Kvadratiske ligningers historie. Ligninger i det gamle Babylon

Fra historien om fremveksten av kvadratiske ligninger

Algebra oppsto i forbindelse med løsning av ulike problemer ved hjelp av ligninger. Vanligvis i problemer er det nødvendig å finne en eller flere ukjente, mens du kjenner resultatene av noen handlinger utført på ønskede og gitte mengder. Slike problemer reduseres til å løse en eller et system med flere ligninger, til å finne de ønskede ved hjelp av algebraiske operasjoner på gitte størrelser. Algebra studerer de generelle egenskapene til handlinger på mengder.

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent så tidlig som for 4000 år siden i det gamle Babylon.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken selv. Babylonerne visste hvordan de skulle løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, sammenfaller i hovedsak med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk fremstilling av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å tegne opp ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 2. "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, så ville deres produkt ikke være lik 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. .10 + x. Den andre er mindre, dvs. 10 - x. Forskjellen mellom dem er 2x. Derav ligningen:

(10+x)(10-x)=96,

Derfor er x = 2. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsningen x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ukjente tallene som det ukjente, kan vi komme til løsningen av ligningen:

Det er tydelig at Diophantus forenkler løsningen ved å velge halvforskjellen til de ønskede tallene som det ukjente; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning.

Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen Aryabhattam, kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>

I ligning (1) kan koeffisienter være negative. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies det følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle herligheten i offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer oppgave 3 er:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadratet, legger han til 322 på begge sider, og får da:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. ax2 = bx.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. ax2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. øks \u003d c.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax2 + c = bx.

5) "Kvadrater og røtter er lik tall", dvs. ax2 + bx = c.

6) “Røtter og tall er lik kvadrater”, dvs. bx + c == ax2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til nullen. løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

Oppgave 4. «Kvadratet og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten "(roten av ligningen x2 + 21 \u003d 10x er underforstått).

Løsning: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5, du får 3, dette blir ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Al-Khwarizmis avhandling er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger presenteres systematisk og formler for løsningen deres er gitt.

Kvadratiske ligninger i EuropaXII- XVIIi.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først beskrevet i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. Den italienske matematikeren Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra denne boken ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Den generelle regelen for løsning av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bx = c med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c, ble formulert i Europa i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, antar metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

Opprinnelsen til algebraiske metoder for å løse praktiske problemer er knyttet til vitenskapen i den antikke verden. Som kjent fra matematikkens historie, hadde en betydelig del av problemene av matematisk natur, løst av egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-datamaskiner (XX-VI århundrer f.Kr.), en kalkulert natur. Men selv da, fra tid til annen, oppsto det problemer der den ønskede verdien av en mengde ble spesifisert av noen indirekte forhold, som fra vårt moderne synspunkt krever formulering av en ligning eller et ligningssystem. Opprinnelig ble aritmetiske metoder brukt for å løse slike problemer. Senere begynte begynnelsen av algebraiske representasjoner å dannes. For eksempel var babylonske kalkulatorer i stand til å løse problemer som, fra synspunktet til moderne klassifisering, er redusert til ligninger av andre grad. En metode for å løse tekstproblemer ble laget, som senere fungerte som grunnlag for å fremheve den algebraiske komponenten og dens uavhengige studie.

Denne studien ble allerede utført i en annen tidsalder, først av arabiske matematikere (VI-X århundrer e.Kr.), som pekte ut karakteristiske handlinger som gjorde at ligninger ble redusert til en standardform, reduksjon av lignende termer, overføring av termer fra en del av ligning til en annen med fortegnsendring. Og så av de europeiske matematikerne fra renessansen, som et resultat av et langt søk, skapte de språket til moderne algebra, bruken av bokstaver, introduksjonen av symboler for aritmetiske operasjoner, parentes, etc. Ved begynnelsen av 16. 1600-tallet. Algebra som en spesifikk del av matematikken, som har sitt eget fag, metode, bruksområder, er allerede dannet. Dens videre utvikling, frem til vår tid, besto i å forbedre metodene, utvide omfanget av applikasjoner, klargjøre begrepene og deres forbindelser med begrepene til andre grener av matematikk.

Så, i lys av viktigheten og omfanget av materialet knyttet til konseptet av en ligning, er studiet i den moderne matematikkmetodikken assosiert med tre hovedområder for dens forekomst og funksjon.

For å løse en annengradsligning, må du vite:

formelen for å finne diskriminanten;

formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning;

· Algoritmer for å løse denne typen ligninger.

løse ufullstendige andregradsligninger;

løse komplette andregradsligninger;

løse de gitte kvadratiske ligningene;

finne feil i de løste ligningene og rette dem;

Gjør en sjekk.

Løsningen til hver ligning består av to hoveddeler:

transformasjon av denne ligningen til de enkleste;

løse likninger etter kjente regler, formler eller algoritmer.

Generaliseringen av metodene for elevenes aktivitet for å løse andregradsligninger skjer gradvis. Følgende stadier kan skilles fra hverandre når du studerer emnet "Kvadratiske ligninger":

Trinn I - "Løse ufullstendige kvadratiske ligninger."

Trinn II - "Løsning av komplette kvadratiske ligninger."

Trinn III - "Løsning av de reduserte kvadratiske ligningene."

På det første trinnet vurderes ufullstendige kvadratiske ligninger. Siden matematikere først lærte å løse ufullstendige kvadratiske ligninger, siden de ikke måtte, som de sier, finne opp noe for dette. Dette er likninger av formen: ax2 = 0, ax2 + c = 0, hvor c≠ 0, ax2 + bx = 0, hvor b ≠ 0. Tenk på løsningen av flere av disse likningene:

1. Hvis ax2 = 0. Ligninger av denne typen løses i henhold til algoritmen:

1) finn x2;

2) finn x.

For eksempel, 5x2 = 0 . Ved å dele begge sider av ligningen med 5, viser det seg: x2 = 0, derav x = 0.

2. Hvis ax2 + c = 0, blir c≠ 0 likninger av denne typen løst i henhold til algoritmen:

1) flytt begrepene til høyre side;

2) finn alle tallene hvis ruter er lik tallet c.

For eksempel, x2 - 5 = 0, Denne ligningen tilsvarer ligningen x2 = 5. Derfor må du finne alle tallene hvis kvadrater er lik tallet 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> og har ingen andre røtter.

3. Hvis ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Ligninger av denne typen løses i henhold til algoritmen:

1) flytte fellesfaktoren ut av parentes;

2) finn x1, x2.

For eksempel x2 - 3x \u003d 0. La oss omskrive ligningen x2 - 3x \u003d 0 i formen x (x - 3) \u003d 0. Denne ligningen har åpenbart røtter x1 \u003d 0, x2 \u003d 3. Den har ingen andre røtter, fordi hvis du erstatter et annet tall enn null og 3 i stedet for x, får du på venstre side av ligningen x (x - 3) \u003d 0 et tall som ikke er lik null.

Så disse eksemplene viser hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses:

1) hvis ligningen har formen ax2 = 0, så har den én rot x = 0;

2) hvis ligningen har formen ax2 + bx = 0, så brukes faktoriseringsmetoden: x (ax + b) = 0; så enten x = 0 eller ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> I tilfelle -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, dvs. - = m, hvor m>0, har ligningen x2 = m to røtter

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (i dette tilfellet er en kortere notasjon = tillatt.

Så en ufullstendig andregradsligning kan ha to røtter, en rot, ingen røtter.

På det andre trinnet utføres overgangen til løsningen av den komplette kvadratiske ligningen. Dette er likninger av formen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er gitt tall, a ≠ 0, x er det ukjente.

Enhver komplett kvadratisk ligning kan konverteres til skjemaet , for å bestemme antall røtter til en kvadratisk ligning og finne disse røttene. Følgende tilfeller av løsning av komplette kvadratiske ligninger vurderes: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Hvis D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

For eksempel, 2x2 + 4x + 7 = 0. Løsning: her er a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Siden D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Hvis D \u003d 0, så har den kvadratiske ligningen ax2 + bx + c \u003d 0 en rot, som finnes av formelen.

For eksempel, 4x - 20x + 25 = 0. Løsning: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Siden D = 0, har denne ligningen én rot. Denne roten er funnet ved å bruke formelen ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

En algoritme for å løse en ligning av formen ax2 + bx + c = 0 er kompilert.

1. Beregn diskriminanten D ved å bruke formelen D = b2 - 4ac.

2. Hvis D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Hvis D = 0, har andregradsligningen én rot, som finnes av formelen

4..gif" width="101" height="45">.

Denne algoritmen er universell, den kan brukes for både ufullstendige og komplette kvadratiske ligninger. Imidlertid løses ufullstendige kvadratiske ligninger vanligvis ikke med denne algoritmen.

Matematikere er praktiske, økonomiske mennesker, så de bruker formelen: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> med samme fortegn som D..gif" width="89" height="49"> så har ligning (3) to røtter ;

2) hvis så ligningen har to sammenfallende røtter;

3) hvis så ligningen har ingen røtter.

Et viktig poeng i studiet av andregradsligninger er vurderingen av Vieta-setningen, som angir eksistensen av et forhold mellom røttene og koeffisientene til den reduserte kvadratiske ligningen.

Vietas teorem. Summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Med andre ord, hvis x1 og x2 er røttene til ligningen x2 + px + q = 0, så

Disse formlene kalles Vieta-formler til ære for den franske matematikeren F. Vieta (), som introduserte et system med algebraiske symboler, utviklet grunnlaget for elementær algebra. Han var en av de første som begynte å angi tall med bokstaver, noe som i betydelig grad utviklet teorien om ligninger.

For eksempel har ligningen ovenfor x2 - 7x +10 \u003d 0 røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Det kan sees at summen av røttene er lik den andre koeffisienten , tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Det er også et teorem som er omvendt til Vietas teorem.

Teorem invers til Vietas teorem. Hvis formlene (5) er gyldige for tallene x1, x2, p, q, så er x1 og x2 røttene til ligningen x2 + px + q = 0.

Vietas teorem og dens inverse teorem brukes ofte til å løse ulike problemer.

For eksempel. La oss skrive den gitte kvadratiske ligningen, hvis røtter er tallene 1 og -3.

I følge Vietas formler

– p = x1 + x2 = - 2,

Derfor har den ønskede ligningen formen x2 + 2x - 3 = 0.

Kompleksiteten ved å mestre Vieta-teoremet er assosiert med flere omstendigheter. Først av alt er det nødvendig å ta hensyn til forskjellen mellom direkte og inverse teoremer. I Vietas direkte teorem er en andregradsligning og dens røtter gitt; i inverse er det bare to tall, og andregradsligningen vises ved avslutningen av teoremet. Studenter gjør ofte feilen ved å underbygge resonnementet sitt med en feil referanse til det direkte eller omvendte Vieta-teoremet.

For eksempel, når du finner røttene til en andregradsligning ved å velge, må du referere til den inverse Vieta-setningen, og ikke til den direkte, som studenter ofte gjør. For å utvide Vietas teoremer til tilfellet med null diskriminant, må vi være enige om at i dette tilfellet har den kvadratiske ligningen to like røtter. Bekvemmeligheten med en slik avtale er manifestert i faktoriseringen av kvadrattrinomialet.

Hjem > Rapporter

MOU ungdomsskole oppkalt etter Heroes of the Soviet Union
Sotnikova A.T. og Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Rapport om temaet:

"Historien om fremveksten

andregradsligninger"

Forberedt av:Izotova Julia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Å matematikk. I århundrer er du dekket av herlighet,

Belysning av alle jordiske lyskilder.

Din majestetiske dronning

Ikke rart Gauss døpte.

Strenge, logiske, majestetiske,

Slank i flukt, som en pil,

Din evige herlighet

Gjennom tidene fikk hun udødelighet.

Vi priser menneskesinnet

Verkene til hans magiske hender,

Håpet i denne alderen

Dronning av alle jordiske vitenskaper.

Vi ønsker å fortelle deg i dag

Forekomsthistorie

Hva enhver elev bør vite

Andregradsligningers historie.

Euklid, i det tredje århundre f.Kr. e. i hans "Principles" viet til geometrisk algebra hele den andre boken, som inneholder alt nødvendig materiale for å løse kvadratiske ligninger.

Euklid (Eνκλειδηζ), gammel gresk matematiker, forfatter av den første teoretiske avhandlingen om matematikk som har kommet ned til oss

Informasjon om Euklid er ekstremt sparsom. Det kan bare anses som pålitelig at hans vitenskapelige aktivitet fant sted i Alexandria på 300-tallet f.Kr. e. Euklid er den første matematikeren på den aleksandrinske skolen. Hans hovedverk "Begynnelser" (i latinisert form - "Elementer") inneholder en presentasjon av planimetri, stereometri og en rekke problemstillinger innen tallteori; i den oppsummerte han den tidligere utviklingen av gresk matematikk og la grunnlaget for videreutviklingen av matematikken. Hegre - Gresk matematiker og ingeniør for første gang i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse en andregradsligning på.

Hegre av Alexandria; Heron, jeg c. n. e., gresk mekaniker og matematiker. Tidspunktet for hans liv er usikkert, det er bare kjent at han siterte Arkimedes (som døde i 212 f.Kr.), han ble selv sitert av Pappus (ca. 300 e.Kr.). For tiden er den rådende oppfatningen at han levde på 100-tallet. n. e. Han studerte geometri, mekanikk, hydrostatikk, optikk; oppfant prototypen på dampmaskinen oger. De mest populære automatene var automatiske teatre, fontener og andre. G. beskrev teodolitten, basert på lovene for statikk og kinetikk, og ga en beskrivelse av spaken, blokken, propellen og militære kjøretøyer. I optikk formulerte han lovene for lysrefleksjon, i matematikk - metoder for å måle de viktigste geometriske formene. G.s hovedverk er Ietrica, Pneumatics, Autopoietics, Mechanics (fransk; verket er fullstendig bevart på arabisk), Catoptics (vitenskapen om speil; den er kun bevart i latinsk oversettelse), etc. G. brukte prestasjoner av hans forgjengere: Euclid, Archimedes, Strato of Lampsacus. Stilen hans er enkel og tydelig, men noen ganger for lakonisk eller ustrukturert. Interessen for G.s skrifter oppsto i det III århundre. n. e. Greske og deretter bysantinske og arabiske studenter kommenterte og oversatte verkene hans.

Diophantus- en gresk vitenskapsmann i det 3. århundre e.Kr., uten å ty til geometri, løste noen kvadratiske ligninger på en rent algebraisk måte, og selve ligningen og dens løsning ble skrevet i symbolsk form

«Jeg skal fortelle deg hvordan den greske matematikeren Diophantus komponerte og løste andregradsligninger. Her er for eksempel en av oppgavene hans:"Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

1. Fra tilstanden til problemet følger det at de ønskede tallene ikke er like, fordi hvis de var like, ville deres produkt ikke vært 96, men 100.

2. Dermed. en av dem vil være mer enn halvparten av summen, dvs. 10 + x, den andre er mindre, dvs. 10 - x.

3. Forskjellen mellom dem er 2x.

4. Derfor ligningen (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Svar x = 2. Et av de ønskede tallene er 12,
annet - 8. Løsning x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, fordi Gresk matematikk kjente bare positive tall.» Diophantus visste hvordan man løser veldig komplekse ligninger, brukte bokstavbetegnelser for ukjente, introduserte et spesielt symbol for beregning, brukte forkortelser av ord. Bhaskare - Akaria- Indisk matematiker i det XII århundre e.Kr. oppdaget en generell metode for å løse andregradsligninger.

La oss analysere et av problemene til indiske matematikere, for eksempel problemet med Bhaskara:

«En flokk aper har det gøy: en åttendedel av det totale antallet av dem i en firkant boltrer seg i skogen, de resterende tolv skriker på toppen av haugen. Si meg, hvor mange aper er det?"

For å kommentere oppgaven vil jeg si at ligningen (x/8) 2 + 12 = x tilsvarer oppgaven. Bhaskara skriver som x 2 - 64x \u003d - 768. Ved å legge til kvadrat 32 til begge deler, vil ligningen ha formen:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Etter å ha trukket ut kvadratroten får vi: x - 32 = 16.

"I dette tilfellet, sier Bhaskara, er de negative enhetene til den første delen slik at enhetene til den andre delen er mindre enn dem, og derfor kan sistnevnte betraktes som både positiv og negativ, og vi får den doble verdien av det ukjente : 48 og 16."

Det må konkluderes med at Bhaskaras løsning indikerer at han visste om toverdien til røttene til kvadratiske ligninger.

Det foreslås å løse det gamle indiske Bhaskara-problemet:

"Kvadraten til en femtedel av apene, redusert med tre, gjemte seg i grotten, en ape klatret i et tre, var synlig. Hvor mange aper var det? Det skal bemerkes at dette problemet er løst elementært, og reduseres til en kvadratisk ligning.

Al - Khorezmi - en arabisk lærd som i 825 skrev boken "The Book of Restoration and Opposition." Det var verdens første algebra-lærebok. Han ga også seks typer kvadratiske ligninger og for hver av de seks ligningene formulerte han i verbal form en spesiell regel for å løse den. I avhandlingen lister Khorezmi opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1. "Kvadrater er lik røtter", dvs. øks 2 = inn.

2. "Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = s.

3. "Røttene er lik tallet", dvs. ah = s.

4. "Kvadrater og tall er lik røttene", dvs. akse 2 + c \u003d inn.

5. "Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. akse 2 + inn = s.

6. "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. in + c \u003d ah 2.

La oss analysere problemet med al-Khwarizmi, som er redusert til å løse en kvadratisk ligning. "Et kvadrat og et tall er lik røttene." For eksempel er ett kvadrat og tallet 21 lik 10 røtter av samme kvadrat, dvs. Spørsmålet er, av hva er et kvadrat dannet, som etter å ha lagt til 21 til det, blir lik 10 røtter av samme kvadrat?

Og ved å bruke den fjerde formelen til al-Khwarizmi, må elevene skrive ned: x 2 + 21 = 10x

François Viet - Fransk matematiker, formulerte og beviste teoremet om summen og produktet av røttene til den gitte andregradsligningen.

Kunsten jeg presenterer er ny, eller har i det minste blitt så korrumpert av barbarenes påvirkning at jeg har sett det passende for å gi den et helt nytt utseende.

François Viet

Likevel ble François (1540-13.12. 1603) født i byen Fontenay-le-Comte i provinsen Poitou, ikke langt fra den berømte festningen La Rochelle. Etter å ha mottatt en jusgrad, fra en alder av nitten, praktiserte han med suksess som advokat i hjembyen. Som advokat nøt Viet prestisje og respekt blant befolkningen. Han var en mye utdannet person. Han kunne astronomi og matematikk og viet all sin fritid til disse vitenskapene.

Vietas viktigste lidenskap var matematikk. Han studerte grundig verkene til klassikerne Archimedes og Diophantus, de umiddelbare forgjengerne til Cardano, Bombelli, Stevin og andre. Vieta ikke bare beundret dem, han så en stor feil i dem, som var vanskeligheten med å forstå på grunn av verbal symbolikk: Nesten alle handlinger og tegn ble registrert i ord, det var ingen antydning til de praktiske, nesten automatiske reglene som vi nå bruker . Det var umulig å skrive ned og derfor begynne i en generell form, algebraiske sammenligninger eller andre algebraiske uttrykk. Hver type ligning med numeriske koeffisienter ble løst etter en spesiell regel. Derfor var det nødvendig å bevise at det er slike generelle handlinger på alle tall som ikke er avhengige av disse tallene i seg selv. Viet og hans tilhengere slo fast at det ikke spiller noen rolle om det aktuelle antallet er antall objekter eller lengden på segmentet. Hovedsaken er at det er mulig å utføre algebraiske operasjoner med disse tallene og som et resultat igjen få tall av samme type. Derfor kan de betegnes med noen abstrakte tegn. Viet gjorde nettopp det. Han introduserte ikke bare sin bokstavelige kalkulus, men gjorde en fundamentalt ny oppdagelse, og satte seg som mål å studere ikke tall, men handlinger på dem. Denne måten å skrive på tillot Vieta å gjøre viktige oppdagelser i studiet av de generelle egenskapene til algebraiske ligninger. Det er ingen tilfeldighet at Vieta kalles "faren" til algebra, grunnleggeren av bokstavsymboler.

Informasjonsressurser:

http :// som. fio. no/ ressurser/ Karpuhina/2003/12/ Fullført%20 arbeid/ Konsert/ indeks1. htm

http :// sider. marsu. no/ iac/ skole/ s4/ side74. html

Fra kvadratiske ligningers historie Forfatter: elev av klasse 9 "A" Radchenko Svetlana Veileder: Alabugina I.A. lærer i matematikk MBOU “Secondary school No. 5 of Guryevsk” i Kemerovo-regionen Presentasjonsfag: matematikk Laget for å hjelpe læreren Totalt 20 lysbilder Innhold Innledning……………………………………………………… ………… …………………3 Fra historien om fremveksten av kvadratiske ligninger Andregradsligninger i det gamle Babylon………………………………….4 kvadratiske ligninger i India…………… …………………………… ………...5 Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger……………………………………………6 Hvordan Diophantus kompilerte og løste kvadratiske ligninger…… ………………..... 7 kvadratiske ligninger i Europa Xll - XVll århundrer……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….. .10 Metodikk for å studere kvadratisk ligninger ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………..10 10 måter å løse andregradsligninger……………………………………….12 Algoritme for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger………… …… …………13 Algoritme for å løse den komplette kvadratiske ligningen………………………………..14 løse anvendte problemer………………………………………………………………… ………………………………….16 5. Konklusjon. ………………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Liste over brukt litteratur……………………………… ……… ………………….19 2 Innledning Å anse som uheldig den dagen eller den timen hvor du ikke lærte noe nytt, ga ikke noe til utdanningen din. Jan Amos Comenius 3 kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. De er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Kvadratiske ligninger i skoleløpet i algebra inntar en ledende plass. Mye av skoletiden i matematikk er viet til å studere dem. I utgangspunktet tjener kvadratiske ligninger spesifikke praktiske formål. De fleste problemer med romlige former og kvantitative relasjoner i den virkelige verden kommer ned til å løse ulike typer ligninger, inkludert kvadratiske. Ved å mestre måtene å løse dem på, finner folk svar på ulike spørsmål fra vitenskap og teknologi. Fra historien om fremveksten av kvadratiske ligninger Det gamle Babylon: allerede rundt 2000 år f.Kr. visste babylonerne hvordan de skulle løse kvadratiske ligninger. Metoder for å løse både komplette og ufullstendige kvadratiske ligninger var kjent. For eksempel, i det gamle Babylon ble følgende kvadratiske ligninger løst: 4 India Problemer løst ved hjelp av kvadratiske ligninger finnes i avhandlingen om astronomi "Aryabhattiam", skrevet av den indiske astronomen og matematikeren Aryabhata i 499 e.Kr. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta, skisserte en universell regel for å løse en kvadratisk ligning redusert til kanonisk form: ax2+bx=c; dessuten ble det antatt at alle koeffisientene i den, bortsett fra "a", kan være negative. Regelen formulert av forskeren er i hovedsak sammenfallende med den moderne. 5 Al-Khwarizmis andregradsligninger: Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og andregradslikninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger: "Kvadrater er lik røtter", dvs. ax2 = bx.; "Kvadrater er lik tall", dvs. ax2 = c; "Røttene er lik tallet", dvs. øks \u003d c; "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax2 + c = bx; "Kvadrater og røtter er lik tall", dvs. ax2 + bx = c; "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c = ax2. 6 Hvordan Diophantus kompilerte og løste kvadratiske ligninger: En av de mest særegne antikke greske matematikerne var Diophantus av Alexandria. Inntil nå har verken fødselsår eller dødsdato for Diophantus blitt avklart; Han antas å ha levd på 300-tallet. AD Av verkene til Diophantus er den viktigste aritmetikk, hvorav 13 bøker bare 6 har overlevd til i dag. Diophantus' "Aritmetikk" inneholder ikke en systematisk fremstilling av algebra, men den inneholder en rekke problemer ledsaget av forklaringer og løst ved å sette sammen ligninger av ulike grader. Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen. 7 kvadratiske ligninger i Europa XII-XVII århundrer: Den italienske matematikeren Leonard Fibonacci utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bx = c med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c, ble formulert i Europa i 1544 av Michael Stiefel. 8 Francois Viet Den franske matematikeren F. Viet (1540-1603), introduserte et system med algebraiske symboler, utviklet grunnlaget for elementær algebra. Han var en av de første som begynte å angi tall med bokstaver, noe som i betydelig grad utviklet teorien om ligninger. Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. 9 Andregradsligninger i dag Evnen til å løse andregradsligninger tjener som grunnlag for å løse andre ligninger og deres systemer. Å lære å løse ligninger begynner med deres enkleste typer, og programmet forårsaker gradvis akkumulering av begge typene og "fondet" av identiske og ekvivalente transformasjoner, som du kan bringe en vilkårlig ligning til den enkleste. Prosessen med å danne generaliserte metoder for å løse likninger i skoleløpet i algebra bør også bygges i denne retningen. I matematikkkurset i videregående skole står elevene overfor nye klasser av ligninger, systemer eller med en fordypning av allerede kjente ligninger. Dette emnet er preget av en stor dybde i presentasjonen og rikdommen i forbindelsene som er etablert med dets hjelp til læring, den logiske gyldigheten av presentasjonen. Derfor inntar den en eksepsjonell posisjon i rekken av ligninger og ulikheter. Et viktig poeng i studiet av andregradsligninger er vurderingen av Vieta-setningen, som angir eksistensen av et forhold mellom røttene og koeffisientene til den reduserte kvadratiske ligningen. Kompleksiteten ved å mestre Vieta-teoremet er assosiert med flere omstendigheter. Først av alt er det nødvendig å ta hensyn til forskjellen mellom direkte og inverse teoremer. 11 10 måter å løse andregradsligninger på: Faktorering av venstre side av ligningen. Hel kvadratisk valgmetode. Løsning av andregradsligninger med formel. Løsning av ligninger ved hjelp av Vietas teorem. Løse ligninger med metoden for "overføring" Egenskaper til koeffisientene til en kvadratisk ligning. Grafisk løsning av en andregradsligning. Løse andregradsligninger med kompass og rette. 12 Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram. Geometrisk måte å løse andregradsligninger på. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger 1) hvis ligningen har formen ax2 = 0, så har den én rot x = 0; 2) hvis ligningen har formen ax2 + bx = 0, så brukes faktoriseringsmetoden: x (ax + b) = 0; så enten x = 0 eller ax + b = 0. Som et resultat oppnås to røtter: x1 = 0; x2 \u003d 3) hvis ligningen har formen ax2 + c \u003d 0, blir den konvertert til formen ax2 \u003d - c og deretter x2. = I tilfellet når -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, dvs. - \u003d m, hvor m>0, har ligningen x2 \u003d m to røtter. Dermed kan en ufullstendig kvadratisk ligning ha to røtter, én rot, ingen rot. 13 Algoritme for å løse den komplette andregradsligningen. Dette er likninger på formen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er gitt tall, og ≠ 0, x er det ukjente. Enhver komplett kvadratisk ligning kan konverteres til skjemaet for å bestemme antall røtter til kvadratisk ligning og finne disse røttene. Følgende tilfeller av løsning av komplette kvadratiske ligninger vurderes: D< 0, D = 0, D >0. 1. Hvis D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, så har andregradsligningen ax2 + bx + c = 0 to røtter, som finnes av formlene: ; 14 Løsning av de reduserte kvadratiske ligningene F. Vietas teorem: Summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Med andre ord, hvis x1 og x2 er røttene til ligningen x2 +px + q = 0, så er x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Omvendt teorem til Vietas teorem: Hvis formlene (*) er gyldige for tallene x1, x2, p, q, så er x1 og x2 røttene til ligningen x2 + px + q = 0. 15 Praktiske anvendelser av kvadratiske ligninger for å løse anvendte Bhaskar-problemer (1114-1185) - den største indiske matematikeren og astronomen på XII-tallet. Han ledet det astronomiske observatoriet i Ujjain. Bhaskara skrev avhandlingen "Siddhanta-shiromani" ("Undervisningens krone"), bestående av fire deler: "Lilavati" er viet til aritmetikk, "Bizhdaganita" - til algebra, "Goladhaya" - til sfæren, "Granhaganita" - til teorien om planetbevegelser. Bhaskara fikk negative røtter av ligninger, selv om han tvilte på betydningen deres. Han eier et av de tidligste evighetsprosjektene. 16 Et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1200-tallet. Bhaskara: Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over toverdien til røttene til kvadratiske ligninger. 17 Konklusjon Utviklingen av vitenskapen om å løse andregradsligninger har kommet en lang og tornefull vei. Først etter verkene til Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, Newton fikk vitenskapen om å løse kvadratiske ligninger en moderne form. Verdien av kvadratiske ligninger ligger ikke bare i elegansen og kortheten ved å løse problemer, selv om dette er veldig viktig. Ikke mindre viktig er det faktum at som et resultat av bruken av kvadratiske ligninger for å løse problemer, oppdages ofte nye detaljer, interessante generaliseringer kan gjøres og avgrensninger, som er foranlediget av en analyse av de oppnådde formlene og relasjonene. Når jeg studerte litteraturen og internettressurser knyttet til historien om utviklingen av kvadratiske ligninger, spurte jeg meg selv: "Hva motiverte forskere som levde i en så vanskelig tid til å gjøre vitenskap, selv under trusselen om døden?" Sannsynligvis, først av alt, er det nysgjerrigheten til det menneskelige sinnet, som er nøkkelen til utviklingen av vitenskapen. Spørsmål om verdens essens, om menneskets plass i denne verden hjemsøker til enhver tid tenkende, nysgjerrige, fornuftige mennesker. Folk har forsøkt å forstå seg selv, sin plass i verden til enhver tid. Se på deg selv også, kanskje din naturlige nysgjerrighet lider, fordi du har bukket under for hverdagen, latskap? Skjebnen til mange forskere - 18 eksempler å følge. Ikke alle navn er velkjente og populære. Tenk: hva er jeg for menneskene rundt meg? Men det viktigste er hvordan jeg har det med meg selv, fortjener jeg respekt? Tenk på det... Referanser 1. Zvavich L.I. “Algebra Grade 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “Encyclopedic dictionary of a young mathematician”, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev “Algebra grade 8”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org rudn.ru/nfpk/matemat/ 05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427. html 19 Takk for oppmerksomheten 20

Fra kvadratiske ligningers historie.

a) Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad, tilbake i antikken, var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeider av militær karakter, samt til utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger var i stand til å løse ca 2000 f.Kr. babylonere. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å sette sammen ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 2. "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av deres sum, dvs. .10 + x. Den andre er mindre, dvs. 10 - x. Forskjellen mellom dem er 2x. Derav ligningen:

(10+x)(10-x)=96,

eller

100 -x 2 = 96.

Derfor er x = 2. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsningen x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ukjente tallene som ukjente, kan vi komme til løsningen av ligningen:

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske kanalen "Aryabhattayam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabahatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form

Åh 2 + bx = c, a > 0

I ligningen er koeffisientene unntatt en, kan være negativ. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Oppgave 3.

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer oppgave 3 er:

Bhaskara skriver under dekke av:

x 2 - 64x = - 768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadratet, legger du til 32 2 på begge sider, og får deretter:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmis andregradsligninger

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

"Kvadratene er lik røttene", dvs. akse 2 = bx.
"Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = c.
"Røttene er lik tallet", dvs. ax = c.
"Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax 2 + c \u003d bx.
"Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. akse 2 + bx \u003d c.
"Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c == ax 2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene, ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til nullen. løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

Oppgave 4. «Kvadratet og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten "(som betyr roten av ligningen x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmis avhandling er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger presenteres systematisk og formler for løsningen deres er gitt.

d) Kvadratiske ligninger i Europa XIII-XVII århundrer.

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al-Khwarizmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk fra både islams land og antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra Abacusboken gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Generell regel for å løse andregradsligninger redusert til en enkelt kanonisk form

x 2 + bx \u003d c,

for alle mulige kombinasjoner av tegn på koeffisientene b, Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger et moderne utseende.

Opprinnelsen til algebraiske metoder for å løse praktiske problemer er knyttet til vitenskapen i den antikke verden. Som kjent fra matematikkens historie, hadde en betydelig del av problemene av matematisk art, løst av egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-datamaskiner (XX-VI århundrer f.Kr.), en kalkulert karakter. Men selv da, fra tid til annen, oppsto det problemer der den ønskede verdien av en mengde ble satt av noen indirekte betingelser, som fra vårt moderne synspunkt krever formulering av en ligning eller et ligningssystem. Opprinnelig ble aritmetiske metoder brukt for å løse slike problemer. Senere begynte begynnelsen av algebraiske representasjoner å dannes. For eksempel var babylonske kalkulatorer i stand til å løse problemer som, fra synspunktet til moderne klassifisering, er redusert til ligninger av andre grad. En metode for å løse tekstproblemer ble laget, som senere fungerte som grunnlag for å fremheve den algebraiske komponenten og dens uavhengige studie.

Denne studien ble allerede utført i en annen tidsalder, først av arabiske matematikere (VI-X århundrer e.Kr.), som pekte ut karakteristiske handlinger som gjorde at ligninger ble redusert til en standardform, reduksjon av lignende termer, overføring av termer fra en del av ligning til en annen med fortegnsendring. Og så av de europeiske matematikerne fra renessansen, som et resultat av et langt søk, skapte de språket til moderne algebra, bruken av bokstaver, introduksjonen av symboler for aritmetiske operasjoner, parentes, etc. Ved begynnelsen av 16. 1600-tallet. algebra som en spesifikk del av matematikken, som har sitt eget fag, metode, bruksområder, er allerede dannet. Dens videre utvikling, frem til vår tid, besto i å forbedre metodene, utvide omfanget av applikasjoner, klargjøre begrepene og deres forbindelser med begrepene til andre grener av matematikk.

Så, i lys av betydningen og omfanget av materialet knyttet til begrepet ligning, er studiet i moderne matematikkmetodikk assosiert med tre hovedområder for dets forekomst og funksjon.

Historie om utviklingen av løsninger på kvadratiske ligninger

Aristoteles

D.I. Mendeleev

Finn sidene av et felt som har form som et rektangel hvis arealet er 12 , a

La oss vurdere dette problemet.

La x være lengden på feltet, så er dets bredde,
er området dets.
La oss lage en andregradsligning:
Papyrusen gir regelen for hans avgjørelse: "Del 12 med".
12: .
Så, .
"Lengden på feltet er 4", - oppgitt i papyrusen.

Redusert andregradsligning
hvor er noen reelle tall.

I en av de babylonske oppgavene var det også nødvendig å bestemme lengden på et rektangulært felt (la oss betegne det) og dets bredde ().

Hvis du legger til lengden og to bredder av et rektangulært felt, får du 14, og arealet av feltet er 24. Finn sidene.

La oss lage et ligningssystem:

Herfra får vi en andregradsligning.

For å løse det legger vi til et bestemt tall til uttrykket,

for å få en hel firkant:

Følgelig.

Generelt den andregradsligningen

Har to røtter:

DIOPHANT
En gammel gresk matematiker som sannsynligvis levde på 300-tallet f.Kr. e. Forfatteren av "Aritmetikk" - en bok viet til løsning av algebraiske ligninger.
I dag blir "diofantiske ligninger" vanligvis forstått som ligninger med heltallskoeffisienter, hvis løsninger må finnes blant heltall. Diophantus var også en av de første som utviklet matematisk notasjon.

"Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

Ett av tallene vil være mer enn halvparten av summen deres, det vil si 10+, det andre mindre, det vil si 10-.

Derav ligningen ()()=96

Her er et av problemene til de kjente

Indisk matematiker Bhaskara fra 1100-tallet:

Frisk flokk med apekatter

Spise godt, ha det gøy.

De kvadret del åtte

Ha det gøy på enga.

Og tolv i vinstokker ...

De begynte å hoppe, henge ...

Hvor mange aper var det

Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at han var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.
Den tilsvarende løsningen til ligningen

Bhaskara skriver i skjemaet, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger vi til 32 2 på begge sider, og får

"AL-JEBR" - RESTAURERING - AL-KHOREZMI KALTE OPERASJON AV UTSLUTNING FRA BEGGE DELER AV LIGNING AV NEGATIVE MEDLEMMER VED Å TILLEGG TIL LIKE MEDLEMMER, MEN MOTSTILLING I SIGN.

"AL-MUKABALA" - OPPOSISJON - REDUKSJON I DELENE AV LIGNING AV DE SAMME MEDLEMMER.

REGELEN FOR "AL-JABR"

VED LØSNING AV LIGNING

HVIS I DEL EN,

DET spiller ingen rolle HVA

MØT NEGATIVT MEDLEM,

VI ER TIL BEGGE DELER

VI GIR ET LIKE MEDLEM,

BARE MED ET ANNET SKILT,

OG VI FINNER ET POSITIVT RESULTAT.

1) kvadratene er lik røttene, det vil si;

2) kvadrater er lik et tall, det vil si;

3) røttene er lik tallet, det vil si;

4) kvadrater og tall er lik røttene, dvs.;

5) kvadrater og røtter er lik et tall, dvs.;

6) røttene og tallene er lik kvadrater, dvs.

En oppgave . Firkanten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn en rot.

Løsning. Del antall røtter i to - du får 5, gang 5 med seg selv,

Trekk 21 fra produktet, og la igjen 4.

Ta kvadratroten av 4 og du får 2.

Trekk 2 fra 5 - du får 3, dette vil være ønsket rot. Eller legg til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Fibonacci ble født i det italienske handelssenteret i Pisa, antagelig på 1170-tallet. . I 1192 ble han utnevnt til å representere Pisan handelskoloni i Nord-Afrika. På forespørsel fra faren flyttet han til Algerie og studerte matematikk der. I 1200 vendte Leonardo tilbake til Pisa og begynte å skrive sitt første verk, The Book of the Abacus. [ . I følge historikeren av matematikk A.P. Yushkevich The book of the abacus” hever seg skarpt over den europeiske aritmetiske og algebraiske litteraturen fra XII-XIV århundrer ved variasjonen og styrken av metoder, rikdommen av problemer, bevisene for presentasjon ... Etterfølgende matematikere hentet mye fra den både problemer og metoder for å løse dem ».

La oss plotte funksjonen

Grafen er en parabel hvis grener er rettet oppover, siden

2) Parabelens toppunktkoordinater

W. Sauer talte :

«Det er ofte mer nyttig for en algebrastudent å løse det samme problemet på tre forskjellige måter enn å løse tre eller fire forskjellige oppgaver. Ved å løse ett problem med ulike metoder, er det mulig å finne ut ved sammenligning hvilken som er kortere og mer effektiv. Det er slik erfaring gjøres."

"Byen er en enhet av de forskjellige"

Aristoteles

"Et tall uttrykt i et desimaltegn vil bli lest av en tysker, en russer, en araber og en yankee på samme måte"