Faktisk, for å finne området til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid konstruksjon av en tegning, så mye mer aktuell problemstilling vil være din kunnskap og tegneferdigheter. I denne forbindelse er det nyttig å friske opp grafikken til hovedbildet elementære funksjoner, og i det minste være i stand til å bygge en rett linje og en hyperbel.

En krumlinjet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og en graf for en kontinuerlig funksjon på et segment som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre abscisse:

Deretter torget krumlinjet trapes er numerisk lik det bestemte integralet. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning.

Når det gjelder geometri bestemt integral- dette er AREA.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en figur. Tenk for eksempel på det bestemte integralet . Integranden definerer en kurve på planet som er plassert over aksen (de som ønsker det kan fullføre tegningen), og selve det bestemte integralet er numerisk lik areal tilsvarende krumlinjet trapes.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og avgjørende punkt løsninger - bygge en tegning. Dessuten må tegningen bygges IKKE SANT.

Når du bygger en blåkopi, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle linjer (hvis noen) og bare etter- paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Funksjonsgrafer er mer lønnsomme å bygge punktvis.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss lage en tegning (merk at ligningen definerer aksen):

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

Svar:

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. PÅ denne saken"Med øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi hadde for eksempel svaret: 20 kvadratiske enheter, da ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer, og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis den krumlinjede trapesen er lokalisert under akselen(i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

Merk følgende! Ikke forveksle de to typene oppgaver:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare en bestemt integral uten noen geometrisk sans, så kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn område flat figur, avgrenset av linjer , .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. La oss finne skjæringspunktene mellom parabelen og linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Så den nedre grensen for integrering er øvre grense integrasjon .

Det er best å ikke bruke denne metoden hvis mulig..

Det er mye mer lønnsomt og raskere å bygge linjene punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som "av seg selv". Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Og nå arbeidsformelen: Hvis det er en eller annen kontinuerlig funksjon på intervallet større enn eller lik noen kontinuerlig funksjon, da kan området til figuren avgrenset av grafene til disse funksjonene og rette linjene , , bli funnet av formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilket diagram som er OVER(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel ovenfra og en rett linje nedenfra.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Eksempel 4

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: La oss lage en tegning først:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt i blått.(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår ofte en "feil" at du må finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler.

Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en rett linjegraf;

2) På segmentet over aksen er en hyperbelgraf.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

I denne artikkelen vil du lære hvordan du finner arealet til en figur avgrenset av linjer ved hjelp av integralberegninger. For første gang møter vi formuleringen av et slikt problem på videregående, når studiet av visse integraler nettopp er fullført og det er på tide å starte den geometriske tolkningen av kunnskapen som er oppnådd i praksis.

Så hva kreves for vellykket løsning Problemer med å finne arealet til en figur ved å bruke integraler:

• Evne til å tegne tegninger riktig;
• Evne til å løse en bestemt integral ved hjelp av kjent formel Newton-Leibniz;
• Evnen til å «se» en mer lønnsom løsning – d.v.s. å forstå hvordan det i dette eller det tilfellet vil være mer praktisk å gjennomføre integrasjonen? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
• Vel, hvor uten riktige beregninger?) Dette inkluderer å forstå hvordan man løser den andre typen integraler og riktige numeriske beregninger.

Algoritme for å løse problemet med å beregne arealet til en figur avgrenset av linjer:

1. Vi bygger en tegning. Det anbefales å gjøre dette på et stykke papir i et bur, i stor skala. Vi signerer med en blyant over hver graf navnet på denne funksjonen. Signaturen til grafene gjøres utelukkende for å lette videre beregninger. Etter å ha mottatt grafen for ønsket figur, vil det i de fleste tilfeller være umiddelbart klart hvilke integrasjonsgrenser som skal brukes. Dermed løser vi problemet grafisk metode. Imidlertid hender det at verdiene til grensene er brøkdeler eller irrasjonelle. Derfor kan du gjøre ytterligere beregninger, gå til trinn to.

2. Hvis integrasjonsgrensene ikke er eksplisitt satt, finner vi skjæringspunktene for grafene med hverandre, og ser om våre grafisk løsning med analytisk.

3. Deretter må du analysere tegningen. Avhengig av hvordan funksjonsgrafene er plassert, finnes det ulike tilnærminger for å finne arealet til en figur. Ta i betraktning ulike eksempler for å finne arealet til en figur ved å bruke integraler.

3.1. Den mest klassiske og enkleste versjonen av problemet er når du trenger å finne området til en krumlinjet trapes. Hva er en krumlinjet trapes? Dette er en flat figur avgrenset av x-aksen (y=0), rett x = a, x = b og eventuell kurve kontinuerlig på intervallet fra en før b. Samtidig er denne figuren ikke-negativ og ligger ikke lavere enn x-aksen. I dette tilfellet er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik den bestemte integralen beregnet ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen:

Eksempel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hvilke linjer definerer figuren? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3, som er plassert over aksen ÅH, det er ikke-negativt, fordi alle punkter i denne parabelen har positive verdier. Neste, gitt rette linjer x = 1 og x = 3 som går parallelt med aksen OU, er avgrensningslinjene til figuren til venstre og høyre. Vi vil y = 0, hun er x-aksen, som begrenser figuren nedenfra. Den resulterende figuren er skyggelagt, som vist i figuren til venstre. I dette tilfellet kan du umiddelbart begynne å løse problemet. Foran oss er et enkelt eksempel på en krumlinjet trapes, som vi deretter løser ved å bruke Newton-Leibniz-formelen.

3.2. I forrige avsnitt 3.1 ble saken analysert når den krumlinjede trapesen er plassert over x-aksen. Tenk nå på tilfellet når betingelsene for problemet er de samme, bortsett fra at funksjonen ligger under x-aksen. Til standard formel Newton-Leibniz minus legges til. Hvordan løse et slikt problem, vil vi vurdere videre.

Eksempel 2 . Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

PÅ dette eksemplet vi har en parabel y=x2+6x+2, som stammer fra under aksen ÅH, rett x=-4, x=-1, y=0. Her y = 0 begrenser ønsket tall ovenfra. Direkte x = -4 og x = -1 dette er grensene som det bestemte integralet vil bli beregnet innenfor. Prinsippet for å løse problemet med å finne området til figuren sammenfaller nesten fullstendig med eksempel nummer 1. Den eneste forskjellen er at gitt funksjon er ikke positivt, og alt er også kontinuerlig på intervallet [-4; -1] . Hva betyr ikke positivt? Som det fremgår av figuren, har figuren som ligger innenfor gitt x utelukkende "negative" koordinater, som er det vi må se og huske når vi løser oppgaven. Vi ser etter området til figuren ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, bare med et minustegn i begynnelsen.

Artikkelen er ikke fullført.

La oss gå videre til søknader integralregning. I denne leksjonen skal vi analysere en typisk og vanligste oppgave. å beregne arealet til en flat figur ved å bruke en bestemt integral. Endelig alt på jakt etter mening i høyere matematikk- la dem finne ham. Du vet aldri. I det virkelige liv må du tilnærme en sommerhytte med elementære funksjoner og finne området ved hjelp av en viss integral.

For å lykkes med å mestre materialet, må du:

1) forstå ubestemt integral i hvert fall på et gjennomsnittlig nivå. Derfor bør dummies først lese leksjonen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Du kan etablere varme vennlige relasjoner med visse integraler på siden Sikker integral. Løsningseksempler. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid konstruksjon av en tegning, derfor vil dine kunnskaper og tegneferdigheter også være et presserende problem. Som et minimum må man kunne bygge en rett linje, en parabel og en hyperbel.

La oss starte med en krumlinjet trapes. En krumlinjet trapes er en flat figur avgrenset av grafen til en funksjon y = f(x), akse OKSE og linjer x = en; x = b.

Arealet til en krumlinjet trapes er numerisk lik en viss integral

Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. På leksjonen Sikker integral. Løsningseksempler vi sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en annen nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integralet OMRÅDET. Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en figur. Tenk på den bestemte integralen

Integrand

definerer en kurve på planet (den kan tegnes om ønskelig), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

Eksempel 1

, , , .

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Det viktigste punktet i avgjørelsen er konstruksjonen av en tegning. Dessuten må tegningen bygges IKKE SANT.

Når du bygger en blåkopi, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle linjer (hvis noen) og bare etter- paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Teknikken for punktvis konstruksjon finnes i referansemateriale Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Der kan du også finne stoff som er veldig nyttig i forhold til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.

La oss lage en tegning (merk at ligningen y= 0 spesifiserer aksen OKSE):

Vi vil ikke klekke ut den krumlinjede trapesen, det er åpenbart her hvilket område i spørsmålet. Løsningen fortsetter slik:

På intervallet [-2; 1] funksjonsgraf y = x 2 + 2 plassert over aksenOKSE, derfor:

Svar: .

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen

,

henvise til foredraget Sikker integral. Løsningseksempler. Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet, "etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel hadde svaret: 20 kvadratenheter, så ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer åpenbart ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Hva skal jeg gjøre hvis den krumlinjede trapesen er plassert under akselenOKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en krumlinjet trapes helt under akselen OKSE , da kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

.

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først må du lage en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. Finn skjæringspunktene til parabelen y = 2x – x 2 og rett y = -x. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Så den nedre grensen for integrering en= 0, øvre grense for integrasjon b= 3. Det er ofte mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som «av seg selv». Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Vi gjentar at i punktvis konstruksjon blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen:

Hvis på intervallet [ en; b] noen kontinuerlig funksjon f(x) større enn eller lik noen kontinuerlig funksjon g(x), så kan området til den tilsvarende figuren bli funnet med formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, men det spiller noen rolle hvilket diagram som er OVER(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor fra 2 x – x 2 må trekkes fra - x.

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel y = 2x – x 2 topp og rett y = -x nedenfra.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar: .

Faktisk er skoleformelen for arealet av en krumlinjet trapes i det nedre halvplanet (se eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler

.

Siden aksen OKSE er gitt av ligningen y= 0, og grafen til funksjonen g(x) er plassert under aksen OKSE, deretter

.

Og nå et par eksempler for en uavhengig løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet til en figur avgrenset av linjer

I løpet av å løse problemer for å beregne arealet ved hjelp av en viss integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen ble laget riktig, beregningene var riktige, men på grunn av uoppmerksomhet ... fant området til feil figur.

Eksempel 7

La oss tegne først:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt i blått.(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, bestemmer de ofte at de trenger å finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet [-1; 1] over akselen OKSE grafen er rett y = x+1;

2) På segmentet over aksen OKSE grafen til hyperbelen er lokalisert y = (2/x).

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

La oss presentere ligningene i "skole"-formen

og gjør strektegningen:

Det kan sees fra tegningen at vår øvre grense er "god": b = 1.

Men hva er den nedre grensen? Det er tydelig at dette ikke er et heltall, men hva?

Kan være, en=(-1/3)? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan det godt vise seg en=(-1/4). Hva om vi ikke fikk grafen riktig i det hele tatt?

I slike tilfeller må man bruke ekstra tid og finpusse grensene for integrasjon analytisk.

Finn skjæringspunktene til grafene

For å gjøre dette løser vi ligningen:

.

Følgelig en=(-1/3).

Den videre løsningen er triviell. Det viktigste er ikke å bli forvirret i erstatninger og tegn. Beregningene her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

i henhold til den tilsvarende formelen:

Som avslutning på leksjonen vil vi vurdere to oppgaver som er vanskeligere.

Eksempel 9

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: Tegn denne figuren på tegningen.

For punkt-for-punkt-tegning må du vite utseende sinusoider. Generelt er det nyttig å kjenne til grafene til alle elementære funksjoner, så vel som noen verdier av sinusen. De finner du i verditabellen trigonometriske funksjoner . I noen tilfeller (for eksempel i dette tilfellet) er det tillatt å konstruere en skjematisk tegning, der grafer og integrasjonsgrenser i prinsippet skal vises riktig.

Det er ingen problemer med integrasjonsgrensene her, de følger direkte av betingelsen:

- "x" endres fra null til "pi". Vi tar en ytterligere avgjørelse:

På segmentet, grafen til funksjonen y= synd 3 x plassert over aksen OKSE, derfor:

(1) Du kan se hvordan sinus og cosinus er integrert i odde potenser i leksjonen Integraler av trigonometriske funksjoner. Vi klyper av en sinus.

(2) Vi bruker den grunnleggende trigonometriske identiteten i skjemaet

(3) La oss endre variabelen t= cos x, deretter: plassert over aksen , så:

.

.

Merk: legg merke til hvordan integralet av tangenten i kuben tas, her konsekvensen av hoved trigonometrisk identitet

.

Oppgave nummer 3. Lag en tegning og beregn arealet av figuren avgrenset av linjer

Anvendelse av integralen til løsningen anvendte oppgaver

Arealberegning

Det bestemte integralet til en kontinuerlig ikke-negativ funksjon f(x) er numerisk lik området til en krumlinjet trapes avgrenset av kurven y \u003d f (x), O x-aksen og de rette linjene x \u003d a og x \u003d b. Følgelig er arealformelen skrevet som følger:

Tenk på noen eksempler på beregning av arealer til planfigurer.

Oppgave nummer 1. Beregn området avgrenset av linjene y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Løsning. La oss bygge en figur, arealet som vi må beregne.

y \u003d x 2 + 1 er en parabel hvis grener er rettet oppover, og parabelen er forskjøvet oppover med en enhet i forhold til O y-aksen (figur 1).

Figur 1. Graf over funksjonen y = x 2 + 1

Oppgave nummer 2. Beregn området avgrenset av linjene y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 i området fra 0 til 1.

Løsning. Grafen til denne funksjonen er parabelen til grenen, som er rettet oppover, og parablen er forskjøvet ned med én enhet i forhold til O y-aksen (Figur 2).

Figur 2. Graf over funksjonen y \u003d x 2 - 1

Oppgave nummer 3. Lag en tegning og beregn arealet av figuren avgrenset av linjer

y = 8 + 2x - x 2 og y = 2x - 4.

Løsning. Den første av disse to linjene er en parabel med grener som peker nedover, siden koeffisienten ved x 2 er negativ, og den andre linjen er en rett linje som krysser begge koordinataksene.

For å konstruere en parabel, la oss finne koordinatene til toppunktet: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – toppunkt abscisse; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 er ordinaten, N(1;9) er toppunktet.

Nå finner vi skjæringspunktene for parabelen og linjen ved å løse likningssystemet:

Sette likhetstegn mellom høyresidene av en ligning hvis venstre side er like.

Vi får 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 eller x 2 - 12 \u003d 0, hvorfra .

Så punktene er skjæringspunktene mellom parabelen og den rette linjen (figur 1).

Figur 3 Grafer over funksjonene y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4

La oss bygge en rett linje y = 2x - 4. Den går gjennom punktene (0;-4), (2; 0) på koordinataksene.

For å bygge en parabel kan du også ha dens skjæringspunkt med 0x-aksen, det vil si røttene til ligningen 8 + 2x - x 2 = 0 eller x 2 - 2x - 8 = 0. Ved Vieta-setningen er det lett å finne røttene: x 1 = 2, x 2 = fire.

Figur 3 viser en figur (parabolsk segment M 1 N M 2) avgrenset av disse linjene.

Den andre delen av problemet er å finne arealet til denne figuren. Området kan bli funnet ved å bruke en bestemt integral ved å bruke formelen .

Med hensyn til denne tilstanden får vi integralet:

2 Beregning av volumet til et omdreiningslegeme

Volumet av kroppen oppnådd fra rotasjonen av kurven y \u003d f (x) rundt O x-aksen beregnes ved hjelp av formelen:

Når du roterer rundt O y-aksen, ser formelen slik ut:

Oppgave nummer 4. Bestem volumet av kroppen oppnådd fra rotasjonen av en krumlinjet trapes avgrenset av rette linjer x \u003d 0 x \u003d 3 og en kurve y \u003d rundt O x-aksen.

Løsning. La oss bygge en tegning (Figur 4).

Figur 4. Graf over funksjonen y =

Ønsket volum er lik

Oppgave nummer 5. Beregn volumet av legemet oppnådd fra rotasjonen av en krumlinjet trapes avgrenset av en kurve y = x 2 og rette linjer y = 0 og y = 4 rundt aksen O y .

Løsning. Vi har:

Gjennomgå spørsmål

Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figur

Vi går nå over til vurderingen av anvendelser av integralregningen. I denne leksjonen skal vi analysere en typisk og vanligste oppgave. Hvordan bruke et bestemt integral for å beregne arealet til en plan figur. Til slutt, de som søker mening i høyere matematikk - må de finne den. Du vet aldri. I det virkelige liv må du tilnærme en sommerhytte med elementære funksjoner og finne området ved hjelp av en viss integral.

For å lykkes med å mestre materialet, må du:

1) Forstå det ubestemte integralet i det minste på et mellomnivå. Derfor bør dummies først lese leksjonen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Du kan etablere varme vennlige relasjoner med visse integraler på siden Sikker integral. Løsningseksempler.

Faktisk, for å finne området til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid konstruksjon av en tegning, så dine kunnskaper og tegneferdigheter vil være et mye mer relevant problem. I denne forbindelse er det nyttig å oppdatere minnet til grafene til de viktigste elementære funksjonene, og i det minste være i stand til å bygge en rett linje, en parabel og en hyperbel. Dette kan gjøres (mange trenger) ved hjelp av metodisk materiale og artikler om geometriske transformasjoner av grafer.

Egentlig er alle kjent med problemet med å finne området ved hjelp av en bestemt integral siden skolen, og vi vil gå litt i forkant av skolepensum. Denne artikkelen eksisterer kanskje ikke i det hele tatt, men faktum er at problemet oppstår i 99 tilfeller av 100, når en student plages av et forhatt tårn med entusiasme for å mestre et kurs i høyere matematikk.

Materialene til denne workshopen presenteres enkelt, detaljert og med et minimum av teori.

La oss starte med en krumlinjet trapes.

Krumlinjeformet trapes kalt en flat figur avgrenset av aksen , rette linjer og grafen til en funksjon kontinuerlig på et segment som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre abscisse:

Deretter arealet av en krumlinjet trapes er numerisk lik en viss integral. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. På leksjonen Sikker integral. Løsningseksempler Jeg sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si et annet nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integralet OMRÅDET.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en figur. Tenk for eksempel på det bestemte integralet . Integranden definerer en kurve på planet som er plassert over aksen (de som ønsker det kan fullføre tegningen), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Det første og viktigste øyeblikket i beslutningen er konstruksjonen av en tegning. Dessuten må tegningen bygges IKKE SANT.

Når du bygger en blåkopi, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle linjer (hvis noen) og bare etter- paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Funksjonsgrafer er mer lønnsomme å bygge punkt for punkt, med teknikken for punktvis konstruksjon finnes i referansematerialet Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Der kan du også finne stoff som er veldig nyttig i forhold til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss lage en tegning (merk at ligningen definerer aksen):

Jeg skal ikke klekke ut en krumlinjet trapes, det er åpenbart hvilket område vi snakker om her. Løsningen fortsetter slik:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

Svar:

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen , se foredraget Sikker integral. Løsningseksempler.

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet, "etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel hadde svaret: 20 kvadratenheter, så ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer åpenbart ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , og aksen

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen.

Hva skal jeg gjøre hvis den krumlinjede trapesen er plassert under akselen?

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis den krumlinjede trapesen er lokalisert under akselen(i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet med formelen:
I dette tilfellet:

Merk følgende! Ikke forveksle de to typene oppgaver:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en flat figur avgrenset av linjer, .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. La oss finne skjæringspunktene mellom parabelen og linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Derfor er den nedre grensen for integrasjon, den øvre grensen for integrasjon.
Det er best å ikke bruke denne metoden hvis mulig..

Det er mye mer lønnsomt og raskere å bygge linjene punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som "av seg selv". Punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken for ulike diagram er omtalt i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Jeg gjentar at med punktvis konstruksjon, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen: Hvis det er en eller annen kontinuerlig funksjon på intervallet større enn eller lik en eller annen kontinuerlig funksjon, så området til figuren avgrenset av grafene til disse funksjonene og rette linjene, kan finnes av formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilket diagram som er OVER(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel ovenfra og en rett linje nedenfra.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Faktisk er skoleformelen for arealet til en krumlinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) et spesialtilfelle av formelen . Siden aksen er gitt av ligningen , og grafen til funksjonen er plassert ikke høyereøkser altså

Og nå et par eksempler for en uavhengig løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet av figuren omsluttet av linjene, .

I løpet av å løse problemer for å beregne arealet ved hjelp av en viss integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen var riktig laget, beregningene var riktige, men på grunn av uoppmerksomhet ... fant området til feil figur, det var slik din lydige tjener skrudd sammen flere ganger. Her ekte tilfelle fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: La oss lage en tegning først:

…Eh, tegningen ble dritt, men alt ser ut til å være lesbart.

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt i blått.(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte en "feil", at du må finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en rett linjegraf;

2) På segmentet over aksen er en hyperbelgraf.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

La oss gå videre til en mer meningsfull oppgave.

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere likningene i en "skole"-form, og utføre en punkt-for-punkt-tegning:

Det kan sees av tegningen at vår øvre grense er "god": .
Men hva er den nedre grensen? Det er tydelig at dette ikke er et heltall, men hva? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan det godt vise seg. Eller rot. Hva om vi ikke fikk grafen riktig i det hele tatt?

I slike tilfeller må man bruke ekstra tid og finpusse grensene for integrasjon analytisk.

La oss finne skjæringspunktene mellom linjen og parablen.
For å gjøre dette løser vi ligningen:


,

Egentlig, .

Den videre løsningen er triviell, det viktigste er å ikke bli forvirret i erstatninger og tegn, beregningene her er ikke de enkleste.

På segmentet , i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Vel, i avslutningen av leksjonen vil vi vurdere to oppgaver som er vanskeligere.

Eksempel 9

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer , ,

Løsning: Tegn denne figuren på tegningen.

Faen, jeg glemte å signere timeplanen og gjøre om bildet, beklager, ikke hotz. Ikke en tegning, kort sagt, i dag er en dag =)

For punkt-for-punkt-konstruksjon er det nødvendig å kjenne utseendet til sinusoiden (og generelt er det nyttig å vite grafer for alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, kan de finnes i trigonometrisk tabell. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det tillatt å konstruere en skjematisk tegning, hvor grafer og integrasjonsgrenser skal vises i prinsippet riktig.

Det er ingen problemer med integrasjonsgrensene her, de følger direkte av betingelsen: - "x" endres fra null til "pi". Vi tar en ytterligere avgjørelse:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor: