Positive bestemte kvadratiske former

Definisjon. Kvadratisk form fra n ukjente kalles positiv bestemt, hvis rangeringen er lik den positive treghetsindeksen og lik antall ukjente.

Teorem. En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis den tar positive verdier på et hvilket som helst ikke-null sett med verdier av variablene.

Bevis. La den kvadratiske formen være en ikke-degenerert lineær transformasjon av de ukjente

brakt tilbake til normalen

.

For ethvert sett med variabelverdier som ikke er null, minst ett av tallene forskjellig fra null, dvs. . Nødvendigheten av teoremet er bevist.

Anta at den kvadratiske formen har positive verdier på ethvert sett med variabler som ikke er null, men dens positive treghetindeks er en ikke-degenerert lineær transformasjon av de ukjente

La oss bringe det til normal form. Uten tap av generalitet kan vi anta at i denne normalformen er kvadratet til den siste variabelen enten fraværende eller inkludert med et minustegn, dvs. , hvor eller . La oss anta at det er et ikke-null sett med verdier av variabler oppnådd som et resultat av å løse et system med lineære ligninger

I dette systemet er antall ligninger lik antall variabler og determinanten for systemet er ikke null. Ifølge Cramers teorem har systemet en unik løsning, og den er ikke-null. For dette settet. Motsetning med tilstanden. Vi kommer til en selvmotsigelse med antakelsen, som beviser teoremets tilstrekkelighet.

Ved å bruke dette kriteriet er det umulig å bestemme ut fra koeffisientene om den kvadratiske formen er positiv bestemt. Svaret på dette spørsmålet er gitt av et annet teorem, for formuleringen som vi introduserer et annet konsept. Hoveddiagonale mindreårige i en matrise– disse er mindreårige plassert i øvre venstre hjørne:

, , , … , .

Teorem.En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle dens hoveddiagonale minorer er positive.

Bevis vi vil utføre metoden for fullstendig matematisk induksjon på tallet n kvadratiske variabler f.

Induksjonshypotese. La oss anta det for kvadratiske former med færre variabler n utsagnet er sant.

Tenk på den kvadratiske formen av n variabler. La oss sette alle termene som inneholder . De resterende leddene danner en kvadratisk form av variablene. I følge induksjonshypotesen er påstanden sann for henne.

Anta at den kvadratiske formen er positiv bestemt. Da er den kvadratiske formen positiv bestemt. Hvis vi antar at dette ikke er tilfelle, er det et sett med variabelverdier som ikke er null , for hvilket og tilsvarende, , og dette motsier det faktum at den kvadratiske formen er positiv bestemt. Ved induksjonshypotesen er alle hoveddiagonale minorer av en kvadratisk form positive, dvs. alle første hovedfag med andregradsform f er positive. Siste hovedmoll av andregradsform – dette er determinanten for matrisen. Denne determinanten er positiv, siden fortegnet sammenfaller med tegnet til matrisen i dens normale form, dvs. med tegnet til determinanten til identitetsmatrisen.

La alle hoveddiagonal-moll i kvadratisk form være positive. Da er alle hoveddiagonal-moll i kvadratisk form positive fra likheten . Ved induksjonshypotesen er den kvadratiske formen positiv bestemt, så det er en ikke-degenerert lineær transformasjon av variablene som reduserer formen til formen av summen av kvadrater av de nye variablene. Denne lineære transformasjonen kan utvides til en ikke-degenerert lineær transformasjon av alle variabler ved å sette . Denne transformasjonen reduserer den kvadratiske formen til formen

Firkantede former.
Tegn bestemthet av skjemaer. Sylvester-kriterium

Adjektivet "kvadratisk" antyder umiddelbart at noe her er forbundet med en firkant (andre grad), og veldig snart vil vi finne ut dette "noe" og hva formen er. Det viste seg å være en tongue twister :)

Velkommen til min nye leksjon, og som en umiddelbar oppvarming skal vi se på den stripete formen lineær. Lineær form variabler kalt homogen 1. grads polynom:

- noen spesifikke tall * (vi antar at minst én av dem er ikke-null), a er variabler som kan ta vilkårlige verdier.

* Innenfor rammen av dette emnet vil vi bare vurdere reelle tall .

Vi har allerede møtt begrepet "homogen" i leksjonen om homogene systemer av lineære ligninger, og i dette tilfellet innebærer det at polynomet ikke har en plusskonstant.

For eksempel: – lineær form av to variabler

Nå er formen kvadratisk. Kvadratisk form variabler kalt homogen polynom av 2. grad, hver termin inneholder enten kvadratet av variabelen eller dobler produkt av variabler. Så, for eksempel, den kvadratiske formen til to variabler har følgende form:

Merk følgende! Dette er en standard oppføring og det er ikke nødvendig å endre noe på det! Til tross for det "skumle" utseendet, er alt enkelt her - doble abonnenter av konstanter signaliserer hvilke variabler som er inkludert i hvilket begrep:
– denne termen inneholder produktet og (kvadrat);
- her er arbeidet;
- og her er arbeidet.

– Jeg forventer umiddelbart en grov feil når de mister «minus» til en koeffisient, uten å forstå at det refererer til et begrep:

Noen ganger er det et "skole"-designalternativ i ånden, men bare noen ganger. Vær forresten oppmerksom på at konstantene ikke forteller oss noe i det hele tatt her, og derfor er det vanskeligere å huske den "enkle notasjonen". Spesielt når det er flere variabler.

Og den kvadratiske formen av tre variabler inneholder allerede seks termer:

...hvorfor er "to" faktorer plassert i "blandet" termer? Dette er praktisk, og det vil snart bli klart hvorfor.

La oss imidlertid skrive ned den generelle formelen; det er praktisk å skrive det ut i et "ark":

– vi studerer hver linje nøye – det er ikke noe galt med det!

Den kvadratiske formen inneholder ledd med kvadratene til variablene og ledd med deres sammenkoblede produkter (cm. kombinatorisk kombinasjonsformel) . Ikke noe mer - ingen "ensom X" og ingen ekstra konstant (da vil du ikke få en kvadratisk form, men heterogen polynom av 2. grad).

Matrisenotasjon av kvadratisk form

Avhengig av verdiene, kan den aktuelle formen ha både positive og negative verdier, og det samme gjelder for enhver lineær form - hvis minst en av koeffisientene er forskjellig fra null, kan den være enten positiv eller negativ (avhengig av verdier).

Dette skjemaet kalles vekslende tegn. Og hvis alt er gjennomsiktig med den lineære formen, så er ting mye mer interessante med den kvadratiske formen:

Det er helt klart at denne formen kan få betydningen av et hvilket som helst tegn, dermed den kvadratiske formen kan også være vekslende.

Det kan ikke være:

– alltid, med mindre det samtidig er lik null.

- for alle vektor unntatt null.

Og generelt sett, hvis for noen ikke-null vektor , , da kalles den kvadratiske formen positiv bestemt; i så fall da negativt klart.

Og alt ville være bra, men bestemtheten til den kvadratiske formen er bare synlig i enkle eksempler, og denne synligheten går tapt selv med en liten komplikasjon:
– ?

Man kan anta at formen er positivt definert, men er det virkelig slik? Hva om det er verdier der det er mindre enn null?

Det er en teorem: Hvis alle egenverdier matriser av kvadratisk form er positive * , så er det positivt bestemt. Hvis alle er negative, så negative.

* Det har blitt bevist i teorien at alle egenverdier til en ekte symmetrisk matrise gyldig

La oss skrive matrisen til skjemaet ovenfor:
og fra Eq. la oss finne henne egenverdier:

La oss løse det gode gamle kvadratisk ligning:

, som betyr formen er definert positivt, dvs. for alle verdier som ikke er null, er den større enn null.

Den vurderte metoden ser ut til å fungere, men det er ett stort MEN. Allerede for en tre-til-tre-matrise er det en lang og ubehagelig oppgave å lete etter riktige tall; med stor sannsynlighet vil du få et polynom av 3. grad med irrasjonelle røtter.

Hva burde jeg gjøre? Det er en enklere måte!

Sylvester-kriterium

Nei, ikke Sylvester Stallone :) Først, la meg minne deg på hva det er mindreårige hjørner matriser. Dette kvalifiseringer som "vokser" fra øvre venstre hjørne:

og den siste er nøyaktig lik determinanten til matrisen.

Nå, faktisk, kriterium:

1) Kvadratisk form er definert positivt hvis og bare hvis ALLE dens vinkel-moll er større enn null: .

2) Kvadratisk form er definert negativ hvis og bare hvis dens vinkelformede moll veksler i fortegn, hvor 1. moll er mindre enn null: , , hvis – partall eller , hvis – oddetall.

Hvis minst én vinkelmoll har motsatt fortegn, så formen vekslende tegn. Hvis de kantede mindreårige er av det "riktige" tegnet, men det er nuller blant dem, er dette et spesielt tilfelle, som jeg vil undersøke litt senere, etter at vi har sett på mer vanlige eksempler.

La oss analysere de vinkelformede mindreårige i matrisen :

Og dette forteller oss umiddelbart at formen ikke er negativt definert.

Konklusjon: alle hjørner er større enn null, som betyr formen er definert positivt.

Er det forskjell på egenverdimetoden? ;)

La oss skrive formmatrisen fra Eksempel 1:

den første er dens kantete moll, og den andre , hvorav det følger at formen er vekslende i fortegn, dvs. avhengig av verdiene, kan den ta både positive og negative verdier. Dette er imidlertid allerede åpenbart.

La oss ta formen og dens matrise fra Eksempel 2:

Det er ingen måte å finne ut av dette uten innsikt. Men med Sylvesters kriterium bryr vi oss ikke:
, derfor er formen definitivt ikke negativ.

, og definitivt ikke positivt (siden alle kantede mindreårige må være positive).

Konklusjon: formen er vekslende.

Oppvarmingseksempler for å løse på egen hånd:

Eksempel 4

Undersøk kvadratiske former for tegnbestemthet

EN)

I disse eksemplene er alt jevnt (se slutten av leksjonen), men faktisk å fullføre en slik oppgave Sylvesters kriterium er kanskje ikke tilstrekkelig.

Poenget er at det er "kant"-saker, nemlig: hvis for noen ikke-null vektor, så bestemmes formen ikke-negativ, hvis da negativ. Disse skjemaene har ikke-null vektorer som .

Her kan du sitere følgende "trekkspill":

Utheving perfekt firkant, ser vi med en gang ikke-negativitet form: , og den er lik null for enhver vektor med like koordinater, for eksempel: .

Eksempel på "speil". negativ en bestemt form:

og et enda mer trivielt eksempel:
– her er formen lik null for enhver vektor , hvor er et vilkårlig tall.

Hvordan identifisere ikke-negative eller ikke-positive former?

Til dette trenger vi konseptet større mindreårige matriser. En dur moll er en moll sammensatt av elementer som står i skjæringspunktet mellom rader og kolonner med samme tall. Dermed har matrisen to hovedmolorer av 1. orden:
(elementet er i skjæringspunktet mellom 1. rad og 1. kolonne);
(elementet er i skjæringspunktet mellom 2. rad og 2. kolonne),

og en større moll av 2. orden:
– sammensatt av elementer i 1., 2. rad og 1., 2. kolonne.

Matrisen er "tre og tre" Det er syv hoved mindreårige, og her må du bøye biceps:
– tre mindreårige av 1. orden,
tre 2. ordens mindreårige:
– sammensatt av elementer i 1., 2. rad og 1., 2. kolonne;
– sammensatt av elementer i 1., 3. rad og 1., 3. kolonne;
– sammensatt av elementer i 2., 3. rad og 2., 3. kolonne,
og en 3. ordens moll:
– sammensatt av elementer i 1., 2., 3. rad og 1., 2. og 3. kolonne.
Trening for forståelse: skriv ned alle de store birollene i matrisen .
Vi sjekker på slutten av timen og fortsetter.

Schwarzenegger-kriterium:

1) Ikke-null* kvadratisk form definert ikke-negativ hvis og bare hvis ALLE de større mindreårige ikke-negativ(større enn eller lik null).

* Den null (degenererte) kvadratiske formen har alle koeffisienter lik null.

2) Ikke-null kvadratisk form med matrise er definert negativ hvis og bare hvis:
– større mindreårige av 1. orden ikke-positive(mindre enn eller lik null);
– større mindreårige av 2. orden ikke-negativ;
– større mindreårige av 3. orden ikke-positive(veksling begynte);
…
– major moll av th orden ikke-positive, hvis – oddetall eller ikke-negativ, hvis – til og med.

Hvis minst én mindreårig har motsatt fortegn, er formen fortegnsvekslende.

La oss se hvordan kriteriet fungerer i eksemplene ovenfor:

La oss lage en formmatrise, og for det første La oss beregne de kantede mindreårige - hva om det er definert positivt eller negativt?

De oppnådde verdiene tilfredsstiller ikke Sylvester-kriteriet, men den andre mindre ikke negativ, og dette gjør det nødvendig å sjekke det andre kriteriet (i tilfelle av det andre kriteriet vil ikke bli oppfylt automatisk, dvs. konklusjonen trekkes umiddelbart om tegnvekslingen av formen).

Mindreårige av 1. orden:
– positiv,
major moll av 2. orden:
– ikke negativt.

Dermed er ikke ALLE store mindreårige negative, som betyr formen ikke-negativ.

La oss skrive formmatrisen , som Sylvester-kriteriet åpenbart ikke er oppfylt for. Men vi mottok heller ikke motsatte fortegn (siden begge kantede mindreårige er lik null). Derfor sjekker vi oppfyllelsen av ikke-negativitet/ikke-positivitetskriteriet. Mindreårige av 1. orden:
– ikke positivt,
major moll av 2. orden:
– ikke negativt.

I følge Schwarzeneggers kriterium (punkt 2) er formen altså ikke-positivt definert.

La oss nå se nærmere på et mer interessant problem:

Eksempel 5

Undersøk den kvadratiske formen for tegnbestemthet

Dette skjemaet er dekorert med rekkefølgen "alfa", som kan være lik et hvilket som helst reelt tall. Men det blir bare mer moro vi bestemmer.

Først, la oss skrive ned skjemamatrisen; mange mennesker har sannsynligvis allerede blitt vant til å gjøre dette muntlig: på hoveddiagonal Vi setter koeffisientene for kvadratene, og på de symmetriske stedene legger vi halvparten av koeffisientene til de tilsvarende "blandede" produktene:

La oss beregne de vinkelformede minorene:

Jeg vil utvide den tredje determinanten på den tredje linjen:

Et homogent polynom av grad 2 i flere variabler kalles en kvadratisk form.

Den kvadratiske formen av variabler består av termer av to typer: kvadrater av variabler og deres parvise produkter med visse koeffisienter. Den kvadratiske formen er vanligvis skrevet som følgende kvadratiske diagram:

Par med like ledd skrives med like koeffisienter, slik at hver av dem utgjør halvparten av koeffisienten til det tilsvarende produktet av variablene. Dermed er hver kvadratisk form naturlig assosiert med sin koeffisientmatrise, som er symmetrisk.

Det er praktisk å representere den kvadratiske formen i følgende matrisenotasjon. La oss betegne med X en kolonne med variabler gjennom X - en rad, dvs. en matrise transponert med X. Deretter

Kvadratiske former finnes i mange grener av matematikk og dens anvendelser.

I tallteori og krystallografi betraktes kvadratiske former under antagelsen om at variablene bare tar heltallsverdier. I analytisk geometri er den kvadratiske formen en del av ligningen til en kurve (eller overflate) av orden. I mekanikk og fysikk ser den kvadratiske formen ut til å uttrykke den kinetiske energien til et system gjennom komponentene til generaliserte hastigheter osv. Men i tillegg er studiet av kvadratiske former også nødvendig i analyse når man studerer funksjoner til mange variabler, i spørsmål hvor det er viktig å finne ut hvordan denne funksjonen i nærheten av et gitt punkt avviker fra den lineære funksjonen som tilnærmer den. Et eksempel på et problem av denne typen er studiet av en funksjon for maksimum og minimum.

Tenk for eksempel på problemet med å studere maksimum og minimum for en funksjon av to variabler som har kontinuerlige partielle deriverte opp til rekkefølge. En nødvendig betingelse for at et punkt skal gi maksimum eller minimum av en funksjon er at de partielle deriverte av rekkefølgen i punktet er lik null La oss anta at denne betingelsen er oppfylt. La oss gi variablene x og y små inkrementer og k og vurdere den tilsvarende økningen til funksjonen. I følge Taylors formel er denne inkrementet, opp til små høyere ordener, lik kvadratisk form hvor er verdiene til andrederivertene beregnet ved punktet Hvis denne kvadratiske formen er positiv for alle verdier av og k (unntatt ), har funksjonen et minimum ved punktet; hvis den er negativ, har den et maksimum. Til slutt, hvis en form har både positive og negative verdier, vil det ikke være noe maksimum eller minimum. Funksjoner til et større antall variabler studeres også på lignende måte.

Studiet av kvadratiske former består hovedsakelig av å studere problemet med ekvivalens av former med hensyn til et eller annet sett med lineære transformasjoner av variabler. To kvadratiske former sies å være ekvivalente hvis en av dem kan konverteres til den andre gjennom en av transformasjonene til et gitt sett. Nært knyttet til ekvivalensproblematikken er problemet med å redusere formen, dvs. transformere den til en muligens enkleste form.

I ulike spørsmål knyttet til kvadratiske former vurderes også ulike sett med tillatte transformasjoner av variabler.

I analysespørsmål brukes eventuelle ikke-spesielle transformasjoner av variabler; for analytisk geometri er ortogonale transformasjoner av størst interesse, det vil si de som tilsvarer overgangen fra ett system med variable kartesiske koordinater til et annet. Til slutt, i tallteori og krystallografi vurderes lineære transformasjoner med heltallskoeffisienter og med en determinant lik enhet.

Vi vil vurdere to av disse problemene: spørsmålet om å redusere en kvadratisk form til dens enkleste form gjennom alle ikke-singulære transformasjoner og det samme spørsmålet for ortogonale transformasjoner. Først av alt, la oss finne ut hvordan en matrise av kvadratisk form transformeres under en lineær transformasjon av variabler.

La , hvor A er en symmetrisk matrise av formkoeffisienter, er X en kolonne med variabler.

La oss lage en lineær transformasjon av variabler, og skrive den forkortet som . Her betegner C matrisen av koeffisienter for denne transformasjonen, X er en kolonne med nye variabler. Da og derfor, så er matrisen til den transformerte kvadratiske formen

Matrisen viser seg automatisk å være symmetrisk, noe som er lett å sjekke. Dermed er problemet med å redusere en kvadratisk form til den enkleste formen ekvivalent med problemet med å redusere en symmetrisk matrise til den enkleste formen ved å multiplisere den til venstre og høyre med gjensidig transponerte matriser.

Kvadratiske former

Kvadratisk form f(x 1, x 2,...,x n) av n variabler er en sum, hvor hvert ledd er enten kvadratet av en av variablene, eller produktet av to forskjellige variabler, tatt med en viss koeffisient: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Matrisen A som er sammensatt av disse koeffisientene kalles en matrise av kvadratisk form. Det er det alltid symmetrisk matrise (dvs. en matrise symmetrisk om hoveddiagonalen, a ij = en ji).

I matrisenotasjon er den kvadratiske formen f(X) = X T AX, hvor

Faktisk

La oss for eksempel skrive kvadratisk form i matriseform.

For å gjøre dette finner vi en matrise av kvadratisk form. Dens diagonale elementer er lik koeffisientene til de kvadratiske variablene, og de resterende elementene er lik halvdelene av de tilsvarende koeffisientene til kvadratisk form. Derfor

La matrisekolonnen av variablene X oppnås ved en ikke-degenerert lineær transformasjon av matrisekolonnen Y, dvs. X = CY, hvor C er en ikke-singular matrise av n-te orden. Deretter den kvadratiske formen
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dermed, med en ikke-degenerert lineær transformasjon C, har matrisen av kvadratisk form formen: A * = C T AC.

La oss for eksempel finne den kvadratiske formen f(y 1, y 2), hentet fra den kvadratiske formen f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ved lineær transformasjon.

Den kvadratiske formen kalles kanonisk(Det har kanonisk syn), hvis alle dens koeffisienter a ij = 0 for i ≠ j, dvs.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrisen er diagonal.

Teorem(bevis ikke gitt her). Enhver kvadratisk form kan reduseres til kanonisk form ved å bruke en ikke-degenerert lineær transformasjon.

La oss for eksempel redusere den kvadratiske formen til kanonisk form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

For å gjøre dette, velg først en komplett firkant med variabelen x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Nå velger vi en komplett firkant med variabelen x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Så bringer den ikke-degenererte lineære transformasjonen y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 og y 3 = x 3 denne kvadratiske formen til den kanoniske formen f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Merk at den kanoniske formen til en kvadratisk form bestemmes tvetydig (den samme kvadratiske formen kan reduseres til kanonisk form på forskjellige måter). Imidlertid har kanoniske former oppnådd ved forskjellige metoder en rekke felles egenskaper. Spesielt er antall ledd med positive (negative) koeffisienter av en kvadratisk form ikke avhengig av metoden for å redusere formen til denne formen (for eksempel vil det i det betraktede eksemplet alltid være to negative og en positiv koeffisient). Denne egenskapen kalles treghetsloven for kvadratiske former.

La oss verifisere dette ved å bringe den samme kvadratiske formen til kanonisk form på en annen måte. La oss starte transformasjonen med variabelen x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, hvor y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 og y3 = x 1. Her er det en positiv koeffisient på 2 ved y 3 og to negative koeffisienter (-3) ved y 1 og y 2 (og ved hjelp av en annen metode fikk vi en positiv koeffisient på 2 ved y 1 og to negative koeffisienter - (-5) ved y 2 og (-1/20) ved y 3).

Det bør også bemerkes at rangeringen av en matrise av kvadratisk form, kalt rangering av kvadratisk form, er lik antall koeffisienter som ikke er null for den kanoniske formen og endres ikke under lineære transformasjoner.

Den kvadratiske formen f(X) kalles positivt (negativ) sikker, hvis for alle verdier av variablene som ikke er lik null samtidig, er den positiv, dvs. f(X) > 0 (negativ, dvs.
f(X)< 0).

For eksempel er kvadratisk form f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 positiv bestemt, fordi er en sum av kvadrater, og kvadratisk form f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 er negativ bestemt, fordi representerer den kan representeres som f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

I de fleste praktiske situasjoner er det noe vanskeligere å fastslå det bestemte tegnet på en kvadratisk form, så til dette bruker vi en av følgende teoremer (vi vil formulere dem uten bevis).

Teorem. En kvadratisk form er positiv (negativ) bestemt hvis og bare hvis alle egenverdiene til matrisen er positive (negative).

Teorem (Sylvester-kriterium). En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle de ledende birollene i matrisen til denne formen er positive.

Hoved (hjørne) moll K. ordens matrise A av n. orden kalles determinanten av matrisen, sammensatt av de første k radene og kolonnene i matrisen A ().

Legg merke til at for negative definitive kvadratiske former veksler fortegnene til de viktigste mindreårige, og førsteordens moll må være negativ.

La oss for eksempel undersøke den kvadratiske formen f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 for tegnbestemthet.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen positiv bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Derfor, i henhold til Sylvesters kriterium, er kvadratisk form positiv bestemt.

Vi undersøker en annen kvadratisk form for tegnbestemthet, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form A = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen negativ bestemt.

I denne delen vil vi fokusere på en spesiell, men viktig klasse av positive kvadratiske former.

Definisjon 3. En reell kvadratisk form kalles ikke-negativ (ikke-positiv) hvis, for noen reelle verdier av variablene

. (35)

I dette tilfellet kalles den symmetriske matrisen av koeffisienter positiv halvbestemt (negativ halvbestemt).

Definisjon 4. En reell kvadratisk form kalles positiv definit (negativ definit) hvis, for noen reelle verdier av variablene som ikke samtidig er null,

. (36)

I dette tilfellet kalles matrisen også positiv bestemt (negativ bestemt).

Klassen av positive bestemte (negative bestemte) former er en del av klassen av ikke-negative (resp. ikke-positive) former.

La en ikke-negativ form gis. La oss forestille oss det som en sum av uavhengige kvadrater:

. (37)

I denne representasjonen må alle rutene være positive:

. (38)

Faktisk, hvis det var noen, ville det være mulig å velge slike verdier

Men da, med disse verdiene til variablene, ville formen ha en negativ verdi, noe som er umulig av betingelsen. Åpenbart, omvendt, følger det av (37) og (38) at formen er positiv.

Dermed er en ikke-negativ kvadratisk form preget av likhetene.

La nå være en positiv bestemt form. Da er det en ikke-negativ form. Derfor kan det representeres i formen (37), hvor alle er positive. Av den positive bestemtheten til formen følger det at . Faktisk, i tilfelle er det mulig å velge verdier som ikke samtidig er lik null, hvor alle vil bli til null. Men så, i kraft av (37), at , som motsier tilstand (36).

Det er lett å se at omvendt, hvis i (37) og alle er positive, så er det en positiv bestemt form.

Med andre ord er en ikke-negativ form positiv bestemt hvis og bare hvis den ikke er entall.

Følgende teorem gir et kriterium for positiv bestemthet av en form i form av ulikheter som formkoeffisientene må tilfredsstille. I dette tilfellet brukes notasjonen som allerede er funnet i tidligere avsnitt for påfølgende hovedbarn i matrisen:

.

Teorem 3. For at en kvadratisk form skal være positiv bestemt, er det nødvendig og tilstrekkelig at ulikhetene tilfredsstilles

Bevis. Tilstrekkelighet av betingelser (39) følger direkte av Jacobis formel (28). Nødvendigheten av vilkår (39) fastslås som følger. Fra den positive bestemtheten til formen følger den positive bestemtheten til "avkortede" former

.

Men da må alle disse formene være ikke-singular, dvs.

Nå har vi muligheten til å bruke Jacobi-formelen (28) (at ). Siden på høyre side av denne formelen må alle kvadrater være positive

Dette innebærer ulikheter (39). Teoremet er bevist.

Siden enhver hoved-moll i en matrise, med riktig omnummerering av variabler, kan plasseres i øvre venstre hjørne, så har vi

Konsekvens. I positiv bestemt kvadratisk form er alle større mindreårige i koeffisientmatrisen positive:

Kommentar. Fra ikke-negativiteten til påfølgende hovedmindreårige

ikke-negativiteten til skjemaet følger ikke med. Faktisk formen

,

hvori , tilfredsstiller betingelsene , men er ikke ikke-negativ.

Følgende gjelder imidlertid

Teorem 4. For at en kvadratisk form skal være ikke-negativ, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle de store minorene i koeffisientmatrisen er ikke-negative:

Bevis. La oss introdusere hjelpeformen var ikke-positiv, det er nødvendig og tilstrekkelig for at ulikhetene skal finne sted