Når en andregradsligning har to forskjellige røtter. Løse kvadratiske ligninger: rotformel, eksempler

På en enklere måte. For å gjøre dette, ta z ut av parentes. Du får: z(az + b) = 0. Faktorer kan skrives: z=0 og az + b = 0, siden begge kan resultere i null. I notasjonen az + b = 0, flytter vi den andre til høyre med et annet fortegn. Herfra får vi z1 = 0 og z2 = -b/a. Dette er røttene til originalen.

Hvis det er en ufullstendig ligning av formen az² + c \u003d 0, i dette tilfellet blir de funnet ved ganske enkelt å overføre det frie leddet til høyre side av ligningen. Bytt også fortegn. Du får posten az² \u003d -s. Uttrykk z² = -c/a. Ta roten og skriv ned to løsninger - en positiv og en negativ verdi av kvadratroten.

Merk

Hvis det er brøkkoeffisienter i likningen, multipliser hele likningen med riktig faktor for å bli kvitt brøkene.

Å vite hvordan man løser kvadratiske ligninger er nødvendig for både skoleelever og elever, noen ganger kan det hjelpe en voksen i hverdagen. Det er flere spesifikke beslutningsmetoder.

Løse andregradsligninger

En andregradsligning av formen a*x^2+b*x+c=0. Koeffisient x er ønsket variabel, a, b, c - numeriske koeffisienter. Husk at "+"-tegnet kan endres til "-"-tegnet.

For å løse denne ligningen må du bruke Vieta-setningen eller finne diskriminanten. Den vanligste måten er å finne diskriminanten, siden for noen verdier av a, b, c er det ikke mulig å bruke Vieta-teoremet.

For å finne diskriminanten (D), må du skrive formelen D=b^2 - 4*a*c. Verdien av D kan være større enn, mindre enn eller lik null. Hvis D er større eller mindre enn null, vil det være to røtter, hvis D = 0, så gjenstår bare én rot, mer presist kan vi si at D i dette tilfellet har to ekvivalente røtter. Bytt ut de kjente koeffisientene a, b, c i formelen og beregn verdien.

Etter at du har funnet diskriminanten, for å finne x, bruk formlene: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a hvor sqrt er funksjonen for å ta kvadratroten av det gitte tallet. Etter å ha beregnet disse uttrykkene vil du finne de to røttene til ligningen din, hvoretter ligningen anses som løst.

Hvis D er mindre enn null, har den fortsatt røtter. På skolen blir denne delen praktisk talt ikke studert. Universitetsstudenter bør være oppmerksomme på at et negativt tall vises under roten. Vi blir kvitt det ved å skille den imaginære delen, det vil si at -1 under roten alltid er lik det imaginære elementet "i", som multipliseres med roten med samme positive tall. For eksempel, hvis D=sqrt(-20), etter transformasjonen, oppnås D=sqrt(20)*i. Etter denne transformasjonen reduseres løsningen av ligningen til samme funn av røttene, som beskrevet ovenfor.

Vietas teorem består i valg av x(1) og x(2) verdier. To identiske ligninger brukes: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Dessuten er et veldig viktig punkt tegnet foran koeffisienten b, husk at dette tegnet er motsatt av det i ligningen. Ved første øyekast ser det ut til at det er veldig enkelt å regne ut x(1) og x(2), men når du løser det vil du komme over at tallene må velges nøyaktig.

Elementer for å løse andregradsligninger

I henhold til reglene for matematikk kan noen faktoriseres: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, hvis du klarte å transformere denne kvadratiske ligningen på denne måten ved hjelp av matematiske formler, så gjerne skriv ned svaret. x(1) og x(2) vil være lik de tilstøtende koeffisientene i parentes, men med motsatt fortegn.

Ikke glem ufullstendige kvadratiske ligninger. Det kan hende du mangler noen av begrepene, i så fall er alle koeffisientene ganske enkelt lik null. Hvis x^2 eller x innledes med ingenting, er koeffisientene a og b lik 1.

Noen problemer i matematikk krever evnen til å beregne verdien av kvadratroten. Disse problemene inkluderer å løse andreordens ligninger. I denne artikkelen presenterer vi en effektiv metode for å beregne kvadratrøtter og bruker den når vi arbeider med formler for røttene til en kvadratisk ligning.

Hva er en kvadratrot?

I matematikk tilsvarer dette konseptet symbolet √. Historiske data sier at det begynte å bli brukt for første gang rundt første halvdel av 1500-tallet i Tyskland (det første tyske verket om algebra av Christoph Rudolf). Forskere tror at dette symbolet er en forvandlet latinsk bokstav r (radix betyr "rot" på latin).

Roten til et hvilket som helst tall er lik en slik verdi, hvis kvadrat tilsvarer rotuttrykket. På matematikkspråket vil denne definisjonen se slik ut: √x = y hvis y 2 = x.

Roten av et positivt tall (x > 0) er også et positivt tall (y > 0), men hvis du tar roten av et negativt tall (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Her er to enkle eksempler:

√9 = 3 fordi 3 2 = 9; √(-9) = 3i siden i 2 = -1.

Herons iterative formel for å finne verdiene til kvadratrøttene

Eksemplene ovenfor er veldig enkle, og beregningen av røttene i dem er ikke vanskelig. Vanskeligheter begynner å dukke opp allerede når man finner rotverdiene for enhver verdi som ikke kan representeres som kvadrat av et naturlig tall, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke å nevne det faktum at det i praksis er nødvendig for å finne røtter for ikke-heltall: for eksempel √(12.15), √(8.5) og så videre.

I alle de ovennevnte tilfellene bør en spesiell metode for å beregne kvadratroten brukes. For tiden er flere slike metoder kjent: for eksempel utvidelse i en Taylor-serie, deling etter en kolonne og noen andre. Av alle kjente metoder er kanskje den enkleste og mest effektive bruken av Herons iterative formel, som også er kjent som den babylonske metoden for å bestemme kvadratrøtter (det er bevis for at de gamle babylonerne brukte den i sine praktiske beregninger).

La det være nødvendig å bestemme verdien av √x. Formelen for å finne kvadratroten er som følger:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), hvor lim n->∞ (a n) => x.

La oss dechiffrere denne matematiske notasjonen. For å beregne √x, bør du ta et tall a 0 (det kan være vilkårlig, men for raskt å få resultatet, bør du velge det slik at (a 0) 2 er så nær x som mulig. Deretter erstatter du det i angitt formel for å beregne kvadratroten og få en ny tallet a 1, som allerede vil være nærmere ønsket verdi.Etter det er det nødvendig å erstatte en 1 i uttrykket og få en 2. Denne prosedyren bør gjentas til den nødvendige nøyaktigheten oppnås.

Et eksempel på bruk av Herons iterative formel

For mange kan algoritmen for å få kvadratroten av et gitt tall høres ganske komplisert og forvirrende ut, men i virkeligheten viser alt seg å være mye enklere, siden denne formelen konvergerer veldig raskt (spesielt hvis et godt tall en 0 er valgt).

La oss gi et enkelt eksempel: det er nødvendig å beregne √11. Vi velger en 0 \u003d 3, siden 3 2 \u003d 9, som er nærmere 11 enn 4 2 \u003d 16. Ved å erstatte formelen får vi:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Det er ingen vits i å fortsette utregningene, siden vi har funnet ut at en 2 og en 3 begynner å skille seg bare på 5. desimal. Dermed var det nok å bruke formelen bare 2 ganger for å beregne √11 med en nøyaktighet på 0,0001.

For tiden er kalkulatorer og datamaskiner mye brukt til å beregne røttene, men det er nyttig å huske den merkede formelen for å kunne beregne deres nøyaktige verdi manuelt.

Andre ordens ligninger

Å forstå hva en kvadratrot er og evnen til å regne ut den brukes ved løsning av andregradsligninger. Disse likningene er likheter med en ukjent, den generelle formen er vist i figuren nedenfor.

Her er c, b og a noen tall, og a må ikke være lik null, og verdiene til c og b kan være helt vilkårlige, inkludert å være lik null.

Alle verdier av x som tilfredsstiller likheten angitt i figuren kalles røttene (dette konseptet skal ikke forveksles med kvadratroten √). Siden ligningen under vurdering har 2. orden (x 2), kan det ikke være flere røtter for den enn to tall. Vi vil vurdere senere i artikkelen hvordan du finner disse røttene.

Finne røttene til en andregradsligning (formel)

Denne metoden for å løse den type likhet som vurderes kalles også universell, eller metoden gjennom diskriminanten. Det kan brukes på alle andregradsligninger. Formelen for diskriminanten og røttene til den kvadratiske ligningen er som følger:

Det kan sees av det at røttene avhenger av verdien av hver av de tre koeffisientene i ligningen. Dessuten skiller beregningen av x 1 seg fra beregningen av x 2 bare ved tegnet foran kvadratroten. Det radikale uttrykket, som er lik b 2 - 4ac, er ikke annet enn diskriminanten til den betraktede likheten. Diskriminanten i formelen for røttene til en kvadratisk ligning spiller en viktig rolle fordi den bestemmer antall og type løsninger. Så hvis den er null, vil det bare være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle røtter, og til slutt fører en negativ diskriminant til to komplekse røtter x 1 og x 2.

Vietas teorem eller noen egenskaper til røttene til andreordens ligninger

På slutten av 1500-tallet var en av grunnleggerne av moderne algebra, en franskmann, som studerte annenordens ligninger, i stand til å få egenskapene til røttene. Matematisk kan de skrives slik:

x 1 + x 2 = -b / a og x 1 * x 2 = c / a.

Begge likhetene kan lett oppnås av alle; for dette er det bare nødvendig å utføre de passende matematiske operasjonene med røttene oppnådd gjennom en formel med en diskriminant.

Kombinasjonen av disse to uttrykkene kan med rette kalles den andre formelen av røttene til en kvadratisk ligning, som gjør det mulig å gjette løsningene uten å bruke diskriminanten. Her bør det bemerkes at selv om begge uttrykkene alltid er gyldige, er det praktisk å bruke dem til å løse en ligning bare hvis den kan faktoriseres.

Oppgaven med å konsolidere den ervervede kunnskapen

Vi vil løse et matematisk problem der vi vil demonstrere alle teknikkene som er diskutert i artikkelen. Betingelsene for problemet er som følger: du må finne to tall der produktet er -13, og summen er 4.

Denne tilstanden minner umiddelbart om Vietas teorem, ved å bruke formlene for summen av kvadratrøtter og deres produkt, skriver vi:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Forutsatt at a = 1, så er b = -4 og c = -13. Disse koeffisientene lar oss komponere en andreordens ligning:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Vi bruker formelen med diskriminanten, vi får følgende røtter:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Det vil si at oppgaven ble redusert til å finne tallet √68. Legg merke til at 68 = 4 * 17, så, ved å bruke kvadratrotegenskapen, får vi: √68 = 2√17.

Nå bruker vi den betraktede kvadratrotformelen: a 0 \u003d 4, deretter:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

Det er ikke nødvendig å beregne en 3 fordi de funnet verdiene avviker med bare 0,02. Dermed √68 = 8,246. Ved å erstatte det med formelen for x 1,2 får vi:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 og x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Som du kan se, er summen av tallene funnet egentlig lik 4, men hvis du finner produktet deres, vil det være lik -12,999, som tilfredsstiller problemets tilstand med en nøyaktighet på 0,001.

Bibliografisk beskrivelse: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metoder for å løse kvadratiske ligninger // Ung vitenskapsmann. 2016. №6.1. S. 17.-20.03.2019).



Prosjektet vårt er dedikert til måtene å løse andregradsligninger på. Formålet med prosjektet: å lære å løse andregradsligninger på måter som ikke inngår i skolens læreplan. Oppgave: finn alle mulige måter å løse andregradsligninger på og lær hvordan du bruker dem selv og introduser klassekamerater for disse metodene.

Hva er "kvadratiske ligninger"?

Kvadratisk ligning- formens ligning øks2 + bx + c = 0, Hvor en, b, c- noen tall ( a ≠ 0), x- ukjent.

Tallene a, b, c kalles koeffisientene til kvadratisk ligning.

• a kalles den første koeffisienten;
• b kalles den andre koeffisienten;
• c - gratis medlem.

Og hvem var den første som "oppfant" andregradsligninger?

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent så tidlig som for 4000 år siden i det gamle Babylon. De funne gamle babylonske leirtavlene, datert et sted mellom 1800 og 1600 f.Kr., er det tidligste beviset på studiet av kvadratiske ligninger. De samme nettbrettene inneholder metoder for å løse visse typer kvadratiske ligninger.

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken selv.

Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, sammenfaller i hovedsak med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Babylonske matematikere fra omkring det 4. århundre f.Kr. brukte kvadratkomplementmetoden for å løse likninger med positive røtter. Rundt 300 f.Kr. Euklid kom opp med en mer generell geometrisk løsningsmetode. Den første matematikeren som fant løsninger på en ligning med negative røtter i form av en algebraisk formel, var en indisk vitenskapsmann. Brahmagupta(India, 7. århundre e.Kr.).

Brahmagupta skisserte en generell regel for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>0

I denne ligningen kan koeffisientene være negative. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies det følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle herligheten i offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

I en algebraisk avhandling Al-Khwarizmi en klassifisering av lineære og andregradslikninger er gitt. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. ax2 = bx.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. ax2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ax2 = c.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax2 + c = bx.

5) "Kvadrater og røtter er lik tall", dvs. ax2 + bx = c.

6) “Røtter og tall er lik kvadrater”, dvs. bx + c == ax2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til nullen. løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først beskrevet i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. italiensk matematiker Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra denne boken ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bx = c med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c, ble formulert i Europa i 1544. M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være arbeidet Girard, Descartes, Newton og andre vitenskapsmenn, antar måten å løse andregradsligninger på en moderne form.

Vurder flere måter å løse andregradsligninger på.

Standard måter å løse andregradsligninger fra skolens læreplan:

1. Faktorisering av venstre side av ligningen.
2. Hel kvadratisk valgmetode.
3. Løsning av andregradsligninger med formel.
4. Grafisk løsning av en andregradsligning.
5. Løsning av ligninger ved hjelp av Vietas teorem.

La oss dvele mer detaljert på løsningen av reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger ved å bruke Vieta-teoremet.

Husk at for å løse de gitte kvadratiske ligningene, er det nok å finne to tall slik at produktet av disse er lik frileddet, og summen er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn.

Eksempel.x 2 -5x+6=0

Du må finne tall hvis produkt er 6 og summen er 5. Disse tallene vil være 3 og 2.

Svar: x 1 =2,x 2 =3.

Men du kan bruke denne metoden for ligninger med den første koeffisienten som ikke er lik en.

Eksempel.3x 2 +2x-5=0

Vi tar den første koeffisienten og multipliserer den med frileddet: x 2 +2x-15=0

Røttene til denne ligningen vil være tall hvis produkt er lik - 15, og summen er lik - 2. Disse tallene er 5 og 3. For å finne røttene til den opprinnelige ligningen deler vi de oppnådde røttene med den første koeffisienten .

Svar: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Løsning av ligninger ved metoden "overføring".

Tenk på den andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, hvor a≠0.

Multipliserer begge delene med a, får vi ligningen a 2 x 2 + abx + ac = 0.

La ax = y, derfra x = y/a; da kommer vi til ligningen y 2 + by + ac = 0, som tilsvarer den gitte. Vi finner røttene ved 1 og 2 ved å bruke Vieta-setningen.

Til slutt får vi x 1 = y 1 /a og x 2 = y 2 /a.

Med denne metoden multipliseres koeffisienten a med den frie termen, som om den ble "overført" til den, derfor kalles den "overføringsmetoden". Denne metoden brukes når røttene til en ligning lett kan finnes ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Eksempel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

La oss "overføre" koeffisienten 2 til frileddet og foreta erstatningen får vi ligningen y 2 - 11y + 30 = 0.

I følge Vietas inverse teorem

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Svar: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Egenskaper til koeffisientene til en andregradsligning.

La den andregradsligningen ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 gis.

1. Hvis a + b + c \u003d 0 (dvs. summen av koeffisientene til ligningen er null), så er x 1 \u003d 1.

2. Hvis a - b + c \u003d 0, eller b \u003d a + c, så x 1 \u003d - 1.

Eksempel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Siden a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), deretter x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Svar: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Eksempel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Fordi a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), deretter x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Svar: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Det er andre egenskaper til koeffisientene til en kvadratisk ligning. men bruken deres er mer komplisert.

8. Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram.

Fig 1. Nomogram

Dette er en gammel og foreløpig glemt metode for å løse andregradsligninger, plassert på s. 83 i samlingen: Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.

Tabell XXII. Nomogram for ligningsløsning z2 + pz + q = 0. Dette nomogrammet tillater, uten å løse den kvadratiske ligningen, å bestemme røttene til ligningen ved dens koeffisienter.

Den krumlinjede skalaen til nomogrammet er bygget i henhold til formlene (fig. 1):

Forutsatt OS = p, ED = q, OE = a(alle i cm), fra Fig. 1 likhet av trekanter SAN Og CDF vi får andelen

hvorfra, etter substitusjoner og forenklinger, følger ligningen z 2 + pz + q = 0, og brevet z betyr etiketten til ethvert punkt på den buede skalaen.

Ris. 2 Løse en andregradsligning ved hjelp av et nomogram

Eksempler.

1) For ligningen z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrammet gir røttene z 1 = 8,0 og z 2 = 1,0

Svar: 8,0; 1.0.

2) Løs ligningen ved hjelp av nomogrammet

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Del koeffisientene til denne ligningen med 2, vi får ligningen z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogrammet gir røttene z 1 = 4 og z 2 = 0,5.

Svar: 4; 0,5.

9. Geometrisk metode for å løse andregradsligninger.

Eksempel.X 2 + 10x = 39.

I originalen er denne oppgaven formulert som følger: "Kvadraten og ti røttene er lik 39."

Tenk på en firkant med side x, rektangler er bygget på sidene slik at den andre siden av hver av dem er 2,5, derfor er arealet av hver 2,5x. Den resulterende figuren blir deretter supplert til en ny firkant ABCD, og ​​fullfører fire like firkanter i hjørnene, siden av hver av dem er 2,5, og arealet er 6,25

Ris. 3 Grafisk måte å løse likningen x 2 + 10x = 39

Arealet S av kvadratet ABCD kan representeres som summen av arealene: det opprinnelige kvadratet x 2, fire rektangler (4 ∙ 2,5x = 10x) og fire vedlagte kvadrater (6,25 ∙ 4 = 25), dvs. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Ved å erstatte x 2 + 10x med tallet 39, får vi at S \u003d 39 + 25 \u003d 64, som innebærer at siden av kvadratet ABCD, dvs. segment AB \u003d 8. For ønsket side x av den opprinnelige firkanten får vi

10. Løsning av ligninger ved hjelp av Bezouts teorem.

Bezouts teorem. Resten etter deling av polynomet P(x) med binomialet x - α er lik P(α) (det vil si verdien av P(x) ved x = α).

Hvis tallet α er roten til polynomet P(x), så er dette polynomet delelig med x -α uten rest.

Eksempel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Del P(x) med (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, eller x-3=0, x=3; Svar: x1 =2, x2 =3.

Konklusjon: Evnen til å raskt og rasjonelt løse kvadratiske ligninger er ganske enkelt nødvendig for å løse mer komplekse ligninger, for eksempel rasjonelle brøklikninger, ligninger med høyere potenser, biquadratiske ligninger og på videregående skole trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske ligninger. Etter å ha studert alle metodene som er funnet for å løse andregradsligninger, kan vi råde klassekamerater, i tillegg til standardmetoder, til å løse ved overføringsmetoden (6) og løse likninger med egenskapen til koeffisienter (7), siden de er mer tilgjengelige for å forstå .

Litteratur:

1. Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.
2. Algebra klasse 8: lærebok for klasse 8. allmennutdanning institusjoner Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. utgave, revidert. - M.: Opplysning, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. En veiledning for lærere. / Red. V.N. Yngre. - M.: Opplysning, 1964.

Kvadratiske ligninger studeres i klasse 8, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er avgjørende.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a , b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før vi studerer spesifikke løsningsmetoder, legger vi merke til at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. De har nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske og lineære ligninger, hvor roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac .

Denne formelen må være kjent utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koeffisientene for den første ligningen og finner diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på samme måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen gjenstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er lik null - roten vil være en.

Merk at koeffisienter er skrevet ut for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig – men du vil ikke blande oddsen og ikke gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du "fyller hånden", trenger du ikke lenger å skrive ut alle koeffisientene etter en stund. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mange.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformelen for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du får det samme tallet, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når negative koeffisienter erstattes i formelen. Her, igjen, vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, mal hvert trinn - og bli kvitt feil veldig snart.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at andregradsligningen er noe annerledes enn det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Det er lett å se at ett av begrepene mangler i disse ligningene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de trenger ikke engang å beregne diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b \u003d c \u003d 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 \u003d 0. Åpenbart har en slik ligning en enkelt rot: x \u003d 0.

La oss vurdere andre saker. La b \u003d 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c \u003d 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer fra et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening når (−c / a ) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0 tilfredsstiller ulikheten (−c / a ) ≥ 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var diskriminanten ikke nødvendig - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c / a ) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien av x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis negativ, vil det ikke være noen røtter i det hele tatt.

La oss nå ta for oss ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av braketten

Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis vil vi analysere flere av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det er ingen røtter, fordi kvadratet kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.