Kinetisk energi under rotasjon. Kinetisk energi under rotasjonsbevegelse

Kinetisk energi er en additiv mengde. Derfor er den kinetiske energien til et legeme som beveger seg på en vilkårlig måte lik summen av de kinetiske energiene til alle n materielle poeng hvor denne kroppen kan deles inn mentalt:

Hvis kroppen roterer rundt en fast z-akse med vinkelhastighet, deretter den lineære hastigheten i-te punkt , Ri er avstanden til rotasjonsaksen. Derfor,

Sammenligner og det kan ses at treghetsmomentet til kroppen I er et mål på tregheten ved roterende bevegelse, akkurat som massen m er et mål på treghet i translasjonsbevegelse.

I generell sak bevegelsen til et stivt legeme kan representeres som summen av to bevegelser - translasjonell med en hastighet vc og rotasjon med en vinkelhastighet ω rundt den momentane aksen som går gjennom treghetssenteret. Deretter den totale kinetiske energien til denne kroppen

Her er Ic treghetsmomentet om den momentane rotasjonsaksen som går gjennom treghetssenteret.

Den grunnleggende loven om dynamikken til rotasjonsbevegelse.

Rotasjonsdynamikk

Den grunnleggende loven om dynamikken til rotasjonsbevegelse:

eller M=Je, hvor M er kraftmomentet M=[ r F ] , J - Treghetsmoment er momentum av kroppen.

hvis M(ekstern)=0 - loven om bevaring av vinkelmomentum. - kinetisk energi til et roterende legeme.

turnusarbeid.

Loven om bevaring av vinkelmomentum.

Vinkelmomentet (momentum) til materialet punkt A i forhold til fast punktÅ ringte fysisk mengde, bestemt av vektorproduktet:

hvor r er radiusvektoren trukket fra punkt O til punkt A, p=mv er momentumet til materialpunktet (fig. 1); L er en pseudovektor hvis retning er den samme som retningen bevegelse fremover høyre skrue under rotasjonen fra r til p.

Momentum vektor modul

der α er vinkelen mellom vektorene r og p, l er skulderen til vektoren p i forhold til punktet O.

Vinkelmomentet om den faste z-aksen kalles skalar Lz, lik projeksjonen på denne aksen til vinkelmomentvektoren, definert i forhold til vilkårlig poeng om denne aksen. Vinkelmomentet Lz er ikke avhengig av posisjonen til punktet O på z-aksen.

Når et absolutt stivt legeme roterer rundt en fast akse z, beveger hvert punkt på kroppen seg langs en sirkel med konstant radius ri med en hastighet vi. Hastigheten vi og momentum mivi er vinkelrett på denne radien, dvs. radiusen er armen til vektoren mivi. Så vi kan skrive at vinkelmomentet til en individuell partikkel er

og er rettet langs aksen i retningen bestemt av regelen for høyre skrue.

Momentumet til et stivt legeme i forhold til aksen er summen av momentumet til de individuelle partiklene:

Ved å bruke formelen vi = ωri får vi

Dermed er vinkelmomentet til et stivt legeme om en akse lik treghetsmomentet til legemet om samme akse, multiplisert med vinkelhastigheten. La oss differensiere ligning (2) med hensyn til tid:

Denne formelen er en annen form for ligningen av dynamikken til rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme om en fast akse: den deriverte av vinkelmomentet til et stivt legeme om en akse er lik kreftmomentet om samme akse.

Det kan vises at vektorlikheten holder

I et lukket system er momentet for ytre krefter M = 0 og hvorfra

Uttrykk (4) er loven om bevaring av vinkelmomentum: vinkelmomentet til et lukket system er bevart, dvs. endres ikke over tid.

Loven om bevaring av vinkelmomentum samt loven om bevaring av energi er en grunnleggende naturlov. Det er forbundet med symmetriegenskapen til rommet - dets isotropi, dvs. med invariansen fysiske lover angående valg av retningen til koordinataksene til referansesystemet (i forhold til rotasjonen av et lukket system i rommet med en hvilken som helst vinkel).

Her vil vi demonstrere loven om bevaring av vinkelmomentum ved å bruke Zhukovsky-benken. Mann som sitter på en benk og snurrer rundt vertikal akse, og holder manualer i utstrakte hender (fig. 2), roteres av en ekstern mekanisme med en vinkelhastighet ω1. Hvis en person presser manualene til kroppen, vil treghetsmomentet til systemet avta. Men momentet til ytre krefter er lik null, vinkelmomentet til systemet er bevart og vinkelhastigheten til rotasjonen ω2 øker. På samme måte trekker gymnasten, mens han hopper over hodet, armene og bena inntil kroppen for å redusere treghetsmomentet og dermed øke vinkelhastigheten.

Trykk i væske og gass.

Gassmolekyler, som utfører en kaotisk, kaotisk bevegelse, er ikke bundet eller snarere svakt bundet av interaksjonskrefter, som er grunnen til at de beveger seg nesten fritt og, som et resultat av kollisjoner, sprer seg i alle retninger, mens de fyller hele volumet som de får, dvs. volumet av gass bestemmes av volumbeholderen som er okkupert av gassen.

Og væsken, som har et visst volum, har form av karet den er innelukket i. Men i motsetning til gasser i væsker, forblir den gjennomsnittlige avstanden mellom molekylene konstant i gjennomsnitt, så væsken har et nesten konstant volum.

Egenskapene til væsker og gasser er svært forskjellige på mange måter, men på flere mekaniske fenomener deres egenskaper bestemmes av de samme parameterne og identiske ligninger. Av denne grunn er hydroaeromekanikk en gren av mekanikk som studerer likevekten og bevegelsen til gasser og væsker, samspillet mellom dem og mellom de faste legemene som strømmer rundt dem, dvs. anvendt enhetlig tilnærming til studiet av væsker og gasser.

I mekanikk betraktes væsker og gasser med høy grad av nøyaktighet som kontinuerlige, kontinuerlig fordelt i den delen av rommet som er okkupert av dem. I gasser avhenger tettheten betydelig av trykket. Etablert av erfaring. at komprimerbarheten til en væske og en gass ofte kan neglisjeres og det er tilrådelig å bruke et enkelt konsept - inkompressibiliteten til en væske - en væske med samme tetthet overalt, som ikke endres over tid.

La oss legge i en tynn plate i ro, som et resultat, deler av væsken som ligger langs forskjellige sider fra platen, vil virke på hvert av dets elementer ΔS med krefter ΔF, som vil være like store og rettet vinkelrett på stedet ΔS, uavhengig av orienteringen til stedet, ellers vil tilstedeværelsen av tangentielle krefter sette væskepartiklene i bevegelse (fig. 1)

Fysisk mengde bestemt normal kraft, som virker fra siden av væsken (eller gassen) per arealenhet, kalles trykket p / væske (eller gass): p=ΔF/ΔS.

Trykkenheten er pascal (Pa): 1 Pa er lik trykket som skapes av en kraft på 1 N, som er jevnt fordelt over en overflate på 1 m2 normal til den (1 Pa = 1 N/m2).

Trykk ved likevekt av væsker (gasser) følger Pascals lov: trykket på et hvilket som helst sted for en væske i hvile er det samme i alle retninger, og trykket overføres likt gjennom hele volumet som er okkupert av væsken i hvile.

La oss undersøke effekten av vekten av et fluid på fordelingen av trykk inne i et stasjonært inkompressibelt fluid. Når en væske er i likevekt, er trykket langs en hvilken som helst horisontal linje alltid det samme, ellers ville det ikke vært noen likevekt. Dette betyr at den frie overflaten til en væske i hvile alltid er horisontal (vi tar ikke hensyn til væskens tiltrekning av fartøyets vegger). Hvis en væske er inkompressibel, er væskens tetthet uavhengig av trykk. Så kl tverrsnitt S av væskekolonnen, dens høyde h og tetthet ρ vekt P=ρgSh, mens trykket på den nedre basen: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

dvs. trykket endres lineært med høyden. Trykket ρgh kalles hydrostatisk trykk.

I henhold til formel (1) vil trykkkraften på de nedre lagene av væsken være større enn på de øvre, derfor virker en kraft bestemt av Arkimedes lov på et legeme nedsenket i en væske (gass): oppoverflytende kraft lik vekten av væsken (gassen) som fortrenges av kroppen: FA = ρgV, der ρ er tettheten til væsken, V er volumet av kroppen nedsenket i væsken.

1. Tenk på rotasjonen av kroppen rundt ubevegelig akse Z. La oss dele hele kroppen i et sett med elementære masser m Jeg. Linjehastighet elementær masse m Jeg– v i = w R Jeg, hvor R Jeg– masseavstand m Jeg fra rotasjonsaksen. Derfor den kinetiske energien Jeg-th elementær masse vil være lik . Kroppens totale kinetiske energi: , her er treghetsmomentet til kroppen om rotasjonsaksen.

Dermed er den kinetiske energien til et legeme som roterer om en fast akse:

2. La kroppen nå dreier seg om en eller annen akse, og aksen beveger seg gradvis, forblir parallell med seg selv.

FOR EKSEMPEL: En kule som ruller uten å skli gjør en rotasjonsbevegelse, og dens tyngdepunkt, som rotasjonsaksen passerer (punkt "O") beveger seg fremover (fig. 4.17).

Hastighet Jeg-den elementære massen av kroppen er lik , hvor er hastigheten til et punkt "O" av kroppen; – radiusvektor som bestemmer posisjonen til elementærmassen i forhold til punktet "O".

Den kinetiske energien til en elementær masse er lik:

MERK: vektorproduktet faller sammen i retning med vektoren og har en modul lik (fig. 4.18).

Med tanke på denne bemerkningen kan vi skrive det , hvor er avstanden til massen fra rotasjonsaksen. I andre ledd gjør vi en syklisk permutasjon av faktorene, hvoretter vi får

For å få den totale kinetiske energien til kroppen summerer vi dette uttrykket over alle elementære masser, og tar de konstante faktorene ut av sumtegnet. Få

Summen av elementære masser er massen til kroppen "m". Uttrykket er lik produktet av kroppsmassen og radiusvektoren til kroppens treghetssenter (per definisjon av treghetssenteret). Til slutt, - treghetsmomentet til kroppen rundt aksen som går gjennom punktet "O". Derfor kan man skrive

Hvis vi tar treghetssenteret til kroppen "C" som punktet "O", vil radiusvektoren være lik null og det andre leddet forsvinner. Deretter, som betegner gjennom - hastigheten til treghetssenteret, og gjennom - treghetsmomentet til kroppen i forhold til aksen som går gjennom punktet "C", får vi:

(4.6)

Dermed er den kinetiske energien til et legeme i en planbevegelse sammensatt av energien til translasjonsbevegelse med en hastighet, lik hastighet treghetssenteret, og rotasjonsenergien om en akse som går gjennom treghetssenteret til kroppen.

Arbeidet med ytre krefter under rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme.

Finn arbeidet som gjøres av kreftene når kroppen roterer rundt den faste Z-aksen.

La en indre kraft og en ytre kraft virke på massen (den resulterende kraften ligger i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen) (Fig. 4.19). Disse kreftene gjør i tide dt jobb:

Etter å ha utført en syklisk permutasjon av faktorer i blandede produkter av vektorer, finner vi:

hvor , - henholdsvis momentene til de indre og ytre kreftene i forhold til punktet "O".

Oppsummering over alle elementære masser, får vi det elementære arbeidet gjort på kroppen i løpet av tiden dt:

Summen av momentene til indre krefter er lik null. Deretter, som betegner det totale øyeblikket av ytre krefter gjennom , kommer vi til uttrykket:

Det er kjent at skalært produkt to vektorer kalles en skalar, lik produktet modulen til en av de multipliserte vektorene ved projeksjonen av den andre i retningen til den første, tar i betraktning at , (retningene til Z-aksen og sammenfaller), får vi

men w dt=d j, dvs. vinkelen kroppen roterer gjennom i tid dt. Derfor

Tegnet på verket avhenger av tegnet til M z , dvs. fra tegnet for projeksjonen av vektoren til retningen til vektoren.

Så når kroppen roterer indre krefter det gjøres ikke noe arbeid, og ytre krefters arbeid bestemmes av formelen .

Arbeide for sluttintervall tid finnes ved å integrere

Hvis projeksjonen av det resulterende øyeblikket av ytre krefter på retningen forblir konstant, kan det tas ut av integrertegnet:

, dvs. .

De. arbeidet til en ekstern kraft under rotasjonsbevegelsen til et legeme er lik produktet av projeksjonen av øyeblikket til den ytre kraften og rotasjonsretningen og -vinkelen.

På den annen side går arbeidet til den ytre kraften som virker på kroppen til økningen av den kinetiske energien til kroppen (eller er lik endringen i den kinetiske energien til det roterende legemet). La oss vise det:

;

Derfor,

. (4.7)

På egen hånd:

Elastiske krefter;

Hookes lov.

FOREDRAG 7

Hydrodynamikk

Strømledninger og rør.

Hydrodynamikk studerer bevegelsen til væsker, men dens lover gjelder også for bevegelsen til gasser. I en stasjonær væskestrøm er hastigheten til partiklene ved hvert punkt i rommet en mengde uavhengig av tid og en funksjon av koordinatene. I en stasjonær strømning danner banene til væskepartikler en strømlinje. Settet med strømlinjer danner et strømrør (fig. 5.1). Vi antar at væsken er inkompressibel, så volumet av væske som strømmer gjennom seksjonene S 1 og S 2 vil være det samme. På et sekund, et volum av væske lik

, (5.1)

hvor og er væskehastigheter i tverrsnitt S 1 og S 2 , og vektorene og er definert som og , hvor og er normalene til seksjonene S 1 og S 2. Ligning (5.1) kalles jetkontinuitetsligningen. Det følger av dette at fluidhastigheten er omvendt proporsjonal med tverrsnittet til strømrøret.

Bernoulli-ligningen.

Vi vil vurdere en ideell inkompressibel væske der det ikke er noen indre friksjon (viskositet). La oss skille ut et tynt strømrør i en stasjonær flytende væske (fig. 5.2) med tverrsnitt S1 Og S2 vinkelrett på strømlinjene. i seksjon 1 på kort tid t partikler beveger seg et stykke l 1, og i delen 2 - på avstand l 2. Gjennom begge seksjoner i tid t like små volumer væske vil passere V= V 1 = V 2 og bære mye væske m=rV, Hvor r er tettheten til væsken. Generell endring mekanisk energi av all væske i strømningsrøret mellom seksjonene S1 Og S2, som skjedde i løpet av tiden t, kan erstattes av endringen i volumenergi V, som skjedde da den flyttet fra seksjon 1 til seksjon 2. Med en slik bevegelse, den kinetiske og potensiell energi dette volumet, og den totale endringen i energien

, (5.2)

hvor v 1 og v 2 - hastigheten til væskepartikler i seksjoner S1 Og S2 henholdsvis; g- akselerasjon gravitasjon; h1 Og h2- høyder på midten av seksjonene.

I ideell væske det er ingen friksjonstap, så energien øker DE må være lik arbeidet utført av trykkkreftene på det tildelte volumet. I fravær av friksjonskrefter fungerer dette:

Ved å likestille høyresiden av likhetene (5.2) og (5.3) og overføre begrepene med de samme indeksene til en del av likheten, får vi

. (5.4)

Rørseksjoner S1 Og S2 ble tatt vilkårlig, så det kan hevdes at uttrykket er gyldig i hvilken som helst del av det gjeldende røret

. (5.5)

Ligning (5.5) kalles Bernoulli-ligningen. For en horisontal strømlinje h = konst, og likhet (5.4) tar formen

r /2 + p 1 = r /2 + s2 , (5.6)

de. trykket er mindre på de punktene hvor hastigheten er større.

Krefter av indre friksjon.

Viskositet er iboende i en ekte væske, som manifesterer seg i det faktum at enhver bevegelse av væske og gass stopper spontant i fravær av årsakene som forårsaket det. La oss vurdere et eksperiment der et væskelag er plassert over en fast overflate, og en plate som flyter på den med en overflate beveger seg ovenfra med en hastighet S(Fig. 5.3). Erfaring viser at å flytte platen med konstant hastighet det er nødvendig å handle på det med kraft. Siden platen ikke mottar akselerasjon, betyr det at virkningen av denne kraften balanseres av en annen kraft som er lik den i størrelse og motsatt rettet, som er friksjonskraften . Newton viste at friksjonskraften

, (5.7)

Hvor d- tykkelse på væskelaget, h - viskositetskoeffisient eller friksjonskoeffisient for væsken, minustegnet tar hensyn til de forskjellige retningene til vektorene F tr Og v o. Hvis vi undersøker hastigheten til væskepartikler på forskjellige steder i laget, viser det seg at den endres i henhold til en lineær lov (fig. 5.3):

v(z) = (vo/d) z.

Å differensiere denne likheten, får vi dv/dz= v 0 /d. Med dette i tankene

formel (5.7) har formen

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Hvor h- dynamisk viskositetskoeffisient. Verdi dv/dz kalt hastighetsgradienten. Den viser hvor raskt hastigheten endres i aksens retning z. På dv/dz= konstant hastighetsgradient er numerisk lik hastighetsendring v når det endres z per enhet. Vi setter numerisk i formel (5.8) dv/dz =-1 og S= 1, får vi h = F. dette innebærer fysisk betydning h: viskositetskoeffisienten er numerisk lik kraften som virker på et væskelag med enhetsareal med en hastighetsgradient, lik en. SI-enheten for viskositet kalles pascal-sekundet (betegnet Pa s). I CGS-systemet er viskositetsenheten 1 poise (P), med 1 Pa s = 10P.

Mekanikk.

Spørsmål 1

Referansesystem. Treghetsreferansesystemer. Galileo-Einsteins relativitetsprinsipp.

referansesystem- dette er et sett med kropper som bevegelsen til en gitt kropp og koordinatsystemet knyttet til den er beskrevet i forhold til.

Treghetsreferansesystem (ISO)- et system der en fritt bevegelig kropp er i ro eller jevn rettlinjet bevegelse.

Galileo-Einsteins relativitetsprinsipp– Alle naturfenomener i enhver treghetsreferanse oppstår på samme måte og har det samme matematisk form. Med andre ord er alle ISO-er like.

Spørsmål #2

Bevegelsesligningen. Typer bevegelse solid kropp. Kinematikkens hovedoppgave.

Bevegelsesligninger for et materiell punkt:

- kinematisk bevegelsesligning

Typer bevegelse av en stiv kropp:

1) Translasjonsbevegelse - enhver rett linje tegnet i kroppen beveger seg parallelt med seg selv.

2) Rotasjonsbevegelse - ethvert punkt på kroppen beveger seg i en sirkel.

φ = φ(t)

Kinematikkens hovedoppgave- dette er å få tidsavhengighetene til hastigheten V= V(t) og koordinatene (eller radiusvektoren) r = r(t) til et materialpunkt fra den kjente tidsavhengigheten til dets akselerasjon a = a(t) og det kjente Innledende forhold V 0 og r 0 .

Spørsmål #7

Puls (Antall bevegelser) - vektorfysisk mengde som karakteriserer tiltaket mekanisk bevegelse kropp. I klassisk mekanikk, momentumet til en kropp er lik produktet masser m dette peker på hastigheten v, retningen til momentumet faller sammen med retningen til hastighetsvektoren:

I teoretisk mekanikk generalisert momentum er den partielle deriverte av Lagrangian av systemet med hensyn til den generaliserte hastigheten

Hvis Lagrangian av systemet ikke er avhengig av noen generalisert koordinat, da pga Lagrange-ligninger .

For en fri partikkel har Lagrange-funksjonen formen: , derav:

Lagrangianerens uavhengighet til et lukket system fra sin plassering i rommet følger av eiendommen homogenitet i rommet: for et godt isolert system avhenger ikke dets oppførsel av hvor i verdensrommet vi plasserer det. Av Noethers teorem denne homogeniteten innebærer bevaring av en fysisk mengde. Denne mengden kalles impulsen (vanlig, ikke generalisert).

I klassisk mekanikk, komplett momentum system av materialpunkter kalles en vektormengde lik summen av produktene av massene av materialpunkter ved deres hastighet:

følgelig kalles mengden momentumet til ett materialpunkt. Det er en vektormengde rettet i samme retning som partikkelens hastighet. Enheten for momentum i internasjonalt system enheter (SI) er kilo meter per sekund(kg m/s)

Hvis vi har å gjøre med en kropp av begrenset størrelse, for å bestemme dens momentum, er det nødvendig å bryte kroppen i små deler, som kan betraktes som materielle punkter og summere over dem, som et resultat får vi:

Momentumet til et system som ikke påvirkes av noen ytre krefter (eller de blir kompensert), bevart i tide:

Bevaringen av momentum i dette tilfellet følger av Newtons andre og tredje lov: å ha skrevet Newtons andre lov for hvert av de materielle punktene som utgjør systemet og summert det over alle de materielle punktene som utgjør systemet, i kraft av Newtons tredje. lov får vi likheten (*).

I relativistisk mekanikk det tredimensjonale momentumet til et system av ikke-samvirkende materielle punkter er mengden

Hvor m jeg- vekt Jeg-th materielle punkt.

For et lukket system av ikke-samvirkende materialpunkter, er denne verdien bevart. Det tredimensjonale momentumet er imidlertid ikke en relativistisk invariant størrelse, siden den avhenger av referanserammen. En mer meningsfull verdi vil være et firedimensjonalt momentum, som for ett materialpunkt er definert som

I praksis brukes ofte følgende forhold mellom massen, momentumet og energien til en partikkel:

I prinsippet, for et system med ikke-samvirkende materielle punkter, summeres deres 4-momenta. For samvirkende partikler i relativistisk mekanikk bør man imidlertid ta hensyn til momenta ikke bare til partiklene som utgjør systemet, men også momentumet til interaksjonsfeltet mellom dem. Derfor er en mye mer meningsfull størrelse i relativistisk mekanikk energimoment-tensoren, som fullt ut tilfredsstiller bevaringslovene.

Spørsmål #8

Treghetsmoment- en skalar fysisk størrelse, et mål på tregheten til et legeme i rotasjonsbevegelse rundt en akse, akkurat som massen til et legeme er et mål på dets treghet i translasjonsbevegelse. Det er preget av fordelingen av masser i kroppen: treghetsmomentet er lik summen produkter av elementære masser i kvadratet av deres avstander til grunnsettet

Aksielt treghetsmoment

Aksiale treghetsmomenter for noen kropper.

Treghetsmomentet til et mekanisk system i forhold til en fast akse ("aksialt treghetsmoment") kalles verdien J a lik summen av produktene av massene av alle n materialpunkter i systemet i kvadratene av deres avstander til aksen:

m jeg- vekt Jeg-te punkt,
r jeg- avstand fra Jeg-te punkt til aksen.

Aksial treghetsmoment kropp J a er et mål på tregheten til et legeme i rotasjonsbevegelse rundt en akse, akkurat som massen til et legeme er et mål på dets treghet i translasjonsbevegelse.

dm = ρ dV- masse av et lite volum element i kroppen dV,
ρ - tetthet,
r- avstand fra element dV til akse a.

Hvis kroppen er homogen, det vil si at dens tetthet er den samme overalt, da

Formelavledning

dm og treghetsmomenter DJ i. Deretter

Tynnvegget sylinder (ring, bøyle)

Formelavledning

Treghetsmomentet til et legeme er lik summen av treghetsmomentene til dets bestanddeler. Å dele en tynnvegget sylinder i elementer med en masse dm og treghetsmomenter DJ i. Deretter

Siden alle elementene i en tynnvegget sylinder er i samme avstand fra rotasjonsaksen, konverteres formel (1) til formen

Steiners teorem

Treghetsmoment av et stivt legeme i forhold til en hvilken som helst akse avhenger ikke bare av kroppens masse, form og dimensjoner, men også av posisjonen til legemet i forhold til denne aksen. I følge Steiner-teoremet (Huygens-Steiner-teoremet), treghetsmoment kropp J i forhold til en vilkårlig akse er lik summen treghetsmoment denne kroppen Jc i forhold til aksen som går gjennom kroppens massesenter parallelt med den betraktede aksen, og produktet av kroppsmassen m per kvadratavstand d mellom aksler:

Hvis er treghetsmomentet til legemet om en akse som går gjennom legemets massesenter, så er treghetsmomentet om en parallell akse plassert i avstand fra det lik

hvor er kroppens totale masse.

For eksempel er treghetsmomentet til en stang rundt en akse som går gjennom enden:

Rotasjonsenergi

Kinetisk energi av rotasjonsbevegelse- energien til kroppen knyttet til dens rotasjon.

Hoved kinematiske egenskaper rotasjonsbevegelse av kroppen - dens vinkelhastighet (ω) og vinkelakselerasjon. De viktigste dynamiske egenskapene til rotasjonsbevegelse er vinkelmomentet rundt rotasjonsaksen z:

Kz = Izω

og kinetisk energi

hvor I z er treghetsmomentet til kroppen om rotasjonsaksen.

Et lignende eksempel kan finnes når man vurderer et roterende molekyl med hovedtreghetsakser jeg 1, jeg 2 Og jeg 3. Rotasjonsenergien til et slikt molekyl er gitt av uttrykket

Hvor ω 1, ω 2, Og ω 3 er hovedkomponentene i vinkelhastigheten.

I det generelle tilfellet er energien under rotasjon med vinkelhastighet funnet av formelen:

, Hvor Jeg er treghetstensoren.

Spørsmål #9

øyeblikk av impuls (vinkelmomentum, vinkelmomentum, orbital moment, vinkelmomentum) karakteriserer mengden av rotasjonsbevegelse. En mengde som avhenger av hvor mye masse som roterer, hvordan den er fordelt om rotasjonsaksen, og hvor raskt rotasjonen skjer.

Det skal bemerkes at rotasjon her forstås mht vid forstand, ikke bare som en vanlig rotasjon rundt en akse. For eksempel selv når rettlinjet bevegelse kroppen forbi et vilkårlig tenkt punkt som ikke ligger på bevegelseslinjen, den har også et vinkelmomentum. Kanskje den største rollen spilles av vinkelmomentet i å beskrive den faktiske rotasjonsbevegelsen. Imidlertid er det ekstremt viktig for en mye bredere klasse av problemer (spesielt hvis problemet har sentral eller aksial symmetri, men ikke bare i disse tilfellene).

Lov om bevaring av momentum(lov om bevaring av vinkelmomentum) - vektorsummen av alle vinkelmomenta om enhver akse for et lukket system forblir konstant i tilfelle av likevekt i systemet. I samsvar med dette er vinkelmomentet til et lukket system med hensyn til en hvilken som helst ikke-tidsderivert av vinkelmomentet kraftmomentet:

Dermed kan kravet om systemlukking svekkes til kravet om at hovedmomentet (totalt) av ytre krefter er lik null:

hvor er øyeblikket til en av kreftene som påføres partikkelsystemet. (Men selvfølgelig, hvis det ikke er noen ytre krefter i det hele tatt, er dette kravet også oppfylt).

Matematisk følger loven om bevaring av vinkelmomentum fra rommets isotropi, det vil si fra rommets invarians med hensyn til rotasjon gjennom en vilkårlig vinkel. Når du roterer gjennom en vilkårlig uendelig vinkel, vil radiusvektoren til partikkelen med tallet endres med , og hastighetene - . Lagrange-funksjonen til systemet vil ikke endre seg under en slik rotasjon, på grunn av isotropien i rommet. Derfor

De viktigste dynamiske egenskapene til rotasjonsbevegelse er vinkelmomentet rundt rotasjonsaksen z:

og kinetisk energi

I det generelle tilfellet er energien under rotasjon med vinkelhastighet funnet av formelen:

, hvor er treghetstensoren .

I termodynamikk

Med nøyaktig samme resonnement som i tilfellet med translasjonsbevegelse, innebærer ekvipartisjon at ved termisk likevekt er den gjennomsnittlige rotasjonsenergien til hver partikkel av en monoatomisk gass: (3/2)k B T. På samme måte lar ekvipartisjonsteoremet en beregne rot-middel-kvadrat-vinkelhastigheten til molekyler.

se også

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "Energy of rotational motion" er i andre ordbøker:

Dette begrepet har andre betydninger, se Energi (betydninger). Energi, dimensjon ... Wikipedia

BEVEGELSER- BEVEGELSER. Innhold: Geometri D...................452 Kinematikk D...................456 Dynamikk D. ...................461 Motoriske mekanismer ...........................465 Metoder for å studere D. av en person ..........471 Patologi D. av en person ............. 474 ... ... Big Medical Encyclopedia

Kinetisk energi er energien til et mekanisk system, som avhenger av bevegelseshastigheten til punktene. Alloker ofte den kinetiske energien til translasjons- og rotasjonsbevegelse. Mer strengt er kinetisk energi forskjellen mellom den totale ... ... Wikipedia

Termisk bevegelse av α-peptidet. Den komplekse skjelvende bevegelsen til atomene som utgjør peptidet er tilfeldig, og energien til et individuelt atom svinger over et bredt spekter, men ved å bruke ekvipartisjonsloven beregnes den gjennomsnittlige kinetiske energien til hver ... ... Wikipedia

- (fransk marées, tysk Gezeiten, engelsk tidevann) periodiske svingninger vannstand på grunn av tiltrekningen av månen og solen. Generell informasjon. P. er mest merkbar langs kysten av havene. Umiddelbart etter lavvannet til det største lavvannet begynner havnivået å ... ... encyklopedisk ordbok F. Brockhaus og I.A. Efron

Kjølekar Ivory Tirupati initial stabilitet er negativ Stabilitetsevne ... Wikipedia

Kjølefartøy Ivory Tirupati initial stabilitet er negativ Stabilitet evnen til et flytende fartøy til å motstå eksterne krefter, som får den til å rulle eller trimme og gå tilbake til en likevektstilstand på slutten av den forstyrrende ... ... Wikipedia

Den kinetiske energien til et roterende legeme er lik summen av de kinetiske energiene til alle partikler i kroppen:

Massen til enhver partikkel, dens lineære (omkrets) hastighet, proporsjonal med avstanden til denne partikkelen fra rotasjonsaksen. Ved å sette inn i dette uttrykket og ta vinkelhastigheten o felles for alle partikler ut av fortegnet på summen, finner vi:

Denne formelen for den kinetiske energien til et roterende legeme kan reduseres til en form som ligner på uttrykket for den kinetiske energien til translasjonsbevegelse hvis vi introduserer verdien av det såkalte treghetsmomentet til kroppen. Treghetsmomentet til et materialpunkt er produktet av punktets masse og kvadratet på dets avstand fra rotasjonsaksen. Kroppens treghetsmoment er summen av treghetsmomentene til alle materielle punkter i kroppen:

Så den kinetiske energien til et roterende legeme bestemmes av følgende formel:

Formel (2) skiller seg fra formelen som bestemmer den kinetiske energien til et legeme i translasjonsbevegelse ved at i stedet for kroppsmassen kommer treghetsmomentet I inn her og i stedet for hastigheten, gruppehastigheten

Den store kinetiske energien til et roterende svinghjul brukes i teknologi for å opprettholde ensartetheten til maskinen under en plutselig skiftende belastning. Til å begynne med, for å bringe svinghjulet med et stort treghetsmoment i rotasjon, krever maskinen en betydelig mengde arbeid, men når en stor last plutselig slås på, stopper ikke maskinen og fungerer på grunn av svinghjulets kinetiske energireserve .

Spesielt massive svinghjul brukes i valseverk drevet av en elektrisk motor. Her er en beskrivelse av et av disse hjulene: «Hjulet har en diameter på 3,5 m og veier Ved normal hastighet på 600 rpm er hjulets kinetiske energi slik at hjulet ved valsing gir møllen en kraft på 20.000 liter. Med. Friksjonen i lagrene holdes på et minimum av et eventyr under trykk, og for å unngå den skadelige effekten av sentrifugale treghetskrefter, balanseres hjulet slik at belastningen på hjulets omkrets bringer det ut av hvile.

Vi presenterer (uten å utføre beregninger) verdiene av treghetsmomentene til noen kropper (det antas at hver av disse legemene har samme tetthet i alle seksjoner).

Treghetsmomentet til en tynn ring rundt en akse som går gjennom midten og vinkelrett på planet (fig. 55):

Treghetsmomentet til en rund skive (eller sylinder) om en akse som går gjennom dens sentrum og vinkelrett på planet (det polare treghetsmomentet til skiven; fig. 56):

Treghetsmomentet til en tynn rund skive om en akse som sammenfaller med dens diameter (treghetsmomentet til skiven; fig. 57):

Treghetsmomentet til ballen rundt aksen som går gjennom midten av ballen:

Treghetsmoment for et tynt sfærisk lag med radius om en akse som går gjennom sentrum:

Treghetsmomentet til et tykt sfærisk lag (en hul kule med en ytre overflateradius og en hulromsradius) rundt en akse som går gjennom midten:

Beregningen av treghetsmomentene til legemer utføres ved hjelp av integralregning. For å gi en ide om forløpet til slike beregninger, finner vi treghetsmomentet til stangen i forhold til aksen vinkelrett på den (fig. 58). La det være en del av stangen, tetthet. Vi skiller ut en elementær liten del av stangen, som har en lengde og ligger i en avstand x fra rotasjonsaksen. Deretter dens masse Siden den er i en avstand x fra rotasjonsaksen, så dens treghetsmoment Vi integrerer fra null til I:

Treghetsmoment kuboid om symmetriaksen (fig. 59)

Treghetsmoment for den ringformede torus (fig. 60)

La oss vurdere hvordan rotasjonsenergien til et legeme som ruller (uten å gli) langs planet er forbundet med energien til translasjonsbevegelsen til denne kroppen,

Energien til translasjonsbevegelsen til et rullende legeme er , hvor er kroppens masse og hastigheten til translasjonsbevegelsen. La betegne vinkelhastigheten til rotasjonshastigheten til det rullende legemet og kroppens radius. Det er lett å forstå at hastigheten på translasjonsbevegelsen til et legeme som ruller uten å skli, er lik omkretshastigheten til kroppen ved kontaktpunktene til kroppen med planet (i tiden da kroppen gjør en omdreining, kroppens tyngdepunkt beveger seg et stykke, derfor,

Dermed,

Rotasjonsenergi

derfor,

Ved å erstatte verdiene ovenfor for treghetsmomentene her, finner vi at:

a) energien til rotasjonsbevegelsen til rulleringen er lik energien til dens translasjonsbevegelse;

b) rotasjonsenergien til en rullende homogen skive er lik halvparten av energien til translasjonsbevegelse;

c) rotasjonsenergien til en rullende homogen ball er energien til translasjonsbevegelse.

Treghetsmomentets avhengighet av posisjonen til rotasjonsaksen. La stangen (fig. 61) med tyngdepunktet i punktet C rotere med en vinkelhastighet (o rundt aksen O, vinkelrett på tegningens plan. Anta at den over en viss tidsperiode beveget seg fra posisjon A B til og tyngdepunktet beskrev en bue. Denne bevegelsesstaven kan betraktes som om staven først translasjonsmessig (det vil si forbli parallelt med seg selv) flyttet til posisjon og deretter rotert rundt C til posisjon La oss betegne (avstanden til sentrum av tyngdekraften fra rotasjonsaksen) med a, og vinkelen med Når stangen beveger seg fra posisjon og i posisjon, er forskyvningen av hver av partiklene den samme som forskyvningen av tyngdepunktet, dvs. den er lik eller Til få den faktiske bevegelsen til stangen, kan vi anta at begge disse bevegelsene utføres samtidig.om aksen som går gjennom O kan dekomponeres i to deler.