Hvilken ligning har uendelig mange røtter? Root of Equation - Introduksjonsinformasjon

Etter å ha fått en generell ide om likheter, og etter å ha blitt kjent med en av deres typer - numeriske likheter, kan du begynne å snakke om en annen type likheter som er veldig viktig fra et praktisk synspunkt - ligninger. I denne artikkelen skal vi se på hva er en ligning, og det som kalles roten til ligningen. Her vil vi gi de tilsvarende definisjonene, samt gi ulike eksempler på ligninger og deres røtter.

Sidenavigering.

Hva er en ligning?

Målrettet innføring i likninger starter vanligvis i matematikktimene i 2. klasse. På dette tidspunktet er følgende gitt definisjon av ligning:

Definisjon.

Ligning er en likhet som inneholder et ukjent tall som må finnes.

Ukjente tall i ligninger er vanligvis betegnet med små latinske bokstaver, for eksempel p, t, u osv., men bokstavene x, y og z brukes oftest.

Dermed er ligningen bestemt ut fra skriveformens synspunkt. Med andre ord, likhet er en ligning når den følger de angitte skrivereglene – den inneholder en bokstav hvis verdi må finnes.

La oss gi eksempler på det aller første og mest enkle ligninger. La oss starte med ligninger på formen x=8, y=3, osv. Ligninger som inneholder aritmetiske tegn sammen med tall og bokstaver ser litt mer kompliserte ut, for eksempel x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Variasjonen av ligninger vokser etter å ha blitt kjent med - ligninger med parentes begynner å dukke opp, for eksempel 2·(x−1)=18 og x+3·(x+2·(x−2))=3. En ukjent bokstav i en ligning kan dukke opp flere ganger, for eksempel x+3+3·x−2−x=9, bokstaver kan også være på venstre side av ligningen, på høyre side av ligningen, eller på begge sider av ligningen. ligningen, for eksempel x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 eller 3·x−4=2·(x+12) .

Videre etter studier naturlige tall bekjentskap med heltall, rasjonelle, reelle tall oppstår, nye matematiske objekter studeres: potenser, røtter, logaritmer, etc., mens flere og flere nye ligningstyper som inneholder disse tingene dukker opp. Eksempler på dem kan sees i artikkelen grunnleggende typer ligninger studerer på skolen.

I 7. klasse, sammen med bokstavene, som betyr noe spesifikke tall, begynne å vurdere bokstavene som kan ta forskjellige betydninger, kalles de variabler (se artikkel). Samtidig blir ordet "variabel" introdusert i definisjonen av ligningen, og det blir slik:

Definisjon.

Ligning kalt en likhet som inneholder en variabel hvis verdi må finnes.

For eksempel er likningen x+3=6·x+7 en likning med variabelen x, og 3·z−1+z=0 er en likning med variabelen z.

Under algebratimer i samme 7. klasse møter vi ligninger som inneholder ikke én, men to forskjellige ukjente variabler. De kalles ligninger i to variabler. I fremtiden er tilstedeværelsen av tre eller flere variabler i ligningene tillatt.

Definisjon.

Ligninger med en, to, tre osv. variabler– dette er ligninger som inneholder henholdsvis en, to, tre, ... ukjente variabler.

For eksempel er ligningen 3,2 x+0,5=1 en ligning med én variabel x, i sin tur er en ligning av formen x−y=3 en ligning med to variable x og y. Og ett eksempel til: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Det er klart at en slik likning er en likning med tre ukjente variabler x, y og z.

Hva er roten til en ligning?

Definisjonen av en ligning er direkte relatert til definisjonen av roten til denne ligningen. La oss gjennomføre noen resonnementer som vil hjelpe oss å forstå hva roten til ligningen er.

La oss si at vi har en ligning med én bokstav (variabel). Hvis i stedet for en bokstav inkludert i oppføringen av denne ligningen, erstattes et visst tall, blir ligningen til en numerisk likhet. Dessuten kan den resulterende likheten være enten sann eller usann. For eksempel, hvis du erstatter tallet 2 i stedet for bokstaven a i ligningen a+1=5, vil du få feil numerisk likhet 2+1=5. Hvis vi erstatter tallet 4 i stedet for a i denne ligningen, får vi riktig likhet 4+1=5.

I praksis, i det overveldende flertallet av tilfellene, er verdiene til variabelen som er av interesse de hvis substitusjon i ligningen gir riktig likhet, kalles disse verdiene røtter eller løsninger gitt ligning.

Definisjon.

Roten til ligningen- dette er verdien av bokstaven (variabelen), ved substitusjon som ligningen blir til en korrekt numerisk likhet.

Merk at roten til en ligning i en variabel også kalles løsningen av ligningen. Med andre ord er løsningen til en ligning og roten til ligningen det samme.

La oss forklare denne definisjonen med et eksempel. For å gjøre dette, la oss gå tilbake til ligningen skrevet over a+1=5. I følge den angitte definisjonen av roten til en ligning, er tallet 4 roten til denne ligningen, siden når vi erstatter dette tallet i stedet for bokstaven a får vi den korrekte likheten 4+1=5, og tallet 2 er ikke dets rot, siden det tilsvarer en ukorrekt likhet på formen 2+1= 5.

På dette tidspunktet oppstår en rekke naturlige spørsmål: "Har en ligning en rot, og hvor mange røtter har den?" gitt ligning"? Vi vil svare på dem.

Det er både ligninger som har røtter og ligninger som ikke har røtter. For eksempel har ligningen x+1=5 rot 4, men ligningen 0 x=5 har ingen røtter, siden uansett hvilket tall vi erstatter i denne ligningen i stedet for variabelen x, vil vi få den feilaktige likheten 0=5 .

Når det gjelder antall røtter til en ligning, eksisterer de som ligninger som har noen endelig nummer røtter (en, to, tre osv.), og ligninger som har uendelig mange røtter. For eksempel har likningen x−2=4 en enkelt rot 6, røttene til likningen x 2 =9 er to tall −3 og 3, likningen x·(x−1)·(x−2)=0 har tre røtter 0, 1 og 2, og løsningen til likningen x=x er et hvilket som helst tall, det vil si at det har uendelig sett røtter.

Noen få ord bør sies om den aksepterte notasjonen for røttene til ligningen. Hvis en ligning ikke har røtter, skriver de vanligvis "ligningen har ingen røtter", eller bruker det tomme setttegnet ∅. Hvis ligningen har røtter, er de skrevet atskilt med komma, eller skrevet som elementer i settet i krøllete parentes. For eksempel, hvis røttene til ligningen er tallene −1, 2 og 4, så skriv −1, 2, 4 eller (−1, 2, 4). Det er også tillatt å skrive ned røttene til ligningen i form av enkle likheter. For eksempel, hvis ligningen inkluderer bokstaven x, og røttene til denne ligningen er tallene 3 og 5, kan du skrive x=3, x=5, og subscripts x 1 =3, x 2 =5 legges ofte til til variabelen, som om den angir tallrøttene til ligningen. Et uendelig sett med røtter til en ligning skrives vanligvis i formen, og om mulig brukes notasjonen for settene med naturlige tall N, heltall Z og reelle tall R. For eksempel, hvis roten av en ligning med en variabel x er et hvilket som helst heltall, skriv , og hvis røttene til en ligning med en variabel y er en hvilken som helst reelt tall fra 1 til og med 9, skriv deretter .

For ligninger med to, tre og et stort antall variabler, som regel brukes ikke begrepet "root of the equation" i disse tilfellene sier de "løsning av ligningen". Hva kalles å løse ligninger med flere variabler? La oss gi den tilsvarende definisjonen.

Definisjon.

Løse en ligning med to, tre osv. variabler kalt et par, tre osv. verdiene til variablene, og gjør denne ligningen til en korrekt numerisk likhet.

La oss vise forklarende eksempler. Tenk på en likning med to variabler x+y=7. La oss erstatte tallet 1 i stedet for x, og tallet 2 i stedet for y, og vi har likheten 1+2=7. Det er åpenbart feil, derfor er verdiparet x=1, y=2 ikke en løsning på den skrevne ligningen. Hvis vi tar et verdipar x=4, y=3, vil vi etter substitusjon inn i ligningen komme frem til den korrekte likheten 4+3=7, derfor er dette paret med variabelverdier, per definisjon, en løsning til ligningen x+y=7.

Ligninger med flere variabler, som ligninger med én variabel, kan ha ingen røtter, kan ha et endelig antall røtter, eller kan ha et uendelig antall røtter.

Par, trillinger, firdobler osv. Verdiene til variabler er ofte skrevet kort, og viser verdiene deres atskilt med komma i parentes. I dette tilfellet tilsvarer tallene skrevet i parentes variablene i alfabetisk rekkefølge. La oss avklare dette punktet ved å gå tilbake til forrige ligning x+y=7. Løsningen til denne ligningen x=4, y=3 kan kort skrives som (4, 3).

Den største oppmerksomheten i skolekurset i matematikk, algebra og begynnelsen av analyse er gitt til å finne røttene til ligninger med én variabel. Vi vil diskutere reglene for denne prosessen i detalj i artikkelen. løse ligninger.

Referanser.

Matematikk. 2 klasser Lærebok for allmennutdanning institusjoner med adj. per elektron transportør. Kl. 14.00 Del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3. utg. - M.: Utdanning, 2012. - 96 s.: ill. - (Russlands skole). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Algebra: lærebok for 7. klasse generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-021134-5.

I algebra er det begrepet to typer likheter - identiteter og ligninger. Identiteter er likheter som er gyldige for alle verdier av bokstavene som er inkludert i dem. Ligninger er også likheter, men de er bare mulige for visse verdier av bokstavene som er inkludert i dem.

I henhold til forholdene i problemet er bokstaver vanligvis ulik. Dette betyr at noen av dem kan godta alle gyldige verdier, kalt koeffisienter (eller parametere), mens andre - de kalles ukjente - tar på seg verdier som må finnes i løsningsprosessen. Som regel er ukjente mengder angitt i ligninger med de siste bokstavene i (x.y.z, etc.), eller med de samme bokstavene, men med en indeks (x 1, x 2, etc.), og kjente koeffisienter - med den første bokstaver i det samme alfabetet.

Basert på antall ukjente skilles likninger med én, to og flere ukjente ut. Dermed kalles alle verdiene til de ukjente som ligningen som løses blir til en identitet for løsninger av ligningene. En ligning kan anses som løst hvis alle løsningene er funnet eller det er bevist at den ikke har noen. Oppgaven «løs en ligning» er vanlig i praksis og betyr at du må finne roten til ligningen.

Definisjon: røttene til en ligning er verdiene til de ukjente fra den tillatte regionen der ligningen som løses blir til en identitet.

Algoritmen for å løse absolutt alle ligninger er den samme, og dens betydning er å bruke matematiske transformasjoner dette uttrykket fører til mer enkel utsikt.
Ligninger som har samme røtter kalles ekvivalenter i algebra.

Det enkleste eksemplet: 7x-49=0, roten av ligningen x=7;
x-7=0, på samme måte roten x=7, derfor er likningene ekvivalente. (I spesielle tilfeller ekvivalente ligninger har kanskje ingen røtter i det hele tatt).

Hvis roten til en likning samtidig er roten til en annen, enklere likning hentet fra den opprinnelige likningen gjennom transformasjoner, kalles den sistnevnte en konsekvens av den forrige ligningen.

Hvis en av to ligninger er en konsekvens av den andre, anses de som likeverdige. De kalles også likeverdige. Eksempelet ovenfor illustrerer dette.

Å løse selv de enkleste ligningene i praksis forårsaker ofte vanskeligheter. Som et resultat av løsningen kan du få en rot av ligningen, to eller flere, til og med et uendelig antall - det avhenger av typen ligninger. Det er også de som ikke har røtter, de kalles uløselige.

Eksempler:
1) 15x -20=10; x=2. Dette er den eneste roten til ligningen.
2) 7x - y=0. Ligningen har et uendelig antall røtter, siden hver variabel kan ha utallige verdier.
3) x 2 = - 16. Et tall hevet til andre potens gir alltid et positivt resultat, så det er umulig å finne roten til ligningen. Dette er en av de uløselige ligningene diskutert ovenfor.

Riktigheten til løsningen kontrolleres ved å erstatte de funnet røttene i stedet for bokstavene og løse det resulterende eksemplet. Hvis identiteten er tilfredsstilt, er løsningen riktig.

Etter at vi har studert begrepet likheter, nemlig en av deres typer - numeriske likheter, kan vi gå videre til en annen viktig syn– ligninger. Innenfor av dette materialet vi skal forklare hva en ligning er og dens rot, formulere grunnleggende definisjoner og gi ulike eksempler ligninger og finne røttene deres.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begrepet ligning

Vanligvis studeres begrepet en ligning helt i begynnelsen skolekurs algebra. Da er det definert slik:

Definisjon 1

Ligning kalt likestilling med ukjent nummer, som må finnes.

Det er vanlig å betegne ukjente som små med latinske bokstaver t, r, m osv., men oftest brukes x, y, z. Med andre ord, ligningen bestemmes av formen på dens registrering, det vil si at likhet vil være en ligning bare når den reduseres til en bestemt type– den må inneholde en bokstav, betydningen som må finnes.

La oss gi noen eksempler på de enkleste ligningene. Dette kan være likheter av formen x = 5, y = 6 osv., samt de som inkluderer aritmetiske operasjoner, for eksempel, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Etter at begrepet parentes er studert, dukker begrepet likninger med parentes opp. Disse inkluderer 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, osv. Bokstaven som må finnes kan vises mer enn én gang, men flere ganger, som f.eks. , for eksempel i ligningen x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Ukjente kan også lokaliseres ikke bare til venstre, men også til høyre eller i begge deler samtidig, for eksempel x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 eller 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Videre, etter at elevene har blitt kjent med begrepene heltall, reelle, rasjonale, naturlige tall, samt logaritmer, røtter og potenser, dukker det opp nye ligninger som inkluderer alle disse objektene. Vi har viet en egen artikkel til eksempler på slike uttrykk.

I 7. trinns læreplan dukker begrepet variabler opp for første gang. Dette er bokstaver som kan ta forskjellige betydninger(for mer informasjon, se artikkelen om numerikk, bokstavelige uttrykk og uttrykk med variabler). Basert på dette konseptet kan vi redefinere ligningen:

Definisjon 2

Ligning er en likhet som involverer en variabel hvis verdi må beregnes.

Det vil si at for eksempel uttrykket x + 3 = 6 x + 7 er en likning med variabelen x, og 3 y − 1 + y = 0 er en likning med variabelen y.

En ligning kan ha mer enn én variabel, men to eller flere. De kalles henholdsvis ligninger med to, tre variabler osv. La oss skrive ned definisjonen:

Definisjon 3

Ligninger med to (tre, fire eller flere) variabler er ligninger som inkluderer et tilsvarende antall ukjente.

For eksempel er en likhet på formen 3, 7 · x + 0, 6 = 1 en ligning med én variabel x, og x − z = 5 er en ligning med to variable x og z. Et eksempel på en ligning med tre variabler vil være x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Roten til ligningen

Når vi snakker om en ligning, oppstår umiddelbart behovet for å definere begrepet roten. La oss prøve å forklare hva det betyr.

Eksempel 1

Vi får en viss ligning som inkluderer én variabel. Hvis vi erstatter i stedet ukjent brev tall, så blir ligningen en numerisk likhet - sant eller usant. Så hvis vi i ligningen a + 1 = 5 erstatter bokstaven med tallet 2, vil likheten bli falsk, og hvis 4, vil den korrekte likheten være 4 + 1 = 5.

Vi er mer interessert i nettopp de verdiene som variabelen vil bli til en ekte likhet. De kalles røtter eller løsninger. La oss skrive ned definisjonen.

Definisjon 4

Roten til ligningen De kaller verdien av en variabel som gjør en gitt ligning til en sann likhet.

Roten kan også kalles en løsning, eller omvendt – begge disse begrepene betyr det samme.

Eksempel 2

La oss ta et eksempel for å klargjøre denne definisjonen. Ovenfor ga vi ligningen a + 1 = 5. I følge definisjonen er roten i dette tilfellet vil være 4, fordi når den erstattes i stedet for en bokstav, gir den riktig numerisk likhet, og to vil ikke være en løsning, siden den tilsvarer den feilaktige likheten 2 + 1 = 5.

Hvor mange røtter kan en ligning ha? Har hver ligning en rot? La oss svare på disse spørsmålene.

Ligninger som ikke har en eneste rot finnes også. Et eksempel kan være 0 x = 5. Vi kan erstatte uendelig mange forskjellige tall, men ingen av dem vil gjøre det til en ekte likhet, siden multiplisering med 0 alltid gir 0.

Det finnes også ligninger som har flere røtter. De kan enten være endelige eller uendelige stort antall røtter.

Eksempel 3

Så, i ligningen x − 2 = 4 er det bare én rot - seks, i x 2 = 9 to røtter - tre og minus tre, i x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tre røtter - null, en og to, det er uendelig mange røtter i likningen x=x.

La oss nå forklare hvordan du skriver røttene til ligningen riktig. Hvis det ikke er noen, skriver vi: "ligningen har ingen røtter." I dette tilfellet kan du også indikere tegnet på det tomme settet ∅. Hvis det er røtter, skriver vi dem atskilt med komma eller indikerer dem som elementer i et sett, og omslutter dem i krøllete klammeparenteser. Så hvis en ligning har tre røtter - 2, 1 og 5, så skriver vi - 2, 1, 5 eller (- 2, 1, 5).

Det er lov å skrive røtter i form av enkle likheter. Så hvis det ukjente i ligningen er betegnet med bokstaven y, og røttene er 2 og 7, skriver vi y = 2 og y = 7. Noen ganger legges abonnenter til bokstaver, for eksempel x 1 = 3, x 2 = 5. På denne måten peker vi på tallene til røttene. Hvis ligningen har uendelig mange løsninger, så skriver vi svaret som numerisk intervall eller vi bruker allment aksepterte notasjoner: settet med naturlige tall er merket med N, heltall med Z og reelle tall med R. La oss si at hvis vi trenger å skrive at løsningen til ligningen vil være et hvilket som helst heltall, så skriver vi at x ∈ Z, og hvis et reelt tall fra én til ni, så y ∈ 1, 9.

Når en likning har to, tre røtter eller mer, så snakker vi som regel ikke om røtter, men om løsninger til likningen. La oss formulere definisjonen av en løsning til en ligning med flere variabler.

Definisjon 5

Løsningen på en ligning med to, tre eller flere variabler er to, tre eller flere verdier av variablene som gjør den gitte ligningen til en korrekt numerisk likhet.

La oss forklare definisjonen med eksempler.

Eksempel 4

La oss si at vi har uttrykket x + y = 7, som er en ligning med to variabler. La oss erstatte en i stedet for den første, og to i stedet for den andre. Vi vil få en feil likhet, noe som betyr at dette verdiparet ikke vil være en løsning på denne ligningen. Hvis vi tar par 3 og 4, så blir likheten sann, noe som betyr at vi har funnet en løsning.

Slike ligninger kan heller ikke ha noen røtter eller et uendelig antall av dem. Hvis vi trenger å skrive ned to, tre, fire eller flere verdier, så skriver vi dem atskilt med komma i parentes. Det vil si at i eksemplet ovenfor vil svaret se slik ut (3, 4).

I praksis må man oftest forholde seg til ligninger som inneholder én variabel. Vi vil vurdere algoritmen for å løse dem i detalj i artikkelen viet til å løse ligninger.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter