Hvilken naturlig logaritme er lik 1. Naturlig logaritme

tar ofte et tall e = 2,718281828 . Logaritmer basert på denne basen kalles naturlig. Når man utfører beregninger med naturlige logaritmer, er det vanlig å operere med tegnet ln, men ikke Logg; mens nummeret 2,718281828 , som definerer grunnlaget, er ikke angitt.

Med andre ord vil formuleringen se slik ut: naturlig logaritme tall X- dette er en eksponent som et tall må heves til e, For å oppnå x.

Så, ln(7 389...)= 2, siden e 2 =7,389... . Naturlig logaritme av selve tallet e= 1 fordi e 1 =e, og den naturlige logaritmen av enhet er null, siden e 0 = 1.

Selve nummeret e definerer grensen for en monotont avgrenset sekvens

regnet ut det e = 2,7182818284... .

Ganske ofte, for å fikse et nummer i minnet, er sifrene til det nødvendige nummeret knyttet til noen enestående dato. Hastighet for å huske de første ni sifrene i et tall e etter desimaltegnet vil øke hvis du legger merke til at 1828 er fødselsåret til Leo Tolstoj!

I dag er det nok fulle bord naturlige logaritmer.

Naturlig logaritme graf(funksjoner y =ln x) er en konsekvens av den eksponentielle grafen speilbilde relativt rett y = x og har formen:

Den naturlige logaritmen kan finnes for hvert positivt reelt tall en som området under kurven y = 1/x fra 1 før en.

Den elementære naturen til denne formuleringen, som er i samsvar med mange andre formler der den naturlige logaritmen er involvert, var årsaken til dannelsen av navnet "naturlig".

Hvis du analyserer naturlig logaritme, som en reell funksjon av en reell variabel, så virker den invers funksjon til en eksponentiell funksjon, som reduserer til identitetene:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

I analogi med alle logaritmer, konverterer den naturlige logaritmen multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmen kan finnes for hver positiv base som ikke er lik én, ikke bare for e, men logaritmer for andre baser skiller seg fra den naturlige logaritmen bare med en konstant faktor, og er vanligvis definert i form av den naturlige logaritmen.

Etter å ha analysert naturlig logaritme graf, vi finner at den eksisterer for positive verdier variabel x. Den øker monotont i sitt definisjonsdomene.

På x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig ( -∞ ).På x → +∞ grensen for den naturlige logaritmen er pluss uendelig ( + ∞ ). For øvrig x Logaritmen øker ganske sakte. Enhver strømfunksjon xa med en positiv eksponent enøker raskere enn logaritmen. Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema.

Bruk naturlige logaritmer veldig rasjonelt når man passerer høyere matematikk. Dermed er det praktisk å bruke logaritmen for å finne svaret på ligninger der ukjente vises som eksponenter. Bruk av naturlige logaritmer i beregninger gjør det mulig å forenkle mye et stort nummer av matematiske formler. Logaritmer til basen e er tilstede når man løser et betydelig antall fysiske problemer og naturlig inngå matematisk beskrivelse individuelle kjemiske, biologiske og andre prosesser. Dermed brukes logaritmer for å beregne henfallskonstanten for en kjent halveringstid, eller for å beregne henfallstiden for å løse problemer med radioaktivitet. De spiller en ledende rolle innen mange områder av matematikk og praktiske vitenskaper, de er tydd til innen finans for å løse stort nummer oppgaver, herunder beregning av renters rente.

Ikke verst i det hele tatt, ikke sant? Mens matematikere søker etter ord for å gi deg en lang, forvirrende definisjon, la oss se nærmere på denne enkle og klare.

Tallet e betyr vekst

Tallet e betyr kontinuerlig vekst. Som vi så i forrige eksempel, tillater e x oss å koble rente og tid: 3 år ved 100 % vekst er det samme som 1 år ved 300 %, forutsatt "sammensatt rente".

Du kan erstatte en hvilken som helst prosent- og tidsverdi (50 % i 4 år), men det er bedre å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld (det viser seg 100 % i 2 år). Ved å gå over til 100 % kan vi fokusere utelukkende på tidskomponenten:

e x = e prosent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Åpenbart betyr e x:

hvor mye vil mitt bidrag vokse etter x tidsenheter (forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).
for eksempel, etter 3 tidsintervaller vil jeg motta e 3 = 20,08 ganger flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor som viser hvilket nivå vi vil vokse til i løpet av x tid.

Naturlig logaritme betyr tid

Den naturlige logaritmen er inversen til e, en fancy term for motsatt. Apropos særheter; på latin heter det logarithmus naturali, derav forkortelsen ln.

Og hva betyr denne inversjonen eller det motsatte?

e x lar oss erstatte tid og få vekst.
ln(x) lar oss ta vekst eller inntekt og finne ut tiden det tar å generere den.

For eksempel:

e 3 tilsvarer 20.08. Etter tre perioder vil vi ha 20,08 ganger Dessuten hvor vi startet.
ln(08/20) vil være omtrent 3. Hvis du er interessert i en vekst på 20,08 ganger, trenger du 3 tidsperioder (igjen, forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).

Leser du fortsatt? Den naturlige logaritmen viser tiden det tar å nå ønsket nivå.

Dette ikke-standard logaritmiske antallet

Har du gått gjennom logaritmer - de er rare skapninger. Hvordan klarte de å gjøre multiplikasjon til addisjon? Hva med divisjon i subtraksjon? La oss ta en titt.

Hva er ln(1) lik? Intuitivt er spørsmålet: hvor lenge skal jeg vente for å få 1x mer enn det jeg har?

Null. Null. Ikke i det hele tatt. Du har det allerede en gang. Det tar ikke lang tid å gå fra nivå 1 til nivå 1.

ln(1) = 0

Ok, hva med brøkverdi? Hvor lang tid vil det ta før vi har 1/2 av tilgjengelig mengde igjen? Vi vet at med 100 % kontinuerlig vekst betyr ln(2) tiden det tar å doble seg. Hvis vi la oss skru tiden tilbake(dvs. vent en negativ tid), så får vi halvparten av det vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke sant? Går vi tilbake (tid tilbake) til 0,693 sekunder, finner vi halve beløpet tilgjengelig. Generelt kan du snu brøken og ta negativ betydning: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyr at hvis vi går tilbake i tid til 1,09 ganger, vil vi kun finne en tredjedel av dagens antall.

Ok, hva med logaritmen til et negativt tall? Hvor lang tid tar det å "dyrke" en koloni av bakterier fra 1 til -3?

Dette er umulig! Du kan vel ikke få et negativt bakterietall? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på null, men det er ingen måte du kan få et negativt tall fra disse små dyrene. I negativt tall bakterier gir rett og slett ikke mening.

ln(negativt tall) = udefinert

"Udefinert" betyr at det ikke er noen tid som må vente for å få en negativ verdi.

Logaritmisk multiplikasjon er bare morsomt

Hvor lang tid vil det ta å vokse firedoblet? Selvfølgelig kan du bare ta ln(4). Men dette er for enkelt, vi går den andre veien.

Du kan tenke på firedobbel vekst som dobling (krever ln(2) tidsenheter) og deretter dobling igjen (krever ytterligere ln(2) tidsenheter):

Tid til å vokse 4 ganger = ln(4) = Tid til å doble og deretter doble igjen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vekstrate, for eksempel 20, kan betraktes som en dobling rett etter en 10x økning. Eller vekst med 4 ganger, og deretter med 5 ganger. Eller tredoble og deretter øke med 6.666 ganger. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen til A ganger B er log(A) + log(B). Dette forholdet gir umiddelbart mening når det sees i form av vekst.

Hvis du er interessert i 30x vekst, kan du vente ln(30) i en gang, eller vente ln(3) for tredobling, og deretter en annen ln(10) for 10x. Sluttresultatet er det samme, så selvfølgelig må tiden forbli konstant (og det gjør den).

Hva med deling? Nærmere bestemt betyr ln(5/3): hvor lang tid vil det ta å vokse 5 ganger og deretter få 1/3 av det?

Flott, vekst med 5 ganger er ln(5). En økning på 1/3 ganger vil ta -ln(3) tidsenheter. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dette betyr: la det vokse 5 ganger, og deretter "gå tilbake i tid" til det punktet hvor bare en tredjedel av den mengden gjenstår, slik at du får 5/3 vekst. Generelt viser det seg

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håper at den merkelige aritmetikken til logaritmer begynner å gi mening for deg: å multiplisere veksthastigheter blir å legge til veksttidsenheter, og å dele blir å subtrahere tidsenheter. Du trenger ikke å huske reglene, prøv å forstå dem.

Bruke den naturlige logaritmen for vilkårlig vekst

Vel, selvfølgelig," sier du, "det er bra hvis veksten er 100 %, men hva med de 5 % jeg mottar?"

Ikke noe problem. "Tiden" vi beregner med ln() er faktisk en kombinasjon av rente og tid, samme X fra e x-ligningen. Vi bestemte oss nettopp for å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld, men vi står fritt til å bruke alle tall.

La oss si at vi ønsker å oppnå 30x vekst: ta ln(30) og få 3,4 Dette betyr:

e x = høyde
e 3,4 = 30

Åpenbart betyr denne ligningen "100 % avkastning over 3,4 år gir 30x vekst." Vi kan skrive denne ligningen som følger:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan endre verdiene for "bet" og "time", så lenge innsatsen * tiden forblir 3,4. For eksempel, hvis vi er interessert i 30x vekst, hvor lenge må vi vente med en rente på 5 %?

ln(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg resonnerer slik: "ln(30) = 3,4, så ved 100 % vekst vil det ta 3,4 år. Hvis jeg dobler veksthastigheten, halveres tiden som kreves."

100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Flott, ikke sant? Den naturlige logaritmen kan brukes med hvilken som helst rente og tid fordi produktet deres forblir konstant. Du kan flytte variabelverdier så mye du vil.

Kult eksempel: Regel om syttito

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknikk som lar deg anslå hvor lang tid det vil ta før pengene dine dobles. Nå skal vi utlede det (ja!), og dessuten vil vi prøve å forstå essensen.

Hvor lang tid vil det ta å doble pengene dine til 100 % rente sammensatt årlig?

Oops. Vi brukte den naturlige logaritmen for saken med kontinuerlig vekst, og nå snakker du om årlig opptjening? Ville ikke denne formelen blitt uegnet for et slikt tilfelle? Ja, det vil det, men for realrenter som 5 %, 6 % eller til og med 15 %, vil forskjellen mellom årlig sammensetning og kontinuerlig vekst være liten. Så det grove anslaget fungerer, um, omtrent, så vi vil late som om vi har en helt kontinuerlig periodisering.

Nå er spørsmålet enkelt: Hvor raskt kan du doble med 100 % vekst? ln(2) = 0,693. Det tar 0,693 tidsenheter (år i vårt tilfelle) å doble beløpet vårt med en kontinuerlig økning på 100 %.

Så, hva om renten ikke er 100 %, men si 5 % eller 10 %?

Enkelt! Siden innsats * tid = 0,693, dobler vi beløpet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / innsats

Det viser seg at dersom veksten er 10 % vil det ta 0,693 / 0,10 = 6,93 år å doble seg.

For å forenkle beregningene, la oss multiplisere begge sider med 100, så kan vi si "10" i stedet for "0,10":

tid til dobling = 69,3 / innsats, hvor innsatsen er uttrykt i prosent.

Nå er det på tide å doble med en hastighet på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er imidlertid ikke det mest praktiske utbyttet. La oss velge et nært tall, 72, som er praktisk å dele på 2, 3, 4, 6, 8 og andre tall.

tid til å doble = 72 / innsats

som er regelen for syttito. Alt er dekket.

Hvis du trenger å finne tiden til å tredoble, kan du bruke ln(3) ~ 109.8 og få

tid til å tredoble = 110 / innsats

Hva er en annen nyttig regel. «Rule of 72» gjelder vekst i renter, befolkningsvekst, bakteriekulturer og alt som vokser eksponentielt.

Hva blir det neste?

Forhåpentligvis gir den naturlige logaritmen nå mening for deg - den viser tiden det tar før et tall vokser eksponentielt. Jeg tror det kalles naturlig fordi e er et universelt mål på vekst, så ln kan vurderes på en universell måte bestemme hvor lang tid det tar å vokse.

Hver gang du ser ln(x), husk "tiden det tar å vokse X ganger". I en kommende artikkel vil jeg beskrive e og ln i sammenheng slik at den friske duften av matematikk skal fylle luften.

Tillegg: Naturlig logaritme av e

Rask quiz: hva er ln(e)?

en matematikkrobot vil si: siden de er definert som invers av hverandre, er det åpenbart at ln(e) = 1.
forstå person: ln(e) er antall ganger det tar å vokse "e" ganger (omtrent 2.718). Imidlertid er tallet e i seg selv et mål på vekst med en faktor på 1, så ln(e) = 1.

Tenk klart.

9. september 2013

Naturlig logaritme

Graf over den naturlige logaritmefunksjonen. Funksjonen nærmer seg sakte positiv uendelighet ettersom den øker x og nærmer seg raskt negativ uendelighet når x har en tendens til 0 ("sakte" og "rask" sammenlignet med en hvilken som helst effektfunksjon til x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grunntallet , Hvor e- en irrasjonell konstant lik omtrent 2,718281 828. Den naturlige logaritmen skrives vanligvis som ln( x), Logg e (x) eller noen ganger bare logg( x), hvis basen e underforstått.

Naturlig logaritme av et tall x(skrevet som ln(x)) er eksponenten som tallet må heves til e, For å oppnå x. For eksempel, ln(7 389...) er lik 2 fordi e 2 =7,389... . Naturlig logaritme av selve tallet e (ln(e)) er lik 1 fordi e 1 = e, og den naturlige logaritmen er 1 ( ln(1)) er lik 0 fordi e 0 = 1.

Den naturlige logaritmen kan defineres for ethvert positivt reelt tall en som området under kurven y = 1/x fra 1 til en. Enkelheten i denne definisjonen, som er i samsvar med mange andre formler som bruker den naturlige logaritmen, førte til navnet "naturlig". Denne definisjonen kan utvides til komplekse tall, som diskutert nedenfor.

Hvis vi betrakter den naturlige logaritmen som en reell funksjon av en reell variabel, så er det den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen som fører til identitetene:

Som alle logaritmer, kartlegger den naturlige logaritmen multiplikasjon til addisjon:

Dermed er den logaritmiske funksjonen en isomorfisme av gruppen positive reelle tall angående multiplikasjon med gruppe reelle tall ved tillegg, som kan representeres som en funksjon:

Logaritmen kan defineres for en hvilken som helst positiv base enn 1, ikke bare e, men logaritmer for andre baser skiller seg fra den naturlige logaritmen bare med en konstant faktor, og er vanligvis definert i form av den naturlige logaritmen. Logaritmer er nyttige for å løse ligninger som involverer ukjente som eksponenter. For eksempel brukes logaritmer for å finne henfallskonstanten for en kjent halveringstid, eller for å finne hentingstiden for å løse radioaktivitetsproblemer. De spiller viktig rolle innen mange områder av matematikk og anvendte vitenskaper, brukes i finans for å løse mange problemer, inkludert å finne renters rente.

Historie

Den første omtalen av den naturlige logaritmen ble gjort av Nicholas Mercator i hans arbeid Logaritmoteknikk, publisert i 1668, selv om matematikklæreren John Spidell kompilerte en tabell over naturlige logaritmer tilbake i 1619. Den ble tidligere kalt den hyperbolske logaritmen fordi den tilsvarer arealet under hyperbelen. Det kalles noen ganger Napier-logaritmen, selv om den opprinnelige betydningen av dette begrepet var noe annerledes.

Betegnelseskonvensjoner

Den naturlige logaritmen er vanligvis betegnet med "ln( x)", logaritme til base 10 - via "lg( x)", og andre årsaker er vanligvis angitt eksplisitt med symbolet "logg".

I mange arbeider om diskret matematikk, kybernetikk og informatikk bruker forfattere notasjonen "log( x)" for logaritmer til base 2, men denne konvensjonen er ikke generelt akseptert og krever avklaring enten i listen over notasjoner som brukes eller (i mangel av en slik liste) med en fotnote eller kommentar når den brukes første gang.

Parenteser rundt logaritmenes argument (hvis dette ikke fører til feillesing av formelen) utelates vanligvis, og når man hever en logaritme til en potens, tildeles eksponenten direkte til logaritmens fortegn: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

anglo-amerikansk system

Matematikere, statistikere og noen ingeniører bruker vanligvis for å betegne den naturlige logaritmen eller "log( x)" eller "ln( x)", og for å betegne base 10-logaritmen - "log 10 ( x)».

Noen ingeniører, biologer og andre spesialister skriver alltid "ln( x)" (eller noen ganger "logg e ( x)") når de betyr den naturlige logaritmen, og notasjonen "log( x)" de betyr logg 10 ( x).

Logg e er en "naturlig" logaritme fordi den oppstår automatisk og dukker opp veldig ofte i matematikk. Tenk for eksempel på derivatproblemet logaritmisk funksjon:

Hvis basen b er lik e, da er den deriverte ganske enkelt 1/ x, og når x= 1 denne deriverte er lik 1. En annen grunn til at basen e Det mest naturlige med logaritmen er at den ganske enkelt kan defineres i form av en enkel integral eller Taylor-serie, som ikke kan sies om andre logaritmer.

Ytterligere begrunnelser for naturlighet er ikke knyttet til notasjon. Så det er for eksempel flere enkle rader med naturlige logaritmer. Pietro Mengoli og Nicholas Mercator kalte dem logarithmus naturalis flere tiår før Newton og Leibniz utviklet differensial- og integralregning.

Definisjon

Formelt ln( en) kan defineres som arealet under kurven til grafen 1/ x fra 1 til en, dvs. som en integral:

Det er virkelig en logaritme fordi den tilfredsstiller den grunnleggende egenskapen til logaritmen:

Dette kan demonstreres ved å anta som følger:

Numerisk verdi

For å beregne den numeriske verdien av den naturlige logaritmen til et tall, kan du bruke utvidelsen av Taylor-serien i formen:

For å få en bedre konvergensrate kan du bruke følgende identitet:

forutsatt at y = (x−1)/(x+1) og x > 0.

For ln( x), Hvor x> 1, jo nærmere verdien x til 1, da raskere hastighet konvergens. Identitetene knyttet til logaritmen kan brukes for å oppnå målet:

Disse metodene ble brukt allerede før bruken av kalkulatorer, som de brukte numeriske tabeller og manipulasjoner tilsvarende de beskrevet ovenfor ble utført.

Høy presisjon

For å beregne den naturlige logaritmen med stort beløp nøyaktighetstall, er Taylor-serien ikke effektiv fordi konvergensen er sakte. Et alternativ er å bruke Newtons metode for å invertere til en eksponentiell funksjon hvis serie konvergerer raskere.

Et alternativ for en veldig høy presisjon beregning er formelen:

Hvor M betegner det aritmetisk-geometriske gjennomsnittet av 1 og 4/s, og

m valgt slik at s nøyaktighetsmerker oppnås. (I de fleste tilfeller er en verdi på 8 for m tilstrekkelig.) Faktisk, hvis denne metoden brukes, kan Newtons invers av den naturlige logaritmen brukes for å effektivt beregne eksponentialfunksjonen. (Konstantene ln 2 og pi kan forhåndsberegnes til ønsket nøyaktighet ved å bruke hvilken som helst av de kjente raskt konvergerende seriene.)

Beregningsmessig kompleksitet

Beregningskompleksiteten til naturlige logaritmer (ved å bruke det aritmetisk-geometriske gjennomsnittet) er O( M(n) ln n). Her n er antall sifre med presisjon som den naturlige logaritmen må evalueres for, og M(n) er beregningskompleksiteten ved å multiplisere to n-sifrede tall.

Fortsatt brøker

Selv om det ikke er noen enkle fortsatte brøker for å representere en logaritme, kan flere generaliserte fortsatte brøker brukes, inkludert:

Komplekse logaritmer

Eksponentialfunksjonen kan utvides til en funksjon som gir et komplekst tall av formen e x for et hvilket som helst vilkårlig komplekst tall x, i dette tilfellet en uendelig serie med kompleks x. Dette eksponentiell funksjon kan inverteres for å danne en kompleks logaritme, som vil ha for det meste egenskapene til vanlige logaritmer. Det er imidlertid to vanskeligheter: det er ingen x, for hvilket e x= 0, og det viser seg at e 2πi = 1 = e 0 . Siden multiplikativitetsegenskapen er gyldig for en kompleks eksponentiell funksjon, da e z = e z+2nπi for alle komplekse z og hele n.

Logaritmen kan ikke defineres over hele det komplekse planet, og selv så er den flerverdi - enhver kompleks logaritme kan erstattes med en "ekvivalent" logaritme ved å legge til et heltallsmultiplum av 2 πi. Den komplekse logaritmen kan bare gis én verdi på en del av det komplekse planet. For eksempel, ln Jeg = 1/2 πi eller 5/2 πi eller −3/2 πi, etc., og selv om Jeg 4 = 1,4 log Jeg kan defineres som 2 πi, eller 10 πi eller −6 πi, og så videre.

se også

John Napier - oppfinner av logaritmer

Notater

Matematikk for fysisk kjemi. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Utdrag av side 9
JJ O"Connor og EF Robertson Tallet e. MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Arkivert
Cajori Florian A History of Mathematics, 5. utg. - AMS Bokhandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimering av integraler ved hjelp av polynomer. Arkivert fra originalen 12. februar 2012.

De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, graf, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, ekspansjon i kraftserie og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall.

Definisjon

Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funksjonen y = ln x.

Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen ved speilrefleksjon i forhold til den rette linjen y = x.

Den naturlige logaritmen er definert for positive verdier av variabelen x. Den øker monotont i sitt definisjonsdomene.

Ved x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞).

Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Noen strømfunksjon x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon

Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Grunnleggende egenskaper naturlig logaritme er presentert i tabellen.

ln x verdier

ln 1 = 0

Grunnleggende formler for naturlige logaritmer

Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:

Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".

Invers funksjon

Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.

Hvis da

Hvis da.

Derivat ln x

Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Integralet beregnes ved integrasjon av deler:
.
Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall

Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z:
.
La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r og argumentasjon φ :
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
det vil være det samme tallet for forskjellige n.

Derfor er den naturlige logaritmen, som funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Utvidelse av Power-serien

Når utvidelsen finner sted:

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.