Firkantede uttrykk. Kvadratiske ligninger

I denne leksjonen skal vi studere den grunnleggende egenskapen til en brøk, finne ut hvilke brøker som er like med hverandre. Vi skal lære å redusere brøker, finne ut om en brøk er reduserbar eller ikke, øve på å redusere brøker, og lære når vi skal bruke en sammentrekning og når ikke.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio lignende tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Flytende aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Denne informasjonen er tilgjengelig for registrerte brukere

Hovedegenskapen til en brøk

Tenk deg denne situasjonen.

Ved bordet 3 person og 5 epler Dele 5 epler for tre. Alle får \(\mathbf(\frac(5)(3))\) epler.

Og ved neste bord 3 person og også 5 epler Hver igjen \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Til sammen 10 epler 6 Menneskelig. Hver \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Men det er det samme.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Disse brøkene er likeverdige.

Du kan doble antall personer og doble antall epler. Resultatet blir det samme.

I matematikk er det formulert slik:

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme tall (ikke lik 0), vil den nye brøken være lik den opprinnelige.

Denne egenskapen kalles noen ganger " hovedegenskapen til en brøk ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

For eksempel, veien fra by til landsby - 14 km.

Vi går langs veien og bestemmer avstanden tilbakelagt av kilometermarkører. Etter å ha gått seks kolonner, seks kilometer, forstår vi at vi har tilbakelagt \(\mathbf(\frac(6)(14))\) distanse.

Men hvis vi ikke ser stolpene (kanskje de ikke ble installert), kan vi beregne banen ved å bruke de elektriske stolpene langs veien. Deres 40 stykker for hver kilometer. Altså totalt sett 560 hele veien. Seks kilometer - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) søyler. Det vil si at vi har bestått 240 fra 560 pilars-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Eksempel 1

Merk et punkt med koordinater ( 5; 7 ) på koordinatplan XOY. Det vil tilsvare brøken \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Koble opprinnelsen til koordinatene til det resulterende punktet. Konstruer et annet punkt som har koordinater to ganger de foregående. Hvilken brøkdel fikk du? Vil de være like?

Løsning

En brøkdel på koordinatplanet kan markeres med en prikk. For å representere brøken \(\mathbf(\frac(5)(7))\), merk punktet med koordinaten 5 langs aksen Y Og 7 langs aksen X. La oss tegne en rett linje fra origo gjennom punktet vårt.

Punktet som tilsvarer brøken \(\mathbf(\frac(10)(14))\) vil også ligge på samme linje

De er ekvivalente: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Brøker og deres reduksjon er et annet tema som begynner i 5. klasse. Her dannes grunnlaget for denne handlingen, og så trekkes disse ferdighetene med en tråd inn høyere matematikk. Hvis eleven ikke forstår, kan han ha problemer i algebra. Derfor er det bedre å forstå noen få regler en gang for alle. Og husk også ett forbud og bryt det aldri.

Fraksjon og dens reduksjon

Hver elev vet hva det er. Eventuelle to siffer plassert mellom en horisontal linje oppfattes umiddelbart som en brøk. Imidlertid forstår ikke alle at et hvilket som helst tall kan bli det. Hvis det er et heltall, kan det alltid deles på en, og da får du en uekte brøk. Men mer om det senere.

Begynnelsen er alltid enkel. Først må du finne ut hvordan du reduserer en riktig brøkdel. Det vil si en der telleren er mindre enn nevneren. For å gjøre dette, må du huske den grunnleggende egenskapen til en brøkdel. Den sier at når man multipliserer (i tillegg til å dele) telleren og nevneren samtidig samme nummer det viser seg å være en tilsvarende brøkdel til den opprinnelige.

Divisjonshandlinger som utføres på denne eiendommen og resulterer i en reduksjon. Det vil si å forenkle det mest mulig. En brøk kan reduseres så lenge det er felles faktorer over og under linjen. Når de ikke lenger er der, er reduksjon umulig. Og de sier at denne brøkdelen er irreduserbar.

To måter

1.Trinnvis reduksjon. Den bruker en estimeringsmetode der begge tallene er delt på den minste fellesfaktoren som eleven legger merke til. Hvis det etter den første sammentrekningen er klart at dette ikke er slutten, så fortsetter delingen. Inntil fraksjonen blir irreduserbar.

2. Finne den største felles deleren for telleren og nevneren. Dette er den mest rasjonelle måten å redusere brøker på. Det innebærer å dekomponere telleren og nevneren til primære faktorer. Blant dem må du da velge alle de samme. Produktet deres vil gi den største fellesfaktoren som fraksjonen reduseres med.

Begge disse metodene er likeverdige. Eleven oppfordres til å mestre dem og bruke den han liker best.

Hva om det er bokstaver og addisjons- og subtraksjonsoperasjoner?

Den første delen av spørsmålet er mer eller mindre klar. Bokstaver kan forkortes akkurat som tall. Hovedsaken er at de fungerer som multiplikatorer. Men mange har problemer med den andre.

Viktig å huske! Du kan bare redusere tall som er faktorer. Hvis de er innkallinger, er det umulig.

For å forstå hvordan man kan redusere brøkdeler av skjemaet algebraisk uttrykk, du må lære deg regelen. Først uttrykker du telleren og nevneren som et produkt. Da kan du redusere dersom fellesfaktorer dukker opp. For å representere det i form av multiplikatorer, er følgende teknikker nyttige:

• gruppering;
• bracketing;
• bruk av forkortede multiplikasjonsidentiteter.

Dessuten gjør sistnevnte metode det mulig å umiddelbart få vilkårene i form av multiplikatorer. Derfor bør den alltid brukes hvis et kjent mønster er synlig.

Men dette er ikke skummelt ennå, da dukker det opp oppgaver med grader og røtter. Det er da du trenger å få mot og lære deg et par nye regler.

Uttrykk med grad

Brøk. Telleren og nevneren er produktet. Det er bokstaver og tall. Og de er også hevet til en makt, som også består av termer eller faktorer. Det er noe å være redd for.

For å forstå hvordan du reduserer brøker med potenser, må du lære to ting:

• hvis eksponenten inneholder en sum, kan den dekomponeres i faktorer, hvis potenser vil være de opprinnelige leddene;
• hvis forskjellen, så utbytte og divisor, vil den første ha minuend til makten, den andre vil ha subtrahend.

Etter å ha fullført disse trinnene, blir de totale multiplikatorene synlige. I slike eksempler er det ikke nødvendig å beregne alle potenser. Det er nok å ganske enkelt redusere grader med samme eksponenter og baser.

For å endelig mestre hvordan du reduserer brøker med potenser, trenger du mye øvelse. Etter flere lignende eksempler vil handlinger utføres automatisk.

Hva om uttrykket inneholder en rot?

Den kan også forkortes. Bare igjen, følger reglene. Dessuten er alle de som er beskrevet ovenfor sanne. Generelt, hvis spørsmålet er hvordan du reduserer en brøkdel med røtter, må du dele.

På irrasjonelle uttrykk kan også deles. Det vil si hvis telleren og nevneren er det samme multiplikatorer, vedlagt under tegnet til roten, så kan de trygt forkortes. Dette vil forenkle uttrykket og fullføre oppgaven.

Hvis irrasjonaliteten etter reduksjonen forblir under brøklinjen, må du bli kvitt den. Med andre ord, multipliser telleren og nevneren med det. Hvis vanlige faktorer oppstår etter denne operasjonen, må de reduseres igjen.

Det handler nok bare om hvordan man kan redusere brøker. Det er få regler, men bare ett forbud. Forkort aldri terminer!

Online kalkulator utfører reduksjon av algebraiske brøker i samsvar med regelen om å redusere brøker: erstatte den opprinnelige brøken lik brøkdel, men med en mindre teller og nevner, dvs. samtidig deling av telleren og nevneren av en brøk med deres felles største felles deler(NIKKE). Kalkulatoren viser også detaljert løsning, som vil hjelpe deg å forstå rekkefølgen av reduksjonen.

Gitt:

Løsning:

Utfører fraksjonsreduksjon

kontrollere om reduksjonen kan gjennomføres algebraisk brøk

1) Bestemmelse av den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren til en brøk

bestemme den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren til en algebraisk brøk

2) Redusere telleren og nevneren for en brøk

redusere telleren og nevneren for en algebraisk brøk

3) Velge hele delen av en brøk

skille hele delen av en algebraisk brøk

4) Konvertering av en algebraisk brøk til en desimalbrøk

konvertere en algebraisk brøk til desimal

Hjelp til nettsideutvikling av prosjektet

Kjære besøkende på nettstedet.
Hvis du ikke klarte å finne det du lette etter, må du huske å skrive om det i kommentarfeltet, hva som mangler på nettstedet. Dette vil hjelpe oss å forstå i hvilken retning vi må bevege oss videre, og andre besøkende vil snart kunne motta nødvendig materiale.
Hvis siden viste seg å være nyttig for deg, doner siden til prosjektet bare 2 ₽ og vi vil vite at vi beveger oss i riktig retning.

Takk for at du tok turen innom!

I. Prosedyre for å redusere en algebraisk brøk ved hjelp av en online kalkulator:

1. For å redusere en algebraisk brøk, skriv inn verdiene til telleren og nevneren til brøken i de aktuelle feltene. Hvis brøken er blandet, fyll også ut feltet som tilsvarer hele delen av brøken. Hvis brøken er enkel, la hele delfeltet stå tomt.
2. Å sette negativ brøkdel, sett et minustegn på hele delen av brøken.
3. Avhengig av den angitte algebraiske brøken, utføres følgende handlingssekvens automatisk:

• bestemme den største felles divisor (GCD) for telleren og nevneren til en brøk;
• redusere telleren og nevneren for en brøk med gcd;
• fremheve hele delen av en brøkdel, hvis telleren til den endelige brøken er større enn nevneren.
• konvertere den siste algebraiske brøken til en desimalbrøk avrundet til nærmeste hundredel.

Reduksjonen kan resultere i en upassende brøkdel. I dette tilfellet, finalen riktig brøkdel vil bli uthevet hele delen og den resulterende brøken vil bli omdannet til en riktig brøk.

II. For referanse:

En brøk er et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. En vanlig brøk (enkel brøk) skrives som to tall (telleren til brøken og nevneren for brøken) atskilt med en horisontal strek (brøkstreken) som indikerer divisjonstegnet. Telleren til en brøk er tallet over brøklinjen. Telleren viser hvor mange aksjer som ble tatt fra helheten. Nevneren til en brøk er tallet under brøklinjen. Nevneren viser hvor mange like deler helheten er delt inn i. En enkel brøk er en brøk som ikke har en hel del. En enkel brøk kan være riktig eller upassende. egenbrøk - en brøk hvis teller er mindre enn nevneren, så en egenbrøk er alltid mindre enn én. Eksempel på egenbrøk: 8/7, 11/19, 16/17. En uekte brøk er en brøk der telleren er større enn eller lik nevneren, så en uekte brøk er alltid større enn eller lik en. Eksempel uekte brøker

: 7/6, 8/7, 13/13.

1. blandet brøk er et tall som inneholder et helt tall og en egenbrøk, og angir summen av det hele tallet og egenbrøken. Enhver blandet fraksjon kan konverteres til en uekte fraksjon enkel brøk , . Eksempel blandede fraksjoner , : 1¼, 2½, 4¾..
2. III. Note:

Kildedatablokk uthevet

gul

mellomliggende beregningsblokk tildelt

blå

løsningsblokken er uthevet med grønt

For å addere, subtrahere, multiplisere og dele vanlige eller blandede brøker, bruk den elektroniske brøkkalkulatoren med detaljerte løsninger.

La oss forstå hva reduserende brøker er, hvorfor og hvordan vi reduserer brøker, og gi regelen for å redusere brøker og eksempler på bruken. Yandex.RTB R-A-339285-1 Hva er "redusere brøker"

Reduser en brøkdel

I forrige eksempel reduserte vi brøken 6 24 med 2, noe som resulterte i brøken 3 12. Det er lett å se at denne brøkdelen kan reduseres ytterligere. Vanligvis er målet med å redusere brøker å ende opp med en irreduserbar brøk. Hvordan redusere en brøkdel til sin irreduserbare form?

Dette kan gjøres ved å redusere telleren og nevneren med deres største felles faktor (GCD). Deretter, ved egenskapen til den største felles divisor, vil telleren og nevneren være gjensidig primtall, og fraksjonen vil være irreduserbar.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Redusere en brøkdel til en irreduserbar form

For å redusere en brøk til en irreduserbar form, må du dele dens teller og nevner med deres gcd.

La oss gå tilbake til brøken 6 24 fra det første eksemplet og bringe den til sin irreduserbare form. Den største felles deleren av tallene 6 og 24 er 6. La oss redusere brøken:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Å redusere brøker er praktisk å bruke for ikke å jobbe med store tall. Generelt er det en uuttalt regel i matematikk: hvis du kan forenkle ethvert uttrykk, må du gjøre det. Å redusere en brøk betyr oftest å redusere den til en irreduserbar form, og ikke bare redusere den med felles deler av telleren og nevneren.

Regel for reduksjon av brøker

For å redusere brøker, husk bare regelen, som består av to trinn.

Regel for reduksjon av brøker

For å redusere en brøkdel trenger du:

1. Finn gcd for telleren og nevneren.
2. Del telleren og nevneren på deres gcd.

La oss se på praktiske eksempler.

Eksempel 1. La oss redusere brøken.

Gitt brøken 182 195. La oss forkorte det.

La oss finne gcd for telleren og nevneren. For å gjøre dette i i dette tilfellet Det er mest praktisk å bruke den euklidiske algoritmen.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Del telleren og nevneren med 13. Vi får:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Ferdig. Vi har fått en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige brøken.

Hvordan kan du ellers redusere brøker? I noen tilfeller er det praktisk å faktorisere telleren og nevneren i enkle faktorer, og deretter fra den øvre og nedre deler brøker, fjern alle vanlige faktorer.

Eksempel 2. Reduser brøken

Gitt brøken 360 2940. La oss forkorte det.

For å gjøre dette, se for deg den opprinnelige brøken i skjemaet:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

La oss bli kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren, noe som resulterer i:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Til slutt, la oss se på en annen måte å redusere brøker på. Dette er den såkalte sekvensielle reduksjonen. Ved å bruke denne metoden utføres reduksjonen i flere trinn, i hver av disse blir fraksjonen redusert med en åpenbar felles faktor.

Eksempel 3. Reduser fraksjonen

La oss redusere brøkdelen 2000 4400.

Det er umiddelbart klart at teller og nevner har en felles faktor på 100. Vi reduserer brøken med 100 og får:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Vi reduserer det resulterende resultatet igjen med 2 og får en irreduserbar brøkdel:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter