Klassisk definisjon av sannsynlighetsteori. Klassisk sannsynlighet og dens egenskaper

Sannsynligheten for en hendelse forstås å være noen numerisk karakteristikk muligheten for at denne hendelsen inntreffer. Det er flere tilnærminger til å bestemme sannsynlighet.

Sannsynlighet for hendelsen EN kalles forholdet mellom antall utfall som er gunstige for denne hendelsen totalt antall alle like mulig uforenlige elementære resultater, danner en komplett gruppe. Så, sannsynligheten for hendelsen EN bestemmes av formelen

Hvor m– antall elementære utfall gunstige EN, n– antall mulige elementære testresultater.

Eksempel 3.1. I kasteeksperimentet terning antall av alle utfall n er lik 6 og de er alle like mulige. La arrangementet EN betyr utseendet til et partall. Så for denne hendelsen vil gunstige utfall være utseendet til tallene 2, 4, 6. Tallet deres er 3. Derfor er sannsynligheten for hendelsen EN lik

Eksempel 3.2. Hva er sannsynligheten for at et tosifret tall valgt tilfeldig har de samme sifrene?

Tosifrede tall er tall fra 10 til 99, det er totalt 90 slike tall Identiske tall har 9 tall (disse er tallene 11, 22, ..., 99). Siden i i dette tilfellet m=9, n=90, da

Hvor EN– hendelse, "et tall med de samme sifrene."

Eksempel 3.3. I en batch på 10 deler er 7 standard. Finn sannsynligheten for at blant seks deler tatt tilfeldig, er 4 standard.

Det totale antallet mulige elementære testresultater er lik antall måter 6 deler kan trekkes ut på fra 10, dvs. antall kombinasjoner av 10 elementer med 6 elementer hver. La oss bestemme antall utfall som er gunstige for hendelsen av interesse for oss EN(blant de seks delene er det 4 standard). Fire standarddeler kan tas fra syv standarddeler på forskjellige måter; samtidig må de resterende 6-4=2 delene være ikke-standard, men du kan ta to ikke-standarddeler fra 10-7=3 ikke-standarddeler på forskjellige måter. Derfor er antallet gunstige utfall lik .

Da er den nødvendige sannsynligheten lik

Følgende egenskaper følger av definisjonen av sannsynlighet:

1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

Faktisk, hvis hendelsen er pålitelig, favoriserer hvert elementært resultat av testen hendelsen. I dette tilfellet er derfor m=n

2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Faktisk, hvis en hendelse er umulig, favoriserer ingen av de elementære resultatene av testen hendelsen. I dette tilfellet betyr det

3. Sannsynlighet tilfeldig hendelse Det er det positivt tall, innelukket mellom null og én.

Faktisk er det bare en del av det totale antallet elementære utfall av testen som favoriseres av en tilfeldig hendelse. I dette tilfellet< m< n, betyr 0 < m/n < 1, dvs. 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruksjonen av en logisk fullstendig sannsynlighetsteori er basert på den aksiomatiske definisjonen av en tilfeldig hendelse og dens sannsynlighet. I systemet med aksiomer foreslått av A. N. Kolmogorov, er de udefinerte konseptene en elementær hendelse og sannsynlighet. Her er aksiomene som definerer sannsynlighet:

1. Hvert arrangement EN matchet ikke-negativ reelt tall P(A). Dette tallet kalles sannsynligheten for hendelsen EN.

2. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

3. Sannsynligheten for at minst én av de parvise inkompatible hendelsene skal inntreffe er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Basert på disse aksiomene er egenskapene til sannsynligheter og avhengighetene mellom dem utledet som teoremer.

Selvtest spørsmål

1. Hva er navnet på den numeriske egenskapen til muligheten for at en hendelse skal inntreffe?

2. Hva er sannsynligheten for en hendelse?

3. Hva er sannsynligheten for en pålitelig hendelse?

4. Hva er sannsynligheten for en umulig hendelse?

5. Hva er grensene for sannsynligheten for en tilfeldig hendelse?

6. Hva er grensene for sannsynligheten for en hendelse?

7. Hvilken definisjon av sannsynlighet kalles klassisk?

KOMMUNAL UTDANNINGSINSTITUSJON

GYMNASIUM nr. 6

om temaet " Klassisk definisjon sannsynligheter."

Fullført av en elev av klasse 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Matematikklærer: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Mange spill bruker terninger. Terningen har 6 sider, hver side har et forskjellig antall prikker markert på seg, fra 1 til 6. Spilleren kaster terningen og ser på hvor mange prikker det er på den droppede siden (på siden som er plassert på toppen) . Ganske ofte blir punktene på forsiden av kuben erstattet med det tilsvarende tallet, og så sier de at en 1, 2 eller 6 kastes. Å kaste en terning kan betraktes som et eksperiment, et eksperiment, en test og resultatet er resultatet av testen eller elementær begivenhet. Folk er interessert i å gjette forekomsten av denne eller den hendelsen og forutsi utfallet. Hvilke spådommer kan de komme med når de kaster terningen? For eksempel disse:

1) hendelse A - tallet 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 rulles;

2) hendelse B - tallet 7, 8 eller 9 vises;

3) hendelse C - tallet 1 vises.

Hendelse A, forutsagt i det første tilfellet, vil definitivt inntreffe. Generelt kalles en hendelse som sikkert vil oppstå i en gitt opplevelse pålitelig hendelse .

Hendelse B, forutsagt i det andre tilfellet, vil aldri skje, det er rett og slett umulig. Generelt kalles en hendelse som ikke kan oppstå i en gitt opplevelse umulig hendelse .

Og vil hendelse C, forutsagt i det tredje tilfellet, inntreffe eller ikke? Vi er ikke i stand til å svare på dette spørsmålet med full sikkerhet, siden 1 kan falle ut eller ikke. En hendelse som kanskje eller ikke kan oppstå i en gitt opplevelse kalles tilfeldig hendelse .

Når vi tenker på forekomsten av en pålitelig hendelse, vil vi mest sannsynlig ikke bruke ordet "sannsynligvis". For eksempel, hvis i dag er onsdag, så er det torsdag i morgen, dette er en pålitelig begivenhet. På onsdag vil vi ikke si: "Sannsynligvis er det torsdag i morgen," vi vil si kort og tydelig: "I morgen er det torsdag." Riktignok, hvis vi er tilbøyelige til det vakre setninger, så kan vi si dette: "Med hundre prosent sannsynlighet sier jeg at i morgen er det torsdag." Tvert imot, hvis i dag er onsdag, så er begynnelsen av fredag i morgen en umulig hendelse. Ved å vurdere denne begivenheten på onsdag kan vi si dette: "Jeg er sikker på at i morgen ikke er fredag." Eller dette: "Det er utrolig at det er fredag i morgen." Vel, hvis vi er utsatt for vakre fraser, kan vi si dette: "Sannsynligheten for at i morgen er fredag er null." Så en pålitelig hendelse er en hendelse som skjer under gitte forhold med hundre prosent sannsynlighet(dvs. forekommer i 10 tilfeller av 10, i 100 tilfeller av 100 osv.). En umulig hendelse er en hendelse som aldri inntreffer under gitte forhold, en hendelse med null sannsynlighet .

Men dessverre (og kanskje heldigvis), er ikke alt i livet så klart og presist: det vil alltid være (viss hendelse), det vil aldri være (umulig hendelse). Oftest står vi overfor tilfeldige hendelser, hvorav noen er mer sannsynlige, andre mindre sannsynlige. Vanligvis bruker folk ordene "mer sannsynlig" eller "mindre sannsynlig", som de sier, på et innfall, basert på hva de kaller sunn fornuft. Men veldig ofte viser slike estimater seg å være utilstrekkelige, siden det er viktig å vite hvor lenge prosent sannsynligvis en tilfeldig hendelse eller hvor mange ganger en tilfeldig hendelse er mer sannsynlig enn en annen. Med andre ord, vi trenger nøyaktig kvantitativ egenskaper, må du kunne karakterisere sannsynlighet med et tall.

Vi har allerede tatt de første skritt i denne retningen. Vi sa at sannsynligheten for at en viss hendelse inntreffer karakteriseres som hundre prosent, og sannsynligheten for at en umulig hendelse inntreffer er som null. Gitt at 100 % tilsvarer 1, ble folk enige om følgende:

1) sannsynligheten for en pålitelig hendelse anses som lik 1;

2) sannsynligheten for en umulig hendelse anses som lik 0.

Hvordan beregne sannsynligheten for en tilfeldig hendelse? Tross alt skjedde det ved et uhell, som betyr at den ikke overholder lover, algoritmer eller formler. Det viser seg at i tilfeldighetens verden gjelder visse lover som lar en beregne sannsynligheter. Dette er grenen av matematikk som kalles - sannsynlighetsteori .

Matematikk omhandler modell et eller annet fenomen av virkeligheten rundt oss. Av alle modellene som brukes i sannsynlighetsteori, vil vi begrense oss til de enkleste.

Klassisk sannsynlighetsskjema

For å finne sannsynligheten for hendelse A når du utfører et eksperiment, bør du:

1) finn tallet N av alle mulige utfall denne opplevelsen;

2) akseptere antagelsen om lik sannsynlighet (lik mulighet) for alle disse utfallene;

3) finn antallet N(A) av de eksperimentelle resultatene der hendelse A inntreffer;

4) finne kvotienten ; det vil være lik sannsynligheten for hendelse A.

Det er vanlig å betegne sannsynligheten for hendelse A: P(A). Forklaringen på denne betegnelsen er veldig enkel: ordet "sannsynlighet" på fransk er sannsynlighet, på engelsk– sannsynlighet.Betegnelsen bruker den første bokstaven i ordet.

Ved å bruke denne notasjonen kan sannsynligheten for hendelse A i henhold til det klassiske skjemaet bli funnet ved å bruke formelen

P(A)=.

Ofte er alle punktene i det ovennevnte klassiske sannsynlighetsskjemaet uttrykt i en ganske lang setning.

Klassisk definisjon av sannsynlighet

Sannsynligheten for hendelse A under en bestemt test er forholdet mellom antall utfall som følge av hvilken hendelse A inntreffer og det totale antallet av alle like mulige utfall av denne testen.

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for at med ett kast av en terning vil resultatet være: a) 4; b) 5; V) partall briller; d) antall poeng større enn 4; e) antall poeng ikke delelig med tre.

Løsning. Totalt er det N=6 mulige utfall: å falle ut av en kubeflate med et antall poeng lik 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi mener at ingen av dem har noen fordeler fremfor de andre, dvs. vi akseptere antakelsen om at likesannsynligheten for disse resultatene.

a) I nøyaktig ett av utfallene vil hendelsen A som interesserer oss oppstå – tallet 4 vil dukke opp. Dette betyr at N(A)=1 og

P ( EN )= =.

b) Løsningen og svaret er de samme som i forrige avsnitt.

c) Hendelsen B som interesserer oss vil inntreffe nøyaktig kl tre saker, når antall poeng er 2, 4 eller 6. Dette betyr

N ( B )=3 og P ( B )==.

d) Hendelsen C vi er interessert i vil inntreffe i nøyaktig to tilfeller når antall poeng er 5 eller 6. Dette betyr

N ( C ) =2 og Р(С)=.

e) Av de seks mulige tallene som trekkes, er fire (1, 2, 4 og 5) ikke et multiplum av tre, og de resterende to (3 og 6) er delelige med tre. Dette betyr at hendelsen av interesse for oss inntreffer i nøyaktig fire av seks mulige og like sannsynlige og like sannsynlige utfall av eksperimentet. Derfor viser det seg at svaret er

; b) ; V); G); d).

. La oss se på et annet eksempel. Spørsmålet ble stilt: "Hva er sannsynligheten for å få tre på en terningkast?" Studenten svarte: "Sannsynligheten er 0,5." Og han forklarte svaret sitt: «Enten vil tre komme opp eller ikke. Dette betyr at det er to utfall totalt og i nøyaktig ett av dem inntreffer hendelsen som er av interesse for oss. Ved å bruke det klassiske sannsynlighetsskjemaet får vi svaret 0,5." Er det feil i dette resonnementet? Ved første øyekast, nei. Den eksisterer imidlertid fortsatt, og på en grunnleggende måte. Ja, faktisk, en treer vil enten komme opp eller ikke, dvs. med denne definisjonen av utfallet av kastet N=2. Det er også sant at N(A) = 1 og selvfølgelig er det sant at

, dette betyr overhodet ikke at ved å kaste terningen 6 ganger vil du få ett poeng nøyaktig en gang, ved å kaste terningen 12 ganger vil du få ett poeng nøyaktig to ganger, ved å kaste terningen 18 ganger vil du få ett poeng nøyaktig tre ganger osv. Ordet er trolig spekulativt. Vi antar hva som mest sannsynlig vil skje. Sannsynligvis hvis vi kaster terningen 600 ganger, vil ett poeng komme opp 100 ganger, eller omtrent 100.

Kort teori

For å kvantitativt sammenligne hendelser i henhold til graden av mulighet for at de inntreffer, introduseres et numerisk mål, som kalles sannsynligheten for en hendelse. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et tall som uttrykker mål på den objektive muligheten for at en hendelse inntreffer.

Størrelsene som bestemmer hvor betydelige de objektive årsakene er til å forvente at en hendelse inntreffer, er preget av sannsynligheten for hendelsen. Det må understrekes at sannsynlighet er en objektiv størrelse som eksisterer uavhengig av den som vet og er betinget av hele settet av forhold som bidrar til at en hendelse inntreffer.

Forklaringene vi har gitt for begrepet sannsynlighet er det ikke matematisk definisjon, siden de ikke definerer dette konseptet kvantitativt. Det er flere definisjoner av sannsynligheten for en tilfeldig hendelse, som er mye brukt for å løse spesifikke problemer (klassisk, aksiomatisk, statistisk, etc.).

Klassisk definisjon av hendelsessannsynlighet reduserer dette konseptet til det mer elementære konseptet om like mulige hendelser, som ikke lenger er underlagt definisjon og antas å være intuitivt klart. For eksempel, hvis en terning er en homogen kube, vil tapet av noen av flatene til denne kuben være like mulige hendelser.

La en pålitelig hendelse deles inn i like mulige tilfeller, summen av disse gir hendelsen. Det vil si at tilfellene som det bryter ned fra kalles gunstige for hendelsen, siden utseendet til en av dem sikrer forekomsten.

Sannsynligheten for en hendelse vil bli angitt med symbolet.

Sannsynligheten for en hendelse er lik forholdet mellom antall tilfeller som er gunstige for den, av det totale antallet unikt mulige, like mulige og inkompatible tilfeller, og antallet, dvs.

Dette er den klassiske definisjonen av sannsynlighet. For å finne sannsynligheten for en hendelse, er det derfor nødvendig, etter å ha vurdert de ulike resultatene av testen, å finne et sett med unikt mulige, like mulige og inkompatible tilfeller, beregne deres totale antall n, antall tilfeller m gunstig for en gitt hendelse, og utfør deretter beregningen ved å bruke formelen ovenfor.

Sannsynligheten for en hendelse lik forholdet mellom tallet gunstig arrangement utfall av eksperimentet til det totale antallet utfall av eksperimentet kalles klassisk sannsynlighet tilfeldig hendelse.

Det følger av definisjonen følgende egenskaper sannsynligheter:

Egenskap 1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

Egenskap 2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Egenskap 3. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et positivt tall mellom null og én.

Egenskap 4. Sannsynligheten for forekomst av hendelser som danner en komplett gruppe er lik én.

Eiendom 5. Sannsynlighet for forekomst motsatt hendelse bestemmes på samme måte som sannsynligheten for at hendelse A inntreffer.

Antall tilfeller som favoriserer forekomsten av en motsatt hendelse. Derfor er sannsynligheten for forekomsten av den motsatte hendelsen lik forskjellen mellom enhet og sannsynligheten for forekomsten av hendelse A:

En viktig fordel med den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse er at med dens hjelp kan sannsynligheten for en hendelse bestemmes uten å ty til erfaring, men basert på logiske resonnementer.

Når et sett med betingelser er oppfylt, vil en pålitelig hendelse definitivt skje, men en umulig hendelse vil definitivt ikke skje. Blant hendelsene som kan eller ikke kan inntreffe når et sett med forhold skapes, kan forekomsten av noen med god grunn regne med, og forekomsten av andre med mindre grunn. Hvis det for eksempel er flere hvite kuler i en urne enn svarte kuler, så er det større grunn til å håpe på utseendet til en hvit kule når den trekkes fra urnen tilfeldig enn på utseendet til en svart kule.

Eksempel på problemløsning

Eksempel 1

En boks inneholder 8 hvite, 4 svarte og 7 røde kuler. 3 kuler trekkes tilfeldig. Finn sannsynlighetene for følgende hendelser: – minst 1 rød kule trekkes, – det er minst 2 kuler av samme farge, – det er minst 1 rød og 1 hvit ball.

Problemløsning

Vi finner det totale antallet testresultater som antall kombinasjoner av 19 (8+4+7) elementer av 3:

La oss finne sannsynligheten for hendelsen– minst 1 rød ball trekkes (1,2 eller 3 røde baller)

Påkrevd sannsynlighet:

La arrangementet– det er minst 2 kuler av samme farge (2 eller 3 hvite kuler, 2 eller 3 svarte kuler og 2 eller 3 røde kuler)

Antall gunstige utfall for arrangementet:

Påkrevd sannsynlighet:

La arrangementet– det er minst en rød og 1 hvit ball

(1 rød, 1 hvit, 1 svart eller 1 rød, 2 hvit eller 2 rød, 1 hvit)

Antall gunstige utfall for arrangementet:

Påkrevd sannsynlighet:

Svare: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Eksempel 2

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen av poeng er minst 5.

Løsning

La arrangementet ha en poengsum på minst 5

La oss bruke den klassiske definisjonen av sannsynlighet:

Totalt antall mulige testresultater

Antall forsøk som favoriserer begivenheten av interesse

På den droppede siden av den første terningen, kan ett poeng, to poeng..., seks poeng vises. på samme måte er seks utfall mulig når du kaster den andre terningen. Hvert av utfallene ved å kaste den første terningen kan kombineres med hvert av utfallene fra den andre. Dermed er det totale antallet mulige elementære testresultater lik antall plasseringer med repetisjoner (valg med plasseringer av 2 elementer fra et sett med volum 6):

La oss finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen - summen av poeng er mindre enn 5

Følgende kombinasjoner av tapte poeng vil favorisere arrangementet:

№

1. bein

2. bein

Forklart geometrisk definisjon sannsynlighet og løsning på det velkjente møteproblemet er gitt.

Sannsynlighetsteori - matematisk vitenskap, studere mønstre i tilfeldige fenomener. Fremveksten av teorien dateres tilbake til midten av 1600-tallet og er assosiert med navnene til Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.

Vi vil kalle uoppløselige utfall,..., av noen eksperimenter elementære hendelser, og deres helhet

(endelig) rom av elementære hendelser, eller rom for utfall.

Eksempel 21. a) Når du kaster en terning, består rommet av elementære begivenheter av seks punkter:

b) Kast en mynt to ganger på rad, da

der G er "våpenskjoldet", P er "gitteret" og det totale antallet utfall

c) Kast en mynt til første gang "våpenskjoldet" vises

I dette tilfellet kalles det et diskret rom med elementære hendelser.

Man er vanligvis ikke interessert i hvilket spesifikt utfall som oppstår som et resultat av en rettssak, men i om utfallet tilhører en eller annen delmengde av alle utfall. Alle de undergruppene som, i henhold til de eksperimentelle betingelsene, er mulig med en respons av en av to typer: "utfall" eller "utfall", vil vi kalle hendelser.

I eksempel 21 b) er settet = (GG, GR, RG) hendelsen at minst ett "våpenskjold" vises. Arrangementet består derfor av tre elementære utfall av plass

Summen av to hendelser er hendelsen som består av oppfyllelsen av en hendelse eller hendelse.

Produksjon av arrangementer er et arrangement som består av felles gjennomføring av et arrangement og et arrangement.

Det motsatte av en hendelse er en hendelse som består av manglende opptreden og derfor utfyller den til.

Et sett kalles en pålitelig hendelse, et tomt sett kalles en umulig.

Hvis hver forekomst av en hendelse er ledsaget av en hendelse, så skriver og sier de hva som går foran eller innebærer.

Hendelser og sies å være likeverdige hvis og.

Definisjon. Sannsynligheten for en hendelse er et tall som er lik forholdet mellom antall elementære utfall som utgjør hendelsen og antallet av alle elementære utfall

Tilfellet med like sannsynlige hendelser (kalt "klassisk", derfor sannsynligheten

kalt "klassisk".

Elementære hendelser (erfaringsresultater) inkludert i arrangementet kalles "gunstige".

Egenskaper for klassisk sannsynlighet:

Hvis (og er uforenlige hendelser).

Eksempel 22 (Huygens problem). Det er 2 hvite og 4 sorte kuler i urnen. En gambling person vedder med en annen på at blant de 3 trukket ballene vil det være nøyaktig én hvit. I hvilket forhold er sjansene til disputantene?

Løsning 1 (tradisjonell). I dette tilfellet er testen = (å ta ut 3 baller), og begivenheten er gunstig for en av disputantene:

= (få nøyaktig en hvit ball).

Siden rekkefølgen de tre ballene trekkes i ikke er viktig, da

En hvit ball kan fås i tilfeller, og to svarte - og da i henhold til den grunnleggende regelen for kombinatorikk. Derfor, og ved den femte sannsynlighetsegenskapen Derfor,

Løsning 2. La oss lage et sannsynlighetstre for utfall:

Eksempel 23. Tenk på en sparegris der det er fire mynter igjen - tre av 2 rubler hver. og en for 5 rubler. Vi tar ut to mynter.

Løsning. a) To påfølgende ekstraksjoner (med retur) kan føre til følgende utfall:

Hva er sannsynligheten for hvert av disse utfallene?

Tabellen viser alle seksten mulige tilfeller.

Derfor,

Følgende tre fører til de samme resultatene:

b) To påfølgende ekstraksjoner (uten repetisjon) kan føre til følgende tre utfall:

Tabellen viser alle mulige utfall:

Derfor,

Det tilsvarende treet fører til de samme resultatene:

Eksempel 24 (de Mere problem). To personer spiller et kastespill med opptil fem seire. Spillet stoppes når den første har vunnet fire kamper og den andre har vunnet tre. Hvordan bør den første innsatsen deles i dette tilfellet?

Løsning. La event = (vær den første spilleren som vinner en premie). Da er det sannsynlige utbetalingstreet for den første spilleren som følger:

Derfor bør tre deler av innsatsen gis til den første spilleren, og en del til den andre.

La oss demonstrere effektiviteten av å løse sannsynlighetsproblemer ved å bruke grafer ved å bruke følgende eksempel, som vi vurderte i §1 (eksempel 2).

Eksempel 25. Er valget ved å bruke "telletabellen" rettferdig?

Løsning. La oss lage et probabilistisk tre over utfall:

og derfor, når du spiller "tellespill" er det mer lønnsomt å stå på andreplass.

I siste vedtak Tolkninger på grafer av teoremer for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter ble brukt:

og spesielt

Hvis og er uforenlige hendelser

og, hvis og - uavhengige hendelser.

Statisk sannsynlighet

Den klassiske definisjonen, når man vurderer komplekse problemer, møter vanskeligheter av uoverkommelig karakter. Spesielt kan det i noen tilfeller ikke være mulig å identifisere like sannsynlige tilfeller. Selv når det gjelder en mynt, er det, som vi vet, en åpenbart ikke like sannsynlig mulighet for at "kanten" faller ut, noe som ut fra teoretiske betraktninger ikke kan vurderes (man kan bare si at det er usannsynlig og at dette hensynet er heller praktisk). Derfor, selv ved begynnelsen av dannelsen av sannsynlighetsteori, ble en alternativ "frekvens" definisjon av sannsynlighet foreslått. Formelt sett kan sannsynlighet defineres som grensen for frekvensen av observasjoner av hendelse A, forutsatt homogenitet av observasjoner (det vil si likheten av alle observasjonsforhold) og deres uavhengighet fra hverandre:

hvor er antall observasjoner, og er antall forekomster av hendelsen.

Selv om denne definisjonen angir snarere en måte å estimere en ukjent sannsynlighet - ved stor mengde homogene og uavhengige observasjoner - likevel reflekterer denne definisjonen innholdet i sannsynlighetsbegrepet. Nemlig, hvis en viss sannsynlighet tilordnes en hendelse som et objektivt mål på dens mulighet, betyr dette at vi under faste forhold og gjentatte repetisjoner bør få en frekvens av dens forekomst nær (jo nærmere jo flere observasjoner det er). Egentlig er dette den opprinnelige betydningen av begrepet sannsynlighet. Den bygger på et objektivistisk syn på naturfenomener. De såkalte lovene vil bli omtalt nedenfor store antall som gir teoretisk grunnlag(innenfor rammen av den moderne aksiomatiske tilnærmingen skissert nedenfor), inkludert for frekvensestimering av sannsynlighet.

KOMMUNAL UTDANNINGSINSTITUSJON

GYMNASIUM nr. 6

om emnet "Klassisk definisjon av sannsynlighet."

Fullført av en elev av klasse 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Matematikklærer: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Mange spill bruker terninger. Terningen har 6 sider, hver side har et forskjellig antall prikker markert på seg - fra 1 til 6. Spilleren kaster terningen og ser på hvor mange prikker det er på den droppede siden (på siden som er plassert på toppen) . Ganske ofte blir punktene på forsiden av kuben erstattet med det tilsvarende tallet og så snakker de om å kaste en 1, 2 eller 6. Å kaste en terning kan betraktes som et eksperiment, et eksperiment, en test, og resultatet er utfallet av en test eller en elementær begivenhet. Folk er interessert i å gjette forekomsten av denne eller den hendelsen og forutsi utfallet. Hvilke spådommer kan de komme med når de kaster terningen? For eksempel disse:

hendelse A—tallet 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 kastes;
hendelse B—tallet 7, 8 eller 9 kastes;
hendelse C—tallet 1 vises.

Hendelse A, forutsagt i det første tilfellet, vil definitivt inntreffe. Generelt kalles en hendelse som sikkert vil oppstå i en gitt opplevelse pålitelig hendelse.

Hendelse B, forutsagt i det andre tilfellet, vil aldri skje, det er rett og slett umulig. Generelt kalles en hendelse som ikke kan oppstå i en gitt opplevelse umulig hendelse.

Når vi tenker på forekomsten av en pålitelig hendelse, vil vi mest sannsynlig ikke bruke ordet "sannsynligvis". For eksempel, hvis i dag er onsdag, så er det torsdag i morgen, dette er en pålitelig begivenhet. På onsdag vil vi ikke si: "Sannsynligvis er det torsdag i morgen," vi vil si kort og tydelig: "I morgen er det torsdag." Riktignok, hvis vi er tilbøyelige til vakre fraser, kan vi si dette: "Med hundre prosent sannsynlighet sier jeg at i morgen er det torsdag." Tvert imot, hvis i dag er onsdag, så er begynnelsen av fredag i morgen en umulig hendelse. Ved å vurdere denne begivenheten på onsdag kan vi si dette: "Jeg er sikker på at i morgen ikke er fredag." Eller dette: "Det er utrolig at det er fredag i morgen." Vel, hvis vi er utsatt for vakre fraser, kan vi si dette: "Sannsynligheten for at i morgen er fredag er null." Så en pålitelig hendelse er en hendelse som skjer under gitte forhold med hundre prosent sannsynlighet(dvs. forekommer i 10 tilfeller av 10, i 100 tilfeller av 100 osv.). En umulig hendelse er en hendelse som aldri inntreffer under gitte forhold, en hendelse med null sannsynlighet.

Men dessverre (og kanskje heldigvis), er ikke alt i livet så klart og presist: det vil alltid være (viss hendelse), det vil aldri være (umulig hendelse). Oftest står vi overfor tilfeldige hendelser, hvorav noen er mer sannsynlige, andre mindre sannsynlige. Vanligvis bruker folk ordene "mer sannsynlig" eller "mindre sannsynlig", som de sier, på et innfall, og stoler på det som kalles sunn fornuft. Men veldig ofte viser slike estimater seg å være utilstrekkelige, siden det er viktig å vite hvor lenge prosent sannsynligvis en tilfeldig hendelse eller hvor mange ganger en tilfeldig hendelse er mer sannsynlig enn en annen. Med andre ord, vi trenger nøyaktig kvantitativ egenskaper, må du kunne karakterisere sannsynlighet med et tall.

sannsynligheten for en pålitelig hendelse anses som lik 1;
sannsynligheten for en umulig hendelse anses som lik 0.

Matematikk omhandler modell et eller annet fenomen av virkeligheten rundt oss. Av alle modellene som brukes i sannsynlighetsteori, vil vi begrense oss til de enkleste.

Klassisk sannsynlighetsskjema

For å finne sannsynligheten for hendelse A når du utfører et eksperiment, bør du:

1) finn tallet N av alle mulige utfall av dette eksperimentet;

2) akseptere antagelsen om lik sannsynlighet (lik mulighet) for alle disse utfallene;

3) finn antallet N(A) av de eksperimentelle resultatene der hendelse A inntreffer;

4) finne kvotienten ; det vil være lik sannsynligheten for hendelse A.

Det er vanlig å betegne sannsynligheten for hendelse A: P(A). Forklaringen på denne betegnelsen er veldig enkel: ordet "sannsynlighet" på fransk er sannsynlighet, på engelsk- sannsynlighet.Betegnelsen bruker den første bokstaven i ordet.

Ved å bruke denne notasjonen kan sannsynligheten for hendelse A i henhold til det klassiske skjemaet bli funnet ved å bruke formelen

P(A)=.

Ofte er alle punktene i det ovennevnte klassiske sannsynlighetsskjemaet uttrykt i en ganske lang setning.

Klassisk definisjon av sannsynlighet

Sannsynligheten for hendelse A under en bestemt test er forholdet mellom antall utfall som følge av hvilken hendelse A inntreffer og det totale antallet av alle like mulige utfall av denne testen.

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for at med ett kast av en terning vil resultatet være: a) 4; b) 5; c) et partall poeng; d) antall poeng større enn 4; e) antall poeng ikke delelig med tre.

a) I nøyaktig ett av utfallene vil hendelsen vi er interessert i, A, oppstå – tallet 4 vil dukke opp. Dette betyr at N(A)=1 og

P(EN)= =.

b) Løsningen og svaret er de samme som i forrige avsnitt.

c) Hendelsen B vi er interessert i vil inntreffe i nøyaktig tre tilfeller når antall poeng er 2, 4 eller 6. Dette betyr

N(B)=3 ogP(B)==.

d) Hendelsen C vi er interessert i vil inntreffe i nøyaktig to tilfeller når antall poeng er 5 eller 6. Dette betyr

N(C) =2 og Р(С)=.

Svar: a) ; b) ; V); G); d).

; b) ; V); G); d).

En ekte terning kan godt avvike fra en ideell (modell) terning, derfor, for å beskrive dens oppførsel, kreves det en mer nøyaktig og detaljert modell, som tar hensyn til fordelene med ett ansikt fremfor et annet, mulig tilstedeværelse av magneter, etc. Men "djevelen er i detaljene," og mer nøyaktighet har en tendens til å føre til større kompleksitet, og å få svar blir et problem. Vi begrenser oss til å vurdere den enkleste probabilistiske modellen, der alle mulige utfall er like sannsynlige.. La oss se på et annet eksempel. Spørsmålet ble stilt: "Hva er sannsynligheten for å få tre på en terningkast?" Studenten svarte: "Sannsynligheten er 0,5." Og han forklarte svaret sitt: «Enten vil tre komme opp eller ikke. Dette betyr at det er to utfall totalt, og i nøyaktig ett av dem inntreffer hendelsen av interesse for oss. Ved å bruke det klassiske sannsynlighetsskjemaet får vi svaret 0,5." Er det feil i dette resonnementet? Ved første øyekast, nei. Den eksisterer imidlertid fortsatt, og på en grunnleggende måte. Ja, faktisk, en treer vil enten komme opp eller ikke, dvs. med denne bestemmelsen av utfallet av kastet N=2. Det er også sant at N(A) = 1 og selvfølgelig er det sant at =0,5, dvs. tre punkter av sannsynlighetsskjemaet er tatt i betraktning, men oppfyllelsen av punkt 2) er i tvil. Selvfølgelig, fra et rent juridisk synspunkt, har vi rett til å tro at det er like sannsynlig at det ikke faller en treer. Men kan vi tenke det uten å krenke våre egne naturlige forutsetninger om "likheten" i kantene? Selvfølgelig ikke! Her har vi å gjøre med korrekt resonnement innenfor en bestemt modell. Bare denne modellen i seg selv er "feil", og svarer ikke til det virkelige fenomenet.

=0,5, dvs. tre punkter av sannsynlighetsskjemaet er tatt i betraktning, men gjennomføringen av punkt 2) er i tvil. Selvfølgelig, fra et rent juridisk synspunkt, har vi rett til å tro at det er like sannsynlig at det ikke faller ut av å trille en treer. Men kan vi tenke det uten å krenke våre egne naturlige forutsetninger om "likheten" i kantene? Selvfølgelig ikke! Her har vi å gjøre med korrekt resonnement innenfor en bestemt modell. Men denne modellen i seg selv er "feil", og svarer ikke til det virkelige fenomenet.. Når du diskuterer sannsynlighet, må du ikke miste av syne følgende viktige forhold. Hvis vi sier at når du kaster en terning er sannsynligheten for å få ett poeng lik ganger, vil du få ett poeng nøyaktig tre ganger osv. Ordet er sannsynligvis spekulativt. Vi antar hva som mest sannsynlig vil skje. Sannsynligvis hvis vi kaster terningen 600 ganger, vil ett poeng komme opp 100 ganger, eller omtrent 100.

Sannsynlighetsteori oppsto på 1600-tallet da man analyserte ulike gambling. Det er derfor ikke overraskende at de første eksemplene er av leken karakter. Fra eksempler med terninger, la oss gå videre til tilfeldig tegning spille kort fra dekk.

Eksempel 2. Fra en kortstokk på 36 kort trekkes 3 kort tilfeldig samtidig. Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen spardame blant dem?

Løsning. Vi har et sett med 36 elementer. Vi velger tre elementer, hvor rekkefølgen ikke er viktig. Dette betyr at det er mulig å oppnå N=C-utfall. Vi vil handle i henhold til det klassiske sannsynlighetsskjemaet, dvs. vi vil anta at alle disse utfallene er like sannsynlige.

Det gjenstår å beregne den nødvendige sannsynligheten ved å bruke den klassiske definisjonen:

Hva er sannsynligheten for at det er blant de tre utvalgte kortene spardame? Antallet av alle slike utfall er ikke vanskelig å beregne; du trenger bare å trekke fra alle utfall N alle de utfallene der det ikke er spardame, dvs. trekke fra tallet N(A) i eksempel 3. Så, i samsvar med det klassiske sannsynlighetsskjemaet, skal denne forskjellen N-N(A) deles på N. Dette er hva vi får:

Vi ser at det er en viss sammenheng mellom sannsynlighetene for to hendelser. Hvis hendelse A er fraværet av spardamen, og hendelse B er dens tilstedeværelse blant de tre valgte kortene,

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Dessverre er det i likheten P(A)+P(B)=1 ingen informasjon om sammenhengen mellom hendelser A og B; vi må huske på denne sammenhengen. Det ville være mer hensiktsmessig å gi hendelse B et navn og en betegnelse på forhånd som tydelig indikerer dens forbindelse med A.

Definisjon 1. Hendelse B ringte i motsetning til hendelse A og angi B=Ā hvis hendelse B inntreffer hvis og bare hvis hendelse A ikke inntreffer.

TTeorem 1. For å finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen trekker du sannsynligheten for selve hendelsen fra enhet: P(Ā)= 1—P(A). Faktisk,

I praksis regner de ut hva som er lettere å finne: enten P(A) eller P(Ā). Etter dette bruker du formelen fra teoremet og finn henholdsvis enten P(Ā) = 1 - P(A), eller P(A) = 1 - P(Ā).

Metoden for å løse et bestemt problem brukes ofte av "oppregning av tilfeller", når betingelsene for problemet er delt inn i gjensidig utelukkende tilfeller, som hver vurderes separat. For eksempel, "hvis du går til høyre, vil du miste hesten din, hvis du går rett, vil du løse et problem med sannsynlighetsteorien, hvis du går til venstre, ...." Eller når du konstruerer en graf for funksjonen y=│x+1│—│2x—5│vurder tilfeller x

Eksempel 3. Av de 50 punktene er 17 skyggelagt blå, og 13-in oransje. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt punkt blir skyggelagt.

Løsning. Totalt 30 poeng av 50 er skravert. Dette betyr at sannsynligheten er = 0,6.

Svar: 0,6.

La oss imidlertid se nærmere på dette enkle eksemplet. La hendelse A være at det valgte punktet er blått, og hendelse B være at det valgte punktet er oransje. Etter betingelse kan ikke hendelser A og B oppstå samtidig.

La oss angi hendelsen av interesse for oss med bokstaven C. Hendelse C oppstår hvis og bare hvis den inntreffer minst en av hendelsene A eller B. Det er klart at N(C)= N(A)+N(B).

La oss dele begge sider av denne likheten med N – antallet av alle mulige utfall av dette eksperimentet; vi får

Vi er på enkelt eksempel Vi analyserte en viktig og ofte forekommende situasjon. Det er et spesielt navn på den.

Definisjon 2. Hendelser A og B kalles uforenlig, hvis de ikke kan forekomme samtidig.

Teorem 2. Sannsynligheten for forekomsten av minst én av to uforenlige hendelser er lik summen av deres sannsynligheter.

Når du oversetter dette teoremet til matematisk språk, er det behov for på en eller annen måte å navngi og betegne en hendelse som består av forekomsten av minst én av to gitte hendelser A og B. En slik hendelse kalles summen av hendelser A og B og betegnes A + B.

Hvis A og B er inkompatible, så P(A+B)=P(A)+P(B).

Faktisk,

Det er praktisk å illustrere inkompatibiliteten til hendelser A og B med en tegning. Hvis alle utfallene av eksperimentet er et visst sett med punkter i figuren, så er hendelser A og B noen delmengder gitt sett . Inkompatibiliteten til A og B betyr at disse to delmengdene ikke krysser hverandre. Typisk eksempel inkompatible hendelser – enhver hendelse A og den motsatte hendelsen Â.

Selvfølgelig er dette teoremet sant for tre, og for fire, og for alle endelig antall par med uforenlige hendelser. Sannsynligheten for summen av et hvilket som helst antall parvise inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Denne viktige uttalelsen tilsvarer nøyaktig metoden "sak til sak" for å løse problemer.

Det kan være noen sammenhenger, avhengigheter, forbindelser osv. mellom hendelser som oppstår som et resultat av en eller annen erfaring og mellom sannsynlighetene for disse hendelsene. For eksempel kan hendelser "legges til", og sannsynligheten for summen av inkompatible hendelser er lik til summen av sannsynlighetene deres.

Avslutningsvis, la oss diskutere følgende grunnleggende spørsmål: er det mulig bevise at sannsynligheten for å få hoder i ett myntkast er

Svaret er nei. Generelt sett er ikke spørsmålet i seg selv korrekt. Vi beviser tross alt alltid noe innenfor rammen av noen modeller, der reglene, lovene, aksiomer, formler, teoremer osv. allerede er kjent vi snakker om om en imaginær, "ideell" mynt, så er det derfor den anses som ideell, fordi, per definisjon, er sannsynligheten for å få "haler" lik sannsynligheten for å få "hoder". Og i prinsippet kan vi vurdere en modell der sannsynligheten for å falle "haler" er to ganger større enn sannsynligheten for å falle "hoder" eller tre ganger mindre osv. Da oppstår spørsmålet: av hvilken grunn velger vi fra ulike mulige myntkastmodeller der begge utfallene av kastet er like sannsynlige?

Det veldig enkle svaret er: "Men det er enklere, klarere og mer naturlig for oss!" Men det er også mer materielle argumenter. De kommer fra praksis. Det overveldende flertallet av lærebøker om sannsynlighetsteori gir eksempler på den franske naturforskeren J. Buffon (1700-tallet) og den engelske matematikeren og statistikeren K. Pearson ( sent XIX c.), som kastet en mynt henholdsvis 4040 og 24000 ganger, og telte antall hoder eller haler. De landet hoder henholdsvis 1992 og 11998 ganger. Hvis du teller tapsfrekvens"haler", så viser det seg = = 0,493069... for Buffon og = 0,4995 for Pearson. Naturlig oppstår antagelse, at med en ubegrenset økning i antall myntkast, vil frekvensen av haler, samt frekvensen av hoder, i økende grad nærme seg 0,5. Det er denne antakelsen, basert på praktiske data, som er grunnlaget for å velge en modell med like sannsynlige utfall.

Nå kan vi oppsummere. Grunnleggende konsept— sannsynligheten for en tilfeldig hendelse, som er beregnet innenfor den enkleste modellen— klassisk sannsynlighetsskjema. Viktig både i teorien og i praksis har konseptet motsatt hendelse og formelen P(Ā)= 1—P(A) for å finne sannsynligheten for en slik hendelse.

Endelig møttes vi uforenlige hendelser og med formler.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

slik at du kan finne sannsynligheter beløp slike hendelser.

Referanser

1.Hendelser. Sannsynligheter. Statistisk behandling data: Legg til. avsnitt for algebrakurset 7-9 karakterer. utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2006. - 112 s.: ill.

2. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Algebra. Elementer av statistikk og sannsynlighetsteori." - Moskva, "Prosveshchenie", 2006.