Hvilke krefter virker på en pendel. Matematisk pendel: punktum, akselerasjon og formler

Matematisk pendel.

En matematisk pendel er en materiell spiss hengt opp på en uutvidelig vektløs tråd, som svinger i ett vertikalt plan under påvirkning av tyngdekraften.

En slik pendel kan betraktes som en tung ball med masse m, suspendert på en tynn tråd, hvis lengde l er mye større enn størrelsen på ballen. Hvis den avbøyes med en vinkel α (fig. 7.3.) fra den vertikale linjen, vil den under påvirkning av kraften F - en av komponentene til vekten P, oscillere. Den andre komponenten , rettet langs tråden, tas ikke i betraktning, fordi balansert av spenningen i strengen. Ved små forskyvningsvinkler og så kan x-koordinaten telles i horisontal retning. Fra fig. 7.3 kan man se at vektkomponenten vinkelrett på gjengen er lik

Kraftmomentet i forhold til punktet O: , og treghetsmomentet:
M=FL .
Treghetsmoment J i dette tilfellet
Vinkelakselerasjon:

Med hensyn til disse verdiene har vi:

(7.8)

Hans avgjørelse
,

Som du kan se, avhenger svingningsperioden til en matematisk pendel av lengden og tyngdeakselerasjonen og avhenger ikke av amplituden til svingningene.

fysisk pendel.

En fysisk pendel er et stivt legeme festet på en fast horisontal akse (suspensjonsakse) som ikke passerer gjennom tyngdepunktet og svinger rundt denne aksen under påvirkning av tyngdekraften. I motsetning til en matematisk pendel, kan ikke massen til et slikt legeme betraktes som en punktmasse.

Ved små avbøyningsvinkler α (fig. 7.4) utfører også den fysiske pendelen harmoniske svingninger. Vi vil anta at vekten av den fysiske pendelen påføres dens tyngdepunkt i punkt C. Kraften som returnerer pendelen til likevektsposisjon, vil i dette tilfellet være tyngdekraftskomponenten - kraften F.

Minustegnet på høyre side betyr at kraften F er rettet mot å redusere vinkelen α. Tatt i betraktning hvor liten vinkelen α er

For å utlede bevegelsesloven til matematiske og fysiske pendler, bruker vi den grunnleggende ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse

Kraftmoment: kan ikke bestemmes eksplisitt. Med tanke på alle mengdene inkludert i den opprinnelige differensialligningen av svingningene til en fysisk pendel, har den formen

En matematisk pendel er en modell av en vanlig pendel. En matematisk pendel er en materiell spiss som er hengt opp på en lang vektløs og uuttrekkbar tråd.

Ta ballen ut av likevekt og slipp den. Det er to krefter som virker på ballen: tyngdekraften og spenningen i strengen. Når pendelen beveger seg, vil luftfriksjonskraften fortsatt virke på den. Men vi vil vurdere det som veldig lite.

La oss dekomponere tyngdekraften i to komponenter: kraften rettet langs tråden, og kraften rettet vinkelrett på tangenten til ballens bane.

Disse to kreftene legger sammen til tyngdekraften. De elastiske kreftene til tråden og tyngdekraftskomponenten Fn gir centripetalakselerasjon til ballen. Arbeidet til disse kreftene vil være lik null, og derfor vil de bare endre retningen til hastighetsvektoren. På ethvert tidspunkt vil den være tangent til sirkelbuen.

Under påvirkning av tyngdekraftskomponenten Fτ vil ballen bevege seg langs sirkelbuen med en hastighet som øker i absolutt verdi. Verdien av denne kraften endres alltid i absolutt verdi; når den passerer gjennom likevektsposisjonen, er den lik null.

Dynamikk av oscillerende bevegelse

Bevegelsesligningen til et legeme som svinger under påvirkning av en elastisk kraft.

Generell bevegelsesligning:

Oscillasjoner i systemet oppstår under påvirkning av en elastisk kraft, som i henhold til Hookes lov er direkte proporsjonal med forskyvningen av lasten

Da vil bevegelsesligningen til ballen ha følgende form:

Del denne ligningen med m, vi får følgende formel:

Og siden massen og elastisitetskoeffisienten er konstante verdier, vil forholdet (-k / m) også være konstant. Vi har fått en ligning som beskriver vibrasjonene til et legeme under påvirkning av en elastisk kraft.

Projeksjonen av kroppens akselerasjon vil være direkte proporsjonal med dens koordinat, tatt med motsatt fortegn.

Bevegelsesligningen til en matematisk pendel

Bevegelsesligningen til en matematisk pendel er beskrevet med følgende formel:

Denne ligningen har samme form som ligningen for bevegelsen av en last på en fjær. Følgelig skjer pendelens svingninger og kulens bevegelse på fjæren på samme måte.

Forskyvningen av kulen på fjæren og forskyvningen av pendellegemet fra likevektsposisjonen endres med tiden etter de samme lovene.

Pendel Foucault- en pendel, som brukes til å eksperimentelt demonstrere jordens daglige rotasjon.

Foucault-pendelen er en massiv vekt opphengt i en tråd eller tråd, hvis øvre ende er forsterket (for eksempel med et kardanledd) slik at den lar pendelen svinge i et hvilket som helst vertikalt plan. Hvis Foucault-pendelen avbøyes fra vertikalen og frigjøres uten starthastighet, vil tyngdekraften og spenningskreftene til tråden som virker på pendelens vekt hele tiden ligge i planet for pendelens svingninger og vil ikke være i stand til å forårsake den. rotasjon i forhold til stjernene (til treghetsreferanserammen knyttet til stjernene). En observatør som er på jorden og roterer med den (dvs. befinner seg i en ikke-treghetsreferanseramme) vil se at svingplanet til Foucault-pendelen sakte roterer i forhold til jordoverflaten i motsatt retning av retningen til den. Jordens rotasjon. Dette bekrefter faktumet om jordens daglige rotasjon.

På Nord- eller Sydpolen vil svingplanet til Foucault-pendelen rotere 360° per siderisk dag (15 o per siderisk time). På et punkt på jordoverflaten, hvis geografiske breddegrad er lik φ, roterer horisontplanet rundt vertikalen med en vinkelhastighet på ω 1 = ω sinφ (ω er jordens vinkelhastighetsmodul) og svingplanet til pendelen roterer med samme vinkelhastighet. Derfor har den tilsynelatende vinkelhastigheten til rotasjonshastigheten til oscillasjonsplanet til Foucault-pendelen ved breddegrad φ, uttrykt i grader per siderisk time, verdien roterer). På den sørlige halvkule vil rotasjonen av gyngeplanet bli observert i motsatt retning av den som er observert på den nordlige halvkule. Den raffinerte beregningen gir verdien

ω m = 15 o sinφ

Hvor EN- amplituden til svingningene til pendelvekten, l- trådlengde. Det ekstra leddet, som reduserer vinkelhastigheten, jo mindre, jo mer l. Derfor, for å demonstrere opplevelsen, er det tilrådelig å bruke Foucault-pendelen med størst mulig lengde på tråden (flere titalls meter).

Historie

For første gang ble denne enheten designet av den franske forskeren Jean Bernard Leon Foucault.

Denne enheten var en fem kilos messingkule hengt opp fra taket på en to meter lang ståltråd.

Foucaults første opplevelse var i kjelleren i sitt eget hus. 8. januar 1851. Dette ble registrert i forskerens vitenskapelige dagbok.

3. februar 1851 Jean Foucault demonstrerte pendelen sin ved Paris-observatoriet for akademikere som mottok brev som dette: "Jeg inviterer deg til å følge jordens rotasjon."

Den første offentlige demonstrasjonen av opplevelsen fant sted på initiativ av Louis Bonaparte i Paris Panthéon i april samme år. En metallkule ble hengt opp under kuppelen til Pantheon. veier 28 kg med en spiss festet på en ståltråd 1,4 mm i diameter og 67 m lang. pendel tillot ham å svinge fritt i alle veibeskrivelse. Under festepunktet ble laget til et sirkulært gjerde med en diameter på 6 meter, langs kanten av gjerdet ble det helt en sandsti på en slik måte at pendelen i sin bevegelse kunne tegne merker på sanden når den krysses. For å unngå sideskyv ved start av pendelen ble han tatt til side og bundet med et tau, hvoretter tauet utbrent. Oscillasjonsperioden var 16 sekunder.

Eksperimentet var en stor suksess og forårsaket bred respons i de vitenskapelige og offentlige kretsene i Frankrike og andre land i verden. Først i 1851 ble andre pendler laget etter modell av den første, og Foucaults eksperimenter ble utført ved Paris Observatory, i katedralen i Reims, i kirken St. Ignatius i Roma, i Liverpool, i Oxford, Dublin, i Rio de Janeiro, i byen Colombo i Ceylon, New York.

I alle disse eksperimentene var dimensjonene til ballen og lengden på pendelen forskjellige, men de bekreftet alle konklusjoneneJean Bernard Leon Foucault.

Elementer av pendelen, som ble demonstrert i Pantheon, er nå oppbevart i Paris Museum of Arts and Crafts. Og Foucaults pendler finnes nå i mange deler av verden: i polytekniske og naturhistoriske museer, vitenskapelige observatorier, planetarier, universitetslaboratorier og biblioteker.

Det er tre Foucault-pendler i Ukraina. Den ene holdes ved National Technical University of Ukraine "KPI oppkalt etter I. Igor Sikorsky", den andre - ved Kharkiv National University. V.N. Karazin, den tredje - på Kharkiv Planetarium.

Pendelene vist i fig. 2, er forlengede legemer av forskjellige former og størrelser, som svinger rundt et oppheng eller støttepunkt. Slike systemer kalles fysiske pendler. I en likevektstilstand, når tyngdepunktet er vertikalt under opphengspunktet (eller støttepunktet), balanseres tyngdekraften (gjennom de elastiske kreftene til den deformerte pendelen) av støttens reaksjon. Når man avviker fra likevektsposisjonen, bestemmer tyngdekraften og elastiske krefter til hvert øyeblikk vinkelakselerasjonen til pendelen, dvs. bestemmer arten av dens bevegelse (oscillasjon). Vi vil nå vurdere dynamikken til oscillasjoner mer detaljert ved å bruke det enkleste eksemplet på den såkalte matematiske pendelen, som er en liten vekt hengt opp på en lang tynn tråd.

I en matematisk pendel kan vi neglisjere trådens masse og deformasjonen av vekten, det vil si at vi kan anta at pendelens masse er konsentrert i vekten, og de elastiske kreftene er konsentrert i tråden, som regnes som uutvidelig. La oss nå se under påvirkning av hvilke krefter pendelen vår svinger etter at den er bragt ut av likevekt på en eller annen måte (ved dytt, avbøyning).

Når pendelen er i ro i likevektsposisjon, balanseres tyngdekraften som virker på dens vekt og rettet vertikalt nedover av spenningen i tråden. I avbøyd stilling (fig. 15) virker tyngdekraften i en vinkel på strekkkraften rettet langs tråden. Vi dekomponerer tyngdekraften i to komponenter: i trådens retning () og vinkelrett på den (). Når pendelen svinger, overstiger trådens spenningskraft litt komponenten - med verdien av sentripetalkraften, som får lasten til å bevege seg i en bue. Komponenten er alltid rettet mot likevektsposisjonen; hun ser ut til å strebe etter å gjenopprette denne posisjonen. Derfor kalles det ofte gjenopprettingskraften. Modulen er større, jo mer pendelen avbøyes.

Ris. 15. Gjenopprettingskraften når pendelen avviker fra likevektsposisjonen

Så snart pendelen, under svingningene, begynner å avvike fra likevektsposisjonen, for eksempel til høyre, dukker det opp en kraft som bremser bevegelsen jo mer, jo lenger den avbøyes. Til syvende og sist vil denne kraften stoppe ham og dra ham tilbake til likevektsposisjonen. Men når vi nærmer oss denne posisjonen vil kraften bli mindre og mindre og vil i selve likevektsposisjonen snu til null. Dermed passerer pendelen gjennom likevektsposisjonen ved treghet. Så snart den begynner å avvike til venstre, vil det igjen dukke opp en kraft som vokser med en økning i avviket, men nå rettet mot høyre. Bevegelsen til venstre vil igjen avta, deretter stopper pendelen et øyeblikk, hvoretter den akselererte bevegelsen til høyre vil begynne osv.

Hva skjer med energien til en pendel når den svinger?

To ganger i løpet av perioden - ved de største avvikene til venstre og høyre - stopper pendelen, det vil si i disse øyeblikkene er hastigheten null, noe som betyr at den kinetiske energien også er null. Men det er nettopp i disse øyeblikkene at tyngdepunktet til pendelen heves til den største høyden, og følgelig er den potensielle energien størst. Tvert imot, i øyeblikkene for passasje gjennom likevektsposisjonen, er den potensielle energien den minste, og hastigheten og kinetisk energi når maksimalverdien.

Vi antar at pendelens friksjonskrefter på luften og friksjonen ved opphengspunktet kan neglisjeres. Da, i henhold til loven om energibevaring, er denne maksimale kinetiske energien nøyaktig lik overskuddet av potensiell energi i posisjonen med størst avvik over den potensielle energien i likevektsposisjonen.

Så når pendelen svinger, oppstår en periodisk overgang av kinetisk energi til potensiell energi og omvendt, og perioden for denne prosessen er halvparten så lang som svingningsperioden til selve pendelen. Pendelens totale energi (summen av potensielle og kinetiske energier) er imidlertid konstant hele tiden. Den er lik energien som ble tilført pendelen ved starten, uansett om den er i form av potensiell energi (initial deflection) eller i form av kinetisk energi (initial push).

Dette er tilfellet for alle vibrasjoner i fravær av friksjon eller andre prosesser som tar energi fra det oscillerende systemet eller gir energi til det. Det er grunnen til at amplituden forblir uendret og bestemmes av det innledende avviket eller kraften til skyvet.

Vi får de samme endringene i gjenopprettingskraften og den samme energiovergangen hvis vi i stedet for å henge ballen på en tråd får den til å rulle i et vertikalt plan i en sfærisk kopp eller i en trau buet rundt omkretsen. I dette tilfellet vil trådspenningens rolle bli antatt av trykket fra veggene i koppen eller trauet (igjen forsømmer vi friksjonen til ballen mot veggene og luften).