Tangent metode. Omtrentlig løsning av ligninger med forskjellige verktøy

Type undervisning: Lære og konsolidere ny kunnskap.

Type undervisning: praktisk arbeid ved bruk av datamaskin.

Leksjonens varighet: to leksjoner.

Formål: Å lære å løse likninger med en gitt nøyaktighet på et gitt intervall.

utvikling av forskning, kognitiv aktivitet av studenter;
utvikling av ferdigheter til å bruke ulike programvareverktøy for å løse ett problem;
utvikling kommunikasjons ferdigheter studenter.

Undervisningsmetoder: visuelt, forskning, praktisk.

Utstyr:

datamaskin;
det lokale nettverket;
projektor.

Programvare:

Windows operativsystem;
Microsoft Excel fra Microsoft Office-pakken;
Microsoft Visual Basic 6.0.

Timeplan:

Organisering av tid.
Oppretting av en problemsituasjon.
Bruk grafisk metode for den omtrentlige løsningen av ligninger i regneark.
Læringsmetode halv divisjon når man løser ligninger.
Simulering av et ark med regneark for omtrentlig løsning av en ligning ved hjelp av halveringsmetoden.
Modellering av prosjektet «Omtrentlig løsning av ligningen» i det objektorienterte språket Visual Basic 6.0.
Dataeksperiment.
Analyse av de oppnådde resultatene.
Oppsummering av leksjonen.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Lærerhilsen.

2. Oppretting av en problemsituasjon.

– I dag må vi løse problemet med å finne en omtrentlig rot av ligningen cos(x)=x ved hjelp av ulike programvareverktøy. Skriv ned emnet for leksjonen: "Omtrentlig løsning av ligninger med forskjellige verktøy."

- Selv om du ikke kan noen matematiske metoder for å løse denne ligningen, men du vet et program der du omtrent kan løse det grafisk. Hva er dette programmet? (Microsoft Excel.)

3. Bruke den grafiske metoden for omtrentlig løsning av likninger i regneark.

– Hva er meningen med metoden? (Vi må plotte funksjonen y = cos(x)–x på et bestemt segment er abscissen til grafens skjæringspunkt med OX-aksen roten til ligningen cos(x)=x .)

– Hva må bestemmes for å bygge en graf? (Segmentet som det er en rot på.)

Gjør det matematisk. (Verdisettet til venstre side av ligningen fungerer y = cos(x) , er segmentet [-1; 1]. Derfor kan ligningen bare ha en rot på dette segmentet.)

– Så finn den omtrentlige roten av ligningen cos(x)=x på segmentet [-1; 1] i trinn på for eksempel 0,1 tommer Microsoft program Utmerke.

Bilde 1

– Tilnærmet rot av ligningen x=0,75. Denne tilnærmingen gjør det imidlertid ikke høy presisjon. For å finne den omtrentlige roten av ligningen med en forhåndsbestemt nøyaktighet, brukes matematiske metoder, spesielt halvdelingsmetoden.

4. Studiet av metoden for halvdeling ved løsning av ligninger.

Ta i betraktning kontinuerlig funksjon f(x), slik at roten til denne ligningen er skjæringspunktet mellom grafen til denne funksjonen og OX-aksen.

Ideen med halveringsmetoden er å redusere det innledende segmentet [a; b], der det er en rot av ligningen, til et segment med gitt nøyaktighet h.

Prosessen reduseres til den påfølgende deling av segmentet i to med punktet c \u003d (a + b) / 2 og forkaster halvparten av segmentet ( eller ), der det ikke er noen rot. Segmentet velges, i enden av hvilken funksjonen tar verdier av forskjellige fortegn, dvs. produktet av disse verdiene er negativt. Funksjonen på dette segmentet skjærer x-aksen. Endene av dette segmentet er igjen tildelt betegnelsene a, b.

Denne inndelingen fortsetter til lengden på segmentet blir mindre enn dobbel presisjon, dvs. inntil ulikheten (b-a)/2

(Vis det resulterende bildet av grafen gjennom projektoren på skjermen, diskuter hvilke segmenter som bør velges med en gitt nøyaktighet på 0,5. Konklusjon: Den omtrentlige roten av ligningen x = 0,75 ble funnet med en nøyaktighet på 0,5.)

– Nå finner vi roten til ligningen cos(x)=x med en nøyaktighet på 0,001. La oss løse problemet ved hjelp av Microsoft Excel.

5. Simulering av et ark med regneark for den omtrentlige løsningen av ligningen ved hjelp av halveringsmetoden.

(Konstruksjonen av arkoppsettet utføres i fellesskap med studentene)

Vi skriver startverdiene for grensene til segmentet a og b i cellene A4 og B4, i celle C4 får vi midten av det spesifiserte segmentet, i cellene D4 og E4 - verdiene til funksjonen f (x) ) ved enden av segmentet , i celle F4 vil vi bestemme lengden på segmentet [a; b], angir vi den nødvendige nøyaktigheten i celle H4. I celle G4 skriver vi formelen for å finne roten i henhold til regelen: hvis lengden på det gjeldende segmentet tilsvarer den nødvendige nøyaktigheten, vil vi ta verdien av midten av dette segmentet som roten av ligningen. Vi vet allerede at i vårt tilfelle kan ikke roten bli funnet i ett trinn, slik at når du kopierer formelen fra celle G4, endres ikke adressen til celle H4, vi bruker absolutt adressering.

På den femte linjen skriver vi verdiene oppnådd etter det første trinnet med å dele det første segmentet i to. I cellene A5 og B5 må du angi formlene for å bestemme grensene for det nye segmentet. I cellene C4, D4, E4, F4, G4 kopieres formler fra henholdsvis cellene C5, D5, E5, F5, G5.

Derfor, i formelmodus, vil regnearket se slik ut:

6. Modellering av prosjektet «Omtrentlig løsning av ligningen» i det objektorienterte språket Visual Basic 6.0.

(Å bygge et skjemaoppsett og skrive programkode gjøres av studentene på egen hånd: individuelt eller i grupper)

Figur 3

Programkode for knappen Ligningsrot cos(x)=x:

Privat underkommando1_Klikk()

Mens (b - a) / 2 >= e

Hvis fa*fc< 0 Then b = c Else a = c

Tekst4 = (a + b) / 2

7. Dataeksperiment.

(Elevene fullfører prosjektet i regneark, skriver ut resultatet i en notatbok. Deretter fullfører de prosjektet i Visual Basic, skriver ut resultatet i en notatbok.)

Prosjekt i regneark - Vedlegg 1.

8. Analyse av de oppnådde resultatene.

(Elevene konkluderer med at resultatene av å løse ligningen cos(x)=x oppnådd ved bruk av forskjellige verktøy er de samme.)

9. Oppsummering av leksjonen.

MBOU ungdomsskole №6

Informatikk leksjon

Emneutmerke»

klasse: IX (generell utdanning)

lærer: E.N. Kulik

Leksjonsemne: "Omtrentlig løsning av ligninger ved hjelp av en regnearkprosessorutmerke»

Leksjonstype : leksjon - konsolidering av det som er lært

Type leksjon: leksjon - praksis

Teknologi : problem - forskning

Utstyr : utstyrt datamaskinklasse moderne teknologi og programvare

Leksjonens mål:

Dannelse av ferdigheter og evner, slitasje inn moderne forhold generell vitenskapelig og generell intellektuell karakter.

Utviklingen av det teoretiske, kreativ tenking, samt dannelsen av operasjonell tenkning rettet mot å velge de beste løsningene.

Lær elevene å anvende moderne programvare i å løse ikke-standard problemer.

Leksjonens mål:

Pedagogisk - utvikling kognitiv interesse, utdanning av informasjonskultur.

Pedagogisk - Lær og konsolider grunnleggende regnearkferdigheter.

Pedagogisk - utvikling logisk tenkning, utvide horisonten.

Timeplan.

Frontal undersøkelse for å sjekke graden av forberedelse av studentene for assimilering av nytt materiale.

Forklaring av nytt materiale og selvstendig arbeid studenter på datamaskiner.

Gjennomføring av individuelle differensierte oppgaver (arbeid i grupper).

Utskrift av verkstedrapporter og karaktersetting.

Hjemmelekser.

Speilbilde.

UNDER KLASSENE

Jeg. En kort orientering om sikkerhet i dataklassen.

Hei folkens! I dag holder vi praktisk leksjon på regneark i en datatime. For å sikre sikker drift må følgende regler følges:

Du kan ikke uavhengig, uten tillatelse fra læreren, slå på og av datamaskinen;

Ikke berør baksiden av datamaskinen og ledninger;

Ikke trykk på tastene med en penn eller blyant;

Du kan ikke gå rundt i klassen, reise deg fra setet;

Ved en datamaskinfeil eller hvis det oppdages brennende lukt, ring læreren.

front avstemning.

I den siste teoretiske leksjonen snakket vi allerede om tilleggsfunksjoner Excel-programmer.

La oss huske hva dette programmet er for? ( Med det rike kartbiblioteket kan du lage diagrammer og grafer forskjellige typer: sirkulær, søyle diagram, grafer; du kan gi titler og forklaringer, du kan angi farge og type skravering i diagrammer; skriv ut på papir, endre størrelse og plassering på arket og sett inn diagrammer på riktig sted på arket)

Hvordan forstår du begrepet "bedriftsgrafikk"? ( Dette begrepet forstås vanligvis som grafer og diagrammer som visuelt representerer dynamikken i utviklingen av en bestemt produksjon, industri og andre numeriske data)

Hvilken menykommando kan brukes til å bygge diagrammer og grafer i Excel? (Diagrammer og grafer kan bygges ved hjelp av startknappen for diagramveiviseren)

Hvordan stille inn automatisk beregning i tabellen over celleverdier av bestemt formel? (For å angi automatisk beregning i verditabellen i henhold til en bestemt formel, må du skrive inn "="-tegnet, deretter aktivere ønsket celle og angi de tilsvarende tegnene for aritmetiske operasjoner)

Kan formelinndata kontrolleres? (Du kan kontrollere inntastingen av formelen ved å bruke formelinntastingsvinduet)

Hvordan kan jeg legge inn formelen i flere celler, dvs. kopiere det? (For å legge inn formelen i flere celler, må du plassere markøren på cellemarkøren nederst til høyre og dra den til den siste cellen i ønsket område)

Hva kan sies om typen markør satt på nedre høyre cellemarkør?

III. Presentasjon av nytt materiale og selvstendig arbeid av studenter på datamaskiner.

Leksjonens tema "Omtrentlig løsning av ligninger ved hjelp av en regnearkprosessorutmerke»

Fra løpet av matematikk, la oss huske hva det vil si å løse en ligning? ( Å løse en ligning betyr å finne røttene eller bevise at det ikke finnes røtter)

Hvilke metoder for å løse ligninger kjenner du til? ( Det er to måter å løse ligninger på: analytisk og grafisk)

La oss dvele ved den grafiske metoden for å finne røttene. Basert på denne metoden, vennligst fortell meg hva som er røttene til ligningen? ( røttene til ligningen er verdiene til skjæringspunktene til grafen til funksjonen med x-aksen).

Hvis vi løser et ligningssystem, hva blir løsningen? (Løsningen av ligningssystemet vil være koordinatene til skjæringspunktene til funksjonsgrafene).

I forrige leksjon lærte vi at ved hjelp av Excel kan du bygge nesten hvilken som helst graf.

La oss bruke denne kunnskapen til å finne røttene til ligningssystemet ved hjelp av en grafisk metode.

Hva må gjøres for å løse dette ligningssystemet? ( Forvandle dette systemet inn i det gitte)

Vi får: x 2 \u003d 2x + 9

For å vurdere løsningene bruker vi et diagram der vi viser grafene til begge funksjonene i samme koordinatsystem.

La oss lage en tabell først.

Den første linjen er overskriftslinjen

Ved utfylling av kolonne A: i celle A2 legges inn Opprinnelig verdi argument x. Gutter, foreslå startverdien til x (___).

Og hvorfor kan vi ta startverdien lik ____? ( Fordi domenet til begge funksjonene er alle reelle tall).

For å fylle ut hele kolonnen automatisk, må du skrive inn formelen i celle A3:

A2+1, der +1 er trinnet med å endre argumentet og kopiere det til celle A23.

Når vi fyller ut kolonne B i celle B2, legger vi inn formelen A2 * A2, som vi også kopierer til celle B23.

Når vi fyller ut kolonne C i celle C2, legger vi inn formelen 2 * A2 + 9 og kopieres også til C23.

Marker den resulterende tabellen.

På Standard-panelet klikker du på "Kartveiviser"-knappen, vinduet "Kartveiviser" åpnes, klikk på "Spredning"-typen, velg deretter "Spredningsplott med verdier koblet med glatte linjer" og bygg en beslutningsevalueringsskjema.

Hva ser vi i diagrammet? ( Diagrammet viser at begge grafene har to skjæringspunkter)

Hva kan man si om disse skjæringspunktene? Koordinatene til skjæringspunktene er løsningene til systemet)

I følge grafen kan du omtrent bestemme koordinatene

La oss igjen huske hvordan man grafisk finner løsningen på ligningen?

(Dette kan gjøres ved å plotte funksjoneny= x^3-2 x^2+4 x-12 og definere x-koordinaten til skjæringspunktene med x-aksen.

Eller forestill deg gitt ligning somx^3=2 x^2-4 x+12 og plotte to grafery= x^3 y=2 x^2-4 x+12 og bestem abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjoner, og verdiene til abscissen vil være røttene til ligningen)

Vi har allerede vurdert konstruksjonen av to grafer. La oss finne løsningen på denne ligningen ved å bestemme x-koordinaten til punktene i dens skjæringspunkt med x-aksen.

Vi starter med å fylle ut tabellen.

Skriv inn følgende tekst i tittellinjen:

X y=x^3-2x^2+4x-12

Jeg foreslår å ta startverdien av argumentet lik 0, vi legger den inn i celle A2.

I celle A3 skriver vi inn formelen \u003d A2 + 0,15 og kopierer til celle A20.

I celle B2 skriver vi inn formelen =A2^3-2*A2^2+4*A2-12 og kopierer også til B20.

Hvordan finner vi en løsning på en ligning? ( Bestem x-koordinaten til skjæringspunktene til grafen med OX-aksen)

Hvor mange slike poeng? (en)

Hva er abscissen (x=2,4)

Utførelse av individuelle differensierte oppgaver (arbeid i grupper)

Dermed ser vi at ved hjelp av Excel-programmet kan du grafisk løse nesten hvilken som helst ligning, noe vi skal gjøre nå.

Hver gruppe vil motta individuell oppgave. Etter å ha fullført oppgaven skal gruppen skrive ut tabellene og grafene for oppgaven.

Det er konsulenter i hver gruppe, og jeg vil ta hensyn til hans mening ved karaktersetting. Du har 10 minutter på deg til å jobbe.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

ingen løsninger (-2;15), (2;15) (3;4), (-3;-4)

(rådgivernes tale)

V. Hjemmelekser: Analyser og kontroller oppgaver, lag rapporter i en notatbok.

VI.Speilbilde.

I dag i timen så vi på...

Ved hjelp av Excel kan du lage...

Før denne opplæringen visste jeg ikke...

Jeg ble sint på meg selv i timen fordi...

Jeg kan rose i dag.... , for hva...

I dag i timen lærte jeg...

Gjennom hele kurset var jeg...

Emne : tilnærmet grafisk løsning ligninger.

Formål: å fremme utviklingen av ferdigheten til å løse ligninger grafisk ved bruk av regneark.

I løpet av timene:

Organisasjonsøyeblikk (2 min)
Kunnskapsoppdatering (8 min)

2) Definer regneark.

mobiladresse.
Legge inn formler
Logiske funksjoner

Lære nytt materiale (10 min)

La oss finne roten til ligningen x 3 - sin x \u003d 0 i regneark grafisk. Vi beholder verdiene til argumentet - 1,4 til 1,4 i trinn på 0, 2

Praktisk jobb nr. 51 (20 min)

2) Bruk et regneark, løs grafisk ligningen sin(x)=1/x på et segment med en nøyaktighet på 0,1

Lekser (2 min)

Forbered likninger for å løse grafisk

Leksjonssammendrag (3 min)

Emne:

Utstyr: dataklasse, projektor
I løpet av timene:

1) Bruk av regneark

mobiladresse.
Grunnleggende datatyper for regneark.
Tekst i regneark.
Legge inn formler
Relative, absolutte og blandede referanser.
Hvilke kategorier av innebygde funksjoner kjenner du til?
Gi eksempler på matematiske funksjoner.
Logiske funksjoner

3. Lære nytt materiale (10 min)

La oss finne roten til ligningen x 3 - cos x \u003d 0 i regneark ved å bruke parametervalgsmetoden. Vi beholder verdiene til argumentet - 1,4 til 1,4 i trinn på 0, 2
4. Praktisk arbeid nr. 51 (20 min)

2) Bruk et regneark, løs ligningen cos(x)=1/(x+1) på et segment med en nøyaktighet på 1 grafisk og ved hjelp av parametervalgmetoden.
5. Lekser (2 min)

Forbered ligninger for å løse grafisk og ved å velge en parameter.

Leksjonssammendrag (3 min)

Emne: Omtrentlig løsning av ligninger ved parametervalgmetode.

Formål: å fremme utviklingen av ferdighetene til å løse likninger ved hjelp av parametervalgmetoden.

Utstyr: dataklasse, projektor
I løpet av timene:

1. Organisasjonsøyeblikk (2 min)

2. Aktualisering av kunnskap (8 min)

1) Bruk av regneark

2) Definer et regneark.

mobiladresse.
Grunnleggende datatyper for regneark.
Tekst i regneark.
Legge inn formler
Relative, absolutte og blandede referanser.
Hvilke kategorier av innebygde funksjoner kjenner du til?
Gi eksempler på matematiske funksjoner.
Logiske funksjoner

3. Praktisk arbeid nr. 51 (30 min)

1) Finn roten til ligningen x 2 \u003d cos x i regneark ved å bruke parametervalgsmetoden. Vi beholder verdiene til argumentet - 3 til 3 i trinn på 0, 2

Løs ligningen sinx - 2x = 0 ved hjelp av tilpasningsmetoden. Argumentverdier – -3 til 3 i trinn på 0,5

3) Bruk regnearket til å løse ligningen sin(x)=1/

på et segment med en nøyaktighet på 1 grafisk og ved hjelp av parametervalgmetoden.
5. Lekser (2 min)

For eksempel:

La oss sette oppgaven å finne gyldig røttene til denne ligningen.

Og det er det absolutt! - fra artikler om funksjonsgrafer Og ligninger for høyere matematikk du vet godt hva timeplanen er polynomfunksjoner merkelig grad skjærer aksen minst én gang, så ligningen vår har i det minsteén ekte rot. En. Eller to. Eller tre.

Først ber det om å sjekke om rasjonell røtter. I følge tilsvarende teorem, bare tallene 1, -1, 3, -3 kan gjøre krav på denne "tittelen", og ved direkte erstatning er det enkelt å forsikre seg om at ingen av dem "passer". Dermed forblir irrasjonelle verdier. Irrasjonell rot(røtter) til et 3. grads polynom kan bli funnet nøyaktig (uttrykk i form av radikaler) gjennom den såkalte Cardanos formler , men denne metoden er ganske tungvint. Og for polynomene til 5. og større grader generell analytisk metode eksisterer ikke i det hele tatt, og i tillegg er det i praksis mange andre ligninger der eksakte verdier ekte røtter kan ikke oppnås (selv om de eksisterer).

Imidlertid i anvendt (for eksempel ingeniørfag) oppgaver, er det mer enn akseptabelt å bruke beregnede omtrentlige verdier med en viss presisjon.

La oss sette nøyaktigheten for vårt eksempel. Hva betyr det? Dette betyr at vi må finne en SLIK omtrentlig verdi av roten (røtter) der vi garantert feil, ikke mer enn 0,001 (en tusendel) .

Det er helt klart at løsningen ikke kan startes "tilfeldig" og derfor, i det første trinnet, røttene skille. Å skille en rot betyr å finne et tilstrekkelig lite (vanligvis enkelt) segment som denne roten tilhører, og som det ikke er andre røtter på. Den enkleste og mest tilgjengelige grafisk rotseparasjonsmetode. La oss bygge punkt for punkt funksjonsgraf :

Det følger av tegningen at ligningen , tilsynelatende, har en enkelt reell rot , som tilhører segmentet . På slutten av dette intervallet vises funksjonen tar verdier av forskjellige tegn: , og fra det faktum kontinuitet av funksjonen på intervallet en elementær måte å avgrense roten på er umiddelbart synlig: vi deler intervallet i to og velger segmentet i enden av funksjonen forskjellige tegn. I denne saken dette er åpenbart et segment. Vi deler det resulterende intervallet i to og velger igjen segmentet "forskjellig tegn". Og så videre. Slike sekvensielle handlinger kalles iterasjoner. I dette tilfellet bør de utføres til lengden på segmentet blir mindre enn det dobbelte av nøyaktigheten til beregningene, og for den omtrentlige verdien av roten, bør midten av det siste segmentet med "forskjellig fortegn" velges.

Den vurderte ordningen har fått et naturlig navn - halvdelingsmetode. Og ulempen med denne metoden er hastighet. Sakte. Så sakte. For mange iterasjoner må gjøres før vi når den nødvendige nøyaktigheten. Med utviklingen av datateknologi er dette selvfølgelig ikke noe problem, men matematikk er det matematikk er til for, for å lete etter det meste rasjonelle måter løsninger.

Og en av de flere effektive måterå finne en omtrentlig verdi av roten er nøyaktig tangentmetode. Kort geometrisk essens metoden er som følger: først ved å bruke et spesielt kriterium (mer om det senere) en av endene av segmentet er valgt. Denne slutten kalles hoved tilnærming til roten, i vårt eksempel: . Nå tegner vi en tangent til grafen til funksjonen på punktet med abscissen (blå prikk og lilla tangent):

Denne tangenten har krysset x-aksen ved det gule punktet, og merk at i det første trinnet har vi allerede nesten "truffet roten"! Det blir det først rottilnærming. Deretter senker vi den gule vinkelrett på grafen til funksjonen og "treffer" den oransje prikken. Vi trekker igjen en tangent gjennom det oransje punktet, som vil krysse aksen enda nærmere roten! Og så videre. Det er lett å forstå at ved hjelp av tangentmetoden nærmer vi oss målet med stormskritt, og det vil ta bare noen få iterasjoner for å oppnå nøyaktighet.

Siden tangenten er definert i form av funksjonsderiverte, så havnet denne leksjonen i delen "Derivater" som en av applikasjonene. Og uten å gå i detaljer teoretisk begrunnelse for metoden, vil jeg vurdere den tekniske siden av problemet. I praksis oppstår problemet beskrevet ovenfor omtrent i følgende formulering:

Eksempel 1

Bruk den grafiske metoden og finn intervallet som den virkelige roten av ligningen er plassert på. Ved å bruke Newtons metode, få den omtrentlige verdien av roten med en nøyaktighet på 0,001

Her er en "sparsom versjon" av oppgaven, der tilstedeværelsen av en enkelt ekte rot umiddelbart oppgis.

Løsning: på første trinn skille roten grafisk. Dette kan gjøres ved å plotte (se illustrasjonene over), men denne tilnærmingen har en rekke ulemper. For det første er det ikke et faktum at timeplanen er enkel (vi vet ikke på forhånd), og programvare - det er langt fra alltid tilgjengelig. Og for det andre (konsekvens fra 1.), med stor sannsynlighet vil du ikke engang få en skjematisk tegning, men en grov tegning, som selvfølgelig ikke er bra.

Vel, hvorfor skulle vi det unødvendige vanskeligheter? Forestill deg ligningen i skjemaet, bygg NØYE grafer og merk roten i tegningen ("x" koordinat for skjæringspunktet for grafene):

Åpenbar fordel denne metoden er at grafene til disse funksjonene bygges for hånd mye mer nøyaktig og mye raskere. Merk det forresten rett krysset kubikk parabel på et enkelt punkt, noe som betyr at den foreslåtte ligningen faktisk bare har én reell rot. Stol på men verifiser ;-)

Så, vår "klient" tilhører segmentet og "etter øye" er omtrent lik 0,65-0,7.

På det andre trinnet trenger å velge innledende tilnærming rot. Vanligvis er dette en av endene av segmentet. Den første tilnærmingen må tilfredsstille følgende tilstand:

La oss finne først Og sekund avledede funksjoner :

og sjekk venstre ende av segmentet:

Dermed "passet ikke" null.

Kontrollerer høyre ende av segmentet:

- Alt er bra! Som en innledende tilnærming velger vi .

På det tredje trinnet veien til roten venter på oss. Hver påfølgende tilnærming av roten beregnes basert på tidligere data ved å bruke følgende tilbakevendende formler:

Prosessen avsluttes når betingelsen er oppfylt, hvor er den forhåndsbestemte nøyaktigheten til beregningene. Som et resultat blir den "n-te" tilnærmingen tatt som den omtrentlige verdien av roten: .

Rutinemessige beregninger er neste:

(avrunding utføres vanligvis til 5-6 desimaler)

Siden den oppnådde verdien er større enn , går vi videre til den første tilnærmingen til roten:

Vi beregner:

, så det er behov for å gå til den andre tilnærmingen:

La oss gå til neste sirkel:

, dermed er iterasjonene over, og den andre tilnærmingen bør tas som den omtrentlige verdien av roten, som, i samsvar med den gitte nøyaktigheten, skal rundes opp til en tusendel:

I praksis er det praktisk å legge inn resultatene av beregninger i en tabell, mens for å forkorte posten noe, er brøken ofte betegnet med:

Selve beregningene, hvis mulig, gjøres best i Excel - det er mye mer praktisk og raskere:

Svar: nøyaktig til 0,001

Jeg minner om at denne frasen antyder at vi har gjort en feil i vurderingen sann verdi root med ikke mer enn 0,001. Tvilere kan plukke opp en mikrokalkulator og igjen erstatte den omtrentlige verdien på 0,674 i venstre side av ligningen.

Og la oss nå "skanne" den høyre kolonnen i tabellen fra topp til bunn og legge merke til at verdiene synker jevnt og trutt i absolutt verdi. Denne effekten kalles konvergens metode som lar oss beregne roten med vilkårlig høy nøyaktighet. Men konvergens finner ikke alltid sted - det er gitt en rekke forhold som jeg savnet. Spesielt må segmentet som roten er isolert på være liten nok- ellers vil verdiene endres tilfeldig, og vi vil ikke kunne fullføre algoritmen.

Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Sjekk om de angitte betingelsene er oppfylt (se link over), og om nødvendig redusere segmentet. Så relativt sett, hvis intervallet i det analyserte eksemplet ikke passet oss, bør vi vurdere for eksempel segmentet . I praksis har jeg vært borti slike tilfeller og denne hjelper virkelig! Det samme må gjøres hvis begge ender av det "brede" segmentet ikke tilfredsstiller betingelsen (dvs. ingen av dem er egnet for rollen som den første tilnærmingen).

Men vanligvis fungerer alt som smurt, men ikke uten fallgruver:

Eksempel 2

Bestem grafisk antall reelle røtter av ligningen, separer disse røttene og bruk Newtons metode, finn de omtrentlige verdiene til røttene med nøyaktighet

Tilstanden til problemet har blitt merkbart tøffere: for det første inneholder det et tykt hint om at ligningen har mer enn én rot, for det andre har kravet til nøyaktighet økt, og for det tredje med grafen til funksjonen mye vanskeligere å takle.

Og derfor løsning vi starter med et sparetriks: vi representerer ligningen i skjemaet og tegner grafer:

Det følger av tegningen at ligningen vår har to reelle røtter:

Algoritmen, som du forstår, må "snus" to ganger. Men dette er fortsatt for det vanskeligste tilfellet, det hender at du må undersøke 3-4 røtter.

1) Bruk av kriteriet finn ut hvilken av endene av segmentet du skal velge som den første tilnærmingen til den første roten. Finne deriverte funksjoner :

Tester venstre ende av segmentet:

- nærmet seg!

Dermed er den første tilnærmingen.

Vi vil avgrense roten etter Newtons metode ved å bruke tilbakevendende formel:
- til brøken modulo vil ikke bli mindre enn den nødvendige nøyaktigheten:

Og her får ordet "modul" ikke-illusorisk betydning, siden verdiene er negative:

Av samme grunn bør spesiell oppmerksomhet rettes mot hver enkelt neste tilnærming:

Til tross for det ganske høye kravet til nøyaktighet, endte prosessen igjen ved den andre tilnærmingen: , derfor:

Nøyaktig til 0,0001

2) Finn den omtrentlige verdien av roten.

Vi sjekker for "lus" i venstre ende av segmentet:

, derfor er det ikke egnet som en innledende tilnærming.