Hvilke oscillasjoner kalles dempet. dempet vibrasjoner

1.21. RÅNENDE, Tvangssvingninger

Differensialligningen for dempede svingninger og dens løsning. Dempningskoeffisient. logaritmisk desdempebånd.Q-faktorkroppens system.aperiodisk prosess. Differensialligningen for tvangssvingninger og dens løsning.Amplitude og fase av tvungne oscillasjoner. Prosessen med å etablere svingninger. Resonans tilfelle.Selvsvingninger.

Dempingen av oscillasjoner er den gradvise reduksjonen i amplituden av oscillasjoner over tid, på grunn av tap av energi fra oscillasjonssystemet.

Naturlige vibrasjoner uten demping er en idealisering. Årsakene til falming kan være forskjellige. I et mekanisk system dempes vibrasjoner ved tilstedeværelse av friksjon. Når all energien som er lagret i det oscillerende systemet er brukt opp, vil svingningene stoppe. Derfor er amplituden dempet svingninger reduseres til den blir null.

Dempede svingninger, så vel som naturlige, i systemer som er forskjellige i naturen, kan betraktes fra et enkelt synspunkt - fellestrekk. Imidlertid krever slike egenskaper som amplitude og periode omdefinering, mens andre krever tillegg og presiseringer sammenlignet med de samme egenskapene for naturlige udempede svingninger. De generelle tegnene og konseptene for dempede oscillasjoner er som følger:

Differensialligningen må oppnås under hensyntagen til reduksjonen i vibrasjonsenergi i prosessen med oscillasjoner.

Oscillasjonsligningen er løsningen av en differensialligning.

Amplituden til dempede svingninger avhenger av tid.

Frekvensen og perioden avhenger av graden av demping av oscillasjonene.

Fase og startfase har samme betydning som for udempede svingninger.

Mekanisk dempede svingninger.

mekanisk system : fjærpendel utsatt for friksjonskrefter.

Krefter som virker på pendelen :

Elastisk kraft., hvor k er fjærstivhetskoeffisienten, х er forskyvningen av pendelen fra likevektsposisjonen.

Motstandskraft. Betrakt motstandskraften proporsjonal med bevegelseshastigheten v (en slik avhengighet er typisk for en stor klasse motstandskrefter): . Minustegnet viser at retningen til motstandskraften er motsatt av retningen til kroppens hastighet. Luftmotstandskoeffisienten r er numerisk lik motstandskraften som oppstår ved en enhetshastighet til kroppen:

Lov om bevegelse vårpendel er Newtons andre lov:

m en = F eks. + F stå imot.

Med tanke på det og , skriver vi Newtons andre lov i formen:

. (21.1)

Ved å dele alle leddene i ligningen med m, flytte dem alle til høyre side, får vi differensial ligning dempede oscillasjoner:

La oss betegne hvor β – dempningsfaktor , , hvor ω 0 er frekvensen av udempede frie oscillasjoner i fravær av energitap i svingesystemet.

I den nye notasjonen har differensialligningen for dempede oscillasjoner formen:

. (21.2)

Dette er en lineær differensialligning av andre orden.

Denne lineære differensialligningen løses ved å endre variabler. Vi representerer funksjonen x, avhengig av tiden t, i formen:

.

La oss finne de første og andre tidsderivatene av denne funksjonen, gitt at funksjonen z også er en funksjon av tid:

, .

Bytt ut uttrykkene i differensialligningen:

Vi tar med like ledd i ligningen og reduserer hvert ledd med , vi får ligningen:

.

La oss angi mengden .

Ligningsløsning er funksjonene, .

Når vi går tilbake til variabelen x, får vi formlene for likningene til dempede oscillasjonene:

På denne måten , ligning av dempede svingninger er en løsning av differensialligningen (21.2):

Dempet oscillasjonsfrekvens :

(bare den virkelige roten har derfor en fysisk betydning).

Periode med dempede svingninger :

(21.5)

Betydningen som ble lagt inn i begrepet en periode for udempede svingninger er ikke egnet for dempede svingninger, siden oscillerende systemet aldri går tilbake til sin opprinnelige tilstand på grunn av tap av oscillerende energi. I nærvær av friksjon er oscillasjonene langsommere: .

Perioden med dempede svingninger kalt minimum tidsintervall som systemet passerer to ganger likevektsposisjonen i samme retning.

For det mekaniske systemet til fjærpendelen har vi:

, .

Amplitude av dempede oscillasjoner :

For fjærpendel.

Amplituden til dempede oscillasjonene er ikke en konstant verdi, men endres med tiden jo raskere, jo større koeffisient β. Derfor må definisjonen for amplituden, gitt tidligere for udempede frie oscillasjoner, endres for dempede svingninger.

For liten demping amplitude av dempede oscillasjoner kalt det største avviket fra likevektsposisjonen for perioden.

Grafer kurvene for offset vs. tid og amplitude vs. tid er vist i figur 21.1 og 21.2.

Figur 21.1 - Forskyvningens avhengighet av tid for dempede svingninger.

Figur 21.2 - Amplitudens avhengighet av tid for dempede oscillasjoner

Kjennetegn på dempede oscillasjoner.

1. Dempningsfaktor β .

Endringen i amplituden til dempede oscillasjonene skjer i henhold til den eksponentielle loven:

La oscillasjonsamplituden avta med "e" ganger over tid τ ("e" er basisen til den naturlige logaritmen, e ≈ 2,718). Så, på den ene siden, , og på den annen side etter å ha malt amplitudene A zat. (t) og A kl. (t+τ), har vi . Disse relasjonene innebærer βτ = 1, derav .

Tidsintervall τ , hvor amplituden reduseres med "e" ganger, kalles avslapningstiden.

Dempningsfaktor β er en verdi omvendt proporsjonal med avspenningstiden.

2. Logaritmisk dempingsreduksjon δ - en fysisk størrelse numerisk lik den naturlige logaritmen av forholdet mellom to påfølgende amplituder adskilt i tid med en periode.

Dersom dempningen er liten, dvs. verdien av β er liten, deretter endres amplituden litt i løpet av perioden, og den logaritmiske reduksjonen kan defineres som følger:

,

hvor A kl. (t) og A kl. (t + NT) - oscillasjonsamplituder ved tidspunkt e og etter N perioder, dvs. ved tidspunkt (t + NT).

3. Kvalitetsfaktor Q oscillerende system er en dimensjonsløs fysisk størrelse lik produktet av verdien (2π) νa forholdet mellom energien W(t) til systemet i et vilkårlig tidspunkt og energitapet over en periode med dempede svingninger:

.

Siden energien er proporsjonal med kvadratet av amplituden, da

For små verdier av den logaritmiske dekrementet δ, er kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet lik

,

hvor N e er antall svingninger, hvor amplituden reduseres med "e" ganger.

Så kvalitetsfaktoren til en fjærpendel er: Jo større kvalitetsfaktor et oscillerende system har, jo mindre dempning, jo lenger vil den periodiske prosessen i et slikt system vare. Kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet - dimensjonsløs mengde som kjennetegner spredningen av energi i tid.

4. Med en økning i koeffisienten β avtar frekvensen av dempede oscillasjonene, og perioden øker. Ved ω 0 = β blir frekvensen av dempede oscillasjonene lik null ω zat. = 0, og T zat. = ∞. I dette tilfellet mister oscillasjonene sin periodiske karakter og kalles aperiodisk.

Ved ω 0 = β tar systemparametrene som er ansvarlige for reduksjonen i vibrasjonsenergi verdier kalt kritisk . For en fjærpendel vil betingelsen ω 0 = β skrives som:, hvorfra vi finner verdien kritisk luftmotstandskoeffisient:

.

Ris. 21.3. Avhengigheten av amplituden til aperiodiske oscillasjoner på tid

Tvungede vibrasjoner.

Alle reelle svingninger er dempet. For at reelle oscillasjoner skal oppstå i tilstrekkelig lang tid, er det nødvendig å periodisk etterfylle energien til det oscillerende systemet ved å virke på det med en ekstern periodisk skiftende kraft

Vurder fenomenet svingninger hvis det ytre (tvinger) kraft varierer med tiden i henhold til den harmoniske loven. I dette tilfellet vil det oppstå svingninger i systemene, hvis natur i en eller annen grad vil gjenta drivkraftens natur. Slike svingninger kalles tvunget .

Generelle tegn på tvungne mekaniske svingninger.

1. La oss se på de tvungne mekaniske oscillasjonene til en fjærpendel, som påvirkes av en ekstern (overbevisende ) periodisk kraft . Kreftene som virker på en pendel, når de først er tatt ut av likevekt, utvikles i selve svingesystemet. Dette er den elastiske kraften og dragkraften.

Lov om bevegelse (Newtons andre lov) er skrevet som følger:

(21.6)

Del begge sider av ligningen med m, ta hensyn til at , og få differensial ligning tvungne vibrasjoner:

Angi ( β – dempningsfaktor ), (ω 0 er frekvensen av udempede frie oscillasjoner), kraften som virker per masseenhet. I disse notasjonene differensial ligning tvangssvingninger vil ha formen:

(21.7)

Dette er en andreordens differensialligning med en høyreside som ikke er null. Løsningen av en slik ligning er summen av to løsninger

.

er den generelle løsningen av en homogen differensialligning, dvs. differensialligning uten høyre side når den er lik null. Vi kjenner en slik løsning - dette er ligningen for dempede svingninger, skrevet opp til en konstant, hvis verdi bestemmes av de innledende betingelsene til det oscillerende systemet:

Hvor .

Vi diskuterte tidligere at løsningen kan skrives i form av sinusfunksjoner.

Hvis vi vurderer prosessen med pendelsvingninger etter en tilstrekkelig lang tidsperiode Δt etter at drivkraften er slått på (Figur 21.2), vil de dempede oscillasjonene i systemet praktisk talt stoppe. Og da vil løsningen av differensialligningen med høyre side være løsningen.

En løsning er en spesiell løsning av en inhomogen differensialligning, dvs. ligninger med høyre side. Det er kjent fra teorien om differensialligninger at med høyre side som endres i henhold til den harmoniske loven, vil løsningen være en harmonisk funksjon (sin eller cos) med en endringsfrekvens som tilsvarer endringsfrekvensen Ω på høyre side:

hvor A ampl. – amplitude av tvungne oscillasjoner, φ 0 – faseendring , de. faseforskjell mellom fasen til drivkraften og fasen til tvangssvingninger. Og amplitude A ampl. , og faseforskyvningen φ 0 avhenger av parametrene til systemet (β, ω 0) og av frekvensen til drivkraften Ω.

Tvunget oscillasjonsperiode er lik (21.9)

Tidsplan for tvangssvingninger i figur 4.1.

Fig.21.3. Tidsplan for tvangssvingninger

De jevne tvungne oscillasjonene er også harmoniske.

Avhengighet av amplituden til tvangssvingninger og faseskift på frekvensen av ytre handling. Resonans.

1. La oss gå tilbake til det mekaniske systemet til en fjærpendel, som påvirkes av en ytre kraft som endres i henhold til en harmonisk lov. For et slikt system har henholdsvis differensialligningen og dens løsning formen:

, .

La oss analysere avhengigheten av oscillasjonsamplituden og faseforskyvningen av frekvensen til den eksterne drivkraften, for dette finner vi den første og andre deriverte av x og erstatter dem med differensialligningen.

La oss bruke vektordiagrammetoden. Det kan ses av ligningen at summen av de tre svingene på venstre side av ligningen (Figur 4.1) skal være lik svingen på høyre side. Vektordiagrammet er laget for en vilkårlig tid t. Det kan bestemmes ut fra det.

Figur 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Tatt i betraktning verdien , ,, får vi formler for φ 0 og A ampl. mekanisk system:

,

.

2. Vi undersøker avhengigheten av amplituden til tvangssvingninger på frekvensen til drivkraften og størrelsen på motstandskraften i et oscillerende mekanisk system, ved å bruke disse dataene konstruerer vi en graf . Resultatene av studien er vist i figur 21.5, de viser at ved en viss frekvens av drivkraften amplituden til oscillasjonene øker kraftig. Og denne økningen er jo større jo lavere dempningskoeffisienten β er. Ved blir oscillasjonsamplituden uendelig stor.

Fenomenet med en kraftig økning i amplitude tvangssvingninger med en frekvens av drivkraften lik kalles resonans.

(21.12)

Kurvene i figur 21.5 gjenspeiler sammenhengen og blir kalt amplitude resonanskurver .

Figur 21.5 - Grafer over avhengigheten av amplituden til tvungne oscillasjoner av frekvensen til drivkraften.

Amplituden til resonansoscillasjoner vil ha formen:

Tvungen vibrasjoner er udempet svingninger. De uunngåelige tapene av energi på grunn av friksjon kompenseres ved tilførsel av energi fra en ekstern kilde til en periodisk virkende kraft. Det er systemer der udempede oscillasjoner ikke oppstår på grunn av periodisk ytre påvirkning, men som et resultat av slike systemers evne til å regulere strømmen av energi fra en konstant kilde. Slike systemer kalles selvsvingende, og prosessen med udempede oscillasjoner i slike systemer er selvsvingninger.

I et selvoscillerende system kan tre karakteristiske elementer skilles - et oscillerende system, en energikilde og en tilbakemeldingsenhet mellom oscillerende systemet og kilden. Som et oscillerende system kan ethvert mekanisk system som er i stand til å utføre sine egne dempede oscillasjoner (for eksempel en pendel av en veggklokke) brukes.

Energikilden kan være deformasjonsenergien til fjæren eller den potensielle energien til lasten i gravitasjonsfeltet. Tilbakemeldingsanordningen er en mekanisme der det selvsvingende systemet regulerer strømmen av energi fra kilden. På fig. 21.6 viser et diagram over samspillet mellom ulike elementer i et selvoscillerende system.

Et eksempel på et mekanisk selvsvingende system er et urverk med anker flytte (Fig. 21.7.). Et løpehjul med skrå tenner er stivt festet til en tanntrommel, gjennom hvilken en kjede med en vekt kastes. I den øvre enden av pendelen er et anker (anker) festet med to plater av hardt materiale bøyd langs en sirkelbue sentrert på pendelens akse. I et armbåndsur er vekten erstattet av en fjær, og pendelen erstattes av en balanserer - et håndhjul festet til en spiralfjær.

Figur 21.7. Klokkemekanisme med pendel.

Balanseren utfører torsjonsvibrasjoner rundt sin akse. Det oscillerende systemet i klokken er en pendel eller balanserer. Energikilden er en vekt som løftes opp eller en sårfjær. Tilbakemeldingsenheten er et anker som lar løpehjulet snu en tann i en halv syklus.

Tilbakemelding gis av samspillet mellom ankeret og løpehjulet. Med hver oscillasjon av pendelen skyver reisehjulets tann ankergaffelen i retning av pendelens bevegelse, og overfører til den en viss del av energien, som kompenserer for energitapene på grunn av friksjon. Dermed overføres den potensielle energien til vekten (eller vridd fjær) gradvis, i separate deler, til pendelen.

Mekaniske selvoscillerende systemer er utbredt i livet rundt oss og i teknologien. Selvsvingninger utføres av dampmaskiner, forbrenningsmotorer, elektriske klokker, strenger av bøyde musikkinstrumenter, luftsøyler i rørene til blåseinstrumenter, stemmebånd når man snakker eller synger, etc.

Alle ekte oscillerende systemer er dissipative. Energien til systemets mekaniske oscillasjoner brukes over tid på arbeid mot friksjonskrefter, derfor demper naturlige oscillasjoner alltid ut - amplituden deres reduseres gradvis. Energitap oppstår også under deformasjoner av legemer, siden det ikke er helt elastiske legemer, og deformasjoner av ikke helt elastiske legemer er ledsaget av en delvis overgang av mekanisk energi til energien til kaotisk termisk bevegelse av partiklene i disse legene.

I mange tilfeller kan man som en første tilnærming anta at ved lave hastigheter er kreftene som forårsaker demping av mekaniske vibrasjoner proporsjonale med hastigheten. Vi vil kalle disse kreftene, uavhengig av deres opprinnelse, friksjon eller motstandskrefter og beregne dem ved hjelp av følgende formel: . Her er r luftmotstandskoeffisienten til mediet, er kroppens hastighet. Minustegnet indikerer at friksjonskrefter alltid er rettet i motsatt retning av kroppens bevegelsesretning.

La oss skrive likningen til Newtons andre lov for dempede rettlinjede oscillasjoner av en fjærpendel

Her: m er massen til lasten, k er stivheten til fjæren, er projeksjonen av hastigheten på OX-aksen, er projeksjonen av akselerasjonen på OX-aksen. La oss dele begge sider av ligning (13) med massen m og omskrive den som:

. (14)

La oss introdusere notasjonen:

, (15)

. (16)

La oss kalle det dempningskoeffisienten, og vi kalte det tidligere den naturlige sykliske frekvensen. Med tanke på den introduserte notasjonen (15 og 16), vil ligning (14) bli skrevet

. (17)

Dette er en differensialligning for dempede oscillasjoner av enhver art. Formen for løsningen av denne andreordens lineære differensialligningen avhenger av forholdet mellom verdien - egenfrekvensen til udempede svingninger og dempningskoeffisienten .

Hvis friksjonen er veldig høy (i dette tilfellet ), går systemet, tatt ut av likevektsposisjonen, tilbake til det uten å oscillere ("krypende"). En slik bevegelse (kurve 2 i fig. 3) kalles aperiodisk.

Hvis systemet med høy friksjon i det første øyeblikket er i likevektsposisjon og en viss starthastighet rapporteres til det, når systemet det største avviket fra likevektsposisjonen, stopper og etter det tenderer forskyvningen asymptotisk til null (fig. 4) ).

Fig.3 Fig.4

Hvis systemet tas ut av likevektsposisjonen under betingelsen og slippes uten starthastighet, så går heller ikke systemet over likevektsposisjonen. Men i dette tilfellet viser tiden for praktisk tilnærming seg å være mindre enn ved høy friksjon (kurve 1 i fig. 3). Denne modusen kalles kritisk og er rettet mot ved bruk av ulike måleinstrumenter (for raskest avlesning av avlesninger).

ved lav friksjon (i dette tilfellet) er bevegelsen oscillerende (fig. 5) og løsningen av ligning (17) har formen:

(19)

beskriver endring amplituder av dempede oscillasjoner med tiden. Amplituden til dempede svingninger avtar med tiden (fig. 5) og jo raskere, jo større er luftmotstandskoeffisienten og jo mindre masse er det oscillerende legemet, det vil si jo lavere treghet i systemet.

Fig.5

verdien

kalt den sykliske frekvensen til dempede svingninger. Dempede svingninger er ikke-periodiske oscillasjoner, siden de aldri gjentar for eksempel maksimalverdiene for forskyvning, hastighet og akselerasjon. Derfor kan det kalles frekvens kun betinget i den forstand at det viser hvor mange ganger per sekund et oscillerende system passerer gjennom likevektsposisjonen. Av samme grunn, verdien

(21)

kan kalles betinget periode med dempede svingninger.

For å karakterisere dempningen introduserer vi følgende mengder:

Logaritmisk demping dekrement;

Avslapningstid;

Q-faktor.

Forholdet mellom to påfølgende forskyvninger adskilt i tid med én periode kalles dempingsreduksjon.

Logaritmisk dempingsreduksjon kalles den naturlige logaritmen av forholdet mellom amplitudeverdiene til de dempede oscillasjonene til tidene t og t + T (den naturlige logaritmen er forholdet mellom to påfølgende forskyvninger adskilt i tid med en periode):

Siden og , da .

Vi bruker formelen for amplitudens avhengighet av tid (19) og oppnår

La oss finne ut den fysiske betydningen av mengdene og . La oss betegne tidsintervallet hvor amplituden til dempede svingninger avtar med en faktor e og kaller det avslapningstid. Deretter . derav følger det

dempet vibrasjoner

Dempede svingninger av en fjærpendel

dempet vibrasjoner- svingninger, hvis energi avtar med tiden. En uendelig kontinuerlig prosess av arter er umulig i naturen. Frie oscillasjoner av enhver oscillator før eller senere blekner og stopper. Derfor har man i praksis som regel å gjøre med dempede svingninger. De er preget av det faktum at amplituden av svingninger EN er en avtagende funksjon. Vanligvis oppstår demping under påvirkning av motstandskreftene til mediet, oftest uttrykt som en lineær avhengighet av svingningshastigheten eller kvadratet.

I akustikk: demping - reduserer signalnivået til fullstendig uhørlighet.

Dempede svingninger av en fjærpendel

La det være et system som består av en fjær (som adlyder Hookes lov), hvor den ene enden er stivt festet, og på den andre er det et masselegeme m. Oscillasjoner oppstår i et medium hvor motstandskraften er proporsjonal med hastigheten med en koeffisient c(se viskøs friksjon).

Røttene som beregnes ved hjelp av følgende formel

Løsninger

Avhengig av verdien av dempningskoeffisienten er løsningen delt inn i tre mulige alternativer.

• aperiodisitet

Hvis , så er det to reelle røtter, og løsningen av differensialligningen har formen:

I dette tilfellet avtar oscillasjonene eksponentielt helt fra begynnelsen.

• Aperiodisitetsgrense

Hvis , de to reelle røttene er like, og løsningen på ligningen er:

I dette tilfellet kan det være en midlertidig økning, men deretter et eksponentielt forfall.

• Svak demping

Hvis , så er løsningen av den karakteristiske ligningen to komplekse konjugerte røtter

Da er løsningen på den opprinnelige differensialligningen

Hvor er egenfrekvensen til dempede svingninger.

Konstantene og i hvert av tilfellene bestemmes ut fra startbetingelsene:

se også

• Reduksjon av demping

Litteratur

Litt .: Saveliev I. V., Kurs i generell fysikk: Mekanikk, 2001.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "Damped Oscillations" er i andre ordbøker:

dempet vibrasjoner- Dempede vibrasjoner. DEMENDE OSCILLASJONER, vibrasjoner hvis amplitude A avtar over tid på grunn av energitap: konvertering av vibrasjonsenergi til varme som et resultat av friksjon i mekaniske systemer (for eksempel ved et opphengspunkt ... ... Illustrert encyklopedisk ordbok

Naturlige oscillasjoner, hvis amplitude A avtar med tiden t i henhold til eksponentialloven А(t) = Аоexp (?t) (? dempingsindeks på grunn av energispredning på grunn av viskøse friksjonskrefter for mekaniske dempede svingninger og ohmske ... . .. Stor encyklopedisk ordbok

Svingninger, hvis amplitude gradvis avtar, for eksempel. svingninger av en pendel som opplever luftmotstand og friksjon i fjæringen. Alle frie vibrasjoner som oppstår i naturen er, i større eller mindre grad, Z. K. Electric Z. K. ... ... Marine Dictionary

dempet svingninger- Mekaniske svingninger med verdier for rekkevidden til den generaliserte koordinaten eller dens tidsderiverte synkende i tid. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 106. Mekaniske vibrasjoner. USSR Academy of Sciences. Vitenskapelig og teknisk komité ...... Teknisk oversetterhåndbok

dempet vibrasjoner- (VIBRASJON) svingninger (vibrasjoner) med synkende topp-til-topp-verdier... Russisk leksikon om arbeidsbeskyttelse

Systemets naturlige oscillasjoner, hvis amplitude A avtar med tiden t i henhold til eksponentialloven A(t) = A0exp(?α t) (α dempingindeks) på grunn av energispredning på grunn av viskøse friksjonskrefter for mekaniske dempede svingninger og ohmsk ... ... encyklopedisk ordbok

dempet vibrasjoner- 31. Dempede svingninger Oscillasjoner med synkende amplitudeverdier Kilde ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon

Naturlige oscillasjoner av systemet, amplituden A k ryh avtar med tiden t i henhold til eksponentiell lov A (t) = Aoeexp (at) (en dempende indeks) på grunn av energispredning på grunn av viskøse friksjonskrefter for mekaniske. 3. til og ohmsk motstand for el ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

dempet svingninger- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. dempet oscillasjon vok. gedämpfte Schwingung, f rus. dempet svingninger, n pranc. svingninger amortier, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

dempet svingninger- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. dempet svingninger; dempet vibrasjoner; døende svingninger vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. dempet svingninger, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas