Kompleks integrasjon. Integrasjon av funksjoner til en kompleks variabel

Kalkulatoren løser integraler med en beskrivelse av handlingene DETALJERT på russisk og gratis!

Løse ubestemte integraler

Dette er en nettjeneste et skritt:

Løsning av bestemte integraler

Dette er en nettjeneste et skritt:

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi en nedre grense for integralet
• Angi en øvre grense for integralet

Løse doble integraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)

Løse upassende integraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi det øvre området for integrering (eller + uendelig)
• Gå inn i den nedre integrasjonsregionen (eller - uendelig)

Løsning av trippelintegraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi nedre og øvre grenser for det første integreringsområdet
• Skriv inn den nedre og øvre grensen for det andre integreringsområdet
• Skriv inn den nedre og øvre grensen for det tredje området for integrering

Denne tjenesten lar deg sjekke din beregninger for korrekthet

Evner

• Støtte for alle mulige matematiske funksjoner: sinus, cosinus, eksponent, tangens, cotangens, kvadrat- og kubikkrøtter, grader, eksponentiell og andre.
• Det finnes eksempler for input, både for ubestemte integraler, og for upassende og bestemte.
• Retter feil i uttrykkene du legger inn og tilbyr dine egne muligheter for input.
• Numerisk løsning for bestemte og upassende integraler (inkludert doble og trippelintegraler).
• Støtte for komplekse tall, så vel som forskjellige parametere (du kan spesifisere i integranden ikke bare integrasjonsvariabelen, men også andre parametervariabler)

La oss vurdere en jevn kurve Γ i det komplekse planet gitt av de parametriske ligningene

(definisjonen av en jevn kurve er gitt i begynnelsen av §8). Som nevnt i § 8, kan disse ligningene skrives i en kompakt form:

Ved endring av parameter t fra en til /3 tilsvarende punkt z(t) vil bevege seg langs kurven Γ. Derfor bestemmer ligningene (15.1) og (15.2) ikke bare punktene til kurven Γ, men setter også retningen for å gå rundt denne kurven. Kurve Г med en gitt omløpsretning kalles orientert kurve.

Slipp inn i området D C C kontinuerlig funksjon f(r) = = u(x, y) + iv(x.y), og la kurven Γ ligge inn D.Å introdusere begrepet en integral [f(z)dz fra funksjon f(z) langs kurven r definerer vi r

differensial dz likestilling dz = dx + idy. Integranden transformeres til formen

Dermed integralet av den komplekse funksjonen f(z) langs kurven Γ er det naturlig å definere ved likheten

hvis høyre side inneholder to reelle krumlinjede integraler av den andre typen reelle funksjoner og og og. For å beregne disse integralene, i stedet for X og på erstatningsfunksjoner x(t) og t/(/), men i stedet for dx og dy- forskjeller mellom disse funksjonene dx = x"(t) dt og dy = y"(t)dt. Deretter reduseres integralene på høyre side av (15.3) til to integraler av funksjoner til en reell variabel t

Vi er nå klare til å gi følgende definisjon.

Integrert langs en kurve G på funksjonen til den komplekse variabelen f(z) nummeret ringes opp J" f(z)dz og beregnet av

hvor z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - ligningen for kurven Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Eksempel 15.1. Regn ut integralet til en funksjon f(z) = (g - a) s langs en sirkel med radius r med sentrum a, hvis omløpsretning er mot klokken.

Løsning: Likning av en sirkel z - a= g vil z - a = ge a, eller

Når det endres t. fra 0 til 2tg poeng z(t.) beveger seg i en sirkel r mot klokken. Deretter

Ved å bruke likhet (15.5) og De Moivre-formelen (2.10) får vi

Vi har fått et resultat som er viktig for videre presentasjon:

Merk at verdien til integralet ikke avhenger av radiusen G sirkler.

EKSEMPEL 15.2. Regn ut integralet til en funksjon f(z) = 1 men en jevn kurve Γ med origo i punktet en og avslutte på et punkt b.

Løsning La kurven Γ være gitt av ligningen z(t.) = x(t) + + iy(t), og ^ t^ /3, og en= -r(a), b = z((3). Ved å bruke formel (15.5), samt Newton-Leibniz-formelen for å beregne integraler av reelle funksjoner, får vi

Vi ser at integralen f 1 dz avhenger ikke av typen sti G, koble-

mellom punktene a og 6, og avhenger kun av endepunktene.

La oss kort beskrive en annen tilnærming til definisjonen av integralet til den komplekse funksjonen f(z) langs en kurve, lik definisjonen av et integral av en reell funksjon over et segment.

La oss dele inn kurven Γ på en vilkårlig måte P plotter poeng zq = a, z 1, ..., z n-te z n = b, nummerert i bevegelsesretningen fra startpunktet til slutten (fig. 31). Betegn z - zo ==Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -Zn- 1 = = Azn.(Antall Azk representert av en vektor som kommer fra punktet zi L_i inn Zk-) På hvert sted (zk-i,Zk) vi velger et vilkårlig punkt på kurven (q- og utgjør summen

Dette beløpet kalles integral sum. La oss betegne med L lengden av det største av segmentene som kurven G er delt inn i. Tenk på en sekvens av partisjoner for hvilke A -? 0 (mens P-* oo).

П1> enheter av integrerte summer, beregnet under forutsetning av at lengden på det største av segmentene til partisjonen har en tendens til null, kalles integral av funksjonen/(G) langs kurven G og er betegnet med G f(z)dz:

Det kan vises at denne definisjonen også leder oss til formel (15.3) og er derfor ekvivalent med definisjonen (15.5) gitt ovenfor.

La oss etablere hovedegenskapene til integralet / f(z)dz.

1°. Linearitet. For alle komplekse konstanter a og b

Denne egenskapen følger av likhet (15,5) og de tilsvarende egenskapene til integralet over et segment.

2°. Additivitet. Hvis kurven G delt inn i segmenter Ti m G2, deretter

Bevis. La kurven Γ med endene a, b er delt med et punkt c i to deler: en kurve Гi med ender a, Med og kurven Gr med ender med, b. La Г være gitt ved ligningen z = z(t), en ^ t ^ i. og en= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Da blir ligningene til kurvene Г1 og Гг z = z(t), hvor en ^ t^7 for Ti og 7^ t^/? for Gg. Ved å anvende definisjon (15.5) og de tilsvarende egenskapene til integralet over et segment får vi

Q.E.D.

Egenskap 2° gjør det mulig å beregne integraler ikke bare over jevne kurver, men også stykkevis glatt, dvs. kurver som kan deles inn i et begrenset antall glatte seksjoner.

3°. Når kurvens retning endres, skifter integralet fortegn.

Bevis l med t i ca. La kurven Г slutte en og b er gitt ved ligningen r = r(?), o ^ t ^ $. En kurve som består av de samme punktene som Γ, men som avviker fra Γ i omveisretningen (orienteringen), vil bli betegnet med Γ. Da er Г - gitt av ligningen z= 2i(J)> hvor z(t)= 2(0 -I - fi - t), Faktisk introduserer vi en ny variabel r = a + - t. Når det endres t fra a til (d variabel r endres fra (5 til en. Følgelig vil punktet r(m) løpe gjennom kurven r.

Egenskap 3° er påvist. (Merk at denne egenskapen følger direkte av definisjonen av integralet (15.8): når orienteringen til kurven endres, øker alle inkrementer AZk endre tegn.)

4°. Modulen til integralet f f(z)dz overskrider ikke krumningens verdi G

lineært integral av modulen til funksjonen langs lengden av kurven s (kurvilineært integral av f(z) av den første typen):

Det er lett å se det z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr. Ved å bruke definisjonen (15.5) og gå over til variabelen r, får vi

Bevis. La oss bruke det faktum at for integralet over et segment

(denne ulikheten følger umiddelbart av definisjonen av integralet over et segment som grensen for integralesummer). Herfra og fra (15.5) har vi

1. Grunnleggende begreper

2. Beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

3. Eksempler på beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

4. Hoved-Cauchy-teoremet for en enkel kontur

5. Cauchys teorem for en kompleks kontur

6. Integrert Cauchy-formel

7. Beregning av integraler over en lukket sløyfe

8. Eksempler på beregning av integraler over en lukket kontur

Enkle konsepter

1. Konseptet med et integral av en funksjon av en kompleks variabel introduseres (på samme måte som i det reelle området) som grensen for en sekvens av integralsummer; funksjonen er definert på en eller annen kurve l, kurven antas å være jevn eller stykkevis jevn:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

hvor x_k er et punkt valgt på buen \Delta l_k av kurvedelingen; \Delta z_k - økning av funksjonsargumentet på denne delen av splittelsen, \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- delt trinn, |\Delta z_k| - lengden på akkorden som forbinder endene av buen \Delta l_k ; kurven l er delt vilkårlig inn i n deler \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Det velges en retning på kurven, dvs. start- og sluttpunkter er spesifisert. Ved lukket kurve \tekststil(\venstre(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integrasjon skjer i positiv retning, dvs. i en retning som forlater endeområdet avgrenset av stien til venstre.

Formel (2.43) definerer krumlinjet integral av en funksjon av en kompleks variabel. Hvis vi skiller ut de reelle og imaginære delene av funksjonen f(z) , dvs. skriv det ned i skjemaet

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatørnavn(Re)f(z),\quad v=\operatørnavn(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

da kan integralsummen skrives i form av to ledd, som vil være integralsummene av krumlinjede integraler av den andre typen funksjoner til to reelle variabler. Hvis f(z) antas å være kontinuerlig på l, så vil u(x, y),~ v(x, y) også være kontinuerlig på l, og derfor vil det være grenser for de tilsvarende integral summene. Derfor, hvis funksjonen f(z) er kontinuerlig på l, så eksisterer grensen i likhet (2,43), dvs. det er et krumlinjet integral av funksjonen f(z) over kurven l og formelen

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Ved å bruke definisjonen av en integral eller formel (2.44) og egenskapene til krumlinjede integraler av den andre typen, er det lett å verifisere gyldigheten av følgende egenskaper til en krumlinjet integral av funksjoner til en kompleks variabel (egenskaper kjent fra reell analyse) .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \venstre|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(justert)

spesielt, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), hvis funksjonen er avgrenset i absolutt verdi på kurven AB , dvs |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Denne egenskapen kalles egenskapen til å estimere modulen til integralet.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Formel (2.44) kan betraktes både som en definisjon av en krumlinjet integral av en funksjon av en kompleks variabel, og som en formel for dens beregning gjennom krumlinjede integraler av den andre typen funksjoner av to reelle variabler.

For å bruke og huske beregningsformelen, merker vi at likhet (2.44) tilsvarer den formelle utførelsen på venstre side under tegnet til integralet av operasjonene for å trekke ut de reelle og imaginære delene av funksjonen f(z) , multiplisert med dz=dx+i\,dy og skrive det resulterende produktet i algebraisk form:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Eksempel 2.79. Beregn integraler og \int\limits_(OA)z\,dz, hvor linjen OA

a) et linjestykke som forbinder punktene z_1=0 og z_2=1+i ,
b) stiplet linje OBA , hvor O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ Løsning

1. Regn ut integralet \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Her f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Vi skriver integralet i form av krumlinjede integraler av den andre typen:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

som tilsvarer formel (2.44). Vi beregner integralene:

a) integrasjonsveien er derfor et rett linjesegment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) integrasjonsveien er en stiplet linje, bestående av to segmenter OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) og BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Derfor får vi ved å dele integralet i to og utføre beregninger

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integralet til funksjonen f(z)=\overline(z) avhenger av valget av integrasjonsveien som forbinder punktene O og A .

2. Regn ut integralet \tekststil(\int\limits_(OA)z\,dz) her f(z)=z=x+iy. Vi skriver integralet i form av krumlinjede integraler av den andre typen

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Integrandene til de oppnådde integralene av den andre typen er totale differensialer (se betingelse (2.30)), så det er tilstrekkelig å vurdere ett tilfelle av en integrasjonsbane. Så, i tilfelle "a", hvor ligningen til segmentet y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, får vi svaret

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

På grunn av integralets uavhengighet fra integrasjonsbanens form, kan oppgaven i dette tilfellet formuleres i en mer generell form: beregn integralet

\int\limits_(l)z\,dz fra punkt z_1=0 til punkt z_2=1+i .

I neste underkapittel vurderer vi slike tilfeller av integrering nærmere.

2. La integralet til en kontinuerlig funksjon i et eller annet domene være uavhengig av formen til kurven som forbinder to punkter i dette domenet. La oss fikse startpunktet, som betegner z_0 . endepunktet er en variabel, la oss betegne det z . Da vil verdien av integralet bare avhenge av punktet z, det vil si at det definerer en funksjon i det angitte området.

Nedenfor vil vi begrunne påstanden om at i tilfelle av et enkelt tilkoblet domene, definerer integralet en funksjon med én verdi i dette domenet. Vi introduserer notasjonen

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funksjonen F(z) er et integral med en variabel øvre grense.

Ved å bruke definisjonen av et derivat, dvs. med tanke på \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), er det lett å verifisere at F(z) har en derivert på et hvilket som helst punkt i definisjonsdomenet, og derfor er analytisk i det. I dette tilfellet får vi formelen for den deriverte

F"(z)=f(z).

Den deriverte av et integral med en variabel øvre grense er lik verdien av integranden ved den øvre grensen.

Det følger spesielt av likhet (2.46) at integranden f(z) i (2.45) er en analytisk funksjon, siden den deriverte F"(z) av den analytiske funksjonen F(z) av egenskapen til slike funksjoner ( se påstand 2.28) - analytisk funksjon.

3. Funksjonen F(z) som likhet (2.46) gjelder kalles antideriverten for funksjonen f(z) i et enkelt koblet domene, og samlingen av antideriverte \Phi(z)=F(z)+c , hvor c=\text( const) , - et ubestemt integral av funksjonen f(z) .

Fra punkt 2 og 3 får vi følgende påstand.

Uttalelse 2.25

1. Integrert med variabel øvre grense \tekststil(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) fra en funksjonsanalytisk i et enkelt tilkoblet domene er det en funksjonsanalytisk i dette domenet; denne funksjonen er antiderivativ for integranden.

2. Enhver funksjon som er analytisk i et enkelt tilkoblet domene har et antiderivat i seg (eksistensen av et antiderivat).

Antiderivater av analytiske funksjoner i enkelt koblede domener finnes, som i tilfellet med reell analyse: egenskapene til integraler, tabellen over integraler og integreringsregler brukes.

For eksempel, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Mellom det krumlinjede integralet til en analytisk funksjon og dets antiderivat i et enkelt koblet domene, er det en formel som ligner på Newton-Leibniz-formelen fra ekte analyse:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Som i reell analyse, i det komplekse domenet, bortsett fra integraler som inneholder en parameter innenfor grensene for integrasjon (formel (2.45) gir det enkleste eksemplet på slike integraler), anses integraler som avhenger av parameteren i integraden: \tekststil(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Blant slike integraler er en viktig plass i teorien og praksisen for kompleks integrasjon og applikasjoner okkupert av en integral av formen \tekststil(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Forutsatt at f(z) er kontinuerlig på linjen l, får vi at for ethvert punkt z som ikke tilhører l, eksisterer integralet og bestemmer, i ethvert område som ikke inneholder l, en funksjon

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integralet (2.48) kalles Cauchy-type integralet; multiplikatoren \frac(1)(2\pi\,i) introduseres for å gjøre det enklere å bruke den konstruerte funksjonen.

For denne funksjonen, så vel som for funksjonen definert av likhet (2.45), er det bevist at den er analytisk overalt i definisjonsdomenet. Dessuten, i motsetning til integralet (2.45), kreves det ikke her at genereringsfunksjonen f(z) skal være analytisk, dvs. formel (2.48) brukes til å konstruere en klasse med analytiske funksjoner på klassen av kontinuerlige funksjoner til en kompleks variabel. Den deriverte av integralet (2.48) bestemmes av formelen

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

For å bevise formel (2.49) og følgelig å hevde at et integral av Cauchy-typen er analytisk, er det nok, i henhold til definisjonen av en derivat, for å fastslå gyldigheten av ulikheten

\venstre|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\høyre|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

for enhver \varepsilon>0 og for enhver z fra domenet til funksjonen F(z) .

Den samme metoden kan brukes for å vise at det eksisterer en derivert av funksjonen definert av likhet (2.49), dvs. F""(z) , og formelen

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Prosedyren kan fortsettes og vi kan bevise ved induksjon formelen for den deriverte av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen F(z)\kolon

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Ved å analysere formlene (2.48) og (2.49), er det lett å se at den deriverte F(z) kan oppnås formelt ved å differensiere med hensyn til parameteren under integrertegnet i (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \venstre(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\venstre(\frac(f) (\xi))(\xi-z)\høyre)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Ved å formelt anvende regelen for differensiering av et integral avhengig av en parameter n ganger, får vi formel (2.50).

Vi skriver resultatene oppnådd i denne delen i form av en påstand.

Påstand 2.26. Integral \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi fra en funksjon f(z) , kontinuerlig på kurven l , er det en funksjon som er analytisk i et hvilket som helst domene D som ikke inneholder l ; de deriverte av denne funksjonen kan oppnås ved å differensiere med hensyn til parameteren under integrertegnet.

Beregning av integraler fra funksjoner til en kompleks variabel

Ovenfor oppnås formler for å beregne integraler av funksjoner til en kompleks variabel - formler (2.44) og (2.47).

Hvis kurven l i formelen (2.44) er satt parametrisk: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta eller, som tilsvarer den faktiske formen: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, så, ved å bruke reglene for beregning av integraler av den andre typen i tilfelle av en parametrisk spesifikasjon av en kurve, kan vi transformere formel (2.44) til formen

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Resultatet oppnådd og resultatene oppnådd i forrige forelesning vil bli skrevet som en sekvens av handlinger.

Metoder for beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Første vei. Beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l)f(z)\,dz) fra en kontinuerlig funksjon ved å redusere til krumlinjede integraler av funksjoner til reelle variabler - anvendelse av formel (2.44).

1. Finn \operatørnavn(Re)f(z)=u,~ \operatørnavn(Im)f(z)=v.

2. Skriv integranden f(z)dz som et produkt (u+iv)(dx+i\,dy) eller multipliser, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Beregn kurvelinjeformede integraler av formen \tekststil(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), hvor P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) i henhold til reglene for beregning av krumlinjede integraler av den andre typen.

Den andre måten. Beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l) f(z)\,dz) fra en kontinuerlig funksjon ved å redusere til et bestemt integral i tilfelle av en parametrisk spesifikasjon av integrasjonsveien - anvendelse av formel (2.51).

1. Skriv den parametriske ligningen til kurven z=z(t) og bestem integrasjonsgrensene fra den: t=\alpha tilsvarer startpunktet for integrasjonsbanen, t=\beta - til endepunktet.

2. Finn differensialen til en funksjon med kompleks verdi z(t)\kolon\, dz=z"(t)dt.
3. Bytt ut z(t) i integranden, transformer integralet

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Beregn det bestemte integralet fra funksjonen med kompleks verdi til en reell variabel oppnådd i seksjon 3.

Merk at integrasjonen av en funksjon med kompleks verdi av en reell variabel ikke skiller seg fra integrasjonen av en funksjon med reell verdi; den eneste forskjellen er tilstedeværelsen i det første tilfellet av faktoren i , handlinger som selvfølgelig betraktes som med en konstant. For eksempel,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Den tredje veien. Beregning av integraler av analytiske funksjoner i enkelt koblede domener - anvendelse av formel (2.47).

1. Finn antideriverten F(z) ved å bruke egenskapene til integraler, tabellintegraler og metoder kjent fra reell analyse.

2. Bruk formel (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Merknader 2.10

1. I tilfellet med et multiplisert sammenkoblet område, foretas kutt slik at en funksjon F(z) med én verdi kan oppnås.

2. Ved integrering av enkeltverdiede grener av funksjoner med flere verdier, skilles en gren ved å sette verdien til funksjonen på et eller annet punkt av integrasjonskurven. Hvis kurven er lukket, er startpunktet for integrasjonsbanen punktet der verdien til integranden er gitt. Verdien av integralet kan avhenge av valget av dette punktet.

▼ Eksempler 2.80-2.86 beregne integraler av funksjoner til en kompleks variabel

Eksempel 2.80. Regne ut \int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz, der l er en linje som forbinder punktet z_1=0 med punktet z_2=1+i\kolon

a) l - rett linje; b) l - stiplet linje OBA , hvor O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ Løsning

a) Vi bruker den første metoden - (formel (2.44)).

1.2. Integranden har formen \operatørnavn(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Derfor

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Regn ut integralene for y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(ligningen til segmentet OA som forbinder punktene z_1 og z_2 ). Vi får

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Siden integrasjonsbanen består av to segmenter, skriver vi integralet som summen av to integraler:

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatørnavn(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatørnavn(Re)z\,dz

og hver er beregnet som i forrige avsnitt. Dessuten har vi for segmentet OB

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) og for segmentet BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Vi gjør beregninger:

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Merk at integranden i dette eksemplet ikke er en analytisk funksjon, så integralene over to forskjellige kurver som forbinder to gitte punkter kan ha forskjellige verdier, noe som er illustrert i dette eksemplet.

Eksempel 2.81. Regne ut \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, hvor l er den øvre halvsirkelen |z|=1 , utenom kurven l mot klokken.

▼ Løsning

Kurven har en enkel parametrisk ligning z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, så det er praktisk å bruke den andre metoden (formel (2.51)). Integranden her er en kontinuerlig funksjon, den er ikke analytisk.

1.2. For z=e^(it) finner vi \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Erstatter i integranden. Vi beregner integralet

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Eksempel 2.82. Beregn integraler av analytiske funksjoner:

en) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), går ikke integrasjonsveien gjennom punkt i.

▼ Løsning

a) Bruk formel (2.47) (tredje regel); vi finner antiderivatet ved å bruke metoder for reell analyseintegrasjon:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \venstre.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatørnavn(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatørnavn(sh)2).

b) Integranden er analytisk overalt bortsett fra punktet i. Etter å ha tegnet et plan skåret langs strålen fra punkt i til \infty , får vi et enkelt koblet område der funksjonen er analytisk og integralet kan beregnes med formel (2.47). Derfor, for enhver kurve som ikke går gjennom punktet i, kan integralet beregnes ved hjelp av formelen (2.47), mens det for to gitte punkter vil ha samme verdi.

På fig. 2.44 viser to tilfeller av kutt. Retningen for å omgå grensen til enkelt koblede områder, der integranden er analytisk, er indikert med piler. Vi beregner integralet:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \venstre.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1) )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Eksempel 2.83. Beregn integral \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Løsning

Integranden er analytisk overalt i \mathbb(C) . Vi bruker den tredje metoden, formel (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \venstre.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Dette resultatet er oppnådd i eksempel 2.78 i henhold til den første metoden.

Eksempel 2.84. Beregn integral \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), hvor C er en sirkel |z-a|=R .

▼ Løsning

La oss bruke den andre metoden.

1. Vi skriver sirkelligningen i parametrisk form: z-a=R\,e^(it) , eller z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Finne differensialen dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Bytt ut z=a+R\,e^(it) og dz i integranden:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Vi beregner det resulterende bestemte integralet. For n\ne1 får vi

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Fordi e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, derfor \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 for n\ne1 . For n=1 får vi \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Vi skriver resultatet i form av en formel:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Spesielt, \tekststil(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Merk at hvis sirkelen C\colon |z-a|=R omgår punktet k ganger, endres argumentet (parameteren) fra 0 til 2\pi k ( k>0 , hvis sirkelen er i positiv retning, dvs. mot klokken, og k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Eksempel 2.85. Beregn integralet til en funksjon av en kompleks variabel \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) integrasjonsbanen går ikke gjennom punktet z=0 og omgår det ikke, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) integrasjonsbanen går ikke gjennom punktet z=0 , men går rundt det n ganger rundt sirkelen mot klokken.

▼ Løsning

a) Dette integralet - et integral med en variabel øvre grense - definerer en enkeltverdi analytisk funksjon i et hvilket som helst enkelt tilkoblet domene (se 2.45)). La oss finne et analytisk uttrykk for denne funksjonen - antiderivert for f(z)=\frac(1)(z) . Skille de virkelige og imaginære delene av integralet \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(ved å bruke formel (2.44)), er det lett å verifisere at integrandene til integraler av den andre typen er totale differensialer, og derfor er integralet \frac(d\xi)(\xi) ikke avhengig av formen til kurve som forbinder punktene z_1=1 og z . La oss velge en bane som består av et segment av Ox-aksen fra punktet z_1=1 til punktet z_2=r , hvor r=|z| , og buer l av sirkelen. forbinder z_2 med z (fig. 2.45, a).

Vi skriver integralet som en sum: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). For å beregne integralet over en sirkelbue bruker vi formel (2.51), mens buen har ligningen \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Vi får \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; som et resultat

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Høyre side av likheten definerer en funksjon med én verdi \ln z - hovedverdien til logaritmen. Svaret får vi i skjemaet

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Merk at den resulterende likheten kan tas som definisjonen av en funksjon med én verdi \ln z i et enkelt koblet domene - et plan med et kutt langs den negative reelle halvaksen (-\infty;0] .

b) Integralet kan skrives som en sum: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d) \xi)(\xi), hvor c er sirkelen |z|=1 krysset mot klokken n ganger, og l er kurven som forbinder punktene z_1 og z og ikke omslutter punktet z=0 (fig. 2.45,b).

Det første leddet er lik 2n\pi i (se eksempel 2.84), det andre - \ln(z) - formelen (2.53). Vi får resultatet \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Eksempel 2.86. Beregn integral \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) langs den øvre sirkelbuen |z|=1 gitt: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Løsning

Ved å angi verdiene til funksjonen \sqrt(z) ved punktet av integreringskonturen kan du velge enkeltverdiede grener av uttrykket \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(se eksempel 2.6). Kuttet kan for eksempel tegnes langs den imaginære negative halvaksen. Siden for z=1 har vi \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, så velges i det første tilfellet en gren med k=0, i det andre - med k=1 . Integranden på integrasjonskonturen er kontinuerlig. For å løse bruker vi formel (2.51), kurven er gitt av ligningen z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Grenen er definert når k=0 , dvs. fra z=e^(it) for integranden vi får \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Vi beregner integralet:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2) \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \venstre(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\høyre)= 2(i-1).

b) Grenen bestemmes når k=1, dvs. fra z=e^(it) for integranden vi har \sqrt(z)= e^(i \venstre(\frac(t)(2)+\pi\høyre))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Vi beregner integralet:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

I teori og praksis, i anvendelser av integralberegningen av funksjoner til en kompleks variabel, når man studerer oppførselen til funksjoner i avgrensede områder eller i nærheten av individuelle punkter, vurderes integraler langs lukkede kurver - spesielt grensene til regioner, nabolag av poeng. Vi vil vurdere integraler \oint\limits_(C)f(z)dz, hvor f(z) er analytisk i noen region med unntak av individuelle punkter, C er grensen til regionen eller den indre konturen i denne regionen.

Grunnleggende Cauchy-teorem for en enkel kontur

Teorem 2.1 (Cauchys teorem for en enkel kontur). Hvis f(z) er analytisk i et enkelt tilkoblet domene, vil for enhver kontur C som tilhører dette domenet, likheten

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Beviset for teoremet er lett å få, basert på egenskapen til analytiske funksjoner, ifølge hvilken en analytisk funksjon har deriverte av en hvilken som helst rekkefølge (se påstand 2.28). Denne egenskapen sikrer kontinuiteten til partielle derivater av \operatørnavn(Re)f(z) og \operatørnavn(Im)f(z), derfor, hvis vi bruker formel (2.44), så er det lett å se at for hver av integrandene i krumlinjede integraler av den andre typen, er de fulle differensialbetingelsene oppfylt, det samme er Cauchy-Riemann-betingelsene for analytiske funksjoner. Og integralene over lukkede kurver av totale differensialer er lik null.

Merk at alle de teoretiske forslagene som presenteres nedenfor, til syvende og sist er basert på dette viktige teoremet, inkludert egenskapen til analytiske funksjoner nevnt ovenfor. Slik at det ikke er noen tvil om riktigheten av presentasjonen, merker vi at teoremet kan bevises uten referanse til eksistensen av dens derivater bare på grunnlag av definisjonen av en analytisk funksjon.

Konklusjoner fra teorem 2.1

1. Teoremet er også gyldig hvis C er grensen til domenet D , og funksjonen f(z) er analytisk i domenet og på grensen, dvs. i \overline(D) , siden analytisitet i \overline(D) ifølge definisjonen innebærer analytisitet av en funksjon i et område B som inneholder D~(B\opprørt\overlinje(D)), mens C vil være en indre kontur i B .

2. Integraler over forskjellige kurver som ligger i et enkelt koblet område av funksjonsanalytisitet og forbinder to punkter i dette området er lik hverandre, dvs. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, hvor l_1 og l_2 er vilkårlige kurver som forbinder punktene z_1 og z_2 (fig. 2.46).

For å bevise det, er det tilstrekkelig å vurdere konturen C , bestående av kurven l_1 (fra punktet z_1 til punktet z_2 ) og kurven l_2 (fra punktet z_2 til punktet z_1 ). Eiendommen kan formuleres som følger. Integralet til en analytisk funksjon er ikke avhengig av formen på integrasjonskurven som forbinder to punkter i funksjonens analytiske region og ikke forlater denne regionen.

Dette begrunner uttalelse 2.25 gitt ovenfor om egenskapene til integralet \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi og om eksistensen av en antiderivativ analytisk funksjon.

Cauchys teorem for en kompleks kontur

Teorem 2.2 (Cauchys teorem for en kompleks kontur). Hvis funksjonen f(z) er analytisk i et multiplisert forbundet område avgrenset av en kompleks kontur, og på denne konturen, så er integralet over grensen til funksjonens område lik null, dvs. hvis C er en kompleks kontur - grensen til regionen, deretter formelen (2.54 ).

Kompleks kontur C for (n+1) - forbundet område består av ytre kontur \Gamma og indre - C_i,~i=1,2,\ldots,n; konturene skjærer ikke parvis, omløpet av grensen er positiv (i fig. 2.47, n=3).

For å bevise setning 2.2 er det tilstrekkelig å tegne kutt i domenet (stiplet linje i fig. 2.47) slik at to enkelt sammenkoblede domener oppnås og bruke setning 2.1.

Konsekvenser fra setning 2.2

1. Under betingelsene i setning 2.2 er integralet over den ytre konturen lik summen av integralene over de indre; bypass på alle konturer i én retning (i fig. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Hvis f(z) er analytisk i et enkelt koblet område D og på grensen til regionen, med mulig unntak av punktet a i denne regionen, så er integralene over forskjellige lukkede kurver som ligger i området D og er bundet. regionene som inneholder punktet a er lik seg imellom (fig. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Beviset er åpenbart, siden hver slik kontur kan betraktes som den indre grensen til et dobbeltkoblet domene hvis ytre grense er grensen til domenet D . I samsvar med formel (2.55), for n=1 er ethvert slikt integral lik integralet over grensen D .

Sammenligning av formuleringene til Teorem 2.2 og Corollary 1 fra Teorem 2.1 lar oss gjøre en generalisering, som vi skriver i form av følgende påstand.

Påstand 2.27. Hvis f(z) er analytisk i D , da , hvor C er grensen til domenet D (enkel eller kompleks kontur).

Cauchy integrert formel

I det følgende teoremet, i motsetning til de to foregående, vurderes integralet til en funksjon, som, som ikke er analytisk i området avgrenset av integrasjonskonturen, har en spesiell form.

Teorem 2.3. Hvis funksjonen f(z) er analytisk i domenet D og på dets grense C, så for ethvert indre punkt a i domenet (a\in D) er likheten

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Region D kan enkelt kobles eller multipliseres, og regiongrensen kan være en enkel eller kompleks kontur.

Beviset for tilfellet av et enkelt tilkoblet domene er basert på resultatet av setning 2.1, og for et multiplisert tilkoblet domene reduseres det til tilfellet med enkelt koblede domener (som i beviset til setning 2.2) ved å lage kutt som gjør det ikke gå gjennom punktet a.

Det skal bemerkes at punktet a ikke tilhører grensen til regionen og derfor er integranden kontinuerlig på C og integralet eksisterer.

Teoremet er av stor anvendt interesse, nemlig formel (2.57) løser det såkalte grenseverdiproblemet til funksjonsteori: verdiene til en funksjon på grensen til domenet brukes til å bestemme verdien på ethvert indre punkt.

Merknad 2.11. Under betingelsene for teoremet, integralet \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definerer en analytisk funksjon i et hvilket som helst punkt z som ikke tilhører konturen C , og i punktene til det endelige området D , avgrenset av konturen, er det lik f(z) (i henhold til formelen (2.57)), og utenfor \overline(D) er den lik null på grunn av Cauchys teoremer. Dette integralet, kalt Cauchy-integralet, er et spesialtilfelle av integralet av Cauchy-typen (2.48). Her er konturen lukket, i motsetning til den vilkårlige i (2.48), og funksjonen f(z) er analytisk, i motsetning til den kontinuerlige på l i (2.48). For Cauchy-integralet er derfor påstand 2.26, formulert for et integral av Cauchy-typen, om eksistensen av derivater gyldig. På bakgrunn av dette kan følgende påstand formuleres.

Uttalelse 2.28

1. En analytisk funksjon på ethvert analytisk punkt kan skrives som en integral

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. En analytisk funksjon har derivater av hvilken som helst rekkefølge som formelen for

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Formel (2.59) gir en integrert representasjon av derivatene til en analytisk funksjon.

Beregning av integraler over en lukket sløyfe

Vi vil vurdere integraler av skjemaet \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, hvor funksjonen \varphi(z) er analytisk i D , og \psi(z) er et polynom som ikke har nuller på konturen C . For å beregne integralene benyttes teoremene fra forrige forelesning og følgene deres.

Regel 2.6. Ved beregning av integraler av skjemaet \oint\limits_(C)f(z)\,dz fire tilfeller kan skilles avhengig av arten (multiplikheten) til nullpunktene til polynomet \psi(z) og deres plassering i forhold til konturen C.

1. Det er ingen nuller av polynomet \psi(z) i området D. Deretter f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funksjonen er analytisk, og ved å bruke Cauchy-teoremet har vi resultatet \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. I området D er det en enkel null z=a av polynomet \psi(z) . Så skriver vi brøken som \frac(f(z))(z-a) , der f(z) er en funksjonsanalytisk i \overline(D) . Ved å bruke integralformelen får vi resultatet:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. I området D er det ett multiplum null z=a av polynomet \psi(z) (av multiplisitet n ). Så skriver vi brøken i skjemaet \frac(f(z))((z-a)^n), hvor f(z) er en funksjonsanalytisk i \overline(D) . Ved å bruke formel (2.59), får vi resultatet

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. I området D er det to nuller av polynomet \psi(z)\kolon\,z_1=a og z_2=b. Deretter, ved å bruke Corollary 1 fra Theorem 2.2, skriver vi integralet i formen \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , der C er en vilkårlig kontur som avgrenser området som inneholder punktet a .

▼ Løsning

Tenk på et dobbeltkoblet område, hvor den ene grensen er konturen C , den andre er sirkelen |z-a|=R . Ved følge 2 av setning 2.2 (se (2.56)) har vi

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Når vi tar i betraktning resultatet av å løse eksempel 2.84 (formel (2.52)), får vi svaret \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Merk at løsningen kan oppnås ved å bruke Cauchy-integralformelen med f(z)=1 . Spesielt får vi \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, siden konturen C går rundt punktet z=0 én gang. Hvis konturen C går rundt punktet z=0 k ganger i positiv (k>0) eller negativ retning (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Eksempel 2.88. Regne ut \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), der l er en kurve som forbinder punktene 1 og z , som går rundt origo én gang.

▼ Løsning

Integranden er kontinuerlig på kurven - integralet eksisterer. For beregningen bruker vi resultatene fra forrige eksempel og eksempel 2.85. For å gjøre dette, vurder en lukket sløyfe, som kobler for eksempel punkt A med punkt 1 (fig. 2.50). Integrasjonsveien fra punkt 1 til punkt z gjennom punkt A kan nå representeres som bestående av to kurver - en lukket kontur C (kurve BDEFAB ) og en kurve l_0 som forbinder punktene 1 og z gjennom punkt A\kolon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Ved å bruke resultatene fra eksempel 2.85 og 2.87 får vi svaret:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Uten å endre det geometriske bildet kan vi vurdere tilfellet når kurven går rundt origo n ganger. Få resultatet

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Det resulterende uttrykket definerer en funksjon med flere verdier \operatørnavn(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), går ikke integrasjonsveien gjennom origo. Valget av en gren av et uttrykk med flere verdier bestemmes ved å sette verdien til funksjonen på et tidspunkt.

Eksempel 2.89. Finne \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), hvis \ln1=4\pi i .

▼ Løsning

Vi finner nullpunktene til nevneren - entallspunktene til integranden. Dette er prikkene z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Deretter må du bestemme plasseringen av punktene i forhold til integrasjonskonturen. I begge tilfeller er ingen av punktene inkludert i området avgrenset av konturen. Dette kan verifiseres ved hjelp av tegningen. Begge konturene er sirkler, sentrum av den første er z_0=2+i og radiusen er R=2 ; sentrum av den andre z_0=-2i og R=1 . Det er mulig å bestemme om et punkt tilhører et område på en annen måte, nemlig å bestemme avstanden fra sentrum av sirkelen og sammenligne den med verdien av radien. For eksempel, for punktet z_2=4i er denne avstanden lik |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), som er større enn radiusen (\sqrt(13)>2) , så z_2=4i hører ikke til sirkelen |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Eksempel 2.91. Beregn i følgende tilfeller for å sette konturen C\kolon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2.

▼ Løsning

Ved å argumentere som i forrige eksempel, finner vi at i begge tilfeller er bare ett av entallspunktene z_1=0 plassert inne i sirklene. Derfor, ved å bruke klausul 2 i regel 2.6 (Cauchys integralformel), skriver vi integranden som en brøk \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), hvor telleren f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16) er en funksjon som er analytisk i de angitte sirklene. Svaret for begge tilfeller er det samme:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \venstre.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.

Eksempel 2.92. Regne ut \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz i følgende tilfeller av innstilling av konturen C\kolon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2.

▼ Løsning

Integrasjonskonturene er sirkler, som ovenfor, og i tilfelle av "a" er sentrum i punktet z_0=-4i,~R=2, i tilfellet "b" - ved punktet z_0=1-3i, ~R=2 .nI begge tilfeller kommer ett punkt z_0=-4i innenfor de tilsvarende sirklene. Ved å anvende punkt 2 i regel 2.6, skriver vi integranden i skjemaet \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), hvor telleren f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) er en analytisk funksjon i domenene som vurderes. Ved å bruke integralformelen får vi svaret:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatørnavn(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatørnavn(sh)1)(16)\,.

Eksempel 2.93. Beregn integralet i følgende tilfeller av konturtilordning: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2.

▼ Løsning

Finn entallspunkter for integranden - null i nevneren z_1=i,~z_2=-2 . Vi bestemmer tilhørigheten av punktene til de tilsvarende områdene. I tilfelle "a" inn i sirkelen |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

I tilfelle "b" inn i sirkelen |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), hvor f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analytisk funksjon i sirkelen |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+) i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Eksempel 2.94. Beregn integral \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) i følgende tilfeller av konturtilordning: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3.

▼ Løsning

a) I sirkelen |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) og bruk klausul 3 i regel 2.6 for m=2 og a=i . Vi beregner integralet:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+) 2)\høyre)")\høyre|_(z=i)= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\høyre|_(z=i)= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\høyre|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Til sirkelen |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

hvor hver av konturene C_1 og C_2 dekker kun ett av punktene. Spesielt, som konturen C_1, kan du ta sirkelen fra forrige tilfelle "a"; C_2 - sirkel fra eksempel 2.93 s. "b", dvs. du kan bruke resultatene. Skriv ned svaret:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+) i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
ActiveX-kontroller må være aktivert for å kunne gjøre beregninger!

Teoretisk minimum

Ofte er det tilfeller når beregning av bestemte integraler ved hjelp av metoder for kompleks analyse er å foretrekke fremfor metoder
materialanalyse. Årsakene kan være svært forskjellige. TFCT-metodene kan i noen tilfeller redusere beregningene sterkt.
Noen ganger kan Newton-Leibniz-formelen ikke brukes, siden det ubestemte integralet ikke er uttrykt i elementære funksjoner.
Metodene for differensiering og integrasjon med hensyn til en parameter krever en svært nøye begrunnelse for deres anvendelighet, og parameteren noen ganger
må innføres kunstig.

Vanligvis beregner metoder for kompleks analyse upassende integraler - over et uendelig intervall eller fra ubegrensede på et segment
funksjonsintegrasjon. Den generelle ideen er som følger. Det dannes et konturintegral. Integralet over noen deler av konturen skal
falle sammen med det ønskede bestemte integralet - i det minste opp til en konstant faktor. Integraler over resten av konturen
skal beregnes. Deretter brukes hovedrestsetningen, ifølge hvilken
,
hvor er entallspunktene til funksjonen plassert inne i integrasjonskonturen. Dermed konturen integrert med en
på den annen side viser det seg å uttrykkes gjennom det ønskede bestemte integralet, og på den annen side beregnes det ved hjelp av rester (som vanligvis er
ikke byr på store problemer).

Den største vanskeligheten er valget av integreringskonturen. Det er i prinsippet foreslått av integranden. Imidlertid uten tilstrekkelig
praksis, er det vanskelig å mestre denne metoden, og derfor vil det bli gitt ganske mange eksempler. De mest brukte konturene er laget av
elementer som det er praktisk å integrere over (rette linjer, sirkelbuer).

integrasjon i det komplekse planet

Eksempel 1 Fresnel-integraler.
La oss beregne integralene , .
Det er lett å gjette at det første trinnet er overgangen til den eksponentielle formen, som innebærer å vurdere integralet.
Det er bare nødvendig å velge en integrasjonskontur. Det er klart at halvaksen skal inn i konturen. Ekte og
de imaginære delene av integralet over denne delen av konturen er Fresnel-integralene. Videre den beregnede konturintegralen over strukturen
integranden ligner Euler-Poisson-integralet, hvis verdi er kjent. Men for å få dette integrert, må vi sette
, deretter . Og en slik representasjon av en variabel er integrasjon langs en rett linje som går gjennom et punkt
i vinkel til den reelle aksen.
Så det er to konturelementer. For å lukke konturen, antar vi at de to valgte delene av konturen har en endelig lengde , og lukker
konturen av en bue av en sirkel med radius . Senere vil vi la denne radien gå til det uendelige. Resultatet er det som er vist i fig. 1 krets.

(1)
Inne i integrasjonskonturen har integranden ingen entallspunkter, derfor er integralet over hele konturen lik null.

.
I grensen er dette integralet lik null.
På plottet kan du skrive, da
.
Vi erstatter de oppnådde resultatene i (1) og går til grensen:

Ved å separere de virkelige og imaginære delene finner vi, under hensyntagen til verdien av Euler-Poisson-integralet
,
.

Eksempel 2 Valg av en integrasjonskontur som inneholder et enkelt punkt i integranden.
La oss beregne et integral som ligner på det som ble vurdert i det første eksemplet: , hvor .
Vi vil beregne integralen. Vi vil velge en kontur som ligner den som ble brukt i det første eksemplet. Bare nå er det ingen hensikt
reduser beregningen til Euler-Poisson-integralet. Her merker vi at ved utskifting integranden vil ikke endres.
Denne betraktningen ber oss velge den skrå rette linjen til integrasjonskonturen slik at den danner en vinkel med den virkelige aksen.

Når du skriver konturintegralen
(2)
integralet over en sirkelbue har en tendens til null i grensen. På siden kan du skrive :
.
Således, fra (2), når vi passerer til grensen, finner vi
.
Her er det tatt hensyn til at inne i integrasjonskonturen har integranden en enkel pol .

Herfra finner vi den nødvendige integralen:
.

Eksempel 3 Lukk integreringskonturen gjennom det øvre eller nedre halvplanet?
Ved å bruke følgende ganske enkle integral demonstrerer vi en karakteristisk detalj ved valg av integrasjonskontur. Beregn
integrert .
Faktisk beregnes ønsket integral av funksjonen langs den reelle aksen, hvor integranden har ingen
funksjoner. Det gjenstår bare å lukke integrasjonssløyfen. Siden funksjonen under integralet bare har to siste entallspunkter, da
du kan lukke konturen med en halvsirkel, hvis radius skal ha en tendens til uendelig. Og her oppstår spørsmålet hvordan
en halvsirkel må velges: i øvre eller nedre halvplan (se fig. 3 a, b). For å forstå dette skriver vi integralet over halvsirkelen
i begge tilfeller:


en)
b)
Som du kan se, er oppførselen til integralet i grensen bestemt av faktoren .
I tilfelle av "a", og derfor vil grensen være endelig under betingelsen .
I tilfelle av "b" - tvert imot - , og derfor vil grensen være endelig under betingelsen .
Dette antyder at måten konturen lukkes på, bestemmes av fortegnet til parameteren. Hvis det er positivt, da
konturen lukkes gjennom det øvre halvplanet, ellers - gjennom det nedre. La oss vurdere disse tilfellene separat.
en)
Halvsirkelintegralet i grensen, som vi har sett, forsvinner. Inne i konturen (se fig. 3a) er
spesielt poeng, altså

b)
På samme måte finner vi bruk av integrasjon over konturen vist i fig. 3b,

Merknad . Det kan virke rart at integralet til den komplekse funksjonen viste seg å være ekte. Dette er imidlertid lett å forstå hvis det er i originalen
skille de virkelige og imaginære delene av integralet. I den imaginære delen vil det under integralet være en oddetallsfunksjon, og integralet beregnes symmetrisk
grenser. De. den imaginære delen forsvinner, som er det som skjedde i vår beregning.

Eksempel 4 Omgå enkeltpunkter i integranden når du konstruerer en integrasjonskontur.
I de betraktede eksemplene hadde integranden enten enkeltpunkter, eller de var innenfor integrasjonskonturen. men
det kan være praktisk å velge en kontur på en slik måte at enkeltpunkter i funksjonen faller på den. Slike punkter må omgås. Omkjøringen gjennomføres
langs en sirkel med liten radius, som i fremtiden ganske enkelt skynder seg til null. Som et eksempel beregner vi integralet .
Det kan virke som om integranden ikke har noen endelige singularpunkter, siden punktet er en fjernbar singularitet.
Men for å beregne integralet må du lage et konturintegral av en annen funksjon (for å sikre at integralet forsvinner på
lukkende halvsirkel i grensen for uendelig radius): . Her har integranden en polsingularitet
på punktet.

Dermed kreves en annen integrasjonssløyfe (se fig. 4). Det skiller seg fra fig. 3a bare ved det faktum at entallspunktet går rundt i en halvsirkel,
hvis radius antas å ha en tendens til null i fremtiden.
. (3)
Vi bemerker med en gang at integralet over en stor halvsirkel har en tendens til null i grensen for dens uendelig store radius, og innenfor konturen
det er ingen entallspunkter, så hele konturintegralet er null. Deretter vurderer du de første og tredje leddene i (3):

.
Nå skriver vi integralet over en liten halvsirkel, gitt det på den. Vi vil også umiddelbart ta hensyn til hvor liten radiusen til halvsirkelen er:


Begrepene som har en tendens til null i grensen skrives ikke ut.
Vi samler begrepene i (3) - bortsett fra begrepet knyttet til den store halvsirkelen.

Som man kan se, har vilkårene som blir til det uendelige ved kansellert hverandre. Letting og , vi har
.
Merknad . For eksempel beregnes Dirichlet-integralet på nøyaktig samme måte (vi husker at det er forskjellig fra det som nettopp ble vurdert ved fravær av
kvadrater i telleren og nevneren).

Eksempler på beregning av bestemte integraler ved hjelp av konturen
integrasjon i det komplekse planet (fortsettelse)

Eksempel 5 Integranden har et uendelig antall entallspunkter.
I mange tilfeller er valget av kontur komplisert av det faktum at integranden har et uendelig antall entallspunkter. I dette tilfellet kan det
det viser seg at summen av restene faktisk vil være en serie, hvis konvergens fortsatt må bevises hvis vi summerer det opp
fungerer ikke (og summeringen av serien er generelt en egen ganske komplisert oppgave). La oss som et eksempel beregne integralet .
Det er tydelig at en del av konturen er den virkelige aksen. På den har funksjonen ingen funksjoner. La oss diskutere hvordan du lukker sløyfen. Du trenger ikke velge en halvsirkel.
Poenget er at den hyperbolske cosinus har en familie med enkle nuller . Derfor inne i konturen lukket av halvsirkelen
i grensen til en uendelig stor radius vil uendelig mange entallspunkter falle. Hvordan kan du ellers lukke sløyfen? Legg merke til det .
Det følger av dette at man kan forsøke å inkludere et segment parallelt med den reelle aksen i integrasjonskonturen. Sløyfen lukkes med to
vertikale segmenter, som i grensen er uendelig langt fra den imaginære aksen (se fig. 5).


På de vertikale delene av konturen . Den hyperbolske cosinus vokser derfor eksponentielt med veksten av argumentet (modulo).
i grensen har integralene over de vertikale seksjonene en tendens til null.

Altså innenfor grensen
.
På den annen side, inne i integrasjonskonturen er det to entallspunkter i integranden. fradrag i dem
,
.
Følgelig
.

Eksempel 6 Integranden til de definitive og konturintegralene er forskjellige.
Det er et veldig viktig tilfelle av å beregne bestemte integraler ved metoden for konturintegrasjon. Så langt integranden
konturintegralfunksjonen falt enten sammen med integranden til et bestemt integral, eller gikk inn i den ved å separere
ekte eller imaginær del. Men ikke alt er alltid så enkelt. La oss beregne integralet.
Når det gjelder valg av kontur, er det ikke noe spesielt problem. Selv om funksjonen under integralet har uendelig mange enkle poler, vet vi allerede
fra erfaringen fra forrige eksempel, at en rektangulær kontur er nødvendig, siden . Den eneste forskjellen fra eksempel 5 er at
at polen til integranden som må omgås faller på linjen. Derfor velger vi den som vises
i fig. 6 krets.

Tenk på konturintegralen. Vi vil ikke male det på hver seksjon av konturen, og begrense oss til horisontal
tomter. Integralet langs den reelle aksen i grensen tenderer til den ønskede. Vi skriver integralene over de resterende delene:
.
I grensen, og de to første integralene vil gi , så vil de gå inn i konturintegralet i summen
med ønsket, som er forskjellig i fortegn. Som et resultat vil det ønskede bestemte integralet falle ut av konturintegralet. Det betyr at
integranden ble valgt feil. Tenk på en annen integral: . La omrisset være det samme.

Til å begynne med, vurder integralene over horisontale seksjoner igjen. Integralet langs den reelle aksen blir .
Dette integralet forsvinner som et integral av en oddetallsfunksjon innenfor symmetriske grenser.

I grensen forsvinner også de to første parentesene, og danner igjen integraler av odde funksjoner
innenfor symmetriske grenser. Men den siste braketten, opp til en faktor, vil gi ønsket integral. Det er fornuftig å fortsette beregningen.
I likhet med eksempel 5 har integralene over de vertikale seksjonene av konturen en tendens til null ved . Det gjenstår å finne integralet
i en halvsirkel hvor . Som i eksempel 4, beregner vi integralet, tar hensyn til litenheten til:
.
Så vi har alt for å skrive ned konturintegralet i grensen:

På den annen side viste det seg at polen til integranden var innenfor integrasjonskonturen

1. Grunnleggende begreper og utsagn

Teorem 5.1(en tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et integral av en funksjon av en kompleks variabel). La L er en enkel jevn kurve på , f(z)=u(x;y)+i×v(x;y) er kontinuerlig på L. Så eksisterer det, og følgende likhet gjelder:

Teorem 5.2. La L er en enkel jevn kurve, gitt parametrisk: L:z(t)=x(t)+i×y(t), en£ t£ b, funksjon f(z) er kontinuerlig på L. Da er likheten sann:

(hvor ). (5.2)

Teorem 5.3. Hvis en f(z) analytisk i domenet D funksjon, da - analytisk funksjon og F"(z)=f(z), hvor integralet tas over enhver stykkevis jevn kurve som forbinder punktene z 0 og z.

- Newton-Leibniz formel.

2. Metoder for beregning av integralet

Første vei. Beregning av integraler av en kontinuerlig funksjon ved å redusere til krumlinjede integraler av funksjoner til reelle variabler (anvendelse av formel (5.1)).

1. Finn Re f=u, Jeg er f=v.

2. Skriv ned integranden f(z)dz i form av et verk ( u+iv)(dx+idy)=udx-vdy+Jeg(udy+vdx).

3. Beregn kurvelinjeformede integraler av formen i henhold til reglene for beregning av krumlinjede integraler av den andre typen.

Eksempel 5.1 . Regne ut langs en parabel y=x 2 fra punkt z 1 = 0 til punktet z 2 =1+Jeg.

■ Finn de virkelige og imaginære delene av integranden. For å gjøre dette bytter vi inn i uttrykket for f(z) z=x+iy:

Fordi y=x 2, da dy= 2x, . Derfor

Den andre måten. Beregning av integraler fra en kontinuerlig funksjon ved å redusere til et bestemt integral i tilfelle en parametrisk spesifikasjon av integrasjonsveien (ved hjelp av formel (5.2)).

1. Skriv den parametriske ligningen til kurven z=z(t) og bestemme grensene for integrering: t=a tilsvarer startpunktet for integrasjonsveien, t=b- endelig.

2. Finn differensialen til en funksjon med kompleks verdi z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Vikar z(t) til en integrand, transformer integralet til formen: .

4. Beregn det resulterende bestemte integralet.

Eksempel 5.2 . Regn ut hvor FRA- en sirkelbue, .

■ Parametrisk ligning for denne kurven: , 0 £ j£ s. Deretter . Vi får

Eksempel 5.3 . Regn ut hvor FRA- den øvre sirkelbuen under betingelsen: a), b).

■ Innstilling av funksjonsverdier i integrasjonssløyfen lar deg velge enkeltverdiede grener av uttrykket , k= 0,1. Siden for vi har, k= 0.1, så velger vi i det første tilfellet en gren med k= 0, og i den andre - med k= 1.

Integranden på integrasjonskonturen er kontinuerlig. Parametrisk ligning for denne kurven: , 0 £ j£ s. Deretter .

a) Filialen bestemmes når k= 0, det vil si fra vi får .

b) Filialen fastsettes når k=1, det vil si fra vi får .

Den tredje veien. Beregning av integraler av analytiske funksjoner i enkelt koblede domener (anvendelse av formel (5.3)).

Finn et antiderivat F(z) ved å bruke egenskapene til integraler, tabellintegraler og metoder kjent fra reell analyse. Bruk Newton-Leibniz-formelen: .

Eksempel 5.4 . Regne ut , hvor FRA- rett AB, z A=1-Jeg,z B=2+i.

■ Siden integranden - analytisk på hele det komplekse planet, så bruker vi Newton-Leibniz-formelen

3. Grunnleggende teoremer for integralregning

funksjoner til en kompleks variabel

Teorem 5.4 (Cauchy). Hvis en f(z G funksjon, så hvor L- enhver lukket sløyfe som ligger i G.

Cauchys teorem gjelder også for et multiplisert tilkoblet domene.

Teorem 5.5. La funksjonen f(z) er analytisk i et enkelt tilkoblet domene D, L-en vilkårlig lukket stykkevis-glatt kontur som ligger i D. Så for ethvert punkt z 0 som ligger innenfor konturen L, formelen er gyldig:

, (5.4)

hvor L flyter i positiv retning.

Formel (5.4) kalles integrert Cauchy-formel . Den uttrykker verdiene til en analytisk funksjon inne i en kontur i form av dens verdier på konturen.

Teorem 5.6. Enhver funksjon f(z), analytisk i domenet D, har derivater av alle bestillinger på dette domenet, og for " z 0 Î D den riktige formelen er:

, (5.5)

hvor L er en vilkårlig stykkevis-glatt lukket kontur som ligger helt inn D og inneholder en prikk z 0 .

4. Beregning av integraler over en lukket sløyfe

fra funksjoner til en kompleks variabel

Tenk på integraler av formen , hvor funksjonen j(z) er analytisk i , og y(z) er et polynom som ikke har nuller på en lukket kontur FRA.

Regel. Ved beregning av integraler av formen, avhengig av multiplisiteten av nuller i polynomet y(z) og deres plassering i forhold til konturen FRA 4 tilfeller kan skilles.

1. I området D ingen polynomiske nuller y(z). Da er funksjonen analytisk og etter Cauchys teorem.

2. I området D det er en enkel null z=z 0 polynom y(z). Så skriver vi brøken som , hvor f(z) er en analytisk funksjon i å bruke Cauchy-integralformelen (5.4), får vi

. (5.6)

3. I felten D plassert ett multiplum av null z=z 0 polynom y(z) (mangfold n). Så skriver vi brøken som , hvor f(z) er en analytisk funksjon i Applying formel (5.5), får vi

4. I felten D det er to nuller i polynomet y(z) z=z 1 og z=z 2. Deretter representerer vi integranden som en sum av to brøker, og integralet som en sum av to integraler, som hver er beregnet i henhold til punkt 2 eller punkt 3.

Eksempel 5.5 . Regn ut hvor FRA- sirkel.

■ Vi finner nullpunktene til nevneren - entallspunktene til integranden . Dette er poeng. Deretter bestemmer vi plasseringen av punktene i forhold til integreringskonturen: ingen av punktene er inkludert i området avgrenset av en sirkel med et senter i et punkt og en radius på 2 (det vil si at vi har det første tilfellet). Dette kan verifiseres ved å tegne eller bestemme avstanden fra hvert av punktene til sentrum av sirkelen og sammenligne den med radiusen. For eksempel hører for , derfor ikke til kretsen.

Deretter funksjonen analytisk i sirkelen , og ved Cauchys teorem .

Merk at det gitte integralet er lik null for enhver annen kontur som begrenser området som ikke inkluderer noen av nullpunktene til nevneren. ■

Eksempel 5.6 . Regn ut hvor FRA- sirkel.

■ Ved å argumentere som i eksempel 5.5 finner vi at bare én av nullpunktene til nevneren er plassert i sirkelen (det andre tilfellet). Derfor skriver vi integranden i formen , funksjonen analytisk i en sirkel. Deretter ved formel (5.6)

.■

Eksempel 5.7 . Regne ut , hvor FRA- sirkel.