Hva er det tredje tegnet på likhet av trekanter. Det andre tegnet på likhet av trekanter

>>Geometri: Det tredje tegnet på trekantenes likhet. Fullfør leksjoner

TEMA FOR LEKSJONEN: Det tredje tegnet på trekantenes likhet.

Leksjonens mål:

Pedagogisk - repetisjon, generalisering og testing av kunnskap om emnet: "Tegn på likestilling av trekanter"; utvikling av grunnleggende ferdigheter.
Utvikle - å utvikle elevenes oppmerksomhet, utholdenhet, utholdenhet, logisk tenkning, matematisk tale.
Pedagogisk - gjennom en leksjon, å dyrke en oppmerksom holdning til hverandre, å innpode evnen til å lytte til kamerater, gjensidig hjelp, uavhengighet.

Leksjonens mål:

Å danne ferdigheter i å bygge trekanter ved hjelp av en målestokk, en gradskive og en tegnetrekant.
Sjekk elevenes evne til å løse problemer.

Timeplan:

Fra matematikkens historie.
Tegn på likhet av trekanter.
Oppdatering av grunnleggende kunnskap.
Rektangulære trekanter.

Fra matematikkens historie.
Den høyre trekanten inntar en hederlig plass i babylonsk geometri, og er ofte nevnt i papyrusen til Ahmes.

Begrepet hypotenuse kommer fra det greske hypoteinsa, som betyr å strekke seg under noe, stramme. Ordet stammer fra bildet av de gamle egyptiske harpene, hvor strengene ble strukket på endene av to innbyrdes vinkelrette stativer.

Begrepet katet kommer fra gresk ord"katetos", som betydde en loddlinje, vinkelrett. I middelalderen betydde ordet catet høyde høyre trekant, mens dens andre sider ble kalt henholdsvis hypotenusen, basen. På 1600-tallet begynte ordet katet å bli brukt i moderne betydning og ble vidt distribuert fra 1700-tallet.

Euklid bruker uttrykk:

"sider som danner en rett vinkel" - for ben;

"siden som undertrykker den rette vinkelen" - for hypotenusen.

Til å begynne med må vi friske opp minnet om de tidligere tegnene på likestilling av trekanter. Så la oss starte med den første.

1. tegn på likhet av trekanter.

Fag > Matematikk > Matematikk 7. klasse

Blant stor mengde polygoner, som i hovedsak er en lukket ikke-skjærende polylinje, er en trekant figuren med færrest vinkler. Dette er med andre ord den enkleste polygonen. Men til tross for all sin enkelhet, er denne figuren full av mange mysterier og interessante funn som er opplyst spesiell seksjon matematikk - geometri. Denne disiplinen i skolen begynner å bli undervist fra syvende klasse, og emnet "Trekant" er gitt her Spesiell oppmerksomhet. Barn lærer ikke bare reglene om selve figuren, men sammenligner dem også ved å studere 1, 2 og 3 tegn på likhet av trekanter.

Første møte

En av de første reglene elevene lærer er noe sånt som dette: summen av verdiene til alle vinklene i en trekant er 180 grader. For å bekrefte dette er det nok å måle hver av toppunktene ved hjelp av en gradskive og legge sammen alle de resulterende verdiene. Basert på dette, med to kjente verdier, er det enkelt å bestemme den tredje. For eksempel: I en trekant er en av vinklene 70° og den andre er 85°, hva er verdien av den tredje vinkelen?

180 - 85 - 70 = 25.

Svar: 25°.

Oppgaver kan være enda mer komplekse hvis bare én verdi av vinkelen er angitt, og den andre verdien sies bare av hvor mye eller hvor mange ganger den er større eller mindre.

I en trekant, for å bestemme en eller annen av dens funksjoner, kan spesielle linjer tegnes, som hver har sitt eget navn:

høyde - en vinkelrett linje trukket fra toppen til motsatt side;
alle tre høyder tegnet samtidig krysser i midten av figuren, og danner ortosenteret, som, avhengig av typen trekant, kan være både inne og ute;
median - en linje som forbinder toppen med midten av motsatt side;
skjæringspunktet mellom medianene er tyngdepunktet, plassert inne i figuren;
halveringslinje - en linje som går fra toppunktet til skjæringspunktet med motsatt side, skjæringspunktet for tre halveringslinjer er sentrum av den innskrevne sirkelen.

Enkle sannheter om trekanter

Trekanter, som faktisk alle former, har sine egne egenskaper og egenskaper. Som allerede nevnt, er denne figuren den enkleste polygonen, men med sine egne karakteristiske trekk:

på motsatt side av den lengste siden er det alltid en vinkel med en større verdi, og omvendt;
imot like sider like vinkler ligger, et eksempel på dette er en likebenet trekant;
sum indre hjørner alltid lik 180°, som allerede er demonstrert ved eksempel;
når den ene siden av en trekant strekker seg utover dens grenser, dannes det en ytre vinkel, som alltid vil være det er lik summen hjørner ikke ved siden av det;
hver side er alltid mindre enn summen av de to andre sidene, men større enn forskjellen deres.

Typer trekanter

Det neste stadiet av bekjentskap er å bestemme gruppen som den presenterte trekanten tilhører. Tilhørighet til en bestemt art avhenger av størrelsen på vinklene til trekanten.

Likebenet - med to like sider, som kalles laterale, fungerer den tredje i dette tilfellet som basen til figuren. Vinklene ved bunnen av en slik trekant er de samme, og medianen trukket fra toppunktet er halveringslinjen og høyden.
riktig, eller likesidet trekant, er en der alle sidene er like.
Rektangulær: en av vinklene er 90°. I dette tilfellet kalles siden motsatt denne vinkelen hypotenusen, og de to andre er bena.
Akutt trekant - alle vinkler er mindre enn 90°.
Stump - en av vinklene er større enn 90°.

Likhet og likhet i trekanter

I læringsprosessen vurderer de ikke bare en enkelt figur, men sammenligner også to trekanter. Og dette, ser det ut til, enkelt tema har mange regler og teoremer som du kan bevise at figurene under vurdering er like trekanter. Trekanter er like hvis deres tilsvarende sider og vinkler er like. Med en slik likhet, hvis du legger disse to figurene oppå hverandre, vil alle linjene deres konvergere. Dessuten kan tallene være like, spesielt gjelder dette i praksis identiske figurer, bare forskjellig i størrelsesorden. For å trekke en slik konklusjon om trekantene som presenteres, må ett av følgende betingelser være oppfylt:

to vinkler av en figur er lik to vinkler av en annen;
to sider av en er proporsjonale med to sider av den andre trekanten, og vinklene som dannes av sidene er like;
de tre sidene av den andre figuren er de samme som den første.

Selvfølgelig, for udiskutabel likhet, som ikke vil forårsake den minste tvil, er det nødvendig å ha de samme verdiene for alle elementene i begge figurene, men ved å bruke teoremer er oppgaven sterkt forenklet, og bare en få forhold er tillatt for å bevise likheten til trekanter.

Det første tegnet på likhet av trekanter

Oppgaver om dette emnet løses på grunnlag av beviset for teoremet, som høres slik ut: "Hvis to sider av en trekant og vinkelen de danner er lik to sider og en vinkel til en annen trekant, så er figurene også like med hverandre."

Hvordan høres beviset for teoremet om det første kriteriet for trekanters likhet ut? Alle vet at to segmenter er like hvis de har samme lengde, eller sirkler er like hvis de har samme radius. Og når det gjelder trekanter, er det flere tegn som har som vi kan anta at figurene er identiske, noe som er veldig praktisk å bruke når du løser ulike geometriske problemer.

Hvordan teoremet "Det første tegnet på trekanters likhet" høres ut er beskrevet ovenfor, men her er beviset:

Anta at trekantene ABC og A 1 B 1 C 1 har de samme sidene AB og A 1 B 1 og følgelig BC og B 1 C 1, og vinklene som dannes av disse sidene har samme verdi, det vil si at de er lik. Så, ved å legge △ ABC over △ A 1 B 1 C 1, får vi sammenfall av alle linjer og toppunkter. Det følger av dette at disse trekantene er helt identiske, noe som betyr at de er like med hverandre.

Teoremet "Det første kriteriet for likestilling av trekanter" kalles også "Ved to sider og en vinkel." Faktisk er dette dens essens.

Andre funksjonsteorem

Det andre likhetstegnet er bevist på samme måte, beviset er basert på det faktum at når figurene er lagt over hverandre, faller de fullstendig sammen i alle hjørner og sider. Og teoremet høres slik ut: "Hvis en side og to vinkler i formasjonen den deltar i tilsvarer siden og to vinkler i den andre trekanten, så er disse figurene identiske, det vil si like."

Tredje tegn og bevis

Hvis både 2 og 1 tegn på likhet av trekanter gjaldt både sidene og hjørnene på figuren, gjelder det tredje bare for sidene. Så teoremet har følgende formulering: "Hvis alle sidene i en trekant er lik tre sider av den andre trekanten, så er figurene identiske."

For å bevise denne teoremet, må vi fordype oss i selve definisjonen av likhet mer detaljert. Hva betyr egentlig uttrykket "trekanter er like"? Identitet sier at hvis du legger en figur over en annen, vil alle elementene deres falle sammen, dette kan bare være tilfelle når sidene og vinklene deres er like. Samtidig vil vinkelen på motsatt side av en av sidene, som er den samme som den andre trekanten, være lik den tilsvarende toppunktet til den andre figuren. Det skal bemerkes at beviset på dette tidspunktet lett kan oversettes til 1 kriterium for trekanters likhet. I tilfelle at en slik sekvens ikke blir observert, er likestilling av trekanter ganske enkelt umulig, bortsett fra i tilfeller der figuren er speilrefleksjon først.

rette trekanter

I strukturen til slike trekanter er det alltid hjørner med en vinkel på 90°. Derfor er følgende påstander sanne:

trekanter med rett vinkel er like hvis bena til den ene er identiske med bena til den andre;
figurene er like hvis hypotenusene og ett av bena er like;
slike trekanter er kongruente hvis bena og skarpt hjørne er identiske.

Dette tegnet refererer til For å bevise teoremet, blir figurene påført hverandre, som et resultat av at trekantene brettes med ben slik at to rette linjer kommer ut med sidene CA og CA 1.

Praktisk bruk

I de fleste tilfeller, i praksis, brukes det første tegnet på likestilling av trekanter. Faktisk brukes et så tilsynelatende enkelt emne av karakter 7 i geometri og planimetri også for å beregne lengden for eksempel på en telefonkabel uten å måle terrenget den vil passere langs. Ved å bruke dette teoremet er det enkelt å gjøre de nødvendige beregningene for å bestemme lengden på en øy midt i en elv uten å svømme over den. Enten forsterk gjerdet ved å plassere stangen i spennet slik at det deler det i to like trekanter, eller beregn komplekse elementer arbeid i snekkerarbeid, eller ved beregning av takstolsystem under bygging.

Det første tegnet på likestilling av trekanter er mye brukt i ekte "voksen" liv. Selv om i skoleår Det er dette temaet som virker kjedelig og helt unødvendig for mange.

Videoleksjonen "The third sign of the equality of triangles" inneholder beviset for teoremet, som er et tegn på likheten til to trekanter på tre sider. Dette teoremet er viktig del geometri. Det brukes ofte til å løse praktiske problemer. Beviset er basert på tegnene på likheten til trekanter som allerede er kjent for studenter.

Beviset for dette teoremet er komplekst, derfor, for å forbedre kvaliteten på utdanningen, for å danne evnen til å bevise geometriske utsagn, er det tilrådelig å bruke dette visuelle hjelpemiddelet, som vil bidra til å fokusere studentenes oppmerksomhet på materialet som studeres . Også ved hjelp av animasjon, visuell demonstrasjon av konstruksjoner og bevis gjør det mulig å forbedre kvaliteten på utdanningen.

I begynnelsen av leksjonen demonstreres tittelen på emnet og teoremet formuleres om at trekanter er like hvis alle sidene i den ene trekanten er parvis like med alle sidene i den andre trekanten. Teksten til teoremet vises på skjermen og kan skrives av elevene i en notatbok. Deretter vurderer vi beviset for denne teoremet.

For å bevise teoremet konstrueres trekanter ΔABC og ΔA 1 B 1 C 1. Det følger av teoremets betingelse at sidene er parvis like, det vil si AB=A 1 B 1, BC=B 1 C 1 og AC=A 1 C 1. I begynnelsen av beviset demonstreres påleggingen av trekanten ΔАВС på ΔА 1 В 1 С 1 slik at toppunktene A og A 1, samt B og B 1 av disse trekantene er på linje. I dette tilfellet bør toppene C og C 1 ligge langs forskjellige sider fra overlagrede sider AB og A 1 B 1 . På gitt konstruksjon Det er flere alternativer for arrangement av trekantelementer:

Stråle C 1 C ligger innenfor vinkelen ∠A 1 C 1 B 1 .
Stråle C 1 C faller sammen med en av sidene av vinkelen ∠A 1 C 1 B 1.
Stråle C 1 C ligger utenfor vinkelen ∠A 1 C 1 B 1.

Hver sak må vurderes separat, siden beviset ikke kan være det samme for alle gitte saker. I det første tilfellet vurderes to trekanter dannet som et resultat av konstruksjon. Siden, i henhold til betingelsen, sidene i disse trekantene er AC \u003d A 1 C 1, og BC \u003d B 1 C 1, er de resulterende trekantene ΔB 1 C 1 C og ΔA 1 C 1 likesidede. Bruke den lærte egenskapen likebente trekanter, kan vi påstå at vinklene ∠1 og ∠2 er like med hverandre, og også ∠3 og ∠4 er like. Siden disse vinklene er like, vil summen av ∠1 og ∠3, samt ∠2 og ∠4 også gi like vinkler. Derfor er vinklene ∠С og ∠С 1 like. Beviser gitt faktum, kan vi revurdere trekantene ΔABC og ΔA 1 B 1 C 1, der sidene BC \u003d B 1 C 1 og AC \u003d A 1 C 1 i henhold til tilstanden til teoremet, og det er bevist at vinklene mellom dem ∠C og ∠C 1 er også like . Følgelig vil disse trekantene være like i henhold til det første kriteriet for likestilling av trekanter, som allerede er kjent for elevene.

I det andre tilfellet, når trekantene er lagt over hverandre, ligger punktene C og C 1 på en rett linje som går gjennom punktet B (B 1). I summen av to trekanter ΔABC og ΔA 1 B 1 C 1 oppnås en trekant ΔCAC 1, der de to sidene AC \u003d A 1 C 1, i henhold til betingelsen til teoremet, er like. Følgelig er denne trekanten likebenet. I en likebenet trekant med like sider er det like vinkler, så det kan hevdes at vinklene ∠С=∠С 1. Det følger også av betingelsene i teoremet at sidene BC og B 1 C 1 er like med hverandre, derfor er ΔABC og ΔA 1 B 1 C 1, tatt i betraktning de oppgitte fakta, like med hverandre i henhold til første tegn på likhet av trekanter.

Beviset i det tredje tilfellet, i likhet med de to første, bruker det første kriteriet for trekanters likhet. En geometrisk figur konstruert ved å pålegge trekanter, når den er forbundet med et segment av toppunktene C og C 1, omdannes til en trekant ΔB 1 C 1 C. Denne trekanten er likebenet, siden sidene B 1 C 1 og B 1 C er like med betingelse. Og med like sider i en likebenet trekant, er vinklene ∠С og ∠С 1 også like. Siden siden AC \u003d A 1 C 1 i henhold til teoremets tilstand er like, er vinklene ved dem i den likebente trekanten ΔACS 1 også like. Tar vi i betraktning at vinklene ∠С og ∠С 1 er like, og vinklene ∠DCAog ∠DC 1 A er like med hverandre, så er vinklene ∠ACB og ∠AC 1 B også like. Gitt dette faktum, for å bevise likheten til trekanter ΔABC og ΔA 1 B 1 C 1, kan du bruke det første tegnet på trekantenes likhet, siden de to sidene av disse trekantene er like når det gjelder betingelser, og likheten til trekantene. vinkler mellom dem er bevist i løpet av resonnement.

På slutten av videoopplæringen demonstreres en viktig anvendelse av det tredje kriteriet for likestilling av trekanter - stivheten til en gitt geometrisk figur. Et eksempel forklarer hva denne uttalelsen betyr. Som et eksempel på en fleksibel utforming er det gitt to lekter forbundet med en spiker. Disse lamellene kan flyttes fra hverandre og forskyves i alle vinkler. Hvis vi fester en annen til skinnene, forbundet med ender til de eksisterende skinnene, vil vi få en stiv struktur der det er umulig å endre vinkelen mellom skinnene. Å få en trekant med gitte sider og andre vinkler er ikke mulig. Denne konsekvensen av teoremet har en viktig praktisk verdi. Skjermen viser tekniske strukturer der gitt eiendom trekanter.

Videotimen «Det tredje tegnet på trekanters likhet» gjør det lettere for læreren å presentere nytt stoff i en geometritime om dette temaet. Videoopplæringen kan også med hell brukes til fjernundervisning matematikk, vil hjelpe elevene til å forstå kompleksiteten i beviset på egen hånd.

>>Matematikk klasse 7. Full leksjoner >>Geometri: Det andre tegnet på likhet av trekanter. Fullfør leksjoner

TEMA FOR LEKSJONEN: Det andre tegnet på likhet av trekanter.

Leksjonens mål:

Å studere det andre tegnet på likhet av trekanter;
Kunne bruke funksjonen til å løse enkle problemer;
Fortsett å utvikle ferdighetene til å føre resonnement og bevis, for å utføre de enkleste geometriske konstruksjonene.

Leksjonens mål:

Assimilering av stoffet gjennom praktisk arbeid og teori;
Dannelse av logisk tenkning;
Lær å se forskjellen og likheten i beviset på tegn;
Forsøk på å utvikle elevenes evner til egenutdanning;
Dannelse av selvreguleringsferdigheter pedagogisk og kognitiv aktiviteter.

Leksjonens motto:
Ikke et øyeblikk med fred
Ikke et sekund med tap
Egen kunnskap
Sjekk nøye.

Timeplan:

Introduksjon;
Gjentakelse;
Eksempler på problemløsning;
Sjekke din egen kunnskap;
Ekstra kreativ oppgave;
Løse problemer med praktisk innhold.

Introduksjon.

FEIL må respekteres hvis den ikke er et resultat av vår uvitenhet, ikke et resultat av vår latskap, ikke frukten av ulærte leksjoner, men bare noen ganger en følgesvenn av vår innsats for å mestre geometrisk kunnskap

Gjentakelse.
Spørsmål.

Hva er en trekant?
Hvilke trekanter kalles like?
Hvordan forstår du hva et "tegn på like trekanter" er?
Hva er det første kriteriet for likestilling av trekanter?
Hva er tegn for?
Er det nødvendig å sammenligne trekantene som overlapper hverandre hver gang?

Hvis trekantene er like, da er deres tilsvarende elementer like. (fordi de ble kombinert når trekantene ble lagt over hverandre, og derfor like (def. Like tall)). Følge: i like trekanter:

Motsatt respektive like sider er like vinkler
Mot hhv like vinkler er like sider

Logg på matematikk- det samme som tilstrekkelig tilstand. I mindre strenge vitenskaper brukes ordet "tegn" som en beskrivelse av fakta som tillater (iht. eksisterende teori etc.) for å trekke en konklusjon om tilstedeværelsen av fenomenet av interesse.

Hva er tegnet på likhet i trekanter og hvor mange tegn er det? Noen forhold der to gitte trekanter er like kalles triangellikhetskriterier. Vi kan si at et tegn er et tegn der du kan finne ut visse egenskaper til figurer.

Noen ganger er det ikke mulig å kombinere trekanter. Hva å gjøre? Det er nok å sammenligne bare tre elementer i en trekant med tre elementer i en annen trekant. Det er her tegnene på trekantenes likhet vil komme oss til hjelp, de vil fortelle oss nøyaktig hvilke elementer som må sammenlignes.

Eksempler på problemløsning.

Teorem, det andre kriteriet for likestilling av trekanter

File:T.gif Hvis siden og vinklene ved siden av den i en trekant er lik henholdsvis siden og vinklene ved siden av den i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.

Bevis.

La trekanter ABC og A1B1C1 ha ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

La A1B2C2 være en trekant lik trekant ABC. Toppunktet B2 er plassert på strålen A1B1, og toppunktet C2 er i samme halvplan i forhold til linjen A1B1, hvor toppunktet C1 ligger. Siden A1B2 = A1B1, så faller toppunktet B2 sammen med toppunktet B1. Siden ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 og ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, så faller strålen A1C2 sammen med strålen A1C1, og strålen B1C2 sammenfaller med strålen B1C1. Det følger at toppunktet C2 sammenfaller med toppunktet C1. Trekant A1B1C1 faller sammen med trekant A1B2C2, som betyr at lik trekant ABC. Teoremet er bevist.

Sjekke din egen kunnskap.

muntlige øvelser.

Hvor mange typer trekanter kjenner du? (3)
Nevn disse typene (spissvinklet, rektangulært, stumpvinklet)
Definer hver type.
Hvilket instrument brukes til å måle gradsmål hjørner? (vinkelmåler)
Hvilken form kalles en vinkel? (dannet av to bjelker)

2913 ≈ 2900 (o)
Finn 1/3 av 36 (12) (g)
Finn et tall hvis 1/5 av dette tallet = 10 (50) (e)
4/9 2 = 8 (g)
16/17: 2 = 8/17 (10) (o)
7/8: 2 = 7/16 (in)

Så ordet kom ut - OZHOGOV.
Ozhegov Sergey Ivanovich- en av forfatterne forklarende ordbok Russisk språk. Denne ordboken inneholder betydningen av 80 000 ord i det russiske språket og fraseologiske uttrykk.

Kan du tegne en trekant med to stumpe vinkler?
Kan du tegne en trekant med én rett vinkel og én stump vinkel?

Spørsmål:

Hva er det andre tegnet på triangellikhet?
Hva sier hun?
Hva er tegn for?
Hva er "lik trekanttegnet"?

Liste over kilder som er brukt:

Leksjon om emnet "Visuell geometri"
Geometri: Arbeidsbok for klasse 7 utdanningsinstitusjoner
Geometri leksjoner av Cyril og Methodius. 7. klasse (2005)
Geometri. 7. klasse. Omfattende arbeidsbok. Stadnik L. G.

Jobbet med leksjonen:

Samylina M.V.

Poturnak S.A.

Still et spørsmål om moderne utdanning, uttrykke en idé eller løse et presserende problem, kan du Utdanningsforum, hvor på internasjonalt nivå går utdanningsrådet ny tanke og handling. Etter å ha skapt