Koordinater på koordinatplanet. Video leksjon "Koordinere fly

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 eller x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Etter å ha lært å løse likninger av første grad, ønsker du selvfølgelig å jobbe med andre, spesielt med likninger av andre grad, som ellers kalles kvadratiske.

Kvadratiske ligninger er ligninger som ax² + bx + c = 0, hvor variabelen er x, tallene er a, b, c, der a ikke er lik null.

Hvis i en andregradsligning den ene eller den andre koeffisienten (c eller b) er lik null, vil denne ligningen bli klassifisert som en ufullstendig andregradsligning.

Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning hvis elevene så langt kun har kunnet løse likninger av første grad? Vurder ufullstendige andregradsligninger ulike typer og enkle måter å løse dem på.

a) Hvis koeffisient c er lik 0, og koeffisient b ikke er lik null, reduseres ax ² + bx + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² + bx = 0.

For å løse en slik ligning, må du kjenne formelen for å løse det ufullstendige andregradsligning, som består i å faktorisere venstre side av den og senere bruke betingelsen om at produktet er lik null.

For eksempel, 5x² - 20x = 0. Vi faktoriserer venstre side av ligningen, mens vi gjør det vanlige matematisk operasjon: flytter totalfaktoren ut av parentes

5x (x - 4) = 0

Vi bruker betingelsen om at produktene er lik null.

5 x = 0 eller x - 4 = 0

Svaret vil være: den første roten er 0; den andre roten er 4.

b) Hvis b = 0, og frileddet ikke er lik null, reduseres likningen ax ² + 0x + c = 0 til en likning på formen ax ² + c = 0. Ligningene løses på to måter : a) ved å faktorisere polynomet til ligningen på venstre side ; b) ved å bruke egenskapene til aritmetikk kvadratrot. En slik ligning kan løses ved å bruke en av metodene, for eksempel:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Svaret vil være: den første roten er 5/2; den andre roten er lik - 5/2.

c) Hvis b er lik 0 og c er lik 0, så reduseres ax ² + 0 + 0 = 0 til en likning av formen ax ² = 0. I en slik likning vil x være lik 0.

Som du kan se, kan ufullstendige kvadratiske ligninger ikke ha mer enn to røtter.

Kvadratisk ligning - lett å løse! *Heretter referert til som "KU". Venner, det ser ut til at det ikke kan være noe enklere i matematikk enn å løse en slik ligning. Men noe fortalte meg at mange har problemer med ham. Jeg bestemte meg for å se hvor mange on-demand-visninger Yandex gir ut per måned. Her er hva som skjedde, se:

Hva betyr det? Dette betyr at rundt 70 000 personer per måned søker etter denne informasjonen, hva har denne sommeren med det å gjøre, og hva som vil skje blant akademisk år— det kommer dobbelt så mange forespørsler. Dette er ikke overraskende, fordi de gutta og jentene som ble uteksaminert fra skolen for lenge siden og forbereder seg til Unified State Exam, leter etter denne informasjonen, og skolebarn prøver også å friske opp hukommelsen.

Til tross for at det er mange sider som forteller deg hvordan du løser denne ligningen, bestemte jeg meg for å også bidra og publisere materialet. For det første vil jeg at besøkende skal komme til nettstedet mitt basert på denne forespørselen; for det andre, i andre artikler, når emnet "KU" kommer opp, vil jeg gi en lenke til denne artikkelen; for det tredje vil jeg fortelle deg litt mer om løsningen hans enn det som vanligvis står på andre nettsteder. La oss komme i gang! Innhold i artikkelen:

En kvadratisk ligning er en ligning av formen:

hvor koeffisientene a,bog c er vilkårlige tall, med a≠0.

I skolekurs materiale er gitt inn følgende skjema– ligningene er delt inn i tre klasser:

1. De har to røtter.

2. *Ha bare én rot.

3. De har ingen røtter. Det er spesielt verdt å merke seg her at de ikke har ekte røtter

Hvordan beregnes røtter? Akkurat!

Vi beregner diskriminanten. Under dette "forferdelige" ordet ligger en veldig enkel formel:

Rotformlene er som følger:

*Du må kunne disse formlene utenat.

Du kan umiddelbart skrive ned og løse:

Eksempel:

1. Hvis D > 0, så har ligningen to røtter.

2. Hvis D = 0, så har ligningen én rot.

3. Hvis D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

La oss se på ligningen:

I denne forbindelse, når diskriminanten er lik null, sier skolekurset at en rot oppnås, her er den lik ni. Alt er riktig, det er slik, men...

Denne ideen er noe feil. Faktisk er det to røtter. Ja, ja, ikke bli overrasket, det viser seg to like røtter, og for å være matematisk presis, bør svaret inneholde to røtter:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men dette er så - en liten digresjon. På skolen kan du skrive det ned og si at det er én rot.

Nå neste eksempel:

Som vi vet kan ikke roten av et negativt tall tas, så løsningene i i dette tilfellet Ingen.

Det er hele beslutningsprosessen.

Kvadratisk funksjon.

Dette viser hvordan løsningen ser ut geometrisk. Dette er ekstremt viktig å forstå (i fremtiden, i en av artiklene vil vi analysere i detalj løsningen på den kvadratiske ulikheten).

Dette er en funksjon av skjemaet:

hvor x og y er variabler

a, b, c – gitte tall, med a ≠ 0

Grafen er en parabel:

Det vil si at det viser seg at ved å løse en andregradsligning med "y" lik null, finner vi skjæringspunktene til parabelen med x-aksen. Det kan være to av disse punktene (diskriminanten er positiv), ett (diskriminanten er null) og ingen (diskriminanten er negativ). Detaljer om den kvadratiske funksjonen du kan se artikkel av Inna Feldman.

La oss se på eksempler:

Eksempel 1: Løs 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

*Det var mulig å umiddelbart forlate og høyre side del ligningen med 2, det vil si forenkle den. Beregninger blir lettere.

Eksempel 2: Avgjøre x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fant at x 1 = 11 og x 2 = 11

Det er lov å skrive x = 11 i svaret.

Svar: x = 11

Eksempel 3: Avgjøre x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten er negativ, det er ingen løsning i reelle tall.

Svar: ingen løsning

Diskriminanten er negativ. Det finnes en løsning!

Her vil vi snakke om å løse ligningen i tilfellet når en negativ diskriminant oppnås. Vet du noe om komplekse tall? Jeg vil ikke gå i detalj her om hvorfor og hvor de oppsto og hva deres spesifikke rolle og nødvendighet i matematikk er dette er et tema for en stor egen artikkel.

Konseptet med et komplekst tall.

Litt teori.

Et komplekst tall z er et tall av formen

z = a + bi

hvor a og b er reelle tall, i er den såkalte imaginære enheten.

a+bi – dette er et ENKEL NUMMER, ikke et tillegg.

Den imaginære enheten er lik roten av minus én:

Tenk nå på ligningen:

Vi får to konjugerte røtter.

Ufullstendig andregradsligning.

La oss vurdere spesielle tilfeller, dette er når koeffisienten "b" eller "c" er lik null (eller begge er lik null). De kan løses enkelt uten diskriminerende problemer.

Tilfelle 1. Koeffisient b = 0.

Ligningen blir:

La oss konvertere:

Eksempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tilfelle 2. Koeffisient c = 0.

Ligningen blir:

La oss transformere og faktorisere:

*Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null.

Eksempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tilfelle 3. Koeffisientene b = 0 og c = 0.

Her er det klart at løsningen på ligningen alltid vil være x = 0.

Nyttige egenskaper og mønstre av koeffisienter.

Det er egenskaper som lar deg løse likninger med store koeffisienter.

ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en + b+ c = 0, At

- hvis for koeffisientene til ligningen ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en+ s =b, At

Disse egenskapene er med på å bestemme en bestemt type ligninger

Eksempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summen av oddsen er 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, som betyr

Eksempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Likestilling holder en+ s =b, Betyr

Regulariteter av koeffisienter.

1. Hvis i ligningen ax 2 + bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten"a", så er røttene like

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Hvis i ligningen ax 2 – bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Hvis i lign. ax 2 + bx – c = 0 koeffisient "b" er lik (a 2 – 1), og koeffisient "c" er numerisk lik koeffisienten "a", da er røttene like

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Hvis i ligningen ax 2 – bx – c = 0 er koeffisienten “b” lik (a 2 – 1), og koeffisienten c er numerisk lik koeffisienten “a”, så er røttene like

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietas teorem.

Vietas teorem er oppkalt etter den berømte fransk matematiker Francois Vieta. Ved å bruke Vietas teorem kan vi uttrykke summen og produktet av røttene til en vilkårlig KU i form av koeffisientene.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Totalt gir tallet 14 bare 5 og 9. Dette er røttene. Med en viss ferdighet, ved å bruke det presenterte teoremet, kan du løse mange andregradsligninger muntlig umiddelbart.

Vietas teorem, i tillegg. Det er praktisk ved at etter å ha løst en kvadratisk ligning på vanlig måte (gjennom en diskriminant), kan de resulterende røttene kontrolleres. Jeg anbefaler å gjøre dette alltid.

TRANSPORTMETODE

Med denne metoden multipliseres koeffisienten "a" med frileddet, som om den ble "kastet" til den, og det er derfor den kalles "overføring"-metoden. Denne metoden brukes når du enkelt kan finne røttene til ligningen ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Hvis EN± b+c≠ 0, så brukes overføringsteknikken, for eksempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Ved å bruke Vietas teorem i ligning (2), er det lett å bestemme at x 1 = 10 x 2 = 1

De resulterende røttene til ligningen må deles på 2 (siden de to ble "kastet" fra x 2), får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Hva er begrunnelsen? Se hva som skjer.

Diskriminantene til ligningene (1) og (2) er like:

Hvis du ser på røttene til ligningene, får du bare ulike nevnere, og resultatet avhenger nøyaktig av koeffisienten til x 2:

Den andre (modifiserte) har røtter som er 2 ganger større.

Derfor deler vi resultatet på 2.

*Hvis vi ruller de tre på nytt, deler vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie og Unified State Examination.

Jeg skal fortelle deg kort om viktigheten - DU MÅ KUNNE AVGJØRE raskt og uten å tenke, du må kunne formlene for røtter og diskriminanter utenat. Mange problemer inkludert i Unified State Examination-oppgavene kommer ned til å løse en kvadratisk ligning (geometriske inkludert).

Noe verdt å merke seg!

1. Formen for å skrive en ligning kan være "implisitt". For eksempel er følgende oppføring mulig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du må ta det til et standardskjema (for ikke å bli forvirret når du løser).

2. Husk at x er en ukjent størrelse og den kan betegnes med en hvilken som helst annen bokstav - t, q, p, h og andre.

Flere på en enkel måte. For å gjøre dette, sett z utenfor parentes. Du vil få: z(аz + b) = 0. Faktorene kan skrives: z=0 og аz + b = 0, siden begge kan resultere i null. I notasjonen az + b = 0, flytter vi den andre til høyre med et annet fortegn. Herfra får vi z1 = 0 og z2 = -b/a. Dette er røttene til originalen.

Hvis det er det ufullstendig ligning av formen аz² + с = 0, i dette tilfellet finnes ved ganske enkelt å flytte det frie leddet til høyre side av ligningen. Bytt også fortegn. Resultatet blir az² = -с. Uttrykk z² = -c/a. Ta roten og skriv ned to løsninger - positive og negativ verdi kvadratrot.

Vær oppmerksom på

Når det er tilstede i Eq. brøkodds multipliser hele ligningen med riktig faktor for å eliminere brøker.

Kunnskap om hvordan man løser andregradsligninger er nødvendig for både skolebarn og elever noen ganger kan dette også hjelpe en voksen inn vanlig liv. Det er flere visse metoder beslutninger.

Løse kvadratiske ligninger

Kvadratisk ligning av formen a*x^2+b*x+c=0. Koeffisient x er ønsket variabel, a, b, c er numeriske koeffisienter. Husk at "+"-tegnet kan endres til et "-"-tegnet.

For å løse denne ligningen er det nødvendig å bruke Vietas teorem eller finne diskriminanten. Den vanligste metoden er å finne diskriminanten, siden for noen verdier av a, b, c er det ikke mulig å bruke Vietas teorem.

For å finne diskriminanten (D), må du skrive formelen D=b^2 - 4*a*c. D-verdien kan være større enn, mindre enn eller lik null. Hvis D er større eller mindre enn null, vil det være to røtter, hvis D = 0, så er det bare én rot igjen, mer presist, vi kan si at D i dette tilfellet har to ekvivalente røtter. Bytt ut de kjente koeffisientene a, b, c i formelen og beregn verdien.

Etter at du har funnet diskriminanten, bruk formlene for å finne x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, der sqrt er en funksjon som betyr å ta kvadratroten av gitt nummer. Etter å ha beregnet disse uttrykkene vil du finne to røtter til ligningen din, hvoretter ligningen anses som løst.

Hvis D er mindre enn null, har den fortsatt røtter. På skolen denne delen praktisk talt ikke studert. Universitetsstudenter bør være klar over hva som dukker opp negativt tall under roten. De blir kvitt det ved å fremheve den imaginære delen, det vil si at -1 under roten alltid er lik det imaginære elementet "i", som multipliseres med roten med samme positive tall. For eksempel, hvis D=sqrt(-20), etter transformasjonen får vi D=sqrt(20)*i. Etter denne transformasjonen reduseres løsning av ligningen til samme funn av røtter som beskrevet ovenfor.

Vietas teorem består i å velge verdiene av x(1) og x(2). To er brukt identiske ligninger: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Og veldig viktig poeng er tegnet foran koeffisienten b, husk at dette tegnet er motsatt av det i ligningen. Ved første øyekast ser det ut til at det er veldig enkelt å beregne x(1) og x(2), men når du løser vil du stå overfor det faktum at du må velge tallene.

Elementer for å løse andregradsligninger

I henhold til matematikkens regler kan noen faktoriseres: (a+x(1))*(b-x(2))=0, hvis du klarte å transformere denne andregradsligningen på en lignende måte ved hjelp av matematiske formler, så gjerne skriv ned svaret. x(1) og x(2) vil være lik de tilstøtende koeffisientene i parentes, men med motsatt fortegn.

Ikke glem ufullstendige kvadratiske ligninger. Du mangler kanskje noen av begrepene i så fall, så er alle koeffisientene rett og slett lik null. Hvis det ikke er noe foran x^2 eller x, er koeffisientene a og b lik 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Kommunebudsjett utdanningsinstitusjon gjennomsnittlig ungdomsskolen № 11

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Full versjon arbeid er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Andregradsligningers historie

Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første grad, men også av andre i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter, med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere. Reglene for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med moderne, men i disse tekstene er det ikke noe begrep om et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

Antikkens Hellas

Løsning av andregradsligninger ble også gjort i Antikkens Hellas slike forskere som Diophantus, Euclid og Heron. Diophantus Diophantus av Alexandria er en gammel gresk matematiker som antagelig levde i det 3. århundre e.Kr. Hovedverket til Diophantus er "Aritmetikk" i 13 bøker. Euklid. Euklid er en gammel gresk matematiker, forfatteren av den første teoretiske avhandlingen om matematikk som har kommet ned til oss, Heron. Heron - gresk matematiker og ingeniør først i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse en andregradsligning på

India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte generell regel løse andregradsligninger redusert til en enhetlig kanonisk form: ax2 + bх = с, а> 0. (1) I ligning (1) kan koeffisientene være negative. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt. Offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer var vanlig i India. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann vil formørke hans ære i offentlige forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

«En flokk med frekke aper

Og tolv langs vinstokkene hadde det gøy, etter å ha spist av hjertens lyst

De begynte å hoppe, hengende

Del åtte av dem er kvadratisk

Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen

Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren visste at røttene til kvadratiske ligninger er to-verdier. Bhaskar skriver ligningen som tilsvarer oppgaven som x2 - 64x = - 768, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til 322 på begge sider, og får deretter: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Europa XVIIårhundre

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med Al-Khorezmi i Europa ble først satt frem i Book of Abacus, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både fra islams land og fra antikkens Hellas, utmerker seg ved sin fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII. Utledning av formelen for å løse en andregradsligning i generelt syn Viet har det, men Viet bare anerkjente det positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. De tar hensyn, i tillegg til det positive, og negative røtter. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre vitenskapsmenns måte løse andregradsligninger tar en moderne form.

Definisjon av en andregradsligning

En ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er tall, kalles kvadratisk.

Kvadratiske ligningskoeffisienter

Tallene a, b, c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a er den første koeffisienten (før x²), a ≠ 0 b er den andre koeffisienten (før x).

Hvilke av disse ligningene er ikke kvadratiske??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Typer andregradsligninger

Navn	Generell form for ligningen	Funksjon (hva er koeffisientene)	Eksempler på ligninger
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - andre tall enn 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Ufullstendig
			x 2 - 1/5x = 0
Gitt	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redusert er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er lik en. En slik ligning kan fås ved å dele hele uttrykket med den ledende koeffisienten en:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

En kvadratisk ligning kalles fullstendig hvis alle koeffisientene ikke er null.

En andregradsligning kalles ufullstendig der minst én av koeffisientene, bortsett fra den ledende (enten den andre koeffisienten eller frileddet), er lik null.

Metoder for å løse andregradsligninger

Metode I Generell formel for beregning av røtter

For å finne røttene til en andregradsligning øks 2 + b + c = 0 V generell sak du bør bruke algoritmen nedenfor:

Regn ut verdien av diskriminanten til en kvadratisk ligning: dette er uttrykket for den D= b 2 - 4ac

Utledning av formelen:

Note: Det er åpenbart at formelen for en rot av multiplisitet 2 er et spesialtilfelle av den generelle formelen, oppnådd ved å erstatte likheten D=0 i den, og konklusjonen om fraværet av reelle røtter ved D0, og (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Den presenterte metoden er universell, men den er langt fra den eneste. Å løse en enkelt ligning kan tilnærmes på en rekke måter, med preferanser vanligvis avhengig av løseren. I tillegg, ofte for dette formålet, viser noen av metodene seg å være mye mer elegante, enkle og mindre arbeidskrevende enn standarden.

II metode. Røttene til en andregradsligning med en jevn koeffisient b III metode. Løse ufullstendige andregradsligninger

IV metode. Bruke partielle forhold av koeffisienter

Det er spesielle tilfeller av kvadratiske ligninger der koeffisientene er i forhold til hverandre, noe som gjør dem mye lettere å løse.

Røttene til en kvadratisk ligning der summen av den ledende koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten

Hvis i en andregradsligning øks 2 + bx + c = 0 summen av den første koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten: a+b=c, så er røttene -1 og tallet motsatt holdning fri ledd til den ledende koeffisienten ( -c/a).

Derfor, før du løser en annengradsligning, bør du sjekke muligheten for å bruke denne teoremet på den: sammenlign summen av den ledende koeffisienten og det frie leddet med den andre koeffisienten.

Røttene til en andregradsligning hvis sum av alle koeffisienter er null

Hvis summen av alle koeffisientene i en kvadratisk ligning er null, er røttene til en slik ligning 1 og forholdet mellom det frie leddet og den ledende koeffisienten ( c/a).

Derfor, før du løser ligningen ved hjelp av standardmetoder, bør du sjekke anvendeligheten til denne teoremet på den: legg til alle koeffisientene gitt ligning og se om dette beløpet er lik null.

V metode. Faktorering av et kvadratisk trinomium i lineære faktorer

Hvis trinomialet er av formen (visningsstil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) kan på en eller annen måte representeres som et produkt av lineære faktorer (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), så kan vi finne røttene til ligningen øks 2 + bx + c = 0- de vil være -m/k og n/l, faktisk, tross alt (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0Langvenstrepil kx+m=0kopp lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, og etter å ha løst det angitte lineære ligninger, vi får ovenstående. Merk at kvadratisk trinomium dekomponerer ikke alltid til lineære faktorer med reelle koeffisienter: dette er mulig hvis den tilsvarende ligningen har reelle røtter.

La oss vurdere noen spesielle tilfeller

Bruke formelen for kvadratsum (forskjell).

Hvis det kvadratiske trinomialet har formen (visningsstil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , så ved å bruke formelen ovenfor på det, kan vi faktorere det inn i lineære faktorer og finn derfor røtter:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Utvalg full firkant beløp (forskjeller)

Formelen ovenfor brukes også ved å bruke en metode som kalles "velge hele kvadratet av summen (forskjellen)." I forhold til den ovennevnte kvadratiske ligningen med den tidligere introduserte notasjonen, betyr dette følgende:

Note: hvis du merker det denne formelen sammenfaller med det som er foreslått i avsnittet "Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen", som igjen kan fås fra den generelle formelen (1) ved å erstatte likheten a=1. Dette faktum er ikke bare en tilfeldighet: ved å bruke den beskrevne metoden, om enn med noen ekstra resonnement, er det mulig å utlede generell formel, og også bevise egenskapene til diskriminanten.

VI metode. Ved å bruke den direkte og inverse Vieta-setningen

Vietas direkte teorem (se nedenfor i avsnittet med samme navn) og dens inverse teorem lar deg løse de ovennevnte kvadratiske ligningene muntlig, uten å ty til ganske tungvinte beregninger ved å bruke formel (1).

Ifølge motsatt av teoremet, hvert par med tall (tall) (visningsstil x_(1),x_(2))x 1, x 2 er en løsning på ligningssystemet nedenfor, er røttene til ligningen

I det generelle tilfellet, det vil si for en ikke-redusert kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Et direkte teorem vil hjelpe deg med å finne tall som tilfredsstiller disse ligningene muntlig. Med dens hjelp kan du bestemme tegnene på røttene uten å kjenne røttene selv. For å gjøre dette, bør du følge regelen:

1) hvis frileddet er negativt, så har røttene annet tegn, og den største moduloen av røttene er tegnet motsatt tegn andre koeffisient av ligningen;

2) hvis frileddet er positivt, så har begge røttene med samme tegn, og dette er tegnet motsatt av tegnet til den andre koeffisienten.

VII metode. Overføringsmetode

Den såkalte "overføringsmetoden" lar deg redusere løsningen av ikke-reduserte og irreduserbare ligninger til form av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter ved å dele dem med den ledende koeffisienten til løsningen av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter. Det er som følger:

Deretter løses ligningen muntlig på måten beskrevet ovenfor, så går de tilbake til den opprinnelige variabelen og finner røttene til ligningene (visningsstil y_(1)=ax_(1)) y 1 =øks 1 Og y 2 =øks 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

Geometrisk betydning

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og abscisseaksen. Hvis parabelen beskrevet kvadratisk funksjon, ikke krysser x-aksen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis en parabel skjærer x-aksen i ett punkt (ved toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (likningen sies også å ha to sammenfallende røtter). Hvis parabelen skjærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle røtter (se bildet til høyre.)

Hvis koeffisient (visningsstil a) en positiv, grenene til parablen er rettet oppover og omvendt. Hvis koeffisienten (visningsstil b) bpositiv (hvis positiv (visningsstil a) en, hvis negativ, omvendt), så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan og omvendt.

Anvendelse av andregradsligninger i livet

Den kvadratiske ligningen er mye brukt. Det brukes i mange beregninger, strukturer, sport, og også rundt oss.

La oss vurdere og gi noen eksempler på anvendelsen av den kvadratiske ligningen.

Sport. Høye hopp: under hopperens oppkjøring å treffe startstangen så tydelig som mulig og flyr høyt bruke beregninger som involverer parabler.

Også lignende beregninger er nødvendig i kasting. Flyrekkevidden til et objekt avhenger av kvadratisk ligning.

Astronomi. Banen til planetene kan bli funnet ved hjelp av en kvadratisk ligning.

Flyreise. Flyavgang er hovedkomponenten i flygingen. Her tar vi beregningen for lav motstand og akselerasjon av start.

Kvadratiske ligninger brukes også i ulike økonomiske disipliner, i programmer for prosessering av lyd, video, vektor- og rastergrafikk.

Konklusjon

Som et resultat av arbeidet som ble gjort, viste det seg at kvadratiske ligninger tiltrakk seg forskere tilbake i gamle tider, de hadde allerede møtt dem når de løste noen problemer og prøvde å løse dem. Vurderer ulike måter løse andregradsligninger, kom jeg til den konklusjon at ikke alle er enkle. Etter min mening mest den beste måtenå løse andregradsligninger er å løse med formler. Formlene er enkle å huske, denne metoden er universell. Hypotesen om at ligninger er mye brukt i livet og matematikken ble bekreftet. Etter å ha studert temaet lærte jeg mye interessante fakta om andregradsligninger, deres bruk, anvendelse, typer, løsninger. Og jeg vil gjerne fortsette å studere dem. Jeg håper dette vil hjelpe meg med å gjøre det bra på eksamenene mine.

Liste over brukt litteratur

Materialer på nettstedet:

Wikipedia

Åpen leksjon.rf

Håndbok i elementær matematikk Vygodsky M. Ya.

Jeg håper, etter å ha studert denne artikkelen, vil du lære å finne røttene til en komplett andregradsligning.

Ved å bruke diskriminanten løses kun komplette andregradsligninger for å løse ufullstendige andregradsligninger, andre metoder brukes, som du finner i artikkelen "Løse ufullstendige andregradsligninger."

Hvilke andregradsligninger kalles komplette? Dette ligninger på formen ax 2 + b x + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c ikke er lik null. Så for å løse en komplett kvadratisk ligning, må vi beregne diskriminanten D.

D = b 2 – 4ac.

Avhengig av verdien av diskriminanten, vil vi skrive ned svaret.

Hvis diskriminanten er et negativt tall (D< 0),то корней нет.

Hvis diskriminanten er null, så er x = (-b)/2a. Når diskriminanten positivt tall(D > 0),

deretter x 1 = (-b - √D)/2a, og x 2 = (-b + √D)/2a.

For eksempel. Løs ligningen x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Svar: 2.

Løs ligning 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Svar: ingen røtter.

Løs ligning 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Svar: – 3,5; 1.

Så la oss forestille oss løsningen av komplette kvadratiske ligninger ved å bruke diagrammet i figur 1.

Ved å bruke disse formlene kan du løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning. Du må bare være forsiktig ligningen ble skrevet som et polynom standard visning

EN x 2 + bx + c, ellers kan du gjøre en feil. For eksempel, når du skriver ligningen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du feilaktig bestemme at

a = 1, b = 3 og c = 2. Deretter

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 og så har ligningen to røtter. Og dette er ikke sant. (Se løsning på eksempel 2 ovenfor).

Derfor, hvis ligningen ikke er skrevet som et polynom av standardformen, må først hele andregradsligningen skrives som et polynom av standardformen (monomialet med den største eksponenten skal komme først, dvs. EN x 2 , deretter med mindre – bx og deretter et gratis medlem Med.

Når du løser den reduserte andregradslikningen og en andregradsligning med en jevn koeffisient i andre ledd, kan du bruke andre formler. La oss bli kjent med disse formlene. Hvis det andre leddet i en komplett kvadratisk ligning har en jevn koeffisient (b = 2k), kan du løse ligningen ved å bruke formlene vist i diagrammet i figur 2.

En fullstendig andregradsligning kalles redusert hvis koeffisienten ved x 2 er lik en og ligningen har formen x 2 + px + q = 0. En slik ligning kan gis for løsning, eller den kan oppnås ved å dele alle koeffisientene til ligningen med koeffisienten EN, står ved x 2 .

Figur 3 viser et diagram for å løse det reduserte kvadratet
ligninger. La oss se på et eksempel på anvendelsen av formlene som er diskutert i denne artikkelen.

Eksempel. Løs ligningen

3x 2 + 6x – 6 = 0.

La oss løse denne ligningen ved å bruke formlene vist i diagrammet i figur 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3

Du kan legge merke til at koeffisienten til x i denne ligningen er et partall, det vil si b = 6 eller b = 2k, hvorav k = 3. La oss så prøve å løse ligningen ved å bruke formlene vist i diagrammet til figuren D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3. Når vi legger merke til at alle koeffisientene i denne andregradsligningen er delbare med 3 og utfører divisjonen, får vi den reduserte andregradsligningen x 2 + 2x – 2 = 0 Løs denne likningen ved å bruke formlene for den reduserte andregradslikningen
ligninger figur 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3.

Som du kan se, når vi løste denne ligningen med forskjellige formler, fikk vi det samme svaret. Derfor, etter å ha grundig mestret formlene vist i diagrammet i figur 1, vil du alltid være i stand til å løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.