Bollen beveger seg i labyrinten etter følgende prinsipp.

Oppgave 1. I en geometrieksamen får en student ett spørsmål fra listen eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et spørsmål på eksterne vinkler er 0,35. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,2. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

Løsning:

Arrangementer "Du vil få et spørsmål om emnet Inscribed Angles" og "Du vil få et spørsmål om emnet Inscribed Circle" – . Dette betyr at sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,35 + 0,2 = 0,55.

Svar: 0,55.

Oppgave 2. To fabrikker produserer det samme glasset for billykter. Den første fabrikken produserer 70 % av disse glassene, den andre – 30 %. Den første fabrikken produserer 1% av defekt glass, og den andre - 3%. Finn sannsynligheten for at glass kjøpt ved et uhell i en butikk vil være defekt.

Løsning:

Situasjon 1:

Glasset kommer fra den første fabrikken (hendelsessannsynlighet 0,7) og (multiplikasjon) den er defekt (sannsynlighet for hendelse 0,01).

Det vil si at begge hendelsene må skje. På sannsynlighetsteoriens språk betyr dette hver av hendelsene:

Situasjon 2:

Glasset kommer fra den andre fabrikken (hendelsessannsynlighet 0,3) Og den er defekt (sannsynlighet for hendelse 0,03):

Fordi når vi kjøper glass befinner vi oss i situasjon 1 eller (beløp) i situasjon 2 får vi:

Svar: 0,016.

Oppgave 3. I kjøpesenteret selger to like automater kaffe. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,3. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,16. Finn sannsynligheten for at det på slutten av dagen er kaffe igjen i begge maskinene.

Løsning:

Sannsynligheten for hendelse A: "kaffen går tom i den første maskinen" P(A) er 0,3.

Sannsynligheten for hendelse B: "kaffen går tom i den andre maskinen" P(B) er 0,3.

Sannsynligheten for hendelse AB: «kaffen går tom i begge maskiner» P(AB) er lik 0,16.

Sannsynlighet for summen av to felles arrangementer A+B er summen av deres sannsynligheter uten sannsynligheten for hendelse AB:

Vi er interessert i sannsynligheten for en hendelse motsatt hendelse A+B. Faktisk er totalt 4 arrangementer mulige, tre av dem markert gul, tilsvarer hendelse A+B:

Svar: 0,56.

Oppgave 4. Det er to betalingsautomater i butikken. Hver av dem kan være feil med sannsynlighet 0,12, uavhengig av den andre maskinen. Finn sannsynligheten for at minst én maskin fungerer.

Løsning:

Begge maskinene er defekte med sannsynlighet

Minst én maskin fungerer (bra+defekt, defekt+feil, bra+bra) – dette er en hendelse motsatt av hendelsen "begge maskinene er defekte", så sannsynligheten er

Svar: 0,9856.

Oppgave 5. En skiskytter skyter på skiver 5 ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,85. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første 3 gangene og bommet de to siste. Avrund resultatet til hundredeler.

Løsning:

Skiskytter treffer målet for første gang og (multiplikasjon) sekund, Og tredje:

Siden sannsynligheten for å treffe målet er , så er sannsynligheten motsatt hendelse, frøken, -

Skiskytteren bommet på det fjerde skuddet Og på den femte:

Da er sannsynligheten for at skiskytteren treffer målet de første 3 gangene ( Og!) de to siste savnede er som følger:

Svar: 0,01.

Oppgave 6. Sannsynligheten for at en ny støvsuger holder mer enn ett år, er lik 0,92. Sannsynligheten for at den varer mer enn to år er 0,84. Finn sannsynligheten for at det vil vare mindre enn to år, men mer enn ett år.

Løsning:

Tenk på følgende hendelser:

A – "støvsugeren vil vare mer enn ett år, men mindre enn 2",

B – "støvsugeren vil vare mer enn 2 år",

C – "støvsugeren vil vare mer enn ett år."

Hendelse C er summen av felles hendelser A og B, altså

Men siden både A og B ikke kan skje samtidig.

Svar: 0,08.

Oppgave 7. Rommet er opplyst av en lykt med tre lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,07. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut i løpet av året.

Løsning:

Sannsynlighet for at alle tre lyspærene brenner ut innen et år

Da er sannsynligheten for den motsatte hendelsen - minst en lampe vil ikke brenne ut - er

Svar: 0,999657.

Oppgave 8. Landbruksbedriftskjøp kyllingegg i to husstander. 40 % av eggene fra den første gården er egg høyeste kategori, og fra den andre gården - 90% av eggene i den høyeste kategorien. Totalt får 60 % av eggene den høyeste kategorien. Finn sannsynligheten for at et egg kjøpt fra dette landbruksbedriften vil være fra den første gården.

Løsning:

Metode I

La sannsynligheten for at egget kjøpt fra landbruksbedriften er fra gård jeg være . Da er sannsynligheten for at egget kjøpt fra landbruksbedriften er fra bruk II .

1) fra gård I Og Kategori I

2) fra bruk II Og I kategori,

II metode

La være antall egg fra den første gården, da er antallet egg av den høyeste kategorien i denne gården .

La være antall egg fra den andre gården, da er antallet egg av den høyeste kategorien i denne gården .

Siden, i henhold til betingelsen, får 60% av eggene den høyeste kategorien, og alle egg kjøpt av landbruksselskapet, hvorav den høyeste kategorien, da

Det vil si at det kjøpes inn mange ganger flere egg fra den første gården.

Da er sannsynligheten for at egget som kjøpes fra dette landbruksbedriften vil være fra den første gården

Svar: 0,6.

Oppgave 9. Cowboy John har en sjanse på 0,9 til å treffe en flue på veggen hvis han avfyrer en nullstilt revolver. Hvis John avfyrer en uavfyrt revolver, treffer han flua med sannsynlighet 0,3. Det er 10 revolvere på bordet, bare 4 av dem er skutt. Cowboy John ser en flue på veggen, griper tilfeldig den første revolveren han kommer over og skyter fluen. Finn sannsynligheten for at John bommer.

Løsning:

John griper den seende revolveren (muligens) Og bommer (sannsynlighet). Sannsynligheten for denne hendelsen

John griper en uavfyrt revolver (muligens) Og bommer (sannsynlighet). Sannsynligheten for denne hendelsen

John kan ta en seende revolver og bomme eller ta en uavfyrt revolver og gå glipp av, så den nødvendige sannsynligheten er:

Svar: 0,46.

Oppgave 10. Sannsynligheten for at elev U løser mer enn 12 oppgaver riktig på en matteprøve er 0,78. Sannsynligheten for at U løser mer enn 11 oppgaver riktig er 0,88. Finn sannsynligheten for at U løser nøyaktig 12 oppgaver riktig.

Løsning:

La hendelse A: "eleven løser 12 problemer riktig,"

hendelse B: "eleven skal løse mer enn 12 problemer",

hendelse C: "eleven vil løse mer enn 11 problemer."

I dette tilfellet er sannsynligheten for hendelse C summen av sannsynlighetene for hendelser A og B:

– dette er ønsket sannsynlighet.

Svar: 0,1.

Oppgave 11. I Eventyrland Det er to typer vær: bra og utmerket, og været, når det først er etablert om morgenen, forblir uendret hele dagen. Det er kjent at med sannsynlighet 0,8 vil været i morgen være det samme som i dag. 3. august er det fint vær i Magic Land. Finn sannsynligheten for at været blir flott i Eventyrland 6. august.

Løsning:

(Vi merket «X» for «godt vær», «O» for «utmerket vær»)

Hendelse D: XXXO vil oppstå med sannsynlighet

Hendelse F: ХХОО vil oppstå med sannsynlighet

Hendelse J: ХООО vil oppstå med sannsynlighet

Hendelse H: XOXO vil oppstå med sannsynlighet

Svar: 0,392.

Oppgave 12. Bildet viser en labyrint. Edderkoppen kryper inn i labyrinten ved inngangspunktet. Edderkoppen kan ikke snu og krype tilbake, så ved hver gren velger edderkoppen en av stiene som den ennå ikke har krøpet. Å tro at valget videre vei rent tilfeldig, avgjør med hvilken sannsynlighet edderkoppen kommer til å gå ut av D.

Løsning:

På sin vei møter edderkoppen fire gafler. Og ved hver gaffel kan edderkoppen velge banen som fører til avkjørsel D med sannsynlighet 0,5 (tross alt, ved hver gaffel er to uavhengige like mulige hendelser mulige: "velge riktig vei" og "velge feil vei"). Edderkoppen vil nå utgang D hvis han velger " den rette veien» ved første gaffel Og på den andre, Og på den tredje, Og på den fjerde, det vil si at edderkoppen vil komme til utgang D med en sannsynlighet lik
Svar: 0,0625.

Oppgave 13. Alle pasienter med mistanke om hepatitt gjennomgår en blodprøve. Hvis testen avslører hepatitt, kalles testresultatet positivt. Hos pasienter med hepatitt gir testen et positivt resultat med en sannsynlighet på 0,9. Hvis pasienten ikke har hepatitt, kan testen gi et falskt positivt resultat med en sannsynlighet på 0,01. Det er kjent at hos 6 % av pasientene med mistanke om hepatitt gir testen et positivt resultat. Finn sannsynligheten for at en pasient innlagt med mistanke om hepatitt faktisk har hepatitt. Avrund svaret til nærmeste tusen.

Løsning:

La være sannsynligheten for at en pasient innlagt med mistanke om hepatitt skikkelig syk hepatitt.

Så er sannsynligheten for at en pasient innlagt med mistanke om hepatitt ikke syk hepatitt.

Analysen gir positivt resultat i saker

pasienten er syk Og (multiplikasjon) testen er positiv

eller (addisjon)

pasienten er ikke syk Og testen er falsk positiv

Siden, i henhold til forholdene for problemet, hos 6% av pasientene med mistenkt hepatitt, gir analysen et positivt resultat, så

Avrund til nærmeste tusen:.

Svar: 0,056.

Oppgave 14. Under artilleriskyting avfyrer det automatiske systemet et skudd mot målet. Hvis målet ikke blir ødelagt, skyter systemet et andre skudd. Skuddene gjentas til målet er ødelagt. Sannsynligheten for å ødelegge et bestemt mål med det første skuddet er 0,4, og for hvert påfølgende skudd er det 0,6. Hvor mange skudd vil kreves for å sikre at sannsynligheten for å ødelegge målet er minst 0,98?

Løsning:

La oss omformulere problemspørsmålet:

Hvor mange skudd skal til for at mis-sannsynligheten er mindre enn 0,02?

Med ett skudd er sannsynligheten for bom 0,6.

Med to skudd er sannsynligheten for et bom (det første skuddet er et bom og det andre skuddet er et bom).

Med tre skudd er sannsynligheten for en miss –

Med fire skudd er sannsynligheten for en miss –

Med fem skudd er sannsynligheten for en miss –

Det merker vi.

Så fem skudd er nok til at sannsynligheten for å ødelegge målet er minst 0,98.

Forbereder på en statlig eksamen i matematikk. Nyttige materialer og videoanalyse av problemer i sannsynlighetsteori.

Nyttige materialer

Videoanalyse av oppgaver

Til rundt bord 3 gutter og 2 jenter sitter tilfeldig på 5 stoler. Finn sannsynligheten for at begge jentene vil sitte ved siden av hverandre.

I Magic Land er det to typer vær: bra og utmerket, og været, når det først er etablert om morgenen, forblir uendret hele dagen. Det er kjent at med en sannsynlighet på 0,7 vil været i morgen være det samme som i dag. I dag er det 28. mars, været i Magic Land er bra. Finn sannsynligheten for at været blir flott i Eventyrland 1. april.

50 utøvere konkurrerer i dykkemesterskapet, inkludert 8 hoppere fra Russland og 10 hoppere fra Mexico. Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at en hopper fra Russland vil konkurrere femtende.

Bildet viser en labyrint. Edderkoppen kryper inn i labyrinten ved "Entrance"-punktet. Edderkoppen kan ikke snu og krype tilbake, så ved hver gaffel velger edderkoppen en av stiene som den ennå ikke har krøpet. Forutsatt at valget av den videre veien er rent tilfeldig, avgjør med hvilken sannsynlighet edderkoppen kommer til å gå ut av D.

En automatisk linje produserer batterier. Sannsynligheten for at et ferdig batteri er defekt er 0,02. Før pakking går hvert batteri gjennom et kontrollsystem. Sannsynligheten for at systemet vil avvise et defekt batteri er 0,99. Sannsynligheten for at systemet feilaktig vil avvise et fungerende batteri er 0,01. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt produsert batteri vil bli avvist av inspeksjonssystemet.

Sannsynligheten for at batteriet er defekt er 0,06. En kjøper i en butikk velger en tilfeldig pakke som inneholder to av disse batteriene. Finn sannsynligheten for at begge batteriene er gode.

Utvalg av problemer

Misha hadde fire godteri i lommen - "Grilyazh", "Belochka", "Korovka" og "Swallow", samt nøklene til leiligheten. Mens han tok ut nøklene, mistet Misha ved et uhell ett stykke godteri fra lommen. Finn sannsynligheten for at "Grillage"-godteriet gikk tapt.
4 utøvere fra Finland, 7 utøvere fra Danmark, 9 utøvere fra Sverige og 5 fra Norge deltar i kulekonkurransen. Rekkefølgen utøverne konkurrerer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer sist er fra Sverige.
Før starten av første runde av badmintonmesterskapet blir deltakerne tilfeldig delt inn i spillepar ved bruk av lodd. Totalt deltar 26 badmintonspillere i mesterskapet, inkludert 10 deltakere fra Russland, inkludert Ruslan Orlov. Finne sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde vil spille med en hvilken som helst badmintonspiller fra Russland?
Det er 16 lag som deltar i verdensmesterskapet. Ved å bruke lodd må de deles inn i fire grupper med fire lag hver. Det er kort med gruppenummer blandet i boksen: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Lagkapteiner trekker en kort hver. Hva er sannsynligheten for at det russiske laget blir i den andre gruppen?
Vitenskapelig konferanse gjennomføres på 5 dager. Totalt er det planlagt 75 rapporter - de tre første dagene inneholder 17 rapporter, resten er fordelt likt mellom fjerde og femte dag. Rekkefølgen på rapporter fastsettes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at professor Maksimovs rapport blir planlagt til konferansens siste dag?
I gjennomsnitt, av 1000 solgte hagepumper, lekker 5. Finn sannsynligheten for at én tilfeldig valgt pumpe for kontroll ikke lekker.
Fabrikken produserer poser. I gjennomsnitt, for hver 100 kvalitetsposer, er det åtte poser med skjulte feil. Finn sannsynligheten for at den kjøpte vesken vil være av høy kvalitet. Avrund resultatet til hundredeler.
Mekanisk klokke med en tolvtimers urskive, på et tidspunkt brøt de sammen og sluttet å virke. Finn sannsynligheten for at timeviser frøs, nådde 10-merket, men nådde ikke 1 time-merket.
I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at den første gangen lander hoder, og den andre gangen den lander haler.
I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at hoder vises nøyaktig én gang.
I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt tre ganger. Finn sannsynligheten for at du får minst to hoder.
I et tilfeldig eksperiment blir to kastet terning. Finn sannsynligheten for at totalen blir 8 poeng. Avrund resultatet til hundredeler.
Band opptrer på rockefestivalen – ett fra hvert av de erklærte landene. Rekkefølgen av ytelsen bestemmes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at en gruppe fra Danmark vil opptre etter en gruppe fra Sverige og etter en gruppe fra Norge? Avrund resultatet til hundredeler.
Det er 26 personer i klassen, blant dem to tvillinger - Andrey og Sergey. Klassen er tilfeldig delt inn i to grupper på 13 personer hver. Finn sannsynligheten for at Andrey og Sergey vil være i samme gruppe.
Det er 21 personer i klassen. Blant dem er to venner: Anya og Nina. Klassen er tilfeldig delt inn i 7 grupper, 3 personer i hver. Finn sannsynligheten for det. at Anya og Nina vil være i samme gruppe.
Skytteren skyter mot skiven én gang. Hvis han bommer, skyter skytteren et andre skudd mot samme skive. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7. Finn sannsynligheten for at målet vil bli truffet (enten av det første eller andre skuddet).
Hvis stormester Antonov spiller hvit, vinner han mot stormester Borisov med sannsynlighet 0,52. Hvis Antonov spiller svart, vinner Antonov mot Borisov med sannsynlighet 0,3. Stormestrene Antonov og Borisov spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at Antonov vinner begge gangene.
Det er tre selgere i butikken. Hver av dem er opptatt med en klient med sannsynlighet 0,3. Finn sannsynligheten for at alle tre selgerne på et tilfeldig tidspunkt er opptatt samtidig (anta at kundene kommer inn uavhengig av hverandre).
Sannsynligheten for at en ny DVD-spiller vil bli reparert under garantien innen et år er 0,045. I en bestemt by, av 1000 DVD-spillere solgt i løpet av året, ble 51 enheter mottatt av garantiverkstedet. Hvor mye avviker hyppigheten av "garantireparasjons"-hendelsen fra sannsynligheten i denne byen?
Ved produksjon av lagre med en diameter på 67 mm, er sannsynligheten for at diameteren vil avvike fra den spesifiserte med ikke mer enn 0,01 mm 0,965. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig lager vil ha en diameter mindre enn 66,99 mm eller større enn 67,01 mm.
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt naturlig tall Er 10 til 19 delelig med tre?
Før starten av en fotballkamp slår dommeren en mynt for å bestemme hvilket lag som skal starte med ballen. Fizik-laget spiller tre kamper med forskjellige lag. Finn sannsynligheten for at "Physicist" i disse spillene vil vinne partiet nøyaktig to ganger.
Før starten av en volleyballkamp trekker lagkapteiner rettferdig lodd for å avgjøre hvilket lag som skal starte spillet med ballen. "Stator"-laget bytter på å spille med "Rotor", "Motor" og "Starter"-lagene. Finn sannsynligheten for at Stator starter kun det første og siste spillet.
Det er to betalingsautomater i butikken. Hver av dem kan være feil med sannsynlighet 0,05, uavhengig av den andre maskinen. Finn sannsynligheten for at minst én maskin fungerer.
Basert på kundeanmeldelser vurderte Ivan Ivanovich påliteligheten til to nettbutikker. Sannsynligheten for at ønsket produkt blir levert fra butikk A er 0,8. Sannsynligheten for at dette produktet blir levert fra butikk B er 0,9. Ivan Ivanovich bestilte varer fra begge butikkene samtidig. Forutsatt at nettbutikker opererer uavhengig av hverandre, finn sannsynligheten for at ingen butikk vil levere produktet.
En skiskytter skyter på mål fem ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første tre gangene og bommer de to siste. Avrund resultatet til hundredeler
Rommet er opplyst av en lykt med to lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,3. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut i løpet av året.
Ved geometrieksamen får studenten ett spørsmål fra listen over eksamensoppgaver. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et spørsmål om temaet "Parallelogram" er 0,15. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.
En buss går daglig fra distriktssenteret til landsbyen. Sannsynligheten for at det blir færre enn 20 passasjerer på bussen mandag er 0,94. Sannsynligheten for at det blir færre enn 15 passasjerer er 0,56. Finn sannsynligheten for at antall passasjerer vil være mellom 15 og 19.
Sannsynligheten for at en ny vannkoker holder mer enn ett år er 0,97. Sannsynligheten for at den varer mer enn to år er 0,89. Finn sannsynligheten for at det vil vare mindre enn to år, men mer enn ett år.
Sannsynligheten for at elev O. løser mer enn 11 oppgaver riktig på en biologiprøve er 0,67. Sannsynligheten for at O. løser mer enn 10 oppgaver riktig er 0,74. Finn sannsynligheten for at O. løser nøyaktig 11 oppgaver riktig.
For å gå videre til neste konkurranserunde, må et fotballag score minst 4 poeng på to kamper. Hvis et lag vinner, får det 3 poeng, hvis det er uavgjort, 1 poeng, og hvis det taper, 0 poeng. Finn sannsynligheten for at laget går videre til neste runde i konkurransen. Tenk på at i hvert spill er sannsynligheten for å vinne og tape den samme og lik 0,4.
I Magic Land er det to typer vær: bra og utmerket, og været, når det først er etablert om morgenen, forblir uendret hele dagen. Det er kjent at med sannsynlighet 0,8 vil været i morgen være det samme som i dag. I dag er det 3. juli, været i Magic Land er bra. Finn sannsynligheten for at været blir flott i Eventyrland 6. juli.
Det er 5 personer i turistgruppen. Ved hjelp av lodd velger de ut to personer som må gå til landsbyen for å kjøpe mat. Artyom vil gjerne gå til butikken, men han adlyder partiet. Hva er sannsynligheten for at Artem går til butikken?
For å komme inn på instituttet for spesialiteten "Lingvistikk", må en søker score minst 70 poeng på Unified State Examination i hvert av tre fag - matematikk, russisk språk og et fremmedspråk. For å melde deg på spesialiteten "Commerce", må du score minst 70 poeng i hvert av tre fag - matematikk, russisk språk og samfunnsfag. Sannsynligheten for at Petrov vil motta minst 70 poeng i matematikk er 0,6, på russisk - 0,8, i fremmedspråk-- 0,7 og i samfunnsfag -- 0,5. Finn sannsynligheten for at Petrov vil kunne melde seg på minst én av de to nevnte spesialitetene
Under artilleriskyting avfyrer det automatiske systemet et skudd mot målet. Hvis målet ikke blir ødelagt, skyter systemet et andre skudd. Skuddene gjentas til målet er ødelagt. Sannsynligheten for å ødelegge et bestemt mål med det første skuddet er 0,4, og for hvert påfølgende skudd er det 0,6. Hvor mange skudd vil kreves for å sikre at sannsynligheten for å ødelegge målet er minst 0,98?

Figuren viser hvordan lufttemperaturen endret seg fra 3. april til 5. april. Den horisontale aksen angir tidspunktet på dagen, den vertikale aksen angir temperaturen i grader Celsius. I hvor mange timer den 5. april var temperaturen over −3 grader Celsius?

Svar: 15.

Denne betingelsen er oppfylt av tiden fra 9 til 24 (midnatt), som tilsvarer 15 timer.

Oppgave 3. Opplæringsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larin.

En vinkel er avbildet på rutete papir. Finn verdien. Uttrykk svaret ditt i grader.

Svar: 45.

Som du kan se, er buen som den innskrevne vinkelen hviler på en fjerdedel av sirkelen. Gitt at en sirkel er 360 grader, er en bue 90 grader. Og siden størrelsen på den innskrevne vinkelen er lik halve buen som den hviler på, får vi 45 grader.

Oppgave 4. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Bildet viser en labyrint. Billen kryper inn i labyrinten ved "inngangspunktet". Billen kan ikke snu eller krype tilbake, så ved hver gaffel velger billen en av stiene som den ennå ikke har krøpet. Forutsatt at valget er rent tilfeldig, avgjør med hvilken sannsynlighet billen kommer til en av utgangene. Avrund resultatet til hundredeler.

Svar: 0,17.

Tar vi i betraktning at sannsynligheten for å gå i forskjellige retninger i kryss er den samme, får vi følgende verdier(oppgaven er ganske enkelt å designe banen til hver av utgangene, og ta i betraktning at for eksempel hvis det er to stier, så er sannsynligheten for å gå i én retning 0,5, hvis det er tre, så 1/3, osv. Helt tilbake trenger ikke å telle):

G: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)$$

A: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

$$\frac(1)(3)\cdot0.25(1+0.5+\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\cdot0.5)=$$ $$\frac (1) )(12)(\frac(6)(6)+\frac(3)(6)+\frac(2)(6)+\frac(1)(6))=$$ $$\frac (2) )(12)=\frac(1)(6)\approx0,17$$

Oppgave 6. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

I trekant ABC halveringslinje AL er tegnet. Det er kjent at $$\angle ALC=130^(\circ)$$, og $$\angle ABC=103^(\circ)$$. Finn $$\vinkel ACB$$. Gi svaret i grader.

Svar: 23.

$$\vinkel ALB=180^(\sirkel)-\vinkel ALC=50^(\sirkel)$$; $$\angle BAL=180^(\circ)-\angle ABL-\angle ALB=180^(\circ)-103^(\circ)-50^(\circ)=27^(\circ)$$ ; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^(\circ)-\angle BAC-\angle ABC=23^(\circ)$$

Oppgave 7. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen $$y=f"(x)$$, definert på intervallet (−3; 9). På hvilket punkt i intervallet [−2; 3] kommer $$f (x)$$ ta høyeste verdi?

Svar: -2.

I denne oppgaven må du huske følgende: den deriverte er negativ, noe som betyr at funksjonen avtar. I vårt tilfelle er grafen til en vilkårlig funksjon plassert under Ox-aksen på hele segmentet [-2;3] (det faktum at den "hopper" påvirker ikke reduksjonen av funksjonen på noen måte: den reduseres ganske enkelt et sted raskere, et sted tregere). Siden funksjonen avtar gjennom hele segmentet, vil dens største verdi være i begynnelsen av segmentet.

Oppgave 8. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Hvor mange ganger vil volumet til oktaederet avta hvis alle kantene halveres?

Svar: 8.

For å løse disse problemene må du huske at omkretsen til lignende figurer er relatert som likhetskoeffisienten, arealer - som kvadratet av likhetskoeffisienten, og volumer - som terningen av likhetskoeffisienten. Det vil si at hvis du reduserer kanten til det halve, vil volumet endres med 8 ganger

Oppgave 9. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Finn verdien til uttrykket $$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))$$ for $$a=0.1$$.

Svar: 10.

$$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))=$$ $$\frac(a^(\frac(1)(4))\cdot a^(\frac(1)(12)))(a\cdot a^(\frac(1)(3)))=$$ $$a^(\frac(1)(4)+\frac( 1)(12)-1-\frac(1)(3))=$$ $$a^(-1)=\frac(1)(0,1)=10$$

Oppgave 10. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

I vannet dykkerklokke, som inneholder $$v=4$$ mol luft ved et trykk på $$p_(1)=1,2$$ atmosfærer, senkes sakte til bunnen av reservoaret. I dette tilfellet oppstår isotermisk kompresjon av luften. Arbeidet (i joule) utført av vann ved komprimering av luft bestemmes av uttrykket $$A=\alpha vT\log_(2)\frac(p_(2))(p_(1))$$, hvor α=5,75 - konstant, T =300 K er lufttemperaturen, $$p_(1)$$ (atm) er starttrykket, og $$p_(2)$$ (atm) er det endelige lufttrykket i klokken. Til hvilket maksimalt trykk $$p_(2)$$ (i atm) kan luft komprimeres i en bjelle hvis det ikke utføres mer enn 20 700 J arbeid ved komprimering av luften?

Svar: 9.6.

$$20700=5.75\cdot4\cdot300\log_(2)\frac(p_(2))(1,2)\Leftrightarrow $$$$\log_(2)\frac(p_(2))(1, 2) =\frac(20700)(23\cdot300)=3\venstrepil $$$$\frac(p_(2))(1,2)=2^(3)=8\venstrehøyrepil $$$$p_( 2) =1.2\cdot8=9.6$$

Oppgave 11. Opplæringsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larin.

Et motorskip, hvis hastighet i stille vann er 24 km/t, reiser langs elven og går tilbake til utgangspunktet etter å ha stoppet. Gjeldende hastighet er 2 km/t, oppholdet varer 4 timer, og skipet returnerer til utgangspunktet 16 timer etter avgang. Hvor mange kilometer gikk skipet under hele reisen?

Svar: 286.

La x være enveisavstanden. Hastigheten langs strømmen er 24+2=26, mot strømmen 24-2=22. Oppholdet varte i 4 timer, derfor ble selve seilasen 16-4=12. Denne gangen summeringen av tid langs strømmen og mot strømmen oppnås:

$$\frac(x)(26)+\frac(x)(22)=12\Leftrightarrow$$$$\frac(24x)(11\cdot13\cdot2)=12\Leftrightarrow $$$$x=\ frac(11\cdot12\cdot13\cdot2)(24)=143$$

Da var avstanden dit/tilbake 143-143=286 km.

Oppgave 12. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Finn minimumspunktet for funksjonen $$y=x\sin x+\cos x-\frac(3)(4)\sin x$$, som tilhører intervallet $$(0;\frac(\pi)(2) ))$$

Svar: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac(3)(4)\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac(3)(4) ) ))=0\venstrepil $$$$x=0.75 ; x=\frac(\pi)(2)+\pi*n, n \in Z$$

La oss merke de oppnådde punktene på koordinatlinjen og ordne tegnene til den deriverte (først vil vi vurdere hver av faktorene som er inkludert i den deriverte, deretter bare tegnet til selve deriverten, som et produkt av faktorer):

Som vi kan se fra figuren (F=0 er begynnelsen av segmentet vi ser på) er minimumspunktet x=0,75.

Oppgave 13. Opplæringsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larin.

A) Løs ligningen $$\cos2(x+\frac(\pi)(3))+4\sin(x+\frac(\pi)(3))=\frac(5)(2)$$

B) Finn røttene som tilhører segmentet $$[-\frac(\pi)(2);\pi]$$

Svar: $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$.

La $$x+\frac(\pi)(3)=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac(5)(2)\venstrepil $$$$1-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(5)(2)=0\ Venstrepil $$$$-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(3)(2)=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^(2)y-8\sin y+3 =0$$;

$$\sin y=\frac(8+4)(8)=\frac(3)(2)$$ - ingen løsninger;

$$\sin y=\frac(8-4)(8)=\frac(1)(2)\venstrepil $$$$\left\(\begin(matrise)y=\frac(\pi)(6 )+2\pi n,n\in Z\\y=\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrise)\right.\Leftrightarrow $$$$\ venstre\(\begin(matrise)x+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x+\frac(\pi)(3) =\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrise)\right.\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)x=-\frac( \pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x=\frac(\pi)(2)+2\pi n,n\in Z\end(matrise)\right.$$

La oss bygge enhetssirkel, legg merke til røttene i generelt syn og intervall og finn spesielle tilfeller av røtter:

Det er klart at røttene som faller inn i disse segmentene er $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$

Oppgave 14. Treningsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larina.

Grunnlaget firkantet pyramide SABCD er en kvadratisk ABCD med side AB=4. Sidekanten SC, lik 4, er vinkelrett på bunnen av pyramiden. Planet $$\alpha$$ som går gjennom toppunktet C parallelt med den rette linjen BD skjærer kanten SA i punktet M, og SM:MA=1:2

A) Bevis at $$SA\perp\alpha$$

B) Finn tverrsnittsarealet til pyramiden SABCD ved planet $$\alpha$$

Svar: $$\frac(8\sqrt(3))(3)$$.

a) 1) $$AS=\sqrt(16+32)=4\sqrt(3)$$; $$AM=\frac(4\sqrt(3)\cdot2)(3)$$; $$MS=\frac(4\sqrt(3))(3)$$; $$MC=\frac(4\cdot4\sqrt(2))(4\sqrt(3))=\frac(4\sqrt(2))(\sqrt(3))=\frac(4\sqrt( 6))(3)$$; $$4^(2)=(\frac(4\sqrt(6))(3))^(2)+(\frac(4\sqrt(3))(3))^(2)=\frac( 16\cdot6+16\cdot3)(9)=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

b) 1) $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(MS)(SA)\cdot\frac(AO)(OC)=1$$; $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(1)=1$$; $$\frac(CE)(EM)=\frac(3)(1)$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac(3)(4)\cdot CM=\frac(3)(4) )\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)=\sqrt(6)$$

2) $$\cos ACM=\frac(CM)(AC)=\frac(\frac(4\sqrt(6))(3))(4\sqrt(2))=\frac(\sqrt(3) ))(3)$$; $$OE=\sqrt(OC^(2)+CE^(2)-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM)=$$ $$\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+ (\sqrt(6))^(2)-2\cdot2\sqrt(2)\cdot\sqrt(6)\cdot\frac(\sqrt(3))(3))=$$ $$\sqrt( 8+6-\frac(4\cdot6)(3))=\sqrt(6)$$

3) $$SO=\sqrt(OC^(2)+SC^(2))=\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+4^(2))=\sqrt(24) $$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt(6)-\sqrt(6)=\sqrt(6)$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - midtlinje$$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac(1)(2)DB=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(2)=2\sqrt(2)$ $;

4) $$S_(CKMN)=\frac(1)(2)\cdot CM\cdot NK=\frac(1)(2)\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)\cdot2\ sqrt(2)=\frac(4\cdot\sqrt(12))(3)=\frac(8\sqrt(3))(3)$$

Oppgave 15. Opplæringsversjon av Unified State-eksamen nr. 229 Larin.

Løs ulikheten $$\log_(x-2)\frac(1)(5)\geq\log_(\frac(x-3)(x-5))\frac(1)(5)$$

Svar: $$x\in)