Logiske lenker. Utsagn - enkle og sammensatte
LOGISKE LENKER- symboler på logiske språk som brukes til å danne komplekse utsagn (formler) fra elementære. De naturlige språkforeningene som tilsvarer disse symbolene kalles også logiske forbindelser. Vanligvis brukes slike logiske forbindelser som konjunksjon (konjunksjon "og", symbolske betegnelser: &, ∧ og en prikk i form av et multiplikasjonstegn, som ofte utelates når man skriver konjunksjonen EN Og I Hvordan AB), disjunksjon (en ikke-streng forening "eller", betegnet som "∨"), implikasjon ("hvis ..., da", angitt med tegnet "⊃" og forskjellige typer piler), negasjon ("det er ikke sant at ... ”, angitt med: , ~ eller en strek over det negerte uttrykket). Av disse er negasjon en enkelt (unær) forbindelse. Andre er doble (binære). I prinsippet kan logiske koblinger være vilkårlig lokale, men i praksis brukes mer enn binære koblinger svært sjelden. I klassisk logikk ( Logikk , proposisjonell logikk ) alle logiske koblinger på mange steder kan uttrykkes i form av de oppregnede. Noe praktisk betydning gis ved bruk av en ternær logisk forbindelse, kalt en betinget disjunksjon, som forbinder tre utsagn A, B Og MED og mener det EN når I, Og MED i tilfelle ikke- B' eller formelt: ( B⊃EN)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Proposisjonskalkyle med betinget disjunksjon. - I boken: Metoder for logisk analyse. M., 1977).
Klassisk logikk betrakter logiske koblinger ekstensjonelt (ignorerer den meningsfulle betydningen av utsagnene de kobler til) som sannhetsfunksjoner bestemt av sannhetsverdiene til utsagnene de kobler sammen. Med to sannhetsverdier i denne logikken 1 (sann) og 0 (falsk) utsagn EN Og I kan ha fire mulige sett med ordnede sannhetsverdier:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Den proposisjonelle sannhetsfunksjonen tildeler hvert oppført sett en av sannhetsverdiene - 1 eller 0. Det er totalt 16 slike funksjoner. Konjunksjonen tildeler uttrykket EN&I verdi 1 bare hvis begge EN, og I er sanne, dvs. begge har verdien 1, ellers verdien EN&I er 0. Disjunksjon Α ∨ I, tvert imot, er falsk bare i ett tilfelle, når begge er falske EN, og I. implikasjon EN⊃ I er falsk bare når sant (forløpet) EN og falsk (følgende) I. I andre tilfeller EN⊃ I tar verdien 1. Av de fire ettstedsfunksjonene er det bare negasjon som er av interesse, og endrer betydningen av utsagnet til det motsatte: når EN er sant, A er usant og omvendt. Alle andre unære og binære klassiske funksjoner kan uttrykkes i form av representerte. Når systemet med logiske koblinger tatt i bruk i den tilsvarende semantikken lar oss definere alle de andre, kalles det funksjonelt komplett. Komplette systemer i klassisk logikk inkluderer spesielt konjunksjon og negasjon; disjunksjon og negasjon; implikasjon og negasjon. Konjunksjonen og disjunksjonen er definerbare i forhold til hverandre på grunn av ekvivalensene ( EN&I)≡(EN∨I) og (A∨B)≡( EN&B), kalt de Morgans lover, og også: (Α⊃Β)≡( Α ∨I), (EN&I)≡(EN⊃B), ( Α ∨I)≡((EN⊃I)⊃A). Eventuell ekvivalens av skjemaet EN≡ I er bare gyldig når konjunksjonen er gyldig (alltid sant) ( EN⊃I)&(I⊃EN).
Funksjonene antidisjunksjon og antikonjunksjon, definert henholdsvis som ( EN∨I) og ( EN&I), representerer også, hver for seg, et funksjonelt komplett system av bunter. Denne siste omstendigheten var allerede kjent Ch. Pierce (upublisert i løpet av hans levetid, verket fra 1880) og ble gjenoppdaget av H.M.Sheffer. Ved å bruke antidisjunksjon som den eneste logiske forbindelsen, bygde Schaeffer i 1913 en komplett proposisjonskalkyle. Antidisjunksjonen er betegnet EN∣I og kall Schaeffer-slaget, les dette uttrykket som "ikke- EN og ikke- B". J. G. P. Nicod brukte den samme notasjonen for antikonjunksjon ("Det er ikke sant at på samme tid EN Og B”), og ved hjelp av denne bunten alene formulerte han i 1917 en fullstendig proposisjonskalkyle med én (totalt!) aksiom og en slutningsregel. Dermed er Schaeffer-slaget i hovedsak den veldig vertikale linjen, som ifølge forskjellige forfattere kan betegne både antidisjunksjon og antikonjunksjon.
Utvidelsen til logiske koblinger gir dem unikhet, forenkler problemet med å konstruere logiske kalkuler, og gjør det mulig å løse de metateoretiske problemene med konsistens, avgjørbarhet og fullstendighet for sistnevnte (se fig. metallisk ). I noen tilfeller fører imidlertid den sannhetsfunksjonelle tolkningen av koblinger til et betydelig avvik med hvordan de forstås i naturlig språk. Dermed tvinger den indikerte sannhetstolkningen av implikasjonen oss til å gjenkjenne som sanne setninger av formen "Hvis EN, At B» selv i tilfellet mellom uttalelser EN Og I(og følgelig hendelsene de snakker om) det er ingen reell sammenheng. Nok til EN var falsk eller I- sant. Derfor, fra to setninger: "Hvis EN, At I» og hvis I, At EN”, må minst én aksepteres som sann, noe som ikke passer godt med den vanlige bruken av det betingede bindemidlet. Implikasjonen i dette tilfellet kalles spesifikt "materiale", og skiller det derved fra den betingede konjunksjonen, som forutsetter at det er en reell sammenheng mellom antecedenten og konsekvensen av en sann betinget setning. Samtidig kan den materielle implikasjonen perfekt brukes i mange sammenhenger, for eksempel matematiske, når man ikke glemmer dens spesifikke egenskaper. I noen tilfeller er det imidlertid konteksten som ikke tillater at den betingede konjunksjonen tolkes som en materiell implikasjon, noe som antyder forholdet mellom utsagn. For å analysere slike sammenhenger må man bygge spesielt ikke-klassiske logikker , for eksempel relevant (jf. Relevant logikk ), på hvis språk, i stedet for en materiell implikasjon (eller sammen med den), andre implikasjoner introduseres, som forstås intensjonelt (kontentivt) og hvis riktighet ikke kan underbygges sannhetsfunksjonelt. Andre logiske koblinger kan også tolkes intensjonelt.
Litteratur:
1. Kirke A. Introduksjon til matematisk logikk, vol. 1. M., 1960;
2. Curry H. Grunnlaget for matematisk logikk. M., 1969.
E.A. Sidorenko
LOGISKE LENKER
LOGISKE LENKER
LOGISKE FORBINDELSER - symboler på logiske språk som brukes til å danne komplekse utsagn (formler) fra elementære. De naturlige språkforeningene som tilsvarer disse symbolene kalles også logiske forbindelser. Vanligvis brukes slike logiske forbindelser som (konjunksjon "og", symbolske betegnelser: &, l og en prikk i form av et multiplikasjonstegn, som ofte utelates når man skriver konjunksjonen A og B som AB), (ikke-streng forening "eller", betegnet som "v "), ("hvis..., da", er indikert med negasjonstegnet ("det er ikke sant at ...", angitt med: -ι, LOGISKE FORBINDELSER eller en linje over det negerte uttrykket).Av disse er negasjonen enkelt (unarær) Andre er to-plassert (binære).I prinsippet kan logiske koblinger være vilkårlig lokale, men i praksis brukes mer enn binære svært sjelden.I klassisk logikk (Logikk, proposisjonell logikk), alle logiske koblinger på mange steder kan uttrykkes gjennom de oppregnede. Noen praktiske gir bruken av et ternært logisk koblingsledd, kalt en betinget disjunksjon, som forbinder tre proposisjoner A, B og C og betyr at " A i tilfelle av B, og C i tilfelle av hb-?" eller formelt: (B z A)&(-, B e O (Sidorenko E. A. Proposisjonell med betinget disjunksjon. - I boken: Metoder for logisk analyse. M., 1977).
Den klassiske betrakter logiske forbindelser ekstensjonelt (og ignorerer den meningsfulle betydningen av utsagnene de forbinder) som sannhetsfunksjoner bestemt av sannhetsverdiene til utsagnene de forbinder. For to sannhetsverdier i denne logikken
I tilfellet 1 (sann) og 0 (usann), kan utsagn A og B ha fire mulige sett med ordnede sannhetsverdier: , . Proposisjonell sannhet setter i samsvar med hvert oppført sett en av sannhetsverdiene - 1 eller 0. Det er totalt 16 slike funksjoner. , i andre tilfeller er verdien av A&B lik 0. Disjunksjonen Α ν B, tvert imot, er falsk bare i ett tilfelle, når både A og B er usann. ) B. I andre tilfeller tar A => B verdien 1. Av de fire enstedsfunksjonene representerer den kun negasjon, som endres betydningen av utsagnet til det motsatte: når A er sann, er -A usant, og omvendt. Alle andre unære og binære klassiske funksjoner kan uttrykkes i form av representerte. Når de logiske forbindelsene som er akseptert i den tilsvarende semantikken tillater oss å gi alle de andre, kalles det funksjonelt komplett. Komplette systemer i klassisk logikk inkluderer spesielt konjunksjon og negasjon; disjunksjon og negasjon; implikasjon og negasjon. Konjunksjon og disjunksjon er definerbare gjennom hverandre på grunn av ekvivalensene (А&В) = -i(-i/4v-i.ß) og (A v В) a -,(-Α&-ιΒ), kalt de Morgans lover, og også: (A ^ B) s (-iA ^ B), (A & B) s -, (A e -ιΒ), (Α ν B) \u003d ((A \u003e B) 3A). Enhver form L = B er bare gyldig når konjunksjonen (A =) B) & (B e A) er gyldig (alltid sann).
Funksjonene antidisjunksjon og antikonjunksjon, definert som henholdsvis -ι(Α ν В) og -(А&.В), representerer hver for seg et funksjonelt komplett system av koblinger. Denne siste omstendigheten var allerede kjent for C. Pierce (verk upublisert i løpet av hans levetid i 1880) og ble gjenoppdaget av H. M. Shefier. Ved å bruke antidisjunksjon som den eneste logiske forbindelsen, konstruerte Schaeffer i 1913 en komplett . Antidisjunksjonen er betegnet med A B og kalles Schefer-slag, og leser uttrykket som "ikke-D og ikke-B". J. G. P. Nicod brukte den samme notasjonen for antikonjunksjon ("Det er ikke sant at A og B er samtidig") og ved å bruke bare denne forbindelsen i 1917 formulerte han en fullstendig proposisjonskalkyle med ett (bare!) aksiom og én slutningsregel. Dermed er Schaeffer-slaget i hovedsak den veldig vertikale linjen, som ifølge forskjellige forfattere kan betegne både antidisjunksjon og antikonjunksjon.
Utvidelsen til logiske koblinger gir dem unikhet, forenkler problemet med å konstruere logiske kalkuler, og gjør det mulig å løse for sistnevnte de metateoretiske problemene med konsistens, avgjørbarhet og fullstendighet (se Metalogic ). I noen tilfeller fører imidlertid den sannhetsfunksjonelle tolkningen av koblinger til et betydelig avvik med hvordan de forstås i naturlig språk. Dermed tvinger den indikerte sannhetsimplikasjonen oss til å gjenkjenne som sanne setninger av formen "Hvis A, så B" selv i tilfellet når det ikke er noen reell sammenheng mellom utsagnene A og B (og følgelig hendelsene de snakker om ). Det er nok at A er usann eller B er sann. Derfor, av de to setningene: "Hvis A, så B" og "Hvis B, så A", må minst én anerkjennes som sann, noe som ikke passer godt med den vanlige bruken av det betingede bindemidlet. Implikasjonen i dette tilfellet kalles spesifikt "materiale", og skiller det derved fra den betingede foreningen, som forutsetter at det er en reell mellom antecedenten og konsekvensen av den sanne betingede erklæringen. Samtidig kan den materielle implikasjonen perfekt brukes i mange sammenhenger, for eksempel matematiske, når man ikke glemmer dens spesifikke egenskaper. I noen tilfeller tillater den imidlertid ikke å tolke den betingede konjunksjonen som en vesentlig implikasjon, forutsatt utsagn. For å analysere slike kontekster må man konstruere spesielle, for eksempel relevante (se Relevant logikk), der i stedet for en materiell implikasjon (eller sammen med den) introduseres andre implikasjoner som forstås intensjonelt (kontentivt) og riktigheten hvorav ikke kan underbygges sannhetsfunksjonelt . Andre logiske koblinger kan også tolkes intensjonelt.
Lit .: Church L. Introduction to matematisk logikk, bd. 1. M., 1960; CurryH. Grunnlaget for matematisk logikk. M., 1969.
E. A. Sidorenko
New Philosophical Encyclopedia: I 4 bind. M.: Tenkte. Redigert av V. S. Stepin. 2001 .
Se hva "LOGICAL LINKS" er i andre ordbøker:
logiske forbindelser- - [L.G. Sumenko. Engelsk russisk ordbok for informasjonsteknologi. M .: GP TsNIIS, 2003.] Emner informasjonsteknologi generelt EN strukturelle konstanter ... Teknisk oversetterhåndbok
Logiske koblinger, logiske operatorer, funksjoner som transformerer utsagn eller proposisjonelle former (dvs. uttrykk for predikatlogikk (se predikatlogikk), som inneholder variabler (se variabel) og blir til utsagn når ... ... Stor sovjetisk leksikon
I logikk kalles logiske operasjoner handlinger, som et resultat av at nye konsepter genereres, muligens ved bruk av eksisterende. I en snevrere, formalisert forstand brukes begrepet en logisk operasjon i matematisk logikk og ... Wikipedia
Logikk operatører, logisk bunter, funksjoner som transformerer uttrykk logisk. kalkulus (formelle logiske systemer); er delt inn i proposisjonelle (sentensielle) konnektiver, ved hjelp av hvilke uttrykk for proposisjonell logikk dannes, og ... ... Filosofisk leksikon
Formaliseringer av meningsfull logikk. teorier; de utledede objektene til LP tolkes som proposisjoner sammensatt av de enkleste (generelt sett med en subjekt-predikatstruktur) ved hjelp av proposisjonelle bindemidler og kvantifiserere. Oftere… … Matematisk leksikon
En gren av logikk som studerer sannhetsforhold mellom påstander. Innenfor rammen av dette avsnittet vurderes utsagn (proposisjoner, setninger) kun fra et synspunkt. deres sannhet eller usannhet, uavhengig av deres indre subjektivitet ... Filosofisk leksikon
- (fra det greske logos-ordet, konseptet, resonnementet, sinnet), eller formell logikk, vitenskapen om lover og operasjoner for korrekt tenkning. I henhold til det grunnleggende prinsippet til L. bestemmes riktigheten av resonnement (konklusjon) bare av dens logiske form, eller ... ... Filosofisk leksikon
STATEMENTAL LOGIC, eller PROPOSITIONAL LOGIC- en del av deduktiv logikk der spørsmålet om sannheten (eller usannheten) av utsagn (dvs. vurderinger vurdert uten deres subjektive predikatstruktur) i slutninger vurderes basert på studiet av følgende uttrykksmåter t ... Moderne filosofisk ordbok
En liste over spesifikke symboler som brukes i matematikk kan sees i artikkelen Tabell over matematiske symboler Matematisk notasjon ("språk for matematikk") er et komplekst grafisk notasjonssystem som brukes til å presentere abstrakt ... ... Wikipedia
symboler på logiske språk som brukes til å danne komplekse utsagn (formler) fra elementære. De naturlige språkforeningene som tilsvarer disse symbolene kalles også logiske forbindelser. Vanligvis brukes slike logiske forbindelser som konjunksjon (konjunksjon "og", symbolske betegnelser: &, l og en prikk i form av et multiplikasjonstegn, som ofte utelates når konjunksjon A og B skrives som AB), disjunksjon (ikke- streng forening "eller", betegnet som "v"), implikasjon ("hvis..., da", angitt med tegnet, . Den proposisjonelle sannhetsfunksjonen tildeler hvert oppført sett en av sannhetsverdiene - 1 eller 0 Det er totalt 16 slike funksjoner. Konjunksjonen tilordner uttrykket A&B verdi 1 bare i tilfellet når både A og B er sanne, dvs. begge har verdien 1, i andre tilfeller er verdien A&B 0. Disjunksjonen B, tvert imot, er falsk bare i ett tilfelle når begge er usann som A og B. Implikasjonen A e B er falsk bare når sann (antecedent) A og usann (følgende) B. I andre tilfeller, A => B tar verdien 1. Av de fire ettstedsfunksjonene er det bare negasjon som er av interesse, og endrer betydningen av utsagnet til det motsatte: når A er sann, er -A usant, og omvendt. Alle andre unære og binære klassiske funksjoner kan uttrykkes i form av representerte. Når systemet med logiske koblinger tatt i bruk i den tilsvarende semantikken lar oss definere alle de andre, kalles det funksjonelt komplett. Komplette systemer i klassisk logikk inkluderer spesielt konjunksjon og negasjon; disjunksjon og negasjon; implikasjon og negasjon. Konjunksjon og disjunksjon er definerbare gjennom hverandre på grunn av ekvivalensene (А&В) = -i(-i/4v-i.) og (A v В) a -,(-&-), kalt de Morgans lover, og også: (A ^B)s (-iA^ B), (A&B) s -, (A e -), (B) \u003d ((A => B) 3A). Enhver ekvivalens av formen A = B er kun gyldig når konjunksjonen (A =) B) & (B e A) er gyldig (alltid sann).
Funksjonene antidisjunksjon og antikonjunksjon, definert som henholdsvis -(B) og -(A&.B), representerer hver for seg et funksjonelt komplett system av koblinger. Denne siste omstendigheten var allerede kjent for C. Pierce (verk upublisert i løpet av hans levetid i 1880) og ble gjenoppdaget av H. M. Shefier. Ved å bruke antidisjunksjon som den eneste logiske forbindelsen, bygde Schaeffer i 1913 en komplett proposisjonskalkyle. Antidisjunksjonen er betegnet med A B og kalles She4)fer-slag, og leser dette uttrykket som "ikke-D og ikke-B". J. G. P. Nicod brukte den samme notasjonen for antikonjunksjon ("Det er ikke sant at A og B er begge samtidig") og ved å bruke bare denne forbindelsen i 1917 formulerte han en fullstendig proposisjonskalkyle med ett (bare!) aksiom og én slutningsregel . Dermed er Schaeffer-slaget i hovedsak den veldig vertikale linjen, som ifølge forskjellige forfattere kan betegne både antidisjunksjon og antikonjunksjon.
Utvidelsen til logiske koblinger gir dem unikhet, forenkler problemet med å konstruere logiske kalkuler, og gjør det mulig å løse for sistnevnte de metateoretiske problemene med konsistens, avgjørbarhet og fullstendighet (se Metalogic ). I noen tilfeller fører imidlertid den sannhetsfunksjonelle tolkningen av koblinger til et betydelig avvik med hvordan de forstås i naturlig språk. Dermed tvinger den indikerte sannhetstolkningen av implikasjonen oss til å gjenkjenne som sanne setninger av formen "Hvis A, så B" selv i tilfelle når det ikke er noen reell sammenheng mellom utsagnene A og B (og følgelig hendelsene de snakker om). Det er nok at A er usann eller B er sann. Derfor, av de to setningene: "Hvis A, så B" og "Hvis B, så A", må minst én anerkjennes som sann, noe som ikke passer godt med den vanlige bruken av det betingede bindemidlet. Implikasjonen i dette tilfellet kalles spesifikt "materiale", og skiller det derved fra den betingede konjunksjonen, som forutsetter at det er en reell sammenheng mellom antecedenten og konsekvensen av en sann betinget setning. Samtidig kan den materielle implikasjonen perfekt brukes i mange sammenhenger, for eksempel matematiske, når man ikke glemmer dens spesifikke egenskaper. I noen tilfeller er det imidlertid konteksten som ikke tillater at den betingede konjunksjonen tolkes som en materiell implikasjon, noe som antyder forholdet mellom utsagn. For å analysere slike kontekster, må man bygge spesielle ikke-klassiske logikker, for eksempel relevante (se Relevant logikk), på språket som i stedet for en materiell implikasjon (eller sammen med den), introduseres andre implikasjoner som er forstått intensjonelt (kontentivt) og hvis riktighet ikke kan rettferdiggjøres sannhetsfunksjonelt. Andre logiske koblinger kan også tolkes intensjonelt.
Konjunktiv dom.
konjunktiv dom En påstand som er sann hvis og bare hvis alle påstandene som er inkludert i den er sanne.
Den er dannet ved hjelp av en logisk forening av en konjunksjon, uttrykt ved de grammatiske foreningene "og", "ja", "men", "men". For eksempel, "Skinner, men varmer ikke."
Det er symbolsk betegnet som følger: A? B, hvor A, B er variabler som angir enkle vurderinger, ? er et symbolsk uttrykk for den logiske foreningen av konjunksjonen.
Definisjonen av en konjunksjon tilsvarer en sannhetstabell:
disjunktive dommer.
Det er to typer disjunktive proposisjoner: streng (eksklusiv) disjunksjon og ikke-streng (ikke-eksklusiv) disjunksjon.
Streng (eksklusiv) disjunksjon- en kompleks påstand som tar den logiske verdien av sannhet hvis og bare hvis bare en av påstandene som er inkludert i den er sann eller "som er usann når begge utsagnene er usanne." For eksempel, "Det gitte tallet er enten et multiplum eller ikke et multiplum av fem."
Den logiske unionsdisjunksjonen uttrykkes gjennom den grammatiske foreningen "enten ... eller".
Symbolsk skrevet A?B.
Den logiske verdien av en streng disjunksjon tilsvarer sannhetstabellen:
Ikke-streng (ikke-eksklusiv) disjunksjon- en kompleks påstand som tar den logiske verdien av sannhet hvis og bare hvis minst en (men kan være flere) av de enkle påstandene som er inkludert i den komplekse er sanne. For eksempel, "Forfattere kan enten være poeter eller prosaforfattere (eller begge deler)".
En ikke-streng disjunksjon uttrykkes ved hjelp av den grammatiske foreningen "eller ... eller" i en splittende-sammenhengende betydning.
Symbolsk skrevet A ? B. En ikke-streng disjunksjon tilsvarer en sannhetstabell:
Implikative (betingede) dommer.
implikasjon- en kompleks proposisjon som tar den logiske verdien av falskhet hvis og bare hvis den forrige proposisjonen ( forutgående) er sant, og den neste ( konsekvent) er falsk.
I naturlig språk uttrykkes implikasjonen av foreningen "hvis ... da" i betydningen "sannsynligvis A og ikke B". For eksempel, "Hvis et tall er delelig med 9, så er det også delbart med 3."
Symbolsk er implikasjonen skrevet A> B (hvis A, så B).
Den boolske verdien er representert i sannhetstabellen:
En analyse av egenskapene til implikasjonen viser at sannheten til antecedenten er tilstrekkelig tilstand sannheten om det påfølgende, men ikke omvendt. Tilstrekkelig for et eller annet fenomen er en slik tilstand, hvis tilstedeværelse helt sikkert vil forårsake dette fenomenet. For eksempel, "å være en bjørk" en tilstrekkelig tilstand til å inkludere den i klassen trær, siden alle bjørker er trær og ingen ikke-bjørk er et tre.
Samtidig er sannheten om konsekvensen nødvendig tilstand sannheten om antecedenten, men utilstrekkelig. En nødvendig betingelse for et fenomen er en tilstand uten hvilken det (fenomenet) ikke finner sted. For eksempel er bjørkeklassen inkludert i treklassen, men er ikke lik den. Det er trær som ikke er bjørker. Imidlertid tilstanden "å være et tre" for bjørk er obligatorisk, siden alle bjørker er trær.
Paradokser med materielle implikasjoner.
Dette er hvordan den semantiske diskrepansen mellom operasjonen av materiell implikasjon og dens symbolske formel betegnes: A>B. I henhold til den materielle implikasjonen sannheten til A, for at formelen A>B skal være sann, er det nødvendig at B er sann. I dette tilfellet snakker vi om en meningsfull forståelse av utsagnets usannhet og sannhet. Imidlertid er formelen A>B sann ikke bare i dette tilfellet, men også når A er usann, og B er sann selv når de begge er usanne. Fra dette faktum følger paradokset med materielle implikasjoner: ethvert utsagn følger av en falsk utsagn, hva som helst, og en sann utsagn følger av enhver utsagn.
Ekvivalensdommer.
Ekvivalens- en kompleks dom som får den logiske verdien av sannhet hvis og bare hvis dommene som er inkludert i den har samme logiske verdi, det vil si at de enten er sanne eller usanne på samme tid.
Den logiske foreningen av ekvivalens uttrykkes ved de grammatiske foreningene "hvis og bare hvis, når", "hvis og bare hvis". For eksempel, "Hvis og bare hvis en trekant er likesidet, så er den likekantet."
Symbolsk er ekvivalens skrevet AB eller AB("hvis og bare hvis EN, deretter B").
Den boolske ekvivalensverdien tilsvarer sannhetstabellen:
En tilsvarende vurdering med medlemmer relatert til innhold uttrykker både en tilstrekkelig og en nødvendig betingelse: (A> B)? (B> A).
Ekvivalensen av uttrykkene (AB) og (A> B)? (B> A) kan bevises ved hjelp av sannhetstabellen.
Negasjon.
Negasjon- dette er en logisk operasjon, ved hjelp av hvilken en ny blir hentet fra ett utsagn, mens den enkle proposisjonen P blir til en kompleks, og hvis den opprinnelige enkle proposisjonen er sann, er den nye komplekse proposisjonen usann - " det er ikke sant at P" eller "påstand A er usann når påstanden AI er sann.
Uttrykk for noen logiske forbindelser gjennom andre.
De logiske foreningene vurdert ovenfor er utskiftbare og kan uttrykkes gjennom andre. For eksempel:
A> B = A? B - implikasjon gjennom disjunksjon;
A> B = B> A - implikasjon gjennom implikasjon;
A > B = A? B - implikasjon gjennom konjunksjon;
A? B = A? B - konjunksjon gjennom disjunksjon;
A? B = A? B - disjunksjon gjennom konjunksjon;
A? B = A? B - konjunksjon gjennom disjunksjon.
§ 4. Uttrykk av logiske bindeled (logiske konstanter) i naturlig språk
I tenkning opererer vi ikke bare med enkle, men også med komplekse vurderinger, dannet fra enkle ved hjelp av logiske koblinger (eller operasjoner) - konjunksjoner, disjunksjoner, implikasjoner, ekvivalenser, negasjoner, som også kalles logiske konstanter, eller logiske konstanter . La oss analysere hvordan de oppførte logiske forbindelsene uttrykkes i naturlig (russisk) språk.
Konjunksjonen (tegnet "l") uttrykkes av fagforeningene "og", "a", "men", "ja", "selv om", "som", "men", "men", "ikke bare . .., men også ", etc. I proposisjonell logikk forbinder tegnet "l" enkle utsagn, og danner komplekse utsagn fra dem. I naturlig språk kan foreningen "og" og andre ord som tilsvarer konjunksjonen forbinde substantiv, verb, adverb, adjektiver og andre deler av tale. For eksempel, "Bestefar hadde boletus og sommerfugler i kurven" (ab), "En interessant og vakkert designet bok ligger på bordet." Det siste utsagnet kan ikke deles opp i to enkle, forbundet med en konjunksjon: "En interessant bok er på takplaten" og "En vakkert designet bok ligger på bordet," siden det ser ut til at det er to bøker på bordet , og ikke en.
I proposisjonell logikk gjelder loven om konjunksjonskommutativitet (ab)(ba). Det er ingen slik lov i det naturlige russiske språket, siden tidsfaktoren fungerer. Der det tas hensyn til tidssekvens er bruken av "og" ikke kommutativ. Derfor vil for eksempel følgende to utsagn ikke være likeverdige: 1) "De koblet til lokomotivet, og toget begynte å bevege seg" og 2) "Toget begynte å bevege seg, og lokomotivet ble koblet".
I et naturlig språk kan en konjunksjon uttrykkes ikke bare med ord, men også med skilletegn: et komma, et semikolon, en bindestrek. For eksempel, "Lynet blinket, tordenen buldret, det begynte å regne."
S. Kleene skriver om uttrykket av en konjunksjon ved hjelp av et naturlig språk i sin bok Mathematical Logic. I avsnittet "Analysis of Reasoning" gir han en (ikke-uttømmende) liste over naturlige språkuttrykk som kan erstattes av symbolene "L" eller "&". Formel A^B i naturlig språk kan uttrykkes som følger:
"Ikke bare EN, men også I. Hvordan EN, så I.
I, selv om L. EN sammen med I.
I, på tross av EN.EN, samtidig som I" 7 .
Vi lar leseren komme med eksempler på alle disse strukturene.
I det naturlige (russiske) språket uttrykkes disjunksjonen (betegnet med ab og ab) av fagforeningene: "eller", "enten", "enten ... eller", osv. For eksempel, "I kvelden skal jeg gå på kino eller bibliotek"; "Dette dyret tilhører enten virveldyr eller virvelløse dyr"; "Rapporten vil enten være basert på verkene til L. N. Tolstoj, eller på verkene til F. M. Dostojevskij."
For begge typer disjunksjoner gjelder loven om kommutativitet: (ab(ba) og (ab)(ba). I naturlig språk er denne ekvivalensen bevart. For eksempel er proposisjonen " Jeg vil kjøpe smør eller brød" tilsvarer påstanden "Jeg vil kjøpe brød eller smør." S. Kleene viser på hvilke ulike måter implikasjon (AB) og ekvivalens ( EN~B).
(Brev EN Og I variabler er angitt.)
La oss gi logiske kretsløp og deres tilsvarende eksempler, og illustrere ulike måter å uttrykke på implikasjoner A -> B(Hvor EN- forutgående, I- påfølgende).
1. Hvis A, så B.
Hvis leverandører vil levere deler i tide, At anlegget vil oppfylle sin produksjonsplan.
2. Så snart A, så B.
Så snart som påførte krefter fjernes, At den komprimerte fjæren går tilbake til sin opprinnelige form.
3. Når A, B finner sted.
Når dårlig vær kommer inntreffer en økning i forekomsten av hjerte- og karsykdommer hos mennesker.
4. A er nok for B.
Til for at gasser skal utvide seg nok varme dem opp.
5. A trenger B.
Til opprettholde fred på jorden nødvendig forene innsatsen til alle stater i kampen for fred.
6. A, bare hvis B.
Studentene på dette kurset kom ikke til subbotnik, hvis bare de var syke.
7. B. hvis A.
Jeg la meg gå en tur Hvis du skal gjøre alle leksene dine.
La oss gi logiske kretser og tilsvarende eksempler på ulike måter å uttrykke på ekvivalenser.
1. A hvis og bare hvis B.
Ivanov vil ikke fullføre eksperimentene sine innen fristen, hvis og bare hvis personalet vil ikke hjelpe ham.
2. Hvis A, så B, og omvendt.
Hvis studenten besto alle eksamener og praksis med gode karakterer, At han tar eksamen med utmerkelser og vice versa.
3. A hvis B og B hvis A.
En polygon er innskrevet i en sirkel Hvis dens toppunkter ligger på en sirkel, Og toppunktene til polygonet ligger på sirkelen, Hvis denne polygonen er innskrevet i en sirkel.
4. For A er B nødvendig og tilstrekkelig.
Til for at et tall skal være delelig med 3 nødvendig og tilstrekkelig, slik at summen av sifrene til dette tallet er delelig med 3 uten en rest.
5. A tilsvarer B(Noen ganger).
At arealet av en regulær polygon er lik produktet av halvperimeteren ganger apotem, er ensbetydende med at arealet til en vanlig polygon er lik produktet av omkretsen og halve apotem.
6. Og hvis og bare hvis B.
Firmaet vil godta et tilbud om å kjøpe varer hvis og bare hvis Prisen på dette produktet vil bli redusert med 15 %.
Fra de ovennevnte diagrammene og utsagnene som tilsvarer dem med spesifikt variert innhold, blir det klart hvor mangefasetterte virkemidlene for å uttrykke implikasjon, ekvivalens og andre logiske forbindelser (logiske termer) er i naturlig språk (spesielt på russisk). Det samme kan sies om andre naturlige språk 9 .
Implikasjonen (ab) samsvarer ikke helt i betydning med foreningen "hvis ... da" i naturlig språk, siden den kan mangle en meningsfull sammenheng mellom dommer EN Og b. I proposisjonell logikk er loven formelen: (ab)(ab).
Men i naturlig språk er ting annerledes. Noen ganger uttrykker foreningen "hvis, da" ikke en implikasjon, men en konjunksjon. For eksempel, "Hvis det var overskyet i går, skinner solen sterkt i dag." Denne komplekse proposisjonen uttrykkes med formelen ab. I tillegg til logiske koblinger, for å uttrykke generelle og spesielle vurderinger i logikk, brukes kvantifisereren av generalitet og kvantifisereren av eksistens. Notasjonen med den generelle kvantifikatoren VP() leses vanligvis slik: "Alle X(fra et område med objekter) har eiendommen R”, og notasjonen med den eksistensielle kvantifikatoren З xp(X) lyder slik: «Det finnes slike X(i dette området), som har eiendommen R". For eksempel, 3x(x>100) lyder "Det er X, som er mer enn 100", hvor under X tall er ment. Den generelle kvantifisereren uttrykkes med ordene: "alle", "alle", "hver", "ingen", osv. Den eksistensielle kvantifisereren uttrykkes med ordene: "noen", "eksisterer", "flertall", "minoritet". ”, “bare noen”, “noen ganger”, “en som”, “ikke alle”, “mange”, “mange”, “få”, “mange”, “nesten alle” osv.
S. Kleene skriver at når vi oversetter vanlige språkuttrykk ved hjelp av tabellformede setningsforbindelser, mister vi noen nyanser av betydning, men vi får nøyaktig 10 .
I praksisen med matematiske og andre resonnementer er det begreper om "nødvendig betingelse" og "tilstrekkelig tilstand". Tilstanden kalles nødvendig, dersom det følger av konklusjonen (konsekvens). En betingelse kalles tilstrekkelig dersom en konklusjon (konklusjon) følger av den. I implikasjonen a ->b variabel EN er grunnlaget. Det kalles antecedenten. Variabel b- konsekvens (konklusjon). Det kalles en konsekvens.
Elever i matematikktimer tilbys oppgaver av type 1-4, som krever i hver av de følgende setningene i stedet for ellipse å sette ordene: "nødvendig" eller "nok", eller "nødvendig og tilstrekkelig":
1. For at summen av to heltall skal være et partall ... slik at hvert ledd er partall.
2. For at et tall skal være delelig med 15 ... slik at det er delelig med 5.
3. For produktet (X- 3) (X+2) (X- 5) var lik 0, ... slik at X= 3.
4. For at en firkant skal være et rektangel... slik at alle vinklene er lik 11 .
Den kjemiske sammensetningen av cellen
Karbon - element egenskaper og kjemiske egenskaper
Verifikasjonsarbeid "grunnleggende om læren om biosfæren"