Gitt metodisk materiale er kun for referanse og gjelder for et bredt spekter av emner. Artikkelen gir en oversikt over grafer over grunnleggende elementære funksjoner og diskuterer det viktigste spørsmålet – hvordan bygge en graf riktig og RASK. Under studiet høyere matematikk uten kjennskap til hovedplanene elementære funksjoner Det blir vanskelig, så det er veldig viktig å huske hvordan grafene til en parabel, hyperbel, sinus, cosinus osv. ser ut, og huske noen av funksjonsverdiene. Også vi snakkes om noen egenskaper ved grunnleggende funksjoner.

Jeg hevder ikke at materialene er fullstendige og vitenskapelige, vil det først og fremst legges vekt på praksis - de tingene som man møter bokstavelig talt på hvert trinn, i ethvert emne innen høyere matematikk. Diagrammer for dummies? Man kan si det.

På grunn av mange forespørsler fra lesere klikkbar innholdsfortegnelse:

I tillegg er det en ultrakort synopsis om temaet
– mestre 16 typer diagrammer ved å studere SEX sider!

Seriøst, seks, selv jeg ble overrasket. Dette sammendraget inneholder forbedret grafikk og er tilgjengelig for en nominell avgift en demoversjon kan sees. Det er praktisk å skrive ut filen slik at grafene alltid er for hånden. Takk for at du støtter prosjektet!

Og la oss starte med en gang:

Hvordan konstruere koordinatakser riktig?

I praksis gjennomføres prøver nesten alltid av elever i separate notatbøker, lined i en firkant. Hvorfor trenger du rutete markeringer? Tross alt kan arbeidet i prinsippet gjøres på A4-ark. Og buret er nødvendig bare for høy kvalitet og nøyaktig design av tegninger.

Enhver tegning av en funksjonsgraf begynner med koordinatakser.

Tegninger kan være todimensjonale eller tredimensjonale.

La oss først vurdere det todimensjonale tilfellet kartesisk rektangulært system koordinater:

1) Tegn koordinatakser. Aksen kalles x-aksen , og aksen er y-aksen . Vi prøver alltid å tegne dem ryddig og ikke skjevt. Pilene skal heller ikke ligne Papa Carlos skjegg.

2) Vi signerer aksene med store bokstaver "X" og "Y". Ikke glem å merke aksene.

3) Sett skalaen langs aksene: tegne en null og to enere. Når du lager en tegning, er den mest praktiske og mest brukte skalaen: 1 enhet = 2 celler (tegning til venstre) - hvis mulig, hold deg til den. Men fra tid til annen hender det at tegningen ikke passer på notatbokarket - da reduserer vi skalaen: 1 enhet = 1 celle (tegning til høyre). Det er sjeldent, men det hender at målestokken på tegningen må reduseres (eller økes) enda mer

Det er IKKE NØDVENDIG å "maskingevær" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Til koordinatplan er ikke et monument over Descartes, og studenten er ikke en due. Vi legger null Og to enheter langs aksene. Noen ganger istedenfor enheter, er det praktisk å "merke" andre verdier, for eksempel "to" på abscisseaksen og "tre" på ordinataksen - og dette systemet (0, 2 og 3) vil også unikt definere koordinatrutenettet.

Det er bedre å anslå de estimerte dimensjonene til tegningen FØR du konstruerer tegningen. Så, for eksempel, hvis oppgaven krever å tegne en trekant med toppunkter , , , så er det helt klart at den populære skalaen på 1 enhet = 2 celler ikke vil fungere. Hvorfor? La oss se på poenget - her må du måle femten centimeter ned, og tegningen vil åpenbart ikke passe (eller knapt passe) på et notatbokark. Derfor velger vi umiddelbart en mindre skala: 1 enhet = 1 celle.

Forresten, ca centimeter og notatbokceller. Er det sant at 30 bærbare celler inneholder 15 centimeter? For moro skyld måler du 15 centimeter i notatboken med en linjal. I USSR kan dette ha vært sant... Det er interessant å merke seg at hvis du måler de samme centimeterne horisontalt og vertikalt, vil resultatene (i cellene) være annerledes! Moderne notatbøker er strengt tatt ikke rutete, men rektangulære. Dette kan virke tull, men å tegne for eksempel en sirkel med et kompass i slike situasjoner er veldig upraktisk. For å være ærlig, i slike øyeblikk begynner du å tenke på riktigheten til kamerat Stalin, som ble sendt til leire for hackarbeid i produksjonen, for ikke å nevne den innenlandske bilindustrien, fallende fly eller eksploderende kraftverk.

Apropos kvalitet, eller en kort anbefaling om skrivesaker. I dag er de fleste notatbøkene som selges mildt sagt fullstendig dritt. Av den grunn at de blir våte, og ikke bare fra gelpenner, men også fra kulepenner! De sparer penger på papiret. For registrering tester Jeg anbefaler å bruke notatbøker fra Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, rutenett) eller "Pyaterochka", selv om det er dyrere. Det er tilrådelig å velge en gelpenn; selv den billigste kinesiske gelrefillen er mye bedre enn en kulepenn, som enten flekker eller river papiret. Den eneste "konkurransedyktige" kulepennen jeg kan huske er Erich Krause. Hun skriver tydelig, vakkert og konsekvent – ​​enten med en full kjerne eller med en nesten tom en.

I tillegg: Synet av et rektangulært koordinatsystem gjennom øynene til analytisk geometri er dekket i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer, detaljert informasjon O koordinere kvartaler finnes i andre ledd i leksjonen Lineære ulikheter.

3D etui

Det er nesten det samme her.

1) Tegn koordinatakser. Standard: akseapplikasjon – rettet oppover, akse – rettet mot høyre, akse – rettet nedover til venstre strengt tatt i en vinkel på 45 grader.

2) Merk aksene.

3) Sett skalaen langs aksene. Skalaen langs aksen er to ganger mindre enn skalaen langs de andre aksene. Merk også at i den høyre tegningen brukte jeg et ikke-standard "hakk" langs aksen (denne muligheten er allerede nevnt ovenfor). Fra mitt synspunkt er dette mer nøyaktig, raskere og mer estetisk tiltalende - det er ikke nødvendig å se etter midten av cellen under et mikroskop og "skulpturere" en enhet nær opprinnelsen til koordinatene.

Når du lager en 3D-tegning, igjen, prioriter skala
1 enhet = 2 celler (tegning til venstre).

Hva er alle disse reglene for? Regler er laget for å brytes. Det er det jeg skal gjøre nå. Faktum er at påfølgende tegninger av artikkelen vil bli laget av meg i Excel, og koordinataksene vil se feil ut fra synspunktet om riktig design. Jeg kunne tegne alle grafene for hånd, men det er faktisk skummelt å tegne dem ettersom Excel er motvillige til å tegne dem mye mer nøyaktig.

Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner

Lineær funksjon er gitt av ligningen. Grafen for lineære funksjoner er direkte. For å konstruere en rett linje er det nok å vite to punkter.

Eksempel 1

Lag en graf av funksjonen. La oss finne to punkter. Det er fordelaktig å velge null som ett av punktene.

Hvis, da

La oss ta et annet punkt, for eksempel 1.

Hvis, da

Når du fullfører oppgaver, er koordinatene til punktene vanligvis oppsummert i en tabell:

Og verdiene i seg selv beregnes muntlig eller på et utkast, en kalkulator.

To punkter er funnet, la oss lage tegningen:

Når vi utarbeider en tegning signerer vi alltid grafikken.

Det ville være nyttig å huske spesielle tilfeller av en lineær funksjon:

Legg merke til hvordan jeg plasserte signaturene, signaturer bør ikke tillate avvik når man studerer tegningen. I i dette tilfellet Det var ekstremt uønsket å sette en signatur ved siden av skjæringspunktet mellom linjene, eller nederst til høyre mellom grafene.

1) En lineær funksjon av formen () kalles direkte proporsjonalitet. For eksempel. En direkte proporsjonalitetsgraf går alltid gjennom origo. Dermed er det forenklet å konstruere en rett linje - det er nok å finne bare ett punkt.

2) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen konstrueres umiddelbart, uten å finne noen punkter. Det vil si at oppføringen skal forstås som følger: "y er alltid lik -4, for enhver verdi av x."

3) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen plottes også umiddelbart. Oppføringen skal forstås som følger: "x er alltid, for enhver verdi av y, lik 1."

Noen vil spørre, hvorfor huske 6. klasse?! Det er slik det er, kanskje det er slik, men i løpet av årene med praksis har jeg møtt et godt dusin studenter som ble forvirret over oppgaven med å konstruere en graf som eller.

Å konstruere en rett linje er den vanligste handlingen når du lager tegninger.

Den rette linjen diskuteres i detalj i løpet av analytisk geometri, og interesserte kan henvise til artikkelen Ligning av en rett linje på et plan.

Graf av en kvadratisk, kubisk funksjon, graf for et polynom

Parabel. Graf av en kvadratisk funksjon () representerer en parabel. La oss vurdere kjent hendelse:

La oss huske noen egenskaper ved funksjonen.

Så, løsningen på ligningen vår: – det er på dette punktet at toppunktet til parablen befinner seg. Hvorfor det er slik kan du finne i den teoretiske artikkelen om den deriverte og leksjonen om funksjonens ekstremer. I mellomtiden, la oss beregne den tilsvarende "Y"-verdien:

Dermed er toppunktet ved punktet

Nå finner vi andre punkter, mens vi frekt bruker parabelens symmetri. Det skal bemerkes at funksjonen – er ikke engang, men likevel, ingen opphevet symmetrien til parablen.

I hvilken rekkefølge å finne de resterende poengene, tror jeg det vil være klart fra finalebordet:

Denne algoritmen konstruksjoner kan billedlig talt kalles en "shuttle" eller et "frem og tilbake"-prinsipp med Anfisa Chekhova.

La oss lage tegningen:

Fra de undersøkte grafene dukker det opp en annen nyttig funksjon:

For en kvadratisk funksjon () følgende er sant:

Hvis , så er grenene til parablen rettet oppover.

Hvis , så er grenene til parabelen rettet nedover.

Inngående kunnskap om kurven kan fås i leksjonen Hyperbel og parabel.

En kubisk parabel er gitt av funksjonen. Her er en tegning kjent fra skolen:

La oss liste opp grunnleggende egenskaper funksjoner

Graf av en funksjon

Den representerer en av grenene til en parabel. La oss lage tegningen:

Hovedegenskapene til funksjonen:

I dette tilfellet er aksen vertikal asymptote for grafen til en hyperbel ved .

Vilje STOR feil, hvis du, når du tegner en tegning, uforsiktig lar grafen krysse en asymptote.

Også ensidige grenser forteller oss at hyperbelen ikke begrenset ovenfra Og ikke begrenset nedenfra.

La oss undersøke funksjonen ved uendelig: , det vil si hvis vi begynner å bevege oss langs aksen til venstre (eller høyre) til uendelig, så vil "spillene" være i et ryddig trinn uendelig nær nærmer seg null, og følgelig grenene til hyperbelen uendelig nær nærme seg aksen.

Så aksen er horisontal asymptote for grafen til en funksjon, hvis "x" har en tendens til pluss eller minus uendelig.

Funksjonen er merkelig, og derfor er hyperbelen symmetrisk om opprinnelsen. Dette faktum tydelig fra tegningen, i tillegg er den lett verifisert analytisk: .

Grafen til en funksjon av formen () representerer to grener av en hyperbel.

Hvis , er hyperbelen lokalisert i første og tredje koordinatkvartal(se bildet over).

Hvis , så er hyperbelen lokalisert i andre og fjerde koordinatkvartal.

Det indikerte mønsteret av hyperbelbolig er lett å analysere fra synspunktet om geometriske transformasjoner av grafer.

Eksempel 3

Konstruer høyre gren av hyperbelen

Vi bruker den punktvise konstruksjonsmetoden, og det er fordelaktig å velge verdiene slik at de er delbare med en helhet:

La oss lage tegningen:

Det vil ikke være vanskelig å konstruere den venstre grenen av hyperbelen. Grovt sett, i tabellen med punktvis konstruksjon, legger vi mentalt til et minus til hvert tall, setter de tilsvarende punktene og tegner den andre grenen.

Detaljert geometrisk informasjon om linjen som vurderes finnes i artikkelen Hyperbel og parabel.

Graf av en eksponentiell funksjon

I denne delen vil jeg umiddelbart vurdere eksponentialfunksjonen, siden i problemer med høyere matematikk i 95 % av tilfellene er det eksponentialen som dukker opp.

Jeg minner deg om at dette er irrasjonelt tall: , dette vil være nødvendig når du konstruerer en graf, som jeg faktisk vil bygge uten seremoni. Tre poeng, kanskje det er nok:

La oss la grafen til funksjonen være i fred for nå, mer om den senere.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Funksjonsgrafer osv. ser fundamentalt like ut.

Jeg må si at det andre tilfellet forekommer sjeldnere i praksis, men det forekommer, så jeg anså det som nødvendig å inkludere det i denne artikkelen.

Graf over en logaritmisk funksjon

Vurder en funksjon med naturlig logaritme.
La oss lage en punkt-for-punkt-tegning:

Hvis du har glemt hva en logaritme er, vennligst se skolebøkene dine.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Definisjonsdomene:

Verdiområde: .

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra: , om enn sakte, men grenen til logaritmen går opp til uendelig.
La oss undersøke oppførselen til funksjonen nær null til høyre: . Så aksen er vertikal asymptote for grafen til en funksjon som "x" har en tendens til null fra høyre.

Det er viktig å kjenne og huske den typiske verdien av logaritmen: .

Grafen til logaritmen ved basen ser fundamentalt lik ut: , , ( desimal logaritme til base 10), etc. Dessuten, jo større basen er, jo flatere vil grafen være.

Vi vil ikke vurdere saken; jeg husker ikke sist jeg bygde en graf med et slikt grunnlag. Og logaritmen ser ut til å være en svært sjelden gjest i problemer med høyere matematikk.

På slutten av dette avsnittet vil jeg si enda et faktum: Eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon – de to er gjensidige inverse funksjoner . Hvis du ser nøye på grafen til logaritmen, kan du se at dette er den samme eksponenten, den er bare plassert litt annerledes.

Grafer over trigonometriske funksjoner

Hvor begynner trigonometrisk pine på skolen? Høyre. Fra sinus

La oss plotte funksjonen

Denne linjen kalles sinusformet.

La meg minne deg på at "pi" er et irrasjonelt tall: , og i trigonometri får det øynene til å blende.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Denne funksjonen er periodisk med periode. Hva betyr det? La oss se på segmentet. Til venstre og høyre for den gjentas nøyaktig den samme delen av grafen i det uendelige.

Definisjonsdomene: , det vil si at for enhver verdi av "x" er det en sinusverdi.

Verdiområde: . Funksjonen er begrenset: , det vil si at alle "spillerne" sitter strengt tatt i segmentet .
Dette skjer ikke: eller mer presist, det skjer, men ligningene ovenfor har ikke en løsning.

- — [] kvadratisk funksjon Funksjon av formen y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - en parabel, hvis toppunkt har koordinater [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], med a>0 grener av parabelen ... ...

KVADRATISK FUNKSJON, matematisk FUNKSJON, hvis verdi avhenger av kvadratet til den uavhengige variabelen, x, og er gitt, følgelig, kvadratisk polynom, for eksempel: f(x) = 4x2 + 17 eller f(x) = x2 + 3x + 2. se også KVADRATLIGNING ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Kvadratisk funksjon- Kvadratisk funksjon - en funksjon av formen y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - en parabel, hvis toppunkt har koordinater [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], for a> 0 er grenene til parablen rettet oppover, for en< 0 –вниз… …

- (kvadratisk) En funksjon som har neste visning: у=ах2+bх+с, hvor a≠0 og høyeste grad x er et kvadrat. Kvadratisk ligning y=ax2 +bx+c=0 kan også løses ved hjelp av følgende formel: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Disse røttene er ekte... Økonomisk ordbok

Affint kvadratisk funksjon på affin plass S er en hvilken som helst funksjon Q: S→K som har formen Q(x)=q(x)+l(x)+c i vektorisert form, der q er en kvadratisk funksjon, l er en lineær funksjon, c er en konstant . Innhold 1 Skifte referansepunktet 2 ... ... Wikipedia

En affin kvadratisk funksjon på et affint rom er enhver funksjon som har formen i vektorisert form, hvor er en symmetrisk matrise, en lineær funksjon, en konstant. Innhold... Wikipedia

Funksjon på vektorrom, definert av et homogent polynom av andre grad i vektorens koordinater. Innhold 1 Definisjon 2 Beslektede definisjoner... Wikipedia

- er en funksjon som i teorien statistiske løsninger karakteriserer tap på grunn av feil beslutningstaking basert på observerte data. Hvis problemet med å estimere en signalparameter mot en bakgrunn av støy blir løst, er tapsfunksjonen et mål på avviket... ... Wikipedia

objektiv funksjon- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-russisk ordbok for elektroteknikk og kraftteknikk, Moskva, 1999] objektiv funksjon I ekstreme problemer, en funksjon hvis minimum eller maksimum må finnes. Dette … … Teknisk oversetterveiledning

Objektiv funksjon- ved ekstreme problemer, en funksjon hvis minimum eller maksimum må finnes. Dette nøkkelbegrep optimal programmering. Etter å ha funnet ytterpunktet til C.f. og derfor, etter å ha bestemt verdiene til de kontrollerte variablene som går til den ... ... Økonomisk-matematisk ordbok

Bøker

• Sett med bord. Matematikk. Grafer over funksjoner (10 tabeller), . Pedagogisk album på 10 ark.
• Lineær funksjon. Grafisk og analytisk tildeling av funksjoner. Kvadratisk funksjon. Transformere grafen til en kvadratisk funksjon. Funksjon y=sinx. Funksjon y=cosx.… Skolematematikkens viktigste funksjon er kvadratisk - i oppgaver og løsninger, Petrov N.N.. Andregradsfunksjonen er hovedfunksjonen skolekurs matematikk. Dette er ikke overraskende. På den ene siden, enkelheten til denne funksjonen, og på den annen side, dyp mening

Som praksis viser, forårsaker oppgaver på egenskapene og grafene til en kvadratisk funksjon alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske merkelig, fordi de studerer den kvadratiske funksjonen i 8. klasse, og deretter gjennom første kvartal av 9. klasse "piner" de egenskapene til parablen og bygger dens grafer for forskjellige parametere.

Dette skyldes det faktum at når de tvinger elever til å konstruere parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafene, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen som mottas fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha konstruert et dusin eller så grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseende grafikk. I praksis fungerer ikke dette. For en slik generalisering er det nødvendig seriøs erfaring matematisk miniforskning, som de fleste niendeklassinger selvsagt ikke besitter. I mellomtiden foreslår Statens tilsyn å bestemme tegnene til koeffisientene ved hjelp av tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skoleelever og vil ganske enkelt tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av formen y = akse 2 + bx + c kalt kvadratisk, er grafen en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrepet øks 2. Det vil si EN skal ikke være lik null, de gjenværende koeffisientene ( b Og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene til koeffisientene påvirker utseendet til en parabel.

Den enkleste avhengigheten for koeffisienten EN. De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis EN> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis EN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой EN > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

I dette tilfellet EN = 0,5

Og nå for EN < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet EN = - 0,5

Effekten av koeffisienten Med Det er også ganske enkelt å følge. La oss forestille oss at vi ønsker å finne verdien av en funksjon ved et punkt X= 0. Bytt inn null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c. Det viser seg at y = c. Det vil si Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Vanligvis er dette punktet lett å finne på grafen. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det vil si Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, så vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y = x 2 + 4x

Vanskeligere med parameteren b. Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra EN. Dette er toppen av parabelen. Abscissen (aksekoordinat X) finnes av formelen x in = - b/(2a). Slik, b = - 2ax in. Det vil si at vi fortsetter som følger: vi finner toppunktet til parabelen på grafen, bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Det er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn EN. Det vil si, se på hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2ax in bestemme tegnet b.

La oss se på et eksempel:

Grenene er rettet oppover, som betyr EN> 0, skjærer parabelen aksen på under null, altså Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Så b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: EN > 0, b < 0, Med < 0.

I matematikktimene på skolen har du allerede blitt kjent med de enkleste egenskapene og grafen til en funksjon y = x 2. La oss utvide vår kunnskap om kvadratisk funksjon.

Oppgave 1.

Tegn funksjonen grafisk y = x 2. Målestokk: 1 = 2 cm Marker et punkt på Oy-aksen F(0; 1/4). Bruk et kompass eller en papirstrimmel, mål avstanden fra punktet F til et punkt M parabler. Fest deretter stripen ved punkt M og roter den rundt det punktet til den er vertikal. Enden av stripen vil falle litt under x-aksen (Fig. 1). Merk av på stripen hvor langt den strekker seg utover x-aksen. Ta nå et annet punkt på parabelen og gjenta målingen igjen. Hvor langt har kanten av stripen falt under x-aksen?

Resultat: uansett hvilket punkt på parabelen y = x 2 du tar, vil avstanden fra dette punktet til punktet F(0; 1/4) være større enn avstanden fra samme punkt til abscisseaksen med alltid samme tall - 1/4.

Vi kan si det annerledes: avstanden fra et hvilket som helst punkt på parablen til punktet (0; 1/4) er lik avstanden fra samme punkt på parablen til den rette linjen y = -1/4. Dette fantastiske punktet F(0; 1/4) kalles fokus parabler y = x 2, og rett linje y = -1/4 – rektor denne parabelen. Hver parabel har en retningslinje og et fokus.

Interessante egenskaper til en parabel:

1. Et hvilket som helst punkt på parablen er like langt fra et punkt, kalt parabelens fokus, og en rett linje, kalt dens retning.

2. Hvis du roterer en parabel rundt symmetriaksen (for eksempel parabelen y = x 2 rundt Oy-aksen), vil du få en veldig interessant flate som kalles en omdreiningsparaboloid.

Overflaten av væsken i et roterende kar har form av en omdreiningsparaboloid. Du kan se denne overflaten hvis du rører kraftig med en skje i et ufullstendig glass te, og deretter fjerner skjeen.

3. Hvis du kaster en stein inn i tomrommet i en viss vinkel mot horisonten, vil den fly i en parabel (Fig. 2).

4. Hvis du skjærer overflaten til en kjegle med et plan parallelt med en av dens generatriser, vil tverrsnittet resultere i en parabel (Fig. 3).

5. Fornøyelsesparker har noen ganger en morsom tur kalt Paraboloid of Wonders. Det virker for alle som står inne i den roterende paraboloiden som om han står på gulvet, mens resten av menneskene på en eller annen måte på mirakuløst vis holder seg fast i veggene.

6. I reflekterende teleskoper brukes også parabolske speil: lyset fra en fjern stjerne, som kommer i en parallell stråle, faller på teleskopspeilet, samles i fokus.

7. Spotlights har vanligvis et speil i form av en paraboloid. Hvis du plasserer en lyskilde i fokus for en paraboloid, danner strålene, reflektert fra det parabolske speilet, en parallell stråle.

Tegne en kvadratisk funksjon

I matematikktimene studerte du hvordan du kan få grafer for funksjoner i formen fra grafen til funksjonen y = x 2:

1) y = akse 2– strekke grafen y = x 2 langs Oy-aksen i |a| ganger (med |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ris. 4).

2) y = x 2 + n– forskyvning av grafen med n enheter langs Oy-aksen, og hvis n > 0, er forskyvningen oppover, og hvis n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– forskyvning av grafen med m enheter langs Ox-aksen: hvis m< 0, то вправо, а если m >0, deretter venstre, (Fig. 5).

4) y = -x 2– symmetrisk visning i forhold til Ox-aksen til grafen y = x 2 .

La oss se nærmere på plotting av funksjonen y = a(x – m) 2 + n.

En kvadratisk funksjon av formen y = ax 2 + bx + c kan alltid reduseres til formen

y = a(x – m) 2 + n, hvor m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

La oss bevise det.

Virkelig,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

La oss introdusere nye notasjoner.

La m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

da får vi y = a(x – m) 2 + n eller y – n = a(x – m) 2.

La oss gjøre noen flere erstatninger: la y – n = Y, x – m = X (*).

Da får vi funksjonen Y = aX 2, hvis graf er en parabel.

Toppunktet til parablen er i origo. X = 0; Y = 0.

Ved å erstatte koordinatene til toppunktet med (*), får vi koordinatene til toppunktet til grafen y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

For å plotte en kvadratisk funksjon representert som

y = a(x – m) 2 + n

gjennom transformasjoner kan du fortsette som følger:

en) plott funksjonen y = x 2;

b) ved parallell translasjon langs Ox-aksen med m enheter og langs Oy-aksen med n enheter - overføre toppunktet til parabelen fra origo til punktet med koordinater (m; n) (Fig. 6).

Registrering av transformasjoner:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Eksempel.

Bruk transformasjoner, bygg inn Kartesisk system koordinatgraf for funksjonen y = 2(x – 3) 2 – 2.

Løsning.

Kjede av transformasjoner:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Plottet er vist i ris. 7.

Du kan øve på å tegne kvadratiske funksjoner på egenhånd. Bygg for eksempel en graf av funksjonen y = 2(x + 3) 2 + 2 i ett koordinatsystem ved hjelp av transformasjoner Hvis du har spørsmål eller ønsker å få råd fra en lærer, så har du mulighet til å gjennomføre gratis 25 minutters leksjon med nettlærer etter registrering. For å jobbe videre med læreren kan du velge den tariffplanen som passer deg.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du tegner en kvadratisk funksjon?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.