Lineær ligning med tre ukjente. Løse ligninger med tre ukjente i matematikk

Et system med lineære ligninger er et sett med flere som vurderes sammen lineære ligninger.

Systemet kan ha et hvilket som helst antall ligninger med et hvilket som helst antall ukjente.

Løsningen av et likningssystem er et sett med ukjente verdier som tilfredsstiller alle likningene i systemet, det vil si konverterer dem til identiteter.

Et system som har en løsning kalles kompatibelt, ellers kalles det inkonsistent.

Ulike metoder brukes for å løse systemet.

La
(antall ligninger er lik antall ukjente).

Cramer metode

Vurder løsningen systemer på tre lineære ligninger med tre ukjente:

(7)

For å finne det ukjente
La oss bruke Cramers formel:

(8)

hvor - determinanten for systemet, hvis elementer er koeffisientene til de ukjente:

oppnådd ved å erstatte den første kolonnen av determinanten kolonne med gratis medlemmer:

På samme måte:

;
.

Eksempel 1 Løs systemet ved å bruke Cramers formel:

Løsning: La oss bruke formler (8):

;

Svar:
.

For ethvert system lineære ligninger med ukjente kan si:

Matriseløsning

Tenk på løsningen av system (7) av tre lineære ligninger med tre ukjente på en matrisemåte.

Ved å bruke reglene for matrisemultiplikasjon kan dette ligningssystemet skrives som:
, hvor

La matrisen ikke-degenerert, dvs.
. Multiplisere begge sider av matriseligningen til venstre med matrisen
, den inverse av matrisen , vi får:
.

Gitt at
, vi har

(9)

Eksempel 2 Løs systemet på en matrisemåte:

Løsning: La oss introdusere matriser:

- fra koeffisienter ved ukjent;

- kolonne med gratis medlemmer.

Da kan systemet skrives som en matriseligning:
.

Vi bruker formel (9). La oss finne den inverse matrisen
i henhold til formel (6):

;

Følgelig

Fikk:

Svar:
.

Sekvensiell eliminering av ukjente (Gauss-metoden)

Hovedideen med metoden som brukes er suksessiv eliminering av ukjente. La oss forklare betydningen av denne metoden på systemet tre ligninger med tre ukjente:

La oss anta det
(hvis
, så endrer vi rekkefølgen på ligningene, og velger som den første ligningen den der koeffisienten kl. er ikke lik null).

Første trinn: a) del likningen
på
; b) multipliser den resulterende ligningen med
og trekke fra
; c) multipliser deretter resultatet med
og trekke fra
. Som et resultat av det første trinnet vil vi ha et system:

Andre trinn: takle ligningen
og
akkurat som med ligninger
.

Som et resultat blir det opprinnelige systemet transformert til den såkalte trinnvise formen:

Fra det transformerte systemet bestemmes alle ukjente sekvensielt uten problemer.

Kommentar. I praksis er det mer praktisk å redusere til en trinnvis form, ikke selve likningssystemet, men en matrise av koeffisienter, ved ukjente og frie termer.

Eksempel 3 Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Overgangen fra en matrise til en annen vil bli skrevet med ekvivalenstegnet ~.

~
~
~
~

~
.

Ved å bruke den resulterende matrisen skriver vi ut det transformerte systemet:

Svar:
.

Merk: Hvis systemet har en unik løsning, reduseres det trinnvise systemet til en trekantet, det vil si til en der den siste ligningen vil inneholde en ukjent. I tilfelle av et ubestemt system, det vil si et der antallet ukjente flere tall lineært uavhengige ligninger, vil det ikke være noe trekantsystem, siden den siste ligningen vil inneholde mer enn én ukjent (systemet har et uendelig antall løsninger). Når systemet er inkonsekvent, vil det, etter å ha redusert det til en trinnvis form, inneholde minst én snill verdi
, det vil si en ligning der alle ukjente har null koeffisienter, og høyre del er forskjellig fra null (systemet har ingen løsninger). Gauss-metoden kan brukes på et vilkårlig system av lineære ligninger (for alle
og ).

Eksistensteorem for en løsning på et system av lineære ligninger

Når du løser et system med lineære ligninger ved Gauss-metoden, kan svaret på spørsmålet om det gitte systemet er kompatibelt eller inkonsekvent gis bare på slutten av beregningene. Imidlertid er det ofte viktig å løse spørsmålet om kompatibiliteten eller inkonsistensen til et likningssystem uten å finne løsningene selv. Svaret på dette spørsmålet er gitt av følgende Kronecker-Capelli-teorem.

La systemet
lineære ligninger med ukjent:

(10)

For at system (10) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av systemmatrisen

var lik rangeringen av den utvidede matrisen

Dessuten, hvis
, da har system (10) en unik løsning; hvis
, så har systemet et uendelig antall løsninger.

Tenk på et homogent system (alle frie ledd er lik null) av lineære ligninger:

Dette systemet er alltid konsistent siden det har en nullløsning.

Følgende teorem gir betingelser der systemet også har løsninger som ikke er null.

Terema. Til homogent system linjeligninger har en null løsning, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant var lik null:

Således, hvis
, da er løsningen unik. Hvis en
, så er det et uendelig antall andre løsninger som ikke er null. La oss angi en av metodene for å finne løsninger for et homogent system av tre lineære ligninger med tre ukjente i tilfellet
.

Det kan bevises at hvis
, og den første og andre ligningen er ikke-proporsjonale (lineært uavhengig), så er den tredje ligningen en konsekvens av de to første. Løsningen av et homogent system av tre ligninger med tre ukjente reduseres til løsningen av to ligninger med tre ukjente. Den såkalte gratis ukjente vises, som vilkårlige verdier kan tildeles.

Eksempel 4 Finn alle systemløsninger:

Løsning. Determinanten for dette systemet

Derfor har systemet null løsninger. Det kan sees at de to første ligningene for eksempel ikke er proporsjonale, derfor er de lineært uavhengige. Den tredje er en konsekvens av de to første (oppnådd ved å legge to ganger den andre til den første ligningen). Ved å avvise det, får vi et system med to ligninger med tre ukjente:

Forutsatt at f.eks.
, vi får

Å løse et system med to lineære ligninger, uttrykker vi og gjennom :
. Derfor kan løsningen av systemet skrives som:
, hvor - vilkårlig nummer.

Eksempel 5 Finn alle systemløsninger:

Løsning. Det er lett å se at i dette systemet er det bare én uavhengig ligning (de to andre er proporsjonale med den). Et system med tre ligninger med tre ukjente er redusert til en ligning med tre ukjente. To gratis ukjente vises. Finne for eksempel fra den første ligningen
for vilkårlig og , får vi løsninger av dette systemet. Den generelle formen for løsningen kan skrives som og - vilkårlige tall.

Spørsmål til selvransakelse

Formuler Cramers regel for løsning av systemet lineære ligninger med ukjent.

Hva er essensen av matrisemetoden for å løse systemer?

Hva er Gauss-metoden for å løse et system med lineære ligninger?

Formuler Kronecker-Capelli-teoremet.

Formuler en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av ikke-nullløsninger av et homogent system av lineære ligninger.

Eksempler for selvløsning

Finn alle systemløsninger:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Bestem hvilke verdier og ligningssystem

a) har en unik løsning;

b) har ingen løsning;

c) har uendelig mange løsninger.

16.
; 17.
;

Finn alle løsninger for følgende homogene systemer:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Svar på eksempler

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- vilkårlig nummer.

6.
, hvor - vilkårlig nummer.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, hvor - vilkårlig nummer.

12. , hvor og - vilkårlige tall.

13.
; 14.
hvor og - vilkårlige tall.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; i)
.

17. a)
; b)
; i)
;

18.
; 19.
; 20., hvor - vilkårlig nummer.

21. , hvor - vilkårlig nummer.

22. , hvor - vilkårlig nummer.

23. , hvor og - vilkårlige tall.

For systemet komponerer vi hoveddeterminanten

og beregne det.

Så lager vi ytterligere determinanter

og beregne dem.

I følge Cramers regel finnes løsningen av systemet ved formlene

;
;
,hvis

La oss regne ut:

Ved Cramers formler finner vi:

Svar: (1; 2; 3)

La oss regne ut:

Siden hoveddeterminanten
, og minst én ekstra er ikke lik null (i vårt tilfelle
), så har systemet ingen løsning.

La oss regne ut:

Siden alle determinanter er lik null, har systemet uendelig sett løsninger som kan finnes

Løs dine egne systemer:

en)
b)

Svar: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktisk leksjon nummer 3 om emnet:

Det skalare produktet av to vektorer og dets anvendelse

1. Hvis gitt
og
, deretter skalært produkt finn ved formelen:

∙

2. Hvis, så er skalarproduktet av disse to vektorene funnet av formelen

1. To vektorer er gitt
og

Vi finner deres skalarprodukt som følger:

2. To vektorer er gitt:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

dot produkt er funnet slik:

3.
,

3.1 Finne arbeidet til en konstant kraft på en rett del av banen

1) Under påvirkning av en kraft på 15N har kroppen beveget seg i en rett linje med 2 meter. Vinkelen mellom kraften og bevegelsesretningen =60 0 . Beregn arbeidet som gjøres av kraften for å bevege kroppen.

Gitt:

Løsning:

2) Gitt:

Løsning:

3) Et legeme beveget seg fra punkt M(1; 2; 3) til punkt N(5; 4; 6) under påvirkning av en kraft på 60N. Vinkel mellom kraftretning og forskyvningsvektor =45 0 . Beregn arbeidet utført av denne kraften.

Løsning: finn forskyvningsvektoren

Finn forskyvningsvektormodulen:

I henhold til formelen
finne en jobb:

3.2 Bestemme ortogonaliteten til to vektorer

To vektorer er ortogonale if
, det er

fordi

– ikke ortogonalt

-ortogonal

3) Bestem for hvilke  vektorene
og
gjensidig ortogonal.

Fordi
, deretter
, midler

Bestem selv:

en)

. Finn deres skalarprodukt.

b) Regn ut hvor mye arbeid kraften gjør
, hvis punktet for påføringen, som beveger seg i en rett linje, har flyttet seg fra punkt M (5; -6; 1) til punkt N (1; -2; 3)

c) Bestem om vektorene er ortogonale
og

Svar: a) 1 b) 16 c) ja

3.3 Finne vinkelen mellom vektorer

. Finne .

Vi finner

plugg inn i formelen:

en). Toppunktene til trekanten A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) er gitt. Finn vinkelen ved toppunkt A.

Bytt ut i formelen:

Bestem selv:

Toppunktene til trekanten A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) er gitt. Definere indre hjørne på toppen av A.

Svar: 90 o

Praktisk leksjon nummer 4 om emnet:

VEKTORPRODUKT AV TO VEKTORER OG DETS ANVENDELSE.

Formelen for å finne kryssproduktet av to vektorer:

har formen

1) Finn vektorproduktmodulen:

Vi komponerer determinanten og beregner den (i henhold til Sarrus-regelen eller teoremet om utvidelse av determinanten i form av elementene i den første raden).

1. metode: etter Sarrus-regelen

Andre måte: utvide determinanten med elementene i den første raden.

2) Finn modulen til kryssproduktet:

4.1. BEREGNING AV AREALET PÅ ET PARALLELOGRAM BYGGET PÅ TO VEKTORER.

1) Beregn arealet til et parallellogram bygget på vektorer

2). Finn kryssproduktet og dets modul

4.2. BEREGNING AV AREALET AV EN TREKANT

Eksempel: gitt toppunktene til trekanten A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Beregn arealet av trekanten.

La oss først finne koordinatene til to vektorer som kommer ut av samme toppunkt.

La oss finne vektorproduktet deres

4.3. BESTEMMELSE AV KOLLINEARITET AV TO VEKTORER

Hvis vektoren
og
er collineære, da

, dvs. koordinatene til vektorene må være proporsjonale.

a) Vektordata::
,
.

De er kollineære pga
og

etter reduksjon av hver fraksjon oppnås forholdet

b) Vektordata:

.

De er ikke collineære pga
eller

Bestem selv:

a) For hvilke verdier av m og n av vektoren
collineær?

Svar:
;

b) Finn kryssproduktet og dets modul
,
.

Svar:
,
.

Praktisk leksjon nummer 5 om emnet:

RETT LINJE PÅ FLYET

Oppgave nummer 1. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet A (-2; 3) parallelt med den rette linjen

1. Finn helningen til den rette linjen
.

er ligningen til en rett linje med helning og begynnelsesordinat (
). Derfor
.

2. Siden linjene MN og AC er parallelle, er deres helninger like, dvs.
.

3. For å finne ligningen til den rette linjen AC bruker vi ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt med en gitt helning:

. I denne formelen, i stedet for og vi erstatter koordinatene til punktet A (-2; 3), i stedet for la oss erstatte - 3. Som et resultat av byttet får vi:

Svar:

Oppgave nummer 2. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (1; -2) parallelt med den rette linjen.

1. Finn helningen til den rette linjen.

Dette er den generelle ligningen for en rett linje, som i generelt syn gitt av formelen. Ved å sammenligne ligningene finner vi at A \u003d 2, B \u003d -3. Helningen til den rette linjen gitt av ligningen er funnet av formelen
. Ved å erstatte A = 2 og B = –3 i denne formelen får vi skråningen direkte MN. Så,
.

2. Siden linjene MN og KS er parallelle, er skråningene deres like:
.

3. For å finne likningen til den rette linjen KS bruker vi formelen for likningen av en rett linje som går gjennom et punkt med en gitt helning
. I denne formelen, i stedet for og vi erstatter koordinatene til punktet K(–2; 3), i stedet for

Oppgave nummer 3. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (–1; –3) vinkelrett på den rette linjen.

1. er den generelle ligningen for en rett linje, som vanligvis er gitt av formelen.

og vi finner at A = 3, B = 4.

Helningen til den rette linjen gitt av ligningen er funnet av formelen:
. Ved å erstatte A = 3 og B = 4 i denne formelen får vi helningen til den rette linjen MN:
.

2. Siden linjene MN og KD er vinkelrette, er skråningene deres omvendt proporsjonale og motsatte i fortegn:

3. For å finne likningen til den rette linjen KD bruker vi formelen for likningen av en rett linje som går gjennom et punkt med en gitt helning

. I denne formelen, i stedet for og vi erstatter koordinatene til punktet K(–1; –3), i stedet for la oss erstatte. Som et resultat av byttet får vi:

Bestem selv:

1. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (–4; 1) parallelt med den rette linjen
.

Svar:
.

2. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (5; -2) parallelt med den rette linjen
.

3. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (–2; –6) vinkelrett på den rette linjen
.

4. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K (7; -2) vinkelrett på den rette linjen
.

Svar:
.

5. Finn ligningen for perpendikulæren som faller fra punktet K (–6; 7) til den rette linjen
.

Etter at forfatteren av nettstedet var i stand til å lære boten sin å løse en lineær diofantligning med to variabler, var det et ønske om å lære boten å løse lignende ligninger, men med tre ukjente. Jeg måtte dykke ned i bøkene.

Etter å ha kommet derfra to måneder senere, innså forfatteren at han ikke forsto noe. Nidkjært smarte matematikere skrev de algoritmen for å utlede formler så intrikat at jeg skammet meg over en dødelig. Jeg ble lei meg, men jeg fant likevel én nyttig tanke i de åpne rommene i boken, og fra denne tanken kom en forståelse av hvordan man løser diofantiske ligninger med tre ukjente.

Så for alle som ikke er matematikere, men ønsker å bli det :)

Diofantligning med tre ukjente ser slik ut

hvor er heltall

Hvis vi tenker hva felles vedtak kanskje ukjent, det mest banale ser slik ut

Bytt inn vår generelle løsning i ligningen

Hva er nytten med dette, vil den utålmodige leser spørre? Men hvilken, vi grupperer alt etter ukjente, får vi

Se, på høyre side er det noen konstant antall, betegnet med bokstaven d

Dette betyr at det ikke er avhengig av t (det er en variabel, du vet aldri hvilken verdi den vil bli), som betyr

Det er logisk å anta at det heller ikke er avhengig av z, som betyr

men det avhenger direkte av de konstante verdiene til A 3 og B 3, det vil si

Hva endte vi opp med? Og vi fikk tre typiske klassiske diofantiske ligninger i to ukjente som vi enkelt og naturlig kan bestemme.

La oss prøve å bestemme?

I de første linjene søkemotorer fant denne ligningen

Den første ligningen vil være slik

sine røtter

La oss bli kvitt nuller, ta for eksempel k=-1. (Hvis du vil kan du ta 2 eller 100 eller -3) På siste avgjørelse det vil ikke påvirke.

Vi løser den andre ligningen

og dens røtter

la her k=0 (fordi X og Y ikke allerede sammenfaller ved nullverdier)

Og siste tredjedel ligningen

Røttene er her

La oss nå erstatte alle de funnet verdiene i den generelle formen

Det er alt!

Merk at alt løses veldig enkelt og gjennomsiktig! Sikkert lærere og dyktige studenter vil ta i bruk denne teknikken, siden forfatteren av boten fant den i bøker.

Et annet eksempel er allerede løst med en bot.

Addisjon: Når du løser lignende ligninger ved hjelp av en robot, kan du støte på det faktum at roboten vil gi deg en feilmelding som ber deg bytte ut variablene med et nytt forsøk på å løse ligningen. Dette skyldes det faktum at under mellomberegninger oppnås en uløselig ligning

Som et eksempel

Når du prøver å løse ligningen

i vårt tilfelle

vi vil få en feil, fordi for alle verdier, på venstre side vil det alltid (!!) partall, og på høyre side, som vi ser, er rart.

Men dette betyr ikke at den opprinnelige ligningen er uløselig. Det er nok å endre vilkårene i en annen rekkefølge, for eksempel som dette

og få svaret

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Ligninger har blitt brukt av mennesker siden antikken og siden har bruken bare økt. Et system med tre ligninger med tre ukjente har ikke en løsning i alle tilfeller, til tross et stort nummer av ligninger. Som regel løses denne typen systemer ved hjelp av substitusjonsmetoden eller ved bruk av Cramer-metoden. Den andre metoden gjør det mulig å avgjøre i de første stadiene om systemet har en løsning.

Anta at vi er gitt neste system fra tre ligninger med tre ukjente:

\[\venstre\(\begin(matrise) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(matrise)\right.\]

Det er mulig å løse dette heterogent system lineær algebraiske ligninger Axe = B ved Cramers metode:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Determinanten til systemet \ er ikke lik null. Finn hjelpedeterminanter \ hvis de ikke er lik null, så er det ingen løsninger, hvis de er like, så er det et uendelig antall løsninger

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Et system med 3 lineære ligninger med 3 ukjente, hvis determinant er forskjellig fra null, er alltid kompatibelt og har en unik løsning beregnet av formlene:

Svar: fikk en avgjørelse

\[\venstre\(\begin(matrise) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(matrise)\høyre.\]

Hvor kan jeg løse et ligningssystem med tre ukjente på nettet?

Du kan løse ligningen på vår nettside https: // site. Gratis online løser lar deg løse en online ligning av enhver kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonen og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

Systemer med tre lineære ligninger i tre ukjente

Lineære ligninger (førstegradsligninger) med to ukjente

Definisjon 1. Lineær ligning (førstegradsligning) med to ukjente x og y navngir en ligning som ser ut som

Løsning . La oss uttrykke fra likhet (2) variabelen y i form av variabelen x :

Det følger av formel (3) at alle tallpar i formen

hvor x er et hvilket som helst tall.

Merknad . Som det fremgår av løsningen i eksempel 1, har ligning (2). uendelig mange løsninger. Det er imidlertid viktig å merke seg det ikke noe par med tall (x; y) er en løsning på denne ligningen. For å få en løsning på ligning (2), kan tallet x tas som et hvilket som helst tall, og tallet y kan deretter beregnes ved hjelp av formel (3).

Systemer av to lineære ligninger i to ukjente

Definisjon 3. Et system av to lineære ligninger med to ukjente x og y kalles et likningssystem med formen

hvor en 1 , b 1 , c 1 , en 2 , b 2 , c 2 er gitt tall.

Definisjon 4 . I ligningssystemet (4), tallene en 1 , b 1 , en 2 , b 2 blir oppringt og numrene c 1 , c 2 – gratis medlemmer.

Definisjon 5. Ved å løse ligningssystemet (4) navngi et tallpar x; y), som er en løsning på både den ene og den andre likningen av systemet (4).

Definisjon 6. De to ligningssystemene kalles ekvivalent (ekvivalent), hvis alle løsninger av det første likningssystemet er løsninger av det andre systemet, og alle løsninger av det andre systemet er løsninger av det første systemet.

Ekvivalensen til ligningssystemer er angitt med symbolet ""

Systemer av lineære ligninger løses ved hjelp av hvilke vi skal illustrere med eksempler.

Eksempel 2. Løs et ligningssystem

Løsning . For å løse systemet (5) vi eliminerer det ukjente fra den andre ligningen i systemet X .

For dette formål transformerer vi først system (5) til en form der koeffisientene for ukjent x i den første og andre likningen til systemet blir de samme.

Hvis den første ligningen til system (5) multipliseres med koeffisienten ved x i den andre ligningen (nummer 7), og den andre ligningen multipliseres med koeffisienten ved x i den første ligningen (nummer 2), så system (5) vil ta formen

La oss nå utføre følgende transformasjoner på systemet (6):

trekk den første likningen fra den andre likningen og erstatt den andre likningen i systemet med den resulterende forskjellen.

Som et resultat blir system (6) transformert til et ekvivalent system

Fra den andre ligningen finner vi y= 3 , og erstatte denne verdien i den første ligningen, får vi

Svar . (-2; 3).

Eksempel 3. Finn alle verdiene av parameteren p som ligningssystemet for

en) har en unik løsning;

b) har uendelig mange løsninger;

i) har ingen løsninger.

Løsning . Ved å uttrykke x i form av y fra den andre likningen i system (7) og erstatte det resulterende uttrykket i stedet for x i den første likningen i system (7), får vi

La oss studere løsningene til system (8) avhengig av verdiene til parameteren p . For å gjøre dette, vurderer vi først den første ligningen av systemet (8):

y (2 - s) (2 + s) = 2 + s

(9)

Hvis en , så har ligning (9) en unik løsning

Altså i tilfelle når , system (7) har den eneste løsningen

Hvis en s= - 2 , så tar ligning (9) formen

og løsningen er et hvilket som helst tall . Derfor er løsningen på system (7). uendelig sett alle par med tall

hvor y er et hvilket som helst tall.

Hvis en s= 2 , så tar ligning (9) formen

og har ingen løsninger, derfra følger det systemet (7) har ingen løsninger.

Systemer med tre lineære ligninger i tre ukjente

Definisjon 7. Et system med tre lineære ligninger med tre ukjente x , y og z kaller likningssystemet som har formen

hvor en 1 , b 1 , c 1 , d 1 , en 2 , b 2 , c 2 , d 2 , en 3 , b 3 , c 3 , d 3 er gitt tall.

Definisjon 8. I ligningssystemet (10), tallene en 1 , b 1 , c 1 , en 2 , b 2 , c 2 , en 3 , b 3 , c 3 kalt koeffisienter ved ukjent, og tallene d 1 , d 2 , d 3 – gratis medlemmer.

Definisjon 9. Ved å løse ligningssystemet (10) nevne en trio av tall (x; y ; z) , når du erstatter dem i hver av de tre likningene i systemet (10), oppnås den korrekte likheten.

Eksempel 4. Løs et ligningssystem

Løsning . Vi vil løse system (11) ved hjelp av metode sekvensiell ekskludering ukjent.

For dette, først vi eliminerer det ukjente fra andre og tredje likning av systemet y ved å utføre følgende transformasjoner på systemet (11):

vi lar den første ligningen til systemet være uendret;
legg til den første ligningen til den andre ligningen og erstatt den andre ligningen til systemet med den resulterende summen;
trekk den første likningen fra den tredje likningen og erstatt den tredje likningen i systemet med den resulterende forskjellen.

Som et resultat blir system (11) transformert til et ekvivalent system

Nå vi eliminerer det ukjente fra systemets tredje ligning x ved å utføre følgende transformasjoner på systemet (12):

vi lar den første og andre ligningen til systemet være uendret;
trekk den andre likningen fra den tredje likningen og erstatt den tredje likningen i systemet med den resulterende forskjellen.

Som et resultat blir system (12) transformert til et ekvivalent system

Ute av systemet (13) konsekvent finne

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Svar . (1; 2; -2).

Eksempel 5. Løs et ligningssystem

Løsning . Merk at fra dette systemet kan man få en praktisk konsekvens ved å legge til alle tre likningene i systemet: