Laboratorieverksted om numeriske metoder. Verksted for numeriske metoder

Nedenfor er laboratoriearbeid med løsninger ved bruk av numeriske metoder (utført i MatBuro). Du kan laste ned ferdige arbeidsfiler fra lenkene under, og også få mer informasjon om løsning av lignende oppgaver fra manualer og verksteder.

Numeriske metoder(eller Computational Mathematics) - en del av anvendt matematikk der de er utviklet, matematisk underbygget (konvergens, stabilitet) og implementert (i spesielle programmer eller programmeringsspråk) høy level) omtrentlige løsningsmetoder matematiske problemer: ingen løsninger lineære ligninger, SLAEer, vanlige differensialligninger og systemer, partielle differensialligninger, grenseverdiproblemer, problemer med numerisk interpolasjon, tilnærming, integrasjon, etc.

Ferdige laboratorier i beregningsmatematikk

Quiz om grunnleggende numeriske metoder, 3 sider
Oppgave 1. Interpoler med Newtons polynom og beregn verdien av dette polynomet i punktet x=0,0014.

Oppgave 2. Avgrens verdien av roten på intervallet i tre iterasjoner

Oppgave 3. Regn ut integralet ved å bruke rektangel-, trapes- og Simpson-metodene
Padé tilnærmingsoppgave med løsning, 2 sider
Bruk Padé-tilnærmingen for å tilnærme funksjonen $f(x)=x^2*e^(1-x)$ rasjonell brøk.
, 4 sider
1. Bestem hvilken likhet som er mer nøyaktig.

2. Rund av de tvilsomme sifrene i tallet, og la de riktige tegnene stå.

3. Finn den begrensende absolutte og relativ feil tall hvis de bare har gyldige sifre.

4. Beregn og bestem feilene til resultatet.

5. Skill røttene til en ikke-lineær ligning analytisk

6. Skill røttene til en ikke-lineær ligning analytisk og avgrens en av dem ved å bruke prøvemetoden med en nøyaktighet på 0,01
Numeriske metoder: løst laboratorium 3 oppgaver, 11 sider
Oppgave 1. Vurder funksjonen
Oppførsel matematisk forskning graf for funksjonen f(x). Skisser grafen til funksjonen.
Isoler nullpunktene til funksjonen f(x), det vil si finn intervallene der f(x) skifter fortegn. Ved hvert intervall, ta 4 trinn ved å bruke metoden halv divisjon.
Finn omtrentlige verdier av røtter ved å bruke Newtons metode (tangenter). Ta midtpunktene til intervallene ovenfor som innledende tilnærminger. Ta 2 skritt.
Alle beregninger skal utføres med en nøyaktighet på minst 5 desimaler.

Oppgave 2. Vurder matriser
Finne invers matrise$P^(-1)$ og beregn matriseproduktet $W=P\cdot R \cdot P^(-1)$
Finn $\det W$ ved å bruke Gauss-metoden.
Løs et system med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Gauss-metoden med valg av hovedelementene langs kolonnene $Wx=b$

Oppgave 3. Gitt en tabell med eksperimentelle data
Forutsatt at forholdet er lineært, det vil si $y=ax+b$, finn $a$ og $b$ ved å bruke minste kvadraters metode.
På samme ark med millimeterpapir merker du punktene i tabellen og konstruerer en graf av den resulterende rette linjen.
Alle beregninger utføres med en nøyaktighet på 5 desimaler.
Løse Cauchy-problemet med numeriske metoder, 5 sider
Løs oppgaven ved å bruke Euler-metoden, Adams-metoden, Runge-Kutta-metoden.
Test på numeriske metoder med løsning, 6 oppgaver, 9 sider
Oppgave 1. Bruk Newtons metode og finn roten til ligningen på et segment med en nøyaktighet på 0,01.

Oppgave 2. Bruk akkordmetoden, finn negativ rot ligninger med en nøyaktighet på 0,0001. Krever foreløpig konstruksjon av en graf over funksjonen og separasjonen av røtter.

Oppgave 3. Bestem verdiene til røttene til ligningssystemet ved å bruke Seidel-metoden

Oppgave 4. Bruk rektangelmetoden, beregne integralet med et trinn på 0,02:

Oppgave 5. Finn en løsning ved å bruke Euler-Cauchy-metoden differensial ligning på intervallet x = , Innledende forhold y(x=0) = 0. Integreringstrinn h = 0,02.

Oppgave 6. En tabell over funksjonsverdier er gitt. Bruk Newtons interpolasjonspolynom, beregne verdien av funksjonen ved x = 0,077.
Test på beregningsmatematikk i MathCad + xmcd-beregningsfil
Oppgave 1. Utfør enkle beregninger ved å bruke de innebygde funksjonene i MathCad.

Oppgave 2. Løs ligningen ved å bruke de innebygde funksjonene i MathCad. Bruk rotseparasjonsmetoden, få en grafisk tolkning, bruk de innebygde funksjonene til Mathcad, få en løsning ved todelingsmetoden og Newtons metode.

Oppgave 3. Bruk de innebygde funksjonene i MathCad, løs systemer med lineære ligninger, og kontroller deretter ved å bruke den numeriske metoden. Gauss metode.

Oppgave 4. Bruk de innebygde funksjonene i MathCad, løs et system med ikke-lineære ligninger, og kontroller deretter ved å bruke den numeriske metoden. Newtons metode.

Oppgave 5. Løs problemet med numerisk differensiering av en funksjon.

Oppgave 6. Sammenlign resultatene av numerisk integrasjon. Rett rektangelmetode med trapesmetode

Oppgave 7. Løs en ordinær differensialligning ved hjelp av numeriske metoder: Eulers metode

Oppgave 8. Løs oppgaven med å finne et interpolasjonspolynom for en funksjon gitt i en tabell. Finn verdien av en funksjon i gitt poeng: 2. og 6. grader

Avskrift

1 Føderalt byrå om utdanning av den russiske føderasjonens nasjonale forskning kjernefysisk universitet"MEPhI" V.I. Raschikov NUMERISKE METODER. COMPUTER PRACTICUM Moskva 009

2 UDC 519.(075) BBK.193ya7 A R8 Rashchikov V.I. Numeriske metoder. Dataverksted: Pedagogisk og metodisk manual. M.: National Research Nuclear University MEPhI, s. Denne håndboken presenterer de viktigste numeriske metodene for løsning fysiske problemer: tilnærming og interpolering av funksjoner, numerisk integrasjon og differensiering, løsning av ikke-lineære ligninger og systemer, lineære algebraproblemer, ordinære differensialligninger og partielle differensialligninger, optimeringsmetoder. For å illustrere hver metode er det valgt ut et stort antall typiske oppgaver, oftest funnet i tekniske og fysiske beregninger. Følgende blokkskjemaer over programmer og praktiske anbefalinger ved å skrive dem lar de deg forstå i detalj algoritmen for å løse problemet og forenkle programmeringsprosessen. Manualen er ment for fulltids- og kveldsstudenter ved MEPhI, og kan også være nyttig for studenter ved andre fysikkuniversiteter. Godkjent av redaksjonen for National Research Nuclear University MEPhI som en pedagogisk og metodisk manual. Anmelder Ph.D. tech. Realfag, førsteamanuensis V.M. Barbashov ISBN National Research Nuclear University "MEPhI", 009

3 INNHOLD Forord... 4 Oppgave 1. Datasekvensanalyse... 7 Oppgave. Løse ikke-lineære ligninger Oppgave 3. Interpolering... 1 Oppgave 4. Approksimasjon... 7 Oppgave 5. Numerisk differensiering Oppgave 6. Numerisk integrasjon Oppgave 7. Beregning av multiple integraler ved hjelp av Monte Carlo-metoden Oppgave 8. Løse systemer av lineære algebraiske ligninger Oppgave 9. Delproblem egenverdier Oppgave 10. Finne minimum av en funksjon av én variabel Oppgave 11. Finne minimum av en funksjon av to Variabler tildeling 1. Numerisk løsning av Cauchy-problemet for ordinære differensialligninger Oppgave 13. Numerisk løsning av et lineært grenseverdiproblem for en andreordens ordinær differensialligning Oppgave 14. Numerisk løsning av den lineære transportligningen Oppgave 15. Numerisk løsning av en- dimensjonal varmeligning Oppgave 16. Numerisk løsning av varmeligningen i et rektangel Oppgave 17. Numerisk løsning av endimensjonal bølgeligning Oppgave 18. Numerisk løsning av Poisson-ligningen i et rektangel Bibliografi

4 FORORD Dette læremiddel satt sammen på grunnlag av forfatterens mange års erfaring med å gjennomføre praktiske klasser og forelese på kurset "Numerical Methods" ved fulltids- og kveldsfakultetene til MEPhI. Datapraktisk arbeid er en av hovedfaktorene for praktisk mestring av numeriske metoder for å løse fysiske problemer, og det er derfor et spesialområde er avsatt til det. mest av undervisningstid avsatt til emnet. Manualen består av 18 oppgaver som dekker nesten alle hoveddelene av kurset: interpolering og tilnærming av funksjoner, numerisk integrasjon og differensiering, løsning av ikke-lineære ligninger og systemer, lineære algebraproblemer, ordinære differensialligninger og partielle differensialligninger, numeriske metoder for å finne minimum av funksjoner til én og flere variabler. Hver oppgave inneholder informasjon som er nødvendig for å forstå metoden. teoretisk informasjon, oppgavealternativer for selvutførelse og praktiske anbefalinger for programmering, støttet av flytskjemaer av beregningsalgoritmer. På slutten av hver oppgave er det en liste over kontrollspørsmål som lar deg sjekke graden av mestring av materialet som studeres. Flytskjemaer trengs for mer visuell representasjon algoritmen for problemet, noe som gjør det mye lettere å forstå løsningsmetoden og skrive selve programmet. Ved utførelse av diagrammene ble det brukt GOST, som regulerer reglene for å konstruere diagrammer og utseende elementene deres. Hovedelementene som vil bli brukt i fremtiden i håndboken er som følger: - terminator; element viser input fra eksternt miljø eller gå ut av det (den vanligste bruken er begynnelsen og slutten av programmet). Den tilsvarende handlingen er skrevet inne i figuren; 4

5 - prosess; utføre en eller flere operasjoner, behandle data av noe slag (endre verdien av data, presentasjonsform, plassering). Inne i figuren er selve operasjonene skrevet direkte; - løsning; viser en brytertype avgjørelse eller funksjon med én inngang og to eller flere alternative utganger, hvorav kun én kan velges etter å ha evaluert betingelsene som er definert i det elementet. Inngangen til et element er indikert med en linje, vanligvis inn i toppen av elementet. Hvis det er to eller tre utganger, indikeres vanligvis hver utgang med en linje som kommer fra de gjenværende hjørnene (side og bunn). Brukes til å illustrere de betingede utsagn f (to utganger: sann, usann) og kasus (flere utganger); - forhåndsbestemt prosess; symbolet viser utførelsen av en prosess som består av en eller flere operasjoner som er definert andre steder i programmet (i en subrutine, modul). Navnet på prosessen og dataene som er overført til den er skrevet inne i symbolet. Brukes til å indikere et prosedyre- eller funksjonskall; - data (input-output); konvertere data til et skjema som er egnet for behandling (input) eller visning av resultatene av behandlingen (output). Dette symbolet identifiserer ikke lagringsmediet (spesifikke symboler brukes for å indikere typen lagringsmedium); - syklusgrense; symbolet består av to deler, henholdsvis begynnelsen og slutten av løkken; operasjoner som utføres inne i løkken plasseres mellom dem. Sløyfe- og inkrementbetingelser er skrevet inne i løkkestart- eller løkkesluttsymbolet, avhengig av typen løkkeorganisering. Ofte, for å skildre en syklus i et flytskjema, brukes et løsningssymbol i stedet for dette symbolet, som indikerer 5

6 tilstand, og en av utgangslinjene er lukket høyere i blokkskjemaet (før sløyfeoperasjonene); - kontakt; symbolet representerer en utgang til en del av en krets og en inngang fra en annen del av den kretsen. Brukes til å bryte en linje og fortsette den et annet sted (eksempel: dele et flytskjema som ikke passer på arket); -en kommentar; brukes til mer Detaljert beskrivelse trinn, prosess eller gruppe av prosesser. Beskrivelse er plassert på siden firkantet parentes og dekker hele høyden. Stiplet linjen går til elementet eller gruppen av elementer som beskrives (gruppen er uthevet med en lukket stiplet linje). Kommentarsymbolet brukes også i tilfeller der mengden tekst i et annet symbol (for eksempel et prosesssymbol, et datasymbol osv.) overskrider volumet. Rekkefølgen av handlinger spesifiseres ved å koble hjørner, som lar deg vurdere flytskjemaer ikke bare som en visuell tolkning av algoritmen, praktisk for menneskelig oppfatning, men også som en rettet graf. Når vi skrev denne manualen brukte vi hovedsakelig materiale fra [-4]. For en mer fullstendig studie av numeriske metoder i bibliografi Det gis nødvendige læremidler. 6

7 Oppgave 1 ANALYSE AV DATASEKVENS Hensikten med arbeidet er å bygge gafler og sykliske strukturer i programmer, å sammenstille programmer for å analysere datastrømmer. PROBLEMSTILLING Arbeidet analyserer en sekvens som simulerer flyten av eksperimentelle data. La f(x) være en eksperimentell avhengighet tatt av et segment med et fast trinn b a h, N 1 hvor N er antall punkter i eksperimentell avhengighet. Abscisseverdiene til disse punktene bestemmes av formelen x = a + h, = 0, 1, n. Det er nødvendig å beregne: 1) maksimal verdi funksjon fmax max f og antall node max som denne verdien oppnås ved;) minimumsverdien til funksjonen fmn mn f; 3) gjennomsnittlig f-verdi, midtre firkant f og rotmiddelkvadratverdien f t av funksjonen: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 4) det relative antallet positive p + og negative p - verdier for funksjonen f (= 0, 1,..., n) p n / (n 1), hvor n + og n er tallene for positive og negative verdier f (= 0, 1,..., n); 7

8 5) standardavvik fra gjennomsnittsverdien 1 n 1 n (f f). 0 FUNKSJONSALTERNATIVER f(x) k m 1) f (x) cos (x /) x ; k m) f (x) sn (x /) (1 x); k m 3) f (x) sh x cos (x); k m 4) f (x) 1 x tg (x / 4); k m 5) f (x) (1 x) tg (x / 4); 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (x / 4); 7) () x m f x e sn(x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(x /) ; m 9) (1 x) x; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x); m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x); m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x); m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) lm x. I funksjoner tar parametere l, k, t verdier fra 1 til 4, 0 x 1, anbefalte verdier for n er fra 50 til

9 PROGRAMMERING Nesten alle moderne implementeringer universelle språk programmering, som Fortran, C, Pascal, det er de samme strukturelle elementer, ved hjelp av hvilke programmer som bygges. Hovedstrukturene som studeres i dette programmet er gaffelen og syklusen. Gaffelen kan representeres i et blokkskjema som vist i fig.

10 Her er P (løsning) noe logisk tilstand, som kan ta verdien "true" (Ja, True) eller "false" (Nei, False). Avhengig av dette vil enten en blokk med operatører A eller en blokk med operatører B utføres. Den kan implementeres enten ved hjelp av en gaffel eller ved bruk av spesielle sløyfeoperatører med en forutsetning (betingelsen for å utføre sløyfekroppsoperatørene sjekkes når du går inn i loop), med en postbetingelse (betingelsen for å utføre utsagn av loop-kroppen kontrolleres når du går ut av loopen), med en teller (en variabel kalt loop-telleren endres i spesifiserte inkrementer til den når en fast verdi). I et blokkskjema er en syklus representert enten ved en gaffel (fig. 1.) eller med et todelt symbol som representerer begynnelsen og slutten av syklusen (fig. 1.3). Begge deler av symbolet har samme identifikator. Betingelser for initialisering, økning, avslutning osv. er plassert inne i symbolet i begynnelsen eller slutten, avhengig av plasseringen av operasjonen som kontrollerer tilstanden. Fig. Blokkdiagram av en gaffel ("beslutning", "valg") Fig. 1.. Kretsskjema med gaffel I eksemplet i fig. 1. en enkel variabel av heltallstype, kalt en løkkevariabel; t 1 Opprinnelig verdi sløyfevariabel, m 3 er endringstrinnet, og m bestemmer sluttverdien, F er sløyfens kropp. 10

11 Fig. Diagram av en løkke med et spesielt symbol. I vår oppgave skal verdiene til funksjonen u beregnet ved noder x plasseres i en endimensjonal matrise, etter å ha beskrevet dens type og dimensjon tidligere. Blokkskjemaet til programmet er vist i fig. I blokken legges inn startdata, syklusen for beregning av hovedmengdene, med unntak av standardavvik fra gjennomsnittet, hvis beregning er delt inn i en egen syklus, siden den er basert på resultatene fra tidligere operasjoner. I blokk 9 bringes resultatene til ønsket form, og i blokk 10 blir de sendt ut. 1 Start 6 med =1,N Startdata 11 7 (f f)

12 For å kontrollere at programmet er korrekt, anbefales det først å undersøke testfunksjonen u(x) x(1 x) 1/ 8, N 101, for hvilke følgende resultater bør oppnås: 1

13 umaks 0,15, maks 51, umn 0,15, mn 1; u u u m p 0,970, p , ζ , Det anbefales å utføre beregninger for flere verdier av n og analysere hvordan resultatene endres. RAPPORTENS INNHOLD Rapporten skal inneholde: formler, parametere og graf for funksjonen u(x) for et spesifikt alternativ; programtekst; beregningsresultater. KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan beskrives arrays? Hvordan skrives og utføres en loop-setning? 3. Hvilke begrensninger pålegges sløyfeoperatøren? 4. Hvordan skrives og utføres input- og output-setninger? 1. 3

14 Oppgave LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER Hensikt med arbeidet: studie av betinget og ubetinget konvergerende iterative metoder for løsning av ikke-lineære likninger. PROBLEMFORMULERING Et av de vanligste problemene en fysiker står overfor, er å løse likninger på formen f(x) = 0. (.1) Løsninger søkes med metoder påfølgende tilnærminger eller iterative metoder. Den første tilnærmingen kan finnes fra fysiske betraktninger, fra erfaring med å løse lignende problemer, ved hjelp av grafiske metoder osv. Søket etter roten av ligningen utføres matematisk ved å konstruere Cauchy-sekvensen (x), når det for en gitt finnes N slik at for alle n og p som overstiger N, x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 inneholder den ønsket rot. Den andre halvdelen av segmentet kan ignoreres. Deretter deler vi det nye segmentet i to og kommer igjen til to segmenter, ved enden av det ene skifter funksjonen fortegn, dvs. den inneholder en rot. Etter hver iterasjon halveres det opprinnelige segmentet, dvs. etter n iterasjoner vil det reduseres med n ganger. Iterasjonsprosessen vil fortsette til verdien av modulen til funksjonen er mindre enn den spesifiserte nøyaktigheten, dvs. f(x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 og neste tilnærming x 1, som er skjæringspunktet for tangenten med x-aksen, er gitt av formelen f(x0) x1 x0. f (x0) På samme måte kan du finne tilnærminger f(xn) xn 1 x, n f (xn) ved å konstruere tangenter sekvensielt fra punktene M 1,..,M n-1, og ikke glemme at f (x n) 0. Tangentmetode er en betinget konvergent metode, det vil si at for dens konvergens * lm x x må følgende betingelse være oppfylt i søkeområdet for roten " " ff (f), x * er ønsket verdi av roten. For en vilkårlig nulltilnærming vil iterasjonene konvergere hvis betingelsen oppnådd ovenfor er oppfylt overalt. Ellers vil konvergens bare skje i et bestemt nabolag av roten. Følgende kriterier kan brukes for å avslutte den iterative prosessen. 1. Maksimalt antall iterasjoner. Dette kriteriet er nødvendig dersom metodene ikke konvergerer. Det er imidlertid vanskelig å fastslå på forhånd hvor mange iterasjoner som skal til for å oppnå tilfredsstillende nøyaktighet Svak variasjon av tilnærming til roten: x n+1 x n< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 Unnlatelse av å tilfredsstille betingelsen (.) for > 10 indikerer vanligvis mangel på konvergens, feil i formlene eller i programmet. Sekantmetode Å beregne den deriverte av funksjonen f(x) som kreves i Newtons metode er ikke alltid praktisk eller mulig. Å erstatte den deriverte med den første delte forskjellen, som er funnet fra de to siste iterasjonene (dvs. å erstatte tangenten med en sekant) fører oss til sekantmetoden. Fra analytiske metoders synspunkt tas en rett linje som går gjennom de to siste punktene x n og x n 1 som en tilnærmet, dvs. i stedet for den deriverte i tangentmetoden, er det nødvendig å erstatte "f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 så kommer vi frem til formelen til sekantmetoden: xn xn 1 xn 1 xn f (xn).f (x) f (x) n Fig. 3. Illustrasjon av sekantmetoden 17 n 1 Sekantmetoden er en to-trinns metode, dvs. den krever to initiale (akselerasjons)punkter x 0 og x 1. Grafisk er metoden illustrert i Fig. 3. Først gjennom de valgte punktene (x 0, f( x 0)), (x 1, f(x 1)) tegner vi en rett linje til den skjærer abscisseaksen og definerer x, og den vertikale linjen i punktet x gir f(x).Deretter trekkes linjen gjennom punktene (x 1, f(x 1)) og (x, f(x)), osv., inntil en av de tre betingelsene for å avslutte den iterative prosessen (.). Vanligvis krever sekantmetoden flere iterasjoner enn tangentmetode, men hver iterasjon utføres mye raskere, siden det ikke er nødvendig å beregne f "(x), og derfor ofte med samme volumberegning

18 nå kan du gjøre flere iterasjoner og få høyere nøyaktighet. OPPGAVEALTERNATIVER Ved å bruke den ubetingede konvergerende dikotomimetoden og en av de betinget konvergerende metodene (tangens eller sekant), finn på segmentet 0 x 1 roten til en av funksjonene gitt nedenfor. I funksjoner tar parametrene l, k, m verdier fra 1 til 4. Det anbefales å studere samme funksjon som i oppgave 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x ; k m) f (x) sn (π x /) (1 x); k m 3) f (x) sinh x cos (π x); k m 4) f (x) 1 x tg (π x / 4); k m 5) f (x) (1 x) tan (π x / 4); 6) 1/ k m f (x) (1 x) tan (π x / 4); 7) () x m f x e sn(π x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(π x /) ; m 9) (1 x) x; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x); m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x); m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x); m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) lm x. 18

19 PROGRAMMERING Når du komponerer et program, er det tilrådelig å angi maksimalt tillatt antall iterasjoner maks, og avbryte iterasjonsprosessen hvis = maks. Dette beskytter mot såkalt "sykling" av programmet, som noen ganger oppstår på grunn av feil i formler eller programmet, så vel som når den første iterasjonen er mislykket. I dette problemet er det nok å sette maks = 30, siden i fravær av feil oppnås konvergens mye tidligere. Det anbefales å velge verdien av ε i området. Som den første iterasjonen kan du ta x 0 = 0,. Hvis iterasjonene ikke konvergerer, kan denne verdien reduseres eller økes mens den forblir i området 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b=c Fig..4. Blokkdiagram av et program for å løse en ikke-lineær ligning ved bruk av dikotomimetoden 19

20 1 Begynnelse Startdata 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) Nei x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 maks 5 x x f f (x) 1 Ja Ja ξ<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 RAPPORTENS INNHOLD Rapporten skal inneholde: formelen til funksjonen f(x) for et spesifikt alternativ; gitt verdi ε og startverdier x 0 ; programtekst; funnet omtrentlige rotverdier og antall iterasjoner for begge metodene; graf for funksjonen f(x) konstruert i forrige oppgave. KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan er løsningen av ikke-lineære ligninger konstruert ved tangentmetoden, hva er dens egenskaper? Få konvergensbetingelsen for tangentmetoden. 3. Skaff et estimat av konvergenshastigheten (rekkefølgen) til tangentmetoden. 4. Hvordan er løsningen av ikke-lineære ligninger konstruert ved bruk av sekantmetoden, hva kjennetegner den? 5. Hvilke andre metoder finnes for å løse ikke-lineære ligninger? 6. Hvordan er løsningen av ikke-lineære ligninger konstruert ved hjelp av dikotomimetoden, hva kjennetegner den? 7. Sammenlign metoder for å løse ikke-lineære ligninger basert på konvergenshastigheten ved å bruke resultatene du fikk som eksempel. 1

22 Oppgave 3 INTERPOLASJON Hensikten med arbeidet er å studere interpolasjonsmetoder, konstruere Newtons interpolasjonspolynom. FORMULERING AV PROBLEMET Numerisk modellering av de fleste fysiske problemer er som regel forbundet med behovet for å ta hensyn til faktorer som ikke kan beskrives analytisk. Det er bare en serie eksperimentelle avhengigheter oppnådd ved et fast antall punkter i utvalget av variabler som er av interesse for oss. Når man skal løse et utbredt problem om dynamikken til makro- og mikroobjekter i ytre gravitasjons- eller elektromagnetiske felt, er informasjon om feltet ofte umulig å få tak i i form av analytiske funksjoner uten å introdusere ytterligere forenklede antakelser som kan påvirke resultatet vesentlig. I dette tilfellet er det nødvendig å ty til eksperimentelle egenskaper, og eksperimentet kan bare utføres et begrenset antall ganger. Dermed kommer vi til et fysisk problem der et antall funksjoner er gitt ved et begrenset antall punkter x i et fast variasjonsområde for argumentet x. Den numeriske metoden kan imidlertid kreve kunnskap om disse funksjonene for alle argumentverdier i dette domenet. I dette tilfellet oppstår problemet med å gjenopprette funksjonen y(x) for alle verdier av x hvis verdiene er kjent ved et visst fast antall punkter x i dette segmentet. Den enkleste og vanligste måten å løse dette problemet på er interpolering mellom naboverdier, som kommer ned til å konstruere en funksjon (x) som sammenfaller med funksjonen y(x) i punktene x, dvs. (x) = y(x) = y, = 0, 1, n, hvor n + 1 er antall punkter spesifisert på segmentet, og x er interpolasjonsnoder.

23 Når du velger en interpoleringsfunksjon (x), er det nødvendig å begrense søket til funksjoner som enkelt og raskt kan beregnes på en datamaskin, siden de som regel må beregnes mange ganger. Det er mange interpolasjonspolynomer og metoder for å konstruere dem, egnet for forskjellige plasseringer av noder. Når man konstruerer interpolasjonspolynomer, antas det vanligvis at settet med noder som brukes er kjent. Imidlertid er ofte bare den nødvendige nøyaktigheten kjent, og antall noder er ikke fast. Newtons interpolasjonspolynom, som studien er gjenstand for dette arbeidet, utmerker seg ved at antallet noder som brukes lett kan økes eller reduseres uten å gjenta hele beregningssyklusen, og dermed endre interpolasjonsnøyaktigheten. Interpolering utføres i henhold til en tabell med noder med lik avstand, selv om Newtons interpolerende polynom kan brukes for ethvert arrangement av noder. Oppgaven inkluderer følgende trinn. 1. Regn ut tabellen med verdier y y(x) gitt funksjon y(x) ved like fordelte noder x h (0,1,..., n), h 1/ n, segment .. Lag en tabell med første forskjeller av funksjonen y 1 y y 1 y y(x 1, x) ( 0,1,..., n 1). x x h 1 3. Lag en tabell over andre dividerte forskjeller y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) Iht. disse tabellene, ved å bruke Newtons andreordens interpolasjonspolynom P(x) y (x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x)(x x) 1), h h

24 beregne verdiene til P(x) ved punkter (noder) med halvheltallsindekser x 1/ (1/) h (0,1,..., n). 5. Finn interpolasjonsfeilen ved disse nodene ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ maksimal feil ε maks, gjennomsnittlig kvadratfeil og rotmiddelkvadratfeil ε m: n 1 εmaks maks ε 1/, ε ε 1/, εm ε. n 1 6. Undersøk hvordan feilene ε max og ε m endres med en endring i n. 0 OPSJONER AV FUNKSJONER y(x) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/m sn (π x); 4) y(x) k 1/m cos (π x); 5) y(x) k m tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/m tan (π x/4); 7) y(x) 4 ax 3 bx; 8) y(x) (a m k bx); 9) y(x) (a m 1/ k bx); 10) y(x) (a 1/m k bx); 11) y(x) (a 1/m 1/k bx); 1) y(x) kx/(a m bx); 13) y(x) kx/(a m bx); 14) y(x) 1/ k x /(a m bx); 15) y(x)kx/(a1/mbx); 16) y(x) 1/k x/(a 1/m bx); 17) y(x) (a k x) / (b 4 m x); 18) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 m x); 19) y(x) (a k x) / (b 4 1/m x); 0) y(x) (a 1/k x) / (b 4 1/m x); 1) y(x) k x / (a m bx);) y(x) 1/ k x / (a m bx); 3) y(x) k x / (a 1/ m bx); 4) y(x) 1/ k x / (a 1/ m bx); k m 1/ k m 5) yx () ln (1 x); 6) y(x) ln (1 x); 4

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x) ln (1 x); k x 1/ k x 9) y(x) x e; 30) y(x) xe; 1/ m 1/ m k x 1/ k x 31) y(x) x e; 3) y(x) xe; 8(x 0,5) k 8(x 0,5) 33) y(x)e; 34) y(x) xe; 1/ k 8 (x 0,5) m 1/ k 35) y(x) x e; 36) y(x) (a bx); 1/ m 1/ k m k 37) y(x) (a bx); 38) y(x) (a bx); m 1/ k 1/ m 1/ k 39) y(x) (a bx); 40) y(x) (a bx); k m k m 41) y(x) arcsn; 4) y(x) arccos; k 1/ m k m 43) y(x) arcsn; 44) y(x) arccos; m 1/ m 45) y(x) arctan(a bx); 46) y(x) arctan(a bx); 47) y(x) sh(a m bx); 48) y(x) sh(a 1/m bx); 47) y(x) ch(a m bx); 50) y(x) ch(a 1/m bx). PROGRAMMERING Blokkskjemaet til programmet er presentert i Fig. Programmets basis består av tre påfølgende sykluser av blokker, 6-7-8. For å lagre funksjonsverdiene, første og andre forskjeller, samt feil beregnet i disse syklusene, bør de tilsvarende arrayene beskrives. For å kontrollere riktigheten av programmet, anbefales det først å utføre beregninger for testfunksjonen y(x) x, for hvilken ε max og ε m må forsvinne. 5

26 1 Start 9 ved =1,n- Startdata 3 ved =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, maks 1/ 4 y 11 ved 5 ved 1, m 6 ved =1,n-1 13 Grafer Resultater 7 y(x +1, x) 14 Slutt 8 ved Fig.3.1. Blokkdiagram av interpolasjonsprogram 6

27 RAPPORTENS INNHOLD Rapporten skal inneholde: en formel og graf for funksjonen y(x) for et spesifikt alternativ; programtekst; tabell over feil ε 1/ (0,1,..., n); verdier på ε max og ε t. KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan oppstår interpolasjonsproblemet? Hvilke interpolasjonspolynomer kjenner du til? 3. Hvordan bestemmes delte forskjeller av forskjellige rekkefølger? 4. Hvordan ble Newtons interpolasjonspolynom konstruert? 5. Hva er feilleddet (restleddet) til interpolasjonspolynomet? 6. Hvordan kan du praktisk anslå interpolasjonsfeilen? 7

28 Oppgave 4 TILNÆRMING Hensikt med arbeidet: å studere tilnærming av funksjoner ved å bruke minste kvadraters metode som eksempel. PROBLEMSTILLING Når du erstatter en funksjon med et interpolasjonspolynom, er en nødvendig betingelse passasjen av interpolasjonspolynomet gjennom verdiene til funksjonen ved interpolasjonsnodene. Ved bruk av eksperimentelle avhengigheter oppnås funksjonsverdiene ved nodene med en viss feil (ofte ganske stor), så det er upassende å ty til interpolasjon, og tvinger interpolasjonspolynomet til å gjenta disse feilene. I dette tilfellet er det bedre å bruke tilnærming, det vil si å velge en funksjon som passerer nær gitte punkter, etter å ha bestemt kriteriene for "nærhet". Avhengig av valgt metode for tilnærming, kan du få svært forskjellige resultater: kurven kan gå nøyaktig gjennom alle gitte punkter og samtidig avvike sterkt fra den utjevnede tilnærmingsfunksjonen Fig. Fig. Illustrasjon av tilnærming og interpolasjon Vi skal tilnærme funksjonene med et polynom på grad m: (x) = c 0 + c 1 x + c x + + c m x m, hvis koeffisienter c er valgt for å minimere avviket til polynomet fra denne funksjonen. 8

29 La oss bruke rot-middel-kvadrat-tilnærmingen til funksjonen y(x) med et polynom (x) på mengden (x, y), (= 0, 1, n), der målet for avvik er verdi S, lik summen av kvadrerte forskjeller mellom verdiene til polynomet og funksjonen ved gitte punkter: n n 0 1 m 0 0 S [ (x, c, c,..., c) y ]. For å konstruere et tilnærmet polynom, må du velge koeffisientene c 0, c 1, c m slik at verdien av S er den minste. Dette er hva minste kvadraters metode handler om. Hvis avviket overholder normalfordelingsloven, er parameterverdiene oppnådd på denne måten de mest sannsynlige. Som nevnt ovenfor, jevner rotmiddelkvadrattilnærmingen ut unøyaktighetene til funksjonen, og gir en korrekt representasjon av den. Siden c fungerer som uavhengige variabler for funksjonen S, finner vi minimum ved å likestille de partielle deriverte med hensyn til disse variablene til null: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1 dvs. vi kommer til en ligningssystem for å bestemme c. Hvis vi tar et polynom som en approksimerende funksjon, vil uttrykket for de kvadrerte avvikene ha formen: n m (m). 0 S c c x c x c x y Ved å likestille de partielle deriverte til null, kommer vi til systemet: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x... c x y) 0; 0 nm (c c x... c x y) x 0; n 0 1 m m (c c x... c x y) x m m m 9 n

30 Ved å samle koeffisientene for de ukjente c 0, c 1, c m, får vi et likningssystem: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y ;... n n n n m m 1 m m m 0 1 m c x c x c x... c x x y. Ved å løse systemet finner vi de ukjente parameterne c 0, c 1, c m. I en mer kompakt form kan vi skrive: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; b 10 c 0 + b 11 c b 1m c m = a 1; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k hvis vi introduserer notasjonen b x, a x y ; k, l 0,1,..., m. kl k 0 0 I dette arbeidet vil vi, for å lette løsningen av systemet, begrense oss til verdien m =. La oss betegne med en linje gjennomsnittet over settet med noder x 1 u n 1 og også introdusere følgende notasjon: n 0 k mk x (k 1,...), K x y. Da kan system (4.1) skrives som: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. Ligningssystemet kan løses ved hjelp av en av de direkte metodene som vurderes nedenfor. Siden systemet har en symmetrisk matrise, kan vi bruke kvadratrotmetoden, beregningsformler som er gitt nedenfor: n ; tretti

31 s 1, s m, s m; s m m, s (m m m) / s ; s m (s s) m (m s); z K, z (KmK)/s; z[K(s z s z)]/s; z z z c c, c, c z (s c s c) s33 s (For et system med tre lineære ligninger, i stedet for kvadratrotmetoden, er det enkelt å bruke det velkjente Cramer-skjemaet.) Etter å ha funnet koeffisientene c 0, c 1, c , beregner vi verdiene til polynomet (x) (= 0,1,. .., n) og tilnærmingsfeilen εmax max ε, ε y(x) φ(x), εm ε, hvor middelkvadratfeilen er e S / (n 1). OPPGAVEALTERNATIVER Parametre: a 0, b 1, n Noder: x h(0,1,..., n), h 1/ n. OPSJONER AV FUNKSJONER y(x) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/q) y(x) snx (q,3); 3) y(x) xe; 4) y(x) ln(1 qx)(q 13); 1/q 5) y(x) cos x (q,3); q 6) y(x) cos x (q 1 3); 1/q x 7) y(x)e (q,3); 1/q 8) y(x) ln(1 x)(q 13); 31

32 q 9) y(x) x(1 x) 0,01 x (q 3 5); 1/q 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/q 11) y(x) tan x (q 13); q 1) y(x) 1 x (q 1 4); 13) y(x) (1 q 1 x) (q 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/qx) (q 4); x 17) y(x)e; x 18) y(x)e; 19) y(x) 1/q arcsn x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/qx) (q 4); 1) y(x) (1 1/q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/q x) (q 4); q 3) y(x) x/(1 x)(q 14); x q 4) y(x) x e (q 1,). PROGRAMMERING Programblokkskjemaet er vist i fig. 4.. For å lagre y, θ(x), bør arrays med minst n+1 elementer allokeres. Det anbefales å utføre beregninger for flere verdier av n, og ta hensyn til endringen i feil når n øker. Det er nok å vise resultatene for én verdi n på skjermen. For å kontrollere riktigheten av programmet, anbefales det å tilnærme funksjonen y(x) (1 x) som et testproblem, der feilene ε max, ε t, skal være lik null. 3

33 1 3 Begynnelse Startdata for =1,n 7 8 for =1,n (x(x),), maks maks 4 y, m k, k l, 9 for 5 for 10 m 6 S, z k, c, c, c Resultater 1 Slutt Fig. 4.. Blokkdiagram av tilnærmingsprogrammet 33

34 RAPPORTENS INNHOLD Rapporten skal inneholde: formelen for funksjonen y(x) og parametere for et spesifikt alternativ; programtekst; verdier c 0, s 1, s; matriser og grafer y, θ(x); feil ε maks, ε t, ε. KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan er oppgaven med å tilnærme funksjoner? Hva er rotmiddelkvadrattilnærming? 3. Hva er enhetlig tilnærming? 4. Hvordan er minste kvadraters metode konstruert? 5. Hva er feilen (restleddet) ved tilnærming med potensfunksjoner? 6. Hva er betingelsene for fullstendigheten av et funksjonssystem? 34

35 Oppgave 5 NUMERISK DIFFERENSIERING Hensikten med arbeidet er å studere metoder for numerisk differensiering, beregne første og andre deriverte av en gitt funksjon ved hjelp av Newtons interpolerende polynom. PROBLEMSTILLING Et av de vanlige problemene i beregningsmatematikk, som har ulike anvendelser, er numerisk differensiering. La en rutenettfunksjon y y(x) (0,1,...,n) være gitt, definert på settet med noder x, (= 0, 1,...,n). For å beregne den deriverte y (k) (x) av orden k (k=1,...) på et tidspunkt x, velger vi m + 1 (m k) noder i nærheten av dette punktet og konstruerer et interpolasjonspolynom P t (x) av grad m (for eksempel Newtons polynom (se oppgave 3)), som går gjennom alle valgte noder: (5.) y(x) P (x) R (x), m hvor R m (x) er restleddet (feilen) til interpolasjonspolynomet Р t (X). Differensierende likhet (5.), finner vi (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1,...). (5.3) La oss nå ta som en tilnærmet verdi av den deriverte y) (x) den deriverte av polynomet: (k (k) (k) y (x) P (x) (5.4) Deretter resten av leddet ( feil) av den deriverte Q m,k ( x) er lik den deriverte av resten av leddet (feilen) av interpolasjonspolynomet: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m, k () () m () m ().m m (5,1) 35

36 Derivater (5.4) kalles endelig forskjell. I praksis brukes oftest enhetlige rutenett, d.v.s. rutenett med noder med lik avstand. På slike rutenett er de første og andre endelige forskjellsderivatene oppnådd ved den angitte metoden ved nodene x, med en feil O(h) i forhold til rutenetttrinnet h, gitt av formlene: y 1 y 1 y y (x), y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (1,..., n 1). Ved grensenoder med tall = 0 og =n, er det nødvendig å beregne de såkalte ensidige deriverte, og velge interpolasjonsnoder kun på den ene siden av grenseknuten. På et enhetlig rutenett har annenordens formler for første og andre derivater formen: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); h yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O(h); 6t 6y 4y 30y 1y y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). Som man kan se av formlene, i ensidige derivater, kreves det flere noder for å oppnå samme nøyaktighet. For å utføre laboratoriearbeid, kompileres først en verditabell (5.1) for en av funksjonene y(x) gitt nedenfor på ekvidistante noder 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, på segmentet 0 x 1. Verdiene til n velges i området n = Deretter nøyaktig y", y" (analytisk) og de omtrentlige y- og y-verdiene til den første og andre deriverte oppnådd "ved formlene ovenfor. Ved alle noder er det maksimum og rot-middelkvadrat (k) (k) εk, maks maks y y (k 1,) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 ( k 1,) verdier av feilen for numerisk differensiering, samt antall noder kmax, der verdiene ε kmax (k= 1,) er oppnådd. FUNKSJONERALTERNATIVER y(x) 1)sn(π x /); x) x e; 3) xsh x; 4)cos(π x /); x 5) x e ; 6) xch x; x / 7) sh x ; 8) e ; 9) x sh x; x / 10) ch x ; 11) e ; 1) x ch x ; 13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x ; 16) x cos x; 17) cos x; 18) tg(π x / 4); 19) x sn x; 0 ) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x ; 3) xcos x; 4) xln(x 1); x / x 5) e sn x; 6) xe ; 7) arcsn(x /); x / 8) arctg x ; 9) xe ; 30)(x 1) ln(x 1). 37

38 PROGRAMMERING Blokkdiagrammet til det numeriske differensieringsprogrammet er vist i fig. For å lagre verdiene til rutenettfunksjonen, eksakte og omtrentlige verdier av deriverte, samt deres feil, matriser med lengde minst n + l bør tildeles. Siden i dette arbeidet n<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 Start 6 til =1,n Startdata 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 til =1,n k,max, k, k,max y, y, y, y , 41 x, y 8 x 5 x 9 k 10 Resultater 11 Slutt Fig Flytskjema for det numeriske differensieringsprogrammet. 39

40 KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan stilles problemet med numerisk differensiering? Hvordan er numeriske differensieringsformler konstruert, hva er feilen deres? 3. Vurder feilen til formlene du bruker. 4. Hvordan avtar rekkefølgen av feil i numerisk differensiering med økende rekkefølge av den deriverte for samme antall noder? 5. Hvordan kan du konstruere formler for numerisk differensiering med økt nøyaktighet? 6. Hva er feilen i formuleringen av problemet med numerisk differensiering? 40

41 Oppgave 6 NUMERISK INTEGRASJON Hensikten med arbeidet er å studere metodene for numerisk integrasjon, beregne det bestemte integralet til en gitt funksjon ved hjelp av metodene rektangler og Gauss. PROBLEMSTILLING La funksjonen y = f(x) gis på segmentet i punktene x 0 = a, x 1, x n = b. Vi må beregne en bestemt integral av formen b a f (x) dx. Ved å bruke definisjonen av et integral som grensen for en integral sum, har vi: b a n 1 f (x) dx lm f () x, x x x, max x (6.1) der x x +1 er et visst midtpunkt av intervallet x, x +1. Integrasjonsproblemet er grafisk redusert til å finne arealet under grafen til funksjonen f(x) på et gitt segment Fig. Fig. Illustrasjon av numerisk integrasjon X-aksen er delt inn i n segmenter med lengde x og på hvert segment, iht. et visst kriterium, et poeng velges og beregnes i denne 41

42 poeng verdien av funksjonen f(). Arealet bestemmes av summen av arealene til de resulterende rektanglene. Når lengdene til segmentene x 0, tenderer summen av arealene til rektanglene til verdien av integralet. For numerisk integrasjon erstattes funksjonen f(x) med en tilnærmet funksjon (x), hvis integrale lett kan beregnes. Oftest fungerer generaliserte interpolasjonspolynomer som approksimatorer. Siden en slik tilnærming er lineær med hensyn til parametrene, erstattes funksjonen av et visst lineært uttrykk, hvis koeffisienter er funksjonsverdiene ved nodene: n f (x) f (x) (x) r(x) ), 0 hvor r(x) er resten av tilnærmingen. Ved å erstatte dette uttrykket med funksjonen i det opprinnelige integralet (6.1), får vi b a n f (x) dx q f (x) R, hvor q (x) dx, R r(x) dx. b a b a 0 Formel (6.) kalles en kvadraturformel med vekter q og noder x. Som man kan se av formelen, avhenger vektene q kun av plasseringen av nodene, men ikke av typen funksjon f(x). En kvadraturformel sies å være nøyaktig for polynomer av grad m hvis, når man erstatter funksjonen f(x) med et vilkårlig algebraisk polynom av grad m, resten blir null. De mest kjente kvadraturformlene oppnås hvis nodene x velges til å være like fordelt på integrasjonssegmentet. Slike formler kalles Newton Cotes-formler. Formler av denne typen inkluderer de velkjente formlene for rektangler, trapeser, paraboler (Simpson) og noen andre. I rektangelmetoden Fig. 6. Vi tilnærmer funksjonen f(x) med et polynom på nullgrad f (x) f (x) f. 0 0 (6.) 4

43 For å beregne integralet på segmentet [a, b], deler vi det inn i små segmenter med lengde h, og integralet i summen av integraler i enkeltseksjoner. Så for ett segment h / h / f (x) dx hf, hvor f 0 er verdien av funksjonen i midten av segmentet. Dermed blir arealet til en buet trapes tilnærmet med et rektangel, og funksjonen beregnes ved midten av segmentet. 0 Fig. 6.. Metode for rektangler For det th segmentet x 1 x f (x) dx hf, 43 1/ hvor f +1/ = f(a + (+ 1/)h). Så, til slutt, verdien av integralet på [a, b] b a f (x) dx h(f f... f) r(x). 1/ 3/ n 1/ Hvis nodene x er faste (jevnt plassert på ), så er vektene q også faste i kvadraturformelen (6.). Deretter, for å konstruere et interpolasjonspolynom som tilnærmer funksjonen f(x) på , er alt som gjenstår er (n + 1) uavhengig tilstand, dvs. kjente verdier av funksjonen ved interpolasjonsnodene f(x). Ved å bruke disse betingelsene er det altså mulig å konstruere et polynom som ikke er høyere enn den n-te graden. Hvis vi ikke fikser posisjonen til nodene, og derfor q, så har vi til vår disposisjon (n +)

44 forhold som du kan konstruere et polynom av (n + 1) grad med. Dermed oppsto problemet med å finne, blant alle kvadraturformler med (n + 1) noder, en formel med et slikt arrangement av noder x på og med slike vekter q som det er nøyaktig for polynomer med maksimal grad. Det er intuitivt klart at feilen til metoden er mindre, jo høyere rekkefølgen på polynomet er, hvis numeriske integrasjon gir et nøyaktig resultat. La oss erstatte integrasjonsvariabelen i det opprinnelige integralet (6.1) x a (b a) t (0 t 1) og transformere det til formen I = (b a) J, hvor 1 J f (t) dt, f (t) f (x(t)). 0 Dermed reduserer vi integralet på ethvert segment til et fast intervall, hvor vi vil se etter den optimale plasseringen av noder. Dette problemet har blitt løst, og katalogene for dette intervallet viser plasseringen av nodene t og vektene A, hvor =1,m. For å beregne integralet bruker vi kvadraturformelen på følgende form: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m Resten av Gauss-formelen med m noder har formen R M f t M (m ) m m maks (), m 0 t 1 (m!) (m 1) (m)! 4 3. Spesielt M 3 = , M 5 = , M 7 = , M 9 = , M 10 = etc. Vektene A og nodene t til de Gaussiske kvadraturformlene har følgende verdier: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 m =5 t 1 = 1 t 5 = , t = 1 t 4 = , A 1 = A 5 = , A =A 4 = , t 3 = , A 3 = m=7 t 1 = 1 t 7 = , t = 1 t 6 = , t 3 = 1 t 5 = , t 4 = , A 1 = A 7 = , A = A 6 = , A 3 = A 5 = , A 4 = m = 9 t 1 = 1 t 9 = , t = 1 t 8 = , t 3 = 1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , A 1 = A 9 = , A = A 8 = , A 3 = A 7 = , A 4 = A 6 = m=11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , A 1 = A 11 = , A = A 10 = , A 3 = A 9 = , A 4 = A 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = OPPGAVEALTERNATIVER For å beregne integralet vi bruker metoden for rektangler med antall noder fra m til 100 og Gaussisk kvadraturformel cm=5 med 11 noder. De innledende dataene inkluderer: funksjon f(x); grenser for integrering a, b; antall noder m, vekter A og noder t av den Gaussiske kvadraturformelen. Beregn integralet til formtabellen b a E (ξ) ξ 0 d i henhold til dataene gitt i 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 / 3sn(ξ ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0,5ξ 0,15ξ) 0 π 1 ξ arctan ξ sh ξ ξ ξ ξ ξ ξ cosh 0 ξ cosh ξ 6.1 PROGRAMMERING For å lagre vekter A, noder t av Gauss-kvadraturformelen og funksjonsverdier i sentrum av utvalgte segmenter f +1/ i rektangelmetoden, bør arrays med passende lengde beskrives. Beregninger i Gauss-metoden kan forenkles , med tanke på symmetrien til vektene og nodene i forhold til midten av segmentet t = 0,5 Verdiene A, t, (= 1,...,11) må først legges inn i matrisene A() og T() ved å bruke tilordningsoperatorer eller den første datainndataoperatoren.46

47 1 Begynnelse Startdata 7 til =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 til =1,n 9 til 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 til 11 Resultater 6 A,t 1 End Fig Blokkdiagram av integrasjonsprogrammet 47

48 Blokkskjemaet til programmet for beregning av integralet ved rektangelmetoden og Gaussmetoden er vist i fig. Rektangelmetoden implementeres i syklusen, og Gaussmetoden implementeres i syklusen. Korrektheten av integrasjonen kan kontrolleres ved å beregne som en test integralet 1 n I (n 1) x dx (n m 1), som den nøyaktige verdien 1 skal oppnås for, eller I 1 4 (1 1 x) dx, verdien som er lik π. 0 0 RAPPORTENS INNHOLD Rapporten må inneholde: integrandfunksjonen og grensene for integrering av et bestemt alternativ; antall noder i rektangel og gaussiske metoder; programtekst; graf av integrandfunksjonen; verdien av integralet oppnådd ved to metoder. KONTROLLSPØRSMÅL 1. Hvordan oppstår problemet med numerisk integrasjon? Hvordan er interpolasjonskvadraturformler konstruert, hva er feilen deres (restleddet)? 3. Hvordan er gaussiske kvadraturformler konstruert, hva er feilen deres (restleddet)? 4. Hvordan er sammensatte (store) kvadraturformler (rektangler, trapeser, paraboler) konstruert?Hva er feilen deres (restleddet)? 5. Sammenlign nøyaktigheten til rektangelmetoden og Gaussmetoden med samme antall noder. 48

49 Oppgave 7 BEREGNING AV FLERE INTEGRALER VED MONTE CARLO-METODEN Hensikten med arbeidet er å bli kjent med numeriske Monte Carlo-metoder, beregne multippelintegralet til en gitt funksjon i en konveks region ved hjelp av Monte Carlo-metoden. PROBLEMFORMULERING La oss vurdere problemet med å beregne det n-dimensjonale integralet I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 i området V med grensen Г, innebygd i et n-dimensjonalt parallellepiped med volum Fig. Integrasjonsområde ved to variabler W = i henhold til formelen t 1 T T(x1, x, x3, t) dx1dx dx3dt , V (t t) s 1 t1 (Vs) hvor Vs 4 π 3 3 R - volum av ballen. 51

52 Som T(x,t) ta T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t), der ρ(x) er en av funksjonene til forrige oppgave, g 1 =0 .l 0,9 (=1,3). 3. Beregn volumet V til et legeme avgrenset av en seksdimensjonal ellipsoide 6 x Г () 1 0 (c 0,1). c 1 Regn ut ved å bruke Monte Carlo-metoden ved å bruke formelen V dx dx dx dx dx dx dx. (V) (V) PROGRAMMERING Vi vil beregne integralet for flere verdier av N, spesifisert av en egen matrise N (L) i hovedprogrammet. Følgelig bør programmet organisere utdataene når antallet tilfeldige tall når neste verdi N fra matrisen. Dette vil gjøre det mulig å observere endringen i resultater og konvergensen av integrasjon med økende N. Blokkdiagrammet til programmet er vist i fig. 7.. Grunnlaget for programmet er en syklus (blokk 3-10) i l fra l til L, hvor L er et gitt antall alternativer med et annet antall tilfeldige tall N l, som det produseres resultater for. I blokk 4 får man tilgang til tilfeldig tallsensor for å beregne ξ. I figuren er gjeldende antall tilfeldige punkter, M antall tilfeldige punkter i regionen V, I и V estimater av integralet I og volumet til regionen V. Som en test er det nødvendig å beregne volumet av ellipsoiden i et tredimensjonalt område i samsvar med punkt 3 i oppgaven. Den analytiske løsningen V 4 π c er kjent. 1cc 3 3 5

1. Numeriske metoder for å løse ligninger 1. Systemer av lineære ligninger. 1.1. Direkte metoder. 1.2. Iterative metoder. 2. Ikke-lineære ligninger. 2.1. Ligninger med en ukjent. 2.2. Ligningssystemer. 1.

Forelesning 5. Approksimasjon av funksjoner ved bruk av minste kvadraters metode. I ingeniørvirksomhet er det ofte behov for å beskrive i form av en funksjonell sammenheng forholdet mellom mengder spesifisert i en tabell

LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER OG SYSTEMER AV IKKELINEÆRE LIGNINGER.. LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER av form Numerisk løsning av ikke-lineære algebraiske eller transcendentale likninger. er finne verdier

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET TIL UKRAINA NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY "KHARKIV POLYTECHNIC INSTITUTE" Retningslinjer for laboratoriearbeidet "Beregning av røttene til transcendentale ligninger"

Numeriske metoder Emne 2 Interpolering V I Velikodny 2011 2012 studieår 1 Konseptet med interpolasjon Interpolasjon er en metode for omtrentlig eller nøyaktig å finne en hvilken som helst verdi fra kjente individuelle verdier

TILNÆRMING AV FUNKSJONER NUMERISK DIFFERENSIERING OG INTEGRASJON Denne delen tar for seg problemene med å approksimere funksjoner ved å bruke Lagrange- og Newton-polynomer ved bruk av spline-interpolering

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonsstaten utdanningsinstitusjon høyere yrkesopplæring Tomsk State University kontrollsystemer og radioelektronikk TUSUR-avdelingen

Laboratoriearbeid Metoder for å minimere funksjoner til én variabel ved hjelp av informasjon om deriverte av objektivfunksjonen Problemstilling: Det kreves å finne det ubetingede minimum av en funksjon av én variabel (

FEDERAL EDUCATION AGENCY Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Penza State University" Kvadratur- og kubatureformler Metodologisk

Forelesning 9 3. NUMERISKE METODER FOR Å LØSE IKKE-LINEÆRE LIGNINGER PROBLEMFORMULERING La en ikke-lineær ligning (0, (3.1) gis hvor (en funksjon som er definert og kontinuerlig på et visst intervall. I noen tilfeller

Emne 4. NUMERISK LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER -1- Emne 4. NUMERISK LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER 4.0. Forklaring av problemet Problemet med å finne røttene til en ikke-lineær ligning av formen y=f() støter ofte på i vitenskapelig

NUMERISKE METODER I GRUVEPRODUKSJON Matematiske modeller og numeriske metoder Matematiske modeller inneholder sammenhenger satt sammen på grunnlag av en teoretisk analyse av prosessene som studeres eller oppnås

LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER OG SYSTEMER AV IKKELINEÆRE LIGNINGER LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER av formen Numerisk løsning av ikke-lineære algebraiske eller transcendentale) ligninger f =) består i å finne verdiene,

1 Lagrangepolynom La verdiene til den ukjente funksjonen (x i = 01 x [ a b] i i i) fås fra eksperiment. Problemet oppstår med omtrentlig rekonstruksjon av den ukjente funksjonen (x i vilkårlig poeng x For

Oppgaver for praktiske timer i faget "Computational Mathematics" Praktisk leksjon om temaet Teori om feil Kontrollspørsmål Definer et beregningseksperiment Tegn et diagram

Statlig budsjettutdanningsinstitusjon for videregående yrkesutdanning "Vladimir Aviation Mechanical College" METODOLOGISKE INSTRUKSJONER for å utføre laboratoriearbeid i disiplinen NUMERISK

FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" Institutt for informatikk og metodikk

Alternativ 1. 1. Felt med komplekse tall. Dens design. Algebraisk og trigonometrisk form for å skrive komplekse tall. Moivres formel og formelen for å trekke ut de n-te røttene til et komplekst tall.

Numerisk integrasjon forstås som et sett med numeriske metoder for å finne verdien av et bestemt integral. Når du løser tekniske problemer, er det noen ganger nødvendig å beregne gjennomsnittsverdien

2 Numeriske metoder for å løse likninger. 2.1 Klassifisering av ligninger, deres systemer og løsningsmetoder. Ligninger og ligningssystemer er delt inn i: 1) algebraisk: en ligning kalles algebraisk hvis over

VANLIGE DIFFERENSIALLIGNINGER AV FØRSTE ORDEN Grunnleggende begreper En differensialligning er en likning der en ukjent funksjon opptrer under det deriverte eller differensialtegnet.

Kunnskapsdepartementet Den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY OPPEKT ETTER R.

Stilling av problemet, grunnleggende begreper Finite forskjeller og deres egenskaper Interpolasjonspolynomer Estimering av resten av leddet av interpolasjonspolynomer Problemstilling, grunnleggende begreper La, dvs.

Forelesning 3. 3. Newtons metode (tangenter. La oss sette en innledende tilnærming [,b] og linearisere funksjonen f(i nabolaget ved å bruke et segment av Taylor-serien f(= f(+ f "((-. (5 I stedet for ligningen) (vi løser

Kapittel Beregning av bestemte integraler! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx. Generelt løses problemet ved å tilnærme en funksjon med en annen funksjon, som integralet beregnes analytisk for. I dette tilfellet

Differanseordninger for ikke-lineære problemer. Kvasilineær transportligning. Til numerisk løsning Ikke-lineære problemer i ulike situasjoner bruker både lineære og ikke-lineære skjemaer. Bærekraft av relevante

Evalueringsverktøy for løpende overvåking av fremdriften, mellomliggende sertifisering basert på resultatene av å mestre faget og pedagogisk og metodisk støtte selvstendig arbeid elever 1 Regneoppgaver Alternativer

1 1.57.5-5-.5 LØSE LIGNINGER MED EN VARIABEL Oppgave: Finn en løsning på ligningen med en nøyaktighet på 0,0001 ved å bruke følgende metoder: dikotomier; proporsjonale deler (akkorder); tangenter (Newton); modifisert

Forelesning 2. Løse ikke-lineære ligninger. Problemstilling: Finn instrumentfeilkoeffisienten σ når du utfører geodetiske målinger fra ligningen: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Verdier δ = 0,186, υ = 4,18,

Grunnleggende begreper i teorien om forskjellsordninger. Eksempler på å konstruere differanseskjemaer for innledende grenseverdiproblemer. Et stort antall problemer innen fysikk og teknologi fører til grenseverdi- eller innledende grenseverdiproblemer for lineær

Matematisk modellering av termiske krafttekniske objekter Forelesning 1 Ikke-lineære algebraiske og transcendentale ligninger. Termer og begreper 2 Modellering er studiet av et objekt eller system av objekter ved

SYSTEMER AV LINEÆRE LIGNINGER Etter å ha studert dette emnet, vil du kunne: utføre numeriske løsninger på lineære algebraproblemer. Tallrike praktiske problemer er redusert til å løse systemer med lineære ligninger, løse

Integral. 8 Metoder for numerisk integrasjon. Dette kapittelet vil diskutere metoder for å beregne visse metoder.Numeriske integreringsmetoder er mye brukt for å automatisere løsningen av vitenskapelige

FORelesning 11 MULTIDIMENSJONELL INTERPOLASJONSOPTIMERINGSPROBLEM Ved siste forelesning ble det vurdert metoder for å løse ikke-lineære ligninger Topunktsmetoder som bruker rotlokalisering ble vurdert.

DEFINITIV INTEGRAL. Integralsummer og bestemt integral La en funksjon y = f () gis, definert på intervallet [, b], hvor< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET TIL RF FEDERAL STATE BUDGET EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION “NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY. R.E.

Kapittel 4. NUMERISKE METODER FOR LØSE VANLIGE DIFFERENSIALLIGNINGER OG DERES SYSTEMER Dette kapittelet diskuterer de grunnleggende numeriske metodene for å løse Cauchy-problemet for vanlige differensiallikninger

DEN RUSSISKE FØDERASJONS UDDANNINGSDEPARTEMENT Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonell utdanning "Izhevsk State teknisk universitet"GODKJENT av rektor I.V. Abramov

UDDANNELSESDEPARTEMENTET I DEN RUSSISKE FØDERASJON ST. PETERSBURG STATE TECHNOLOGIC INSTITUTE (TECHNICAL UNIVERSITY) Institutt for anvendt matematikk M.V. Lukina METODER FOR OMTRENTLIG BEREGNING

FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGH EDUCATION "NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY oppkalt etter. R.E. ALEXEEV INSTITUTT FOR RADIOELEKTRONIKK OG INFORMASJON

FORelesning 3 Metoder for behandling av eksperimentelle data Interpolering I tekniske beregninger er det ofte nødvendig å etablere funksjonen f(x) for alle verdier av x-segmentet hvis verdiene er kjent i noen

Pascal 13. Løse ikke-lineære ligninger. Ikke-lineære ligninger kan deles inn i 2 klasser - algebraiske og transcendentale. Algebraiske ligninger navnelikninger som kun inneholder algebraisk

Ritz-metoden Det finnes to hovedtyper av metoder for å løse variasjonsproblemer. Den første typen inkluderer metoder som reduserer det opprinnelige problemet til å løse differensialligninger. Disse metodene er svært godt utviklet

1. Mål og mål for faget. Formålet med disiplinen: studie av metoder for å konstruere numeriske algoritmer og forskning av numeriske metoder for å løse matematiske problemer som simulerer ulike fysiske prosesser.

Operatorsyntaks: GENERAL LOOP OPERATOR DO [( WHILE UNTIL ) ] ... LOOP [( WHILE UNTIL ) ] hvor nøkkelordene er oversatt som følger

LANDBRUKSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FEDERASJON Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "KUBAN STATE AGRICULTURAL UNIVERSITY"

Kapittel Potensrekke a a a En rekke av formen a a a a a () kalles en potensrekke, der, a, er konstanter kalt koeffisienter av rekken. Noen ganger blir de betraktet kraftserie mer generelt syn: a a(a) a(a) a(a) (), hvor

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJONEN Federal State Budgetary Education Institute of High Professional Education "Kurgan State University" Department

A.P.Popov-metoder optimale løsninger En håndbok for studenter av økonomiske spesialiteter ved universiteter i Rostov-na-Don 01 1 Introduksjon B anvendt matematikk det er flere områder som primært er rettet mot

46 Praktisk leksjon 6 Numerisk integrasjon Arbeidets varighet - 2 timer Hensikt med arbeidet: å konsolidere kunnskap om numerisk integrasjon ved bruk av generaliserte formler for gjennomsnittlige rektangler, trapeser,

UDC 004.9 BBK 32.97 T47 Elektronisk analog til den trykte publikasjonen: Datavitenskap og matematikk: på 3 timer Del 2: Løsning av ligninger / V. I. Tishin. M.: BINOM. Kunnskapslaboratoriet, 2013. 112 s. : jeg vil. Tishin V.I. T47

Forelesning 4 8 NUMERISKE METODER FOR Å LØSE SYSTEMER AV ORDINÆRE DIFFERENSIALLIGNINGER PROBLEMSTILLING Problemet med å løse systemer med vanlige differensialligninger av første orden som forbinder

Numeriske metoder for å løse ordinære differensialligninger.. Løsning av Cauchy-problemet... Cauchy-problem for én ordinær differensialligning. Vi vurderer Cauchy-problemet for én differensial

Kapittel 1 Numeriske metoder for beregning av et bestemt integral Formålet med arbeidet er å studere numeriske metoder for integrasjon og deres praktiske anvendelse for omtrentlig beregning av enkeltintegraler. Varighet

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER for å utføre laboratoriearbeid i faget "Informatikk" semester 3 NOVOSIBIRSK 008 Vitenskaps- og utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen Novosibirsk Teknologisk institutt Moskva-staten

Metoder.doc Metoder for omtrentlige beregninger Side 1 av 6 Generell tilstand oppgaver: Bruk to gitte numeriske metoder, beregne den omtrentlige verdien av rot 1 av en funksjonell ligning på formen f()=0 for N verdier

Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Saratov National Research State University oppkalt etter N.G. Chernyshevsky" A.I. Zinina V.I. Kopnina Numeriske metoder for lineær og ikke-lineær algebra Opplæringen Saratov

Institutt for datasystemer og teknologier (navn på avdelingen) GODKJENT på avdelingsmøte 4. mars 2016. Referat 6 Avdelingsleder Kondratyev V.V.(signatur) Fond for pedagogiske vurderingsmidler

Avskrift

1 Alekseeva O.A. NUMERISKE METODER Verksted Chelyabinsk

2 UDC 59.6 BBK.9 A-47 Alekseeva O.A. Numeriske metoder: workshop. Chelyabinsk: NOUVPO RBIU,. 77 s. De vanligste metodene for numerisk analyse vurderes: den enkle iterasjonsmetoden og Seidel-metoden for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger, numeriske metoder for å finne røttene til transcendentale ligninger, Lagrange-formelen og minste kvadraters metode, som er mye brukt i praksis. I hvert laboratoriearbeid blir det utledet arbeidsformler som brukes for deres påfølgende implementering på en datamaskin. De vurderte algoritmene er illustrert med eksempler. Hvert laboratoriearbeid inneholder ca 8 varianter av individuelle oppgaver og prøveeksempler. Workshopen er ment for organisering av praktiske timer og selvstendig arbeid i faget "Numerical Methods" for studenter innen områdene "Anvendt informatikk" og "Bedriftsinformatikk". Anmeldere: Turlakova S.U. kandidat i fysikk og matematikk Sciences, førsteamanuensis ved Institutt for anvendt matematikk ved Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "SUSU" (National Research University UDC 59.6 BBK.9 Alekseeva O.A., NOUVPO RBIU,

3 Innhold Laboratoriearbeid. Iterative metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger. Problemstilling Klassifisering av metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger Enkel iterasjonsmetode (Jacobi-metoden Betingelser for konvergens og elementære transformasjoner matriser Seidel-metoden (Gauss-Seidel-metoden, suksessiv substitusjonsmetode Testoppgaver... 4 Testspørsmål... Laboratoriearbeid. Metoder for å finne løsninger på ikke-lineære ligninger med en ukjent.... Oppgavestilling.... Metoder for å løse ikke-lineære ligninger.... Testoppgaver... 7 Testspørsmål... 9 Laboratoriearbeid. Lagrange-interpolasjonsformel Problemstilling Spesielle tilfeller av Lagrange-polynomet Feilestimering Testoppgaver Testspørsmål... 5 Laboratoriearbeid 4. Minste kvadraters metode Beskrivelse av metoden Lineær funksjon Kvadratisk funksjon Potensfunksjon Logaritmisk funksjon Testoppgaver Testspørsmål... 7 Bibliografisk liste Vedlegg... 75

4 Laboratoriearbeid. Iterative metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger Hensikten med arbeidet: å løse et system av lineære algebraiske ligninger ved bruk av den enkle iterasjonsmetoden og Seidelmetoden med en gitt nøyaktighet. Arbeidsrekkefølgen. Studer teoretisk materiale.. Løs den gitte versjonen av testoppgaven (se avsnitt 6.. Skriv en rapport. 4. Svar på testspørsmål. 5. Forsvar laboratoriearbeid.. Problemstilling La et system av lineære ligninger med ukjente gis: a a... a b, a a... a b, a a... a b. La oss betegne med A matrisen av koeffisientene til systemet (: a a... a a a... a A, a a... en kolonne med frie termer i systemet ( gjennom vektor b: b b b... b (4

5 Løsning av et ligningssystem (vi betegner ønsket vektor gjennom kolonnen med ukjente:.... Hvis matrisen A er ikke-singular, så har systemet (har en unik løsning (se vedlegg. Et sett med tall,. .., (dvs. en vektor som gjør systemet (til identitet kalles løsningen til dette systemet, og tallene i seg selv er dets røtter. I virkelige forhold er beregninger på en datamaskin nesten alltid ledsaget av feil. De er forårsaket av feil i kildedataene, avrundingsfeil, feil ved konvertering av tall fra desimaltallsystemet til binært ved registrering av informasjon i datamaskinens minne og feil knyttet til begrensning av bitnettet Metoder for å løse systemer med lineære ligninger er delt inn i to grupper: eksakte og iterative metoder.. Klassifisering av metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger.. Eksakte metoder (direkte metoder Disse metodene er endelige algoritmer for å beregne røttene til systemet. De gir løsning etter å ha utført et kjent antall operasjoner, f.eks. eksempel Cramers regel, Gauss metode, kvadratrøtter metode, etc. Disse metodene er relativt enkle og de mest universelle, dvs. egnet for å løse en bred klasse av lineære systemer. Nøyaktige metoder brukes til å løse systemer med lineære ligninger der antallet ukjente, matrisen er tett fylt, og determinanten ikke er nær null. På grunn av uunngåelig avrunding er resultatene av selv eksakte metoder omtrentlige, og estimeringen av feilene til røttene i generell sak vanskelig. 5

6.. Iterative metoder De lar deg skaffe systemets røtter med en gitt nøyaktighet gjennom konvergerende prosesser, for eksempel den enkle iterasjonsmetoden, Seidel-metoden, avspenningsmetoden osv. I disse metodene er det nødvendig å spesifisere noen omtrentlig løsning, den første tilnærmingen. Etter dette utfører algoritmen en syklus med beregninger, kalt iterasjon. Som et resultat av iterasjon blir en ny tilnærming funnet. Iterasjoner utføres til en løsning er oppnådd med nødvendig nøyaktighet. Algoritmer for å løse lineære systemer ved bruk av iterative metoder er vanligvis mer komplekse sammenlignet med direkte metoder. Mengden av beregninger kan ikke bestemmes nøyaktig på forhånd. Effektiv bruk av iterative metoder avhenger betydelig av det vellykkede valget av den innledende tilnærmingen og hastigheten på prosessens konvergens. Iterative metoder brukes til å løse stordimensjonale systemer (ved >, når bruk av direkte metoder er umulig på grunn av begrensninger i datamaskinens RAM. Store systemer ligninger som oppstår i applikasjoner er som regel sparsomme, så bruken av eksakte metoder er ikke effektiv, siden uansett om et element er lik null eller ikke, må det lagres i minnet. I iterative metoder forblir matrisen sparsom. Disse metodene brukes også til å foredle røttene som er oppnådd presise metoder.. Enkel iterasjonsmetode (Jacobi-metoden) La oss se på eksemplet med et system med tre lineære algebraiske ligninger: a a a b, a a a b, (a a a b, som kort kan skrives som matriseligning: Ah=b. I det opprinnelige systemet velger vi diagonalkoeffisientene a (hvor =,. 6

7 La oss anta at diagonalkoeffisientene tilfredsstiller betingelsene: a a a a a a,. a a a Hvis minst en av disse betingelsene ikke er oppfylt, bør elementære transformasjoner av matrisen utføres (se avsnitt 4. La oss løse den første likningen av systemet (med hensyn til x, den andre med hensyn til x, tredje med hensyn til x. (a (a (a /(a / (a /(a (a (a (a 7 /(a /(a /(a b b b)) Som et resultat får vi et ekvivalent system:, hvor b / a, a / a for j (, j=,. j j /(a /( a /(a Vi kan skrive systemet (i matriseform: Vi vil løse systemet (ved enkel iterasjonsmetode. Som null) tilnærming (vi tar elementene i kolonnen med frie termer: (=, dvs. (=, (=, (=. Videre finner vi den første tilnærmingen x (, og erstatter de funnet verdiene til nulltilnærmingen) inn i systemet) (: (((, (((, (((, erstatter verdiene til tilnærmingen x (i høyre side system (, vi får: (((, (((, andre tilnærming. (((,. (

8 8 Fortsetter vi denne prosessen videre, får vi en sekvens x (, (, (, (k,... tilnærminger beregnet ved hjelp av arbeidsformler:., (((((, (((k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ) ) systemet er ligninger: , (, ((((((, ((((k k k k k k k k k k k k k k) (4 Hvis rekkefølgen av tilnærminger har en grense):, (lm k k så er denne grensen en løsning på systemet. Altså med en økning) i antall iterasjoner øker nøyaktigheten til de resulterende røttene, men kan ikke produseres stor mengde iterasjoner, men for å sette en viss nøyaktighet av løsningen, når den iterative prosessen avsluttes. Betingelsen for å avslutte den iterative prosessen kan skrives på formen:, ((k k hvor =,. Eksempel. Ved hjelp av den enkle iterasjonsmetoden løser du systemet med en nøyaktighet = = -. 49.7.,5.9 8.76, 9.8.5, 7, 46,5,5,7,9, Løsning.. La oss bringe systemet til skjemaet (. For å gjøre dette er det nødvendig å la alle de diagonale elementene i systemet stå på venstre side av ligningen, og flytte de resterende elementene fra motsatt tegn til høyre side. La oss dele hver av systemligningene med den tilsvarende koeffisienten på venstre side av ligningen:

9 4 /,9(,7, /,(7,46, /9,8(8,76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,.. Som startvektoren (la oss ta elementene i kolonnen med frie termer, avrund verdiene deres til to desimaler:,4 (,.,45,55. Vi vil utføre beregninger til betingelsen (k (k, hvor = - , =,4) . Vi beregner sekvensielt: med k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/ 9,8) (8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6. Sammenligner de oppnådde ( med (, ser vi at konvergensbetingelsene ikke er oppfylt. Når k = : ((((4 6.94 /.9.86.45 /.8.99 /9.8.7, 45.88 /.477. Sammenligner de oppnådde (med (, ser vi at konvergensbetingelsene ikke er oppfylt At k = 9)

10 ((((4 6.6744 /.9.7978.548 /.9977.7 /9.8.975, 44.88575 /.98. Sammenligner de oppnådde (med (vi ser at konvergensbetingelsene ikke er oppfylt. For k = 4 : (4 6.795 /) .9.84, (4.6 /.5, (4.77 /9.8.5, (4 4 44.95 /.4. For sammenligning (4 med (, la oss finne modulene for forskjellene i verdier) (4 (: (4 (4)) (4 4 ((((4,6,8, Siden alle funnverdiene til modulene er større enn det gitte tallet = -, fortsetter vi iterasjoner. Vi får for k = 5: (5 (5 (5) 5 4 6.788 /.9.7999.98 /.9999.758 /9.8.999, 44.9774 /.999.

11 Finn modulene for forskjellene i verdier: (5 (4 (5 (4.5, (5 (4.6, (5 (4.6, (5 (4.4, 4 4 4)))))) De er mindre enn det gitte tallet, så vi tar som en løsning : =,7999, =,9999, =,999, 4 =, Betingelser for konvergens og elementære transformasjoner av matrisen Teorem: Hvis for det reduserte systemet (minst en av betingelsene er oppfylt: j, eller j j, j da konvergerer iterasjonsprosessen til den unike løsningen til dette systemet, uavhengig av valg av initial tilnærming Konsekvens: For et system j, (=,..., j b j, konvergerer iterasjonsmetoden hvis følgende ulikheter tilfredsstilles: a j a j , (=,..., j, dvs. hvis modulenes diagonalkoeffisienter for hver likning i systemet er større enn summen av modulene til alle andre koeffisienter (ikke medregnet de frie leddene. Elementære transformasjoner av en matrise er følgende transformasjoner: transponering, dvs. erstatte hver rad med en kolonne med samme nummer; permutering av to rader eller to kolonner; multiplikasjon av alle elementer i en rad eller kolonne med et hvilket som helst tall c unntatt null; legge til alle elementene i en rad eller kolonne elementer i en parallell serie, multiplisert med samme tall.

12 5. Seidel-metoden (Gauss-Seidel-metoden, metode for suksessive substitusjoner Seidel-metoden er en modifikasjon av den enkle iterasjonsmetoden. Hovedideen er at når man beregner (k+th tilnærming av det ukjente, det tidligere beregnede (k+) tilnærminger av de ukjente, x,..., x -l [, 5]. I denne metoden, som i den enkle iterasjonsmetoden, er det nødvendig å redusere systemet til formen (slik at diagonalkoeffisientene er maksimale i absolutt verdi, og kontroller konvergensbetingelsene. Hvis konvergensbetingelsene ikke er oppfylt, må du gjøre elementære transformasjoner (se avsnitt 4. La et system med tre lineære ligninger gis. La oss redusere det til formen (. La oss vilkårlig velg de første tilnærmingene til røttene: x (, x (, x (), og prøv å sikre at de til en viss grad svarer til de ukjente ukjente. Kolonnen med frie termer kan tas som nulltilnærmingen, dvs. x ( = (dvs. (=, (=, (=. La oss finne den første tilnærmingen x (ved å bruke formlene): (((, ((( , (((Du bør være oppmerksom på særegenheten ved Seidel-metoden, som er at verdi x (l oppnådd i den første ligningen brukes umiddelbart i den andre ligningen, og verdiene x ((, x (i den tredje ligningen, etc. Det vil si at alle funnet verdier av x (erstattes inn i ligningene for å finne x +. Arbeidsformler for Seidel-metoden for et system med tre ligninger har følgende form: (k (k (k, (k (k (k)) k, (k (k (k

13 (k (k La oss skrive arbeidsformlene for ligningssystemet i generell form: (k (k (k (k..., (k (k (k...), (k (k (k)) (k.. .,.Merk at konvergensteoremet for den enkle iterasjonsmetoden også er gyldig for Seidel-metoden. La oss sette en viss nøyaktighet av løsningen, når den iterative prosessen slutter, dvs. løsningen fortsetter til betingelsen for alle ligninger er oppfylt:, hvor =, Eksempel: Ved hjelp av Seidel-metoden løser du systemet med nøyaktighet = - :,9,9 4,7,5,5 4 7,46,5 9,8, 4 8, 76,9,5, 4 49,7. Løsning La oss redusere systemet til formen: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8, 76,5, 4, 4 /,(49,7 ,9,5,.. Som startvektoren x (la oss ta elementene i kolonnen med frie termer, avrunde verdiene deres til to desimaler:,4 ( ,.,45,55. La oss iterere ved å bruke Seidel-metoden. For k = (/,9 (,7,45,9,55,75. (Når vi beregner x, bruker vi den allerede oppnådde verdien (x =,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((Når vi beregner x, bruker vi verdiene til x og x (: (/9,8(8,76,75) ,5,9674,55,977 . Til slutt, ved å bruke verdiene x (, x (, x (, får vi: (4 /,(49,7,9,75,5,9674,977,47). Vi utfører beregninger på lignende måte for k= og k=. For k = : (6.766 /.9.89, (.9 /.9996, (.758 /9.8.996, (4 44.998 /.4. For k= : (6.7) /.9.86, (.58 / , (, /9,8,9999, (4 44.9999 /,4. La oss finne modulene for forskjellene i verdier) (k (k for k = : ((, ( (,4, ((,4, ((, 4 4 De er mindre enn et gitt tall, så vi tar som løsning: =,86, =, =,9999, 4 =,4 6. Testoppgaver Løs gitt system lineære algebraiske ligninger ved bruk av enkel iterasjon og Seidel-metoder. Løsningsnøyaktighet =,.,7, 4, 5,6, 4, 5, 5,8 7,. 4, 4,5 4,8 4,9,.,8, 4, 5,7,8,7. 7,8 5, 6, 5,8. 4

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 testspørsmål. Hva kalles løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger? Hvilke metoder finnes for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger? I hvilke tilfeller er det tilrådelig å bruke iterative metoder? 4. Er Cramers metode en eksakt eller omtrentlig metode? 5. Skriv ned arbeidsformlene til iterasjonsmetoden. 6. Gi eksempler på iterative metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger. 7. Hva er forskjellen mellom Seidel-metoden og den enkle iterasjonsmetoden? 8. Hvordan klassifiseres metoder for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger? 9. Hva er den beste metoden for å løse et ligningssystem av lav orden, for eksempel tredje? Hva bestemmer konvergenshastigheten til iterasjonsmetoden? Under hvilke betingelser vil den enkle iterasjonsmetoden konvergere? Skriv ned arbeidsformlene til Seidel-metoden for et system av x lineære algebraiske ligninger Hva er hovedforskjellen mellom eksakte og omtrentlige metoder for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger?

21 Laboratoriearbeid. Metoder for å finne løsninger på ikke-lineære ligninger med ett ukjent mål: løse en ikke-lineær ligning med en gitt nøyaktighet. Arbeidsrekkefølgen. Gjør deg kjent med beskrivelsen av laboratoriearbeidet.. Løs det gitte alternativet (se avsnitt 4: en separasjon av roten, b klargjøring av verdien av roten.. Skriv en rapport. 4. Svar på testspørsmål. 5. Forsvar laboratoriearbeid.. Problemstilling Oppgaven med å finne røttene til en ikke-lineær ligning funnet i ulike områder Vitenskapelig forskning og er relevant i dag. Det er ofte et elementært trinn i å løse vitenskapelige og tekniske problemer. Analytiske metoder for å finne røttene til ikke-lineære ligninger eksisterer bare for individuelle ligninger, for eksempel a b c. Som regel brukes omtrentlige metoder for å finne røtter. Ikke-lineære ligninger kan være av to typer: algebraiske og transcendentale. Ligninger av formen a b c kalles algebraiske, ligninger av formen s(transcendental, siden de inneholder transcendentale funksjoner. Disse omfatter bl.a. trigonometriske funksjoner x s(, cos(, tan(, ctg(, eksponentiell funksjon e, logaritmiske funksjoner lg(, l(. I det generelle tilfellet har ikke-lineære ligninger med én ukjent formen F (. (Roten av ligningen er et hvilket som helst reelt eller imaginært tall som blir (til identiteten.

22 Røttene finnes i to stadier: den første er separasjonen av røttene, dvs. finne et segment som inneholder én rot av ligningen; den andre er å klargjøre verdien av røttene på de funnet segmentene med en gitt nøyaktighet. Hvis funksjonen F (er kontinuerlig og tar på seg endene av segmentet forskjellige tegn, dvs. F (a* F(b og beholder tegnet til den første deriverte på dette segmentet, så inne i dette segmentet er det én rot av ligningen. Separasjonen av røttene kan gjøres forskjellige måter.. Kompiler en tabell over verdiene til funksjonen y F(på det valgte segmentet av endringen i argumentet. For å skille roten er det nødvendig at funksjonen har forskjellige fortegn på slutten av det valgte segmentet og er monotonisk. Som et tegn på monotonisiteten til en funksjon, kan du bruke betingelsen for konstant fortegn for den første deriverte. Fra en gitt funksjon F ( la oss finne F (og beregne verdiene ved enden av segmentet hvis F ( a* F(b, funksjonen F (er monoton..) Bygg en graf av funksjonen y F(på endringssegmentet; skjæringspunktet mellom grafen og o-aksen vil gi oss roten til ligningen. For ytterligere klargjøring av roten tar vi rotens naboskap og betegner dem .. Ligningen F (erstattes av ekvivalenten F (F (), to grafer y F (og y F () bygges. Abscissen til skjæringspunktet til disse grafene, projisert på aksen, vil gi oss et segment der roten av ligningen ligger F (.. Metoder for å løse ikke-lineære ligninger.. Halvdelingsmetode (halveringsmetode) Oppgave: Finn en løsning på ikke-lineær ligning F (med nøyaktighet. Metoden er som følger: som et resultat av å separere roten, finner man et segment der den ønskede verdien av roten er plassert. Som en innledende tilnærming til roten tar vi verdien c o =(b+a/. Deretter undersøker vi verdiene til F (ved enden av segmentene og . Den ved enden av hvilken F (tar verdier) av forskjellige tegn, inneholder ønsket rot. Derfor tas det som et nytt segment (se fig., her er roten på segmentet

23 ke. Deretter deler vi det resulterende segmentet i to og kontrollerer skiltene igjen. F (a, F(b, F(c. Fig. Nå finner vi roten på segmentet . Så finner vi c med c, osv. Den iterative prosessen fortsetter til F (blir mindre enn et gitt tall: F (c. Arbeidsformelen for å finne roten har formen c c c. Antall iterasjoner i denne metoden avhenger av den forhåndsinnstilte nøyaktigheten og lengden til segmentet og avhenger ikke av typen funksjon F (. Metoden er treg, konvergerer alltid, det er mulig å få en løsning med en gitt nøyaktighet, den er mye brukt i praksis. Blokkdiagrammet til algoritmen for halvdelingsmetoden er vist i fig., hvor segmentet som roten av ligningen er plassert i; c roten av ligningen; antall iterasjoner; F (er verdien av funksjonen i det tilsvarende punktet... Akkordmetode Oppgave. Finn roten til ligningen F (c nøyaktighet. La oss ha et segment i enden av hvilken F (endrer fortegn, hvor F ( er en monoton funksjon. La F (a, F(b. På figuren er problemet med å finne roten ved akkordmetoden presentert grafisk. Ethvert punkt på segmentet kan være den første tilnærmingen av roten La oss forbinde punktene A og B med en rett linje, dvs. La oss tegne en akkord. Dermed får vi b, som er en tilnærming av roten.

24 La oss bruke ligningen til en blyant med linjer som går gjennom punktet B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b. Akkorden må gå gjennom punktet A(a, F( a, dvs. F( a F(b k. ab Skriv ligningen til den rette linjen F(a F(b y F(b (b. a b Start Input a, b, =, ε Beregning F (a = + c a b F ( c b = c F (c Nei Nei F(c* F(a Ja Ja Utgang c, a = c Slutt Fig. 4

25 5 Fig. Den tegnede rette linjen skjærer x-aksen (((b a b b F a F b F y. La oss finne x når y = ((((, (((b F a F b a b F b b b F a F b a b F b. Neste) , sammenligner tegnene til F( b og F(b, la oss finne et nytt segment. La oss koble punktene A og B med en ny akkord, og dermed finne en ny tilnærming av roten. Den iterative prosessen fortsetter til F(b modulo) mindre antall: (b F. Ved løsning med denne metoden er det umulig å miste roten. Arbeidsformelen til akkordmetoden: b b b b F a F b a b F b b eller ((((, hvor b er begynnelsen av segmentet, og enden (punkt a er fast. Enden som tegnet er fast er fast. funksjon (F sammenfaller med tegnet til dens andrederiverte (F. Blokkdiagrammet for akkordmetodealgoritmen er vist i fig. 4, hvor segment der roten av ligningen er plassert; b roten av ligningen; antall iterasjoner; F(b verdien av funksjonen ved det tilsvarende punktet.

26.. Newtons metode (tangensmetode Som før finner vi roten F (. Vi har nøyaktighet og segmentet som den isolerte roten befinner seg i. Som en innledende tilnærming tar vi slutten av segmentet som betingelsen F ( F (. La oss se på fig. 5, som viser grafisk løsning oppgaver. En tangent til funksjonen trekkes fra punkt A. Skjæringspunktet for tangenten med Ox-aksen er den første tilnærmingen til roten, i fig. 5 er den betegnet som en. Så fra punkt a tegner vi en rett linje vinkelrett på x-aksen. La oss betegne skjæringspunktet for denne linjen med funksjonen med A osv. Begynnelse Inngang b, = b b b = + F (b Ja Nei Utgang b, Slutt Fig. 4 La oss skrive ligningen til linjen tangent til F (: y-y =k(-, y=, F(a hvor k F(a, a, F (a F(a y F(a. a a. F(a y F a F(a (. (a 6)

27 Fig. 5 Begynnelse Inngang a, = a a a = + F (a Ja Nei Utgang a, Slutt Fig. 6 Arbeidsformel for tangentmetoden: F(a a a, F(a a a a,... 7

28 Den iterative prosessen fortsetter til F (blir mindre enn et gitt tall: F (a. Når man jobber med denne metoden er tap av en rot mulig, men hvis metoden brukes riktig konvergerer den raskt, 4-5 iterasjoner gir en feil på -5, brukes den også for å klargjøre verdien av roten Flytdiagrammet til tangentmetodealgoritmen er vist i fig. 6, der a er roten til ligningen, antall iterasjoner, F(a er verdien av funksjonen i det tilsvarende punktet..4.Kombinert metode for akkorder og tangenter Oppgave Finn roten til ligningen F (med en gitt nøyaktighet. I dette tilfellet brukes tangent- og akkordmetodene samtidig. Roten er tilnærmet fra to sider La oss se på fire tilfeller som samsvarer mulige kombinasjoner tegn F (og F (. Fra grafene presentert i fig. 7 brukes akkordmetoden på konkavitetssiden, og tangentmetoden på konveksitetssiden av grafen. Fig. 7 Den kombinerte bruken av begge metodene gir umiddelbart en overdreven og utilstrekkelig tilnærming. Ved å bruke denne metoden antar vi at F (, F ( og F ( er kontinuerlige på segmentet , og F ( og F ( beholder fortegn). Det er kjent at bevaring av tegn 8

29 y F (indikerer monotoniteten til F (, og bevaring av tegnet til F ( betyr at konveksiteten til kurven y F (for alle [ a, b ] vender i samme retning. For enkelhets skyld, la oss) angi med en slutten av segmentet der tegnene til F (og F (sammenfaller. Av de mulige tilfellene, vurder det første tilfellet. La F (a* F(b og F (* F (, dvs. tegnene til) den første og andre deriverte faller sammen.Når man løser ligningen, består hver iterasjon av følgende: fra punktet Og la oss tegne en korde som underspenner buen AB, og trekke en tangent til buen på en slik måte at skjæringspunktet for tangenten med x-aksen er inne i segmentet... Korden på grafene skjærer x-aksen i punkt b, som ligger mellom punktene b og ønsket rot, og tangenten til buen i punkt A, krysser x-aksen kl. punkt a, som ligger mellom punktene a og ønsket rot av ligningen (fig. 8. Den oppnådde verdien av a og b gir en ny tilnærming til roten. La oss presentere regneformlene for a + og b +, utledet i avsnitt.. og .. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a) Prosessen med å finne a + og b + fortsetter til en av følgende forhold: a b, hvor er den spesifiserte nøyaktigheten; F ; (b eller F(a F a b Fig. 8 9

30 All avrunding i beregninger skal gjøres bort fra roten. I fig. 9 viser et blokkskjema kombinert metode akkorder og tangenter, hvor er antall iterasjoner; a, b rottilnærmingsverdier; F(a F(b verdier av funksjonen på disse punktene. Begynnende Input a, b, = a a a b b b c a b = + F (c Nei Ja Utgang c, End Fig Enkel iterasjonsmetode (suksessiv tilnærmingsmetode) For å bruke den enkle iterasjonsmetoden for løsning av den ikke-lineære ligningen F(=, er det nødvendig å transformere den til neste visning: (. (Denne transformasjonen (som bringer ligningen til en form som er praktisk for iterasjon, kan utføres på forskjellige måter; noen av dem vil bli diskutert nedenfor. Funksjonen kalles en iterativ funksjon.

31 La oss på en eller annen måte velge en omtrentlig verdi av roten (x og sette den inn på høyre side av ligningen (. Vi får verdien x (x. Nå erstatter vi x på høyre side (((av ligningen) ((() , vi har x (x. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi en sekvens av tilnærminger til roten, beregnet ved formelen (((,. (Hvis det er en grense for den konstruerte sekvensen (x lm, så, går til grense i likheten (og forutsatt at funksjonen er kontinuerlig, får vi likheten x (x (4 Dette betyr at x er rotligningen (. Metoden gir mulighet for en enkel geometrisk tolkning. La oss konstruere grafer av funksjonene y = og y = (, (Fig. a og b. Roten av ligningen y = ( er abscissen til skjæringspunktet til kurven y = ( med den rette linjen y =. Med utgangspunkt i å bygge et vilkårlig punkt) brutt linje. Abscissen til toppunktene til denne brutte linjen representerer suksessive tilnærminger av roten. Fra tallene er det klart at hvis "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>, så konvergerer suksessive tilnærminger monotont til roten. a b Fig.

32 Ved bruk av metoden enkle iterasjoner Hovedpoenget er valget av funksjon y = (, tilsvarende den opprinnelige. Figuren viser et eksempel når betingelsen for å avslutte den iterative prosessen y er oppfylt ved første trinn av den iterative prosessen, dvs. det følger at x er en omtrentlig verdi av ønsket rot. Men fra figuren er det tydelig at dette er feil, siden løsningen på problemet er For iterasjonsmetoden bør en funksjon velges (slik at "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 if (q, then (y (q. Eksempel. Reduser likningen til en form som er egnet for løsning ved hjelp av metoden for enkel iterasjon på intervallet [,8;]. Legg til høyre og venstre side av x og få:. La oss sjekke konvergensbetingelsen: ((; (for x [,8; ], konvergensbetingelsen er ikke oppfylt. En annen versjon av ligningen: La oss sjekke konvergensbetingelsen: ((; (4 for x [,8; ],), konvergensbetingelsen er ikke oppfylt Siden ingen av ligningene vi har gitt tilfredsstiller konvergensbetingelsen, så bruker vi den beskrevne metoden: Det er vanskelig å anvende eller det vil ikke gi ønsket resultat, du kan bruke følgende teknikk: La en likning gis med en enkelt rot i. Anta at på intervallet [c;d] er den deriverte f av funksjonen F kontinuerlig, ikke lik en konstant, og tar verdier av samme fortegn. Vi vil anta at f (, fordi ellers kan vi vurdere en ekvivalent ligning: f (. La oss introdusere følgende notasjoner: m m m f (, M ma f (, k og q -. [ c; d ] [ c; d ] M M

34 Det er klart at q. La oss erstatte ekvivalentligningen med en likning tilsvarende den k f (og vise at for funksjonen g(k f (på konvergensbetingelsen gjelder. For [ c, d] er ulikhetene gyldige: m f (M. Del dem ledd for ledd). ved tallet M og for forskjellene mellom enhet og oppnådd ved bruk av brøker får vi ulikheten: f (m q, M M hvorfra det følger at g(k f (q for alle [ c, d]. Eksempel. Reduser likning l til a form egnet for å løse ved den enkle iterasjonsmetoden på intervallet [,4;, 7]. Siden konvergensbetingelsen ikke er oppfylt, bruker vi den andre metoden for å redusere ligningen: f (; f (,4,4,4, 7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99; m m f (m,99; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44) ; For å klargjøre roten vi trenger ved å bruke den enkle iterasjonsmetoden, kan vi bruke ligningen, (l l Eksempel. Gi likning l til en form som er egnet for løsning ved hjelp av den enkle iterasjonsmetoden på intervallet [,7;,]..

35 Siden konvergensbetingelsen ikke er oppfylt, bruker vi den andre metoden for å redusere ligningen: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, m m f (m, 4; M ma f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 For å tydeliggjøre roten vi trenger ved enkel iterasjon, kan vi bruke ligningen l,5(. l Eksempel. Reduser likning e til formen , egnet for å løse ved den enkle iterasjonsmetoden på intervallet [,;,7] Siden konvergensbetingelsen ikke er oppfylt, bruker vi den andre metoden for å redusere likningen: f f (, (, f ( ,7 (,7 ((e ;, e,7 e.7 5.5;.7; 5

36 m m k M f (M ma f (5.5,; m,7; M 5.5; m,7 q.9. M 5.5 For å klargjøre roten vi trenger ved å bruke den enkle iterasjonsmetoden, kan vi bruke ligningen, e The blokkdiagram av den enkle iterasjonsmetodealgoritmen er presentert i fig., hvor c er roten til ligningen, antall iterasjoner, F(c er verdien av funksjonen ved det tilsvarende punktet. Starting Input c, = (c c = = + F (c Ja Nei Utgang c, Slutt Fig. 6

37. Testoppgaver Løs likninger med en ukjent ved å bruke metodene som er vurdert.. l.. cos. l. 4. cos 5. cos. 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg, 5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e.. 5. e 4(

38 7. e 4. 8.,9 s. 9. e. 4.s. 4. e 4,58 s. 4. s s. 46.cos. 47.ctg. 48. s e. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5 , (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, (e. (e. 8. e... 8

39 Testspørsmål. Halvdelingsmetode. Hvorfor anses denne metoden som en pålitelig metode for å løse ikke-lineære ligninger? Hva er ulempen med denne metoden? Er det alltid nødvendig å sjekke konvergensbetingelsene for de vurderte metodene? Hva forklarer at det er tilrådelig å bruke kombinerte metoder, spesielt metoden med akkorder og tangenter? 4. Betingelser for konvergens av den enkle iterasjonsmetoden. 5. Betingelser for å avslutte iterasjonsprosessen som brukes i programmet. 6. Nevn stadiene for omtrentlig bestemmelse av røtter. 7. Hva er roten eller løsningen til en ikke-lineær ligning? 8. Gi en geometrisk tolkning av halveringsmetoden. 9. Hvilken ende av akkorden er ubevegelig når akkordmetoden implementeres? Hvordan velges den første tilnærmingen i Newtons metode? Skriv ned en algoritme for å løse oppgaven ved hjelp av akkordmetoden Halvdelingsmetoden. Hvorfor anses denne metoden som en pålitelig metode for å løse ikke-lineære ligninger? Hva er ulempen med denne metoden? Er det alltid nødvendig å sjekke konvergensbetingelsene for de vurderte metodene? 4. Hva forklarer at det er tilrådelig å bruke kombinerte metoder, spesielt metoden med akkorder og tangenter? 5. Betingelser for konvergens av den enkle iterasjonsmetoden? 6. Vilkår for å avslutte iterasjonsprosessen som brukes i programmet? 7. Nevn stadiene for omtrentlig bestemmelse av røtter. 8. Hva er roten eller løsningen til en ikke-lineær ligning? 9. Gi en geometrisk tolkning av halveringsmetoden Hvilken ende av akkorden er ubevegelig ved implementering av akkordmetoden? Hvordan velges den første tilnærmingen i Newtons metode? Skriv ned en algoritme for å løse oppgaven ved hjelp av akkordmetoden. 9

40 Laboratoriearbeid. Lagrange-interpolasjonsformel Innledning Et spesielt tilfelle av problemet med å tilnærme en funksjon til en annen er interpolasjon. Vi vil snakke om å tilnærme en funksjon av en variabel. Interpolasjonsproblemer oppstår i praksisen til en ingeniør i tilfelle: interpolering av tabelldata; oppnå en analytisk avhengighet fra eksperimentelle data; erstatte en beregningsmessig kompleks funksjon med en enklere avhengighet; tilnærmet differensiering og integrasjon; numerisk løsning av differensialligninger. Hensikten med arbeidet: å beregne verdien av en funksjon spesifisert i en tabell på punkter som ikke sammenfaller med nodene, ved å bruke Lagrange-interpolasjonsformelen. Arbeidsrekkefølgen. Studer teoretisk materiale.. Lag et program for å løse problemet, feilsøk det.. Løs den gitte versjonen av testoppgaven. 4. Sett sammen en rapport som inneholder oppgaven, programoppføringen og beregnede funksjonsverdier. 5. Forsvar laboratoriearbeid.. Problemstilling Den opprinnelige funksjonen y = F (spesifisert på et segment i form av en tabell med ulikt adskilte noder (x + x kostnad. For å skrive denne funksjonen analytisk ved hjelp av en interpolasjonsformel, er det nødvendig for å oppfylle betingelsen om at den opprinnelige funksjonen og funksjonen φ (x som erstatter den) må falle sammen i nodene, det vil si betingelsen F(= φ (, hvor м =,. (Funksjonen y = F(vil være representert som et polynom av grad n: a x a p x. (4

41 Til dette skal vi bruke polynomer, som hver i punktet x = x (=, tar verdien y=, og ved alle andre noder =, =, = -, = +, = snur y til null y=y = y = =-, + = =y =. Fig., j; P (, j. Fig. viser et polynom. Siden det ønskede polynomet blir til i punkter,..., har det formen P C, (hvor C er en konstant koeffisient. Verdien av denne koeffisienten kan finnes ved =, siden P, C, (4 hvorfra C. (5 Substituere (5 inn i (, vi får P. (6 Graden av polynomet er lik n) Nummereringen av punkter begynner med og slutter med n, mens th-punktet faller ut . Det resulterende polynomet representerer den opprinnelige funksjonen y = F(bare i ett punkt. For å representere hele den tabellformede funksjonen til slike polynomer, element L 4 P y vil være nødvendig. (7

42 4. Spesielle tilfeller av Lagrangepolynomet La oss vurdere spesielle tilfeller av Lagrangepolynomet med n =; n=; n=. For n= vil den opprinnelige funksjonstabellen se slik ut: y y, deretter ved formel (7 har vi y y y P y P L. For tilfellet n =: y y y. y y y y P y P y P L For tilfellet n=: y y y y. y P y P y P y P L y y. y y Tenk på et spesifikt eksempel. En funksjon er gitt av en tabell over dens verdier. Beregn verdien av funksjonen ved punkt,5.

43 Funksjonsverdier y= l x 4 5 y= l,69,986,86,694 Vi bruker de tre første verdiene som interpolasjonsnoder, vi får: L (=((-(-4/(-(-4,69+(( -(- 4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-.589 +.7 -.47; L (,5=.9. L Vi konstruerer en tredje) -gradspolynom ved bruk av fire noder: ,9,86,94,6849; , L,99.,69,986,89 Til sammenligning påpeker vi at i firsifrede tabeller er verdien l,5 =,99.. Feilestimering konstruert lagrangepolynom sammenfaller med den opprinnelige funksjonen F (ved nodalpunkter , i alle andre punkter L(representerer funksjonen F(på segmentet omtrentlig. Uten derivasjon skriver vi formelen som brukes til å estimere feil: f R f (L(, ( 8! hvor R er resten av leddet eller feilen; f (+ i derivert av den opprinnelige funksjonen , i dette tilfellet vil vi anta at F (på segmentet a b av endringer i x vil ha alle a, b, deriverte opp til (+ th orden inklusive; punktet det gir den maksimale verdien til funksjonen f av polynomet,. ; grad 4

44 Fig. 44

45 La oss estimere feilen til funksjonen gitt av tabellen, velg graden av polynomet n =, den gitte funksjonen y= l. La oss finne tredjeordens deriverte y"=/; y""=/, y"""=/. Selvfølgelig får vi den maksimale verdien av y""" ved =: y"""=/ =/4. R (,5 (,5 (,5 4, Algoritmen for å fullføre laboratorieoppgaven er presentert i Fig. 4. Testoppgaver Bruk Lagrange-interpolasjonsformelen til å beregne verdiene til funksjonen ved de angitte punktene. I tabell- spesifiserte funksjoner er tabelltrinnet konstant 4 X Y X Y X Y X Y .65 8.4747, 7.6489.7488.48 8.746.7 4.447.5 7.65.5.74688.49 7.75 4.5.4 7.74.6, 4.5.4 8.74. .45.6768.5 5.984. 85 46.99.5 6.6659.5.665.5.9484.9 49.44.55 6.9986.55.57695.5.558.95 5.954.6 6.9658.6.5488.54.997 =. 8 = 9 =. Y X Y X Y X Y.4 -.4476.4 4.556.5 4.487 ,9984.5 -.597.45 4.55.6 4.95.6.9595.6 -.7446.5 4.455.7 5.479.965.7 -.845.6 .845.6 .956.9. 8 -.5.6 4.6744.9 6.6859 .8468.9 -.779.65 4.798, 7.89.6.87789.4 -.95.7 4.96, 8.66.775.4 -, 4598.75 5.49, 9.5.6.744.4 -.599.44 -.599.7 .7. .85 5.6.4.46.68547 =. 45 =.6 =, 55 =.7 =.47 =.84 =.8 =.45 45

46 9 X Y X Y X Y X Y,8 5.654.68.45.88855.5.644.85 5.4669.6.7644.4.889599.76.9 5.64.9.45.8967.5.967, 96.69.6, 96.67. 49.45.89687.5.8.5 4.9469.6.66.44.89698.4.4776 , 4.87,57.445, 8947.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467, 4.6855.4.857.455.896677.55.45688.5 4.46.99 4.46.99 =,8 =, =,46 =,7 =,7 =,5 = , 457 =, x y x y x y x y, 5,56,5,576,4-6,94647,7,4499,6,89,44-7, 8945 5.8655.59.5.8.5.5.54.54444444444444444444444444444444444444444444444444LenLerTerereristi.747,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,76,7,7,76,7,76,7,7,7,7,7,7,46,46,46,46,46,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,66,46, 5. .697.74-7.5445.66977.5.74 4.869, 84-7.75.77648.7.769 4.498.94-7.8666 5.999.9.86 4.458.4-8.56 4.458.4-8.56 4.458.4-8.56 8.47.6 7.47.6 449.885 4.4.486.4-8.898.489 =, 48 =,68 =,46 =,7 x =,87 = 4, =,5 = 9, X Y X Y X Y X Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688, 95,67884. 48 -.8 -.99,7 -.474.69.49 -.947, -.796, -.9987.5.6546.5 -.8768.4 -.79.9 --, 96.6754.5 -.84.7 -.69.45 -.87.56. 7444, -.584,5 -.486.77685.5 -.6788, -.5.57 - x =.6 x =.9 x =.475 x =.64 x =.66 x =.x =.559 x =.46

47 4 X Y X Y X Y X Y.7 -.7896 5.5.964.4 -.788.789 -.98.8 -.7445 5.969.5 -.498.79 -.978.9 -.5.94585, 6 -.65.79 -69.59 -69. 9945.79 -.997, -.6659 5.5.9658.8 -.96758.79 -.957, -.595 5 ,97456.9 -,946.794 -,97, -,5664 5,5,98949,7 -,5,79 -,5 ,596 5,4,995,4 -,896,796 -,947,5 -,547 5, 45.468,4 -.8675.797 -.9497.6 -.4945 5.5.6.4 -.8497.798 -.9557 =.5.9557 =. 87 x =,78 x = 5 x = 5,48 x =,44 x =, X Y X Y X Y X Y,75 4.5.5 7.65.7488.9 5.6.8 44.7.4 7.96.5 ,74688.95 5.9.85 48.45. 5.664.9 49.44.5 6.6659.45.6768.5 4.946.95 5.954.55 6.9986.5.665 , 4.87 4, 54.598.6 6.9658.55.546 6.9658.55.546 7.5. .55.6.5488, 4.685 4, 6.4.7 5.8558.65.546 .5 4.59 4.5 6.44.75 5.6558.7.496585, 4.44 4, 66.686.8 5.4954.75.476.5 4, =.76 =.6 =, x =.98 = = = 7.7 x =.7. 9 X Y X Y X Y X Y.7 5.479.4.88959.6.7644.6 6.598.8 6.496.45.896.9.65 8.474.9 6 ,6859,4,8966,6,67,7 4,849, 5,49, 5,847, 5,847, , 8,66,44,8969,6,66,8 44,7, 9,5,445,8947, 57,85 46,99, 9,974.45.89569.6.677.9 49.4.4.455.89667.5.89667.59.59.67.59. 5.46.9959 4, 54.598.6.467.465.8986, 5.4579 4.5 57.97 =.74 x =.46 x =.8 x =.6 = x =.46 x =.5 x = 4.47

48 4 5 6 X Y X Y X Y X Y.5 7.9589.5.7788.47 8.945.99, 7.6489.748.48 8.746.885.5 7.65.5.7468.49 7.4, 4 675. 675. 6.8485.45.676.5 5.984.8.5.5 6.6659 .5.665.5.9484.4.55 6.9986.55, 57695.5.558, -.584.6 6.9658.6.5488.54.997.4 -.555.65 6.55.65.54.45 6.55.65.54.54. 9658 ,56 7.5.8 -.69 =,6 x =,7 x =,465 x =, =,67 x =,67 x =,557 x =, X Y X Y X Y X Y,99, - ,46 6,68,7,486:8,885, -,5885 6,5 ,5,9,985,5,6755,4 -,774 6,7,448,69,7,555,6 -,8569 6,9,5784,67,9 .5.8 -.94 7.79.5.87.4, -.99 7.854. 7.79, -.584, -.998 7.5.98.9.466.5 -.555.4 -.45 7.7.988.7 -.445.6 -.489 7.9.9989.98.9 -.69.8 x -.5 8.5.5.8 =. x =, =,7 x = 6, = 7,6 x =,75 =, X Y X Y X Y X Y,45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55, 6,57, 64,58,655,59,6696,6,684,6,79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74, 9,75, 96,77,9696,78,989,79,4,8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9, 6,9, 9.49.94.69 x =.48 x =.48 x =.5 x =.5 x =.87 x =.9 x =.9 x =.9 48

49 X Y X Y X Y X Y,5,546,5,5859,7,4,7,75,55,6,58,655,8,479,8,6,684,6,79,9,484,9,545,65,76,68,887, 77456, ,7,8949,44, 957,75,96,78,989,55,4,8,96,8,94,75,78,85,8,88,97,4 4,96 ,4 4,787,9,6 ,9,49,5 4,567,5 4,68,95,984,98,49,6 5,8,6 5,9 x =,49 x =,5 x =,75 x =, 7 x =,9 x = ,95 x =,6 x = X Y X Y X Y X Y ,7966, 4,9,7,644,8,95,8,986, 4,457,9,78,9,554,9,7, 4,97,89,6,4 5,466,966,69, 86,5 6,5,5,9975 .546.5645.6 6.6947.7.78.758.7 7.46.9.6.4.9477.4.9697 x =.8 x =, x =.59 x =.55 x =, x = , x =, 8 x =, X Y X Y X Y X Y, 8,947,97,75,474,98 8,4,8546,4,744,95,867,4,9 8,6,744,5,75,5,66,6,85 8,8,5849 ,6 4. 5.59.8.6967 9.4.7 4.9.55.545 9.9.8 5.8.75.78.64 9.4.48.9 6.859.95.4, 4.699 9.6 -.74, 8.5.65.6 -.9, 8.5.65.6 -.9, 5.65.6 -. -. 544 648.55.78 x =, x =8, 5 x =.5 x =.78 =.66 = 9.9 =.4 =.45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y.7 X.8 Y X.5.5 Y 4, X -.7568 Y.5 X.5 Y 84.8.54.55.5666.4.6,666.9 4 .65 -.876 8.47495.6.6. .9.64.4596.6846.4.7.7586.9 4.4.7 -.956 4.447.7.5.77 7.9589, 74,78,894,44,8,888,947 4,6,75 -,997, 4,997, 4,997, 4,5,4,8 ,46,9,65,896 4,8,8 -,996 44,7,9,5 ,49 7.65.94.847.48.75.887 5.85 -.68 46.99.4.97 7.96.4.669.79.75 .9 . 45.54 6.8485.4.4 4.55.45.5.595.8678 5.4.95 -.67 5.954.5.576 6.6659.5.4 4.487.585.54.6984.8577 5.9 5.9 5.9 5.6 5.9 986.6.4 4.95.7786.56.4.94.847 5.8 4.5 -.4 57.975.4.6.959 6.9658 x.44 =.75.999.58 x =, 54.865 4, x = 4.6.4.65 x =.56.55 x =.55.55 x =.4.5 x =.655 5.7 =.46 =. .57 = 4.7 =, X Y X Y X Y X Y.46 9.6.6.959.6 4.95.45 4.55.47 8.945.96.7 5.479.5 4.455.48 8.746.6.8769.8 4.54.8 4.84 6.54. 6.6859.6 4.6744.5 6.6. 877, 7.89.65 4.798.5 5.984.775, 8.66.7 4.96.5.9484.6.744, 9.5, 75 5.49.5.558.4.74, 9.974.8 5.474.5.474.5. .55 9.647.5.6579.5.85.9 5,6 x =,55 =,65 x =,66 x =,465 =,7 =,57 =,57 =, X Y X Y X Y X Y,5,58,565,88,5,984,5,564,675,5,7,6,9,5,564,747,4549 ,7,88, 5,495,797,5,794,8,846,54,4894,4,886,48,9,875,55,4876,5,987,5,44774,765,56,478,6,848,4657,748,4657,748,4657,748,4657,79457, ,67,58, 46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,45,5868,4,5669 x =.59 =.7 x =.5 x =.56 =.6 =.87 = , 44 =.7 5

51 X Y X Y X Y X Y ,7554,6,75,6,55,7,864,7,6,7,864,7,847,8,9896,8,8,9896,8 4,57,9,77,9,66,9,77, 9 4 .57 x =.55 =.65 x =.8 x =.6 =.7 =.57 =.87 =.8 Testspørsmål. Hva betyr begrepene: tilnærming, interpolasjon, ekstrapolering? Mål for nærhet (avvik av to funksjoner.. Skriv interpolasjonsformler for tabeller: a med et variabelt trinn; b med et konstanttrinn. 4. Finite forskjeller, hvordan beregne dem? 5. Delte forskjeller, hvordan beregnes de? 6. Skriv funksjonen gitt i en tabell i analytisk form, ved hjelp av interpolasjonsformler X - Y Skriv ned spesielle tilfeller av Newtons formel for n=, n= 8. Skriv ned spesielle tilfeller av Lagranges formel for n=, n=, n= 9. Hvordan estimere feilen til interpolasjonsformelen?. Unikheten til et polynom lagrange.. Beregn endelige forskjeller av forskjellige rekkefølger: 5

52. Konstruer et Lagrange-interpolasjonspolynom for den tabulerte funksjonen y = nx:. Skriv funksjonen i analytisk form ved å bruke delte forskjeller: 4. Hvordan kan du bestemme den beste graden av polynomet som skal tilnærmes? 5. Ved approksimering, er det mulig å vilkårlig sette graden av det approksimerende polynomet? 6. Finn polynomet av den minste graden som tar de gitte verdiene på disse punktene. y,45,4,6 4,5,4 5,65 7. Skriv i analytisk form, i tabellform denne funksjonen. y 4 6 5

53 Laboratoriearbeid 4. Minste kvadraters metode Hensikt med arbeidet: velge type avhengighet og bestemme de ukjente parameterne til en tabellspesifisert funksjon ved hjelp av minste kvadraters metode. Arbeidsrekkefølgen. Gjør deg kjent med beskrivelsen av laboratoriearbeidet.. For et gitt alternativ, bestemme: a typen avhengighet; b ukjente parametere.. Lag en rapport. 4. Svar på sikkerhetsspørsmål. 5. Forsvar laboratoriearbeid Beskrivelse av metode La eksperimentet resultere i en tabell med en funksjon F(y y y) Du må finne en funksjon på formen y = F(, som på punkter tar verdier nærmest tabellen verdier y,y,y. Denne formelen kalles empirisk formel eller regresjonsligning y på, selve funksjonen kalles en approksimerende funksjon eller approksimerende. I praksis finnes denne approksimerende funksjonen som følger: Ved hjelp av tabellen, en spredningsgraf av funksjonen F er konstruert, som typen tilnærmingsfunksjon fastsettes ut fra. Som tilnærmingsfunksjon er y = F (avhengig av arten av spredningsplottet brukes ofte følgende funksjoner: y=a+b; y=a +b+c; y=a m; y=ba; y=a+b s; y=a l+b; y=/(a+ b; y=a/+b; y=/(a+b , y=a e m; der a,b,c,m er konstanter. Valget av den tilnærmede funksjonen er ikke algoritmisk; erfaringen med formelkompilatoren kommer til unnsetning, ofte den nødvendige app-5

54 proxy-funksjonen er funnet av brute force. Justeringsmetoden kan brukes som et hjelpemiddel. Således, hvis typen tilnærmingsfunksjon er etablert, reduseres oppgaven til å finne verdiene til parameterne. De kan beregnes ved hjelp av minste kvadraters metode, hvis essens er som følger. La det være nødvendig å finne en tilnærmingsfunksjon, for eksempel med tre parametere: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (For (hvor =, fra tabellen vil denne funksjonen ta verdiene =F(, a,b,c, som skal være så mye som mulig avvike mindre fra de gitte (tabellverdiene), det vil si at forskjellen skal være nær null. Derfor er summen av kvadrerte forskjeller av de tilsvarende verdiene til funksjonene F (og y F a, b, c Фa, b c, bør også ha en minimumsverdi. Dermed er problemet redusert til å finne minimum av funksjonen Ф(a, b, c. Vi bruker den nødvendige betingelsen for ekstremumet). : Ф, а Ф, b Ф, c eller y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c 54 a b c,. Etter å ha løst dette systemet med tre likninger med tre ukjente, får vi verdiene til parameterne a, b, c, derfor får vi en spesifikk form av den tilnærmede funksjonen F(,a,b,c . Det er klart at verdiene til funnfunksjonen F(,a,b,c ved punkter, vil avvike fra de tabellerte verdiene y,y,y.. Verdiene av forskjellene y F, a, b , c, hvor =,.. , kalles avvik av disse verdiene av y fra de som er beregnet med formelen (. Summen av kvadrerte avvik (skal være den minste. Legg merke til at av flere tilnærminger for samme tabellfunksjon, er den beste den den har mest for

55 er en mindre verdi. I vårt tilfelle var den tilnærmede funksjonen avhengig av tre parametere, men endring av antall parametere vil bare påvirke endringen i antall ligninger i systemet (, og essensen av metoden vil forbli den samme. La oss vurdere spesielle tilfeller av finne approksimerende funksjoner.. Lineær funksjon La det være nødvendig å finne en approksimerende funksjon i form av en lineær: F( ,a,b = a+b. Siden dens partielle deriverte med hensyn til parameterne a og b:, a, b F b, a, b, deretter systemet (vil ta formen: F a, y a b, y a b. Etter enkle transformasjoner kan det reduseres til formen: y a b, (a y a b. Etter å ha løst systemet, får vi verdiene til parametrene a og b, derfor den spesifikke formen til tilnærmingsfunksjonen F(,a,b = a+b. Eksempel. Finn den tilnærmede funksjonen i form av et lineært polynom F( ,a,b = a+b y 66,7 7, 76, 8,6 85,7 9,9 99,4,6 5, La oss lage et ligningssystem, mer presist, bruk systemet (a. Ved å bruke tilgjengelige data får vi = 9; = ; = =8,; = 54,8; = 46. La oss løse systemet med lineære algebraiske ligninger for a og b, vi får a =,87; b = 9, Den tilnærmede funksjonen har formen F(,a,b =,87+ 9,. 55

56. Kvadratisk funksjon La det være nødvendig å finne en tilnærmingsfunksjon i form av en kvadratisk: F(,a,b,c = a +b+c. Siden dens partielle deriverte med hensyn til parameterne a, b og c er henholdsvis like : F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c, så systemet (vil ta formen: y a b c, y a b c, y a b c. Etter å ha løst systemet, vi få verdiene til parameterne a, b og c, og derfor den spesifikke formen til tilnærmingsfunksjonen F(,a,b,c=a +b+c. 4. Potensfunksjon La det kreves å finne en tilnærmingsfunksjon funksjon i form av en potensfunksjon: F(,a,m = a m. (Forutsatt at a> og i den gitte tabellen verdiargumentet og verdien til funksjonen er positive, la oss ta logaritmen til likheten ( : lf = la+ml. La oss introdusere følgende notasjon u = l; A= m; B= la, så vil lf være en funksjon av u: Ф(u,A,B = Au+B. Dermed finner du parametere strømfunksjon vi reduserte det til å finne parametrene lineær funksjon. Derfor vil den videre løsningen av problemet være lik det første tilfellet. Siden de partielle deriverte av funksjonen Ф(u,A,B med hensyn til parameterne A, B: Ф а u, Ф, vil systemet (ta formen: b u y A u B u, y Au B. 56

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I UKRAINA NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY "KHARKIV POLYTECHNIC INSTITUTE" Retningslinjer for laboratoriearbeid "Beregning av røttene til transcendentale ligninger"

Løse ikke-lineære ligninger Ikke alltid algebraiske eller transcendentale ligninger kan løses nøyaktig Konseptet med løsningsnøyaktighet innebærer:) evnen til å skrive en "eksakt formel", eller mer presist

Laboratoriearbeid med temaet ”Tema.. Metoder for å løse ikke-lineære ligninger” Gå til Emne. Teme. Ogl.... Spørsmål som skal studeres. Uttalelse av problemet med numerisk løsning av ikke-lineære ligninger. Stadier av numeriske

FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" Institutt for informatikk og metodikk

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON Federal State Budgetary Educational Institute of Higher Professional Education "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNIC

Statlig budsjettutdanningsinstitusjon for videregående yrkesutdanning "Vladimir Aviation Mechanical College" METODOLOGISKE INSTRUKSJONER for å utføre laboratoriearbeid i disiplinen NUMERISK

Problemstilling Halvdelingsmetode Akkordmetode (metode for proporsjonale deler 4 Newtonmetode (tangensmetode 5 Iterasjonsmetode (suksessiv tilnærmingsmetode) Problemstilling La gitt

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics TUSUR Department

UDDANNELSESDEPARTEMENTET I DEN RUSSISKE FØDERASJON ST. PETERSBURG STATE TECHNOLOGIC INSTITUTE (TECHNICAL UNIVERSITY) Institutt for anvendt matematikk M.V. Lukina METODER FOR OMTRENTLIG BEREGNING

ST. PETERSBURG STATE UNIVERSITY Fakultet for anvendt matematikk for kontrollprosesser A. P. IVANOV WORKSHOP OM NUMERISKE METODER NEWTONS METODE Metodiske instruksjoner St. Petersburg 2013

Federal Agency for Education of the Russian Federation Ukhta State Technical University Computational Mathematics Retningslinjer og testpapirer UKHTA 6 UDC.6 7. BBK. jeg 7

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER for å utføre laboratoriearbeid i disiplinen "Informatikk" semester 3 NOVOSIBIRSK 008 Ministry of Science and Education of the Russian Federation Novosibirsk Technological Institute of Moscow State

A. P. Ivanov Metodologiske instruksjoner Emne 4: Newtons metode for å løse ikke-lineære ligninger og ligningssystemer Fakultet for mekanikk og matematikk, St. Petersburg State University 2007 Innhold 1. Løse skalære ligninger............... ..........

1 Lagrangepolynom La verdiene til den ukjente funksjonen (x i = 01 x [ a b] i i i) fås fra eksperiment. Problemet oppstår med omtrentlig rekonstruksjon av den ukjente funksjonen (x ved et vilkårlig punkt x For

NUMERISK LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER -1- NUMERISK LØSNING AV IKKELINEÆRE LIGNINGER 0. Forklaring av problemet Problemet med å finne røttene til en ikke-lineær ligning av formen y=f() støter ofte på i vitenskapelig forskning

Oppgaver for praktiske timer i faget "Beregningsmatematikk" Praktisk leksjon om temaet Feilteori Testspørsmål Definer et beregningseksperiment Tegn et diagram

Vurderingsverktøy for løpende overvåking av faglige prestasjoner, mellomliggende sertifisering basert på resultatene av mestring av disiplinen og pedagogisk og metodisk støtte for selvstendig arbeid av studenter 1 Regneoppgaver Alternativer

LEKSJON OMTRENTLIG LØSNING AV IKKE-LINEÆRE LIGNINGER Separasjon av røtter La ligningen f () 0, () gis der funksjonen f () C[ a; Definisjon Et tall kalles roten av en ligning () eller null av en funksjon f () hvis

UNDERVISNINGSDEPARTEMENTET I DEN RUSSISKE FEDERASJON PENZA STATE UNIVERSITY NUMERISKE METODER FOR LINEÆR ALGEBRA Retningslinjer for utførelse av laboratoriearbeid PENZA 7 Metodikken og

Metoder.doc Metoder for tilnærmede beregninger Side 1 av 6 Generell tilstand for problemet: Ved hjelp av to gitte numeriske metoder, beregne den omtrentlige verdien av rot 1 av en funksjonell ligning på formen f()=0 for N verdier

20 Praktisk leksjon 3 Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved bruk av iterative metoder Arbeidstid - 2 timer Hensikt med arbeidet: å konsolidere kunnskap om metodene for enkel iterasjon og Gauss-Seidel;

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON Kostroma State Teknisk Universitet I.V. Zemlyakova, O.B. Sadovskaya, A.S. Ilyukhina NUMERISKE METODER Anbefalt av redaksjon og publisering

KAPITTEL IKKE-LINEÆRE LIGNINGER. Begreper og definisjoner. Formulering av problemet. Å løse ikke-lineære ligninger med en ukjent er et av de viktige matematiske problemene som oppstår i forskjellige seksjoner

Numeriske metoder for å løse ordinære differensialligninger.. Løsning av Cauchy-problemet... Cauchy-problem for én ordinær differensialligning. Vi vurderer Cauchy-problemet for én differensial

1 Løsning av en likning med en ukjent En likning er gitt på formen f(x)=0, hvor f(x) er en funksjon av variabelen x. Tallet x* kalles roten eller løsningen gitt ligning, hvis når du erstatter x=x * i ligningen

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON Moskva statsuniversitet for geodesi og kartografi (MIIGAiK) fakultet fjerntliggende former opplæring Ekstramural PROGRAM OG KONTROLL

Forelesning 3 Taylor- og Maclaurin-serier Anvendelse av potensserier Utvidelse av funksjoner til potensserier Taylor- og Maclaurin-serier For applikasjoner er det viktig å kunne utvide en gitt funksjon til en potensserie, disse funksjonene

LANDBRUKSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FEDERASJON Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "KUBAN STATE AGRICULTURAL UNIVERSITY"

Institutt for matematikk og informatikkelementer høyere matematikk Opplærings- og metodikkkompleks for yrkesfagstudenter som studerer ved hjelp av fjernteknologier Modul Differensialregning kompilert av:

MODUL «Anvendelse av kontinuitet og derivat. Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner." Anvendelse av kontinuitet.. Intervallmetode.. Tangent til grafen. Lagranges formel. 4. Anvendelse av derivat

Spørsmål til kurseksamen Beregningsmetoder lineær algebra 2. år, 3. semester Foreleser: Professor S.B. Sorokin del 1. Numerisk analyse Emne 1. Algebraiske metoder interpolasjon. 1. Formulering

Laboratoriearbeid Formål med arbeidet: Konsolidering av ferdigheter i arbeid med grunnleggende syntaktiske konstruksjoner C språk og evne til å organisere looper og utføre beregninger.. TEORETISK DEL.. Løsningsmetoder

Pascal 13. Løse ikke-lineære ligninger. Ikke-lineære ligninger kan deles inn i 2 klasser - algebraiske og transcendentale. Algebraiske ligninger er ligninger som bare inneholder algebraiske

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education "Tambov State Technical University"

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJONEN Føderale statlige budsjettutdannelsesinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "ULYANOVSK STATE TECHNICAL UNIVERSITY"

A.P. Popov Metoder for optimale løsninger En manual for studenter av økonomiske spesialiteter ved universiteter i Rostov-na-Don 01 1 Introduksjon I anvendt matematikk er det flere områder som primært er rettet mot

Kapittel Potensrekke a a a En rekke av formen a a a a a () kalles en potensrekke, der, a, er konstanter kalt koeffisienter av rekken. Noen ganger vurderes en potensrekke av en mer generell form: a a(a) a(a) a(a) (), hvor

Institutt for matematikk og informatikk Matematisk analyse Utdannings- og metodologisk kompleks for studenter i høyere utdanning som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul 4 Avledede applikasjoner Satt sammen av: førsteamanuensis

) Begrepet SLAE) Cramers regel for løsning av SLAE) Gaussisk metode 4) Rangering av matrisen, Kronecker-Capelli-setningen 5) Løsning av SLAE ved matriseinversjon, konsept for kondisjonering av matriser) Begrepet SLAE O. SLAE-system

NUMERISKE METODER FOR LØSE VANLIGE DIFFERENSIALLIGNINGER.. NUMERISKE METODER FOR Å LØSE CAUCHY-PROBLEMET... Cauchy-problem for én ordinær differensialligning. Cauchy-problemet vurderes

Kapittel 4 Grunnsetninger differensialregning Avdekke usikkerheter Grunnleggende teoremer for differensialregning Fermats teorem (Pierre Fermat (6-665) fransk matematiker) Hvis funksjonen y f

FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning “Ural State University oppkalt etter. ER. Gorky" IONTS "Business Informatics"

NUMERISKE ANALYSEMETODER FORLAGSHUS GOU VPO TSTU Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonell utdanning "Tambov State

Transportdepartementet i den russiske føderasjonen (Mintrans i Russland) Federal Air Transport Agency (Rosaviation) Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "St. Petersburg State University" sivil luftfart»E.

Utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen FSBEI HPE "South Ural State University" (NRU) Filial av FSBEI HPE SUSU (NRU) i Ust-Katav Department of Mechanical Engineering Beregningsarbeid på

UDDANNINGS- OG VITENSKAPSMINISTERIET TIL RUSSISK TOMSK STATE UNIVERSITY FAKULTET FOR INFORMASJONSVITENSKAP Arbeidsprogram disiplin COMPUTATIONAL MATEMATICS Treningsretning 010300 Grunnleggende informatikk og informasjon

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING STATLIG UTDANNINGSINSTITUT FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNELSE NIZHNY NOVGOROD STATE TEKNISK UNIVERSITET. R.E. Alekseeva PRAKTIKUM PÅ

4 Iterative metoder for å løse SLAEs Metode for enkle iterasjoner Når stort nummer ligninger, direkte metoder for å løse SLAE (med unntak av sweep-metoden) blir vanskelige å implementere på en datamaskin, først og fremst pga.