Matrisemetode for å løse systemer av lineære ligninger

Tenk på et system med lineære ligninger av følgende form:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right .$.

Tall $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ er systemkoeffisienter, tall $b_(i) (i=1..n)$ er frie termer.

Definisjon 1

I tilfellet når alle frie ledd er lik null, kalles systemet homogent, ellers kalles det inhomogent.

Hver SLAE kan assosieres med flere matriser og systemet kan skrives i såkalt matriseform.

Definisjon 2

Matrisen av systemkoeffisienter kalles systemmatrisen og er vanligvis betegnet med bokstaven $A$.

Kolonnen med frie termer danner en kolonnevektor, som vanligvis betegnes med bokstaven $B$ og kalles matrisen av frie termer.

De ukjente variablene danner en kolonnevektor, som vanligvis betegnes med bokstaven $X$ og kalles matrisen av ukjente.

Matrisene beskrevet ovenfor har formen:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$

Ved å bruke matriser kan SLAE skrives om som $A\cdot X=B$. Denne notasjonen kalles ofte en matriseligning.

Generelt sett kan enhver SLAE skrives i matriseform.

Eksempler på løsning av et system ved hjelp av en invers matrise

Eksempel 1

Gitt SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right $ matriseform.

Løsning:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3)) \ end(array)\right).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ høyre)$

I tilfellet når matrisen til systemet er kvadratisk, kan SLAE løses ved å bruke matrisemetoden.

Ved å ha en matriseligning $A\cdot X=B$, kan vi uttrykke $X$ fra den på følgende måte:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (matriseproduktegenskap)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (matriseproduktegenskap)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritme for å løse et system med algebraiske ligninger ved å bruke en invers matrise:

• skrive systemet i matriseform;
• beregne determinanten til systemmatrisen;
• hvis determinanten til systemmatrisen er forskjellig fra null, finner vi den inverse matrisen;
• Vi beregner løsningen til systemet ved å bruke formelen $X=A^(-1) \cdot B$.

Hvis matrisen til et system har en determinant som ikke er lik null, så har dette systemet en unik løsning som kan finnes ved hjelp av matrisemetoden.

Hvis matrisen til et system har en determinant lik null, kan ikke dette systemet løses ved hjelp av matrisemetoden.

Eksempel 2

Gitt SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $ Løs SLAE ved å bruke den inverse matrisemetoden, hvis mulig.

Løsning:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\venstre (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $

Finne determinanten til systemmatrisen:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Siden determinanten ikke er lik null, har matrisen til systemet en invers matrise, og derfor kan ligningssystemet løses ved hjelp av invers matrisemetoden. Den resulterende løsningen vil være unik.

La oss løse ligningssystemet ved å bruke den inverse matrisen:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array) )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ høyre|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ høyre|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array) )\right|=2-0=2$

Den nødvendige inverse matrisen:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13)) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

La oss finne en løsning på systemet:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13)) & (\frac(1) )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3) )(13) \cdot 52) ​​​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\right )=\venstre(\begynn(matrise)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(matrise)\høyre)=\venstre (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ er den ønskede løsningen på ligningssystemet.

La oss vurdere system av lineære algebraiske ligninger(SLAU) relativt n ukjent x 1 , x 2 , ..., x n :

Dette systemet i en "kollapsert" form kan skrives som følger:

S n i=1 en ij x j = b jeg , i=1,2, ..., n.

I samsvar med matrisemultiplikasjonsregelen kan det betraktede systemet med lineære ligninger skrives inn matriseform Ax=b, Hvor

Matrise EN, hvis kolonner er koeffisientene for de tilsvarende ukjente, og radene er koeffisientene for de ukjente i den tilsvarende ligningen kalles matrise av systemet. Kolonnematrise b, hvis elementer er høyresiden av likningene til systemet, kalles høyresidematrisen eller ganske enkelt høyre side av systemet. Kolonnematrise x , hvis elementer er de ukjente ukjente, kalles systemløsning.

Et system med lineære algebraiske ligninger skrevet i formen Ax=b, er matriseligning.

Hvis systemmatrisen ikke-degenerert, så har den en invers matrise og da er løsningen til systemet Ax=b er gitt av formelen:

x=A -1 b.

Eksempel Løs systemet matrisemetode.

Løsning la oss finne den inverse matrisen for koeffisientmatrisen til systemet

La oss beregne determinanten ved å utvide langs den første linjen:

Fordi Δ ≠ 0 , Det EN -1 finnes.

Den inverse matrisen ble funnet riktig.

La oss finne en løsning på systemet

Derfor, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Undersøkelse:

7. Kronecker-Capelli-teoremet om kompatibiliteten til et system av lineære algebraiske ligninger.

System av lineære ligninger har formen:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Her er a i j og b i (i = ; j = ) gitt, og x j er ukjente reelle tall. Ved å bruke konseptet produkt av matriser kan vi omskrive systemet (5.1) i formen:

hvor A = (a i j) er en matrise som består av koeffisienter for de ukjente i systemet (5.1), som kalles matrise av systemet, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T er kolonnevektorer sammensatt av henholdsvis ukjente x j og frie ledd bi.

Bestilt samling n reelle tall (c 1, c 2,..., c n) kalles systemløsning(5.1), hvis som et resultat av å erstatte disse tallene i stedet for de tilsvarende variablene x 1, x 2,..., x n, blir hver likning i systemet til en aritmetisk identitet; med andre ord, hvis det er en vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T slik at AC  B.

System (5.1) kalles ledd, eller løselig, hvis den har minst én løsning. Systemet kalles uforenlig, eller uløselig, hvis det ikke har noen løsninger.

,

dannet ved å tilordne en kolonne med frie termer til matrisen A til høyre kalles utvidet matrise av systemet.

Spørsmålet om systemets kompatibilitet (5.1) løses med følgende teorem.

Kronecker-Capelli teorem . Et system med lineære ligninger er konsistent hvis og bare hvis rekkene til matrisene A ogA sammenfaller, dvs. r(A) = r(A) = r.

For settet M av løsninger av system (5.1) er det tre muligheter:

1) M =  (i dette tilfellet er systemet inkonsekvent);

2) M består av ett element, dvs. systemet har en unik løsning (i dette tilfellet kalles systemet sikker);

3) M består av mer enn ett element (da kalles systemet usikker). I det tredje tilfellet har system (5.1) et uendelig antall løsninger.

Systemet har en unik løsning bare hvis r(A) = n. I dette tilfellet er antall ligninger ikke mindre enn antall ukjente (mn); hvis m>n, så er m-n likninger konsekvenser av de andre. Hvis 0

For å løse et vilkårlig system av lineære ligninger, må du kunne løse systemer der antall ligninger er lik antall ukjente - den s.k. Cramer type systemer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systemer (5.3) løses på en av følgende måter: 1) Gauss-metoden, eller metoden for å eliminere ukjente; 2) i henhold til Cramers formler; 3) matrisemetode.

Eksempel 2.12. Utforsk ligningssystemet og løs det hvis det er konsistent:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Løsning. Vi skriver ut den utvidede matrisen til systemet:

 .

La oss beregne rangeringen av hovedmatrisen til systemet. Det er åpenbart at for eksempel andreordens moll i øvre venstre hjørne = 7  0; de mindreårige av tredje orden som inneholder det er lik null:

Følgelig er rangeringen av hovedmatrisen til systemet 2, dvs. r(A) = 2. For å beregne rangeringen til den utvidede matrisen A, betrakt den grensende moll

dette betyr at rangeringen til den utvidede matrisen r(A) = 3. Siden r(A)  r(A), er systemet inkonsekvent.

Denne online kalkulatoren løser et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden. En meget detaljert løsning er gitt. For å løse et system med lineære ligninger, velg antall variabler. Velg en metode for å beregne den inverse matrisen. Skriv deretter inn dataene i cellene og klikk på "Beregn"-knappen.

×

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må angis på formen a/b, hvor a og b er heltall eller desimaler. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Matrisemetode for å løse systemer av lineære ligninger

Tenk på følgende system med lineære ligninger:

Gitt definisjonen av en invers matrise, har vi EN −1 EN=E, Hvor E- identitetsmatrise. Derfor kan (4) skrives som følger:

For å løse systemet med lineære ligninger (1) (eller (2)), er det nok å multiplisere inversen til EN matrise per begrensningsvektor b.

Eksempler på løsning av et system av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Eksempel 1. Løs følgende system med lineære ligninger ved å bruke matrisemetoden:

La oss finne inversen til matrise A ved å bruke Jordan-Gauss-metoden. På høyre side av matrisen EN La oss skrive identitetsmatrisen:

La oss ekskludere elementene i den første kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linjene 2,3 med linje 1, multiplisert med henholdsvis -1/3, -1/3:

La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 3 med linje 2 multiplisert med -24/51:

La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen over hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 1 med linje 2 multiplisert med -3/17:

Skill høyre side av matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse matrisen til EN :

Matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: Ax=b, Hvor

La oss beregne alle algebraiske komplementer til matrisen EN:

,

,

,

,

,

Hvor EN ij − algebraisk komplement av et matriseelement EN, som ligger i krysset jeg-te linje og j-th kolonne, og Δ er determinanten for matrisen EN.

Ved å bruke den inverse matriseformelen får vi:

Formålet med tjenesten. Ved å bruke denne online kalkulatoren beregnes ukjente (x 1, x 2, ..., x n) i et ligningssystem. Vedtaket gjennomføres invers matrisemetode. I dette tilfellet:

• determinanten til matrisen A beregnes;
• gjennom algebraiske addisjoner finnes den inverse matrisen A -1;
• en løsningsmal lages i Excel;

Avgjørelsen gjennomføres direkte på nettsiden (online) og er gratis. Beregningsresultatene presenteres i en rapport i Word-format.

Instruksjoner. For å få en løsning ved bruk av invers matrisemetoden, må du spesifisere dimensjonen til matrisen. Deretter, i en ny dialogboks, fyll ut matrisen A og vektoren for resultater B.

Husk at en løsning på et system med lineære ligninger er et hvilket som helst sett med tall (x 1, x 2, ..., x n), hvis substitusjon til dette systemet i stedet for de tilsvarende ukjente gjør hver ligning i systemet til en identitet .
Et system med lineære algebraiske ligninger skrives vanligvis som (for 3 variabler): Se også Løse matriseligninger.

Løsningsalgoritme

1. Determinanten til matrisen A beregnes. Hvis determinanten er null, er løsningen over. Systemet har et uendelig antall løsninger.
2. Når determinanten er forskjellig fra null, finnes den inverse matrisen A -1 gjennom algebraiske addisjoner.
3. Løsningsvektoren X =(x 1, x 2, ..., x n) oppnås ved å multiplisere den inverse matrisen med resultatvektoren B.

Eksempel nr. 1. Finn en løsning på systemet ved hjelp av matrisemetoden. La oss skrive matrisen på skjemaet:

Algebraiske tillegg.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Undersøkelse:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Eksempel nr. 2. Løs SLAE ved å bruke den inverse matrisemetoden.
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

La oss skrive matrisen i skjemaet:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Hoveddeterminant
Mindre for (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Mindre for (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Mindre for (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Mindre for (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Determinant av mindre
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Eksempel nr. 4. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs ved hjelp av den inverse matrisen.
Løsning: xls

Eksempel nr. 5. Et system med tre lineære ligninger med tre ukjente er gitt. Påkrevd: 1) finn løsningen ved å bruke Cramers formler; 2) skriv systemet på matriseform og løs det ved hjelp av matriseregning.
Metodiske anbefalinger. Etter å ha løst ved Cramers metode, finn knappen "Løsing ved invers matrisemetode for kildedata". Du vil få riktig løsning. Dermed slipper du å fylle ut dataene på nytt.
Løsning. La oss betegne med A matrisen av koeffisienter for ukjente; X - matrise-kolonne av ukjente; B - matrise-kolonne med gratis medlemmer:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vektor B:
B T =(4,-3,-3)
Tatt i betraktning disse notasjonene, tar dette ligningssystemet følgende matriseform: A*X = B.
Hvis matrisen A er ikke-degenerert (determinanten er ikke-null, så har den en invers matrise A -1. Multipliserer begge sider av ligningen med A -1, får vi: A -1 *A*X = A - 1 *B, A -1 * A=E.
Denne likheten kalles matrisenotasjon av løsningen til et system av lineære ligninger. For å finne en løsning på ligningssystemet, er det nødvendig å beregne den inverse matrisen A -1.
Systemet vil ha en løsning hvis determinanten til matrisen A ikke er null.
La oss finne hoveddeterminanten.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Så determinanten er 14 ≠ 0, så vi fortsetter løsningen. For å gjøre dette finner vi den inverse matrisen gjennom algebraiske addisjoner.
La oss ha en ikke-singular matrise A:
Vi beregner algebraiske komplementer.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 =(-1) 1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2,1 =(-1) 2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1) 2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1) 2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3,1 =(-1) 3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X=1/14

-3))

Hoveddeterminant
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponert matrise
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 =(-1) 1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2,1 =(-1) 2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1) 2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1) 2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3,1 =(-1) 3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 =(-1) 3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 =(-1) 3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A*A -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Eksempel nr. 7. Løse matriseligninger.
La oss betegne:

A=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Algebraiske tillegg

A 1,1 = (-1) 1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
· 1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(4,05,6,13,7,54)
x 1 = 158 / 39 = 4,05
x 2 = 239 / 39 = 6,13
x 3 = 294 / 39 = 7,54
Undersøkelse.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Eksempel nr. 9. La oss betegne med A matrisen av koeffisienter for ukjente; X - matrise-kolonne av ukjente; B - matrise-kolonne med gratis medlemmer:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(5,21,4,51,6,15)
x 1 = 276 / 53 = 5,21
x 2 = 239 / 53 = 4,51
x 3 = 326 / 53 = 6,15
Undersøkelse.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Eksempel nr. 10. Løse matriseligninger.
La oss betegne:

Algebraiske tillegg
A11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Invers matrise A-1.
· 1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

Svare:

X =

1 -2 1 1

6.4. Noen applikasjoner av dot-produktet

11. Uttrykk av skalarproduktet til en vektor gjennom koordinatene til faktorene. Teorem.

12. Lengde på en vektor, lengde på et segment, vinkel mellom vektorer, betingelse for perpendikularitet av vektorer.

13. Vektorprodukt av vektorer, dets egenskaper. Arealet av et parallellogram.

14. Blandet produkt av vektorer, dets egenskaper. Betingelse for vektorkoplanaritet. Volum av et parallellepiped. Volum av pyramiden.

15. Metoder for å definere en rett linje på et plan.

16. Normalligning av en linje på et plan (avledning). Geometrisk betydning av koeffisienter.

17. Ligning av en rett linje på et plan i segmenter (avledning).

Redusere den generelle ligningen til planet til ligningen til planet i segmenter.

18. Ligning av en rett linje på et plan med en vinkelkoeffisient (avledning).

19. Ligning av en rett linje på et plan som går gjennom to punkter (avledning).

20. Vinkel mellom rette linjer på et plan (utgang).

21. Avstand fra et punkt til en rett linje på et plan (utgang).

22. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av linjer på et plan (avledning).

23. Ligning av et plan. Normalplanligning (avledning). Geometrisk betydning av koeffisienter.

24. Ligning av et plan i segmenter (avledning).

25. Ligning av et plan som går gjennom tre punkter (derivasjon).

26. Vinkel mellom plan (utgang).

27. Avstand fra et punkt til et plan (utgang).

28. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av plan (konklusjon).

29. Ligninger av en linje i r3. Ligninger av en linje som går gjennom to faste punkter (avledning).

30. Kanoniske ligninger av en rett linje i rommet (avledning).

Tegne kanoniske ligninger av en rett linje i rommet.

Spesielle tilfeller av kanoniske ligninger av en rett linje i rommet.

Kanoniske ligninger av en linje som går gjennom to gitte punkter i rommet.

Overgang fra de kanoniske ligningene til en linje i rommet til andre typer ligninger av en linje.

31. Vinkel mellom rette linjer (utgang).

32. Avstand fra et punkt til en rett linje på et plan (utgang).

Avstand fra et punkt til en rett linje på et plan - teori, eksempler, løsninger.

Den første måten å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje på et plan.

Den andre metoden lar deg finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje på et plan.

Løse problemer med å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje på et plan.

Avstand fra et punkt til en linje i rommet - teori, eksempler, løsninger.

Den første måten å finne avstanden fra et punkt til en linje i rommet.

Den andre metoden lar deg finne avstanden fra et punkt til en linje i rommet.

33. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av linjer i rommet.

34. Den relative plasseringen av linjer i rommet og en linje med et plan.

35. Klassisk ellipseligning (avledning) og dens konstruksjon. Den kanoniske ligningen til en ellipse har formen hvor er positive reelle tall, og hvordan konstruere en ellipse?

36. Klassisk hyperbelligning (avledning) og dens konstruksjon. Asymptoter.

37. Kanonisk parabelligning (avledning) og konstruksjon.

38. Funksjon. Grunnleggende definisjoner. Grafer over grunnleggende elementære funksjoner.

39. Tallrekker. Begrensning av tallrekkefølge.

40. Uendelig små og uendelig store mengder. Teorem om sammenhengen mellom dem, egenskaper.

41. Teoremer om handlinger på variabler som har endelige grenser.

42. Nummer e.

Innhold

Bestemmelsesmetoder

Egenskaper

Historie

Approksimasjoner

43. Bestemmelse av grensen for en funksjon. Avdekke usikkerheter.

44. Bemerkelsesverdige grenser, deres konklusjon. Ekvivalente uendelige mengder.

Innhold

Den første fantastiske grensen

Andre fantastiske grense

45. Ensidige grenser. Kontinuitet og diskontinuiteter av funksjon. Ensidige grenser

Venstre og høyre grenser for en funksjon

Diskontinuitetspunkt av den første typen

Diskontinuitetspunkt av den andre typen

Avtakbart bruddpunkt

46. ​​Definisjon av derivat. Geometrisk betydning, mekanisk betydning av avledet. Tangent- og normalligninger for en kurve og et punkt.

47. Teoremer om den deriverte av inverse, komplekse funksjoner.

48. Derivater av de enkleste elementære funksjonene.

49. Differensiering av parametriske, implisitte og makteksponentielle funksjoner.

21. Differensiering av implisitte og parametrisk spesifiserte funksjoner

21.1. Implisitt funksjon

21.2. Parametrisk definert funksjon

50. Høyere ordens derivater. Taylors formel.

51. Differensial. Anvendelse av differensial til omtrentlige beregninger.

52. Teoremer av Rolle, Lagrange, Cauchy. L'Hopitals regel.

53. Teorem om nødvendige og tilstrekkelige betingelser for monotonisiteten til en funksjon.

54. Bestemmelse av maksimum og minimum for en funksjon. Teoremer om nødvendige og tilstrekkelige betingelser for eksistensen av et ekstremum av en funksjon.

Teorem (nødvendig betingelse for ekstremum)

55. Konveksitet og konkavitet av kurver. Bøyningspunkter. Teoremer om nødvendige og tilstrekkelige betingelser for eksistensen av bøyningspunkter.

Bevis

57. Determinanter av n-te orden, deres egenskaper.

58. Matriser og handlinger på dem. Matrix rangering.

Definisjon

Beslektede definisjoner

Egenskaper

Lineær transformasjon og matriserangering

59. Invers matrise. Teorem om eksistensen av en invers matrise.

60. Systemer av lineære ligninger. Matriseløsning av systemer av lineære ligninger. Cramers regel. Gauss metode. Kronecker-Capelli teorem.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger, løsningsmetoder, eksempler.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Løse elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke en invers matrise).

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Kronecker-Capelli teorem.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Skrive en generell løsning på homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorer av det fundamentale løsningssystemet.

Løse ligningssystemer som reduserer til slough.

Eksempler på problemer som reduserer til å løse systemer av lineære algebraiske ligninger.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke en invers matrise).

La systemet med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform , hvor matrisen EN har dimensjon n på n og dens determinant er ikke null.

Siden , da matrisen EN– er inverterbar, det vil si at det er en invers matrise. Hvis vi multipliserer begge sider av likheten til venstre, får vi en formel for å finne en matrisekolonne med ukjente variabler. Slik fikk vi en løsning på et system av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden.

matrisemetode.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi så kan SLAE løses ved hjelp av matrisemetoden. Ved å bruke den inverse matrisen kan løsningen på dette systemet finnes som .

La oss konstruere en invers matrise ved å bruke en matrise fra algebraiske komplementer av matriseelementer EN(om nødvendig, se artikkelmetodene for å finne den inverse matrisen):

Det gjenstår å beregne matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen til en matrisekolonne med gratis medlemmer (se om nødvendig artikkeloperasjoner om matriser):

eller i et annet innlegg x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Hovedproblemet når man finner løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved bruk av matrisemetoden, er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn tredje.

For en mer detaljert beskrivelse av teorien og tilleggseksempler, se artikkelmatrisemetoden for løsning av systemer av lineære ligninger.

Øverst på siden

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på systemet fra n lineære ligninger med n ukjente variabler determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består av sekvensiell eliminering av ukjente variabler: først eliminering x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre, er ytterligere ekskludert x 2 fra alle ligninger, starter med den tredje, og så videre, til bare den ukjente variabelen er igjen i den siste ligningen x n. Denne prosessen med å transformere systemligninger for å sekvensielt eliminere ukjente variabler kalles direkte gaussisk metode. Etter å ha fullført foroverprogresjonen til Gauss-metoden, fra den siste ligningen finner vi x n, ved å bruke denne verdien fra den nest siste ligningen vi beregner x n-1, og så videre, fra den første ligningen vi finner x 1 . Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles invers av Gauss-metoden.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å bytte ut systemets likninger. Eliminer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, til den andre ligningen i systemet legger vi den første, multiplisert med, til den tredje ligningen legger vi den første, multiplisert med, og så videre, til nth til ligningen legger vi den første multiplisert med. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen hvor og .

Vi ville komme til samme resultat hvis vi uttrykte x 1 gjennom andre ukjente variabler i den første ligningen av systemet og det resulterende uttrykket ble erstattet med alle andre ligninger. Så variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter fortsetter vi på lignende måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er markert i figuren

For å gjøre dette, til den tredje ligningen i systemet legger vi den andre, multiplisert med, til den fjerde ligningen legger vi den andre, multiplisert med, og så videre, til nth til ligningen legger vi den andre, multiplisert med. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen hvor og . Så variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger fra og med den tredje.

Deretter fortsetter vi med å eliminere det ukjente x 3 , i dette tilfellet handler vi på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter den direkte progresjonen av Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det motsatte av Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som, ved å bruke den oppnådde verdien x n finner vi x n-1 fra nest siste ligning, og så videre, finner vi x 1 fra den første ligningen.

Løs system av lineære ligninger Gauss metode.

Eliminer den ukjente variabelen x 1 fra andre og tredje likning av systemet. For å gjøre dette legger vi til begge sider av den andre og tredje ligningen de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med henholdsvis og:

La oss nå ekskludere fra den tredje ligningen x 2 , ved å legge til venstre og høyre side til venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

Dette fullfører foroverslaget til Gauss-metoden.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3 :

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og fullfører dermed det motsatte av Gauss-metoden.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

For mer detaljert informasjon og flere eksempler, se avsnittet om å løse elementære systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Øverst på siden