Hvis du allerede er kjent med trigonometrisk sirkel , og du bare vil oppdatere individuelle elementer i minnet ditt, eller du er helt utålmodig, så er det her, :

Her vil vi analysere alt i detalj trinn for trinn.

Den trigonometriske sirkelen er ikke en luksus, men en nødvendighet

Trigonometri mange er forbundet med ufremkommelig kratt. Plutselig hoper det seg opp så mange verdier for trigonometriske funksjoner, så mange formler ... Men det er tross alt at det ikke fungerte med det første, og ... av og på ... ren misforståelse .. .

Det er veldig viktig å ikke vinke med hånden verdier av trigonometriske funksjoner,- sier de, du kan alltid se på sporen med en verditabell.

Hvis du hele tiden ser på tabellen med verdiene til trigonometriske formler, la oss bli kvitt denne vanen!

Vil redde oss! Du skal jobbe med det flere ganger, og så dukker det opp i hodet ditt av seg selv. Hvorfor er det bedre enn et bord? Ja, i tabellen finner du et begrenset antall verdier, men på sirkelen - ALT!

For eksempel, si å se på standard verditabell for trigonometriske formler , som er sinusen til for eksempel 300 grader, eller -45.

Ingen måte? .. du kan selvfølgelig koble til reduksjonsformler... Og ser du på den trigonometriske sirkelen, kan du enkelt svare på slike spørsmål. Og du vil snart vite hvordan!

Og når du løser trigonometriske ligninger og ulikheter uten en trigonometrisk sirkel - ingen steder i det hele tatt.

Introduksjon til den trigonometriske sirkelen

La oss gå i rekkefølge.

Skriv først ned følgende serie med tall:

Og nå dette:

Og til slutt denne:

Selvfølgelig er det klart at faktisk i første omgang er, i andre omgang er, og i siste -. Det vil si at vi vil være mer interessert i kjeden .

Men så vakkert det ble! I så fall vil vi gjenopprette denne "fantastiske stigen".

Og hvorfor trenger vi det?

Denne kjeden er hovedverdiene for sinus og cosinus i første kvartal.

La oss tegne en sirkel med enhetsradius i et rektangulært koordinatsystem (det vil si at vi tar hvilken som helst radius langs lengden og erklærer lengden til enhet).

Fra "0-Start"-bjelken setter vi til side i pilens retning (se fig.) hjørnene.

Vi får de tilsvarende punktene på sirkelen. Så hvis vi projiserer punktene på hver av aksene, vil vi få nøyaktig verdiene fra kjeden ovenfor.

Hvorfor er det det, spør du?

La oss ikke ta alt fra hverandre. Ta i betraktning prinsipp, som vil tillate deg å takle andre, lignende situasjoner.

Trekant AOB er en rettvinklet trekant med . Og vi vet at motsatt av vinkelen ved ligger et ben dobbelt så lite som hypotenusen (hypotenusen vår = radiusen til sirkelen, det vil si 1).

Derfor AB= (og dermed OM=). Og etter Pythagoras teorem

Jeg håper noe er klart nå.

Så punkt B vil tilsvare verdien, og punkt M vil tilsvare verdien

Tilsvarende med resten av verdiene i første kvartal.

Som du forstår, vil aksen som er kjent for oss (okse) være cosinus aksen, og aksen (oy) - sinus aksen . seinere.

Til venstre for null på cosinus-aksen (under null på sinusaksen) vil det selvfølgelig være negative verdier.

Så, her er den, den ALLKRAFTIGE, uten som ingen steder i trigonometri.

Men hvordan du bruker den trigonometriske sirkelen, skal vi snakke om.

Hva er en enhetssirkel. Enhetssirkelen er en sirkel med radius 1 og sentrert ved origo. Husk at sirkelligningen ser ut som x 2 + y 2 =1. En slik sirkel kan brukes til å finne noen "spesielle" trigonometriske sammenhenger, samt i konstruksjonen av grafiske bilder. Ved hjelp av den og linjen som er innesluttet i den, kan man også estimere de numeriske verdiene til trigonometriske funksjoner.

Husk 6 trigonometriske forhold. Husk at

• sinθ=motsatt/hypotenus
• cosθ=tilstøtende/hypotenuse
• tgθ=motsatt ben/tilstøtende ben
• cosecθ=1/sin
• sekθ=1/cos
• ctgθ=1/tg.

Hva er en radian. En radian er et av målene for å bestemme størrelsen på en vinkel. En radian er verdien av vinkelen mellom to radier tegnet slik at lengden på buen mellom dem er lik verdien av radien. Merk at størrelsen og plasseringen av sirkelen ikke spiller noen rolle. Du bør også vite hva antallet radianer for en hel sirkel (360 grader) er. Husk at omkretsen til en sirkel er 2πr, som er 2π ganger lengden på radien. Siden 1 radian per definisjon er vinkelen mellom endene av en bue hvis lengde er lik radiusen, er det en vinkel lik 2π radianer i en hel sirkel.

Vet hvordan du konverterer radianer til grader. En hel sirkel inneholder 2π radianer, eller 360 grader. På denne måten:

• 2π radianer=360 grader
• 1 radian=(360/2π) grader
• 1 radian=(180/π) grader
• 360 grader=2π radianer
• 1 grad=(2π/360) radian
• 1 grad=(π/180) radian

Lær "spesielle" vinkler. Disse vinklene i radianer er π/6, π/3, π/4, π/2, π og produktene av disse størrelsene (for eksempel 5π/6)

Lær og husk betydningen av trigonometriske funksjoner for spesielle vinkler. For å bestemme størrelsen deres, må du se på enhetssirkelen. Tenk på et segment med kjent lengde innelukket i en enhetssirkel. Punktet på sirkelen tilsvarer antall radianer i den dannede vinkelen. For eksempel tilsvarer vinkelen π/2 et punkt på en sirkel, radiusen som danner en vinkel på π/2 med den positive horisontale radien. For å finne verdien av den trigonometriske funksjonen til en hvilken som helst vinkel, bestemmes koordinatene til punktet som tilsvarer denne vinkelen. Hypotenusen er alltid lik én, siden den er radiusen til en sirkel, og siden ethvert tall delt på 1 er lik seg selv, og det motsatte benet er lik lengden langs Oy-aksen, følger det at verdien av sinus for enhver vinkel er y-koordinaten til de tilsvarende punktene på sirkelen. Cosinusverdien kan finnes på lignende måte. Cosinus er lik lengden på det tilstøtende benet delt på lengden på hypotenusen; siden sistnevnte er lik én, og lengden på det tilstøtende benet er lik x-koordinaten til punktet på sirkelen, følger det at cosinus er lik verdien av denne koordinaten. Å finne tangenten er litt vanskeligere. Tangensen til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik det motsatte benet delt på det tilstøtende benet. I dette tilfellet, i motsetning til de forrige, er ikke kvotienten en konstant, så beregningene er noe mer kompliserte. Husk at lengden på det motsatte benet er lik y-koordinaten, og det tilstøtende benet er lik x-koordinaten til et punkt på enhetssirkelen; erstatte disse verdiene, får vi at tangenten er lik y / x. Ved å dele 1 med verdiene ovenfor, kan man enkelt finne de tilsvarende inverse trigonometriske funksjonene. Dermed er det mulig å beregne alle de viktigste trigonometriske funksjonene:

• sinθ=y
• cosθ=x
• tgθ=y/x
• cosec=1/y
• sek=1/x
• ctg=x/y

Finn og husk verdiene til seks trigonometriske funksjoner for vinkler som ligger på koordinataksene, det vil si vinkler som er multipler av π/2, slik som 0, π/2, π, 3π/2, 2π osv. e. For sirkelpunkter plassert på koordinataksene gir dette ingen problemer. Hvis punktet ligger på x-aksen, er sinus null og cosinus er 1 eller -1, avhengig av retningen. Hvis punktet ligger på Oy-aksen, vil sinus være lik 1 eller -1, og cosinus vil være 0.

Finn og husk verdiene til 6 trigonometriske funksjoner for en spesiell vinkel π/6. Bruk vinkelen π/6 på enhetssirkelen. Du vet hvordan du finner lengdene på alle sidene i spesielle rettvinklede trekanter (med vinklene 30-60-90 og 45-45-90) gitt lengden på en av sidene, og siden π/6=30 grader, er denne trekanten et av de spesielle tilfellene. For ham, som du husker, er det korte benet lik 1/2 av hypotenusen, det vil si at y-koordinaten er 1/2, og det lange benet er √3 ganger lengre enn det korte, det vil si at det er lik (√3)/2, så x-koordinaten vil være (√3)/2. Dermed får vi et punkt på enhetssirkelen med følgende koordinater: ((√3)/2,1/2). Ved å bruke ligningene ovenfor finner vi:

• sinπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• tanπ/6=1/(√3)
• cosecπ/6=2
• sekπ/6=2/(√3)
• ctgπ/6=√3

Finn og husk verdiene til 6 trigonometriske funksjoner for en spesiell vinkel π/3. Vinkel π/3 er representert på en sirkel av et punkt hvis x-koordinat er lik y-koordinaten til vinkelen π/6 og hvis y-koordinat er den samme som x-koordinaten for den vinkelen. Dermed har punktet koordinater (1/2, √3/2). Som et resultat får vi:

• sinπ/3=(√3)/2
• cosπ/3=1/2
• tgπ/3=√3
• cosecπ/3=2/(√3)
• sekπ/3=2
• ctgπ/3=1/(√3)

Finn og husk verdiene til 6 trigonometriske funksjoner for en spesiell vinkel π/4. Lengden på hypotenusen til en rettvinklet trekant med vinklene 45-45-90 er relatert til lengdene på bena som √2 til 1, og verdiene til koordinatene til et punkt på enhetssirkelen vil også være relatert. Som et resultat har vi:

• sinπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tgπ/4=1
• cosecπ/4=√2
• sekπ/4=√2
• ctgπ/4=1

Bestem om verdien av funksjonen er positiv eller negativ. Alle vinkler som tilhører samme familie gir de samme absolutte verdiene for trigonometriske funksjoner, men disse verdiene kan variere i fortegn (den ene er positiv, den andre negativ).

• Hvis vinkelen er i første kvadrant, er alle trigonometriske funksjoner positive.
• For en vinkel i andre kvadrant er alle funksjoner unntatt sin og cosec negative.
• I tredje kvadrant er verdiene til alle funksjoner, bortsett fra tg og ctg, mindre enn null.
• I fjerde kvadrant har alle funksjoner, med unntak av cos og sek, negative verdier.

På det femte århundre f.Kr. formulerte den antikke greske filosofen Zeno av Elea sine berømte aporier, den mest kjente av disse er aporien "Akilles og skilpadden". Slik høres det ut:

La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden Akilles løper denne distansen, kryper skilpadden hundre skritt i samme retning. Når Akilles har løpt hundre skritt, vil skilpadden krype ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.

Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle av dem betraktet på en eller annen måte Zenons aporier. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjoner fortsetter på det nåværende tidspunkt, det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke klart å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet ; ingen av dem ble en universelt akseptert løsning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget er.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra verdien til. Denne overgangen innebærer å bruke i stedet for konstanter. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparatet for å bruke variable måleenheter enten ikke utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Anvendelsen av vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, ved tenkingens treghet, bruker konstante tidsenheter på det gjensidige. Fra et fysisk synspunkt ser det ut som om tiden går langsommere til å stoppe helt i det øyeblikket Akilles tar igjen skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger innhente skilpadden.

Om vi ​​snur logikken vi er vant til, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, så ville det være riktig å si "Akilles vil uendelig raskt overta skilpadden."

Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige verdier. På Zenos språk ser det slik ut:

På tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, kryper skilpadden hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall, lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Achilles åtte hundre skritt foran skilpadden.

Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins utsagn om lyshastighetens uoverkommelighet er veldig lik Zenos aporia «Akilles og skilpadden». Vi har ennå ikke studert, revurdert og løst dette problemet. Og løsningen må søkes ikke i uendelig store antall, men i måleenheter.

En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:

En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.

I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at den flygende pilen i hvert øyeblikk hviler på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Det er et annet poeng å merke seg her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å fastslå bevegelsen til bilen er det nødvendig med to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men de kan ikke brukes til å bestemme avstanden. For å bestemme avstanden til bilen trenger du to fotografier tatt fra forskjellige punkter i rommet samtidig, men du kan ikke bestemme bevegelsen fra dem (naturligvis trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg). Det jeg spesielt vil påpeke er at to punkter i tid og to punkter i rom er to forskjellige ting som ikke bør forveksles da de gir ulike muligheter for utforskning.

onsdag 4. juli 2018

Veldig bra er forskjellene mellom sett og multisett beskrevet i Wikipedia. Vi ser.

Som du ser kan "settet ikke ha to identiske elementer", men hvis det er identiske elementer i settet, kalles et slikt sett et "multiset". Fornuftige vesener vil aldri forstå en slik absurditetslogikk. Dette er nivået av snakkende papegøyer og trente aper, der sinnet er fraværende fra ordet "helt." Matematikere fungerer som vanlige trenere og forkynner sine absurde ideer for oss.

En gang i tiden var ingeniørene som bygde brua i en båt under brua under testene av brua. Hvis broen kollapset, døde den middelmådige ingeniøren under ruinene av sin skapelse. Hvis broen tålte belastningen, bygde den dyktige ingeniøren andre broer.

Uansett hvordan matematikere gjemmer seg bak frasen «pass på, jeg er i huset», eller rettere sagt «matematikk studerer abstrakte begreper», er det én navlestreng som uløselig forbinder dem med virkeligheten. Denne navlestrengen er penger. La oss anvende matematisk settteori på matematikere selv.

Vi studerte matematikk veldig bra, og nå sitter vi ved kassen og betaler lønn. Her kommer en matematiker til oss for pengene sine. Vi teller hele beløpet til ham og legger det ut på bordet vårt i forskjellige hauger, der vi legger sedler av samme valør. Så tar vi en regning fra hver bunke og gir matematikeren hans "matematiske lønnssett". Vi forklarer matematikken at han vil motta resten av regningene først når han beviser at mengden uten identiske elementer ikke er lik settet med identiske elementer. Det er her moroa begynner.

Først av alt vil varamedlemmenes logikk fungere: "du kan bruke det på andre, men ikke på meg!" Videre vil forsikringer begynne om at det er forskjellige seddelnummer på sedler med samme valør, noe som betyr at de ikke kan anses som identiske elementer. Vel, vi teller lønnen i mynter - det er ingen tall på myntene. Her vil matematikeren febrilsk huske fysikk: forskjellige mynter har forskjellige mengder skitt, krystallstrukturen og arrangementet av atomer for hver mynt er unik ...

Og nå har jeg det mest interessante spørsmålet: hvor går grensen utenfor hvilke elementer i et multisett blir til elementer i et sett og omvendt? En slik linje eksisterer ikke - alt bestemmes av sjamaner, vitenskapen her er ikke engang i nærheten.

Se her. Vi velger fotballstadioner med samme feltareal. Arealet av feltene er det samme, noe som betyr at vi har et multisett. Men hvis vi vurderer navnene på de samme stadionene, får vi mye, fordi navnene er forskjellige. Som du kan se, er det samme settet med elementer både et sett og et multisett på samme tid. Hvor riktig? Og her tar matematikeren-sjaman-shulleren frem et trumf-ess fra ermet og begynner å fortelle oss enten om et sett eller et multisett. Uansett vil han overbevise oss om at han har rett.

For å forstå hvordan moderne sjamaner opererer med settteori og knytter den til virkeligheten, er det nok å svare på ett spørsmål: hvordan skiller elementene i ett sett fra elementene i et annet sett? Jeg vil vise deg, uten noen "tenkelig som ikke en enkelt helhet" eller "ikke tenkelig som en enkelt helhet."

Søndag 18. mars 2018

Summen av sifrene til et tall er en dans av sjamaner med en tamburin, som ikke har noe med matematikk å gjøre. Ja, i matematikktimene blir vi lært opp til å finne summen av sifrene til et tall og bruke det, men de er sjamaner for det, for å lære etterkommerne deres ferdigheter og visdom, ellers vil sjamanene ganske enkelt dø ut.

Trenger du bevis? Åpne Wikipedia og prøv å finne siden "Sum av siffer av et tall". Hun finnes ikke. Det er ingen formel i matematikk som du kan finne summen av sifrene til et hvilket som helst tall. Tross alt er tall grafiske symboler som vi skriver tall med, og på matematikkspråket høres oppgaven slik ut: «Finn summen av grafiske symboler som representerer et hvilket som helst tall». Matematikere kan ikke løse dette problemet, men sjamaner kan gjøre det elementært.

La oss finne ut hva og hvordan vi gjør for å finne summen av sifrene til et gitt tall. Og så, la oss si at vi har tallet 12345. Hva må gjøres for å finne summen av sifrene til dette tallet? La oss vurdere alle trinnene i rekkefølge.

1. Skriv ned tallet på et stykke papir. Hva har vi gjort? Vi har konvertert tallet til et tallgrafisk symbol. Dette er ikke en matematisk operasjon.

2. Vi kuttet ett mottatt bilde i flere bilder som inneholder separate tall. Å kutte et bilde er ikke en matematisk operasjon.

3. Konverter individuelle grafiske tegn til tall. Dette er ikke en matematisk operasjon.

4. Legg sammen de resulterende tallene. Nå er det matematikk.

Summen av sifrene til tallet 12345 er 15. Dette er "skjære- og sykursene" fra sjamaner brukt av matematikere. Men det er ikke alt.

Fra et matematisk synspunkt spiller det ingen rolle i hvilket tallsystem vi skriver tallet. Så, i forskjellige tallsystemer vil summen av sifrene til samme tall være forskjellig. I matematikk er tallsystemet angitt som et abonnent til høyre for tallet. Med et stort antall på 12345, vil jeg ikke lure hodet mitt, tenk på tallet 26 fra artikkelen om. La oss skrive dette tallet i binære, oktale, desimale og heksadesimale tallsystemer. Vi vil ikke vurdere hvert trinn under et mikroskop, det har vi allerede gjort. La oss se på resultatet.

Som du kan se, i forskjellige tallsystemer er summen av sifrene til samme tall forskjellig. Dette resultatet har ingenting med matematikk å gjøre. Det er som å finne arealet til et rektangel i meter og centimeter vil gi deg helt andre resultater.

Null i alle tallsystemer ser likt ut og har ingen tallsum. Dette er et annet argument for det faktum at . Et spørsmål til matematikere: hvordan betegnes det i matematikk som ikke er et tall? Hva, for matematikere, finnes det ikke annet enn tall? For sjamaner kan jeg tillate dette, men for forskere, nei. Virkeligheten handler ikke bare om tall.

Resultatet som oppnås bør betraktes som bevis på at tallsystemer er måleenheter for tall. Vi kan tross alt ikke sammenligne tall med ulike måleenheter. Hvis de samme handlingene med forskjellige måleenheter av samme mengde fører til forskjellige resultater etter å ha sammenlignet dem, har dette ingenting med matematikk å gjøre.

Hva er ekte matematikk? Dette er når resultatet av en matematisk handling ikke er avhengig av verdien av tallet, måleenheten som brukes, og hvem som utfører denne handlingen.

Skilt på døren Åpner døren og sier:

Au! Er ikke dette dametoalettet?
- Ung kvinne! Dette er et laboratorium for å studere sjelenes ubestemte hellighet ved oppstigning til himmelen! Nimbus på toppen og pil opp. Hvilket annet toalett?

Kvinne... En glorie på toppen og en pil ned er hann.

Hvis du har et slikt designverk som blinker foran øynene dine flere ganger om dagen,

Da er det ikke overraskende at du plutselig finner et merkelig ikon i bilen din:

Personlig gjør jeg en innsats på meg selv for å se minus fire grader i en pooping person (ett bilde) (sammensetning av flere bilder: minustegn, nummer fire, gradersbetegnelse). Og jeg anser ikke denne jenta som en tosk som ikke kan fysikk. Hun har bare en bue stereotyp oppfatning av grafiske bilder. Og matematikere lærer oss dette hele tiden. Her er et eksempel.

1A er ikke "minus fire grader" eller "en a". Dette er "bajsende mann" eller tallet "tjueseks" i det heksadesimale tallsystemet. De menneskene som hele tiden jobber i dette tallsystemet, oppfatter automatisk tallet og bokstaven som ett grafisk symbol.

Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner

Merk. Denne tabellen med verdier for trigonometriske funksjoner bruker √-tegnet for å angi kvadratroten. For å betegne en brøk - symbolet "/".

se også nyttige materialer:

Til bestemme verdien av en trigonometrisk funksjon, finn den i skjæringspunktet mellom linjen som indikerer den trigonometriske funksjonen. For eksempel, en sinus på 30 grader - vi ser etter en kolonne med overskriften sin (sinus) og vi finner skjæringspunktet til denne kolonnen i tabellen med linjen "30 grader", ved deres skjæringspunkt leser vi resultatet - en sekund. På samme måte finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (nok en gang, i skjæringspunktet mellom sin (sinus)-kolonnen og 60-gradersraden, finner vi verdien sin 60 = √3/2), etc. På samme måte finnes verdiene til sinus, cosinus og tangenter til andre "populære" vinkler.

Sinus til pi, cosinus til pi, tangens til pi og andre vinkler i radianer

Tabellen over cosinus, sinus og tangenter nedenfor er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument er gitt i radianer. For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Takket være dette kan du konvertere verdien av populære vinkler fra grader til radianer. La oss for eksempel finne 60 graders vinkel i den første linjen og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π/3 radianer.

Tallet pi uttrykker unikt avhengigheten av omkretsen til en sirkel av gradmålet til vinkelen. Så pi radianer tilsvarer 180 grader.

Ethvert tall uttrykt i form av pi (radian) kan enkelt konverteres til grader ved å erstatte tallet pi (π) med 180.

Eksempler:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dermed er sinusen til pi den samme som sinusen til 180 grader og er lik null.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dermed er cosinus til pi den samme som cosinus på 180 grader og er lik minus én.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
dermed er tangensen til pi den samme som tangensen på 180 grader og er lik null.

Tabell over sinus, cosinus, tangentverdier for vinkler 0 - 360 grader (hyppige verdier)

vinkel α (grader)	vinkel α i radianer (via pi)	synd (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (cotangens)	sek (sekant)	årsaken (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Hvis i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner, i stedet for verdien til funksjonen, er en strek indikert (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), så for en gitt verdi av gradmålet vinkelen, funksjonen har ikke en bestemt verdi. Hvis det ikke er noen bindestrek, er cellen tom, så vi har ennå ikke lagt inn ønsket verdi. Vi er interessert i hvilke forespørsler brukere kommer til oss for og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at gjeldende data om verdiene til cosinus, sinus og tangenter til de vanligste vinkelverdiene er nok til å løse de fleste problemer.

Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "i henhold til Bradis-tabeller")

vinkelverdi α (grader)	verdien av vinkelen α i radianer	synd (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (cotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

I denne artikkelen vil vi analysere definisjonen av en numerisk sirkel i detalj, finne ut dens hovedegenskap og ordne tallene 1,2,3, etc. Om hvordan du markerer andre tall på sirkelen (for eksempel \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) forstår .

Tallsirkel kall en sirkel med enhetsradius, hvis punkt tilsvarer ordnet etter følgende regler:

1) Opprinnelsen er ytterst til høyre i sirkelen;

2) Mot klokken - positiv retning; med klokken - negativ;

3) Hvis vi plotter avstanden \(t\) på sirkelen i positiv retning, så kommer vi til punktet med verdien \(t\);

4) Hvis vi plotter avstanden \(t\) på sirkelen i negativ retning, så kommer vi til punktet med verdien \(–t\).

Hvorfor kalles en sirkel et tall?
For det er tall på den. I dette ligner sirkelen på tallaksen - på sirkelen, så vel som på aksen, for hvert tall er det et bestemt punkt.

Hvorfor vite hva en tallsirkel er?
Ved hjelp av en numerisk sirkel bestemmes verdien av sinus, cosinus, tangenter og cotangenter. Derfor, for å kunne trigonometri og bestå eksamen med 60+ poeng, er det viktig å forstå hva en tallsirkel er og hvordan du plasserer prikker på den.

Hva betyr ordene "... av enhetsradius ..." i definisjonen?
Dette betyr at radiusen til denne sirkelen er \(1\). Og hvis vi konstruerer en slik sirkel sentrert ved origo, så vil den krysse aksene i punktene \(1\) og \(-1\).

Det er ikke nødvendig å tegne det lite, du kan endre "størrelsen" på inndelingene langs aksene, da blir bildet større (se nedenfor).

Hvorfor er radius nøyaktig én? Det er mer praktisk, fordi i dette tilfellet, når vi beregner omkretsen ved hjelp av formelen \(l=2πR\), får vi:

Lengden på tallsirkelen er \(2π\) eller omtrentlig \(6,28\).

Og hva betyr "... hvis punkt tilsvarer reelle tall"?
Som nevnt ovenfor, på tallsirkelen for ethvert reelt tall, vil det definitivt være "plassen" - et punkt som tilsvarer dette tallet.

Hvorfor bestemme opprinnelsen og retningen på tallsirkelen?
Hovedformålet med tallsirkelen er å unikt bestemme punktet for hvert tall. Men hvordan kan du bestemme hvor du skal sette en stopper hvis du ikke vet hvor du skal regne fra og hvor du skal flytte?

Her er det viktig å ikke forveksle origo på koordinatlinjen og på tallsirkelen – dette er to forskjellige referansesystemer! Ikke forveksle \(1\) på \(x\)-aksen og \(0\) på sirkelen - dette er punkter på forskjellige objekter.

Hvilke punkter tilsvarer tallene \(1\), \(2\), etc?

Husk at vi antok at radiusen til en tallsirkel er \(1\)? Dette vil være vårt enkeltsegment (i analogi med tallaksen), som vi vil sette på sirkelen.

For å markere et punkt på tallsirkelen som tilsvarer tallet 1, må du reise fra 0 en avstand lik radius i positiv retning.

For å markere et punkt på sirkelen som tilsvarer tallet \(2\), må du reise en avstand lik to radier fra origo, slik at \(3\) er en avstand lik tre radier, osv.

Når du ser på dette bildet, har du kanskje 2 spørsmål:
1. Hva vil skje når sirkelen "slutter" (dvs. vi lager en hel sirkel)?
Svar: la oss gå til andre runde! Og når den andre er over, går vi til den tredje og så videre. Derfor kan et uendelig antall tall brukes på en sirkel.

2. Hvor blir de negative tallene?
Svar: akkurat der! De kan også ordnes ved å telle fra null det nødvendige antallet radier, men nå i negativ retning.

Dessverre er det vanskelig å angi heltall på tallsirkelen. Dette skyldes det faktum at lengden på den numeriske sirkelen ikke vil være et heltall: \ (2π \). Og på de mest praktiske stedene (ved skjæringspunktene med aksene) vil det heller ikke være heltall, men brøker