Noen behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra avsnittene høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taxitelleren (hvor de fortsatt forblir). Og få kjernen (og det er ikke noe viktigere i matematikk enn å "få hovedet") aritmetisk rekkefølge Det er ikke så vanskelig når du først forstår noen få grunnleggende konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

Det er vanlig å kalle en numerisk sekvens for en rekke tall, som hver har sitt eget nummer.

og 1 er det første medlem av sekvensen;

og 2 er det andre medlem av sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en avhengighet som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a - verdien av et medlem av den numeriske sekvensen;

n - hans serienummer;

f(n) er en funksjon der ordinalen i den numeriske sekvensen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te medlemmet av en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

a n+1 - formelen til neste tall;

d - forskjell (et visst tall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn det forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen under er det lett å se hvorfor numerisk rekkefølge kalt "økende".

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Verdien til det angitte medlemmet

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et eller annet vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Du kan gjøre dette ved å beregne verdiene for alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne måten er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendelen eller åtte milliondelen. Den tradisjonelle beregningen vil ta lang tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon undersøkes ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst medlem av en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første medlemmet av progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet til ønsket medlem, minus én .

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt medlem

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

Betingelse: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første medlemmet av sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: det er nødvendig å finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt medlem bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. medlemmet av sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. Det trenger heller ikke å beregne verdiene for hvert ledd og deretter summere dem opp. Denne metoden er aktuelt hvis antallet termer hvis sum må finnes er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av medlemmene i en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av det første og n'te leddet, multiplisert med medlemstallet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te medlemmet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

I oppgaven er det nødvendig å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme summen av progresjonen:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene til 101 medlemmer av progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Så summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet er:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet med den aritmetiske sekvensen gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere et slikt eksempel.

Å sette seg inn i en taxi (som inkluderer 3 km) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler / km. Reiseavstand 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnaden.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummeret er antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 p.

antallet av interesse for oss - verdien av det (27 + 1) medlemmet av den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Beregninger av kalenderdata for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og lyset. I tillegg brukes forskjellige numeriske serier med hell i statistikk og andre anvendte grener av matematikk.

En annen type tallsekvens er geometrisk

En geometrisk progresjon er preget av en stor, sammenlignet med en aritmetisk, endringshastighet. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi, medisin, ofte, for å vise den høye hastigheten på spredningen av et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg eksponentielt.

Det N-te medlemmet av den geometriske tallserien skiller seg fra den forrige ved at den multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, det første medlemmet er 1, nevneren er henholdsvis 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av det nåværende medlemmet av den geometriske progresjonen;

b n+1 - formelen til neste medlem av den geometriske progresjonen;

q er nevneren for en geometrisk progresjon (konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, tegner den geometriske et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har en geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig medlem. Ethvert n-te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. Finn 5. ledd i progresjonen

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875

Summen av et gitt antall medlemmer beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n medlemmene av en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av det n. medlemmet av progresjonen og dens nevner og det første medlemmet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n medlemmene av den betraktede tallserien ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes lik 3. La oss finne summen av de første åtte leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Eller aritmetikk - dette er en type ordnet numerisk sekvens, hvis egenskaper studeres i et skolealgebrakurs. Denne artikkelen diskuterer i detalj spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon.

Hva er denne progresjonen?

Før du går videre til vurderingen av spørsmålet (hvordan finne summen av en aritmetisk progresjon), er det verdt å forstå hva som vil bli diskutert.

Enhver sekvens av reelle tall som oppnås ved å legge til (subtrahere) en verdi fra hvert forrige tall kalles en algebraisk (aritmetisk) progresjon. Denne definisjonen, oversatt til matematikkspråket, har formen:

Her er i ordenstallet til elementet i serien a i . Dermed kan du enkelt gjenopprette hele serien hvis du bare kjenner ett startnummer. Parameteren d i formelen kalles progresjonsforskjellen.

Det kan enkelt vises at følgende likhet gjelder for serien med tall som vurderes:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Det vil si, for å finne verdien av det n-te elementet i rekkefølge, legg til differansen d til det første elementet a 1 n-1 ganger.

Hva er summen av en aritmetisk progresjon: formel

Før du gir formelen for den angitte mengden, er det verdt å vurdere et enkelt spesialtilfelle. Gitt en progresjon av naturlige tall fra 1 til 10, må du finne summen deres. Siden det er få ledd i progresjonen (10), er det mulig å løse oppgaven front-on, det vil si summere alle elementene i rekkefølge.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Det er verdt å vurdere en interessant ting: siden hvert ledd er forskjellig fra det neste med samme verdi d \u003d 1, vil den parvise summeringen av den første med den tiende, den andre med den niende, og så videre gi det samme resultatet . Egentlig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er det bare 5 av disse summene, det vil si nøyaktig to ganger mindre enn antall elementer i serien. Deretter multipliserer du antall summer (5) med resultatet av hver sum (11), vil du komme til resultatet oppnådd i det første eksemplet.

Hvis vi generaliserer disse argumentene, kan vi skrive følgende uttrykk:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Dette uttrykket viser at det slett ikke er nødvendig å summere alle elementene på rad, det er nok å vite verdien av den første a 1 og den siste a n , samt det totale antallet ledd n.

Det antas at Gauss først tenkte på denne likheten da han lette etter en løsning på problemet satt av skolelæreren: å summere de første 100 heltallene.

Sum av elementer fra m til n: formel

Formelen gitt i forrige avsnitt svarer på spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon (av de første elementene), men ofte i oppgaver er det nødvendig å summere en serie tall i midten av progresjonen. Hvordan gjøre det?

Den enkleste måten å svare på dette spørsmålet på er ved å vurdere følgende eksempel: la det være nødvendig å finne summen av ledd fra mnd til nth. For å løse oppgaven bør et gitt segment fra m til n av progresjonen representeres som en ny tallserie. I denne representasjonen vil det m-te medlemmet a m være det første, og a n vil være nummerert n-(m-1). I dette tilfellet, ved å bruke standardformelen for summen, vil følgende uttrykk oppnås:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på bruk av formler

Når du vet hvordan du finner summen av en aritmetisk progresjon, er det verdt å vurdere et enkelt eksempel på bruk av formlene ovenfor.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du bør finne summen av medlemmene, fra den 5. og slutter med den 12.:

De oppgitte tallene indikerer at differansen d er lik 3. Ved å bruke uttrykket for det n'te elementet kan du finne verdiene til de 5. og 12. medlemmene av progresjonen. Det viser seg:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Når du kjenner verdiene til tallene på slutten av den algebraiske progresjonen som vurderes, og også vet hvilke tall i serien de opptar, kan du bruke formelen for summen oppnådd i forrige avsnitt. Få:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Det er verdt å merke seg at denne verdien kan oppnås annerledes: først, finn summen av de første 12 elementene ved å bruke standardformelen, beregn deretter summen av de første 4 elementene med samme formel, og trekk deretter den andre fra den første summen .

Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (medlemmer av en progresjon)

Der hvert påfølgende ledd skiller seg fra det forrige ved et stålbegrep, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å angi trinnet i progresjonen og dets første ledd, kan du finne alle elementene ved å bruke formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende oddelige (partall) medlemmer av progresjonen er lik elementet som står mellom dem, er denne tallrekkefølgen en aritmetisk progresjon. Med denne påstanden er det veldig enkelt å kontrollere hvilken som helst sekvens.

Også ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er lett å verifisere hvis vi skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n medlemmene av en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon, den er uunnværlig i beregninger og er ganske vanlig i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen som starter fra dens k-te medlem, vil følgende sumformel komme godt med i deg

4) Det er av praktisk interesse å finne summen av n medlemmer av en aritmetisk progresjon med utgangspunkt i det k-te tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Det er her det teoretiske stoffet slutter og vi går videre til å løse problemer som er vanlige i praksis.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

I følge tilstanden har vi

Definer progresjonstrinnet

I følge den velkjente formelen finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2. Den aritmetiske progresjonen er gitt av dens tredje og syvende medlem. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

Vi skriver de gitte elementene i progresjonen i henhold til formlene

Vi trekker den første likningen fra den andre likningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Den funnet verdien erstattes i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Regn ut summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige verdier.

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens medlemmer. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50, og summen av de første 100.

Løsning:

La oss skrive formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Summen av progresjonen er 250.

Eksempel 4

Finn antall medlemmer av en aritmetisk progresjon hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

Vi skriver likningene i form av det første leddet og trinnet i progresjonen og definerer dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Å gjøre forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er bare tallet 8 egnet for tilstanden til problemet. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5

løse ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. Vi skriver ut det første leddet og finner forskjellen på progresjonen

IV Yakovlev | Materialer om matematikk | MathUs.ru

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk progresjon er en spesiell type sekvens. Derfor, før vi definerer en aritmetisk (og deretter geometrisk) progresjon, må vi kort diskutere det viktige konseptet med en tallsekvens.

Etterfølge

Se for deg en enhet på skjermen hvor noen tall vises etter hverandre. La oss si 2; 7; 1. 3; 1; 6; 0; 3; : : : Et slikt sett med tall er bare et eksempel på en sekvens.

Definisjon. En numerisk sekvens er et sett med tall der hvert nummer kan tildeles et unikt nummer (det vil si satt i samsvar med et enkelt naturlig tall)1. Tallet med nummer n kalles det n'te medlem av sekvensen.

Så i eksemplet ovenfor har det første tallet tallet 2, som er det første medlemmet av sekvensen, som kan betegnes med a1 ; tallet fem har tallet 6 som er det femte medlemmet av sekvensen, som kan betegnes a5 . I det hele tatt, nte medlem sekvenser er betegnet med en (eller bn , cn , etc.).

En veldig praktisk situasjon er når det n-te medlemmet av sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel angir formelen an = 2n 3 sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formelen an = (1)n definerer sekvensen: 1; 1; 1; 1; : : :

Ikke hvert sett med tall er en sekvens. Så et segment er ikke en sekvens; den inneholder ¾for mange¿ tall til å omnummereres. Mengden R av alle reelle tall er heller ikke en sekvens. Disse fakta bevises i løpet av matematisk analyse.

Aritmetisk progresjon: grunnleggende definisjoner

Nå er vi klare til å definere en aritmetisk progresjon.

Definisjon. En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert ledd (fra det andre) er lik summen av forrige ledd og et fast tall (kalt differansen av den aritmetiske progresjonen).

For eksempel sekvens 2; 5; 8; elleve; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 2 og forskjell 3. Sekvens 7; 2; 3; 8; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 7 og forskjell 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : er en aritmetisk progresjon med null forskjell.

Ekvivalent definisjon: En sekvens an kalles en aritmetisk progresjon hvis forskjellen an+1 an er en konstant verdi (ikke avhengig av n).

En aritmetisk progresjon sies å være økende hvis forskjellen er positiv, og avtagende hvis forskjellen er negativ.

1 Og her er en mer kortfattet definisjon: en sekvens er en funksjon definert på settet av naturlige tall. For eksempel er sekvensen av reelle tall funksjonen f: N! R.

Som standard anses sekvenser som uendelige, det vil si at de inneholder et uendelig antall tall. Men ingen gidder å vurdere endelige sekvenser også; faktisk kan ethvert begrenset sett med tall kalles en endelig rekkefølge. For eksempel, den siste sekvensen 1; 2; 3; 4; 5 består av fem tall.

Formel for det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon

Det er lett å forstå at en aritmetisk progresjon er fullstendig bestemt av to tall: det første leddet og forskjellen. Derfor oppstår spørsmålet: hvordan, ved å vite det første leddet og forskjellen, finne et vilkårlig ledd for en aritmetisk progresjon?

Det er ikke vanskelig å få den ønskede formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon. La en

Oppgave 1. I aritmetisk progresjon 2; 5; 8; elleve; : : : finn formelen til det n-te leddet og regn ut det hundrede leddet.

Løsning. I henhold til formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap og tegn på aritmetisk progresjon

egenskapen til en aritmetisk progresjon. I aritmetisk progresjon en for evt

Med andre ord, hvert medlem av den aritmetiske progresjonen (startende fra den andre) er det aritmetiske gjennomsnittet av nabomedlemmene.

som var det som var nødvendig.

Mer generelt tilfredsstiller den aritmetiske progresjonen likheten

a n = a n k+ a n+k

for enhver n > 2 og enhver naturlig k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det viser seg at formel (2) ikke bare er nødvendig, men også tilstrekkelig tilstand at sekvensen er en aritmetisk progresjon.

Tegn på en aritmetisk progresjon. Hvis likhet (2) gjelder for alle n > 2, så er sekvensen an en aritmetisk progresjon.

Bevis. La oss omskrive formelen (2) som følger:

a na n 1= a n+1a n:

Dette viser at forskjellen an+1 an ikke er avhengig av n, og dette betyr bare at sekvensen an er en aritmetisk progresjon.

Egenskapen og tegnet til en aritmetisk progresjon kan formuleres som ett utsagn; for enkelhets skyld vil vi gjøre dette for tre tall (dette er situasjonen som ofte oppstår i problemer).

Karakterisering av en aritmetisk progresjon. Tre tall a, b, c danner aritmetisk progresjon hvis og bare hvis 2b = a + c.

Oppgave 2. (Moscow State University, Fakultet for økonomi, 2007) Tre tall 8x, 3 x2 og 4 i den angitte rekkefølgen danner en avtagende aritmetisk progresjon. Finn x og skriv forskjellen på denne progresjonen.

Løsning. Ved egenskapen til en aritmetisk progresjon har vi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Hvis x = 1, oppnås en synkende progresjon på 8, 2, 4 med en forskjell på 6. Hvis x = 5, oppnås en økende progresjon på 40, 22, 4; denne saken fungerer ikke.

Svar: x = 1, forskjellen er 6.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

Legenden sier at læreren en gang ba barna finne summen av tall fra 1 til 100 og satte seg ned for å lese avisen stille. Men i løpet av få minutter sa en gutt at han hadde løst problemet. Det var 9 år gamle Carl Friedrich Gauss, senere en av de største matematikerne i historien.

Lille Gauss sin idé var denne. La

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

La oss skrive ned denne mengden i motsatt rekkefølge:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

og legg til disse to formlene:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Hvert ledd i parentes er lik 101, og det er totalt 100 slike ledd. Derfor

2S = 101 100 = 10100;

Vi bruker denne ideen til å utlede sumformelen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En nyttig modifikasjon av formel (3) oppnås ved å sette inn formelen for det n-te leddet an = a1 + (n 1)d:

Oppgave 3. Finn summen av alle positive tresifrede tall som er delelig med 13.

Løsning. Tresifrede tall, multipler av 13, danner en aritmetisk progresjon med det første leddet 104 og forskjellen 13; Den n'te termen i denne progresjonen er:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

La oss finne ut hvor mange medlemmer vår progresjon inneholder. For å gjøre dette løser vi ulikheten:

en 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Så det er 69 medlemmer i vår progresjon. I henhold til formelen (4) finner vi den nødvendige mengden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2