De metodisk materiale er for referanseformål og dekker et bredt spekter av emner. Artikkelen gir en oversikt over grafene til de viktigste elementære funksjonene og vurderer det viktigste spørsmålet – hvordan du bygger en graf riktig og RASK. Under studiet høyere matematikk uten kunnskap om grunnleggende diagrammer elementære funksjoner det vil være vanskelig, så det er veldig viktig å huske hvordan grafene til en parabel, hyperbel, sinus, cosinus osv. ser ut, husk noen funksjonsverdier. Også vi skal snakke på noen egenskaper ved grunnleggende funksjoner.

Jeg later ikke til fullstendighet og vitenskapelig grundighet av materialene, vekten vil først og fremst bli lagt på praksis - de tingene som man må møte bokstavelig talt på hvert trinn, i ethvert emne av høyere matematikk. Diagrammer for dummies? Du kan si det.

Etter populær etterspørsel fra leserne klikkbar innholdsfortegnelse:

I tillegg er det et ultrakort sammendrag om temaet
– mestre 16 typer diagrammer ved å studere SEX sider!

Seriøst, seks, til og med jeg selv ble overrasket. Dette abstraktet inneholder forbedret grafikk og er tilgjengelig for en nominell avgift, en demoversjon kan sees. Det er praktisk å skrive ut filen slik at grafene alltid er for hånden. Takk for at du støtter prosjektet!

Og vi starter med en gang:

Hvordan bygge koordinatakser riktig?

I praksis blir prøver nesten alltid utarbeidet av elevene i separate notatbøker, foret i et bur. Hvorfor trenger du rutete markeringer? Tross alt kan arbeidet i prinsippet gjøres på A4-ark. Og buret er nødvendig bare for høy kvalitet og nøyaktig utforming av tegningene.

Enhver tegning av en funksjonsgraf starter med koordinatakser.

Tegninger er todimensjonale og tredimensjonale.

La oss først vurdere det todimensjonale tilfellet kartesisk rektangulært system koordinater:

1) Vi tegner koordinatakser. Aksen kalles x-aksen , og aksen y-aksen . Vi prøver alltid å tegne dem ryddig og ikke skjevt. Pilene skal heller ikke ligne på skjegget til Papa Carlo.

2) Vi signerer aksene med store bokstaver "x" og "y". Ikke glem å signere aksene.

3) Sett skalaen langs aksene: trekke null og to enere. Når du lager en tegning, er den mest praktiske og vanlige skalaen: 1 enhet = 2 celler (tegning til venstre) - hold deg til den hvis mulig. Men fra tid til annen hender det at tegningen ikke passer på et notatbokark - da reduserer vi skalaen: 1 enhet = 1 celle (tegning til høyre). Sjelden, men det hender at målestokken på tegningen må reduseres (eller økes) enda mer

IKKE rable fra et maskingevær ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Til koordinatplan er ikke et monument over Descartes, og studenten er ikke en due. Vi putter null og to enheter langs aksene. Noen ganger i stedet for enheter, er det praktisk å "oppdage" andre verdier, for eksempel "to" på abscisseaksen og "tre" på ordinataksen - og dette systemet (0, 2 og 3) vil også unikt sette koordinatrutenettet.

Det er bedre å anslå estimerte dimensjoner på tegningen FØR tegningen tegnes.. Så, for eksempel, hvis oppgaven krever å tegne en trekant med toppunkter , , , så er det ganske klart at den populære skalaen 1 enhet = 2 celler ikke vil fungere. Hvorfor? La oss se på poenget - her må du måle femten centimeter ned, og tegningen vil åpenbart ikke passe (eller knapt passe) på et notatbokark. Derfor velger vi umiddelbart en mindre skala 1 enhet = 1 celle.

Forresten, ca centimeter og notatbokceller. Er det sant at det er 15 centimeter i 30 bærbare celler? Mål i en notatbok for rente 15 centimeter med linjal. I USSR var dette kanskje sant ... Det er interessant å merke seg at hvis du måler de samme centimeterne horisontalt og vertikalt, vil resultatene (i celler) være forskjellige! Moderne notatbøker er strengt tatt ikke rutete, men rektangulære. Det kan virke som tull, men å tegne for eksempel en sirkel med et kompass i slike situasjoner er veldig upraktisk. For å være ærlig, i slike øyeblikk begynner du å tenke på riktigheten til kamerat Stalin, som ble sendt til leire for hackarbeid i produksjonen, for ikke å nevne den innenlandske bilindustrien, fallende fly eller eksploderende kraftverk.

Apropos kvalitet, eller en kort anbefaling om skrivesaker. Til dags dato er de fleste notatbøkene på salg, uten å si stygge ord, komplette nisser. Av den grunn at de blir våte, og ikke bare fra gelpenner, men også fra kulepenner! Spar på papir. For klarering kontroll fungerer Jeg anbefaler å bruke notatbøkene til Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, bur) eller Pyaterochka, selv om det er dyrere. Det er lurt å velge en gelpenn, selv den billigste kinesiske gel-refillen er mye bedre enn en kulepenn, som enten smører eller river papir. Den eneste "konkurransedyktige" kulepennen i mitt minne er Erich Krause. Hun skriver tydelig, vakkert og stabilt – enten med full stamme, eller med nesten tom.

I tillegg: visjonen til et rektangulært koordinatsystem gjennom øynene til analytisk geometri er dekket i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis, detaljert informasjon Om koordinere kvartaler finnes i andre ledd i leksjonen Lineære ulikheter.

3D etui

Det er nesten det samme her.

1) Vi tegner koordinatakser. Standard: applikatakse – rettet oppover, akse – rettet mot høyre, akse – nedover til venstre strengt tatt i en vinkel på 45 grader.

2) Vi signerer aksene.

3) Sett skalaen langs aksene. Skala langs aksen - to ganger mindre enn skalaen langs de andre aksene. Merk også at i den høyre tegningen brukte jeg en ikke-standard "serif" langs aksen (denne muligheten er allerede nevnt ovenfor). Fra mitt synspunkt er det mer nøyaktig, raskere og mer estetisk tiltalende - du trenger ikke å lete etter midten av cellen under et mikroskop og "skulptere" enheten helt opp til opprinnelsen.

Når du gjør en 3D-tegning igjen - prioriter skala
1 enhet = 2 celler (tegning til venstre).

Hva er alle disse reglene for? Regler er til for å bli brutt. Hva skal jeg gjøre nå. Faktum er at de påfølgende tegningene av artikkelen vil bli laget av meg i Excel, og koordinataksene vil se feil ut når det gjelder riktig design. Jeg kunne tegne alle grafene for hånd, men det er virkelig skummelt å tegne dem, siden Excel er motvillige til å tegne dem mye mer nøyaktig.

Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner

Lineær funksjon er gitt av ligningen. Lineær funksjonsgraf er direkte. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne to punkter.

Eksempel 1

Tegn funksjonen. La oss finne to punkter. Det er fordelaktig å velge null som ett av punktene.

Hvis da

Vi tar et annet punkt, for eksempel 1.

Hvis da

Når du forbereder oppgaver, er koordinatene til punktene vanligvis oppsummert i en tabell:

Og verdiene i seg selv beregnes muntlig eller på et utkast, kalkulator.

To poeng er funnet, la oss tegne:

Ved tegning signerer vi alltid grafikken.

Det vil ikke være overflødig å huske spesielle tilfeller av en lineær funksjon:

Legg merke til hvordan jeg plasserte bildetekstene, signaturer bør ikke være tvetydige når du studerer tegningen. PÅ denne saken det var ekstremt uønsket å sette en signatur ved siden av skjæringspunktet mellom linjene, eller nederst til høyre mellom grafene.

1) En lineær funksjon av formen () kalles direkte proporsjonalitet. For eksempel, . Den direkte proporsjonalitetsgrafen går alltid gjennom origo. Dermed er konstruksjonen av en rett linje forenklet - det er nok å finne bare ett punkt.

2) En ligning av formen definerer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen bygges umiddelbart, uten å finne noen punkter. Det vil si at oppføringen skal forstås som følger: "y er alltid lik -4, for enhver verdi av x."

3) En ligning av formen definerer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen bygges også umiddelbart. Oppføringen skal forstås som følger: "x er alltid, for enhver verdi av y, lik 1."

Noen vil spørre, vel, hvorfor huske 6. klasse?! Det er slik det er, kanskje det, bare i løpet av årene med praksis møtte jeg et godt dusin studenter som ble forvirret over oppgaven med å konstruere en graf som eller .

Å tegne en rett linje er den vanligste handlingen når du lager tegninger.

Den rette linjen diskuteres i detalj i løpet av analytisk geometri, og de som ønsker det kan henvise til artikkelen Ligning av en rett linje på et plan.

Kvadratisk funksjonsgraf, kubisk funksjonsgraf, polynomgraf

Parabel. Rute kvadratisk funksjon () er en parabel. Ta i betraktning kjent sak:

La oss huske noen egenskaper ved funksjonen.

Så, løsningen på ligningen vår: - det er på dette punktet at toppunktet til parablen er plassert. Hvorfor det er slik kan man lære av den teoretiske artikkelen om den deriverte og leksjonen om funksjonens ytterpunkt. I mellomtiden beregner vi den tilsvarende verdien av "y":

Så toppunktet er på punktet

Nå finner vi andre punkter, mens vi frekt bruker parabelens symmetri. Det skal bemerkes at funksjonen – er ikke engang, men likevel, ingen opphevet symmetrien til parablen.

I hvilken rekkefølge for å finne de resterende poengene, tror jeg det vil være klart fra finalebordet:

Denne algoritmen konstruksjon kan i overført betydning kalles en "shuttle" eller prinsippet om "frem og tilbake" med Anfisa Chekhova.

La oss lage en tegning:

Fra de vurderte grafene kommer en annen nyttig funksjon til tankene:

For en kvadratisk funksjon () følgende er sant:

Hvis , så er grenene til parabelen rettet oppover.

Hvis , så er grenene til parablen rettet nedover.

Inngående kjennskap til kurven kan fås i leksjonen Hyperbel og parabel.

Den kubiske parabelen er gitt av funksjonen . Her er en tegning kjent fra skolen:

La oss liste opp grunnleggende egenskaper funksjoner

Funksjonsgraf

Den representerer en av grenene til parabelen. La oss lage en tegning:

Hovedegenskapene til funksjonen:

I dette tilfellet er aksen vertikal asymptote for hyperbelgrafen ved .

Vil være DÅRLIG feil, hvis, når vi lager en tegning, ved uaktsomhet, lar vi grafen krysse asymptoten .

Også ensidige grenser, fortell oss at en hyperbole ikke begrenset ovenfra og ikke begrenset nedenfra.

La oss utforske funksjonen ved uendelig: , det vil si at hvis vi begynner å bevege oss langs aksen til venstre (eller høyre) til uendelig, vil "spillene" være et slankt trinn uendelig nær nærmer seg null, og følgelig grenene til hyperbelen uendelig nær nærme seg aksen.

Så aksen er horisontal asymptote for grafen til funksjonen, hvis "x" har en tendens til pluss eller minus uendelig.

Funksjonen er merkelig, som betyr at hyperbelen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen. Denne faktaen er tydelig fra tegningen, dessuten kan det enkelt verifiseres analytisk: .

Grafen til en funksjon av formen () representerer to grener av en hyperbel.

Hvis , er hyperbelen lokalisert i første og tredje koordinatkvadrant(se bildet over).

Hvis , er hyperbelen lokalisert i andre og fjerde koordinatkvadrant.

Det er ikke vanskelig å analysere den spesifiserte regelmessigheten til hyperbelens bosted fra synspunktet om geometriske transformasjoner av grafer.

Eksempel 3

Konstruer høyre gren av hyperbelen

Vi bruker den punktvise konstruksjonsmetoden, mens det er fordelaktig å velge verdiene slik at de deler seg fullstendig:

La oss lage en tegning:

Det vil ikke være vanskelig å konstruere venstre gren av hyperbelen, her vil rarheten til funksjonen bare hjelpe. Grovt sett, i den punktvise konstruksjonstabellen, legger du mentalt til et minus til hvert tall, setter de tilsvarende prikkene og tegner den andre grenen.

Detaljert geometrisk informasjon om den betraktede linjen finner du i artikkelen Hyperbel og parabel.

Graf av en eksponentiell funksjon

I dette avsnittet vil jeg umiddelbart vurdere eksponentialfunksjonen, siden i problemer med høyere matematikk i 95% av tilfellene er det eksponenten som oppstår.

Jeg minner deg om at dette er irrasjonelt tall: , dette vil være nødvendig når du bygger en graf, som jeg faktisk vil bygge uten seremoni. Tre poeng sannsynligvis nok:

La oss la grafen til funksjonen være i fred for nå, om det senere.

Hovedegenskapene til funksjonen:

I utgangspunktet ser grafene over funksjoner like ut, osv.

Jeg må si at det andre tilfellet er mindre vanlig i praksis, men det forekommer, så jeg følte det nødvendig å inkludere det i denne artikkelen.

Graf over en logaritmisk funksjon

Vurder en funksjon med naturlig logaritme.
La oss tegne en strek:

Hvis du har glemt hva en logaritme er, vennligst se skolebøkene.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Domene:

Verdiområde: .

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra: , om enn sakte, men grenen til logaritmen går opp til uendelig.
La oss undersøke oppførselen til funksjonen nær null til høyre: . Så aksen er vertikal asymptote for grafen til funksjonen med "x" vendt mot null til høyre.

Sørg for å kjenne og huske den typiske verdien til logaritmen: .

I bunn og grunn ser grafen til logaritmen ved basen lik ut: , , ( desimal logaritme i base 10), etc. Samtidig, jo større basen er, jo flatere vil diagrammet være.

Vi vil ikke vurdere saken, noe jeg ikke husker når jeg sist bygde en graf med et slikt grunnlag. Ja, og logaritmen ser ut til å være en svært sjelden gjest i problemer med høyere matematikk.

Som avslutning på avsnittet vil jeg si et faktum til: Eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon er to gjensidige inverse funksjoner . Hvis du ser nøye på grafen til logaritmen, kan du se at dette er samme eksponent, bare den er plassert litt annerledes.

Grafer over trigonometriske funksjoner

Hvordan begynner trigonometrisk pine på skolen? Riktig. Fra sinusen

La oss plotte funksjonen

Denne linjen kalles sinusformet.

Jeg minner deg om at "pi" er et irrasjonelt tall:, og i trigonometri blender det i øynene.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Denne funksjonen er tidsskrift med en periode. Hva betyr det? La oss se på kuttet. Til venstre og til høyre for den gjentas nøyaktig den samme delen av grafen i det uendelige.

Domene: , det vil si at for enhver verdi av "x" er det en sinusverdi.

Verdiområde: . Funksjonen er begrenset: , det vil si at alle "spillene" sitter strengt tatt i segmentet .
Dette skjer ikke: eller mer presist, det skjer, men nevnte ligninger har ikke en løsning.

$f:\; \backslash mathbb(R)\; \backslash to\; \backslash mathbb(R)$ snill

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\backslash quad\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb(R),$

hvor $en\; \backslash neq\; 0.$ Med andre ord er den kubiske funksjonen gitt av et polynom av tredje grad.

Analytiske egenskaper

applikasjon

Den kubiske parabelen brukes noen ganger til å beregne overgangskurven i transport, siden beregningen er mye enklere enn å bygge en clothoid.

se også

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Kubisk funksjon"

Notater

Litteratur

• L. S. Pontryagin, // "Quantum", 1984, nr. 3.
• I. N. Bronshtein, K. A. Semendyaev, "Handbook of Mathematics", Nauka Publishing House, M. 1967, s. 84

Et utdrag som karakteriserer Cubic-funksjonen

"Vel, uansett hva det er...
På dette tidspunktet gikk Petya, som ingen tok hensyn til, opp til faren sin og sa, helt rød, med en knusende stemme, nå grov, nå tynn:
"Vel, nå, pappa, jeg vil si bestemt - og mor også, som du vil, - jeg vil bestemt si at du vil slippe meg inn militærtjeneste fordi jeg kan ikke... det er alt...
Grevinnen løftet øynene mot himmelen i redsel, knep sammen hendene og snudde seg sint mot mannen sin.
- Det er avtalen! - hun sa.
Men greven kom seg etter begeistringen i samme øyeblikk.
"Vel, vel," sa han. "Her er en annen kriger!" Forlat tullet: du må studere.
«Det er ikke tull, pappa. Obolensky Fedya er yngre enn meg og går også, og viktigst av alt, uansett, jeg kan ikke lære noe nå, når ... - Petya stoppet, rødmet til svette og sa det samme: - når fedrelandet er i fare.
- Full, full, tull ...
«Men du sa selv at vi ville ofre alt.
"Petya, jeg sier deg, hold kjeft," ropte greven og så tilbake på kona, som ble blek og så med faste øyne på sin yngre sønn.
- Jeg forteller deg. Så Pyotr Kirillovich vil si ...
– Jeg sier deg – det er tull, melken har ikke tørket opp enda, men han vil tjene i militæret! Vel, vel, jeg sier deg det, - og greven, som tok med seg papirene, sannsynligvis for å lese dem igjen i arbeidsrommet før han hviler, forlot rommet.
- Pyotr Kirillovich, vel, la oss ta en røyk ...
Pierre var forvirret og ubesluttsom. Natasjas uvanlig strålende og livlige øyne ustanselig, mer enn kjærlig rettet til ham, brakte ham til denne tilstanden.
- Nei, jeg tror jeg skal hjem ...
– Som hjemme, men du ville ha en kveld med oss ​​... Og så begynte de sjelden å komme på besøk. Og denne er min ... - sa greven godmodig og pekte på Natasha, - den er bare munter med deg ...
"Ja, jeg glemte ... jeg må definitivt hjem ... Ting ..." sa Pierre raskt.
«Vel, farvel,» sa greven og forlot rommet helt.
- Hvorfor drar du? Hvorfor er du sur? Hvorfor? .. - spurte Natasha Pierre og så trassig inn i øynene hans.
"Fordi jeg elsker deg! ville han si, men han sa det ikke, rødmet til tårer og senket øynene.
"Fordi det er bedre for meg å besøke deg sjeldnere ... Fordi ... nei, jeg har bare saker å gjøre."
- Fra hva? nei, fortell meg, - begynte Natasha bestemt og ble plutselig stille. De så begge på hverandre i frykt og forlegenhet. Han prøvde å smile, men klarte det ikke: smilet hans uttrykte lidelse, og han kysset hånden hennes stille og gikk ut.
Pierre bestemte seg for ikke å besøke Rostovs med seg selv lenger.

Petya, etter å ha mottatt et avgjørende avslag, gikk til rommet sitt og der, låste seg bort fra alle, gråt bittert. Alle gjorde som om de ikke hadde merket noe da han kom til te taus og dyster, med tårevåte øyne.
Dagen etter ankom keiseren. Flere av Rostovs tjenere ba om å få gå og se tsaren. Den morgenen brukte Petya lang tid på å kle seg, gre håret og ordne kragene som de store. Han rynket pannen foran speilet, gjorde gester, trakk på skuldrene, og til slutt, uten å fortelle det til noen, tok han på seg hetten og forlot huset fra verandaen, og prøvde å ikke bli lagt merke til. Petya bestemte seg for å gå rett til stedet der suverenen var, og direkte forklare for en eller annen kammerherre (det virket for Petya at suverenen alltid var omgitt av kammerherrer) at han, grev Rostov, til tross for sin ungdom, ønsker å tjene fedrelandet, at ungdom kan ikke være et hinder for hengivenhet og at han er klar ... Petya forberedte seg mye mens han gjorde seg klar vakre ord som han vil fortelle kammerherren.

Funksjonen y=x^2 kalles en kvadratisk funksjon. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Generell form parabel er vist i figuren nedenfor.

kvadratisk funksjon

Fig 1. Generelt sett av parabelen

Som det fremgår av grafen er den symmetrisk om Oy-aksen. Aksen Oy kalles symmetriaksen til parablen. Dette betyr at hvis du tegner en rett linje parallelt med Ox-aksen over denne aksen på diagrammet. Deretter skjærer den parablen i to punkter. Avstanden fra disse punktene til y-aksen vil være den samme.

Symmetriaksen deler grafen til parabelen, som det var, i to deler. Disse delene kalles grenene til parablen. Og punktet til parablen som ligger på symmetriaksen kalles parabelens toppunkt. Det vil si at symmetriaksen går gjennom toppen av parablen. Koordinatene til dette punktet er (0;0).

Grunnleggende egenskaper til en kvadratisk funksjon

1. For x=0, y=0 og y>0 for x0

2. Minimumsverdi den kvadratiske funksjonen når til toppunktet. Ymin ved x=0; Det bør også bemerkes at maksimalverdien til funksjonen ikke eksisterer.

3. Funksjonen reduseres med intervallet (-∞; 0] og øker med intervallet )