi skriver det i skjemaet
eller
. Vi integrerer begge deler av den siste ligningen:
eller
- generell løsning av ligning (8).

Eksempel . Finn en generell løsning på ligningen
.

Løsning . Vi skriver denne ligningen i formen:
eller
. Deretter
,
,
,
. På denne måten,
er den generelle løsningen av denne ligningen.

Skriv ligning

(9)

integrert ved hjelp av separasjon av variabler. For å gjøre dette skriver vi ligningen i skjemaet
, og deretter, ved å bruke operasjonene multiplikasjon og divisjon, bringer vi det til en slik form at en del bare inkluderer funksjonen til X og differensial dx, og i den andre delen - en funksjon av på og differensial dy. For å gjøre dette må begge sider av ligningen multipliseres med dx og dele med
. Som et resultat får vi ligningen

, (10)

hvor variablene X og på separert. Vi integrerer begge deler av ligning (10):
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til ligning (9).

Eksempel 3 . Integrer ligning
.

Løsning . Transformer ligningen og separer variablene:
,
. La oss integrere:
,
eller er det generelle integralet til denne ligningen.
.

La ligningen gis i formen

En slik ligning kalles førsteordens differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form.

For å skille variablene må begge sider av ligningen deles med
:

. (12)

Den resulterende ligningen kalles separert differensialligning . Vi integrerer ligning (12):

.(13)

Relasjon (13) er en generell integral av differensialligning (11).

Eksempel 4 . Integrer differensialligningen.

Løsning . Vi skriver ligningen i skjemaet

og del begge deler inn i
,
. Den resulterende ligningen:
er en separert variabelligning. La oss integrere det:

,
,

,
. Den siste likheten er det generelle integralet til den gitte differensialligningen.

Eksempel 5 . Finn en bestemt løsning av en differensialligning
, som tilfredsstiller betingelsen
.

Løsning . Gitt at
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. La oss skille variablene:
. La oss integrere denne ligningen:
,
,
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til denne ligningen. Etter tilstand
. Bytt inn i det generelle integralet og finn FRA:
,FRA=1. Så uttrykket
er en spesiell løsning av den gitte differensialligningen, skrevet som et bestemt integral.

Lineære differensialligninger av første orden

Ligningen

(14)

kalt lineær differensialligning av første orden . ukjent funksjon
og dens deriverte legger inn denne ligningen lineært, og funksjonene
og
kontinuerlige.

Hvis en
, deretter ligningen

(15)

kalt lineær homogen . Hvis en
, så kalles ligning (14). lineær inhomogen .

For å finne en løsning på ligning (14) bruker man vanligvis erstatningsmetode (Bernoulli) , hvis essens er som følger.

Løsningen av ligning (14) vil bli søkt i form av et produkt av to funksjoner

, (16)

hvor
og
- noen kontinuerlige funksjoner. Erstatning
og derivat
inn i ligning (14):

Funksjon v vil bli valgt på en slik måte at betingelsen
. Deretter
. For å finne en løsning på ligning (14), er det derfor nødvendig å løse systemet med differensialligninger

Den første ligningen til systemet er en lineær homogen ligning og kan løses ved metoden for separasjon av variabler:
,
,
,
,
. Som en funksjon
man kan ta en av de spesielle løsningene til den homogene ligningen, dvs. på FRA=1:
. Bytt inn i den andre ligningen av systemet:
eller
.Deretter
. Dermed har den generelle løsningen av en førsteordens lineær differensialligning formen
.

Eksempel 6 . løse ligningen
.

Løsning . Vi vil søke løsningen av ligningen i skjemaet
. Deretter
. Bytt inn i ligningen:

eller
. Funksjon v velge på en slik måte at likestillingen
. Deretter
. Vi løser den første av disse ligningene ved hjelp av metoden for separasjon av variabler:
,
,
,
,. Funksjon v Bytt inn i den andre ligningen:
,
,
,
. Den generelle løsningen på denne ligningen er
.

Spørsmål for selvkontroll av kunnskap

Hva er en differensialligning?

Hva er rekkefølgen til en differensialligning?

Hvilken differensialligning kalles en førsteordens differensialligning?

Hvordan skrives en førsteordens differensialligning i differensialform?

Hva er løsningen av en differensialligning?

Hva er en integralkurve?

Hva er den generelle løsningen av en førsteordens differensialligning?

Hva er en spesiell løsning av en differensialligning?

Hvordan er Cauchy-problemet formulert for en førsteordens differensialligning?

Hva er den geometriske tolkningen av Cauchy-problemet?

Hvordan skrives en differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form?

Hvilken ligning kalles en førsteordens lineær differensialligning?

Hvilken metode kan brukes for å løse en førsteordens lineær differensialligning og hva er essensen av denne metoden?

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

Løs differensialligninger med separerbare variabler:

en)
; b)
;

i)
; G)
.

2. Løs førsteordens lineære differensialligninger:

en)
; b)
; i)
;

G)
; e)
.

I. Vanlige differensialligninger

1.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

En differensialligning er en ligning som relaterer en uavhengig variabel x, ønsket funksjon y og dens derivater eller differensialer.

Symbolsk er differensialligningen skrevet som følger:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

En differensialligning kalles ordinær hvis ønsket funksjon avhenger av én uavhengig variabel.

Ved å løse differensialligningen kalles en slik funksjon som gjør denne ligningen til en identitet.

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte i denne ligningen

Eksempler.

1. Betrakt første ordens differensialligning

Løsningen på denne ligningen er funksjonen y = 5 ln x. Faktisk ved å erstatte y" inn i ligningen får vi - en identitet.

Og dette betyr at funksjonen y = 5 ln x– er løsningen på denne differensialligningen.

2. Betrakt den andre ordens differensialligningen y" - 5y" + 6y = 0. Funksjonen er løsningen på denne ligningen.

Egentlig, .

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligningen får vi: , - identitet.

Og dette betyr at funksjonen er løsningen av denne differensialligningen.

Integrasjon av differensialligninger er prosessen med å finne løsninger på differensialligninger.

Generell løsning av differensialligningen kalles en funksjon av formen , som inkluderer like mange uavhengige vilkårlige konstanter som rekkefølgen av ligningen.

Partiell løsning av differensialligningen kalles løsningen oppnådd fra den generelle løsningen for forskjellige numeriske verdier av vilkårlige konstanter. Verdiene til vilkårlige konstanter finnes ved visse startverdier av argumentet og funksjonen.

Grafen til en bestemt løsning av en differensialligning kalles integrert kurve.

Eksempler

1. Finn en spesiell løsning på en førsteordens differensialligning

xdx + ydy = 0, hvis y= 4 kl x = 3.

Løsning. Integrering av begge sider av ligningen, får vi

Kommentar. En vilkårlig konstant C oppnådd som et resultat av integrasjon kan representeres i enhver form som er praktisk for videre transformasjoner. I dette tilfellet, med tanke på sirkelens kanoniske ligning, er det praktisk å representere en vilkårlig konstant С i formen .

er den generelle løsningen av differensialligningen.

En spesiell løsning av en ligning som tilfredsstiller startbetingelsene y = 4 kl x = 3 er funnet fra det generelle ved å erstatte startbetingelsene i den generelle løsningen: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ved å erstatte C=5 i den generelle løsningen får vi x2+y2 = 5 2 .

Dette er en spesiell løsning av differensialligningen oppnådd fra den generelle løsningen under gitte startbetingelser.

2. Finn den generelle løsningen av differensialligningen

Løsningen av denne ligningen er en hvilken som helst funksjon av formen , hvor C er en vilkårlig konstant. Faktisk, ved å erstatte i ligningene, får vi: , .

Derfor har denne differensialligningen et uendelig antall løsninger, siden for forskjellige verdier av konstanten C, bestemmer likheten forskjellige løsninger av ligningen.

For eksempel ved direkte substitusjon kan man verifisere at funksjonene er løsninger av ligningen.

Et problem der det kreves å finne en bestemt løsning på ligningen y" = f(x, y) tilfredsstiller startbetingelsen y(x0) = y0, kalles Cauchy-problemet.

Ligningsløsning y" = f(x, y), som tilfredsstiller den opprinnelige betingelsen, y(x0) = y0, kalles en løsning på Cauchy-problemet.

Løsningen av Cauchy-problemet har en enkel geometrisk betydning. Faktisk, i henhold til disse definisjonene, for å løse Cauchy-problemet y" = f(x, y) på betingelse av y(x0) = y0, betyr å finne integralkurven til ligningen y" = f(x, y) som går gjennom et gitt punkt M0 (x0,y 0).

II. Første ordens differensialligninger

2.1. Enkle konsepter

En førsteordens differensialligning er en ligning av formen F(x,y,y") = 0.

Den første ordens differensialligningen inkluderer den første deriverte og inkluderer ikke høyere ordens deriverte.

Ligningen y" = f(x, y) kalles en førsteordens ligning løst med hensyn til den deriverte.

En generell løsning av en førsteordens differensialligning er en funksjon av formen , som inneholder en vilkårlig konstant.

Eksempel. Tenk på en førsteordens differensialligning.

Løsningen på denne ligningen er funksjonen.

Faktisk, å erstatte i denne ligningen med dens verdi, får vi

det er 3x=3x

Derfor er funksjonen en generell løsning av ligningen for enhver konstant C.

Finn en spesiell løsning av denne ligningen som tilfredsstiller startbetingelsen y(1)=1 Erstatter startbetingelser x=1, y=1 inn i den generelle løsningen av ligningen, får vi hvorfra C=0.

Dermed får vi en spesiell løsning fra den generelle ved å erstatte den resulterende verdien i denne ligningen C=0 er en privat beslutning.

2.2. Differensialligninger med separerbare variabler

En differensialligning med separerbare variabler er en ligning av formen: y"=f(x)g(y) eller gjennom differensialer , hvor f(x) og g(y) er gitt funksjoner.

For de y, for hvilket , ligningen y"=f(x)g(y) er ekvivalent med ligningen hvor variabelen y er kun til stede på venstre side, og variabelen x er kun til stede på høyre side. De sier "i ligningen y"=f(x)g(y skille variablene.

Skriv ligning kalles en separert variabelligning.

Etter å ha integrert begge deler av ligningen på x, vi får G(y) = F(x) + C er den generelle løsningen av ligningen, hvor G(y) og F(x) er noen antiderivater av henholdsvis funksjoner og f(x), C vilkårlig konstant.

Algoritme for å løse en førsteordens differensialligning med separerbare variabler

Eksempel 1

løse ligningen y" = xy

Løsning. Derivert av en funksjon y" Erstatt med

vi skiller variablene

La oss integrere begge deler av likestillingen:

Eksempel 2

2yy" = 1- 3x 2, hvis y 0 = 3 på x0 = 1

Dette er en separert variabelligning. La oss representere det i differensialer. For å gjøre dette, omskriver vi denne ligningen i skjemaet Herfra

Integrering av begge deler av den siste likestillingen, finner vi

Erstatter startverdier x 0 = 1, y 0 = 3 finne FRA 9=1-1+C, dvs. C = 9.

Derfor vil den ønskede partielle integralen være eller

Eksempel 3

Skriv en ligning for en kurve som går gjennom et punkt M(2;-3) og har en tangent med en helning

Løsning. I følge tilstanden

Dette er en separerbar variabelligning. Ved å dele variablene får vi:

Ved å integrere begge deler av ligningen får vi:

Ved å bruke de opprinnelige betingelsene, x=2 og y=-3 finne C:

Derfor har den ønskede ligningen formen

2.3. Lineære differensialligninger av første orden

En førsteordens lineær differensialligning er en ligning av formen y" = f(x)y + g(x)

hvor f(x) og g(x)- noen gitte funksjoner.

Hvis en g(x)=0 da kalles den lineære differensialligningen homogen og har formen: y" = f(x)y

Hvis da ligningen y" = f(x)y + g(x) kalt heterogen.

Generell løsning av en lineær homogen differensialligning y" = f(x)y gitt av formelen: hvor FRA er en vilkårlig konstant.

Spesielt hvis C \u003d 0, da er løsningen y=0 Hvis den lineære homogene ligningen har formen y" = ky hvor k er en konstant, så har dens generelle løsning formen: .

Generell løsning av en lineær inhomogen differensialligning y" = f(x)y + g(x) gitt av formelen ,

de. er lik summen av den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene ligningen og den spesielle løsningen av denne ligningen.

For en lineær inhomogen ligning av formen y" = kx + b,

hvor k og b- noen tall og en bestemt løsning vil være en konstant funksjon. Derfor har den generelle løsningen formen .

Eksempel. løse ligningen y" + 2y +3 = 0

Løsning. Vi representerer ligningen i skjemaet y" = -2y - 3 hvor k=-2, b=-3 Den generelle løsningen er gitt av formelen.

Derfor, hvor C er en vilkårlig konstant.

2.4. Løsning av lineære differensialligninger av første orden ved Bernoulli-metoden

Finne en generell løsning på en førsteordens lineær differensialligning y" = f(x)y + g(x) reduserer til å løse to differensialligninger med separerte variabler ved å bruke substitusjonen y=uv, hvor u og v- ukjente funksjoner fra x. Denne løsningsmetoden kalles Bernoulli-metoden.

Algoritme for å løse en førsteordens lineær differensialligning

y" = f(x)y + g(x)

1. Angi en erstatning y=uv.

2. Differensiere denne likheten y"=u"v + uv"

3. Vikar y og y" inn i denne ligningen: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) eller u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupper vilkårene i ligningen slik at u ta den ut av parentes:

5. Finn funksjonen fra parentesen, sett den til null

Dette er en separerbar ligning:

Del variablene og få:

Hvor . .

6. Erstatt den mottatte verdien v inn i ligningen (fra punkt 4):

og finn funksjonen Dette er en separerbar ligning:

7. Skriv den generelle løsningen på skjemaet: , dvs. .

Eksempel 1

Finn en spesiell løsning på ligningen y" = -2y +3 = 0 hvis y=1 på x=0

Løsning. La oss løse det med substitusjon y=uv,.y"=u"v + uv"

Erstatter y og y" inn i denne ligningen, får vi

Ved å gruppere andre og tredje ledd på venstre side av ligningen, tar vi ut fellesfaktoren u ut av parentes

Vi likestiller uttrykket i parentes til null, og etter å ha løst den resulterende ligningen finner vi funksjonen v = v(x)

Vi fikk en ligning med atskilte variabler. Vi integrerer begge deler av denne ligningen: Finn funksjonen v:

Erstatt den resulterende verdien v inn i ligningen får vi:

Dette er en separert variabelligning. Vi integrerer begge deler av ligningen: La oss finne funksjonen u = u(x,c) La oss finne en generell løsning: La oss finne en spesiell løsning av ligningen som tilfredsstiller startbetingelsene y=1 på x=0:

III. Differensialligninger av høyere orden

3.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

En andreordens differensialligning er en ligning som inneholder derivater som ikke er høyere enn andreordens. I det generelle tilfellet er andreordens differensialligning skrevet som: F(x,y,y",y") = 0

Den generelle løsningen av en andreordens differensialligning er en funksjon av formen , som inkluderer to vilkårlige konstanter C1 og C2.

En spesiell løsning av en andreordens differensialligning er en løsning oppnådd fra den generelle for noen verdier av vilkårlige konstanter C1 og C2.

3.2. Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante forhold.

Lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter kalles en formlikning y" + py" + qy = 0, hvor s og q er konstante verdier.

Algoritme for å løse andreordens homogene differensialligninger med konstante koeffisienter

1. Skriv differensialligningen på skjemaet: y" + py" + qy = 0.

2. Komponer dens karakteristiske ligning, angir y" gjennom r2, y" gjennom r, y i 1: r2 + pr +q = 0

En differensialligning er en ligning som inkluderer en funksjon og en eller flere av dens deriverte. I de fleste praktiske problemer er funksjoner fysiske størrelser, derivater tilsvarer endringshastighetene til disse mengdene, og ligningen bestemmer forholdet mellom dem.

Denne artikkelen diskuterer metoder for å løse noen typer vanlige differensialligninger, hvis løsninger kan skrives i formen elementære funksjoner, det vil si polynomiske, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funksjoner, samt deres inverse funksjoner. Mange av disse ligningene forekommer i det virkelige liv, selv om de fleste andre differensialligninger ikke kan løses med disse metodene, og for dem er svaret skrevet som spesielle funksjoner eller potensrekker, eller funnet ved numeriske metoder.

For å forstå denne artikkelen, må du kjenne til differensial- og integralregning, samt ha en viss forståelse av partielle derivater. Det anbefales også å kjenne til det grunnleggende om lineær algebra brukt på differensialligninger, spesielt andreordens differensialligninger, selv om kunnskap om differensial- og integralregning er tilstrekkelig for å løse dem.

Foreløpig informasjon

Differensialligninger har en omfattende klassifisering. Denne artikkelen snakker om vanlige differensialligninger, det vil si om likninger som inkluderer en funksjon av én variabel og dens deriverte. Vanlige differensialligninger er mye lettere å forstå og løse enn partielle differensialligninger, som inkluderer funksjoner av flere variabler. Denne artikkelen tar ikke for seg partielle differensialligninger, siden metodene for å løse disse ligningene vanligvis bestemmes av deres spesifikke form.
- Nedenfor er noen eksempler på vanlige differensialligninger.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Nedenfor er noen eksempler på partielle differensialligninger.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\delvis y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Rekkefølge differensialligningen bestemmes av rekkefølgen til den høyeste deriverte inkludert i denne ligningen. Den første av de ordinære differensialligningene ovenfor er av første orden, mens den andre er av andre orden. Grad av en differensialligning kalles den høyeste potensen som en av leddene i denne ligningen er hevet til.
- For eksempel er ligningen nedenfor tredje orden og andre potens.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ høyre)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Differensialligningen er lineær differensialligning hvis funksjonen og alle dens deriverte er i første potens. Ellers er ligningen ikke-lineær differensialligning. Lineære differensialligninger er bemerkelsesverdige ved at lineære kombinasjoner kan lages fra deres løsninger, som også vil være løsninger på denne ligningen.
- Nedenfor er noen eksempler på lineære differensialligninger.
- Nedenfor er noen eksempler på ikke-lineære differensialligninger. Den første ligningen er ikke-lineær på grunn av sinusleddet.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \venstre((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\høyre)^(2)+tx^(2)=0)
Felles vedtak ordinær differensialligning er ikke unik, den inkluderer vilkårlige integrasjonskonstanter. I de fleste tilfeller er antallet vilkårlige konstanter lik rekkefølgen av ligningen. I praksis bestemmes verdiene til disse konstantene av gitte Innledende forhold, det vil si ved verdiene til funksjonen og dens deriverte ved x = 0. (\displaystyle x=0.) Antall startbetingelser som er nødvendig for å finne privat avgjørelse differensialligning, er i de fleste tilfeller også lik rekkefølgen til denne ligningen.
- For eksempel vil denne artikkelen se på å løse ligningen nedenfor. Dette er en lineær differensialligning av andre orden. Den generelle løsningen inneholder to vilkårlige konstanter. For å finne disse konstantene er det nødvendig å kjenne startbetingelsene ved x (0) (\displaystyle x(0)) og x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Vanligvis er startbetingelsene gitt på punktet x = 0 , (\displaystyle x=0,), selv om dette ikke er nødvendig. Denne artikkelen vil også vurdere hvordan man kan finne spesielle løsninger for gitte startforhold.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Trinn

Del 1

Første ordens ligninger

Når du bruker denne tjenesten, kan noe informasjon overføres til YouTube.

Lineære ligninger av første orden. Denne delen diskuterer metoder for å løse lineære differensialligninger av første orden i generelle og spesielle tilfeller, når noen ledd er lik null. La oss late som det y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) og q (x) (\displaystyle q(x)) er funksjoner x . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) I følge en av hovedteoremene i matematisk analyse er integralet til den deriverte av en funksjon også en funksjon. Dermed er det nok å bare integrere ligningen for å finne løsningen. I dette tilfellet bør det tas i betraktning at når man beregner det ubestemte integralet, vises en vilkårlig konstant.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Vi bruker metoden separasjon av variabler. I dette tilfellet overføres forskjellige variabler til forskjellige sider av ligningen. Du kan for eksempel overføre alle medlemmer fra y (\displaystyle y) til ett, og alle medlemmer med x (\displaystyle x) til den andre siden av ligningen. Medlemmer kan også flyttes d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) og d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), som er inkludert i avledede uttrykk, men det bør huskes at dette bare er en konvensjon, noe som er praktisk når man skiller en kompleks funksjon. En diskusjon av disse begrepene, som kalles differensialer, er utenfor rammen av denne artikkelen.
- Først må du flytte variablene på motsatte sider av likhetstegnet.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Vi integrerer begge sider av ligningen. Etter integrasjon vises vilkårlige konstanter på begge sider, som kan overføres til høyre side av ligningen.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Eksempel 1.1. I det siste trinnet brukte vi regelen e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) og erstattet e C (\displaystyle e^(C)) på C (\displaystyle C), fordi det også er en vilkårlig integrasjonskonstant.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(justert)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) For å finne den generelle løsningen introduserte vi integrerende faktor som en funksjon av x (\displaystyle x)å redusere venstre side til en felles derivert og dermed løse ligningen.
- Multipliser begge sider med μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- For å redusere venstre side til en vanlig derivert, må følgende transformasjoner gjøres:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Den siste likestillingen betyr det d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Dette er en integrerende faktor som er tilstrekkelig til å løse enhver førsteordens lineær ligning. Nå kan vi utlede en formel for å løse denne ligningen mht µ , (\displaystyle \mu ,) selv om det for trening er nyttig å gjøre alle mellomberegningene.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Eksempel 1.2. I dette eksemplet vurderer vi hvordan man finner en bestemt løsning på en differensialligning med gitte startbetingelser.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(justert)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Løse lineære ligninger av første orden (innspilt av Intuit - National Open University).
Ikke-lineære førsteordensligninger. I denne delen vurderes metoder for å løse noen ikke-lineære differensialligninger av første orden. Selv om det ikke finnes noen generell metode for å løse slike ligninger, kan noen av dem løses ved hjelp av metodene nedenfor.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Hvis funksjonen f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) kan deles inn i funksjoner av én variabel, en slik ligning kalles separerbar differensialligning. I dette tilfellet kan du bruke metoden ovenfor:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- Eksempel 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(justert)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(justert)))
D y d x = g (x , y) h (x , y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) La oss late som det g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) og h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) er funksjoner x (\displaystyle x) og y . (\displaystyle y.) Deretter homogen differensialligning er en ligning der g (\displaystyle g) og h (\displaystyle h) er homogene funksjoner samme grad. Det vil si at funksjonene skal tilfredsstille betingelsen g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) hvor k (\displaystyle k) kalles graden av homogenitet. Enhver homogen differensialligning kan gis ved en passende endring av variabler (v = y / x (\displaystyle v=y/x) eller v = x / y (\displaystyle v=x/y)) for å konvertere til en ligning med separerbare variabler.
- Eksempel 1.4. Beskrivelsen ovenfor av homogenitet kan virke uklar. La oss se på dette konseptet med et eksempel.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Til å begynne med bør det bemerkes at denne ligningen er ikke-lineær mht y . (\displaystyle y.) Vi ser også at det i dette tilfellet er umulig å skille variablene. Denne differensialligningen er imidlertid homogen, siden både telleren og nevneren er homogene med potensen 3. Derfor kan vi gjøre en endring av variabler v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Som et resultat har vi en ligning for v (\displaystyle v) med delte variabler.
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) den Bernoullis differensialligning- en spesiell type ikke-lineær ligning av første grad, hvis løsning kan skrives ved hjelp av elementære funksjoner.
- Multipliser begge sider av ligningen med (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Vi bruker differensieringsregelen til en kompleks funksjon på venstre side og transformerer likningen til en lineær likning mht. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) som kan løses ved metodene ovenfor.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) den total differensialligning. Det er nødvendig å finne den såkalte potensiell funksjon φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), som tilfredsstiller betingelsen d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- For å oppfylle denne betingelsen er det nødvendig å ha totalt derivat. Den totale deriverte tar hensyn til avhengigheten av andre variabler. For å beregne den totale deriverte φ (\displaystyle \varphi ) på x , (\displaystyle x,) vi antar det y (\displaystyle y) kan også avhenge av x . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Sammenligning av termer gir oss M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) og N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Dette er et typisk resultat for ligninger med flere variabler, der de blandede deriverte av glatte funksjoner er like med hverandre. Noen ganger kalles denne saken Clairauts teorem. I dette tilfellet er differensialligningen en ligning i totale differensialer hvis følgende betingelse er oppfylt:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\delvis M)(\delvis y))=(\frac (\delvis N)(\delvis x)))
- Metoden for å løse ligninger i totale differensialer ligner på å finne potensielle funksjoner i nærvær av flere deriverte, som vi kort skal diskutere. Først integrerer vi M (\displaystyle M) på x . (\displaystyle x.) Fordi det M (\displaystyle M) er en funksjon og x (\displaystyle x), og y , (\displaystyle y,) ved integrering får vi en ufullstendig funksjon φ , (\displaystyle \varphi ,) merket som φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Resultatet inkluderer også den avhengige av y (\displaystyle y) konstant av integrasjon.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Etter det, for å få c (y) (\displaystyle c(y)) du kan ta den partielle deriverte av den resulterende funksjonen med hensyn til y , (\displaystyle y,) sidestille resultatet N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) og integrere. Man kan også integrere først N (\displaystyle N), og ta deretter den partielle deriverte med hensyn til x (\displaystyle x), som vil tillate oss å finne en vilkårlig funksjon d(x). (\displaystyle d(x).) Begge metodene egner seg, og vanligvis velges den enklere funksjonen for integrasjon.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ delvis (\tilde (\varphi )))(\delvis y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Eksempel 1.5. Du kan ta partielle deriverte og verifisere at ligningen nedenfor er en total differensialligning.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\delvis y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(justert)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Hvis differensialligningen ikke er en total differensialligning, kan du i noen tilfeller finne en integreringsfaktor som lar deg konvertere den til en total differensialligning. Imidlertid brukes slike ligninger sjelden i praksis, og selv om den integrerende faktoren finnes, finner ut at det skjer ikke lett, så disse ligningene vurderes ikke i denne artikkelen.

Del 2

Andre ordens ligninger

Homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Disse ligningene er mye brukt i praksis, så løsningen deres er av største betydning. I dette tilfellet snakker vi ikke om homogene funksjoner, men om at det står 0 på høyre side av ligningen I neste avsnitt skal vi vise hvordan de tilsvarende heterogen differensiallikninger. Under a (\displaystyle a) og b (\displaystyle b) er konstanter.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakteristisk ligning. Denne differensialligningen er bemerkelsesverdig ved at den kan løses veldig enkelt hvis du legger merke til hvilke egenskaper løsningene bør ha. Det kan sees av ligningen at y (\displaystyle y) og dens derivater er proporsjonale med hverandre. Fra de foregående eksemplene, som ble vurdert i avsnittet om førsteordens ligninger, vet vi at bare eksponentialfunksjonen har denne egenskapen. Derfor er det mulig å legge frem ansatz(en utdannet gjetning) om hva løsningen til den gitte ligningen vil være.
- Løsningen vil ha form av en eksponentiell funksjon e r x , (\displaystyle e^(rx),) hvor r (\displaystyle r) er en konstant hvis verdi skal finnes. Bytt denne funksjonen inn i ligningen og få følgende uttrykk
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Denne ligningen indikerer at produktet av en eksponentiell funksjon og et polynom må være null. Det er kjent at eksponenten ikke kan være lik null for noen verdier av graden. Derfor konkluderer vi med at polynomet er lik null. Dermed har vi redusert problemet med å løse en differensialligning til et mye enklere problem med å løse en algebraisk likning, som kalles den karakteristiske likningen for en gitt differensialligning.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Vi har to røtter. Siden denne differensialligningen er lineær, er dens generelle løsning en lineær kombinasjon av partielle løsninger. Siden dette er en andreordens ligning, vet vi at dette er egentlig generell løsning, og det er ingen andre. En strengere begrunnelse for dette ligger i teoremene om løsningens eksistens og unikhet, som finnes i lærebøker.
- En nyttig måte å sjekke om to løsninger er lineært uavhengige er å beregne Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- dette er determinanten for matrisen, i kolonnene som det er funksjoner og deres påfølgende derivater. Den lineære algebra-teoremet sier at funksjonene i Wronskian er lineært avhengige hvis Wronskian er lik null. I denne delen kan vi teste om to løsninger er lineært uavhengige ved å sørge for at Wronskian er ikke-null. Wronskian er viktig for å løse ikke-homogene differensialligninger med konstante koeffisienter ved hjelp av parametervariasjonsmetoden.
  - w = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Når det gjelder lineær algebra, danner settet med alle løsninger av en gitt differensialligning et vektorrom hvis dimensjon er lik rekkefølgen til differensialligningen. I dette rommet kan man velge et grunnlag fra lineært uavhengig beslutninger fra hverandre. Dette er mulig på grunn av at funksjonen y (x) (\displaystyle y(x)) gyldig lineær operatør. Derivat er lineær operatør, siden den forvandler rommet til differensierbare funksjoner til rommet for alle funksjoner. Ligninger kalles homogene i tilfeller hvor for noen lineær operator L (\displaystyle L) det kreves å finne en løsning på ligningen L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
La oss nå gå til noen få konkrete eksempler. Tilfellet med multiple røtter av den karakteristiske ligningen vil bli vurdert litt senere, i avsnittet om ordrereduksjon.
Hvis røttene r ± (\displaystyle r_(\pm )) er forskjellige reelle tall, har differensialligningen følgende løsning
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
To komplekse røtter. Det følger av algebras grunnleggende teorem at løsninger til polynomlikninger med reelle koeffisienter har røtter som er reelle eller danner konjugerte par. Derfor, hvis det komplekse tallet r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) er roten til den karakteristiske ligningen, da r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) er også roten til denne ligningen. Dermed kan løsningen skrives i form c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Dette er imidlertid et komplekst tall og er uønsket for å løse praktiske problemer.
- I stedet kan du bruke Euler formel e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), som lar deg skrive løsningen i form av trigonometriske funksjoner:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Nå kan du i stedet for konstant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) skrive ned c 1 (\displaystyle c_(1)), og uttrykket i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) erstattet av c 2. (\displaystyle c_(2).) Etter det får vi følgende løsning:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- Det er en annen måte å skrive løsningen i form av amplitude og fase, som er bedre egnet for fysiske problemer.
- Eksempel 2.1. La oss finne løsningen av differensialligningen gitt nedenfor med gitte startbetingelser. For dette er det nødvendig å ta den oppnådde løsningen, så vel som dens derivat, og erstatte dem med de opprinnelige betingelsene, som vil tillate oss å bestemme vilkårlige konstanter.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )Jeg)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\venstre(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(justert)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
Løse differensialligninger av n. orden med konstante koeffisienter (registrert av Intuit - National Open University).
Nedgraderer rekkefølge. Ordreduksjon er en metode for å løse differensialligninger når én lineært uavhengig løsning er kjent. Denne metoden består i å senke rekkefølgen av ligningen med én, noe som gjør at ligningen kan løses ved hjelp av metodene beskrevet i forrige avsnitt. La løsningen bli kjent. Hovedideen med å senke rekkefølgen er å finne en løsning i skjemaet nedenfor, der det er nødvendig å definere funksjonen v (x) (\displaystyle v(x)), erstatte den i differensialligningen og finne v(x). (\displaystyle v(x).) La oss vurdere hvordan ordensreduksjon kan brukes til å løse en differensialligning med konstante koeffisienter og multiple røtter.

Flere røtter homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Husk at en annenordens ligning må ha to lineært uavhengige løsninger. Hvis den karakteristiske ligningen har flere røtter, settet med løsninger ikke danner et rom siden disse løsningene er lineært avhengige. I dette tilfellet må ordrereduksjon brukes for å finne en andre lineært uavhengig løsning.
- La den karakteristiske ligningen ha flere røtter r (\displaystyle r). Vi antar at den andre løsningen kan skrives som y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), og erstatte det i differensialligningen. I dette tilfellet, de fleste av begrepene, med unntak av begrepet med den andre deriverte av funksjonen v , (\displaystyle v,) vil bli redusert.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Eksempel 2.2. Gitt følgende ligning, som har flere røtter r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Ved erstatning kanselleres de fleste vilkårene.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(justert)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\avbryt (8v"e^(-4x)))+(\avbryt (16ve^(-4x)))\\&+(\avbryt (8v"e ^(-4x)))-(\avbryt (32ve^(-4x)))+(\avbryt (16ve^(-4x)))=0\end(justert)))
- Som vår ansatz for en differensialligning med konstante koeffisienter, i dette tilfellet kan bare den andre deriverte være lik null. Vi integrerer to ganger og får ønsket uttrykk for v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Da kan den generelle løsningen av en differensialligning med konstante koeffisienter, hvis den karakteristiske ligningen har flere røtter, skrives på følgende form. For enkelhets skyld kan du huske at for å oppnå lineær uavhengighet, er det nok å multiplisere det andre leddet med x (\displaystyle x). Dette settet med løsninger er lineært uavhengig, og dermed har vi funnet alle løsninger på denne ligningen.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Ordreduksjon er aktuelt dersom løsningen er kjent y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), som kan finnes eller oppgis i problemformuleringen.
- Vi ser etter en løsning i form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) og koble den inn i denne ligningen:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Fordi det y 1 (\displaystyle y_(1)) er en løsning på differensialligningen, alle ledd med v (\displaystyle v) krymper. Som et resultat gjenstår det første ordens lineær ligning. For å se dette tydeligere, la oss endre variablene w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Hvis integralene kan beregnes, får vi den generelle løsningen som en kombinasjon av elementære funksjoner. Ellers kan løsningen stå i integrert form.
Cauchy-Euler ligning. Cauchy-Euler-ligningen er et eksempel på en annenordens differensialligning med variabler koeffisienter, som har eksakte løsninger. Denne ligningen brukes i praksis for eksempel for å løse Laplace-ligningen i sfæriske koordinater.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakteristisk ligning. Som du kan se, i denne differensialligningen, inneholder hvert ledd en potensfaktor, hvis grad er lik rekkefølgen til den tilsvarende deriverte.
- Dermed kan man prøve å lete etter en løsning i skjemaet y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hvor du skal definere n (\displaystyle n), akkurat som vi lette etter en løsning i form av en eksponentiell funksjon for en lineær differensialligning med konstante koeffisienter. Etter differensiering og substitusjon får vi
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- For å bruke den karakteristiske ligningen må vi anta det x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punktum x = 0 (\displaystyle x=0) kalt vanlig entallspunkt differensial ligning. Slike punkter er viktige når man skal løse differensialligninger ved hjelp av potensrekker. Denne ligningen har to røtter, som kan være forskjellige og reelle, multiple eller komplekse konjugater.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))
To forskjellige virkelige røtter. Hvis røttene n ± (\displaystyle n_(\pm )) er reelle og forskjellige, så har løsningen av differensialligningen følgende form:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
To komplekse røtter. Hvis den karakteristiske ligningen har røtter n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), er løsningen en kompleks funksjon.
- For å transformere løsningen til en reell funksjon, gjør vi en endring av variabler x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) det er t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) og bruk Euler-formelen. Lignende handlinger ble utført tidligere ved definering av vilkårlige konstanter.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Da kan den generelle løsningen skrives som
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Flere røtter. For å oppnå en andre lineært uavhengig løsning, er det nødvendig å redusere bestillingen igjen.
- Det krever ganske mye beregning, men prinsippet er det samme: vi erstatter y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) inn i en ligning hvis første løsning er y 1 (\displaystyle y_(1)). Etter reduksjoner oppnås følgende ligning:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Dette er en førsteordens lineær ligning mht v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Løsningen hans er v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dermed kan løsningen skrives i følgende form. Det er ganske enkelt å huske - for å få den andre lineært uavhengige løsningen trenger du bare en ekstra term med ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Inhomogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Ikke-homogene ligninger har formen L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) hvor f (x) (\displaystyle f(x))- såkalte gratis medlem. I følge teorien om differensialligninger er den generelle løsningen av denne ligningen en superposisjon privat avgjørelse y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) og tilleggsløsning yc(x). (\displaystyle y_(c)(x).) Men i dette tilfellet betyr en bestemt løsning ikke en løsning gitt av startbetingelsene, men snarere en løsning som skyldes tilstedeværelsen av inhomogenitet (fritt medlem). Den komplementære løsningen er løsningen av den tilsvarende homogene ligningen der f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Den generelle løsningen er en superposisjon av disse to løsningene, fordi L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), og siden L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) en slik superposisjon er faktisk en generell løsning.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Metode for ubestemte koeffisienter. Metoden med ubestemte koeffisienter brukes i tilfeller der frileddet er en kombinasjon av eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske eller potensfunksjoner. Bare disse funksjonene er garantert å ha et begrenset antall lineært uavhengige derivater. I denne delen vil vi finne en spesiell løsning på ligningen.
- Sammenlign begrepene i f (x) (\displaystyle f(x)) med termer i å ignorere konstante faktorer. Tre tilfeller er mulige.
  - Det er ingen identiske medlemmer. I dette tilfellet en spesiell løsning y p (\displaystyle y_(p)) vil være en lineær kombinasjon av begreper fra y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) inneholder medlem x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er null eller et positivt heltall, og dette leddet tilsvarer en enkelt rot av den karakteristiske ligningen. I dette tilfellet y p (\displaystyle y_(p)) vil bestå av en kombinasjon av funksjonen x n + 1 t (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) dets lineært uavhengige derivater, så vel som andre termer f (x) (\displaystyle f(x)) og deres lineært uavhengige derivater.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) inneholder medlem h (x) , (\displaystyle h(x),) som er et verk x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er lik 0 eller et positivt heltall, og dette leddet tilsvarer flere roten til den karakteristiske ligningen. I dette tilfellet y p (\displaystyle y_(p)) er en lineær kombinasjon av funksjonen x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(hvor s (\displaystyle s)- multiplisitet av roten) og dens lineært uavhengige derivater, så vel som andre medlemmer av funksjonen f (x) (\displaystyle f(x)) og dens lineært uavhengige derivater.
- La oss skrive ned y p (\displaystyle y_(p)) som en lineær kombinasjon av begrepene ovenfor. På grunn av disse koeffisientene i en lineær kombinasjon kalles denne metoden "metoden for ubestemte koeffisienter". Ved utseendet til de som er inneholdt i y c (\displaystyle y_(c)) medlemmene deres kan forkastes på grunn av tilstedeværelsen av vilkårlige konstanter i y c. (\displaystyle y_(c).) Etter det bytter vi y p (\displaystyle y_(p)) inn i en ligning og sette likhetstegn mellom lignende termer.
- Vi bestemmer koeffisientene. På dette stadiet oppnås et system med algebraiske ligninger, som vanligvis kan løses uten spesielle problemer. Løsningen av dette systemet gjør det mulig å skaffe y p (\displaystyle y_(p)) og dermed løse ligningen.
- Eksempel 2.3. Tenk på en inhomogen differensialligning hvis frie ledd inneholder et begrenset antall lineært uavhengige derivater. En spesiell løsning av en slik ligning kan bli funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(justert)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ end(cases)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Lagrange-metoden. Lagrange-metoden, eller metoden for variasjon av vilkårlige konstanter, er en mer generell metode for å løse inhomogene differensialligninger, spesielt i tilfeller der frileddet ikke inneholder et begrenset antall lineært uavhengige deriverte. For eksempel med gratis medlemmer tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) eller x − n (\displaystyle x^(-n)) for å finne en bestemt løsning er det nødvendig å bruke Lagrange-metoden. Lagrange-metoden kan til og med brukes til å løse differensialligninger med variable koeffisienter, men i dette tilfellet, med unntak av Cauchy-Euler-ligningen, brukes den sjeldnere, siden tilleggsløsningen vanligvis ikke uttrykkes i form av elementære funksjoner.
- La oss anta at løsningen har følgende form. Dens deriverte er gitt i den andre linjen.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Siden den foreslåtte løsningen inneholder to ukjente mengder, er det nødvendig å pålegge ytterligere tilstand. Vi velger denne tilleggsbetingelsen i følgende form:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Nå kan vi få den andre ligningen. Etter å ha erstattet og omfordelt medlemmer, kan du gruppere medlemmer med v 1 (\displaystyle v_(1)) og medlemmer fra v 2 (\displaystyle v_(2)). Disse vilkårene er kansellert pga y 1 (\displaystyle y_(1)) og y 2 (\displaystyle y_(2)) er løsninger av den tilsvarende homogene ligningen. Som et resultat får vi følgende ligningssystem
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(justert)))
- Dette systemet kan transformeres til en matriseligning av formen A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) hvis løsning er x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) For matrise 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) den inverse matrisen blir funnet ved å dele med determinanten, permutere de diagonale elementene og reversere tegnet til de off-diagonale elementene. Faktisk er determinanten for denne matrisen en Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Uttrykk for v 1 (\displaystyle v_(1)) og v 2 (\displaystyle v_(2)) er oppført nedenfor. Som i ordensreduksjonsmetoden, vises i dette tilfellet en vilkårlig konstant under integrasjon, som inkluderer en tilleggsløsning i den generelle løsningen av differensialligningen.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Forelesning av National Open University Intuit med tittelen "Lineære differensialligninger av n-te orden med konstante koeffisienter".

Praktisk bruk

Differensialligninger etablerer en sammenheng mellom en funksjon og en eller flere av dens deriverte. Siden slike sammenhenger er så vanlige, har differensialligninger funnet bred anvendelse i en lang rekke områder, og siden vi lever i fire dimensjoner, er disse ligningene ofte differensialligninger i privat derivater. Denne delen diskuterer noen av de viktigste ligningene av denne typen.

Eksponentiell vekst og forfall. radioaktivt forfall. Sammensatt rente. Hastigheten av kjemiske reaksjoner. Konsentrasjonen av narkotika i blodet. Ubegrenset befolkningsvekst. Newton-Richmanns lov. I den virkelige verden er det mange systemer der vekst eller forfall til enhver tid er proporsjonal med mengden på det tidspunktet, eller kan tilnærmes godt av en modell. Dette er fordi løsningen på denne differensialligningen, eksponentialfunksjonen, er en av de viktigste funksjonene i matematikk og andre vitenskaper. Mer generelt, under kontrollert befolkningsvekst, kan systemet inkludere ytterligere vilkår som begrenser veksten. I ligningen nedenfor er konstanten k (\displaystyle k) kan enten være større eller mindre enn null.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmoniske vibrasjoner. I både klassisk og kvantemekanikk er den harmoniske oscillatoren et av de viktigste fysiske systemene på grunn av sin enkelhet og brede anvendelse for å tilnærme mer komplekse systemer som en enkel pendel. I klassisk mekanikk er harmoniske oscillasjoner beskrevet av en ligning som relaterer posisjonen til et materialpunkt til dets akselerasjon gjennom Hookes lov. I dette tilfellet kan det også tas hensyn til demping og drivkrefter. I uttrykket nedenfor x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- tidsavledet av x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) er en parameter som beskriver dempekraften, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- vinkelfrekvensen til systemet, F (t) (\displaystyle F(t)) er en tidsavhengig drivkraft. Den harmoniske oscillatoren er også til stede i elektromagnetiske oscillatoriske kretser, hvor den kan implementeres med større nøyaktighet enn i mekaniske systemer.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Bessel ligning. Bessel-differensialligningen brukes i mange områder av fysikk, inkludert løsningen av bølgeligningen, Laplace-ligningen og Schrödinger-ligningen, spesielt i nærvær av sylindrisk eller sfærisk symmetri. Denne andreordens differensialligningen med variable koeffisienter er ikke en Cauchy-Euler-ligning, så løsningene kan ikke skrives som elementære funksjoner. Løsningene til Bessel-ligningen er Bessel-funksjonene, som er godt studert på grunn av at de brukes på mange områder. I uttrykket nedenfor α (\displaystyle \alpha ) er en konstant som matcher rekkefølge Bessel funksjoner.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Maxwells ligninger. Sammen med Lorentz-kraften danner Maxwells ligninger grunnlaget for klassisk elektrodynamikk. Dette er fire partielle differensialligninger for det elektriske E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) og magnetisk B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) Enger. I uttrykkene nedenfor ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ladningstetthet, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) er strømtettheten, og ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) og μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) er henholdsvis de elektriske og magnetiske konstantene.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\nabla(justert) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
Schrödinger-ligningen. I kvantemekanikk er Schrödinger-ligningen den grunnleggende bevegelsesligningen som beskriver bevegelsen til partikler i samsvar med endringen i bølgefunksjonen Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) med tiden. Bevegelsesligningen beskrives av atferden Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operatør, som beskriver energien til systemet. Et av de velkjente eksemplene på Schrödinger-ligningen i fysikk er ligningen for en ikke-relativistisk partikkel, som er utsatt for potensialet V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mange systemer er beskrevet av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, med ligningen på venstre side E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) hvor E (\displaystyle E) er energien til partikkelen. I uttrykkene nedenfor ℏ (\displaystyle \hbar ) er den reduserte Planck-konstanten.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\venstre(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
bølgeligning. Det er umulig å forestille seg fysikk og teknologi uten bølger, de finnes i alle typer systemer. Generelt er bølger beskrevet av ligningen nedenfor, der u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) er ønsket funksjon, og c (\displaystyle c)- eksperimentelt bestemt konstant. d'Alembert var den første som oppdaget at for det endimensjonale tilfellet er løsningen på bølgeligningen noen funksjon med argument x − c t (\displaystyle x-ct), som beskriver en vilkårlig bølge som forplanter seg til høyre. Den generelle løsningen for endimensjonale tilfelle er en lineær kombinasjon av denne funksjonen med en andre funksjon med et argument x + c t (\displaystyle x+ct), som beskriver en bølge som forplanter seg til venstre. Denne løsningen presenteres i andre linje.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes ligninger. Navier-Stokes-ligningene beskriver bevegelsen til væsker. Siden væsker er til stede i praktisk talt alle felt innen vitenskap og teknologi, er disse ligningene ekstremt viktige for værprediksjon, flydesign, havstrømmer og mange andre bruksområder. Navier-Stokes-ligningene er ikke-lineære partielle differensialligninger, og i de fleste tilfeller er det svært vanskelig å løse dem, siden ikke-lineariteten fører til turbulens, og for å oppnå en stabil løsning med numeriske metoder, partisjonering i svært små celler er nødvendig, noe som krever betydelig datakraft. For praktiske formål innen hydrodynamikk brukes metoder som tidsgjennomsnitt for å modellere turbulente strømninger. Enda mer grunnleggende spørsmål, som eksistensen og unikheten til løsninger for ikke-lineære partielle differensialligninger, er komplekse problemer, og å bevise eksistensen og unikheten til løsninger for Navier-Stokes-ligningene i tre dimensjoner er blant de matematiske problemene i årtusenet. . Nedenfor er ligningen for inkompressibel væskestrøm og kontinuitetsligningen.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\delvis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Mange differensialligninger kan ganske enkelt ikke løses med metodene ovenfor, spesielt de som er nevnt i den siste delen. Dette gjelder når ligningen inneholder variable koeffisienter og ikke er en Cauchy-Euler-ligning, eller når ligningen er ikke-lineær, bortsett fra i noen få svært sjeldne tilfeller. Metodene ovenfor lar deg imidlertid løse mange viktige differensialligninger som ofte støtes på i ulike vitenskapsfelt.
I motsetning til differensiering, som lar deg finne den deriverte av enhver funksjon, kan integralet til mange uttrykk ikke uttrykkes i elementære funksjoner. Kast derfor ikke bort tid på å prøve å beregne integralet der det er umulig. Se på tabellen over integraler. Hvis løsningen av en differensialligning ikke kan uttrykkes i form av elementære funksjoner, kan den noen ganger representeres i integralform, og i dette tilfellet spiller det ingen rolle om dette integralet kan beregnes analytisk.

Advarsler

Utseende differensialligning kan være misvisende. Nedenfor er for eksempel to førsteordens differensialligninger. Den første ligningen løses enkelt ved å bruke metodene beskrevet i denne artikkelen. Ved første øyekast en liten endring y (\displaystyle y) på y 2 (\displaystyle y^(2)) i den andre ligningen gjør den ikke-lineær og blir svært vanskelig å løse.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))