I henhold til arten av funksjonen til ACS, er de delt inn i 4 klasser: Automatiske stabiliseringssystemer er preget av det faktum at under driften av systemet forblir innstillingspåvirkningen konstant. Program kontrollsystemer, master innflytelse endringer på forhånd etablert lov som en funksjon av tid og systemkoordinater. Sporingssystemer, kjørehandlingen er verdien av variabelen men matematisk beskrivelse t kan ikke stilles inn i tid. Adaptive eller selvjusterende systemer slike systemer automatisk ...

Del arbeid på sosiale nettverk

Hvis dette verket ikke passer deg, er det en liste over lignende verk nederst på siden. Du kan også bruke søkeknappen

Forelesning nummer 2. Klassifisering og krav til ATS. Lineær og ikke-lineær ACS. Generell metode linearisering

(lysbilde 1)

2.1. ATS klassifisering

(lysbilde 2)

ATS er klassifisert etter ulike kriterier. Av arten av funksjonen til ATS er delt inn i 4 klasser:

• Systemer automatisk stabilisering(preget av at drivkraften forblir konstant under driften av systemet).Eksempel: motorhastighetsstabilisator.
• Systemer programregulering(hovedinnflytelsen endres i henhold til en forhåndsbestemt lov, som en funksjon av tid og koordinater til systemet).Eksempel: autopilot.
• Følgere system (hovedhandlingen er en variabel verdi, men den matematiske beskrivelsen i form av tid kan ikke etableres, siden signalkilden er ytre påvirkning, hvis fortrengningslov ikke er kjent på forhånd).Eksempel: flysporingsradar.
• Adaptiv eller selvjusterende systemer (slike systemer velger automatisk den optimale kontrollloven og kan endre egenskapene til kontrolleren under drift).Eksempel: dataspill med et ikke-lineært plott.

(lysbilde 3)

ACS er også delt inn i henhold til arten av signalene i kontrollenheten:

• kontinuerlige (inn- og utgangssignal kontinuerlige funksjoner tid).Eksempel: komparatorer, operasjonsforsterkere.
• Stafett (hvis systemet har minst ett element med relékarakteristikk).Eksempel: ulike releer, analoge brytere og multipleksere.
• Puls (preget av tilstedeværelsen av minst ett impulselement).Eksempel: tyristorer, digitale kretser.

All ACS kan deles i henhold til avhengigheten av utgangskarakteristikkene på inngangen til lineær og ikke-lineær.

2.2. Krav til SAR

(lysbilde 4)

1. Den kontrollerte variabelen skal holdes på innstilt nivå uavhengig av forstyrrelsen. Den forbigående prosessen er representert av en dynamisk karakteristikk, som kan brukes til å bedømme kvaliteten på systemet.

2. Stabilitetsbetingelsen skal være tilfredsstilt, d.v.s. systemet må ha en stabilitetsmargin.

3. Hastighet - tidspunktet for overgangsprosessen, som karakteriserer hastigheten på systemets respons.

(lysbilde 5)

4. Overskridelsesregler må oppfylles. To hovedparametere brukes for å bestemme mengden overskridelse:

• Overskytingsfaktor

hvor ym det maksimale avviket til utgangsverdien under transienten, y∞ verdien av utgangsverdien i stabil tilstand. Tillatt verdi = 0  25 %.

(lysbilde 6)

• Mål for fluktuasjon av prosessen antall fluktuasjoner under overgangsprosessen (ikke mer enn 2)

5. Må oppfylle kravet til statisk nøyaktighet. Hvis prosessene i systemet er tilfeldige, introduseres probabilistiske egenskaper for å sikre nøyaktighet.

2. 3 . Lineær og ikke-lineær ACS

Dynamiske prosesser i kontrollsystemer beskrives med differensialligninger.

(lysbilde 7)

I lineære systemer beskrives prosesser vhalineær differensialligninger. PÅ ikke-lineære systemer prosesser er beskrevet av ligninger som inneholder evt ikke-linearitet . Lineære systemberegninger er godt utviklet og lettere å håndtere. praktisk anvendelse. Beregninger av ikke-lineære systemer er ofte forbundet med store vanskeligheter.

For at kontrollsystemet skal være lineært, er det nødvendig (men ikke tilstrekkelig) å ha de statiske egenskapene til alle ledd i form av rette linjer. Faktisk er virkelige statiske egenskaper i de fleste tilfeller ikke enkle. Derfor, for å beregne det virkelige systemet som et lineært, er det nødvendig å erstatte alle de kurvlineære statiske egenskapene til lenkene i arbeidsseksjonene som brukes i denne kontrollprosessen med rette segmenter. Det kalles linearisering . De fleste kontinuerlige kontrollsystemer egner seg til slik linearisering.

(lysbilde 8)

Lineære systemer er delt inn ivanlige lineære systemer og på spesielle lineære systemer.Førstnevnte inkluderer slike systemer, hvor alle koblinger er beskrevet av vanlige lineære differensialligninger med konstante koeffisienter.

(lysbilde 9)

Spesielle linjesystemer inkluderer:

en) systemer med tidsvarierende parametere, som er beskrevet ved lineær differensialligninger med variable koeffisienter;

b) systemer med distribuerte parametere, hvor man må forholde seg til partielle differensialligninger, og systemer med tidsforsinkelse beskrevet av ligninger med et retardert argument;

(lysbilde 10)

i) impulssystemer, hvor man må forholde seg til differanseligninger.

(lysbilde 11)

Ris. 2.1. Kjennetegn ved ikke-lineære elementer

I ikke-lineære systemer, når man analyserer kontrollprosessen, er det nødvendig å ta hensyn til ikke-lineariteten til den statiske karakteristikken i minst en av dens koblinger eller noen ikke-lineære differensialavhengigheter i systemdynamikkens ligninger. Noen ganger er ikke-lineære koblinger spesifikt introdusert i systemet for å gi den høyeste ytelsen eller andre ønskede kvaliteter.

Ikke-lineære systemer inkluderer først og fremst relésystemer, sidenrelékarakteristikk(Fig. 2.1, a og b ) kan ikke erstattes av en enkelt rett linje. En kobling vil være ikke-lineær, i karakteristikken som det erdødsone(Fig. 2.1, c).

Metningsfenomener eller mekanisk slagbegrensningføre til en karakteristikk med begrenset lineær avhengighet i endene (fig. 2.1, g ). Denne karakteristikken bør også betraktes som ikke-lineær hvis slike prosesser vurderes når driftspunktet går utover den lineære delen av karakteristikken.

Ikke-lineære avhengigheter inkluderer ogsåhysteresekurve(Fig. 2.1, f.eks ), karakteristiskklaring i mekanisk girkasse(fig. 2.1, f), tørrfriksjon (fig. 2.1, g), kvadratisk friksjon(Fig. 2.1, og ) og andre. I de to siste karakteristikkene x 1 angir bevegelseshastigheten, og x2 kraft eller friksjonsmoment.

Ikke-lineær er generelt ethvert krumlinjet forhold mellom utgangs- og inngangsverdiene til koblingen (fig. 2.1, til ). Dette er ikke-lineariteter av den enkleste typen. I tillegg kan ikke-lineariteter legge inn differensialligninger i form av et produkt variabler og deres derivater, så vel som i form av mer komplekse funksjonelle avhengigheter.

Ikke alle ikke-lineære avhengigheter egner seg til enkel linearisering. Så for eksempel kan linearisering ikke gjøres for egenskapene som er avbildet i fig. 2.1, men eller i fig. 2.1, e. Lignende vanskelige saker vil bli vurdert i sekt. 9.

2.4. Generell lineariseringsmetode

(lysbilde 12)

I de fleste tilfeller er det mulig å linearisere ikke-lineære avhengigheter ved å bruke metoden med små avvik eller variasjoner. For å vurdere det, la oss gå til en lenke i systemet automatisk regulering(Fig. 2.2). Inngangs- og utgangsmengdene er merket med X 1 og X 2 , og ytre forstyrrelse gjennom F(t).

La oss anta at koblingen er beskrevet av noen ikke-lineære differensial ligning snill

. (2.1)

For å kompilere en slik ligning, må du bruke riktig industri tekniske vitenskaper(for eksempel elektroteknikk, mekanikk, hydraulikk, etc.) studere denne spesielle typen enhet.

(lysbilde 13)

Grunnlaget for linearisering er antakelsen om at avvikene til alle variablene som inngår i koblingsdynamikkligningen er tilstrekkelig små, siden det nettopp er på et tilstrekkelig lite snitt at den krumlinjede karakteristikken kan erstattes av et rett linjesegment. Variablenes avvik måles i dette tilfellet fra verdiene deres i den jevne prosessen eller i en viss likevektstilstand i systemet. La for eksempel en jevn prosess karakteriseres av en konstant verdi av variabelen X 1 , som vi betegner X 10 . I prosessen med regulering (fig. 2.3) variabelen X 1 vil ha betydning

hvor angir avviket til variabelen x1 fra den etablerte verdien X 10.

Lignende sammenhenger er introdusert for andre variabler. For saken under behandling har vi:

i tillegg til

Alle avvik antas å være tilstrekkelig små. Denne matematiske antagelsen motsier ikke fysisk mening oppgaver, siden selve ideen om automatisk kontroll krever at alle avvik fra den kontrollerte variabelen i kontrollprosessen er tilstrekkelig små.

Den stabile tilstanden til koblingen bestemmes av verdiene X 10, X 20 og F 0 . Deretter kan ligning (2.1) skrives for steady state i formen

. (2.2)

(lysbilde 15)

La oss utvide venstre side av ligning (2.1) i Taylor-serien

(2.3)

hvor  høyere ordrevilkår. Indeksen 0 for partielle deriverte betyr at etter å ha tatt den deriverte, må den stabile verdien av alle variabler erstattes med uttrykket.

; ; ; .

De høyere ordensleddene i formel (2.3) inkluderer høyere partielle deriverte multiplisert med kvadrater, terninger og mer høye grader avvik, samt produktene av avvik. De vil være små av høyere størrelse sammenlignet med selve avvikene, som er små av første orden.

(lysbilde 16)

Ligning (2.3) er en koblingsdynamikkligning, akkurat som (2.1), men skrevet i en annen form. La oss forkaste de høyere ordens små i denne ligningen, hvoretter vi trekker steady state-ligningene (2.2) fra ligning (2.3). Som et resultat får vi følgende omtrentlige koblingsdynamikkligning i små avvik:

(2.4)

I denne ligningen kommer alle variabler og deres deriverte inn lineært, det vil si i første grad. Alle partielle derivater er noen konstante koeffisienter hvis et system med konstante parametere undersøkes. Hvis systemet har variable parametere, så vil ligning (2.4) ha variable koeffisienter. La oss bare vurdere tilfellet med konstante koeffisienter.

(lysbilde 17)

Å oppnå ligning (2.4) er målet for lineariseringen som er gjort. I teorien om automatisk kontroll er det vanlig å skrive ligningene til alle ledd slik at utgangsverdien er på venstre side av ligningen, og alle andre ledd overføres til høyre side. I dette tilfellet deles alle ledd i ligningen med koeffisienten ved utgangsverdien. Som et resultat tar ligning (2.4) formen

, (2.5)

hvor følgende notasjon er introdusert

(lysbilde 18)

I tillegg, for enkelhets skyld, er det vanlig å skrive alle differensialligninger i operatorform med notasjonen

Etc.

Da kan differensialligningen (2.5) skrives i formen

, (2.6)

Denne posten vil bli kalt standardformen for koblingsdynamikkligningen.

Koeffisienter T 1 og T 2 ha tidsdimensjonen andre. Dette følger av at alle ledd i ligning (2.6) må ha samme dimensjon, og for eksempel dimensjonen (eller p x 2 ) skiller seg fra dimensjonen x 2 per sekund til minus første potens ( fra -1 ). Derfor er koeffisientene T 1 og T 2 kalles tidskonstanter.

Koeffisient k 1 har dimensjonen til utgangsverdien delt på dimensjonen til inngangen. Det kallesutvekslingsforholdlink. For koblinger hvis utgangs- og inngangsverdier har samme dimensjon, brukes følgende begreper også: gain for en kobling som er en forsterker eller har en forsterker i sammensetningen; girforhold for girkasser, spenningsdelere, scalers, etc.

Overføringskoeffisienten karakteriserer de statiske egenskapene til lenken, som i steady state. Derfor bestemmer den brattheten til den statiske karakteristikken ved små avvik. Hvis vi skildrer hele den virkelige statiske egenskapen til koblingen, gir linearisering eller. Overføringskoeffisient k 1 vil være tangenten til skråningen tangent på det punktet C (se fig. 2.3), hvorfra det telles små avvik x 1 og x 2.

Det kan sees fra figuren at lineariseringen av ligningen gjort ovenfor er gyldig for kontrollprosesser som fanger opp en slik del av karakteristikken AB , hvor tangenten skiller seg lite fra selve kurven.

(lysbilde 19)

I tillegg fører dette til en annen grafisk måte linearisering. Hvis den statiske karakteristikken er kjent og poenget C , som bestemmer steady state, som reguleringsprosessen foregår rundt, så bestemmes overføringskoeffisienten i lenkeligningen grafisk fra tegningen i henhold til avhengigheten k 1 = tg  c tar hensyn til målestokken på tegningen og dimensjonene x2 . I mange tilfellergrafisk lineariseringsmetodeviser seg å være mer praktisk og fører til målet raskere.

(lysbilde 20)

Koeffisientdimensjon k2 lik dimensjonen til overføringskoeffisienten k 1 multiplisert med tid. Derfor er likning (2.6) ofte skrevet i formen

hvor tidskonstant.

Tidskonstanter T 1, T 2 og T 3 bestemme de dynamiske egenskapene til koblingen. Dette problemet vil bli vurdert i detalj nedenfor.

Koeffisient k 3 er overføringskoeffisienten for ekstern forstyrrelse.

Side 1

Annen lignende verk som kan interessere deg.wshm>
13570.		Lineære og ikke-lineære moduser for laseroppvarming	333,34 KB
	Lineære regimer for laseroppvarming For å analysere de lineære regimene for laseroppvarming, vurderer vi prosessene med LR-virkning på et halvrom av en varmekilde som avtar eksponentielt med dybden. Derfor kan idealiseringen av egenskapene til varmekilder, som ofte er tillatt i beregningsopplegg for å redusere matematiske vanskeligheter, føre til merkbare avvik fra de beregnede dataene fra de eksperimentelle. For ugjennomsiktige materialer, i de fleste tilfeller av LI-oppvarming, kan varmekilder betraktes som overflateabsorpsjonskoeffisient α 104  105...
16776.		Krav til skattepolitikken til staten i en krise	21,72 KB
	Krav til skattepolitikken til staten i en krise For utvikling gründervirksomhet i moderne økonomiske tilstander det er nødvendig å ha visse betingelser, inkludert: - eksistensen av et effektivt skattesystem som stimulerer utviklingen av entreprenørskap; - tilstedeværelsen av et visst sett med rettigheter og friheter til å velge type Økonomisk aktivitet planlegging av finansieringskilder tilgang til ressurser organisering og ledelse av selskapet, etc. Således, for den progressive utviklingen ...
7113.		Harmonisk lineariseringsmetode	536,48KB
	Harmonisk lineariseringsmetode Siden denne metoden er tilnærmet, vil de oppnådde resultatene være nær sannheten bare hvis visse forutsetninger er oppfylt: Et ikke-lineært system bør inneholde kun én ikke-linearitet; Den lineære delen av systemet bør være et lavpassfilter som demper de høyere harmoniske som oppstår i grensesyklusen; Metoden gjelder kun for autonome systemer. blir studert fri bevegelse system, dvs. bevegelse ved ikke-null Innledende forhold i fravær av ytre påvirkninger ....
12947.		HARMONISK LINEARISERINGSMETODE	338,05 KB
	Når vi vender oss direkte til vurderingen av den harmoniske lineariseringsmetoden, vil vi anta at det ikke-lineære systemet som studeres er redusert til formen vist i. Et ikke-lineært element kan ha hvilken som helst karakteristikk så lenge det er integrerbart uten diskontinuiteter av den andre typen. Transformasjonen av denne variabelen for et eksempel med et ikke-lineært element med en dødsone er vist i fig.
2637.		Påføringsmedisiner. Generelle egenskaper. Klassifisering. Primære krav. Teknologi for påføring av lim på et underlag i produksjon av påføringsmedisiner	64,04KB
	applikasjon medisiner maisplaster, klebeplaster, pepperplaster, hudlim, flytende plaster, TTS-filmer m.m. generelle egenskaper og klassifisering av plaster Plaster Emplstr er en topisk doseringsform som har evnen til å feste seg til huden, har effekt på huden, subkutant vev og i noen tilfeller en generell effekt på kroppen. Gips er en av de eldste doseringsformer kjent fra gammel tid moderne rusmidler fjerde generasjon...
7112.		IKKE-LINEÆRE SYSTEMER	940,02 KB
	fysiske lover bevegelsene til verden rundt oss er slik at alle kontrollobjekter er ikke-lineære. Andre ikke-lineariteter kalt strukturelle er introdusert i systemet bevisst for å oppnå de nødvendige egenskapene til systemet. Hvis ikke-linearitetene er svakt uttrykt, skiller oppførselen til det ikke-lineære systemet seg litt fra oppførselen til det lineære systemet. Lag en nøyaktig modell ekte system umulig.
21761.		Det generelle panteonet til gudene i det gamle Mesopotamia. Gudene til det gamle Sumer	24,7 kB
	eldgammel religion folkeslag i Mesopotamia, til tross for deres egen konservatisme, gradvis, i løpet av samfunnsutvikling, gjennomgikk endringer som reflekterte både de politiske og sosioøkonomiske prosessene som fant sted på Mesopotamias territorium.
11507.		dannelse av det økonomiske resultatet og generell analyse av organisasjonens finansielle og økonomiske aktiviteter	193,55 KB
	For en dypere kjennskap til aktivitetene til enhver bedrift, blir det nødvendig å studere det fra alle mulige sider i dannelsen av de mest objektiv mening både positivt og negative aspekter i arbeidet med å identifisere de mest sårbare stedene og måter å eliminere dem på. For å gjennomføre finansiell analyse brukes spesialverktøy, såkalte finansielle nøkkeltall. Ved hjelp av nødvendig informasjon objektivt og mest nøyaktig vurdere den økonomiske tilstanden til organisasjonen, dens fortjeneste og tap endres ...
13462.		Statistisk analyse av risikofylte eiendeler. Ikke-lineære modeller	546,54 KB
	Imidlertid viser virkelige data for mange finansielle tidsserier det lineære modeller reflekterer ikke alltid det sanne bildet av prisatferd i tilstrekkelig grad. Hvis vi har i tankene utvidelsen av Oak der den betingede matematiske forventninger det er ganske naturlig å anta at de betingede fordelingene er gaussiske...
4273.		Lineære matematiske modeller	3,43 KB
	Lineære matematiske modeller. Det ble bemerket ovenfor at evt matematisk modell kan betraktes som en operatør A, som er en algoritme eller bestemmes av et sett med ligninger - algebraisk ...

La oss diskutere igjen valget av skala for å representere disse dataene i grafisk form(se fig. 30). Maksimumsmerket på °C, tilsvarende temperaturaksen X, passer veldig bra på 40 celler, noe som tilsvarer en veldig praktisk deling av 10 celler for hver 50 °C. Hvor mye mer risiko trengs? I dette tilfellet foreslår jeg å ordne dem gjennom 2 celler, noe som vil gjøre det lettere å bestemme koordinaten, siden intervallet mellom slike risikoer vil tilsvare 10 ° C, noe som er veldig praktisk.

Men på Y-aksen plasserte jeg risikoen gjennom 5 celler for hver 500 ohm motstand, noe som førte til ufullstendig bruk papirområdet. Men, bedøm selv, hvis aksen er delt inn i 6 eller 7 celler, ville det være upraktisk å finne koordinaten, og hvis det er 8 celler, så ville ikke den maksimale risikoen tilsvarende 2000 Ohm passet på aksen.

Nå må vi diskutere formen til den teoretiske kurven. La oss åpne retningslinjer på laboratoriearbeid på side 28 og finn formel 3, som beskriver avhengigheten av motstanden til en halvleder på temperatur,

hvor er bandgapet, Boltzmanns konstant, - noen konstant med dimensjonen til motstand, og til slutt, temperatur , uttrykt i Kelvin. La oss begynne å lage en ny tabell. La oss først konvertere temperaturen til Kelvin. For det andre, la oss sette oss oppgaven med å ikke bare tegne en ny graf, men også finne båndgapet ved hjelp av grafen. For å gjøre dette tar vi logaritmen til eksponentiell avhengighet og får

Betegn , og . Da får vi en lineær avhengighet,

som vi vil skildre på grafen. Dataene som tilsvarer verdiene og vil bli skrevet i tabell 9.

Tabell 9. Omberegning av data i tabell 8.

poengnummer
T, K
1/T, 10–3 K–1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
ln R, Ohm	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Hvis, i henhold til tabell 9, å bygge en avhengighetsgraf i fig. 31, vil alle eksperimentelle punkter ta opp svært liten plass på arket med et stort tomt rom. Hvorfor skjedde det? Fordi etikettene på X- og Y-aksene er plassert fra 0, selv om verdiene for eksempel bare starter med verdien . Er det nødvendig å gjøre den opprinnelige etiketten lik 0? Svaret på dette spørsmålet avhenger av oppgavene. I eksemplet med Oberbeck-pendelen (se fig. 28) var det svært viktig å finne skjæringspunktet mellom X-aksen til den teoretiske linjen i punktet med koordinat Y=0, som tilsvarte verdien . Og i dette problemet er det bare nødvendig å finne båndgapet, som er relatert til konstanten , som tilsvarer helningen til den rette linjen i fig. 31, så det er slett ikke nødvendig å plassere etiketter på aksene, med start fra 0.

Ved å studere dataene fra tabell 9 og velge en praktisk skala, kan vi med sikkerhet si at retningen til millimeterpapiret må endres, som vist i fig. 32. Studer den valgte skalaen selv og sørg for at den er veldig praktisk å jobbe med diagrammet. På den teoretiske rette linjen (tegnet med øyet på best mulig måte mellom forsøkspunktene) sett to punkter A og B med koordinater og . Helningskoeffisienten uttrykkes i form av koordinatene til disse punktene med formelen

Og til slutt beregner vi båndgapet

Ved å bruke metoden for sammenkoblede punkter, beregner vi den samme koeffisienten og dens feil, for dette tar vi for oss poengpar fra tabell 9:

1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9 og 7-10.

Beregn for disse punktparene helningskoeffisienten til de rette linjene som går gjennom dem

Mener

,

La oss nå beregne båndgapet og feilen.

Dermed har vi kommet frem til svaret

eV

Selvstendig arbeid.

Jeg foreslår at du gjør dine egne beregninger, plotter og behandler grafer i neste virtuelle laboratoriearbeid under kodenavn"Bestem fjærens stivhet." Men la oss heve nivået for eksperimentet med mer høy level: du trenger ikke bare få et tall, men sammenligne to metoder for å måle fjærstivhet - statisk og dynamisk.

La oss kort gjennomgå disse metodene.

statisk metode.

Hvis en masselast er hengt opp fra en fast vertikal fjær, vil fjæren strekke seg i henhold til Hookes lov, hvor er lengden på den strakte fjæren, og er lengden på den ustrakte fjæren (initiell lengde).

Merk: Hookes lov taler om proporsjonaliteten til den elastiske kraften til fjæren til absolutt forlengelse, dvs. , hvor er elastisitetskoeffisienten (eller stivheten) til fjæren.

I en likevektstilstand vil tyngdekraften til lasten balanseres av elastisitetskraften og vi kan skrive . La oss åpne brakettene og se avhengigheten av lengden på fjæren på massen til lasten

Hvis du gjør en endring av variabler, får du ligningen for en rett linje. Du trenger ikke å gjøre linearisering!

Så, oppgaven din er å behandle dataene fra tabell 10, som ble lagt inn der av den unge eksperimenteren (han var lei av å kaste murstein fra taket på en ni-etasjers bygning). For eksperimenter fylte han opp et sett med vekter, fant et dusin eller to forskjellige fjærer og, hengende vekter med forskjellig masse, målte han lengden på den strakte fjæren ved hjelp av en millimeterlinjal.

Øvelse 1.

1. Velg et fjærnummer fra tabell 10.

2. Lag tabellen med to kolonner. Skriv inn tyngdekraften i den første kolonnen, hvor er massen til lasten (i kg), m / s 2. I den andre kolonnen overfører du lengdene til den valgte fjæren (i meter). Angi celler for gjennomsnitt og .

Tabell 10

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Tabell 10 (fortsettelse)

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Ta et ark med millimeterpapir, merk koordinataksene på det. Velg i henhold til dataene optimal Skala og plott gravitasjon mot fjærlengde, plott verdier langs x-aksen og verdier langs y-aksen.

4. Lag 7 poengpar: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Beregn de 7 helningsfaktorene ved å bruke den parede punktmetoden ved å bruke formelen

Etc.

5. Finn gjennomsnittsverdien , som tilsvarer gjennomsnittsverdien av elastisitetskoeffisienten til fjæren .

6. Finn standardavvik , konfidensintervall , (fordi 7 verdier ble oppnådd). Presenter resultatet som

Ekstra oppgave(valgfri)

7. Beregn startlengden på fjæren. For å gjøre dette, få et uttrykk for koeffisienten fra likevektsligningen og erstatte gjennomsnittsverdiene i den

8. Beregn konfidensintervallet for koeffisienten

9. Tatt i betraktning , beregn startlengden på fjæren og konfidensintervallet for den

,

Dynamisk metode

Heng vekten av massen til den faste vertikale stivhetsfjæren og skyv den litt ned. Vil starte harmoniske vibrasjoner, hvis periode er (se , side 76). Vi uttrykker massen til lasten gjennom svingningsperioden

Frekvensmetoder mottatt bred bruk i analyse og syntese av lineære systemer har de en rekke fordeler i forhold til andre forskningsmetoder: for det første enkelheten med å kompilere og konvertere blokkdiagrammer og overføringsfunksjoner; for det andre, bekvemmeligheten og større klarhet ved beregninger ved bruk av frekvenskarakteristikker. Derfor var det naturlig å ønske å bruke disse metodene i studiet av ikke-lineære systemer. Dette viste seg å være mulig på grunnlag av metoden for harmonisk linearisering av ikke-lineære lenker til automatiske kontrollsystemer.

Grunnleggende for den harmoniske lineariseringsmetoden ble skissert i verkene til fremtredende russiske forskere N. M. Krylov og N. N. Bogolyubov på 1930-tallet. Senere ble ideen om denne metoden brukt på automatiske kontrollsystemer utviklet av E. P. Popov og L. S. Goldfarb.

Denne metoden lar en studere stabiliteten til ikke-lineære systemer med bestemmelse av parametrene (amplitude, frekvens) for mulige selvsvingninger, for å velge korrigerende kretser som gir de spesifiserte egenskapene. I dette tilfellet antas den harmoniske karakteren til oscillasjonene i det ikke-lineære systemet, som bestemmer løsningen av oppgavene i den første tilnærmingen. For systemer hvis lineære del er et lavpassfilter er imidlertid den tillatte feilen liten, og den vil være jo mindre jo høyere filtreringsegenskapene til den lineære delen av systemet som studeres.

Hovedideen til den harmoniske lineariseringsmetoden er som følger. Det automatiske kontrollsystemet presenteres i form av to deler - lineær og ikke-lineær (fig. 10.12). La Overføringsfunksjon lineær del er lik

• --- og ligningen til den lineære delen har følgende Pr(r)
• (10.30)

Yar(p) = X(p) = -Mp(p)up(p).

og= /*(x),

hvor P(x) - gitt ikke-lineær funksjon.

ikke-lineær V

Lineær

Ris. 10.12. Representasjon av automatiserte kontrollsystemer i form av en ikke-lineær og lineær del

I formel (10.31), for enkelhets skyld, antas det at utgangskoordinaten til en ikke-lineær kobling bare avhenger av størrelsen på inngangssignalet og ikke er avhengig av dets deriverte eller integraler, selv om metoden som vurderes også er anvendelig for mer komplekse ikke-lineære avhengigheter, samt til systemer med flere ikke-lineære lenker.

Problemet med å finne parametrene for selvsvingninger til et ikke-lineært system er stilt. Selvsvingninger i et ikke-lineært system antas å være sinusformet, selv om disse oscillasjonene strengt tatt er ikke-lineære. Imidlertid vil feilen i en slik antagelse, som allerede nevnt, være ubetydelig, siden likørdelen av systemet, som er et lavfrekvent filter, undertrykker svingninger med høye frekvenser. Derfor vil vi se etter selvsvingninger av systemet i form av en sinusoid

x=A synd co/.

Med et sinusformet inngangssignal vil noen periodiske oscillasjoner vises ved utgangen til en ikke-lineær lenke. De kan representeres som en uendelig rekke av harmoniske komponenter

U = F(x) =

C 0 + Z), sin co/ + C, cos co/ + D2 sin 2co/ + Fra 2 cos co/ + ..., (10.33)

hvor С 0 , />, C "D 2, C 2,... er koeffisientene til Fourier-serien.

Videre, for forenkling, antar vi at det ikke er noen konstant komponent ved utgangen av den ikke-lineære lenken. Dette betyr at den ikke-lineære karakteristikken er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene, og inndatahandlingen inneholder ikke en konstant komponent. Med tanke på filtreringsegenskapene til den lineære delen, kan vi neglisjere alle høyere harmoniske komponenter i Fourier-serien. Derfor kan omtrentlig utgangssignalet til et ikke-lineært element uttrykkes i form av den første harmoniske i serien (10.33):

U=D. sin co/ + C. cosco/. en §

Fra (10.32) finner vi:

sin co/ = -; cos co/ = MEN

Ved å erstatte (10.35) med (10.34), får vi:

FRA, Åh

Asya si

Hvis vi utpeker (2 ( (L) = -0 2 (L) =- da vil de være sanne-

Liv følgende uttrykk:

OLA) =

• 0LA) =

| /ХЛzipf^ipfg/f;

• (10.37)

| / g (L8IPf)S08fS/f,

hvor φ = CO/.

Ligning (10.36) i operatørform har formen:

u(lp)=01(A)X(p) + R2Shr.x(p). (10.38)

Som et resultat av transformasjonene som er utført, erstattes den ikke-lineære ligningen (10.31) med en omtrentlig ligning for den første harmoniske (10.38), lik den lineariserte ligningen. Forskjellen er at koeffisientene til den resulterende ligningen ikke er det konstanter, men avhenger av amplituden MEN og frekvenser fra de søkte parameterne for selvsvingninger.

Denne endringen av ligninger kalles harmonisk linearisering. Ligningskoeffisienter (10,38) O^A) og kalles de harmoniske forsterkningene til den ikke-lineære lenken.

La oss lage en harmonisk linearisering av egenskapene til et ikke-lineært element (fig. 10.13).

Ris. 10.13.

For å gjøre dette er det nødvendig å finne uttrykk for de harmoniske forsterkningene til den ikke-lineære lenken Q(A) og Q 2 (A)(10.37). På fig. 10.14 formen til funksjonen F^sincp) er grafisk definert for et sinusformet inngangssignal til et ikke-lineært element x(t) = ylsintp, cp = co/. Vi får:

• (2, (MEN) = - [ F(A sinvp)sinv) )di = kA j0
• - G csin ldl = -(-COSV|/)|J*= -- (-koselig 2 + koselig,), kA J til A| Jeg EN

siden y 2 = i - y 2, så koselig 2 = -koselig, og Q ) (A) =-koselig,.

Vi definerer 0 2 (L):

Dermed har ligning (10.38). neste visning

Ved å bruke den harmoniske lineariseringen av karakteristikken til et ikke-lineært element, er det mulig å bestemme frekvensen og amplituden til mulige selvsvingninger i systemet.

Etter å ha erstattet (10.38) i (10.30), finner vi ligningen frie vibrasjoner i et lukket ikke-lineært system:

O p (p) X (p) + M p (p) \u003d 0. (10.39)

Basert på (10.39) vil den karakteristiske ligningen for hele det lukkede systemet ha formen:

• (10.40)

Nå er det nødvendig å finne en periodisk løsning x = /4$tco/ av den opprinnelige ligningen (10.39). periodisk bevegelse i systemet er bare mulig hvis den tilsvarende karakteristiske ligningen (10.40) har et par imaginære røtter. For å finne forholdene under hvilke den karakteristiske ligningen vil ha imaginære røtter, kan man bruke et hvilket som helst kriterium for stabiliteten til lineære systemer.

Vurder Mikhailovs stabilitetskriterium. Uttrykket for Mikhailov-kurven er gitt av karakteristisk ligning system (10.40) ved erstatning X = jQ.

,#) + M/>P)0, (4)+, (10,41)

hvor P er gjeldende verdi av frekvensen.

Uttrykk (10.41) kan skrives om som

D(jQ) = og ] (П,а>,А)+ yT,(Π, ω,/1).

Det skal bemerkes at amplituden og frekvensen av selvsvingninger (MEN,ω) angi som parametere for Mikhailov-kurveligningen. For at systemet skal nå grensen for oscillerende stabilitet, må Mikhailov-kurven passere gjennom origo (fig. 10.15).

Det er kjent at frekvensen som Mikhailov-kurven passerer gjennom origo bestemmer frekvensen udempede svingninger i systemet. I dette tilfellet Q = co.

Dermed er amplituden og frekvensen til periodiske svingninger i et ikke-lineært system l: = EN synd co t kan bestemmes ved å løse ligningssystemet:

?/,(co,/!)-0; (10.43)

E, (co, MEN) = 0.

Hvis de oppnådde verdiene for MEN og co reelt og positivt, betyr dette at selvsvingninger med de funnet verdiene av parameterne er mulig i systemet som studeres. Ellers kan ikke selvsvingninger i systemet oppstå.

Etter at parametrene for mulige selvsvingninger er bestemt, er det nødvendig å kontrollere stabiliteten til denne periodiske løsningen, det vil si å finne ut om den forbigående prosessen konvergerer til periodiske svingninger eller ikke (Figur 10.16). For å gjøre dette blir systemet informert om avviket fra den periodiske re-

Ris. 10.16.en- løsningen konvergerer; b- løsningen divergerer

amplitudeløsninger (MEN+ A MEN). Dette vil føre til et avvik av Mikhailov-kurven fra origo i en eller annen retning (fig. 10.17). Posisjon 1 tilsvarer stabile periodiske oscillasjoner, og posisjon II til den deformerte Mikhailov-kurven tilsvarer ustabile oscillasjoner. For stabilitet av selvsvingninger er det nødvendig at for AL > 0 avviker kurven til posisjon I, og for AA

K 8A)

der stjerneindeksen betyr at de partielle derivatene hentet fra de generelle uttrykkene (10.42) beregnes ved å erstatte parameterne A, O. = fra den sjekkede periodiske løsningen. Hvis ulikhet (10,44) ikke er tilfredsstilt, tilsvarer dette en ustabil periodisk løsning. Betingelsen (10.44) er gyldig ved studier av systemer opp til 4. orden inklusive. For systemer over høy orden det kreves å se forløpet av hele Mikhailov-kurven.

I fravær av selvsvingende regimer kan oppførselen til systemet som studeres være svært forskjellig. For tiden er det omtrentlige metoder for å bestemme den forbigående prosessen i ikke-lineære systemer for visse inngangshandlinger.

Tenk på et eksempel. For å gjøre dette bruker vi systemet omtalt i avsnitt 10.3. Basert på ligningene (10.21) og (10.23) kompileres et blokkskjema over systemet som studeres (fig. 10.18) og overføringsfunksjonen til den lineære delen bestemmes:

R(CR+ 1)

m R (r)

Å r (r) "

			p(bp+)

Ris. 10.18. Eksempel på systemet som studeres

For å karakterisere et ikke-lineært element (fig. 10.11 ???), finner vi uttrykk for de harmoniske forsterkningskoeffisientene til en ikke-lineær kobling:

Den karakteristiske ligningen til et lukket system (10.40), tatt i betraktning (10.45) og (10.46), har følgende form:

X(T(k + !) + &,

4SD X- ? -- ??

til A 2 co

Etter bytte X= uso i (10.47) og separasjon av de reelle og imaginære delene, får vi ligninger (10.43) for å bestemme amplituden og frekvensen til oscillasjoner i et ikke-lineært system:

Løsningen av de oppnådde ligningene mht MEN og gir de ønskede parameterne for selvsvingninger.

test spørsmål

• 1. Hva er forutsetningene ved bruk av harmonisk lineariseringsmetode?
• 2. Utfør harmonisk linearisering av egenskapene til et ikke-lineært element (fig. 10.7, G) med parametere b = 1,5; Med = 5.

Generell lineariseringsmetode

I de fleste tilfeller er det mulig å linearisere ikke-lineære avhengigheter ved å bruke metoden med små avvik eller variasjoner. For å vurdere ᴇᴦο, la oss gå til en lenke i det automatiske kontrollsystemet (fig. 2.2). Inngangs- og utgangsmengdene er merket med X1 og X2, og den eksterne forstyrrelsen er merket med F(t).

La oss anta at koblingen er beskrevet av en ikke-lineær differensialligning av formen

For å kompilere en slik ligning, må du bruke den aktuelle grenen av tekniske vitenskaper (for eksempel elektroteknikk, mekanikk, hydraulikk, etc.) som studerer denne spesielle typen enhet.

Grunnlaget for linearisering er antakelsen om at avvikene til alle variablene som inngår i koblingsdynamikkligningen er tilstrekkelig små, siden det nettopp er på et tilstrekkelig lite snitt at den krumlinjede karakteristikken kan erstattes av et rett linjesegment. Variablenes avvik måles i dette tilfellet fra verdiene deres i den jevne prosessen eller i en viss likevektstilstand i systemet. La for eksempel den jevne prosessen karakteriseres av en konstant verdi av variabelen X1, som vi betegner som X10. I reguleringsprosessen (fig. 2.3) vil variabelen X1 ha verdiene der angir avviket til variabelen X 1 fra den stabile verdien X10.

Lignende sammenhenger er introdusert for andre variabler. For saken under behandling har vi ˸ og også .

Alle avvik antas å være tilstrekkelig små. Denne matematiske antagelsen motsier ikke den fysiske betydningen av problemet, siden selve ideen om automatisk kontroll krever at alle avvik fra den kontrollerte variabelen under kontrollprosessen er tilstrekkelig små.

Den stabile tilstanden til koblingen bestemmes av verdiene X10, X20 og F0. Deretter skal ligning (2.1) skrives for steady state i skjemaet

La oss utvide venstre side av ligning (2.1) i Taylor-serien

hvor D er termer av høyere orden. Indeks 0 for partielle deriverte betyr at etter å ha tatt den deriverte, må den stabile verdien av alle variabler erstattes med uttrykket.

De høyere ordensleddene i formel (2.3) inkluderer høyere partielle deriverte multiplisert med kvadrater, terninger og høyere grader av avvik, samt produkter av avvik. De vil være små av høyere størrelse sammenlignet med selve avvikene, som er små av første orden.

Ligning (2.3) er en koblingsdynamikkligning, akkurat som (2.1), men skrevet i en annen form. La oss stikke innom gitt ligning liten høyere orden, hvoretter vi trekker steady state-ligningene (2.2) fra ligning (2.3). Som et resultat får vi følgende omtrentlige ligning av koblingsdynamikken i små avvik˸

I denne ligningen kommer alle variabler og deres deriverte inn lineært, det vil si i første grad. Alle partielle derivater er noen konstante koeffisienter i tilfelle et system med konstante parametere blir undersøkt. Hvis systemet har variable parametere, vil ligning (2.4) ha variable koeffisienter. La oss bare vurdere tilfellet med konstante koeffisienter.

Generell lineariseringsmetode - konsept og typer. Klassifisering og funksjoner i kategorien "Generell lineariseringsmetode" 2015, 2017-2018.

Linearisering er den vanligste måten å redusere kompleksiteten til en MM og er grunnlaget for anvendelse av lineær teori.

Essensen av enhver linearisering er tilnærmet erstatning av den opprinnelige ikke-lineære avhengigheten (ikke-lineariteten) til noen lineær avhengighet i samsvar med en viss betingelse (kriterium) om ekvivalens. Blant de mulige metodene, den mest brukte tangentmetode(linearisering i et lite nabolag gitt poeng). Denne metoden er ikke avhengig av typen signaler som konverteres, og kan like vellykket brukes til forskjellig typer ikke-lineariteter, som kan være endimensjonale og flerdimensjonale; treghetsløs (statisk) og dynamisk.

Treghets ikke-lineariteter etablere et funksjonelt forhold mellom inngangsverdier u(t) og gå ut y(t) i den samme dette øyeblikket tid t og kan stilles inn enten helt klart(formler, grafer, tabeller), eller implisitt(algebraiske ligninger). På blokkskjemaer de samsvarer treghetsløs(uten minne) ikke-lineære lenker.

Dynamiske ikke-lineariteter beskrives matematisk av ikke-lineære differensialligninger og tilsvarer dem på blokkdiagrammer ikke-lineære dynamiske lenker. I dette tilfellet, utgangsverdiene y(t) på gjeldende tidspunkt t avhenger ikke bare av verdiene til inngangen på samme tid, men også av derivater, integraler eller andre verdier.

Matematisk grunnlag tangentmetoden er utvidelsen av en ikke-lineær funksjon i en Taylor-serie i et lite nabolag til et visst "lineariseringspunkt", etterfulgt av avvisning av ikke-lineære termer som inneholder graden av avvik til variablene (inkrementene) over den første.

La oss vurdere essensen av metoden i spesielle tilfeller med påfølgende generaliseringer.

1) La y= F(u) - eksplisitt gitt endimensjonale treghets ikke-linearitet, jevn og kontinuerlig i et nabolag på et eller annet punkt u=u*. Forutsatt u=u*+D u;y=y*+D y, hvor y*=F(u*), skriver vi Taylor-serien for denne funksjonen i formen:

Forkaster termer av høyere størrelsesorden, og lar bare termer som inneholder D u i første grad får vi den omtrentlige likheten

. (2)

Dette uttrykket beskriver omtrent forholdet litenøker D y og D u som lineær avhengighet og er et resultat av linearisering i saken under vurdering. Her Til Det har geometrisk betydning skråningen helningen til tangenten til grafen til funksjonen i punktet med koordinaten u=u*.

Når flerdimensjonale ikke-linearitet y=F(u), når y={y jeg}, F={F i) og u={u j) er vektorer, på samme måte får vi at D y=K D u. Her K={K ij) er en matrisekoeffisient hvis elementer K ij er definert som verdiene til partielle derivater av funksjoner F i etter variabler u j beregnet på "punktet" u=u*.

2. La den treghetsløse ikke-lineariteten gis implisitt ved bruk av algebraisk ligning F(y,u)=0 . Det er nødvendig å linearisere denne ikke-lineariteten i et lite nabolag med en kjent spesiell løsning ( u*, y*) forutsatt at alle ikke-lineære funksjoner F i som en del av F er kontinuerlige og differensierbare i dette nabolaget. Etter å ha utvidet denne vektorfunksjonen til en Taylor-serie og forkastet vilkårene for andre og høyere ordener av litenhet, får vi lineær første tilnærmingsligning:

, (3)

hvor y=y–y*; D u=u–u*; - matriser av partielle derivater beregnet ved lineariseringspunktet.

3. La endimensjonale dynamisk ikke-linearitet er gitt av differensialligningen "input-output" n-te rekkefølge:

F(y, y (1) , …, y (n) , u, u (1) , …u (m))=0. (4)

Vi lineariserer denne ikke-lineariteten ved tangentmetoden i et lite nabolag av det kjente privat løsninger på denne ligningen y*(t) tilsvarende gitt inngang u*(t). Tidsderivater av tilsvarende rekkefølger av y*(t) og u*(t) antas også å være kjent.

Antar funksjon F kontinuerlig differensierbar med hensyn til alle dens argumenter og etter ovenstående generell metodikk(utvidelse til en serie og tar kun hensyn til termer som er lineære med hensyn til inkrementer av argumentene), skriver vi lineær første tilnærmingsligning for en ikke-lineær ligning:

(5)

Her betyr symbolet (*) at de partielle deriverte er definert for verdiene til variablene og deres deriverte som tilsvarer den aktuelle løsningen ( y*(t), u*(t)). PÅ generell sak deres verdier (koeffisienter av ligningen) vil avhenge av tid og den lineariserte modellen vil være ikke-stasjonær. Men hvis den spesielle løsningen stemmer overens statisk modus, da vil disse koeffisientene være fast.

For enkelhets skyld og korthet i notasjonen, introduserer vi følgende notasjon:

= en i; = -b i; D y (Jeg) =D i D y; D u (Jeg) =D i D u; D=d/dt.

Deretter linearisert ligning (5) er skrevet i en kort operatorform:

EN(D)D y(t)=B(D)D u(t),

hvor EN(D) er et gradspolynom n med hensyn til differensieringsoperatøren D;

B(D) er et lignende operatorpolynom m-te grad.

4. La flerdimensjonale dynamisk ulinearitet er gitt ikke-lineære ligninger se stater

(6)

I likhet med de tidligere tilfellene, lineariserer vi denne ikke-lineariteten ved hjelp av tangentmetoden i et lite nabolag av den kjente privat løsninger ( x*, y*) tilsvarende gitt inngang u*(t). I dette tilfellet vil ligningene til den første tilnærmingen ha følgende form:

(7)

hvor - matriser av passende størrelser. Deres elementer i det generelle tilfellet vil være funksjoner av tid, men hvis en bestemt løsning tilsvarer statisk regime, vil de være permanente.

La oss gjøre Avsluttende kommentarer på anvendelsen av metoden for tangenter i lineariseringen av MM av hele ACS, som er et sett med beskrivelser av samvirkende strukturelle blokker.

1) "referansemodus" (*), i forhold til hvilken lineariseringen utføres, beregnes for hele systemet fra dets fulle (ikke-lineære) MM. Både grafiske og numeriske (datamaskin) metoder kan brukes til beregning. I dette tilfellet vil koeffisientene til alle lineariserte ligninger og funksjonelle avhengigheter avhenge av de valgte lineariseringspunktene;

2) alle ikke-lineære avhengigheter av MM må være kontinuerlige og kontinuerlig differensierbare (glatt) i et lite nabolag av regimet (*);

3) avvik av variabler fra deres verdier i referansemodus bør være tilstrekkelig små; for SAR og Y er dette kravet ganske konsistent med kontrollmålet - regulering av verdiene til kontrollerte variabler i samsvar med de foreskrevne lovene for endringen deres;

4) for lineære ligninger som en del av MM består linearisering i den formelle erstatningen av alle variabler med deres avvik (inkrementer);

5) for å oppnå en linearisert MM av hele systemet i standard skjema, for eksempel i form av tilstandsligninger, bør man først linearisere hver av ligningene i sammensetningen av MM. Dette vil være mye enklere og raskere enn å prøve å oppnå et ikke-lineært MM-system i standardform med påfølgende linearisering;

6) underlagt alle betingelsene for å bruke tangentmetoden, gir egenskapene til en linearisert MM en objektiv ide om de lokale egenskapene til en ikke-lineær MM i lite nabolag referansemodus. Dette faktum har en streng matematisk begrunnelse i form av Lyapunovs teoremer (den første metoden) og er det teoretiske grunnlaget for praktisk anvendelse av lineær kontrollteori.