Hvilken vektor kalles enhet. Vektorer: definisjon og grunnleggende konsepter

Et slikt begrep som vektor anses i nesten alle naturvitenskaper, og det kan ha helt forskjellige betydninger, så det er umulig å gi en entydig definisjon av en vektor for alle områder. Men la oss prøve å finne ut av det. Så, vektor - hva er det?

Konseptet med en vektor i klassisk geometri

En vektor i geometri er et segment der det er indikert hvilket av punktene som er begynnelsen og hvilke som er slutten. Det vil si, for å si det enkelt, et rettet segment kalles en vektor.

Følgelig er en vektor indikert (hva det er - diskutert ovenfor), samt et segment, det vil si to store bokstaver i det latinske alfabetet med tillegg av en linje eller en pil som peker til høyre på toppen. Det kan også signeres med en liten (liten) bokstav i det latinske alfabetet med en strek eller en pil. Pilen peker alltid til høyre og endres ikke avhengig av vektorens posisjon.

Så en vektor har en retning og en lengde.

Betegnelsen til en vektor inneholder også retningen. Dette er uttrykt som vist i figuren under.

Endring av retning reverserer verdien til vektoren.

Lengden til en vektor er lengden på segmentet den er dannet av. Den er utpekt som en modul fra en vektor. Dette er vist i figuren under.

Følgelig er null en vektor hvis lengde er lik null. Det følger av dette at nullvektoren er et punkt, dessuten faller start- og sluttpunktene sammen i det.

Lengden til en vektor er alltid en ikke-negativ verdi. Med andre ord, hvis det er et segment, så har det nødvendigvis en viss lengde eller er et punkt, så er lengden null.

Selve konseptet med et punkt er grunnleggende og har ingen definisjon.

Vektor tillegg

Det er spesielle formler og regler for vektorer som kan brukes til å utføre addisjon.

Trekantregel. For å legge til vektorer i henhold til denne regelen, er det nok å kombinere slutten av den første vektoren og begynnelsen av den andre, ved hjelp av parallell oversettelse, og koble dem. Den resulterende tredje vektoren vil være lik addisjonen av de to andre.

parallellogramregel. For å legge til i henhold til denne regelen, må du tegne begge vektorene fra ett punkt, og deretter tegne en annen vektor fra slutten av hver av dem. Det vil si at den andre vil bli trukket fra den første, og den første fra den andre. Som et resultat vil et nytt skjæringspunkt bli oppnådd og et parallellogram vil bli dannet. Hvis vi kombinerer skjæringspunktet for begynnelsen og slutten av vektorene, vil den resulterende vektoren være resultatet av addisjon.

På samme måte er det mulig å utføre subtraksjon.

Vektorforskjell

På samme måte som ved addisjon av vektorer, er det mulig å utføre subtraksjonen deres. Den er basert på prinsippet vist i figuren nedenfor.

Det vil si at det er nok å representere vektoren som skal trekkes fra som en vektor motsatt den, og å beregne i henhold til addisjonsprinsippene.

Dessuten kan absolutt enhver vektor som ikke er null multipliseres med et hvilket som helst tall k, dette vil endre lengden med k ganger.

I tillegg til disse finnes det andre vektorformler (for eksempel for å uttrykke lengden på en vektor i form av dens koordinater).

Plassering av vektorer

Sikkert mange har kommet over et slikt konsept som en collineær vektor. Hva er kollinearitet?

Kollinearitet av vektorer tilsvarer parallellitet av rette linjer. Hvis to vektorer ligger på linjer som er parallelle med hverandre, eller på samme linje, kalles slike vektorer kollineære.

Retning. I forhold til hverandre kan kollineære vektorer være co-dirigert eller motsatt rettet, dette bestemmes av retningen til vektorene. Følgelig, hvis en vektor er co-rettet med en annen, så er vektoren motsatt den rettet motsatt.

Den første figuren viser to motsatt rettede vektorer og en tredje som ikke er collineær med dem.

Etter å ha introdusert egenskapene ovenfor, er det også mulig å definere like vektorer - dette er vektorer som er rettet i samme retning og har samme lengde på segmentene som de er dannet av.

I mange vitenskaper brukes også konseptet med en radiusvektor. En slik vektor beskriver posisjonen til ett punkt i planet i forhold til et annet fast punkt (ofte er dette origo).

Vektorer i fysikk

La oss anta at når du løste problemet, oppsto en tilstand: kroppen beveger seg med en hastighet på 3 m/s. Dette betyr at kroppen beveger seg med en bestemt retning i én rett linje, så denne variabelen vil være en vektormengde. For å løse det er det viktig å vite både verdien og retningen, siden avhengig av hensynet kan hastigheten være enten 3 m/s eller -3 m/s.

Generelt brukes vektoren i fysikk til å angi retningen til kraften som virker på kroppen, og for å bestemme resultanten.

Når disse kreftene er indikert i figuren, er de indikert med piler med en vektoretikett over. Klassisk er lengden på pilen like viktig, ved hjelp av den indikerer de hvilken kraft som er sterkere, men denne egenskapen er sekundær, du bør ikke stole på den.

Vektor i lineær algebra og kalkulus

Elementene i lineære rom kalles også vektorer, men i dette tilfellet er de et ordnet system av tall som beskriver noen av elementene. Derfor er retningen i dette tilfellet ikke lenger viktig. Definisjonen av en vektor i klassisk geometri og i matematisk analyse er svært forskjellige.

Vektorprojeksjon

Projisert vektor - hva er det?

Ganske ofte, for en korrekt og praktisk beregning, er det nødvendig å dekomponere en vektor som ligger i todimensjonalt eller tredimensjonalt rom langs koordinataksene. Denne operasjonen er nødvendig, for eksempel i mekanikk ved beregning av kreftene som virker på kroppen. Vektoren i fysikk brukes ganske ofte.

For å utføre projeksjonen er det nok å senke perpendikulærene fra begynnelsen og slutten av vektoren til hver av koordinataksene, segmentene oppnådd på dem vil bli kalt projeksjonen av vektoren på aksen.

For å beregne projeksjonslengden er det nok å multiplisere dens opprinnelige lengde med en viss trigonometrisk funksjon, som oppnås ved å løse et miniproblem. Faktisk er det en rettvinklet trekant der hypotenusen er den opprinnelige vektoren, ett av bena er projeksjonen, og det andre benet er den droppede vinkelrett.

Endelig fikk jeg tak i et omfattende og etterlengtet tema analytisk geometri. Først litt om denne delen av høyere matematikk…. Nå husket du sikkert skolegeometrikurset med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To stemplede matematiske svinger kommer umiddelbart til tankene: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode". Grafisk metode, selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer, tegninger. Analytisk samme metode innebærer problemløsning hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, ofte er det nok å bruke de nødvendige formlene nøyaktig - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig, det vil ikke klare seg uten tegninger i det hele tatt, dessuten, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å bringe dem i overkant av behovet.

Det åpne kurset med leksjoner i geometri hevder ikke å være teoretisk fullstendighet, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelesninger ta med kun det som fra mitt ståsted er viktig i praksis. Hvis du trenger en mer fullstendig referanse på en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:

1) En ting som, uten spøk, er kjent for flere generasjoner: Skolebok i geometri, forfatterne - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede tålt 20 (!) nyutgivelser, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 bind. Forfatterne L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for høyere utdanning, du trenger første bind. Sjeldne oppgaver kan falle utenfor synsfeltet mitt, og veiledningen vil være til uvurderlig hjelp.

Begge bøkene er gratis å laste ned online. I tillegg kan du bruke mitt arkiv med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler på høyere matematikk.

Av verktøyene tilbyr jeg igjen min egen utvikling - Software pakke på analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.

Det forutsettes at leseren er kjent med grunnleggende geometriske begreper og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hallo repeatere)

Og nå vil vi sekvensielt vurdere: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Videre anbefaler jeg å lese den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, i tillegg til Vektor og blandet produkt av vektorer. Den lokale oppgaven vil ikke være overflødig - Inndeling av segmentet i denne forbindelse. Basert på informasjonen ovenfor kan du ligning av en rett linje i et plan Med de enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære hvordan du løser problemer i geometri. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en rett linje i rommet, Grunnleggende problemer på linjen og planet , andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.

Konseptet med en vektor. gratis vektor

La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:

I dette tilfellet er begynnelsen av segmentet punktet , slutten av segmentet er punktet . Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du omorganiserer pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er allerede helt annen vektor. Det er praktisk å identifisere konseptet med en vektor med bevegelsen til en fysisk kropp: du må innrømme at det å gå inn dørene til et institutt eller forlate dørene til et institutt er helt andre ting.

Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly, plass som den såkalte null vektor. En slik vektor har samme ende og begynnelse.

!!! Merk: Her og nedenfor kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.

Betegnelser: Mange gjorde umiddelbart oppmerksom på en pinne uten pil i betegnelsen og sa at de også satte en pil øverst! Det stemmer, du kan skrive med en pil: , men tillatt og post som jeg skal bruke senere. Hvorfor? Tilsynelatende har en slik vane utviklet seg fra praktiske hensyn, skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for mangfoldige og shaggy. I pedagogisk litteratur bryr de seg noen ganger ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene i fet skrift: , og antyder dermed at dette er en vektor.

Det var stilen, og nå om måtene å skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver:
og så videre. Mens den første bokstaven nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt kan vektoren vår redesignes for korthets skyld med en liten latinsk bokstav .

Lengde eller modul ikke-null vektor kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk sett.

Lengden til en vektor er angitt med modulo-tegnet: ,

Hvordan finne lengden på en vektor, vil vi lære (eller gjenta, for hvem hvordan) litt senere.

Det var elementær informasjon om vektoren, kjent for alle skolebarn. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.

Hvis det er ganske enkelt - vektor kan tegnes fra et hvilket som helst punkt:

Vi pleide å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er dette SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer, kan du "feste" en eller annen vektor til et hvilket som helst punkt på flyet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul eiendom! Se for deg en vektor med vilkårlig lengde og retning - den kan "klones" et uendelig antall ganger og når som helst i verdensrommet, faktisk eksisterer den OVERALT. Det er et slikt studentordtak: Hver foreleser i f ** u i vektoren. Tross alt, ikke bare et vittig rim, alt er matematisk riktig - en vektor kan festes der også. Men ikke skynd deg å glede deg, studentene selv lider oftere =)

Så, gratis vektor- dette er masse av identiske retningssegmenter. Skoledefinisjonen av en vektor, gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor ...", innebærer spesifikk et rettet segment tatt fra et gitt sett, som er festet til et bestemt punkt i planet eller rommet.

Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor generelt feil, og vektorens anvendelsespunkt betyr noe. Faktisk er et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen nok til å utvikle mitt dumme eksempel medfører forskjellige konsekvenser. Men, ikke gratis vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer

I skolegeometrikurset vurderes en rekke handlinger og regler med vektorer: addisjon etter trekantregelen, addisjon etter parallellogramregelen, regelen for forskjellen av vektorer, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarproduktet av vektorer, etc. Som et frø gjentar vi to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.

Regel for addisjon av vektorer i henhold til regelen for trekanter

Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og:

Det er nødvendig å finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, utsetter vi vektoren fra slutt vektor:

Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det tilrådelig å legge en fysisk mening inn i den: la en kropp lage en bane langs vektoren, og deretter langs vektoren. Da er summen av vektorene vektoren til den resulterende banen som starter ved avgangspunktet og slutter ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei sterkt i sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende sumvektoren.

Forresten, hvis vektoren er utsatt fra start vektor , så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.

Først om vektorers kollinearitet. De to vektorene kalles collineær hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem brukes alltid adjektivet "collinear".

Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer samveis. Hvis pilene ser i forskjellige retninger, vil vektorene være det motsatt rettet.

Betegnelser: kollinearitet av vektorer skrives med det vanlige parallellisme-ikonet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigert) eller (vektorer er rettet motsatt).

arbeid av en ikke-null vektor av et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot .

Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå med et bilde:

Vi forstår mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektoren endrer retning til det motsatte.

2) Lengde. Hvis faktoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Så lengden på vektoren er to ganger mindre enn lengden på vektoren. Hvis modulo multiplikatoren er større enn én, så lengden på vektoren øker i tide.

3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes i form av en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. På denne måten: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorene er codirectional. Vektorene og er også codirectional. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt av hvilken som helst vektor i den andre gruppen.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er codirectional og har samme lengde. Merk at co-direction innebærer at vektorene er kollineære. Definisjonen vil være unøyaktig (redundant) hvis du sier: "To vektorer er like hvis de er kollineære, co-directed og har samme lengde."

Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, er like vektorer den samme vektoren, som allerede ble diskutert i forrige avsnitt.

Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet

Det første punktet er å vurdere vektorer på et plan. Tegn et kartesisk rektangulært koordinatsystem og sett til side fra origo enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler å sakte bli vant til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet og ortogonalitet.

Betegnelse: ortogonalitet av vektorer skrives med det vanlige vinkelrett tegnet, for eksempel: .

De betraktede vektorene kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva som ligger til grunn tror jeg er intuitivt klart for mange, mer detaljert informasjon finner du i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis.Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.

Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.

Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt bytte plass.

Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som:
, hvor - tall, som kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget. Men selve uttrykket kalt vektor nedbrytningbasis .

Middag servert:

La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når vektoren dekomponeres når det gjelder grunnlaget, brukes de som nettopp er vurdert:
1) regelen for multiplikasjon av en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .

Sett nå vektoren mentalt til side fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans korrupsjon vil «ubønnhørlig følge ham». Her er den, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med deg." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (frie) ikke må settes til side fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre, og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg fra dette! Det er sant at du ikke trenger å gjøre dette, fordi læreren også vil vise originalitet og tegne deg et "pass" på et uventet sted.

Vektorer , illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samrettet med basisvektoren , vektoren er rettet motsatt av basisvektoren . For disse vektorene er en av koordinatene lik null, den kan skrives omhyggelig som følger:


Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).

Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor fortalte jeg deg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, jeg husker ikke hvor, la jeg merke til at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon. Så utvidelsene til vektorene "de" og "e" er rolig skrevet som en sum: . Omorganiser begrepene stedvis og følg tegningen hvor tydelig den gode gamle addisjonen av vektorer i henhold til trekantregelen fungerer i disse situasjonene.

Vurderes dekomponering av formen noen ganger kalt en vektornedbrytning i systemet ort(dvs. i systemet av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på, følgende alternativ er vanlig:

Eller med et likhetstegn:

Selve basisvektorene er skrevet som følger: og

Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske oppgaver brukes alle tre opptaksmulighetene.

Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men likevel vil jeg si: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass skriv ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass skriv ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren . Faktisk, og er to forskjellige vektorer.

Vi fant ut koordinatene på flyet. Vurder nå vektorer i tredimensjonalt rom, alt er nesten det samme her! Bare én koordinat til vil bli lagt til. Det er vanskelig å utføre tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til en vektor, som jeg for enkelhets skyld vil utsette fra opprinnelsen:

Noen 3d romvektor den eneste måten ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i det gitte grunnlaget.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan vektorhandlingsreglene fungerer her. Først multipliserer du en vektor med et tall: (rød pil), (grønn pil) og (magenta pil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfellet tre, vektorer: . Sumvektoren starter ved startpunktet (begynnelsen av vektoren ) og ender opp ved det endelige ankomstpunktet (enden av vektoren ).

Alle vektorer av tredimensjonalt rom er selvfølgelig også gratis, prøv å mentalt utsette vektoren fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at utvidelsen "blir med den."

I likhet med flysaken, i tillegg til å skrive versjoner med braketter er mye brukt: enten .

Hvis en (eller to) koordinatvektorer mangler i utvidelsen, settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig ) - skrive ned ;
vektor (omhyggelig ) - skrive ned ;
vektor (omhyggelig ) - skrive ned .

Basisvektorer skrives som følger:

Her er kanskje all den minimale teoretiske kunnskapen som er nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Kanskje det er for mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler dummies å lese og forstå denne informasjonen på nytt. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til den grunnleggende leksjonen fra tid til annen for bedre assimilering av materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektordekomponering - disse og andre begreper vil ofte bli brukt i det følgende. Jeg bemerker at materialene på nettstedet ikke er nok til å bestå en teoretisk test, et kollokvium om geometri, siden jeg nøye koder alle teoremer (foruten uten bevis) - til skade for den vitenskapelige presentasjonsstilen, men et pluss for din forståelse av emnet. For detaljert teoretisk informasjon ber jeg deg bøye deg for professor Atanasyan.

La oss nå gå videre til den praktiske delen:

De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Oppgavene som vil bli vurdert, det er svært ønskelig å lære å løse dem helt automatisk, og formlene huske, ikke engang huske det med vilje, de vil huske det selv =) Dette er veldig viktig, siden andre problemer med analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og det vil være irriterende å bruke ekstra tid på å spise bønder. Du trenger ikke å feste de øverste knappene på skjorten, mange ting er kjent for deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene ... vil du se selv.

Hvordan finne en vektor gitt to poeng?

Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene vektor start.

Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1

Gitt to punkter i flyet og . Finn vektorkoordinater

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Alternativt kan følgende notasjon brukes:

Esteter vil avgjøre slik:

Personlig er jeg vant til den første versjonen av plata.

Svar:

I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å bygge en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å forklare noen punkter til dummies, vil jeg ikke være for lat:

Må forstås forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater er de vanlige koordinatene i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på koordinatplanet siden klasse 5-6. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.

Koordinatene til samme vektor er dens utvidelse med hensyn til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, derfor kan vi om nødvendig enkelt utsette den fra et annet punkt i flyet. Interessant, for vektorer kan du ikke bygge akser i det hele tatt, et rektangulært koordinatsystem, du trenger bare et grunnlag, i dette tilfellet, en ortonormal basis av planet.

Registreringene av punktkoordinater og vektorkoordinater ser ut til å være like: , og følelse av koordinater absolutt forskjellig, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også for plass.

Mine damer og herrer, vi fyller våre hender:

Eksempel 2

a) Gitt poeng og . Finn vektorer og .
b) Poeng gis og . Finn vektorer og .
c) Gitt poeng og . Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer .

Kanskje nok. Dette er eksempler for en uavhengig avgjørelse, prøv å ikke overse dem, det vil lønne seg ;-). Tegninger er ikke nødvendig. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig for å løse problemer med analytisk geometri? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager på forhånd hvis jeg har gjort en feil =)

Hvordan finne lengden på et segment?

Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.

Hvis to punkter på planet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes med formelen

Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard

Eksempel 3

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning

Linjestykke - det er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du fullfører tegningen i målestokk: 1 enhet. \u003d 1 cm (to tetradceller), så kan svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.

Ja, løsningen er kort, men det er et par viktige punkter i den som jeg ønsker å avklare:

Først, i svaret setter vi dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil den generelle formuleringen være en matematisk kompetent løsning: "enheter" - forkortet som "enheter".

For det andre, la oss gjenta skolematerialet, som ikke bare er nyttig for det aktuelle problemet:

Følg med på viktig teknisk triks – tar multiplikatoren ut under roten. Som et resultat av beregningene fikk vi resultatet og god matematisk stil innebærer å ta multiplikatoren ut under roten (hvis mulig). Prosessen ser mer detaljert slik ut: . Å la svaret ligge i skjemaet vil selvsagt ikke være en feil – men det er definitivt en feil og et tungtveiende argument for nitpicking fra lærerens side.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte oppnås et tilstrekkelig stort antall under roten, for eksempel. Hvordan være i slike tilfeller? På kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4:. Ja, del helt opp, slik: . Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . På denne måten: . Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang er tydeligvis ikke mulig. Prøver å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.

Konklusjon: hvis vi under roten får et helt ikke-ekstraherbart tall, så prøver vi å ta ut faktoren fra under roten - på kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

I løpet av å løse ulike problemer finner man ofte røtter, prøv alltid å trekke ut faktorer fra under roten for å unngå lavere poengsum og unødvendige problemer med å sluttføre løsningene dine i henhold til lærerens bemerkning.

La oss gjenta kvadreringen av røttene og andre krefter samtidig:

Reglene for handlinger med grader i generell form finner du i en skolebok om algebra, men jeg tror at alt eller nesten alt allerede er klart fra eksemplene gitt.

Oppgave for en uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4

Gitt poeng og . Finn lengden på segmentet.

Løsning og svar på slutten av leksjonen.

Hvordan finne lengden på en vektor?

Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.

Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen .

VEKTOR
I fysikk og matematikk er en vektor en størrelse som er preget av sin numeriske verdi og retning. I fysikk er det mange viktige størrelser som er vektorer, som kraft, posisjon, hastighet, akselerasjon, dreiemoment, momentum, elektriske og magnetiske felt. De kan kontrasteres med andre størrelser, som masse, volum, trykk, temperatur og tetthet, som kan beskrives med et vanlig tall, og de kalles "skalarer". Vektornotasjon brukes når man arbeider med mengder som ikke kan spesifiseres fullt ut ved bruk av vanlige tall. For eksempel ønsker vi å beskrive posisjonen til et objekt i forhold til et punkt. Vi kan fortelle hvor mange kilometer fra et punkt til et objekt, men vi kan ikke helt bestemme plasseringen før vi vet retningen den befinner seg i. Dermed er plasseringen av et objekt preget av en numerisk verdi (avstand i kilometer) og en retning. Grafisk er vektorer avbildet som rettede segmenter av en rett linje med en viss lengde, som i fig. 1. For eksempel, for å grafisk representere en kraft på fem kilo, må du tegne en rett linje som er fem enheter lang i kraftens retning. Pilen indikerer at kraften virker fra A til B; hvis kraften virket fra B til A, ville vi skrive eller For enkelhets skyld er vektorer vanligvis merket med store bokstaver (A, B, C, og så videre); vektorene A og -A har like numeriske verdier, men motsatt i retning. Den numeriske verdien til vektoren A kalles modulen eller lengden og er betegnet med A eller |A|. Denne mengden er selvfølgelig en skalar. En vektor hvis begynnelse og slutt faller sammen kalles en nullvektor og betegnes O.

To vektorer kalles like (eller frie) hvis modulene og retningene deres er like. I mekanikk og fysikk må denne definisjonen imidlertid brukes med forsiktighet, siden to like krefter påført forskjellige punkter på kroppen generelt vil føre til forskjellige resultater. I denne forbindelse er vektorer delt inn i "lenket" eller "glidende", som følger: Koblede vektorer har faste applikasjonspunkter. For eksempel indikerer radiusvektoren posisjonen til et punkt i forhold til en fast opprinnelse. Beslektede vektorer anses som like hvis de ikke bare har de samme modulene og retningene, men de har også et felles brukspunkt. Glidende vektorer er like vektorer plassert på samme rette linje.
Addisjon av vektorer. Ideen om vektoraddisjon kommer fra det faktum at vi kan finne en enkelt vektor som har samme effekt som to andre vektorer sammen. Hvis vi, for å komme til et punkt, må gå først A kilometer i én retning og deretter B kilometer i den andre retningen, kan vi nå endepunktet vårt ved å gå C kilometer i en tredje retning (fig. 2). Slik sett kan man si det

A+B=C.
Vektoren C kalles "resultatvektoren" til A og B og er gitt ved konstruksjonen vist på figuren; et parallellogram er bygget på vektorene A og B som på sidene, og C er en diagonal som forbinder begynnelsen av A og slutten av B. Fra fig. 2 kan det sees at addisjonen av vektorer er "kommutativ", dvs. A + B = B + A. På samme måte kan du legge til flere vektorer ved å koble dem i serie i en "kontinuerlig kjede", som vist i fig. 3 for tre vektorer D, E og F. Fra fig. 3 viser også det

(D + E) + F = D + (E + F), dvs. addisjon av vektorer er assosiativ. Et hvilket som helst antall vektorer kan summeres, og vektorene trenger ikke å ligge i samme plan. Å subtrahere vektorer er representert som addering til en negativ vektor. For eksempel, A - B = A + (-B), hvor, som tidligere definert, -B er en vektor lik B i absolutt verdi, men motsatt i retning. Denne addisjonsregelen kan nå brukes som et reelt kriterium for å sjekke om en mengde er en vektor eller ikke. Bevegelser er vanligvis underlagt vilkårene i denne regelen; det samme kan sies om hastigheter; krefter summerer seg på samme måte som man kan se fra "krefttrekanten". Noen mengder som har både numeriske verdier og retninger overholder imidlertid ikke denne regelen, og kan derfor ikke betraktes som vektorer. Et eksempel er endelige rotasjoner.
Multiplisere en vektor med en skalar. Produktet mA eller Am, der m (m # 0) er en skalar og A er en vektor som ikke er null, er definert som en annen vektor som er m ganger lengre enn A og har samme retning som A hvis m er positiv, og det motsatte hvis m negativ, som vist i fig. 4, hvor m er henholdsvis 2 og -1/2. I tillegg er 1A = A, dvs. når multiplisert med 1, endres ikke vektoren. Verdien -1A er en vektor som er lik A, men motsatt i retning, vanligvis skrevet som -A. Hvis A er en nullvektor og (eller) m = 0, så er mA en nullvektor. Multiplikasjon er distributiv, dvs.

Vi kan legge til et hvilket som helst antall vektorer, og rekkefølgen på leddene påvirker ikke resultatet. Det motsatte er også sant: enhver vektor dekomponeres i to eller flere "komponenter", dvs. inn i to eller flere vektorer som, når de legges sammen, vil gi den opprinnelige vektoren som et resultat. For eksempel, i fig. 2, A og B er komponenter av C. Mange matematiske operasjoner med vektorer forenkles hvis vektoren dekomponeres i tre komponenter i tre innbyrdes vinkelrette retninger. La oss velge riktig kartesisk koordinatsystem med aksene Ox, Oy og Oz som vist i fig. 5. Med høyre koordinatsystem mener vi at x-, y- og z-aksene er plassert slik at henholdsvis tommel-, pekefinger- og langfinger på høyre hånd kan posisjoneres. Fra ett høyre koordinatsystem er det alltid mulig å få et annet høyre koordinatsystem ved en passende rotasjon. På fig. 5 viser dekomponeringen av vektoren A i tre komponenter og de summeres til vektoren A, siden

Følgelig

Man kan også først addere og få og deretter legge til Projeksjonene av vektoren A på de tre koordinataksene, betegnet Axe, Ay og Az kalles "skalarkomponentene" til vektoren A:

hvor a, b og g er vinklene mellom A og de tre koordinataksene. Nå introduserer vi tre enhetslengdevektorer i, j og k (orter) som har samme retning som de tilsvarende x-, y- og z-aksene. Så, hvis Axe multipliseres med i, er det resulterende produktet en vektor lik og

To vektorer er like hvis og bare hvis deres tilsvarende skalarkomponenter er like. Dermed er A = B hvis og bare hvis Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. To vektorer kan legges til ved å legge til komponentene deres:

I tillegg, ifølge Pythagoras teorem:

Lineære funksjoner. Uttrykket aA + bB, hvor a og b er skalarer, kalles en lineær funksjon av vektorene A og B. Dette er en vektor som er i samme plan som A og B; hvis A og B ikke er parallelle, vil vektoren aA + bB bevege seg over hele planet når a og b endres (fig. 6). Hvis A, B og C ikke alle ligger i samme plan, beveger vektoren aA + bB + cC (a, b og c endring) seg gjennom hele rommet. Anta at A, B og C er enhetsvektorene i, j og k. Vektoren ai ligger på x-aksen; vektoren ai + bj kan bevege seg langs hele xy-planet; vektoren ai + bj + ck kan bevege seg gjennom hele rommet.

Man kan velge fire innbyrdes perpendikulære vektorer i, j, k og l og definere en firedimensjonal vektor som mengden A = Axi + Ayj + Azk + Awl
med lengde

og man kan fortsette opp til fem, seks eller et hvilket som helst antall dimensjoner. Selv om det er umulig å representere en slik vektor visuelt, er det ingen matematiske vanskeligheter her. En slik notasjon er ofte nyttig; for eksempel er tilstanden til en bevegelig partikkel beskrevet av en seksdimensjonal vektor P (x, y, z, px, py, pz), hvis komponenter er dens posisjon i rommet (x, y, z) og momentum (px) , py, pz). Et slikt rom kalles "faserom"; hvis vi vurderer to partikler, så er faserommet 12-dimensjonalt, hvis tre, så 18, og så videre. Antall dimensjoner kan økes i det uendelige; mengdene vi skal forholde oss til oppfører seg imidlertid omtrent på samme måte som de vi vil vurdere i resten av denne artikkelen, nemlig tredimensjonale vektorer.
Multiplikasjon av to vektorer. Vektoraddisjonsregelen ble oppnådd ved å studere oppførselen til mengder representert av vektorer. Det er ingen åpenbar grunn til at to vektorer ikke kunne multipliseres på en eller annen måte, men denne multiplikasjonen vil bare gi mening hvis den kan vises å være matematisk forsvarlig; i tillegg er det ønskelig at produktet hadde en viss fysisk betydning. Det er to måter å multiplisere vektorer som oppfyller disse betingelsene. Resultatet av en av dem er en skalar, et slikt produkt kalles "skalarproduktet" eller "indre produkt" av to vektorer og skrives ACHB eller (A, B). Resultatet av en annen multiplikasjon er en vektor kalt "kryssproduktet" eller "ytre produkt" og skrives A*B eller []. Punktprodukter har fysisk betydning for én, to eller tre dimensjoner, mens vektorprodukter kun er definert for tre dimensjoner.
Skalære produkter. Hvis, under påvirkning av en kraft F, punktet som det påføres beveger seg en avstand r, er arbeidet som er utført lik produktet av r og komponenten F i retningen r. Denne komponenten er lik F cos bF, rc, hvor bF, rc er vinkelen mellom F og r, dvs. Utført arbeid = Fr cos bF, rc. Dette er et eksempel på den fysiske begrunnelsen av skalarproduktet definert for to vektorer A, B ved hjelp av formelen
A*B = AB cos bA, Bs.
Siden alle mengdene på høyre side av ligningen er skalarer, så er A*B = B*A; derfor er skalar multiplikasjon kommutativ. Skalar multiplikasjon har også den distributive egenskapen: A*(B + C) = A*B + A*C. Hvis vektorene A og B er perpendikulære, så er cos bA, Bc lik null, og derfor er A*B = 0, selv om verken A eller B er lik null. Derfor kan vi ikke dele med en vektor. Anta at vi deler begge sider av ligningen A*B = A*C med A. Dette ville gi B = C, og hvis divisjon kunne utføres, ville denne likheten være det eneste mulige resultatet. Men hvis vi omskriver ligningen A*B = A*C som A*(B - C) = 0 og husker at (B - C) er en vektor, så er det klart at (B - C) ikke nødvendigvis er null og derfor må B ikke være lik C. Disse motstridende resultatene viser at vektordeling er umulig. Skalarproduktet gir en annen måte å skrive den numeriske verdien (modulen) til vektoren på: A*A = AA*cos 0° = A2;
derfor

Det skalare produktet kan også skrives på en annen måte. For å gjøre dette, husk at: A = Ax i + Ayj + Azk. Legg merke til det

Deretter,

Siden den siste ligningen inneholder x, y og z som abonnenter, ser det ut til at ligningen avhenger av det bestemte koordinatsystemet som er valgt. Dette er imidlertid ikke tilfelle, som det fremgår av definisjonen, som ikke er avhengig av de valgte koordinataksene.
Vektor kunstverk. En vektor eller eksternt produkt av vektorer er en vektor hvis modul er lik produktet av modulene deres og sinusen til vinkelen vinkelrett på de opprinnelige vektorene og sammen med dem utgjør den høyre trippelen. Dette produktet introduseres lettest ved å vurdere forholdet mellom hastighet og vinkelhastighet. Den første er en vektor; vi skal nå vise at sistnevnte også kan tolkes som en vektor. Vinkelhastigheten til et roterende legeme bestemmes som følger: velg et hvilket som helst punkt på kroppen og tegn en vinkelrett fra dette punktet til rotasjonsaksen. Da er vinkelhastigheten til kroppen antall radianer som denne linjen har rotert per tidsenhet. Hvis vinkelhastigheten er en vektor, må den ha en numerisk verdi og en retning. Den numeriske verdien er uttrykt i radianer per sekund, retningen kan velges langs rotasjonsaksen, den kan bestemmes ved å rette vektoren i retningen som høyreskruen vil bevege seg når den roterer med kroppen. Tenk på rotasjonen av et legeme rundt en fast akse. Hvis vi installerer denne aksen inne i en ring, som igjen er festet på en akse satt inn i en annen ring, kan vi gi rotasjon til kroppen inne i den første ringen med en vinkelhastighet w1 og så få den indre ringen (og kroppen) til å rotere med en vinkelhastighet w2. Figur 7 forklarer essensen av saken; sirkulære piler viser rotasjonsretningen. Denne kroppen er en solid kule med senter O og radius r.

Ris. 7. EN KULE MED SENTRUM O, roterer med en vinkelhastighet w1 inne i ringen BC, som igjen roterer inne i ringen DE med en vinkelhastighet w2. Kulen roterer med en vinkelhastighet lik summen av vinkelhastighetene og alle punktene på linjen POP" er i en tilstand av øyeblikkelig hvile.

La oss gi denne kroppen en bevegelse som er summen av to forskjellige vinkelhastigheter. Denne bevegelsen er ganske vanskelig å visualisere, men det er ganske åpenbart at kroppen ikke lenger roterer rundt en fast akse. Du kan imidlertid fortsatt si at den roterer. For å vise dette, la oss velge et punkt P på overflaten av kroppen, som i det øyeblikket vi vurderer er plassert på en storsirkel som forbinder punktene der to akser skjærer overflaten av sfæren. La oss slippe perpendikulære fra P til aksen. Disse perpendikulære blir radiene PJ og PK til henholdsvis sirklene PQRS og PTUW. La oss tegne en linje POPў som går gjennom midten av sfæren. Nå beveger punktet P, i det betraktede tidspunktet, seg samtidig langs sirklene som berører punktet P. I et lite tidsintervall Dt beveger P seg til en avstand

Denne avstanden er null if

I dette tilfellet er punktet P i en tilstand av øyeblikkelig hvile, og likeledes alle punktene på linjen POP er kulens rotasjonsakse, akkurat som et hjul som ruller på en vei i hvert øyeblikk roterer rundt sitt laveste punkt. , den beveger seg i tid Dt til en avstand

På en sirkel med radius r sin w1. Per definisjon, vinkelhastigheten

Fra denne formelen og relasjonen (1) får vi

Med andre ord, hvis du skriver ned en numerisk verdi og velger retningen til vinkelhastigheten som beskrevet ovenfor, så summerer disse størrelsene seg som vektorer og kan betraktes som sådan. Nå kan du legge inn kryssproduktet; vurdere et legeme som roterer med en vinkelhastighet w. Vi velger et hvilket som helst punkt P på kroppen og hvilken som helst origo O, som er plassert på rotasjonsaksen. La r være en vektor rettet fra O til P. Punkt P beveger seg langs en sirkel med en hastighet V = w r sin (w, r). Hastighetsvektoren V er tangent til sirkelen og peker i retningen vist i fig. åtte.

Denne ligningen gir avhengigheten av hastigheten V til et punkt på kombinasjonen av to vektorer w og r. Vi bruker denne relasjonen til å definere en ny type produkt og skriver: V = w * r. Siden resultatet av en slik multiplikasjon er en vektor, kalles dette produktet et vektorprodukt. For alle to vektorer A og B, hvis A * B = C, så er C = AB sin bA, Bc, og retningen til vektoren C er slik at den er vinkelrett på planet som går gjennom A og B og peker i samme retning som bevegelsesretningen til den høyredreiende skruen hvis den er parallell med C og roterer fra A til B. Med andre ord kan vi si at A, B og C, i den rekkefølgen, danner det riktige settet med koordinatakser. Vektorproduktet er antikommutativt; vektoren B * A har samme modul som A * B, men er rettet i motsatt retning: A * B = -B * A. Dette produktet er distributivt, men ikke assosiativt; det kan bevises

La oss se hvordan vektorproduktet er skrevet når det gjelder komponenter og enhetsvektorer. Først av alt, for enhver vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Derfor, i tilfelle av enhetsvektorer, i * i = j * j = k * k = 0 og i * j = k, j * k = i, k * i = j. Deretter,

Denne likheten kan også skrives som en determinant:

Hvis A * B = 0, så er enten A eller B 0, eller A og B er kollineære. Således, som med punktproduktet, er deling med en vektor ikke mulig. Verdien av A * B er lik arealet til et parallellogram med sidene A og B. Dette er lett å se, siden B sin bA, Bc er høyden og A er basen. Det er mange andre fysiske mengder som er vektorprodukter. Et av de viktigste vektorproduktene dukker opp i teorien om elektromagnetisme og kalles Poynting-vektoren P. Denne vektoren er definert som følger: P = E * H, hvor E og H er henholdsvis elektriske og magnetiske feltvektorer. P-vektoren kan tenkes på som en gitt energistrøm i watt per kvadratmeter til enhver tid. Her er noen flere eksempler: kraftmomentet F (moment) i forhold til origo, som virker på et punkt hvis radiusvektor er r, er definert som r * F; en partikkel lokalisert ved punkt r, med masse m og hastighet V, har et vinkelmoment mr * V i forhold til origo; kraften som virker på en partikkel som bærer en elektrisk ladning q gjennom et magnetfelt B med en hastighet V er qV * B.
Trippel fungerer. Fra tre vektorer kan vi danne følgende trippelprodukter: vektor (A*B) * C; vektor(A*B)*C; skalar (A * B)*C. Den første typen er produktet av en vektor C og en skalar A*B; vi har allerede snakket om slike verk. Den andre typen kalles dobbeltkryssproduktet; vektoren A * B er vinkelrett på planet der A og B ligger, og derfor er (A * B) * C en vektor som ligger i planet A og B og vinkelrett på C. Derfor, generelt, (A * B) * C er ikke lik A * (B * C). Ved å skrive A, B og C i form av deres x-, y- og z-koordinater (komponenter) og multiplisere, kan vi vise at A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* B). Den tredje typen produkt som forekommer i gitterberegninger i faststofffysikk er numerisk lik volumet av et parallellepiped med kantene A, B, C. Siden (A * B) * C = A * (B * C), er tegnene av skalar- og vektormultiplikasjoner kan byttes ut, og produktet skrives ofte som (A B C). Dette produktet er lik determinanten

Merk at (A B C) = 0 hvis alle tre vektorene ligger i samme plan eller hvis A = 0 eller (og) B = 0 eller (og) C = 0.
VEKTORDIFFERENSIERING
Anta at vektoren U er en funksjon av én skalarvariabel t. For eksempel kan U være radiusvektoren trukket fra origo til det bevegelige punktet, og t kan være tiden. La t endres med en liten mengde Dt, som vil endre U med DU. Dette er vist i fig. 9. Forholdet DU/Dt er en vektor rettet i samme retning som DU. Vi kan definere den deriverte av U med hensyn til t as

forutsatt at en slik grense eksisterer. På den annen side kan man representere U som summen av komponentene langs de tre aksene og skrive

Hvis U er radiusvektoren r, så er dr/dt hastigheten til punktet, uttrykt som en funksjon av tiden. Å differensiere med hensyn til tid igjen, får vi akselerasjonen. Anta at punktet beveger seg langs kurven vist i fig. 10. La oss være avstanden tilbakelagt av punktet langs kurven. I løpet av et lite tidsintervall Dt vil punktet passere avstanden Ds langs kurven; posisjonen til radiusvektoren vil endres til Dr. Derfor er Dr/Ds en vektor rettet som Dr. Lengre

Dr vektor - radius-vektor endring.

er en enhetsvektor som tangerer kurven. Dette kan sees av det faktum at når punktet Q nærmer seg punktet P, nærmer PQ tangenten og Dr nærmer seg Ds. Formler for å differensiere et produkt ligner på formler for å differensiere et produkt av skalarfunksjoner; siden kryssproduktet er antikommutativt, må imidlertid multiplikasjonsrekkefølgen bevares. Derfor,

Dermed ser vi at hvis vektoren er en funksjon av en skalarvariabel, så kan vi representere den deriverte på omtrent samme måte som i tilfellet med en skalarfunksjon.
Vektor- og skalarfelt. Gradient. I fysikk må man ofte forholde seg til vektor- eller skalarstørrelser som endrer seg fra punkt til punkt i et gitt område. Slike områder kalles "felt". For eksempel kan en skalar være temperatur eller trykk; vektoren kan være hastigheten til et fluid i bevegelse eller det elektrostatiske feltet til et system av ladninger. Hvis vi har valgt et eller annet koordinatsystem, så tilsvarer et hvilket som helst punkt P (x, y, z) i det gitte området en radiusvektor r (= xi + yj + zk) og også verdien av vektormengden U (r) eller skalaren f (r) assosiert med den. La oss anta at U og f er unikt definert i domenet; de. hvert punkt tilsvarer én og bare én verdi U eller f, selv om forskjellige punkter selvfølgelig kan ha forskjellige verdier. La oss si at vi ønsker å beskrive hastigheten som U og f endres med når vi beveger oss gjennom dette området. Enkle partielle deriverte, som dU/dx og df/dy, passer ikke oss, fordi de er avhengige av spesifikt valgte koordinatakser. Det er imidlertid mulig å innføre en vektordifferensialoperator uavhengig av valg av koordinatakser; denne operatoren kalles "gradient". La oss ta for oss et skalarfelt f. Først, som et eksempel, vurder et konturkart over et område i et land. I dette tilfellet er f høyden over havet; konturlinjer forbinder punkter med samme f-verdi. Når du beveger deg langs noen av disse linjene, endres ikke f; hvis vi beveger oss vinkelrett på disse linjene, vil endringshastigheten til f være maksimal. Vi kan assosiere hvert punkt med en vektor som indikerer størrelsen og retningen til den maksimale endringen i hastigheten f; et slikt kart og noen av disse vektorene er vist i fig. 11. Hvis vi gjør dette for hvert punkt i feltet, får vi et vektorfelt assosiert med skalarfeltet f. Dette er feltet til en vektor kalt "gradienten" f, som er skrevet som grad f eller Cf (symbolet C kalles også "nabla").

Ved tre dimensjoner blir konturlinjer overflater. Et lite skift Dr (= iDx + jDy + kDz) fører til en endring i f, som skrives som

der prikker angir termer av høyere orden. Dette uttrykket kan skrives som et punktprodukt

Del høyre og venstre side av denne likheten med Ds, og la Ds vende mot null; deretter

hvor dr/ds er enhetsvektoren i den valgte retningen. Uttrykket i parentes er en vektor avhengig av det valgte punktet. Så df/ds har en maksimal verdi når dr/ds peker i samme retning, er uttrykket i parentes gradienten. På denne måten,

- en vektor lik i størrelse og sammenfallende i retning med den maksimale endringshastigheten til f i forhold til koordinatene. Gradienten f skrives ofte som

Dette betyr at operatøren C eksisterer av seg selv. I mange tilfeller oppfører den seg som en vektor og er faktisk en "vektordifferensialoperator" - en av de viktigste differensialoperatorene i fysikk. Til tross for at C inneholder enhetsvektorene i, j og k, avhenger ikke dens fysiske betydning av det valgte koordinatsystemet. Hva er forholdet mellom Cf og f? Først av alt, anta at f definerer potensialet på ethvert punkt. For enhver liten forskyvning Dr, vil verdien av f endres med

Hvis q er en mengde (for eksempel masse, ladning) flyttet av Dr, så er arbeidet utført når q flyttes med Dr lik

Siden Dr er forskyvning, er qСf kraft; -Cf er spenningen (kraften per enhetsmengde) assosiert med f. La for eksempel U være det elektrostatiske potensialet; da er E den elektriske feltstyrken, gitt av formelen E = -СU. La oss anta at U er skapt av en elektrisk punktladning av q coulombs plassert ved origo. Verdien av U i punktet P (x, y, z) med radiusvektoren r er gitt av formelen

Hvor e0 er den dielektriske konstanten til ledig plass. Derfor

hvorav det følger at E virker i retningen r og dens størrelse er lik q/(4pe0r3). Når man kjenner et skalarfelt, kan man bestemme det tilhørende vektorfeltet. Det motsatte er også mulig. Fra et synspunkt av matematisk prosessering er skalarfelt lettere å betjene enn vektorfelt, siden de er gitt av én funksjon av koordinater, mens et vektorfelt krever tre funksjoner som tilsvarer vektorkomponentene i tre retninger. Dermed oppstår spørsmålet: gitt et vektorfelt, kan vi skrive ned skalarfeltet knyttet til det?
Divergens og rotor. Vi har sett resultatet av at C virker på en skalarfunksjon. Hva skjer hvis C brukes på en vektor? Det er to muligheter: la U (x, y, z) være en vektor; så kan vi danne et kryss og prikk-produkt som følger:

Det første av disse uttrykkene er en skalar kalt divergensen til U (betegnet divU); den andre er en vektor kalt rotoren U (betegnet rotU). Disse differensialfunksjonene, divergens og krølling, er mye brukt i matematisk fysikk. Tenk deg at U er en vektor og at den og dens første derivater er kontinuerlige i et eller annet domene. La P være et punkt i dette området omgitt av en liten lukket overflate S som avgrenser volumet DV. La n være en enhetsvektor vinkelrett på denne overflaten ved hvert punkt (n endrer retning når den beveger seg rundt overflaten, men har alltid lengdeenhet); la n peke utover. La oss vise det

Her indikerer S at disse integralene er tatt over hele overflaten, da er et element av overflaten til S. For enkelhets skyld vil vi velge den praktiske formen til S i form av et lite parallellepiped (som vist i fig. 12) med sidene Dx, Dy og Dz; punktet P er sentrum av parallellepipedet. Vi beregner integralet fra ligning (4) først over en side av parallellepipedet. For frontflaten n = i (enhetsvektoren er parallell med x-aksen); Da = DyDz. Bidraget til integralet fra frontflaten er lik

På motsatt side n = -i; dette ansiktet bidrar til integralet

Ved å bruke Taylor-teoremet får vi det totale bidraget fra de to ansiktene

Merk at DxDyDz = DV. Tilsvarende kan bidraget fra de to andre parene ansikter beregnes. Hele integralet er lik

og hvis vi setter DV (r) 0, forsvinner termene av høyere orden. I følge formel (2) er uttrykket i parentes divU, som beviser likhet (4). Likhet (5) kan bevises på samme måte. La oss bruke fig. 12; da vil bidraget fra frontflaten til integralet være lik

Og ved å bruke Taylor-teoremet får vi at det totale bidraget til integralet fra to flater har formen

de. dette er to ledd fra uttrykket for rotU i ligning (3). De fire andre terminene vil bli oppnådd etter å ha tatt hensyn til bidragene fra de fire andre ansiktene. Hva betyr egentlig disse forholdstallene? Vurder likestilling (4). La oss anta at U er hastigheten (for eksempel til en væske). Da er nЧU da = Un da, hvor Un er normalkomponenten av vektoren U til overflaten. Derfor er Un da ​​volumet av væske som strømmer gjennom da per tidsenhet, og er volumet av væske som strømmer gjennom S per tidsenhet. Følgelig

Utvidelseshastigheten til en volumenhet rundt punkt P. Det er her divergensen får navnet sitt; den viser hastigheten som fluidet ekspanderer ut av (dvs. divergerer fra) P. For å forklare den fysiske betydningen av rotoren U, betrakt en annen overflateintegral over et lite sylindrisk volum med høyden h som omgir P; planparallelle overflater kan orienteres i hvilken som helst retning vi velger. La k være enhetsvektoren vinkelrett på hver overflate, og la arealet av hver overflate være DA; da er det totale volumet DV = hDA (fig. 13). Vurder nå integralen

Integranden er det tidligere nevnte trippelskalarproduktet. Dette produktet vil være null på flate flater der k og n er parallelle. På en buet overflate

Der ds er kurveelementet som vist i fig. 13. Ved å sammenligne disse likhetene med relasjon (5), får vi det

Vi antar fortsatt at U er hastigheten. Hva blir den gjennomsnittlige vinkelhastigheten til væsken rundt k i dette tilfellet? Det er åpenbart det

hvis DA ikke er lik 0. Dette uttrykket er maksimalt når k og rotU peker i samme retning; dette betyr at rotU er en vektor lik to ganger vinkelhastigheten til væsken i punktet P. Hvis væsken roterer rundt P, så er rotU #0 og U-vektorene vil rotere rundt P. Derav navnet rotor. Divergensteoremet (Ostrogradsky-Gauss-teoremet) er en generalisering av formel (4) for endelige volumer. Hun uttaler at for noe volum V avgrenset av en lukket overflate S,

En vektor er et matematisk objekt som er preget av retning og størrelse. I geometri er en vektor et linjestykke i et plan eller i rommet, som har sin egen spesifikke retning og lengde.

Vektornotasjon

For å angi en vektor brukes enten én liten bokstav eller to store bokstaver, som tilsvarer begynnelsen og slutten av vektoren, mens en horisontal strek vises over bokstavene. Den første bokstaven indikerer begynnelsen av vektoren, den andre - slutten (se figur 1). En grafisk visning av en vektor viser en pil som indikerer retningen.

Hva er koordinatene til en vektor på planet og i rommet?

Vektorkoordinatene er koeffisientene til den eneste mulige lineære kombinasjonen av basisvektorer i det valgte koordinatsystemet. Det høres komplisert ut, men det er faktisk ganske enkelt. La oss ta et eksempel.

Anta at vi må finne koordinatene til vektoren a. La oss plassere den i et tredimensjonalt koordinatsystem (se figur 2) og utføre projeksjoner av vektoren på hver akse. Vektoren a vil i dette tilfellet skrives som følger: a= a x i+ a y j+ a z k, hvor i, j, k er basisvektorer, a x , a y , a z er koeffisientene som bestemmer koordinatene til vektoren a. Selve uttrykket vil bli kalt en lineær kombinasjon. På et plan (i et rektangulært koordinatsystem) vil en lineær kombinasjon bestå av to baser og koeffisienter.

Vektor relasjoner

I teorien om vektorer er det et slikt begrep som forholdet mellom vektorer. Dette konseptet definerer plasseringen av vektorer i forhold til hverandre på planet og i rommet. De mest kjente spesialtilfellene av vektorrelasjoner er:

• kollinearitet;
• co-directionality;
• koplanaritet;
• likestilling.

Kollineære vektorer ligger på samme rette linje eller er parallelle med hverandre, koretningsvektorer har samme retning, koplanare vektorer ligger i samme plan eller i parallelle plan, like vektorer har samme retning og lengde.

En vektor er et rettet segment av en rett linje i det euklidiske rom, der den ene enden (punkt A) kalles begynnelsen av vektoren, og den andre enden (punkt B) kalles slutten av vektoren (fig. 1). . Vektorer er angitt:

Hvis begynnelsen og slutten av vektoren er den samme, kalles vektoren null vektor og betegnet 0 .

Eksempel. La begynnelsen av vektoren i todimensjonalt rom ha koordinater EN(12,6) , og enden av vektoren er koordinatene B(12.6). Da er vektoren en nullvektor.

Kutt lengde AB kalt modul (lengde, normen) vektor og er betegnet med | en|. En vektor med lengde lik én kalles enhetsvektor. I tillegg til modulen er en vektor karakterisert ved en retning: en vektor har en retning fra EN til B. En vektor kalles en vektor, motsatte vektor.

De to vektorene kalles collineær hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. I fig. 3 røde vektorer er kollineære siden de ligger på samme rette linje, og de blå vektorene er kollineære, fordi de ligger på parallelle linjer. To kollineære vektorer kalles like rettet hvis endene deres ligger på samme side av linjen som forbinder begynnelsen. To kollineære vektorer kalles motsatte retninger hvis endene deres ligger på motsatte sider av linjen som forbinder begynnelsen. Hvis to kollineære vektorer ligger på samme linje, kalles de likt rettet hvis en av strålene dannet av den ene vektoren fullstendig inneholder strålen dannet av den andre vektoren. Ellers kalles vektorene motsatt rettet. I figur 3 er de blå vektorene i samme retning og de røde vektorene er i motsatt retning.

De to vektorene kalles lik hvis de har like moduler og er like rettet. I fig.2 er vektorene like pga deres moduler er like og har samme retning.

Vektorene kalles koplanar hvis de ligger på samme plan eller i parallelle plan.

PÅ n I et dimensjonalt vektorrom, vurder settet av alle vektorer hvis startpunkt sammenfaller med opprinnelsen. Deretter kan vektoren skrives i følgende form:

(1)

hvor x 1, x 2, ..., x n vektorendepunktkoordinater x.

Vektoren skrevet på formen (1) kalles rad vektor, og vektoren skrevet som

(2)

kalt kolonnevektor.

Antall n kalt dimensjon (i rekkefølge) vektor. Hvis en så kalles vektoren null vektor(fordi startpunktet til vektoren ). To vektorer x og y er like hvis og bare hvis deres korresponderende elementer er like.