Finite vektorrom, deres egenskaper og eksempler. vektorrom

fra Wikipedia, den frie encyklopedi

vektor(eller lineær) rom- en matematisk struktur, som er et sett med elementer, kalt vektorer, for hvilke operasjoner med addisjon til hverandre og multiplikasjon med et tall - en skalar er definert. Disse operasjonene er underlagt åtte aksiomer. Skalarer kan være elementer i et reelt, komplekst eller et hvilket som helst annet tallfelt. Et spesielt tilfelle av et slikt rom er det vanlige tredimensjonale euklidiske rommet, hvis vektorer brukes for eksempel til å representere fysiske krefter. Samtidig skal det bemerkes at en vektor som et element i et vektorrom ikke trenger å spesifiseres i form av et rettet segment . Generaliseringen av begrepet "vektor" til et element i et vektorrom av enhver art forårsaker ikke bare forvirring av termer, men lar oss også forstå eller til og med forutse en rekke resultater som er gyldige for rom av vilkårlig natur .

Vektorrom er gjenstand for studier i lineær algebra. En av hovedkarakteristikkene til et vektorrom er dimensjonen. Dimensjon er det maksimale antallet lineært uavhengige elementer i rommet, det vil si ved å ty til en grov geometrisk beskrivelse, antall retninger som er uuttrykkelige i forhold til hverandre gjennom bare operasjonene addisjon og multiplikasjon med en skalar. Vektorrommet kan utstyres med tilleggsstrukturer, for eksempel normen eller punktproduktet. Slike rom vises naturlig i kalkulus, hovedsakelig som uendelig dimensjonale funksjonsrom ( Engelsk), hvor vektorene er funksjonene . Mange problemer i analyse krever å finne ut om en sekvens av vektorer konvergerer til en gitt vektor. Betraktning av slike spørsmål er mulig i vektorrom med tilleggsstruktur, i de fleste tilfeller en passende topologi, som lar en definere begrepene nærhet og kontinuitet. Slike topologiske vektorrom, spesielt Banach- og Hilbert-rom, gir mulighet for dypere studier.

I tillegg til vektorer studerer lineær algebra også tensorer av høyere rang (en skalar regnes som en tensor av rang 0, en vektor betraktes som en tensor av rang 1).

De første verkene som forutså introduksjonen av konseptet med et vektorrom dateres tilbake til 1600-tallet. Det var da analytisk geometri, læren om matriser, systemer med lineære ligninger og euklidiske vektorer fikk sin utvikling.

Definisjon

Lineær, eller vektorrom $V\backslash venstre(F\backslash høyre)$ over feltet $F$ er en bestilt firemannsrom $(V,F,+,\backslash cdot)$, hvor

• $V$- et ikke-tomt sett med elementer av vilkårlig karakter, som kalles vektorer;
• $F$- (algebraisk) felt hvis elementer kalles skalarer;
• Operasjon definert tillegg vektorer $V\backslash \; ganger\; V\backslash \; til\; V$, som matcher hvert par av elementer $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ settene $V$ $V$ ringer dem sum og betegnet $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operasjon definert multiplikasjon av vektorer med skalarer $F\backslash \; ganger\; V\backslash \; til\; V$, som samsvarer med hvert element $\backslash lambda$ Enger $F$ og hvert element $\backslash mathbf(x)$ settene $V$ det eneste elementet i settet $V$, betegnet $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ eller $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorrom definert på samme sett med elementer, men over forskjellige felt, vil være forskjellige vektorrom (for eksempel settet med par med reelle tall $\backslash mathbb(R)^2$ kan være et todimensjonalt vektorrom over feltet med reelle tall eller endimensjonalt - over feltet med komplekse tall).

De enkleste egenskapene

1. Vektorrommet er en abelsk gruppe ved addisjon.
2. nøytralt element $\backslash mathbf(0)\; \backslash i\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ for alle $\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$.
4. For alle $\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$ motsatt element $-\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$ er den eneste som følger av gruppeeiendommer.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ for alle $\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ for noen $\backslash alfa\; \backslash i\; F$ og $\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ for alle $\backslash alfa\; \backslash i\; F$.

Beslektede definisjoner og egenskaper

underrom

Algebraisk definisjon: Lineært underrom eller vektor underrom er en ikke-tom delmengde $K$ lineært rom $V$ slik at $K$ er i seg selv et lineært rom med hensyn til de som er definert i $V$ operasjonene addisjon og multiplikasjon med en skalar. Settet med alle underrom er vanligvis betegnet som $\backslash mathrm(lat)(V)$. For at en delmengde skal være et delrom, er det nødvendig og tilstrekkelig at

1. for enhver vektor $\backslash mathbf(x)\backslash i\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ hørte også til $K$, for noen $\backslash alfa\backslash i\; F$;
2. for alle vektorer $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash i\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ hørte også til $K$.

De to siste utsagnene tilsvarer følgende:

For alle vektorer $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash i\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ hørte også til $K$ for noen $\backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash i\; F$.

Spesielt er et vektorrom som består av bare en nullvektor et underrom av et hvilket som helst rom; ethvert rom er et underrom av seg selv. Underrom som ikke sammenfaller med disse to kalles egen eller ikke-trivielt.

Underromsegenskaper

• Skjæringspunktet mellom en hvilken som helst familie av underrom er igjen et underrom;
• Summen av underrom $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash i\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ definert som et sett som inneholder alle mulige summer av elementer $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash i\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash i\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Summen av en begrenset familie av underrom er igjen et underrom.

Lineære kombinasjoner

Sluttsummen av utsikten

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Den lineære kombinasjonen kalles:

Basis. Dimensjon

Vektorer $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ kalt lineært avhengig, hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem lik null:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash nev\; 0.$

Ellers kalles disse vektorene lineært uavhengig.

Denne definisjonen tillater følgende generalisering: et uendelig sett med vektorer fra $V$ kalt lineært avhengig, hvis noen endelig dens undergruppe, og lineært uavhengig, hvis noen endelig delmengde er lineært uavhengig.

Basisegenskaper:

• Noen $n$ lineært uavhengige elementer $n$-dimensjonal romform basis denne plassen.
• Enhver vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash i\; V$ kan representeres (unikt) som en endelig lineær kombinasjon av grunnleggende elementer:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Lineært skall

Lineært skall $\backslash mathcal\; V(X)$ delmengder $X$ lineært rom $V$- skjæring av alle underrom $V$ inneholder $X$.

Lineært skall er et underrom $V$.

Lineært skall kalles også generert underrom $X$. Det sies også at det lineære spennet $\backslash mathcal\; V(X)$- plass, strukket over masse av $X$.

Lineært skall $\backslash mathcal\; V(X)$ består av alle mulige lineære kombinasjoner av ulike endelige delsystemer av elementer fra $X$. Spesielt hvis $X$ er et begrenset sett, altså $\backslash mathcal\; V(X)$ består av alle lineære kombinasjoner av elementer $X$. Dermed hører nullvektoren alltid til det lineære spennet.

Hvis en $X$ er et lineært uavhengig sett, så er det et grunnlag $\backslash mathcal\; V(X)$ og bestemmer dermed dens dimensjon.

Eksempler

• Et nullrom hvis eneste element er null.
• Rommet til alle funksjoner $X\backslash \; til\; F$ med begrenset støtte danner et vektorrom med dimensjon lik $X$.
• Feltet med reelle tall kan sees på som et kontinuumdimensjonalt vektorrom over feltet for rasjonelle tall.
• Ethvert felt er et endimensjonalt rom over seg selv.

Ytterligere strukturer

se også

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Vektorrom"

Notater

Litteratur

• Gelfand I.M. Forelesninger om lineær algebra. - 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Forelesninger om lineær algebra. 5. utg. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineær algebra og geometri. 2. utg. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
• Kostrikin A.I. Introduksjon til algebra. Del 2: Lineær algebra. - 3. - M .: Nauka ., 2004. - 368 s. - (Universitets lærebok).
• Maltsev A.I. Grunnleggende om lineær algebra. - 3. - M .: Nauka, 1970. - 400 s.

• Postnikov M. M. Lineær algebra (Forelesninger om geometri. Semester II). - 2. - M .: Nauka, 1986. - 400 s.
• Strang G. Lineær algebra og dens applikasjoner = Lineær algebra og dens applikasjoner. - M .: Mir, 1980. - 454 s.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra. 6. utg. - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Finitt-dimensjonale vektorrom = Finitt-dimensjonale vektorrom. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 s.
• Faddeev D.K. Forelesninger om algebra. - 5. - St. Petersburg. : Lan, 2007. - 416 s.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - 1. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 s.
• Schreyer O., Shperner G. Introduksjon til lineær algebra i geometrisk presentasjon = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (oversatt fra tysk). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 s.

Vektorer og matriser Vektorer Enkle konsepter Typer vektorer Operasjoner på vektorer Plasstyper matriser Enkle konsepter Annen

Et utdrag som karakteriserer vektorrom

Kutuzov gikk gjennom gradene og stoppet av og til og sa noen vennlige ord til offiserene, som han kjente fra den tyrkiske krigen, og noen ganger til soldatene. Han kastet et blikk på skoene, ristet bedrøvet på hodet flere ganger og pekte på dem på den østerrikske generalen med et slikt uttrykk at han ikke så ut til å bebreide noen for dette, men han kunne ikke unngå å se hvor ille det var. Regimentssjefen løp foran hver gang, redd for å gå glipp av sjefssjefens ord om regimentet. Bak Kutuzov, på en slik avstand at ethvert svakt talt ord kunne høres, gikk en mann på 20 følger. Herrene i følget snakket seg imellom og lo noen ganger. Nærmest bak øverstkommanderende var en kjekk adjutant. Det var prins Bolkonsky. Ved siden av ham gikk kameraten Nesvitskij, en høy stabsoffiser, ekstremt kraftig, med et snill og smilende kjekk ansikt og fuktige øyne; Nesvitsky kunne nesten ikke holde seg fra å le, opphisset av den svartaktige husaroffiseren som gikk ved siden av ham. Husaroffiseren, uten å smile, uten å endre uttrykket på de faste øynene, så med et alvorlig ansikt bak på regimentssjefen og etterlignet hver bevegelse hans. Hver gang regimentssjefen grøsset og lente seg fremover, på nøyaktig samme måte, nøyaktig på samme måte, grøsser husaroffiseren og lente seg fremover. Nesvitsky lo og presset de andre til å se på den morsomme mannen.
Kutuzov gikk sakte og sløvt forbi tusen øyne som rullet ut av hulene deres, etter sjefen. Etter å ha jevnet seg med det tredje selskapet, stoppet han plutselig. Følget, som ikke forutså dette stoppet, rykket ufrivillig mot ham.
- Ah, Timokhin! - sa øverstkommanderende og kjente igjen kapteinen med rød nese, som led for en blå overfrakk.
Det så ut til at det var umulig å strekke mer enn Timokhin strakte seg, mens regimentssjefen irettesatte ham. Men i det øyeblikket henvendte øverstkommanderende seg til ham, kapteinen trakk seg opp slik at det så ut til at hvis øverstkommanderende hadde sett på ham en stund til, så hadde ikke kapteinen orket det. ; og derfor snudde Kutuzov, tilsynelatende sin posisjon og ønsket tvert imot alt det beste for kapteinen, raskt bort. Et knapt merkbart smil gikk over Kutuzovs lubne, sårede ansikt.
"Enda en Izmaylovsky-kamerat," sa han. "Modig offiser!" Er du fornøyd med det? spurte Kutuzov regimentssjefen.
Og regimentssjefen, som reflektert i et speil, usynlig for seg selv, i husaroffiseren, grøsset, gikk frem og svarte:
«Veldig fornøyd, Deres eksellense.
"Vi er ikke alle uten svakheter," sa Kutuzov, smilende og beveget seg bort fra ham. «Han hadde en tilknytning til Bacchus.
Regimentssjefen var redd for at han ikke var skyld i dette, og svarte ikke. Offiseren i det øyeblikket la merke til kapteinens ansikt med rød nese og sammentrukket mage, og etterlignet ansiktet og holdningen hans så likt at Nesvitsky ikke kunne la være å le.
Kutuzov snudde seg. Det var tydelig at offiseren kunne kontrollere ansiktet hans som han ville: i det øyeblikket Kutuzov snudde seg, klarte offiseren å lage en grimase, og etter det ta på seg det mest alvorlige, respektfulle og uskyldige uttrykket.
Det tredje selskapet var det siste, og Kutuzov tenkte, og husket tilsynelatende noe. Prins Andrei gikk ut av følget og sa stille på fransk:
- Du beordret å bli minnet om den degraderte Dolokhov i dette regimentet.
– Hvor er Dolokhov? spurte Kutuzov.
Dolokhov, allerede kledd i en soldats grå overfrakk, ventet ikke på å bli oppringt. Den slanke skikkelsen av en blond soldat med klare blå øyne trådte ut fra fronten. Han henvendte seg til øverstkommanderende og gjorde vakt.
- Krav? – Rynket pannen litt, spurte Kutuzov.
"Dette er Dolokhov," sa prins Andrei.
– A! sa Kutuzov. – Jeg håper denne leksjonen vil rette deg, tjene godt. Keiseren er barmhjertig. Og jeg vil ikke glemme deg hvis du fortjener det.
Klare blå øyne så på sjefssjefen like frimodig som de gjorde på regimentssjefen, som om de ved sitt uttrykk rev bort det konvensjonelle sløret som skilte sjefen så langt fra soldaten.
«Jeg spør deg om én ting, Deres eksellens,» sa han med sin resonante, faste, uopprettede stemme. «Jeg ber deg om å gi meg en sjanse til å bøte for min skyld og bevise min hengivenhet til keiseren og Russland.
Kutuzov snudde seg bort. Det samme smilet fra øynene hans blinket over ansiktet hans som da han snudde seg bort fra kaptein Timokhin. Han snudde seg bort og grimaserte, som om han med dette ville uttrykke at alt som Dolokhov fortalte ham, og alt han kunne fortelle ham, han hadde visst i lang, lang tid at alt dette allerede hadde kjedet ham og at alt dette var ikke det han trengte i det hele tatt.. Han snudde seg og gikk mot vognen.
Regimentet sorterte ut i kompanier og satte kursen mot de tildelte leilighetene ikke langt fra Braunau, hvor de håpet å ta på seg sko, kle seg og hvile etter vanskelige overganger.
- Du later ikke til meg, Prokhor Ignatich? - sa regimentssjefen, sirklet 3. kompani som beveget seg mot stedet og kjørte opp til kaptein Timokhin, som gikk foran den. Ansiktet til regimentssjefen, etter en lykkelig avgang, uttrykte ukuelig glede. - Kongetjenesten ... du kan ikke ... en annen gang vil du kutte av foran ... Jeg skal være den første til å be om unnskyldning, du kjenner meg ... Tusen takk! Og han rakte ut hånden til kommandanten.
"Unnskyld meg, general, tør jeg!" - svarte kapteinen, ble rød med nesen, smilte og avslørte med et smil mangelen på to fortenner, slått ut av en rumpe nær Ismael.
– Ja, fortell herr Dolokhov at jeg ikke vil glemme ham, slik at han er rolig. Ja, vær så snill fortell meg, jeg ville stadig spørre, hva er han, hvordan oppfører han seg? Og alt...
"Han er veldig tjenlig i sin tjeneste, Deres Eksellense ... men karakhteren ..." sa Timokhin.
– Og hva, hva er karakteren? spurte regimentssjefen.
"Han finner, Deres Eksellense, i flere dager," sa kapteinen, "han er smart, lærd og snill. Og det er et beist. I Polen drepte han en jøde, hvis du vet ...
– Vel, ja, vel, ja, – sa regimentssjefen, – du må fortsatt synes synd på den ulykkelige unge mannen. Tross alt, gode forbindelser ... Så du ...
«Jeg lytter, Deres eksellense,» sa Timokhin, med et smil som fikk det til å føle at han forsto sjefens ønsker.
- Ja Ja.
Regimentssjefen fant Dolokhov i rekkene og tøylet hesten sin.
"Før den første saken, epauletter," fortalte han ham.
Dolokhov så seg rundt, sa ingenting og endret ikke uttrykket til den hånende smilende munnen hans.
"Vel, det er bra," fortsatte regimentssjefen. "Folk får et glass vodka av meg," la han til, slik at soldatene kunne høre. - Takk alle sammen! Takk Gud! - Og han, etter å ha kjørt forbi et selskap, kjørte opp til et annet.
«Vel, han er virkelig en god mann; Du kan tjene sammen med ham,” sa Timokhin subaltern til offiseren som gikk ved siden av ham.
- Ett ord, rødt! ... (regimentssjefen fikk tilnavnet den røde kongen) - sa den underordnede offiseren og lo.
Den glade stemningen til myndighetene etter anmeldelsen gikk over til soldatene. Rota hadde det gøy. Soldaters stemmer snakket fra alle kanter.
– Hvordan sa de, skjevt Kutuzov, om det ene øyet?
– Men nei! Helt skjevt.
- Ikke ... bror, mer storøyd enn deg. Støvler og krager - så rundt alt ...
– Hvordan ser han, broren min, på føttene mine ... vel! synes at…
– Og den andre er østerriker, han var med ham, som innsmurt med kritt. Som mel, hvit. Jeg er te, hvordan de renser ammunisjon!
– Hva, Fedeshow! ... sa han, kanskje, når vaktene begynner, sto du nærmere? De sa alt, selveste Bunaparte står i Brunov.
– Bunaparte står! du lyver, tosk! Hva vet ikke! Nå er prøysseren i opprør. Østerrikeren pasifiserer ham derfor. Så snart han forsoner seg, vil krig åpne med Bounaparte. Og så, sier han, i Brunov står Bunaparte! Det er tydelig at han er en idiot. Du lytter mer.
«Se, jævla leietakere! Det femte selskapet, se, er allerede på vei inn i landsbyen, de skal koke grøt, og vi kommer ikke til stedet ennå.
- Gi meg en kjeks, for helvete.
"Gav du tobakk i går?" Det er det, bror. Vel, på, Gud er med deg.
– Hvis de bare stoppet, ellers spiser du ikke fem mil med proprem til.
– Det var fint hvordan tyskerne ga oss barnevogner. Du går, vet: det er viktig!
– Og her, bror, ble folket helt panisk. Der så alt ut til å være en polak, alt var av den russiske kronen; og nå, bror, har en solid tysker gått.
– Låtskrivere fremover! – Jeg hørte ropet til kapteinen.
Og tjue personer løp ut foran selskapet fra forskjellige rekker. Trommeslageren synger snudde seg for å møte sangbøkene, og viftende med hånden begynte en utstrakt soldatsang, som begynte: "Isn't it dawn, the sun was breaking up ..." og avsluttet med ordene: "That , brødre, vil være ære for oss med Kamensky far ..." i Tyrkia og ble nå sunget i Østerrike, bare med den endringen at i stedet for "Kamensky far" ble ordene satt inn: "Kutuzovs far."
Etter å ha revet av seg disse siste ordene som en soldat og viftet med armene som om han kastet noe på bakken, så trommeslageren, en tørr og kjekk soldat på rundt førti, strengt rundt på låtskriversoldatene og lukket øynene. Så, og forsikret seg om at alle øyne var festet på ham, så det ut til at han forsiktig løftet med begge hender en usynlig, dyrebar ting over hodet, holdt den slik i flere sekunder og kastet den plutselig desperat:
Å, du, min kalesje, min kalesje!
«Canopy my new...», tjue stemmer hørtes opp, og skjeen, til tross for tyngden av ammunisjonen, hoppet raskt fremover og gikk baklengs foran selskapet, beveget på skuldrene og truet noen med skjeer. Soldatene svingte armene i takt med sangen, gikk med et romslig skritt og slo ufrivillig beinet. Bak selskapet kom lyden av hjul, knasing av fjærer og klapring av hester.
Kutuzov med følget hans var på vei tilbake til byen. Øverstkommanderende signaliserte at folket skulle fortsette å gå fritt, og det ble uttrykt glede i ansiktet hans og på alle ansiktene til følget hans ved lyden av sangen, ved synet av den dansende soldaten og de muntre og raske marsjerende soldater fra kompaniet. På den andre raden, fra høyre flanke, hvorfra vognen overtok kompaniene, fanget en blåøyd soldat, Dolokhov, ufrivillig øyet, som gikk spesielt raskt og grasiøst i takt med sangen og så på ansiktene til forbipasserende med et slikt uttrykk som om han syntes synd på alle som ikke dro på denne tiden med et selskap. En hussarkornett fra Kutuzovs følge, som etterlignet regimentssjefen, sakket bak vognen og kjørte opp til Dolokhov.
Husarkornetten Zherkov en gang i St. Petersburg tilhørte det voldelige samfunnet ledet av Dolokhov. Zherkov møtte Dolokhov i utlandet som soldat, men anså det ikke som nødvendig å anerkjenne ham. Nå, etter Kutuzovs samtale med den degraderte, henvendte han seg til ham med gleden til en gammel venn:
- Kjære venn, hvordan har du det? - sa han ved lyden av sangen, og utlignet trinnet til hesten sin med trinnet til selskapet.
- Jeg er som? - svarte Dolokhov kaldt, - som du kan se.
Den livlige sangen la særlig vekt på tonen av frekk munterhet som Zherkov snakket med, og den bevisste kulden i Dolokhovs svar.
– Så, hvordan kommer du overens med myndighetene? spurte Zherkov.
Ingenting, gode folk. Hvordan kom du inn i hovedkvarteret?
– Utsendt, jeg er på vakt.
De var stille.
"Jeg slapp falken ut av høyre erme," sa sangen, og vekket ufrivillig en munter, munter følelse. Samtalen deres ville sannsynligvis vært annerledes hvis de ikke hadde snakket ved lyden av en sang.
– Hva er sant, østerrikerne ble slått? spurte Dolokhov.
«Djevelen vet, sier de.
"Jeg er glad," svarte Dolokhov kort og tydelig, slik sangen krevde.
- Vel, kom til oss når på kvelden, vil farao pantsette, - sa Zherkov.
Eller har du mye penger?
- Kom.
- Det er forbudt. Han ga et løfte. Jeg drikker eller leker ikke før det er ferdig.
Vel, før det første...
- Du vil se det der.
Igjen var de stille.
"Kom inn, hvis du trenger noe, vil alle ved hovedkvarteret hjelpe..." sa Zherkov.
Dolokhov humret.
«Du bør ikke bekymre deg. Det jeg trenger, vil jeg ikke spørre om, jeg tar det selv.
"Ja, vel, jeg er så...
- Vel, det er jeg også.
- Ha det.
- Vær sunn...
... og høyt og langt,
På hjemmesiden...
Zherkov rørte ved hesten sin med sporene sine, som tre ganger ble opphisset, sparket, uten å vite hvor han skulle begynne, taklet og galopperte, overtok selskapet og tok igjen vognen, også i takt med sangen.

Da han kom tilbake fra anmeldelsen, dro Kutuzov, akkompagnert av en østerriksk general, til kontoret sitt og ringte adjutanten og beordret å gi seg selv noen papirer som gjaldt tilstanden til de innkommende troppene, og brev mottatt fra erkehertug Ferdinand, som befalte den fremre hæren. . Prins Andrei Bolkonsky med de nødvendige papirene gikk inn på kontoret til øverstkommanderende. Foran planen som lå på bordet satt Kutuzov og et østerriksk medlem av Hofkriegsrat.
"Ah ..." sa Kutuzov og så tilbake på Bolkonsky, som ved dette ordet å invitere adjutanten til å vente, og fortsatte samtalen som ble startet på fransk.
"Jeg sier bare én ting, general," sa Kutuzov med en behagelig eleganse av uttrykk og intonasjon, og tvang en til å lytte til hvert rolig talt ord. Det var tydelig at Kutuzov lyttet til seg selv med glede. – Jeg sier bare én ting, general, at hvis saken var avhengig av mitt personlige ønske, så ville Hans Majestet Keiser Franzs vilje blitt oppfylt for lenge siden. Jeg ville ha sluttet meg til erkehertugen for lenge siden. Og tro min ære, at for meg personlig å overføre den høyere kommandoen over hæren mer enn jeg er til en kunnskapsrik og dyktig general, slik som Østerrike, er det så rikelig, og å legge ned alt dette tunge ansvaret for meg personlig ville være en glede . Men omstendighetene er sterkere enn oss, general.
Og Kutuzov smilte med et slikt uttrykk som om han sa: "Du har all rett til ikke å tro meg, og til og med jeg bryr meg ikke om du tror meg eller ikke, men du har ingen grunn til å fortelle meg dette. Og det er hele poenget."
Den østerrikske generalen så misfornøyd ut, men kunne ikke svare Kutuzov i samme tonefall.
«Tvert imot,» sa han i en sur og sint tone, så i motsetning til den smigrende betydningen av ordene som ble sagt, «tvert imot, Deres eksellensens deltakelse i fellessaken er høyt verdsatt av Hans Majestet; men vi tror at en reell nedgang fratar de strålende russiske troppene og deres befal fra laurbærene som de er vant til å høste i kamp,» avsluttet han den tilsynelatende forberedte frasen.
Kutuzov bukket uten å endre smilet.
– Og jeg er så overbevist, og basert på det siste brevet som Hans Høyhet Erkehertug Ferdinand hedret meg, antar jeg at de østerrikske troppene, under kommando av en så dyktig assistent som general Mack, nå allerede har vunnet en avgjørende seier og ikke lenger trenger vår hjelp, - sa Kutuzov.
Generalen rynket pannen. Selv om det ikke var noen positive nyheter om østerrikernes nederlag, var det for mange omstendigheter som bekreftet de generelle ugunstige ryktene; og derfor var Kutuzovs antagelse om østerrikernes seier veldig lik en hån. Men Kutuzov smilte saktmodig, fortsatt med det samme uttrykket som sa at han hadde rett til å påta seg dette. Det siste brevet han mottok fra Macks hær informerte ham om seieren og den mest fordelaktige strategiske posisjonen til hæren.
"Gi meg dette brevet her," sa Kutuzov og vendte seg mot prins Andrei. – Her er du, hvis du vil se den. - Og Kutuzov, med et hånende smil på leppene, leste følgende avsnitt fra brevet til erkehertug Ferdinand fra den tysk-østerrikske generalen: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm synd, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereite. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdt." [Vi har en fullt konsentrert styrke, ca 70 000 mennesker, slik at vi kan angripe og beseire fienden hvis han krysser Lech. Siden vi allerede eier Ulm, kan vi beholde fordelen med å kommandere begge breddene av Donau, derfor, hvert minutt, hvis fienden ikke krysser Lech, kryss Donau, skynd oss ​​til kommunikasjonslinjen hans, kryss Donau lavere og fienden , hvis han bestemmer seg for å vende all sin styrke mot våre trofaste allierte, for å forhindre at intensjonen hans blir oppfylt. Dermed vil vi med glede avvente tiden da den keiserlige russiske hæren er helt klar, og sammen vil vi lett finne en mulighet til å forberede fienden på den skjebnen han fortjener.

Golovizin V.V. Forelesninger om algebra og geometri. fire

Forelesninger om algebra og geometri. Semester 2.

Forelesning 22. Vektorrom.

Kort innhold: definisjon av et vektorrom, dets enkleste egenskaper, vektorsystemer, lineær kombinasjon av et system av vektorer, triviell og ikke-triviell lineær kombinasjon, lineært avhengige og uavhengige systemer av vektorer, betingelser for lineær avhengighet eller uavhengighet av et system av vektorer, undersystemer av et system av vektorer, systemer av kolonner i et aritmetisk vektorrom.

punkt 1. Definisjon av et vektorrom og dets enkleste egenskaper.

Her, for leserens bekvemmelighet, gjentar vi innholdet i avsnitt 13 i forelesning 1.

Definisjon. La være et vilkårlig ikke-tomt sett, hvis elementer vi vil kalle vektorer, K-felt, hvis elementer vi vil kalle skalarer. La en intern binær algebraisk operasjon defineres på mengden, som vi vil betegne med tegnet + og kalle addisjon av vektorer. La også en ekstern binær algebraisk operasjon defineres på mengden, som vi vil kalle multiplikasjon av en vektor med en skalar og betegne med multiplikasjonstegnet. Med andre ord er to tilordninger definert:

Et sett sammen med disse to algebraiske operasjonene kalles et vektorrom over et felt K hvis følgende aksiomer holder:

1. Addisjon er assosiativt, dvs.

2. Det er en nullvektor, dvs.

3. For enhver vektor er det en motsatt:

Vektoren y, motsatt av vektoren x, er vanligvis betegnet med -x, slik at

4. Addisjon er kommutativ, dvs. .

5. Multiplikasjon av en vektor med en skalar adlyder assosiativitetsloven, dvs.

der produktet er produktet av skalarer definert i feltet K.

6. , hvor 1 er enheten til feltet K.

7. Multiplikasjon av en vektor med en skalar er distributiv med hensyn til vektoraddisjon:

8. Multiplikasjon av en vektor med en skalar er distributiv med hensyn til addisjon av skalarer: .

Definisjon. Vektorrommet over feltet av reelle tall kalles det reelle vektorrommet.

Teorem. (De enkleste egenskapene til vektorrom.)

1. Det er bare én nullvektor i et vektorrom.

2. I et vektorrom har enhver vektor en unik motsetning til seg.

3. eller
.

4. .

Bevis. 1) Det unike til nullvektoren bevises på samme måte som det unike til identitetsmatrisen og generelt som det unike til det nøytrale elementet i enhver intern binær algebraisk operasjon.

La 0 være nullvektoren til vektorrommet V. Deretter. La
er en annen nullvektor. Deretter. La oss ta det første tilfellet
, og i den andre
. Deretter
og
, hvorfra følger det
, etc.

2a) Først beviser vi at produktet av en nullskalar og en hvilken som helst vektor er lik en nullvektor.

La
. Så, ved å bruke vektorromaksiomene, får vi:

Med hensyn til addisjon er et vektorrom en abeliaansk gruppe, og kanselleringsloven gjelder i enhver gruppe. Anvendelse av reduksjonsloven innebærer den siste likheten

.

2b) La oss nå bevise påstand 4). La
er en vilkårlig vektor. Deretter

Det følger umiddelbart av dette at vektoren
er det motsatte av x.

2c) La nå
. Deretter bruker du vektorromaksiomene,
og
vi får:

2d) La
og la oss anta det
. Fordi
, hvor K er et felt, så eksisterer det
. La oss multiplisere likheten
etterlatt til
:
, hvorfra følger
eller
eller
.

Teoremet er bevist.

punkt 2. Eksempler på vektorrom.

1) Et sett med numeriske reelle funksjoner av én variabel, kontinuerlig på intervallet (0; 1) med hensyn til de vanlige operasjonene med å legge til funksjoner og multiplisere en funksjon med et tall.

2) Settet av polynomer fra én bokstav med koeffisienter fra feltet K med hensyn til addisjon av polynomer og multiplikasjon av polynomer med en skalar.

3) Settet med komplekse tall med hensyn til addisjon av komplekse tall og multiplikasjon med et reelt tall.

4) Et sett med matriser av samme størrelse med elementer fra feltet K med hensyn til matriseaddisjon og matrisemultiplikasjon med en skalar.

Følgende eksempel er et viktig spesialtilfelle av eksempel 4.

5) La være et vilkårlig naturlig tall. Angi med settet av alle kolonner med høyde n, dvs. sett med matriser over et felt av størrelse K
.

Settet er et vektorrom over feltet K og kalles det aritmetiske vektorrommet til kolonner med høyden n over feltet K.

Spesielt hvis vi i stedet for et vilkårlig felt K tar feltet med reelle tall, så er vektorrommet
kalles det reelle aritmetiske vektorrommet til kolonner med høyden n.

På samme måte er settet med matriser over et felt K med størrelse også et vektorrom
eller, ellers, strenger med lengde n. Det er også betegnet med og kalles også det aritmetiske vektorrommet til strenger med lengde n over et felt K.

punkt 3. Systemer av vektorer i et vektorrom.

Definisjon. Et system av vektorer av et vektorrom er ethvert endelig ikke-tomt sett med vektorer av dette rommet.

Betegnelse:
.

Definisjon. Uttrykk

, (1)

hvor er skalarene til feltet K, er vektorene til vektorrommet V, kalles en lineær kombinasjon av systemet av vektorer
. Skalarene kalles koeffisientene til denne lineære kombinasjonen.

Definisjon. Hvis alle koeffisientene til den lineære kombinasjonen (1) er lik null, kalles en slik lineær kombinasjon triviell, ellers er den ikke-triviell.

Eksempel. La
et system med tre vektorer i et vektorrom V. Deretter

er en triviell lineær kombinasjon av et gitt system av vektorer;

er en ikke-triviell lineær kombinasjon av et gitt system av vektorer, siden den første koeffisienten til denne kombinasjonen
.

Definisjon. Hvis en hvilken som helst vektor x i vektorrommet V kan representeres som:

da sier vi at vektoren x er lineært uttrykt i form av vektorene til systemet
. I dette tilfellet sier vi også at systemet
representerer vektoren x lineært.

Kommentar. I denne og forrige definisjon er ordet "lineær" ofte utelatt og systemet sies å representere en vektor, eller vektoren uttrykkes i form av systemets vektorer, og så videre.

Eksempel. La
er et system med to kolonner i det aritmetiske reelle vektorrommet til kolonner med høyde 2. Deretter kolonnen
uttrykt lineært i form av kolonnene i systemet, eller det gitte kolonnesystemet representerer lineært kolonne x. Egentlig,

punkt 4. Lineært avhengige og lineært uavhengige systemer av vektorer i et vektorrom.

Siden produktet av en nullskalar av en hvilken som helst vektor er en nullvektor og summen av nullvektorer er lik en nullvektor, så for ethvert system av vektorer er likheten

Det følger at nullvektoren er lineært uttrykt i form av vektorene til et hvilket som helst system av vektorer, eller, med andre ord, et hvilket som helst system av vektorer representerer lineært nullvektoren.

Eksempel. La
. I dette tilfellet null-kolonnen kan uttrykkes lineært i form av kolonnene i systemet på mer enn én måte:

eller

For å skille mellom disse metodene for lineær representasjon av nullvektoren introduserer vi følgende definisjon.

Definisjon. Hvis likestillingen

og alle koeffisientene , så sier vi at systemet
representerer nullvektoren trivielt. Hvis i likhet (3) minst én av koeffisientene
er ikke lik null, så sier vi at systemet av vektorer
representerer nullvektoren på en ikke-triviell måte.

Fra det siste eksemplet ser vi at det finnes vektorsystemer som kan representere nullvektoren på en ikke-triviell måte. Fra det følgende eksempelet vil vi se at det er systemer av vektorer som ikke kan representere nullvektoren på en ikke-trivielt måte.

Eksempel. La
er et system med to kolonner fra et vektorrom. Tenk på likheten:

,

hvor
ukjente koeffisienter. Ved å bruke reglene for å multiplisere en kolonne med en skalar (tall) og legge til kolonner, får vi likheten:

.

Det følger av definisjonen av matriselikhet at
og
.

Dermed kan ikke det gitte systemet representere nullkolonnen på en ikke-triviell måte.

Det følger av eksemplene ovenfor at det finnes to typer vektorsystemer. Noen systemer representerer nullvektoren på en ikke-triviell måte, mens andre ikke gjør det. Merk nok en gang at ethvert system av vektorer representerer nullvektoren trivielt.

Definisjon. Et vektorromvektorsystem som KUN representerer nullvektoren trivielt sies å være lineært uavhengig.

Definisjon. Et system av vektorer i et vektorrom som ikke-trivielt kan representere en nullvektor kalles lineært avhengig.

Den siste definisjonen kan gis i en mer detaljert form.

Definisjon. Vektorsystem
vektorrom V kalles lineært avhengig hvis det er et slikt sett ikke-null med skalarer i feltet K

Kommentar. Ethvert system av vektorer
kan representere nullvektoren trivielt:

Men dette er ikke nok til å finne ut om et gitt system av vektorer er lineært avhengig eller lineært uavhengig. Det følger av definisjonen at et lineært uavhengig system av vektorer ikke kan representere nullvektoren på en ikke-triviell måte, men bare på en triviell måte. Derfor, for å verifisere den lineære uavhengigheten til et gitt system av vektorer, er det nødvendig å vurdere representasjonen av null ved en vilkårlig lineær kombinasjon av dette vektorsystemet:

Hvis denne likheten er umulig, forutsatt at minst én koeffisient av denne lineære kombinasjonen er ikke-null, så er dette systemet per definisjon lineært uavhengig.

Så i eksemplene i forrige avsnitt, kolonnesystemet
er lineært uavhengig, og kolonnesystemet
er lineært avhengig.

Den lineære uavhengigheten til kolonnesystemet er bevist på samme måte ,, ... ,

fra rommet , hvor K er et vilkårlig felt, er n et vilkårlig naturlig tall.

Følgende teoremer gir flere kriterier for lineær avhengighet og følgelig lineær uavhengighet av vektorsystemer.

Teorem. (En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for den lineære avhengigheten til et system av vektorer.)

Et system av vektorer i et vektorrom er lineært avhengig hvis og bare hvis en av vektorene i systemet er lineært uttrykt i form av de andre vektorene i dette systemet.

Bevis. Trenge. La systemet
lineært avhengig. Da representerer den per definisjon nullvektoren på en ikke-triviell måte, dvs. det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dette systemet av vektorer lik nullvektoren:

hvor minst én av koeffisientene til denne lineære kombinasjonen ikke er lik null. La
,
.

Del begge deler av den forrige likheten med denne koeffisienten som ikke er null (dvs. multipliser med :

Betegn:
, hvor.

de. en av vektorene til systemet er lineært uttrykt i form av andre vektorer i dette systemet, etc.

Tilstrekkelighet. La en av vektorene til systemet være lineært uttrykt i form av andre vektorer i dette systemet:

La oss flytte vektoren til høyre for denne ligningen:

Siden koeffisienten ved vektoren er lik
, så har vi en ikke-triviell representasjon av null ved et system av vektorer
, som betyr at dette systemet av vektorer er lineært avhengig osv.

Teoremet er bevist.

Konsekvens.

1. Et system av vektorer i et vektorrom er lineært uavhengig hvis og bare hvis ingen av systemets vektorer er lineært uttrykt i form av andre vektorer i dette systemet.

2. Et system av vektorer som inneholder en nullvektor eller to like vektorer er lineært avhengig.

Bevis.

1) Nødvendighet. La systemet være lineært uavhengig. Anta det motsatte og det er en systemvektor som er lineært uttrykt gjennom andre vektorer i dette systemet. Da, ved teoremet, er systemet lineært avhengig, og vi kommer til en selvmotsigelse.

Tilstrekkelighet. La ingen av vektorene i systemet uttrykkes i form av andre. La oss anta det motsatte. La systemet være lineært avhengig, men da følger det av teoremet at det er en systemvektor som er lineært uttrykt gjennom andre vektorer i dette systemet, og vi kommer igjen til en selvmotsigelse.

2a) La systemet inneholde en nullvektor. Anta for bestemthet at vektoren
:. Så likestillingen

de. en av vektorene til systemet er lineært uttrykt i form av de andre vektorene i dette systemet. Det følger av teoremet at et slikt system av vektorer er lineært avhengig, så videre.

Merk at dette faktum kan bevises direkte fra definisjonen av et lineært avhengig system av vektorer.

Fordi
, da er følgende likestilling åpenbar

Dette er en ikke-triviell representasjon av nullvektoren, som betyr at systemet
er lineært avhengig.

2b) La systemet ha to like vektorer. La for bestemtheten
. Så likestillingen

De. den første vektoren er lineært uttrykt i form av de andre vektorene i samme system. Det følger av teoremet at det gitte systemet er lineært avhengig, og så videre.

På samme måte som den forrige, kan denne påstanden også bevises direkte fra definisjonen av et lineært avhengig system.

Faktisk siden
, så likestillingen

de. vi har en ikke-triviell representasjon av nullvektoren.

Konsekvensen er bevist.

Teorem (om den lineære avhengigheten til et system av en vektor.

Et system som består av én vektor er lineært avhengig hvis og bare hvis denne vektoren er null.

Bevis.

Trenge. La systemet
lineært avhengig, dvs. det eksisterer en ikke-triviell representasjon av nullvektoren

,

hvor
og
. Det følger av de enkleste egenskapene til et vektorrom at da
.

Tilstrekkelighet. La systemet bestå av én nullvektor
. Da representerer dette systemet nullvektoren ikke-trivielt

,

hvorfra følger systemets lineære avhengighet
.

Teoremet er bevist.

Konsekvens. Et system som består av én vektor er lineært uavhengig hvis og bare hvis denne vektoren ikke er null.

Beviset overlates til leseren som en øvelse.

Forelesning 6. Vektorrom.

Hovedspørsmål.

1. Vektor lineært rom.

2. Grunnlag og dimensjon av plass.

3. Orientering av plass.

4. Dekomponering av en vektor i form av en basis.

5. Vektorkoordinater.

1. Vektor lineært rom.

Et sett som består av elementer av enhver art, der lineære operasjoner er definert: addisjon av to elementer og multiplikasjon av et element med et tall kalles mellomrom, og deres elementer er vektorer dette rommet og er betegnet på samme måte som vektormengder i geometri: . Vektorer slike abstrakte rom har som regel ingenting til felles med vanlige geometriske vektorer. Elementene i abstrakte rom kan være funksjoner, et system av tall, matriser osv., og i et spesielt tilfelle vanlige vektorer. Derfor kalles slike rom vektorrom .

Vektorrommene er, for eksempel, settet med kollineære vektorer, betegnet med V1 , settet med koplanare vektorer V2 , sett med vanlige (reelle rom) vektorer V3 .

For dette spesielle tilfellet kan vi gi følgende definisjon av et vektorrom.

Definisjon 1. Settet med vektorer kalles vektorrom, hvis den lineære kombinasjonen av noen vektorer i settet også er en vektor av dette settet. Selve vektorene kalles elementer vektorrom.

Viktigere både teoretisk og anvendt er det generelle (abstrakte) konseptet om et vektorrom.

Definisjon 2. Masse av R elementer , der for alle to elementer og summen er definert og for ethvert element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> kalt vektor(eller lineær) rom, og dens elementer er vektorer, hvis operasjonene med å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall tilfredsstiller følgende betingelser ( aksiomer) :

1) addisjon er kommutativ, dvs. gif" width="184" height="25">;

3) det er et slikt element (nullvektor) at for enhver https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) for alle vektorer og og et hvilket som helst tall λ, gjelder likheten;

6) for alle vektorer og eventuelle tall λ og µ likhet er gyldig https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> og alle tall λ og µ rettferdig ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Fra aksiomene som definerer vektorrommet følger det enkleste konsekvenser :

1. I et vektorrom er det bare en null - et element - en null vektor.

2. I et vektorrom har hver vektor en unik motsatt vektor.

3. For hvert element er likheten oppfylt.

4. For et hvilket som helst reelt tall λ og null vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> er en vektor som tilfredsstiller likheten https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Så, faktisk, settet med alle geometriske vektorer er også et lineært (vektor) rom, siden for elementene i dette settet er handlingene til addisjon og multiplikasjon med et tall definert som tilfredsstiller de formulerte aksiomene.

2. Grunnlag og dimensjon av plass.

De essensielle begrepene i et vektorrom er begrepene basis og dimensjon.

Definisjon. Settet med lineært uavhengige vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, som enhver romvektor er lineært uttrykt gjennom, kalles basis denne plassen. Vektorer. Mellomrommene som utgjør grunnlaget kalles grunnleggende .

Grunnlaget for settet med vektorer plassert på en vilkårlig linje kan betraktes som en kollineær til denne linjevektoren.

Grunnlag på flyet la oss kalle to ikke-kollineære vektorer på dette planet, tatt i en bestemt rekkefølge https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Hvis basisvektorene er parvis perpendikulære (ortogonale), kalles basisen ortogonal, og hvis disse vektorene har lengde lik én, kalles grunnlaget ortonormal .

Det største antallet lineært uavhengige vektorer i rommet kalles dimensjon dette rommet, dvs. rommets dimensjon sammenfaller med antallet basisvektorer til dette rommet.

Så, i henhold til disse definisjonene:

1. Endimensjonalt rom V1 er en rett linje, og grunnlaget består av en kolineær vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Vanlig rom er tredimensjonalt rom V3 , hvis grunnlag består av tre ikke-coplanar vektorer.

Herfra ser vi at antall basisvektorer på en rett linje, på et plan, i reelt rom sammenfaller med det som i geometri vanligvis kalles antall dimensjoner (dimensjon) til en rett linje, plan, rom. Derfor er det naturlig å innføre en mer generell definisjon.

Definisjon. vektorrom R kalt n- dimensjonal hvis den inneholder høyst n lineært uavhengige vektorer og er betegnet R n. Antall n kalt dimensjon rom.

I samsvar med dimensjonen av rommet er delt inn i endelig dimensjonal og uendelig dimensjonal. Dimensjonen til et nullrom antas per definisjon å være null.

Merknad 1. I hvert rom kan du spesifisere så mange baser du vil, men alle basene i dette rommet består av samme antall vektorer.

Merknad 2. PÅ n- i et dimensjonalt vektorrom er en basis en hvilken som helst ordnet samling n lineært uavhengige vektorer.

3. Orientering av plass.

La basisvektorene i rommet V3 ha felles begynnelse og bestilt, dvs. det er indikert hvilken vektor som anses som den første, hvilken - den andre og hvilken - den tredje. For eksempel, i en basis, er vektorer ordnet i henhold til indeksering.

Til for å orientere plass, er det nødvendig å sette noe grunnlag og erklære det positivt .

Det kan vises at settet med alle baser i et rom faller inn i to klasser, det vil si i to ikke-skjærende delmengder.

a) alle baser som tilhører en delmengde (klasse) har det samme orientering (baser med samme navn);

b) hvilke som helst to baser som tilhører diverse delmengder (klasser), har motsatte orientering, ( forskjellige navn baser).

Hvis en av de to klassene av baser i et rom er erklært positiv, og den andre er negativ, så sier vi at dette rommet orientert .

Ofte, når du orienterer plass, kalles noen baser Ikke sant, mens andre er det venstreorienterte .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> kalt Ikke sant, hvis når du observerer fra slutten av den tredje vektoren, den korteste rotasjonen av den første vektoren https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> er utført mot klokken(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ris. 1.8. Høyre basis (a) og venstre basis (b)

Vanligvis er det riktige grunnlaget for plassen erklært å være et positivt grunnlag

Høyre (venstre) romgrunnlag kan også bestemmes ved å bruke regelen for "høyre" ("venstre") skrue eller gimlet.

I analogi med dette, begrepet høyre og venstre trillinger ikke-komplementære vektorer som må bestilles (fig. 1.8).

Således, i det generelle tilfellet, har to ordnede trippel av ikke-koplanare vektorer samme orientering (har samme navn) i rommet V3 hvis de begge er høyre eller begge venstre, og - motsatt orientering (motsatt), hvis en av dem er høyre og den andre er venstre.

Det samme gjøres når det gjelder plass V2 (fly).

4. Dekomponering av en vektor i form av en basis.

For enkelhets skyld vil vi vurdere dette spørsmålet ved å bruke eksemplet med et tredimensjonalt vektorrom R3 .

La https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> være en vilkårlig vektor av dette rommet.

4.3.1 Lineær romdefinisjon

La ā , , - elementer i et sett ā , , Land λ , μ - reelle tall, λ , μ R..

Settet L kalleslineær ellervektorrom, hvis to operasjoner er definert:

1 0 . Addisjon. Hvert par av elementer i dette settet er assosiert med et element i det samme settet, kalt summen deres

ā + =

2°.Multiplikasjon med et tall. Ethvert reelt tall λ og element ā L et element i samme sett er tilordnet λ ā L og følgende egenskaper er oppfylt:

1. à+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. finnes null element
, slik at ā +=ā ;

4. finnes motsatt element -
slik at ā +(-ā )=.

Hvis en λ , μ - reelle tall, da:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elementer i det lineære rommet ā, , ... kalles vektorer.

En øvelse. Vis deg selv at disse settene danner lineære mellomrom:

1) Settet med geometriske vektorer på planet;

2) Et sett med geometriske vektorer i tredimensjonalt rom;

3) Et sett med polynomer av en viss grad;

4) Et sett med matriser av samme dimensjon.

4.3.2 Lineært avhengige og uavhengige vektorer. Dimensjon og romgrunnlag

Lineær kombinasjon vektorer ā 1 , ā 2 , …, ā n Lkalles en vektor med samme rom i formen:

,

hvor λ i - reelle tall.

Vektorer ā 1 , .. , ā n kaltlineært uavhengig, hvis deres lineære kombinasjon er en nullvektor hvis og bare hvis alle λ Jeg er lik null, det er

λ i=0

Hvis den lineære kombinasjonen er en nullvektor og minst én av λ Jeg er forskjellig fra null, kalles disse vektorene lineært avhengige. Det siste betyr at minst én av vektorene kan representeres som en lineær kombinasjon av andre vektorer. Faktisk, la og f.eks.
. deretter,
, hvor

.

Det maksimalt lineært uavhengige ordnede systemet av vektorer kalles basis rom L. Antall basisvektorer kalles dimensjon rom.

La oss anta at det er det n lineært uavhengige vektorer, så kalles rommet n-dimensjonal. Andre romvektorer kan representeres som en lineær kombinasjon n basisvektorer. per basis n- dimensjonalt rom kan tas noen n lineært uavhengige vektorer av dette rommet.

Eksempel 17. Finn grunnlaget og dimensjonen til gitte lineære rom:

a) sett med vektorer som ligger på en linje (kollineært til en linje)

b) settet med vektorer som tilhører planet

c) sett med vektorer av tredimensjonalt rom

d) settet med polynomer med høyst to grader.

Løsning.

en) Eventuelle to vektorer som ligger på en linje vil være lineært avhengige, siden vektorene er kollineære
, deretter
, λ - skalær. Derfor er grunnlaget for dette rommet bare én (en hvilken som helst) vektor bortsett fra null.

Vanligvis er denne plassen R, dens dimensjon er 1.

b) to ikke-kollineære vektorer
er lineært uavhengige, og alle tre vektorer i planet er lineært avhengige. For enhver vektor , det er tall  og  slik at
. Rommet kalles todimensjonalt, betegnet R 2 .

Grunnlaget for et todimensjonalt rom er dannet av to ikke-kollineære vektorer.

i) Alle tre ikke-koplanare vektorer vil være lineært uavhengige, de danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom R 3 .

G) Som grunnlag for rommet til polynomer av høyst to grader, kan man velge følgende tre vektorer: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 er et polynom, identisk lik en). Dette rommet vil være tredimensjonalt.