Gauss-metoden (påfølgende ekskludering av ukjente). Eksempler på løsninger for dummies

La oss vurdere nøyaktige metoder for å løse systemet; her er dimensjonsmatrisen

En metode for å løse et problem klassifiseres som eksakt hvis den, under forutsetning av at det ikke er noen avrundinger, gir en nøyaktig løsning på problemet etter et begrenset antall aritmetiske og logiske operasjoner. Hvis antallet ikke-null-elementer i matrisen til systemet er i størrelsesorden , så for de fleste av de for tiden brukte eksakte metodene for å løse slike systemer, er det nødvendige antallet operasjoner i størrelsesorden . Derfor, for anvendeligheten av eksakte metoder, er det nødvendig at en slik rekkefølge av antall operasjoner er akseptabel for en gitt datamaskin; andre begrensninger pålegges av volumet og strukturen til datamaskinminnet.

Klausulen om "metoder som er i bruk" har følgende betydning. Det finnes metoder for å løse slike systemer med et lavere antall operasjoner, men de brukes ikke aktivt på grunn av den sterke følsomheten til resultatet for beregningsfeilen.

Den mest kjente av de eksakte metodene for å løse systemer med lineære ligninger er Gauss-elimineringsmetoden. La oss vurdere en av dens mulige implementeringer. Forutsatt at , den første ligningen av systemet

del på koeffisienten , som et resultat får vi ligningen

Så, fra hver av de gjenværende ligningene, trekkes den første ligningen, multiplisert med den riktige koeffisienten. Som et resultat blir disse ligningene transformert til formen

Den første ukjente viste seg å være ekskludert fra alle ligninger bortsett fra den første. Videre, under forutsetningen at , deler vi den andre ligningen med koeffisienten og ekskluderer det ukjente fra alle ligninger, med start fra den andre osv. Som et resultat av suksessiv eliminering av ukjente, transformeres ligningssystemet til et system av ligninger med en trekantet matrise

Settet med beregninger som ble utført, hvor det opprinnelige problemet ble transformert til formen (2), kalles det direkte forløpet til Gauss-metoden.

Fra likningen til system (2) bestemmer vi , fra , osv. opp til . Helheten av slike beregninger kalles det omvendte forløpet til Gauss-metoden.

Det er lett å sjekke at implementeringen av fremføringen av Gauss-metoden krever aritmetiske operasjoner, og den omvendte kjøringen krever aritmetiske operasjoner.

Unntaket oppstår som et resultat av følgende operasjoner: 1) å dele ligningen med , 2) subtrahere ligningen oppnådd etter slik divisjon, multiplisert med , fra ligninger med tall k . Den første operasjonen tilsvarer å multiplisere ligningssystemet til venstre med den diagonale matrisen

den andre operasjonen tilsvarer multiplikasjon til venstre med matrisen

Dermed kan system (2) oppnådd som et resultat av disse transformasjonene skrives som

Produktet av venstre (høyre) trekantet matrise er en venstre (høyre) trekantet matrise, så C er en venstre trekantet matrise. Fra formelen for elementene i den inverse matrisen

det følger at matrisen invers til en venstre (høyre) trekantet en er en venstre (høyre) trekantet. Derfor er matrisen trekantet.

La oss introdusere notasjonen. I følge konstruksjonen er alt og matrisen D rett trekantet. Herfra får vi representasjonen av matrisen A som et produkt av venstre og høyre trekantmatriser:

Likhet, sammen med betingelsen , danner et system av ligninger med hensyn til elementene i de trekantede matrisene B og : . Siden for og for , kan dette systemet skrives som

(3)

eller, som er det samme,

Ved å bruke betingelsen om at alt får vi et system med tilbakefallsrelasjoner for å bestemme elementene og:

Beregninger utføres sekvensielt for sett. Her og nedenfor, i tilfellet når den øvre summeringsgrensen er mindre enn den nedre, antas det at hele summen er lik null.

I stedet for suksessive transformasjoner av systemet (1) til formen (2), kan man altså direkte beregne matrisene B og bruke formler (4). Disse beregningene kan bare utføres hvis alle elementene er forskjellige fra null. La være matriser av hovedminorer av rekkefølgen av matrisene A, B, D. I henhold til (3) . Fordi da. Følgelig

Så, for å utføre beregninger i henhold til formlene (4), er det nødvendig og tilstrekkelig å oppfylle betingelsene

I noen tilfeller er det kjent på forhånd at betingelse (5) er oppfylt. For eksempel er mange problemer innen matematisk fysikk redusert til å løse systemer med en positiv-bestemt matrise A. Men i det generelle tilfellet kan dette ikke sies på forhånd. Et slikt tilfelle er også mulig: alt, men blant mengdene er det veldig små, og når de er delt på dem, vil store tall med store absolutte feil bli oppnådd. Som et resultat vil løsningen bli sterkt forvrengt.

La oss betegne . Siden og , så holder likestillingene. Etter å ha dekomponert matrisen til det opprinnelige systemet til produktet av venstre og høyre trekantede matriser, reduseres løsningen av det opprinnelige systemet til den sekvensielle løsningen av to systemer med trekantede matriser; dette vil kreve aritmetiske operasjoner.

Det er ofte praktisk å kombinere sekvensen av operasjoner for å dekomponere matrisen A til produktet av trekantede matriser og for å bestemme vektoren d. Ligninger

systemer kan skrives som

Derfor kan verdiene beregnes samtidig med resten av verdiene ved å bruke formler (4).

Ved løsning av praktiske problemer blir det ofte nødvendig å løse likningssystemer med en matrise som inneholder et stort antall nullelementer.

Vanligvis har disse matrisene en såkalt båndstruktur. Mer presist kalles matrisen A -diagonal eller har en båndstruktur, hvis den er ved . Tallet kalles båndets bredde. Det viser seg at når man løser et ligningssystem med en båndmatrise ved Gauss-metoden, kan antall aritmetiske operasjoner og den nødvendige mengden dataminne reduseres betydelig.

Oppgave 1. Undersøk egenskapene til Gauss-metoden og metoden for å løse systemet ved å bruke dekomponering av båndmatrisen A til produktet av venstre og høyre trekantmatrise. Vis at det kreves aritmetiske operasjoner for å finne løsningen (for ). Finn det ledende medlemmet av antall operasjoner under betingelsen.

Oppgave 2. Estimer mengden lastet datamaskinminne i Gauss-metoden for båndmatriser.

Når du regner uten hjelp fra en datamaskin, er sannsynligheten for tilfeldige feil stor. For å eliminere slike feil introduseres noen ganger et kontrollsystem som består av kontrollelementer i systemets ligninger

Ved transformering av ligninger utføres de samme operasjonene på kontrollelementene som på de frie medlemmene av ligningene. Som et resultat må kontrollelementet til hver nye ligning være lik summen av koeffisientene til denne ligningen. Et stort avvik mellom dem indikerer feil i beregningene eller ustabiliteten til beregningsalgoritmen i forhold til beregningsfeilen.

For eksempel, i tilfellet å bringe likningssystemet til form ved bruk av formler (4), beregnes kontrollelementet til hver av likningene i systemet ved å bruke de samme formlene (4). Etter å ha beregnet alle elementene ved en fast kontroll utføres ved å kontrollere likheten

Det omvendte forløpet til Gauss-metoden er også ledsaget av beregningen av kontrollelementene til systemradene.

For å unngå den katastrofale påvirkningen av beregningsfeilen, brukes Gauss-metoden med valg av hovedelementet.

Forskjellen fra skjemaet til den Gaussiske metoden beskrevet ovenfor er som følger. La, i løpet av å eliminere de ukjente, likningssystemet

La oss finne slikt at og ombetegne og ; da vil vi eliminere det ukjente fra alle ligninger, og starter med . En slik redesignering fører til en endring i rekkefølgen for eliminering av ukjente og reduserer i mange tilfeller vesentlig løsningens følsomhet for avrundingsfeil i beregninger.

Ofte er det nødvendig å løse flere ligningssystemer , med samme matrise A. Det er praktisk å gå frem som følger: ved å introdusere notasjonen

La oss utføre beregninger ved å bruke formler (4), og regne ut elementene ved . Som et resultat vil p-likningssystemer med en trekantet matrise oppnås, tilsvarende det opprinnelige problemet

Vi løser disse systemene hver for seg. Det viser seg at det totale antallet aritmetiske operasjoner ved å løse p ligningssystemer på denne måten er .

Teknikken beskrevet ovenfor brukes noen ganger for å få en vurdering av feilen i løsningen, som er en konsekvens av avrundingsfeil i beregninger, uten vesentlige merkostnader. De er gitt av vektoren z med komponenter som om mulig har samme rekkefølge og fortegn som komponentene i den ønskede løsningen; ofte på grunn av mangel på tilstrekkelig informasjon de tar. Vektoren beregnes, og sammen med det opprinnelige ligningssystemet løses systemet.

La og z være faktisk oppnådd løsninger av disse systemene. Bedømmelse av feilen til den ønskede løsningen kan oppnås basert på hypotesen: de relative feilene ved å løse ved eliminasjonsmetoden for systemer med samme matrise og forskjellige høyresider, som er henholdsvis verdiene og , forskjellige ikke et veldig stort antall ganger.

En annen teknikk for å få en vurdering om den reelle verdien av feilen som oppstår ved avrunding i beregninger er å endre skalaen, som endrer bildet av akkumuleringen av beregningsfeilen.

Sammen med det originale systemet løses systemet med samme metode

For og , som ikke er heltallskrefter av to, sammenligningen av vektorene og gir en ide om størrelsen på beregningsfeilen. For eksempel kan du ta .

Studiet av mange problemer fører til behovet for å løse systemer av lineære ligninger med en symmetrisk positiv bestemt matrise. Slike systemer oppstår for eksempel når man løser differensialligninger ved hjelp av endelige elementmetoden eller ved endelige differansemetoder. I disse tilfellene har systemets matrise også en båndstruktur.

For å løse slike systemer, samt ligningssystemer av en mer generell form med en hermitisk matrise som ikke nødvendigvis er positiv bestemt, brukes kvadratrotmetoden (Cholesky-metoden). Matrise A er representert som

hvor S er en rettvinklet trekantet matrise, er dens konjugat, dvs.

hvor alle er en diagonal matrise med elementer lik eller -1. Matriselikhet (6) danner et system av ligninger

Lignende ligninger for forkastes, siden ligningene som tilsvarer parene og er ekvivalente. Herfra får vi tilbakevendende formler for å bestemme elementene og:

Matrisen S er rett triangulær, og dermed, etter å ha oppnådd representasjon (6), reduseres løsningen til det opprinnelige systemet også til sekvensiell løsning av to systemer med trekantede matriser. Merk at i tilfellet med alle og .

Oppgave 3. Estimer antall aritmetiske operasjoner og datamaskinens minnebelastning (forutsatt at mengden minne som kreves for å lagre matrisen A reduseres) når du løser et system med en reell positiv bestemt matrise A ved hjelp av kvadratrotmetoden.

Mange programvarepakker for å løse grenseverdiproblemer i matematisk fysikk ved hjelp av endelige elementmetoden er organisert i henhold til følgende skjema. Etter at matrisen til system A er dannet ved å omorganisere rader og kolonner (både rader og kolonner omorganiseres samtidig), konverteres systemet til formen med den minste tapebredden. Deretter brukes kvadratrotmetoden. Samtidig, for å redusere mengden beregninger ved løsning av et system med andre høyresider, lagres matrisen S.

I denne artikkelen betraktes metoden som en måte å løse systemer av lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil si at den lar deg skrive en løsningsalgoritme i en generell form, og deretter erstatte verdier fra spesifikke eksempler der. I motsetning til matrisemetoden eller Cramers formler kan du også jobbe med de som har uendelig mange løsninger når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden. Eller de har det ikke i det hele tatt.

Hva betyr Gauss?

Først må du skrive ned vårt ligningssystem i Det ser slik ut. Systemet er tatt:

Koeffisientene er skrevet i form av en tabell, og til høyre i en egen kolonne - gratis medlemmer. Kolonnen med ledige medlemmer er adskilt for enkelhets skyld. Matrisen som inkluderer denne kolonnen kalles utvidet.

Videre må hovedmatrisen med koeffisienter reduseres til den øvre trekantformen. Dette er hovedpoenget med å løse systemet ved Gauss-metoden. Enkelt sagt, etter visse manipulasjoner, skal matrisen se slik ut, slik at det bare er nuller i den nedre venstre delen:

Deretter, hvis du skriver den nye matrisen igjen som et ligningssystem, vil du legge merke til at den siste raden allerede inneholder verdien av en av røttene, som deretter erstattes med ligningen ovenfor, en annen rot blir funnet, og så videre.

Dette er en beskrivelse av løsningen ved Gauss-metoden i de mest generelle termer. Og hva skjer hvis systemet plutselig ikke har en løsning? Eller finnes det uendelig mange av dem? For å svare på disse og mange flere spørsmål, er det nødvendig å vurdere separat alle elementene som brukes i løsningen av Gauss-metoden.

Matriser, deres egenskaper

Det er ingen skjult mening i matrisen. Det er bare en praktisk måte å registrere data for senere operasjoner. Selv skolebarn skal ikke være redde for dem.

Matrisen er alltid rektangulær, fordi den er mer praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt koker ned til å bygge en trekantet matrise, vises et rektangel i oppføringen, bare med nuller på stedet der det ikke er tall. Nuller kan utelates, men de er underforstått.

Matrisen har en størrelse. Dens "bredde" er antall rader (m), dens "lengde" er antall kolonner (n). Da vil størrelsen på matrisen A (latinske store bokstaver brukes vanligvis for deres betegnelse) betegnes som A m×n . Hvis m=n, er denne matrisen kvadratisk, og m=n er dens rekkefølge. Følgelig kan ethvert element i matrisen A betegnes med tallet på rad og kolonne: a xy ; x - radnummer, endringer , y - kolonnenummer, endringer .

B er ikke hovedpoenget med løsningen. I prinsippet kan alle operasjoner utføres direkte med selve ligningene, men notasjonen vil vise seg å være mye mer tungvint, og det vil være mye lettere å bli forvirret i den.

Avgjørende faktor

Matrisen har også en determinant. Dette er en veldig viktig funksjon. Å finne ut betydningen nå er ikke verdt det, du kan ganske enkelt vise hvordan det beregnes, og deretter fortelle hvilke egenskaper til matrisen den bestemmer. Den enkleste måten å finne determinanten på er gjennom diagonaler. I matrisen tegnes imaginære diagonaler; elementene som ligger på hver av dem multipliseres, og deretter legges de resulterende produktene til: diagonaler med en skråning til høyre - med et "pluss"-tegn, med en skråning til venstre - med et "minus"-tegn.

Det er ekstremt viktig å merke seg at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrise. For en rektangulær matrise kan du gjøre følgende: velg den minste av antall rader og antall kolonner (la det være k), og merk deretter tilfeldig k kolonner og k rader i matrisen. Elementene som ligger i skjæringspunktet mellom de valgte kolonnene og radene vil danne en ny kvadratisk matrise. Hvis determinanten til en slik matrise er et annet tall enn null, kalles det basis-minor av den opprinnelige rektangulære matrisen.

Før du fortsetter med løsningen av ligningssystemet ved Gauss-metoden, skader det ikke å beregne determinanten. Hvis det viser seg å være null, kan vi umiddelbart si at matrisen enten har et uendelig antall løsninger, eller det er ingen i det hele tatt. I et så trist tilfelle må du gå videre og finne ut om rangeringen av matrisen.

Systemklassifisering

Det er noe slikt som rangeringen av en matrise. Dette er den maksimale rekkefølgen til dens ikke-null-determinant (husker basis-minor, kan vi si at rangeringen av en matrise er rekkefølgen av basis-minor).

Etter hvordan det er med rangeringen, kan SLAE deles inn i:

Ledd. På av fellessystemer faller rangeringen til hovedmatrisen (bestående kun av koeffisienter) sammen med rangeringen til den utvidede (med en kolonne med frie termer). Slike systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fellessystemer i tillegg delt inn i:
- sikker- å ha en unik løsning. I visse systemer er rangeringen av matrisen og antall ukjente (eller antall kolonner, som er det samme) like;
- ubestemt tid - med et uendelig antall løsninger. Rangeringen av matriser for slike systemer er mindre enn antallet ukjente.
Uforenlig. På I slike systemer faller ikke rekkene til hovedmatrisen og den utvidede matrisen sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Gauss-metoden er god ved at den lar en få enten et entydig bevis på systemets inkonsistens (uten å beregne determinantene til store matriser) eller en generell løsning for et system med et uendelig antall løsninger under løsningen.

Elementære transformasjoner

Før du fortsetter direkte til løsningen av systemet, er det mulig å gjøre det mindre tungvint og mer praktisk for beregninger. Dette oppnås gjennom elementære transformasjoner - slik at implementeringen ikke endrer det endelige svaret på noen måte. Det skal bemerkes at noen av de ovennevnte elementære transformasjonene bare er gyldige for matriser, kilden til disse var nettopp SLAE. Her er en liste over disse transformasjonene:

Strengepermutasjon. Det er åpenbart at hvis vi endrer rekkefølgen på ligningene i systemposten, så vil ikke dette påvirke løsningen på noen måte. Følgelig er det også mulig å bytte rader i matrisen til dette systemet, og selvfølgelig ikke glemme kolonnen med gratis medlemmer.
Multiplisere alle elementene i en streng med en eller annen faktor. Veldig nyttig! Med den kan du redusere store tall i matrisen eller fjerne nuller. Settet med løsninger, som vanlig, vil ikke endre seg, og det vil bli mer praktisk å utføre ytterligere operasjoner. Hovedsaken er at koeffisienten ikke er lik null.
Slett rader med proporsjonal koeffisienter. Dette følger delvis av forrige avsnitt. Hvis to eller flere rader i matrisen har proporsjonal koeffisienter, når du multipliserer / dividerer en av radene med proporsjonalitetskoeffisienten, oppnås to (eller, igjen, flere) helt identiske rader, og du kan fjerne de ekstra, og bare la igjen en.
Fjerner nulllinjen. Hvis det i løpet av transformasjoner oppnås en streng et sted der alle elementene, inkludert det frie medlemmet, er null, kan en slik streng kalles null og kastes ut av matrisen.
Legge til elementene i en rad elementene til en annen (i de tilsvarende kolonnene), multiplisert med en viss koeffisient. Den mest obskure og viktigste transformasjonen av alle. Det er verdt å dvele ved det mer detaljert.

Legge til en streng multiplisert med en faktor

For å lette forståelsen er det verdt å demontere denne prosessen trinn for trinn. To rader er tatt fra matrisen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Anta at du må legge den første til den andre, multiplisert med koeffisienten "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Så i matrisen erstattes den andre raden med en ny, og den første forblir uendret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det skal bemerkes at multiplikasjonsfaktoren kan velges på en slik måte at et av elementene i den nye strengen er lik null som et resultat av tillegg av to strenger. Derfor er det mulig å få en ligning i systemet, hvor det vil være en mindre ukjent. Og hvis du får to slike ligninger, så kan operasjonen gjøres på nytt og få en ligning som allerede vil inneholde to mindre ukjente. Og hvis vi hver gang snur til null en koeffisient for alle rader som er lavere enn den opprinnelige, så kan vi, som trinn, gå ned helt til bunnen av matrisen og få en ligning med en ukjent. Dette kalles å løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden.

Generelt

La det være et system. Den har m ligninger og n ukjente røtter. Du kan skrive det ned slik:

Hovedmatrisen er kompilert fra koeffisientene til systemet. En kolonne med gratis medlemmer legges til den utvidede matrisen og adskilles med en stolpe for enkelhets skyld.

den første raden i matrisen multipliseres med koeffisienten k = (-a 21 / a 11);
den første modifiserte raden og den andre raden i matrisen legges til;
i stedet for den andre raden, settes resultatet av tillegget fra forrige avsnitt inn i matrisen;
nå er den første koeffisienten i den nye andre raden a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nå utføres den samme serien med transformasjoner, bare den første og tredje raden er involvert. Følgelig, i hvert trinn av algoritmen, erstattes elementet a 21 med en 31 . Så gjentas alt for en 41 , ... a m1 . Resultatet er en matrise hvor det første elementet i radene er lik null. Nå må vi glemme linje nummer én og utføre den samme algoritmen fra den andre linjen:

koeffisient k \u003d (-a 32 / a 22);
den andre modifiserte linjen legges til den "gjeldende" linjen;
resultatet av tillegget erstattes i den tredje, fjerde og så videre linjen, mens den første og andre forblir uendret;
i matrisens rader er de to første elementene allerede lik null.

Algoritmen må gjentas til koeffisienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Dette betyr at algoritmen sist ble kjørt kun for den nedre ligningen. Nå ser matrisen ut som en trekant, eller har en trinnformet form. Den nederste linjen inneholder likheten a mn × x n = b m . Koeffisienten og frileddet er kjent, og roten uttrykkes gjennom dem: x n = b m /a mn. Den resulterende roten settes inn i den øverste raden for å finne x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Og så videre analogt: i hver neste linje er det en ny rot, og etter å ha nådd "toppen" av systemet, kan du finne mange løsninger. Det vil være den eneste.

Når det ikke finnes løsninger

Hvis i en av matriseradene alle elementene, bortsett fra frileddet, er lik null, så ser ligningen som tilsvarer denne raden ut som 0 = b. Det har ingen løsning. Og siden en slik ligning er inkludert i systemet, er settet med løsninger for hele systemet tomt, det vil si at det er degenerert.

Når det finnes et uendelig antall løsninger

Det kan vise seg at i den reduserte trekantede matrisen er det ingen rader med ett element - koeffisienten til ligningen, og en - et gratis medlem. Det er bare strenger som, når de omskrives, vil se ut som en ligning med to eller flere variabler. Dette betyr at systemet har et uendelig antall løsninger. I dette tilfellet kan svaret gis i form av en generell løsning. Hvordan gjøre det?

Alle variabler i matrisen er delt inn i grunnleggende og frie. Grunnleggende - dette er de som står "på kanten" av radene i den trinnvise matrisen. Resten er gratis. I den generelle løsningen er de grunnleggende variablene skrevet i form av de frie.

For enkelhets skyld skrives matrisen først om til et system av ligninger. Så i den siste av dem, hvor nøyaktig bare en grunnleggende variabel gjensto, forblir den på den ene siden, og alt annet overføres til den andre. Dette gjøres for hver ligning med én grunnleggende variabel. Så, i resten av ligningene, der det er mulig, i stedet for den grunnleggende variabelen, erstattes uttrykket som er oppnådd for den. Hvis det igjen dukker opp et uttrykk som bare inneholder én grunnvariabel, blir det igjen uttrykt derfra, og så videre, inntil hver grunnvariabel er skrevet som et uttrykk med frie variabler. Dette er den generelle løsningen til SLAE.

Du kan også finne den grunnleggende løsningen til systemet - gi de frie variablene eventuelle verdier, og for dette spesielle tilfellet beregner du verdiene til de grunnleggende variablene. Det finnes uendelig mange spesielle løsninger.

Løsning med konkrete eksempler

Her er ligningssystemet.

For enkelhets skyld er det bedre å umiddelbart lage matrisen

Det er kjent at når man løser med Gauss-metoden, vil ligningen som tilsvarer den første raden forbli uendret ved slutten av transformasjonene. Derfor vil det være mer lønnsomt hvis det øvre venstre elementet i matrisen er det minste - da vil de første elementene i de gjenværende radene etter operasjonene bli null. Dette betyr at i den kompilerte matrisen vil det være fordelaktig å sette den andre i stedet for den første raden.

andre linje: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Nå, for ikke å bli forvirret, er det nødvendig å skrive ned matrisen med de mellomliggende resultatene av transformasjonene.

Det er åpenbart at en slik matrise kan gjøres mer praktisk for persepsjon ved hjelp av noen operasjoner. For eksempel kan du fjerne alle "minuser" fra den andre linjen ved å multiplisere hvert element med "-1".

Det er også verdt å merke seg at i den tredje raden er alle elementene multipler av tre. Deretter kan du redusere strengen med dette tallet, multiplisere hvert element med "-1/3" (minus - samtidig for å fjerne negative verdier).

Ser mye finere ut. Nå må vi la den første linjen være i fred og jobbe med den andre og tredje. Oppgaven er å legge den andre raden til den tredje raden, multiplisert med en slik koeffisient at elementet a 32 blir lik null.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 brøker, og først da, når svarene er mottatt, bestemmer du om du skal runde opp og oversette til en annen form for notasjon)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrisen er skrevet på nytt med nye verdier.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Som du kan se, har den resulterende matrisen allerede en trinnformet form. Derfor er det ikke nødvendig med ytterligere transformasjoner av systemet ved Gauss-metoden. Det som kan gjøres her er å fjerne den totale koeffisienten "-1/7" fra den tredje linjen.

Nå er alt vakkert. Poenget er lite - skriv matrisen igjen i form av et ligningssystem og beregn røttene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmen som nå skal finne røttene kalles det omvendte trekk i Gauss-metoden. Ligning (3) inneholder verdien av z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligningen lar deg finne x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har rett til å kalle et slikt system felles, og til og med bestemt, det vil si å ha en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Et eksempel på et ubestemt system

Varianten for å løse et bestemt system ved Gauss-metoden har blitt analysert, nå er det nødvendig å vurdere saken hvis systemet er ubestemt, det vil si at det kan finnes uendelig mange løsninger for det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Selve formen til systemet er allerede alarmerende, fordi antall ukjente er n = 5, og rangeringen av matrisen til systemet er allerede nøyaktig mindre enn dette tallet, fordi antall rader er m = 4, det vil si, den største rekkefølgen av kvadratdeterminanten er 4. Dette betyr at det er et uendelig antall løsninger, og det er nødvendig å se etter dens generelle form. Gauss-metoden for lineære ligninger gjør det mulig å gjøre dette.

Først, som vanlig, kompileres den utvidede matrisen.

Andre linje: koeffisient k = (-a 21 / a 11) = -3. I den tredje linjen er det første elementet før transformasjonene, så du trenger ikke å røre noe, du må la det være som det er. Fjerde linje: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ved å multiplisere elementene i den første raden med hver av koeffisientene deres etter tur og legge dem til de ønskede radene, får vi en matrise av følgende form:

Som du kan se, består den andre, tredje og fjerde raden av elementer som er proporsjonale med hverandre. Den andre og fjerde er generelt de samme, så en av dem kan fjernes umiddelbart, og resten multiplisert med koeffisienten "-1" og få linje nummer 3. Og igjen, la en av to identiske linjer.

Det viste seg en slik matrise. Systemet er ennå ikke skrevet ned, her er det nødvendig å bestemme de grunnleggende variablene - stå ved koeffisientene a 11 \u003d 1 og en 22 \u003d 1, og gratis - resten.

Den andre ligningen har bare én grunnleggende variabel - x 2. Derfor kan det uttrykkes derfra ved å skrive gjennom variablene x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende uttrykket i den første ligningen.

Det ble en ligning der den eneste grunnleggende variabelen er x 1. La oss gjøre det samme med det som med x 2 .

Alle grunnleggende variabler, som det er to av, er uttrykt i form av tre frie, nå kan du skrive svaret i en generell form.

Du kan også spesifisere en av de spesielle løsningene til systemet. I slike tilfeller velges som regel nuller som verdier for frie variabler. Da vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et inkompatibelt system

Løsningen av inkonsistente ligningssystemer ved Gauss-metoden er den raskeste. Den avsluttes så snart det på et av trinnene oppnås en ligning som ikke har noen løsning. Det vil si at stadiet med beregningen av røttene, som er ganske langt og trist, forsvinner. Følgende system vurderes:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som vanlig er matrisen kompilert:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Og det er redusert til en trinnvis form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Etter den første transformasjonen inneholder den tredje linjen en formlikning

har ingen løsning. Derfor er systemet inkonsekvent, og svaret er det tomme settet.

Fordeler og ulemper med metoden

Hvis du velger hvilken metode du skal løse SLAE på papir med en penn, ser metoden som ble vurdert i denne artikkelen mest attraktiv ut. I elementære transformasjoner er det mye vanskeligere å bli forvirret enn det skjer hvis du manuelt må lete etter determinanten eller en vanskelig invers matrise. Men hvis du bruker programmer for å jobbe med data av denne typen, for eksempel regneark, viser det seg at slike programmer allerede inneholder algoritmer for å beregne hovedparametrene til matriser - determinant, minor, invers, og så videre. Og hvis du er sikker på at maskinen vil beregne disse verdiene selv og ikke vil gjøre en feil, er det mer hensiktsmessig å bruke matrisemetoden eller Cramers formler, fordi applikasjonen deres begynner og slutter med beregningen av determinanter og inverse matriser.

applikasjon

Siden den gaussiske løsningen er en algoritme, og matrisen faktisk er en todimensjonal matrise, kan den brukes i programmering. Men siden artikkelen posisjonerer seg som en guide «for dummies», skal det sies at det enkleste stedet å legge metoden inn er regneark, for eksempel Excel. Igjen, enhver SLAE som legges inn i en tabell i form av en matrise vil bli vurdert av Excel som en todimensjonal matrise. Og for operasjoner med dem er det mange fine kommandoer: addisjon (du kan bare legge til matriser av samme størrelse!), Multiplikasjon med et tall, matrisemultiplikasjon (også med visse begrensninger), finne de inverse og transponerte matrisene og, viktigst av alt , beregner determinanten. Hvis denne tidkrevende oppgaven erstattes av en enkelt kommando, er det mye raskere å bestemme rangeringen til en matrise og derfor etablere dens kompatibilitet eller inkonsekvens.

La systemet være gitt, ∆≠0. (en)
Gauss metode er en metode for suksessiv eliminering av ukjente.

Essensen av Gauss-metoden er å transformere (1) til et system med en trekantet matrise, hvorfra verdiene til alle ukjente deretter oppnås sekvensielt (omvendt). La oss vurdere et av beregningsskjemaene. Denne kretsen kalles enkeltdelingskretsen. Så la oss ta en titt på dette diagrammet. La en 11 ≠0 (ledende element) dele med en 11 den første ligningen. Få
(2)
Ved å bruke likning (2) er det lett å ekskludere ukjent x 1 fra de gjenværende likningene i systemet (for dette er det nok å trekke likning (2) fra hver likning foreløpig multiplisert med den tilsvarende koeffisienten ved x 1), dvs. , på det første trinnet får vi
.
Med andre ord, i trinn 1, er hvert element i påfølgende rader, fra den andre, lik forskjellen mellom det opprinnelige elementet og produktet av dets "projeksjon" på den første kolonnen og den første (transformerte) raden.
Etter dette, og forlater den første likningen alene, vil vi utføre en lignende transformasjon over de gjenværende likningene i systemet oppnådd ved det første trinnet: vi velger blant dem en likning med et ledende element og bruker den til å ekskludere x 2 fra de gjenværende likningene (steg 2).
Etter n trinn får vi i stedet for (1) et ekvivalent system
(3)
Dermed vil vi på det første trinnet få et trekantsystem (3). Dette trinnet kalles fremover.
På det andre trinnet (omvendt trekk) finner vi sekvensielt fra (3) verdiene x n , x n -1 , …, x 1 .
La oss betegne den oppnådde løsningen som x 0 . Da er forskjellen ε=b-A x 0 kalles residual.
Hvis ε=0, er den funnet løsningen x 0 riktig.

Beregninger med Gauss-metoden utføres i to trinn:

Det første trinnet kalles metodens direkte forløp. På det første trinnet konverteres det opprinnelige systemet til en trekantet form.
Den andre fasen kalles revers. På det andre trinnet løses et trekantsystem tilsvarende det opprinnelige.

Koeffisientene a 11 , a 22 , ... kalles ledende elementer.
Ved hvert trinn ble det antatt at det ledende elementet er forskjellig fra null. Hvis dette ikke er tilfelle, kan et hvilket som helst annet element brukes som en leder, som om du omorganiserer likningene til systemet.

Formålet med Gauss-metoden

Gauss-metoden er beregnet på å løse systemer med lineære ligninger. Refererer til direkte løsningsmetoder.

Typer av Gauss-metoden

Klassisk Gauss metode;
Modifikasjoner av Gauss-metoden. En av modifikasjonene av Gauss-metoden er kretsen med valg av hovedelementet. Et trekk ved Gauss-metoden med valg av hovedelementet er en slik permutasjon av ligningene slik at ved k-te trinn er det ledende elementet det største elementet i k-te kolonne.
Jordan-Gauss-metoden;

Forskjellen mellom Jordan-Gauss-metoden og den klassiske Gauss metode består i å anvende rektangelregelen når retningen for søket etter en løsning er langs hoveddiagonalen (transformasjon til identitetsmatrisen). I Gauss-metoden skjer retningen for søket etter en løsning langs søylene (transformasjon til et system med en trekantet matrise).
Illustrer forskjellen Jordan-Gauss-metoden fra Gauss-metoden på eksempler.

Gauss løsning eksempel
La oss løse systemet:

For enkelhets skyld bytter vi linjene:

Multipliser den andre raden med (2). Legg til den tredje linjen til den andre

Multipliser den andre raden med (-1). Legg den andre raden til den første

Fra 1. linje uttrykker vi x 3:
Fra den andre linjen uttrykker vi x 2:
Fra den tredje linjen uttrykker vi x 1:

Et eksempel på en løsning etter Jordan-Gauss-metoden
Vi vil løse samme SLAE ved å bruke Jordano-Gauss-metoden.

Vi vil sekvensielt velge det løsende elementet til RE, som ligger på hoveddiagonalen til matrisen.
Aktiveringselementet er lik (1).

NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - aktiveringselement (1), A og B - matriseelementer som danner et rektangel med elementer av STE og RE.
La oss presentere beregningen av hvert element i form av en tabell:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Aktiveringselementet er lik (3).
I stedet for det løsende elementet får vi 1, og i selve kolonnen skriver vi nuller.
Alle andre elementer i matrisen, inkludert elementene i kolonne B, bestemmes av rektangelregelen.
For å gjøre dette, velg fire tall som er plassert ved hjørnene til rektangelet og inkluderer alltid aktiveringselementet til RE.

x 1	x2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Aktiveringselementet er (-4).
I stedet for det løsende elementet får vi 1, og i selve kolonnen skriver vi nuller.
Alle andre elementer i matrisen, inkludert elementene i kolonne B, bestemmes av rektangelregelen.
For å gjøre dette, velg fire tall som er plassert ved hjørnene til rektangelet og inkluderer alltid aktiveringselementet til RE.
La oss presentere beregningen av hvert element i form av en tabell:

x 1	x2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Svar: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementering av Gauss-metoden

Gauss-metoden er implementert i mange programmeringsspråk, spesielt: Pascal, C ++, php, Delphi, og det er også en online implementering av Gauss-metoden.

Bruker Gauss-metoden

Anvendelse av Gauss-metoden i spillteori

I spillteori, når man finner den maksimale optimale strategien til en spiller, kompileres et system av ligninger, som løses ved Gauss-metoden.

Anvendelse av Gauss-metoden ved løsning av differensialligninger

For å søke etter en bestemt løsning på en differensialligning, finn først de deriverte av tilsvarende grad for den skrevne bestemte løsningen (y=f(A,B,C,D)), som erstattes med den opprinnelige ligningen. Videre, for å finne variablene A, B, C, D, kompileres et ligningssystem, som løses ved Gauss-metoden.

Anvendelse av Jordano-Gauss-metoden i lineær programmering

I lineær programmering, spesielt i simpleksmetoden, for å transformere en simplekstabell ved hver iterasjon, brukes rektangelregelen, som bruker Jordan-Gauss-metoden.

Gauss metode flott for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger (SLAE). Det har flere fordeler i forhold til andre metoder:

for det første er det ikke nødvendig å forhåndsundersøke ligningssystemet for kompatibilitet;
for det andre kan Gauss-metoden brukes til å løse ikke bare SLAE-er der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente variabler og hovedmatrisen til systemet er ikke-degenerert, men også ligningssystemer der antall ligninger gjør det. ikke sammenfalle med antall ukjente variabler eller determinanten til hovedmatrisen er lik null;
for det tredje fører Gauss-metoden til et resultat med et relativt lite antall beregningsoperasjoner.

Kort gjennomgang av artikkelen.

Først gir vi de nødvendige definisjonene og introduserer noen notasjon.

Deretter beskriver vi algoritmen til Gauss-metoden for det enkleste tilfellet, det vil si for systemer med lineære algebraiske ligninger, antall ligninger der sammenfaller med antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er ikke lik null. Når du løser slike ligningssystemer, er essensen av Gauss-metoden tydeligst synlig, som består i suksessiv eliminering av ukjente variabler. Derfor kalles Gauss-metoden også metoden for suksessiv eliminering av ukjente. La oss vise detaljerte løsninger av flere eksempler.

Avslutningsvis vurderer vi den gaussiske løsningen av systemer med lineære algebraiske ligninger hvis hovedmatrise er enten rektangulær eller degenerert. Løsningen til slike systemer har noen funksjoner, som vi vil analysere i detalj ved hjelp av eksempler.

Sidenavigering.

Grunnleggende definisjoner og notasjon.

Tenk på et system med p lineære ligninger med n ukjente (p kan være lik n):

Hvor er ukjente variabler, er tall (reelle eller komplekse), er gratis medlemmer.

Hvis en , da kalles systemet med lineære algebraiske ligninger homogen, ellers - heterogen.

Settet med verdier av ukjente variabler, der alle likninger i systemet blir til identiteter, kalles SLAU vedtak.

Hvis det er minst én løsning på et system med lineære algebraiske ligninger, kalles det ledd, ellers - uforenlig.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker. Hvis det er mer enn én løsning, kalles systemet usikker.

Systemet sies å være skrevet inn koordinatform hvis den har formen
.

Dette systemet i matriseform poster har formen , hvor - hovedmatrisen til SLAE, - matrisen til kolonnen med ukjente variabler, - matrisen av frie medlemmer.

Legger vi til matrisen A som (n + 1)-te kolonne matrisekolonnen av frie ledd, så får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er den utvidede matrisen merket med bokstaven T, og kolonnen med frie medlemmer er atskilt med en vertikal linje fra resten av kolonnene, det vil si,

Kvadratmatrisen A kalles degenerert hvis determinanten er null. Hvis , kalles matrisen A ikke-degenerert.

Følgende punkt bør bemerkes.

Hvis følgende handlinger utføres med et system av lineære algebraiske ligninger

bytte to ligninger,
multipliser begge sider av en ligning med et vilkårlig og ikke-null reelt (eller komplekst) tall k,
til begge deler av enhver ligning legg til de tilsvarende delene av den andre ligningen, multiplisert med et vilkårlig tall k,

da får vi et ekvivalent system som har de samme løsningene (eller, som det originale, ikke har noen løsninger).

For en utvidet matrise av et system med lineære algebraiske ligninger, vil disse handlingene bety elementære transformasjoner med rader:

bytte to strenger
multiplikasjon av alle elementene i en hvilken som helst rad i matrisen T med et tall som ikke er null k ,
å legge til elementene i en hvilken som helst rad i matrisen de tilsvarende elementene i en annen rad, multiplisert med et vilkårlig tall k .

Nå kan vi gå videre til beskrivelsen av Gauss-metoden.

Løse systemer med lineære algebraiske ligninger, der antall ligninger er lik antall ukjente og hovedmatrisen til systemet er ikke-degenerert, ved Gauss-metoden.

Hva ville vi gjort på skolen hvis vi fikk i oppgave å finne en løsning på et ligningssystem .

Noen ville gjort det.

Legg merke til at ved å legge til venstre side av den første ligningen til venstre side av den andre ligningen, og høyre side til høyre side, kan du bli kvitt de ukjente variablene x 2 og x 3 og umiddelbart finne x 1:

Vi erstatter den funnet verdien x 1 \u003d 1 i den første og tredje ligningen av systemet:

Hvis vi multipliserer begge delene av den tredje likningen av systemet med -1 og legger dem til de tilsvarende delene av den første likningen, blir vi kvitt den ukjente variabelen x 3 og kan finne x 2:

Vi erstatter den oppnådde verdien x 2 \u003d 2 i den tredje ligningen og finner den gjenværende ukjente variabelen x 3:

Andre ville ha gjort noe annet.

La oss løse den første likningen av systemet med hensyn til den ukjente variabelen x 1 og erstatte det resulterende uttrykket i den andre og tredje likningen av systemet for å ekskludere denne variabelen fra dem:

La oss nå løse den andre ligningen i systemet med hensyn til x 2 og erstatte resultatet oppnådd i den tredje ligningen for å ekskludere den ukjente variabelen x 2 fra den:

Det kan sees fra den tredje ligningen i systemet at x 3 =3. Fra den andre ligningen finner vi , og fra den første ligningen får vi .

Kjente løsninger, ikke sant?

Det mest interessante her er at den andre løsningsmetoden i hovedsak er metoden for sekvensiell eliminering av ukjente, det vil si Gauss-metoden. Da vi uttrykte ukjente variabler (første x 1 , neste x 2 ) og substituerte dem inn i resten av likningene i systemet, ekskluderte vi dem dermed. Vi utførte unntaket til øyeblikket da den siste ligningen bare etterlot én ukjent variabel. Prosessen med sekvensiell eliminering av ukjente kalles direkte Gauss-metoden. Etter at forovertrekket er fullført, har vi mulighet til å beregne den ukjente variabelen i den siste ligningen. Med dens hjelp, fra den nest siste ligningen, finner vi den neste ukjente variabelen, og så videre. Prosessen med suksessivt å finne ukjente variabler mens man går fra den siste ligningen til den første kalles omvendt Gauss-metode.

Det skal bemerkes at når vi uttrykker x 1 i form av x 2 og x 3 i den første ligningen, og deretter erstatter det resulterende uttrykket i den andre og tredje ligningen, fører følgende handlinger til det samme resultatet:

En slik prosedyre lar oss faktisk også ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje ligningen i systemet:

Nyanser med eliminering av ukjente variabler ved Gauss-metoden oppstår når likningene til systemet ikke inneholder noen variabler.

For eksempel i SLAU i den første ligningen er det ingen ukjent variabel x 1 (med andre ord, koeffisienten foran er null). Derfor kan vi ikke løse den første likningen i systemet med hensyn til x 1 for å ekskludere denne ukjente variabelen fra resten av likningene. Veien ut av denne situasjonen er å bytte ut systemets likninger. Siden vi vurderer systemer med lineære ligninger hvis determinanter av hovedmatrisene er forskjellige fra null, er det alltid en ligning der variabelen vi trenger er til stede, og vi kan omorganisere denne ligningen til posisjonen vi trenger. For vårt eksempel er det nok å bytte den første og andre ligningen til systemet , så kan du løse den første likningen for x 1 og ekskludere den fra resten av likningene i systemet (selv om x 1 allerede er fraværende i den andre likningen).

Vi håper du forstår essensen.

La oss beskrive Gauss-metodens algoritme.

La oss løse et system med n lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler av formen , og la determinanten for hovedmatrisen være forskjellig fra null.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. Vi ekskluderer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, legg til den første likningen multiplisert med til den andre likningen i systemet, legg den første multiplisert med til den tredje likningen, og så videre, legg den første multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en .

Vi ville komme til samme resultat hvis vi uttrykte x 1 i form av andre ukjente variabler i den første ligningen i systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre ligninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter handler vi på samme måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er merket på figuren

For å gjøre dette, legg den andre multiplisert med til den tredje ligningen i systemet, legg den andre multiplisert med til den fjerde ligningen, og så videre, legg den andre multiplisert med til den n'te ligningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi til eliminering av den ukjente x 3, mens vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter det direkte forløpet til Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det omvendte forløpet til Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som , ved å bruke den oppnådde verdien x n finner vi x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre, vi finner x 1 fra den første ligning.

La oss analysere algoritmen med et eksempel.

Eksempel.

Gaussisk metode.

Løsning.

Koeffisienten a 11 er forskjellig fra null, så la oss fortsette til det direkte forløpet til Gauss-metoden, det vil si til eliminering av den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, bortsett fra den første. For å gjøre dette, til venstre og høyre del av den andre, tredje og fjerde ligningen, legg til venstre og høyre del av den første ligningen, multiplisert med hhv. og :

Den ukjente variabelen x 1 har blitt eliminert, la oss gå videre til ekskluderingen x 2 . Til venstre og høyre del av den tredje og fjerde likningen av systemet legger vi til venstre og høyre del av den andre likningen, multiplisert med og :

For å fullføre forløpet til Gauss-metoden, må vi ekskludere den ukjente variabelen x 3 fra den siste ligningen i systemet. Legg til venstre og høyre side av henholdsvis den fjerde ligningen venstre og høyre side av den tredje ligningen, multiplisert med :

Du kan starte omvendt kurs av Gauss-metoden.

Fra den siste ligningen vi har ,
fra den tredje ligningen får vi ,
fra den andre
fra den første.

For å sjekke kan du erstatte de oppnådde verdiene av ukjente variabler i det opprinnelige ligningssystemet. Alle ligninger blir til identiteter, noe som betyr at løsningen ved Gauss-metoden ble funnet riktig.

Svar:

Og nå vil vi gi løsningen av det samme eksempelet ved Gauss-metoden i matriseform.

Eksempel.

Finn en løsning på ligningssystemet Gaussisk metode.

Løsning.

Den utvidede matrisen til systemet har formen . Over hver kolonne er det skrevet ukjente variabler, som tilsvarer elementene i matrisen.

Det direkte forløpet til Gauss-metoden innebærer her å bringe den utvidede matrisen til systemet til en trapesformet form ved hjelp av elementære transformasjoner. Denne prosessen ligner på ekskluderingen av ukjente variabler som vi gjorde med systemet i koordinatform. Nå vil du bli overbevist om det.

La oss transformere matrisen slik at alle elementene i den første kolonnen, fra den andre, blir null. For å gjøre dette, til elementene i den andre, tredje og fjerde raden, legg til de tilsvarende elementene i den første raden multiplisert med , og på henholdsvis:

Deretter transformerer vi den resulterende matrisen slik at i den andre kolonnen blir alle elementene, fra den tredje, null. Dette tilsvarer å ekskludere den ukjente variabelen x 2 . For å gjøre dette, legg til elementene i den tredje og fjerde raden de tilsvarende elementene i den første raden i matrisen, multiplisert med og :

Det gjenstår å ekskludere den ukjente variabelen x 3 fra den siste ligningen i systemet. For å gjøre dette, til elementene i den siste raden i den resulterende matrisen, legger vi til de tilsvarende elementene i den nest siste raden, multiplisert med :

Det skal bemerkes at denne matrisen tilsvarer systemet med lineære ligninger

som ble innhentet tidligere etter den direkte flyttingen.

Det er på tide å snu. I notasjonens matriseform innebærer det motsatte forløpet av Gauss-metoden en slik transformasjon av den resulterende matrisen slik at matrisen markert i figuren

ble diagonal, det vil si tok formen

hvor er noen tall.

Disse transformasjonene ligner på Gauss-metoden, men utføres ikke fra den første linjen til den siste, men fra den siste til den første.

Legg til elementene i den tredje, andre og første raden de tilsvarende elementene i den siste raden, multiplisert med , igjen og igjen henholdsvis:

La oss nå legge til elementene i den andre og første raden de tilsvarende elementene i den tredje raden, multiplisert med og med henholdsvis:

På det siste trinnet i den omvendte bevegelsen til Gauss-metoden legger vi til de tilsvarende elementene i den andre raden, multiplisert med , til elementene i den første raden:

Den resulterende matrisen tilsvarer ligningssystemet , hvorfra vi finner de ukjente variablene.

Svar:

MERK.

Ved bruk av Gauss-metoden for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger, bør omtrentlige beregninger unngås, da dette kan føre til helt feilaktige resultater. Vi anbefaler at du ikke runder av desimaler. Det er bedre å gå fra desimalbrøker til vanlige brøker.

Eksempel.

Løs System av tre ligninger ved Gaussisk metode .

Løsning.

Merk at i dette eksemplet har de ukjente variablene en annen betegnelse (ikke x 1 , x 2 , x 3 , men x, y, z ). La oss gå videre til vanlige brøker:

Eliminer den ukjente x fra den andre og tredje likningen av systemet:

I det resulterende systemet er det ingen ukjent variabel y i den andre ligningen, og y er til stede i den tredje ligningen, derfor bytter vi den andre og tredje ligningen:

På dette tidspunktet er det direkte forløpet til Gauss-metoden over (du trenger ikke å ekskludere y fra den tredje ligningen, siden denne ukjente variabelen ikke lenger eksisterer).

La oss gå tilbake.

Fra den siste ligningen finner vi ,
fra nest siste

fra den første ligningen vi har

Svar:

X=10, y=5, z=-20.

Løsningen av systemer med lineære algebraiske ligninger, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente, eller hovedmatrisen til systemet er degenerert, ved Gauss-metoden.

Ligningssystemer hvis hovedmatrise er rektangulær eller kvadratisk degenerert kan ha ingen løsninger, kan ha en enkelt løsning, eller kan ha et uendelig antall løsninger.

Nå vil vi forstå hvordan Gauss-metoden lar deg etablere kompatibiliteten eller inkonsistensen til et system med lineære ligninger, og i tilfelle dets kompatibilitet bestemme alle løsninger (eller en enkelt løsning).

I prinsippet forblir prosessen med å eliminere ukjente variabler i tilfelle slike SLAEer den samme. Det er imidlertid verdt å dvele i detalj ved noen situasjoner som kan oppstå.

La oss gå videre til det viktigste trinnet.

Så la oss anta at systemet med lineære algebraiske ligninger etter fullføringen av foroverløpet av Gauss-metoden har formen og ingen av ligningene redusert til (i dette tilfellet vil vi konkludere med at systemet er inkonsekvent). Et logisk spørsmål dukker opp: "Hva skal jeg gjøre videre"?

Vi skriver ut de ukjente variablene som er i første rekke av alle ligningene til det resulterende systemet:

I vårt eksempel er disse x 1 , x 4 og x 5 . I de venstre delene av likningene til systemet lar vi bare de leddene som inneholder de utskrevne ukjente variablene x 1, x 4 og x 5, vi overfører de resterende leddene til høyre side av likningene med motsatt fortegn:

La oss tilordne vilkårlige verdier til de ukjente variablene som er på høyre side av ligningene, der - vilkårlige tall:

Etter det finnes tallene i de riktige delene av alle ligningene til vår SLAE, og vi kan fortsette til det motsatte forløpet til Gauss-metoden.

Fra den siste ligningen i systemet vi har , fra den nest siste ligningen vi finner , fra den første ligningen får vi

Løsningen av ligningssystemet er settet med verdier av ukjente variabler

Å gi tall ulike verdier, vil vi få ulike løsninger på ligningssystemet. Det vil si at vårt ligningssystem har uendelig mange løsninger.

Svar:

hvor - vilkårlige tall.

For å konsolidere materialet vil vi analysere i detalj løsningene til flere eksempler.

Eksempel.

Løs homogene system av lineære algebraiske ligninger Gaussisk metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x fra den andre og tredje likningen i systemet. For å gjøre dette, legg til venstre og høyre del av den andre ligningen, henholdsvis venstre og høyre del av den første ligningen, multiplisert med , og til venstre og høyre del av den tredje ligningen - venstre og høyre del av den første ligning, multiplisert med:

Nå ekskluderer vi y fra den tredje ligningen til det resulterende ligningssystemet:

Den resulterende SLAE tilsvarer systemet .

Vi lar bare leddene som inneholder de ukjente variablene x og y stå på venstre side av likningene til systemet, og overfører leddene med den ukjente variabelen z til høyre side: