Metoder for å studere bokstavelige uttrykk i grunnskolen. Metodikk for å studere elementene i algebra

1. Mening algebraisk materiale i Grunnutdanning matematikk.

2. Problemer med å studere algebraisk materiale.

3. Metoder for å arbeide med algebraiske begreper.

4. Metoder for å studere matematiske uttrykk.

5. Metoder for å studere numeriske likheter og ulikheter.

6. Undervisningsmetoder for å løse likninger og problemer på en algebraisk måte.

7. Metoder for å arbeide med ulikheter med en variabel.

8. Funksjonell propedeutikk i grunnopplæringen i matematikk.

1. Verdien av algebraisk materiale i elementær undervisning i matematikk

a) finne verdiene til matematiske uttrykk;

b) løse likninger og ulikheter;

a) lover a×(b+c)=a×b+a×c;

b) avhengigheter, regler a+b=c

4. Utvikling av logisk og teoretisk tenkning.

5. Forberedelse til videre studier av matematikk.

At. algebraisk materiale utfører en hjelpefunksjon i studiet av aritmetisk materiale.

Selv om det algebraiske materialet inntar et sted som er underordnet det aritmetiske innholdet, har det også en viss uavhengighet, som først og fremst manifesterer seg i sekvensen av å introdusere elementer av algebra.

Hvilke algebraiske begreper introduseres i grunnkurs matematikk? Hvordan defineres de i matematikk? (Se OS #22)

I et grunnkurs i matematikk bringes ingen av dem til nivået av en formell definisjon. Derfor er det umulig å stille spørsmålet: "Hva kalles ..?"

Studentene må: forstå begrepet riktig og bruke det riktig praktiske aktiviteter.

Forstå

Term Objekt

Søke om

Formasjonsarbeid algebraiske begreper utføres i etapper:

1. Forarbeid.

2. Introduksjon av begrepet (term).

3. Konsolidering i praktiske aktiviteter.

Forberedende arbeid innebærer drift av de tilsvarende objektene uten bruk av begreper. For eksempel:

a) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2-5; (51-48):(27:9) og lignende → for å introdusere konseptet "matematisk uttrykk".

b) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

i) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→ligning.

Således, på forberedelsesstadiet, er det en opphopning av spesifikke ideer, som generaliseres på neste stadium.

Algebraiske begreper introduseres:

a) kontekstuelt, det vil si at betydningen av det nye begrepet avklares fra betydningen av en tekstpassasje. For eksempel: «Bokstaven x (x) står for ukjent nummer. x+2=5 er en ligning. Å løse en ligning betyr å finne et ukjent tall."

b) ostensiv, når objektet ganske enkelt navngis og vises. For eksempel: "Numeriske matematiske uttrykk".

I dette tilfellet er det nødvendig å bruke sammenligning, analyse, syntese, klassifisering. For eksempel: «Likestilling – ulikhet».

assimilering algebraiske konsepter utføres i praksis med deres spesifikke representanter.

Elevene lærer å forstå og bruke de riktige ordene - termene.

Hva vil det si å studere matematiske uttrykk? (se OS N22)

— lære å lese og skrive fra diktat eller fra teksten i en lærebok;

- kjennskap til reglene for prosedyren for å utføre handlinger;

- utarbeide uttrykk for oppgaver, i henhold til skjemaer;

— beregning av uttrykksverdier;

- kjennskap til transformasjonene av (identiske) uttrykk;

- sammenligning av uttrykk.

(klokka 8)

Plan:

1. Mål med å studere algebraisk materiale i grunnskole.

2. Egenskaper aritmetiske operasjoner undervist i grunnskolen.

3. Lære numeriske uttrykk og regler for rekkefølgen handlinger utføres i:

En ordre uten parentes;

En ordre med parentes;

Uttrykk uten parentes, inkludert 4 aritmetiske operasjoner, med parentes.

4. Analyse av numeriske likheter og ulikheter studert i grunnskoleklasser (sammenligning av to tall, et tall og et numerisk uttrykk, to numeriske uttrykk).

5. Innføringen av alfabetiske symboler med en variabel.

6. Metodikk for å studere ligninger:

a) gi en definisjon av ligningen (fra forelesninger om matematikk og fra en lærebok i matematikk for barneskole),

b) fremheve omfanget og innholdet av konseptet,

c) hvilken metode (abstrakt-deduktiv eller konkret-induktiv) vil du introdusere dette konseptet? Beskriv hovedtrinnene i arbeidet med en ligning.

Fullfør oppgavene:

1. Forklar hensiktsmessigheten av å bruke ulikheter med en variabel i de innledende klassene.

2. Forbered en melding til leksjonen om muligheten for å utvikle funksjonell propedeutikk hos elevene (gjennom spillet, gjennom studiet av ulikheter).

3. Velg oppgaver som elevene skal oppfylle de essensielle og ikke-essensielle egenskapene til begrepet "ligning".

1. Abramova O.A., Moro M.I. Løse ligninger // Grunnskole. - 1983. - Nr. 3. - S. 78-79.

2. Ymanbekova P. Synlighetsmidler i dannelsen av begrepet «likhet» og «ulikhet» // Grunnskole. - 1978. - Nr. 11. - S. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Om rekkefølgen av handlinger i et aritmetisk uttrykk // Grunnskole. - 2000. - Nr. 2. - S. 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Enhetlig tilnærming til å løse likninger og ulikheter // Grunnskole. - 1989. - Nr. 8. - S. 83-86.

5. Nazarova I.N. Kjennskap til funksjonell avhengighet i undervisning i problemløsning // Grunnskole. - 1989. - Nr. 1. - S. 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Om noen typiske feil fra elever knyttet til spørsmål om algebraisk propedeutikk // Grunnskole. - 1974. - Nr. 2. – S. 31.

Generelle kjennetegn ved studiemetodikken

algebraisk materiale

Innføringen av algebraisk materiale i grunnfaget i matematikk gjør det mulig å forberede studentene på studiet av de grunnleggende begrepene i moderne matematikk, for eksempel som "variabel", "likning", "ulikhet" osv., og bidrar til utvikling av funksjonell tenkning hos barn.

Hovedbegrepene i emnet er "uttrykk", "likhet", "ulikhet", "likning".

Begrepet "ligning" introduseres når man studerer temaet "Tusen", men forarbeidet for å gjøre elevene kjent med ligninger begynner fra klasse 1. Begrepene "uttrykk", "uttrykksverdi", "likhet", "ulikhet" er inkludert i vokabularet til elever fra og med 2. klasse. Konseptet «løs ulikhet» er ikke introdusert i grunnklassetrinn.

Numeriske uttrykk

I matematikk forstås et uttrykk som en sekvens av matematiske symboler som er konstante i henhold til visse regler, som angir tall og operasjoner på dem. Eksempler på uttrykk: 7; 5+4; 5 (3+ i); 40: 5 + 6 osv.

Formuttrykk 7; 5+4; 10:5+6; (5 + 3) 10 kalles numeriske uttrykk, i motsetning til uttrykk på formen 8 - en; (3 + i); 50: til, kalt bokstavelige eller variable uttrykk.

Oppgavene med å studere emnet

2. Å gjøre elevene kjent med reglene for rekkefølgen for å utføre handlinger på tall og, i samsvar med dem, utvikle evnen til å finne de numeriske verdiene til uttrykk.

3. Å gjøre elevene kjent med identiske transformasjoner av uttrykk basert på aritmetiske operasjoner.

I familiariseringsmetoden ungdomsskolebarn med begrepet et numerisk uttrykk, kan tre stadier skilles, som involverer kjent med uttrykk som inneholder:

Én aritmetisk operasjon (trinn I);

To eller flere aritmetiske operasjoner av ett trinn (trinn II);

To eller flere aritmetiske operasjoner på forskjellige nivåer (trinn III).

Med de enkleste uttrykkene – sum og forskjell – introduseres elevene i klasse I (når man studerer addisjon og subtraksjon innen 10); med produktet og kvotienten av to tall - i II-klassen.

Allerede når du studerer emnet "Ti", introduseres navnene på aritmetiske operasjoner, begrepene "term", "sum", "redusert", "fratrukket", "forskjell" i elevenes vokabular. I tillegg til terminologi, må de også lære noen elementer av matematisk symbolikk, spesielt handlingstegn (pluss, minus); de må lære å lese og skrive enkle matematiske uttrykk som 5 + 4 (summen av tallene "fem" og "fire"); 7 - 2 (forskjellen mellom tallene "sju" og "to").

Først blir elevene introdusert for begrepet "sum" i betydningen av tallet som er resultatet av handlingen addisjon, og deretter i betydningen av uttrykket. Mottak av subtraksjon av formen 10 - 7, 9 - 6, etc. basert på kunnskap om sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon. Derfor er det nødvendig å lære barn å representere et tall (redusert) som summen av to ledd (10 er summen av tallene 7 og 3; 9 er summen av tallene 6 og 3).

Med uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner, blir barn i det første studieåret kjent med assimilering av beregningsteknikker ± 2, ± 3, ± 1. De løser eksempler på formen 3 + 1 + 1, 6 - 1 - 1, 2 + 2 + 2, osv. Ved å beregne for eksempel verdien av det første uttrykket, forklarer eleven: "Legg til en til tre, du får fire, legg til en til fire, du får fem." Løsningen av eksempler på formen 6 - 1 - 1 osv. forklares på lignende måte. Dermed forbereder førsteklassingene seg gradvis på å utlede en regel om rekkefølgen handlinger utføres i i uttrykk som inneholder handlinger av ett trinn, som er generalisert i klasse II.

I klasse I vil barn praktisk talt mestre en annen regel for rekkefølgen for å utføre handlinger, nemlig å utføre handlinger i uttrykk på formen 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3 osv.

Elevenes kunnskap om reglene for rekkefølgen handlinger utføres i oppsummeres og en annen regel introduseres om rekkefølgen handlinger utføres i i uttrykk som ikke har parentes og inneholder regneoperasjoner på ulike nivåer: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og inndeling.

Når du setter deg inn i den nye regelen om handlingsrekkefølge, kan arbeidet organiseres på forskjellige måter. Du kan invitere barn til å lese regelen fra læreboken og bruke den når du beregner verdiene til de tilsvarende uttrykkene. Du kan også invitere elevene til å beregne for eksempel verdien av uttrykket 40 - 10: 2. Svarene kan vise seg å være forskjellige: For noen vil verdien av uttrykket være lik 15, for andre 35.

Etter det forklarer læreren: «For å finne verdien av et uttrykk som ikke har parentes og inneholder operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, må man utføre i rekkefølge (fra venstre til høyre) først operasjonene multiplikasjon og divisjon, og deretter (også fra venstre til høyre) addisjon og subtraksjon. I dette uttrykket må du først dele 10 med 2, og deretter trekke resultatet 5 fra 40. Verdien av uttrykket er 35.

studenter grunnskole faktisk bli kjent med identiske transformasjoner av uttrykk.

Den identiske transformasjonen av uttrykk er å erstatte et gitt uttrykk med et annet, hvis verdi er lik verdien av det gitte (begrepet og definisjonen er ikke gitt til grunnskoleelever).

Med transformasjon av uttrykk møter elevene fra 1. klasse i forbindelse med studiet av egenskapene til regneoperasjoner. For eksempel, når de løser eksempler på formen 10 + (50 + 3) på en praktisk måte, resonnerer barn slik: "Det er mer praktisk å legge til tiere med tiere og legge til 3 enheter til resultatet 60. Jeg vil skrive ned: 10 (50 + 3) \u003d (10 + 50) + 3 \u003d 63.

Ved å utføre en oppgave der det er nødvendig å fullføre oppføringen: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3 ..., forklarer barna: "Til venstre multipliseres summen av tallene 10 og 7 med nummer 3, til høyre, det første leddet 10 av denne summen multipliseres med tallet 3; for å bevare "lik"-tegnet, må det andre leddet 7 også multipliseres med tallet 3 og de resulterende produktene legges til. Jeg vil skrive det ned slik: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Når du transformerer uttrykk, gjør elevene noen ganger feil av formen (10 + 4) 3 = - 10 3 + 4. Årsaken til denne typen feil er assosiert med feil bruk av tidligere ervervet kunnskap (i dette tilfellet ved å bruke regelen om legge til et tall til summen når du løser et eksempel, der summen må multipliseres med tallet). For å forhindre slike feil kan du tilby elevene følgende oppgaver:

a) Sammenlign uttrykkene som er skrevet på venstre side av likhetene. Hvordan er de like, hvordan er de forskjellige? Forklar hvordan du beregnet verdiene deres:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Fyll ut hullene og finn resultatet:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Sammenlign uttrykkene og sett et > tegn mellom dem,< или =:

(30 + 4) + 2 ... 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 ... 30 2 + 4 2.

d) Kontroller ved beregning om følgende likheter er sanne:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Bokstavelige uttrykk

På barnetrinnet legges det opp til å gjennomføre - inn nær forbindelse med studiet av nummerering og aritmetiske operasjoner - forberedende arbeid for å avsløre betydningen av variabelen. For dette formål inkluderer lærebøker i matematikk øvelser der variabelen er merket med et "vindu". For eksempel, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Her er det viktig å oppmuntre elevene til å prøve å erstatte i «vinduet» ikke ett, men flere tall etter tur, og sjekke hver gang om oppføringen er riktig.

Således, når det gjelder ð< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

For å forenkle læreplanen i matematikk for grunnklassetrinn og sikre dens tilgjengelighet, er bokstavsymboler et middel til generalisering aritmetisk kunnskap ikke brukt. Alle bokstavbetegnelser erstattes av verbale formuleringer.

For eksempel i stedet for å stille inn

En oppgave foreslås i følgende form: «Øk tallet 3 med 4 ganger; 5 ganger; 6 ganger; ... ".

Likheter og ulikheter

Å gjøre grunnskoleelever kjent med likheter og ulikheter er knyttet til løsningen av følgende oppgaver:

Å lære å etablere forholdet "større enn", "mindre enn" eller "lik" mellom uttrykk og skrive sammenligningsresultatene ved hjelp av et tegn;

Metodikken for dannelse av ideer om numeriske likheter og ulikheter blant yngre skolebarn sørger for følgende stadier av arbeidet.

På det første stadiet, først av alt, skoleuken, utfører førsteklassinger øvelser for å sammenligne sett med objekter. Her er det mest hensiktsmessig å bruke metoden for å etablere en en-til-en korrespondanse. På dette stadiet er resultatene av sammenligningen ennå ikke skrevet med de riktige forholdstegnene.

På trinn II utfører studentene en sammenligning av tall, først basert på emnevisualiseringen, og deretter på egenskapen til tallene i den naturlige serien, i henhold til hvilken av de to ulike tall det største tallet som kalles opp senere i tellingen, og det mindre tallet som kalles tidligere. Relasjonene som er etablert på denne måten, registreres av barna ved hjelp av passende tegn. For eksempel 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Flersifrede tall”) for å sammenligne tall, er det nyttig å bruke to metoder, nemlig å etablere relasjoner mellom tall: 1) i henhold til deres plassering i den naturlige serien; 2) basert på en sammenligning av de korresponderende bittallene, som starter med høyere rekker. For eksempel 826< 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Du kan også sammenligne verdiene: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, siden det er flere desimeter enn i den andre. I tillegg kan verdiene først uttrykkes i enheter av én måling og først etter det kan de sammenlignes: 45 cm > 43 cm.

Lignende øvelser er allerede introdusert når du studerer addisjon og subtraksjon innen 10. Det er nyttig å utføre dem basert på klarhet, for eksempel: elevene legger ut fire sirkler på pultene til venstre, og fire trekanter til høyre. Det viser seg at tallene er likt fordelt - fire hver. De skriver ned likheten: 4 \u003d 4. Så legger barna en sirkel til figurene til venstre og skriver ned summen 4 + 1. Det er flere tall til venstre enn til høyre, som betyr 4 + 1\ u003e 4.

Ved å bruke teknikken til ligningen beveger elevene seg fra ulikhet til likhet. For eksempel er 3 sopp og 4 ekorn plassert på et settelerret. For å lage sopp og ekorn likt kan du: 1) legge til én sopp (da blir det 3 sopp og 3 ekorn).

Det er 5 biler og 5 lastebiler på settelerretet. For å ha flere biler enn andre kan du: 1) fjerne en (to, tre) biler (biler eller lastebiler) eller 2) legge til en (to, tre) biler.

Gradvis, når de sammenligner uttrykk, går barn fra å stole på visualisering til å sammenligne deres betydninger. Denne metoden er den viktigste i grunnskolen. Ved sammenligning av uttrykk kan elevene også stole på kunnskap: a) forholdet mellom komponentene og resultatet av en aritmetisk operasjon: 20 + 5 * 20 + 6 (summen av tallene 20 og 5 er skrevet til venstre, summen av tallene 20 og 6 til høyre. De første leddene i disse summene er de samme, den andre summen til venstre er mindre enn den andre summen til høyre, så summen til venstre er mindre enn summen til høyre : 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) egenskaper ved aritmetiske operasjoner: (5 + 2) 3 * 5 3 + 2 3 (til venstre, summen av tallene 5 og 2 multipliseres med tallet 3, til høyre, produktene av hvert ledd med nummer 3 blir funnet og lagt til. Så i stedet for en stjerne kan du sette et likhetstegn: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

I disse tilfellene brukes evalueringen av verdiene til uttrykk for å kontrollere riktigheten av tegnet. For å skrive ulikheter med en variabel i elementære karakterer, brukes et "vindu": 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Det er nyttig å utføre de første øvelsene av denne typen basert på en tallserie, med henvisning til hvilke elever legger merke til at tallet 2 er større enn én og null, derfor kan tallene 0 og 1 erstattes i "vinduet" (2 > ð) (2> 0, 2> 1 ).

Andre øvelser med vindu utføres tilsvarende.

Den viktigste måten når man vurderer ulikheter med en variabel er seleksjonsmetoden.

For å lette verdiene til variabelen i ulikhetene, foreslås det å velge dem fra en bestemt serie med tall. Du kan for eksempel foreslå å skrive ut tallene fra seriene 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, der posten ð - 7 er riktig< 5.

Mens du gjør gitt oppgave eleven kan resonnere slik: «La oss erstatte tallet 7 i «vinduet»: 7 minus 7 vil være 0, 0 er mindre enn 5, så tallet 7 passer. Bytt inn tallet 8:8 minus 7 i "vinduet" vil være 1, 1 er mindre enn 5, noe som betyr at tallet 8 også passer ... Bytt inn tallet 12 i "vinduet": 12 minus 7 vil være 5, 5 mindre enn 5 er feil, da passer ikke tallet 12 . Å skrive ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Ligninger

På slutten av klasse 3 blir barna kjent med de enkleste ligningene på skjemaet: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X 7 \u003d 42; fire· X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Barnet skal kunne løse ligninger på to måter:

1) valgmetode (i de enkleste tilfellene); 2) på en måte basert på anvendelsen av reglene for å finne ukjente komponenter i aritmetiske operasjoner. Her er et eksempel på å skrive en løsning på en ligning sammen med en sjekk og barnets resonnement når det løses:

X – 9 = 4 X = 4 + 9 X = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

"I ligningen X– 9 = 4 x står i stedet for den reduserte. For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til differansen ( X\u003d 4 + 9.) La oss sjekke: vi trekker 9 fra 13, vi får 4. Vi fikk riktig likhet 4 \u003d 4, som betyr at ligningen ble løst riktig.

I 4. klasse kan barnet introduseres for løsningen enkle oppgaver hvordan skrive en ligning.

Vi er omgitt av gjenstander. Fra de første dagene av barnet på skolen, studerer vi verden inkludert i mattetimer.

Lærebok 1 klasse. 1 del. Hva ser vi? Vi studerer gjenstander. Hva er konseptet med et objekt? (dette er et sett med essensielle egenskaper til et objekt)

Mye barneskole matematiske begreper til å begynne med absorberes de overfladisk, vagt. Ved det første bekjentskapet lærer skolebarn bare om noen egenskaper til konsepter, de har en veldig smal ide om omfanget. Og dette er naturlig. Ikke alle konsepter er enkle å forstå. Men det er udiskutabelt at lærerens forståelse og rettidige bruk av visse typer definisjoner av matematiske begreper er en av betingelsene for dannelsen av solid kunnskap om disse begrepene hos elevene.

Når assimilert vitenskapelig kunnskap grunnskoleelever står overfor forskjellige typer begreper. Elevens manglende evne til å differensiere begreper fører til utilstrekkelig assimilering.

konsept er et sett med dommer, tanker der noe bekreftes om kjennetegn objekt som studeres. Hva mener vi med omfang? (et sett med objekter utpekt av samme begrep)

Dermed går treningsprogrammet "School of Russia" ut fra det faktum at enkle konsepter elementært kurs i matematikk er begrepene "tall" og "verdier", parallelt vurderes algebraisk og geometrisk materiale, tekstproblemer løses.

På barneskolen begynner vi å gi de første definisjonene av begreper: et segment, en firkant, en stråle, etc. Hva er definisjonen på et begrep? ( logisk operasjon, avslører innholdet i konseptet)

Etter volum er matematiske begreper delt inn i entall og generell. Hvis omfanget av konseptet bare omfatter ett objekt, kalles det entall.

Eksempler på enkeltbegreper: «det minste tosifrede tallet», «nummer 5», «kvadrat med en sidelengde på 10 cm», «sirkel med en radius på 5 cm».

Det generelle konseptet viser egenskapene til et bestemt sett med objekter. Volumet av slike konsepter vil alltid være større enn volumet til ett element.

Eksempler generelle begreper: "masse av tosifrede tall", "trekanter", "ligninger", "ulikheter", "multipler av 5", "lærebøker i matematikk i grunnskolen".

I undervisningen yngre elever, den vanligste kontekstuelle og ostensive definisjoner av begreper.

Ethvert avsnitt fra teksten, det være seg enhver kontekst, der konseptet som interesserer oss forekommer, er på en eller annen måte dens implisitte definisjon. Konteksten setter begrepet i sammenheng med andre begreper og avslører dermed innholdet.

For eksempel, når du arbeider med barn, slike uttrykk som "finn verdiene til uttrykket", "sammenlign verdien av uttrykkene 5 + a og (a - 3) × 2, hvis a = 7", "les uttrykk som er summer”, “les uttrykk, og les deretter ligningene”, avslører vi konseptet “matematisk uttrykk” som en post som består av tall eller variabler og tegn på handlinger.

Nesten alle definisjonene vi møter i Hverdagen er kontekstuelle definisjoner. Hørsel ukjent ord, prøver vi å etablere dens verdi selv på grunnlag av alt som er sagt.

Det samme gjelder for å undervise yngre elever. Mange matematiske begreper i grunnskolen er definert gjennom kontekst. Dette er for eksempel begreper som "stor - liten", "hvilken som helst", "enhver", "en", "mange", "tall", "aritmetisk operasjon", "ligning", "oppgave", etc. .d.

Kontekstuelle definisjoner gjenstår for det meste ufullstendig og ufullstendig. De brukes i forbindelse med den yngre studentens uforberedelse til å assimilere hele og, desto mer, den vitenskapelige definisjonen.

Ostensive definisjoner er definisjoner ved demonstrasjon. De ligner vanlige kontekstuelle definisjoner, men konteksten her er ikke en passasje av en eller annen tekst, men situasjonen der objektet betegnet med konseptet befinner seg.

For eksempel viser læreren en firkant (tegning eller papirmodell) og sier «Se – det er en firkant». Dette er en typisk ostensiv definisjon.

I grunnskoleklasser brukes ostensive definisjoner når man vurderer begreper som "rød (hvit, svart, etc.) farge", "venstre - høyre", "venstre til høyre", "tall", "forutgående og neste nummer", "tegn på aritmetiske operasjoner", "sammenligningstegn", "trekant", "firkant", "kube" osv.

Basert på assimilering av betydningen av ord på en ostensiv måte, er det mulig å introdusere i barnets ordbok den allerede verbale betydningen av nye ord og setninger. Ostensive definisjoner - og bare de - forbinder ordet med ting.

Merk at i grunnskolen gyldige definisjoner som "Ordet 'femkant' vil være en polygon med fem sider." Dette er den såkalte "nominaldefinisjonen".

Hva er strukturen i konseptet? (definert konsept = generisk + spesifikt) Gi et eksempel. Som en konsekvens av denne formelen, studien matematisk materiale i barneskolen. Tenk for eksempel på begrepene "kvadrat" og "rektangel". Omfanget av begrepet "kvadrat" er en del av omfanget av begrepet "rektangel". Derfor kalles den første art, og den andre - generisk. PÅ slekt-art forhold man bør skille mellom begrepet nærmeste slekt og følgende generiske trinn.

For eksempel, for visningen "kvadrat" vil den nærmeste slekten være slekten "rektangel", for rektangelet vil den nærmeste slekten være slekten "parallelogram", for "parallelogram" - "firkant", for "firkant" - "polygon", og for "polygon" - " flat figur.

I grunnskolen blir hvert konsept for første gang introdusert visuelt, ved å observere spesifikke elementer eller praktisk drift (for eksempel når du teller dem). Læreren tar utgangspunkt i barnas kunnskap og erfaring som de har tilegnet seg tilbake førskolealder. Å bli kjent med matematiske begreper fikses ved hjelp av et begrep eller et begrep og et symbol.

Spesiell oppmerksomhet bør gis til begrepet tall.

Tallet er forholdet mellom det som kvantifiseres (lengde, vekt, volum osv.) til standarden som brukes for denne vurderingen. Tallet avhenger selvsagt både av den målte verdien og av standarden. Jo større målt verdi, jo større vil tallet være med samme standard. Tvert imot, jo større standard (mål), jo mindre vil tallet være når man vurderer samme verdi. Derfor bør elevene forstå helt fra begynnelsen at sammenligning av tall i størrelsesorden bare kan gjøres når de støttes av samme standard. Faktisk, hvis for eksempel fem oppnås når man måler lengde i centimeter, og tre når man måler i meter, betyr tre en større verdi enn fem. Hvis elevene ikke forstår talls relative natur, vil de oppleve alvorlige vanskeligheter og i studiet av tallsystemet.

Naturlig tall betraktes som felleseie klasse av ekvivalente endelige sett. De første ideene om antallet er assosiert med de kvantitative egenskapene til objekter.

(Masse av - et sett med noen objekter, ekvivalent = lik antall)

Kvantifisering av settet gjenkjennes av studenter i ferd med å etablere en en-til-en korrespondanse mellom elementer i et ikke-tomt begrenset sett og et segment av en naturlig nummerserie. En slik en-til-en korrespondanse kalles tellingen av elementer i et begrenset sett. I dette tilfellet kvantitativ karakteristikk ikke-tomme endelige sett kommer til uttrykk i slike relasjoner som "større enn", "mindre enn", "lik", angitt med de tilsvarende symbolene.

Basert på bruk av objektiv visualisering fastslås det for eksempel at antall sirkler er flere enn kvadrater, og antall kvadrater er mindre enn sirkler.

4, derav 5 b 4, 4 m 5

Tallet "null" i begynnelsen. skole anses som et kjennetegn ved et tomt sett basert på praktiske aktiviteter med et sett med fag. Til dette formål brukes tegninger av typen:

. . .

.

. .

Eller basert på resultatet av en aritmetisk operasjon når du vurderer eksempler på formen: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Heltall ikke-negative tall vurderes i matematikkkurset i grunnskolen etter konsentrasjoner: "Tall fra 0 til 10", "Tall fra 10 til 100", "Tall fra 100 til 1000", "Tall som er større enn 1000".

Hovedbegrepene i hver konsentrasjon er muntlig og skriftlig nummerering.

Muntlig nummerering- en måte å navngi hvert av tallene på i livetspraksis ved å bruke tallord: en, ni, hundre og to, etc.

Skriftlig nummerering- en måte å skrive hvert av tallene på i livetspraksis ved å bruke tall: 1, 2, 3 ... 9, 0 basert på prinsippet om den lokale verdien av tall (hver figur, avhengig av plassen den opptar i tallet oppføring, har sin egen viss verdi). For eksempel, i oppføringen av tallet 999, betyr tallet 9, som kommer først fra høyre til venstre, i gitt nummer 9 enheter. Den samme figuren, som er på andreplass fra høyre til venstre, betyr at det er 9 tiere i tallet osv.

Aritmetiske operasjoner +, -, x, : vurderes i N.S. på settteoretisk grunnlag.

Addisjon heltalls ikke-negative tall er forbundet med operasjonen av union av endelige parvise disjunkte sett.

Subtraksjonnaturlige tall betraktes på visuelt grunnlag som fjerning av en del av et begrenset sett som er en delmengde av dette settet.

Multiplikasjon av ikke-negative heltall betraktes som antall elementer i foreningen av like antall parvise disjunkte sett.

Inndeling fra sett-teoretisk synspunkt er det forbundet med delingen av et begrenset sett i like mange parvise usammenhengende delmengder. Med dens hjelp løses to delingsproblemer: å finne antall elementer i hver delmengde av partisjonen (dele i like deler) (eks: 15 epler ligger på 3 plater. Hvor mange epler er det på hver plate?) og finne antallet av slike undergrupper (deler etter innhold) (eks: 15 epler var på tallerkenene. Det var 5 epler på hver tallerken. Hvor mange tallerkener var det på bordet?).

Dannelse av elevenes ideer om antall og desimalsystem kalkulus er nært knyttet til studiet av mengder.

Verdi- dette er en egenskap til et sett med objekter eller fenomener.

Verdi- dette er en slik egenskap ved objekter eller fenomener som lar deg sammenligne og etablere par av objekter som har denne egenskapen i et likt eller ulikt mål.

I N.S. Slike mengder som lengde, areal, tid, volum, masse vurderes.

Lengde- en verdi som karakteriserer lengden, avstanden og bevegelsen til legemer eller deres deler langs en gitt linje. Lengde på et segment eller rett linje- dette er avstanden mellom endene, målt av et segment, tatt som en lengdeenhet.

Torget- en verdikarakteriserende geometriske figurer på flyet og bestemt av antall fyllinger flat figur enhetskvadrater, dvs. firkanter med sider lik én lengde. Mål arealet til en form betyr å etablere kvadratiske enheter lengde (sq. cm, sq. dm, sq. m, etc.) den inneholder.

Volum, kapasitet er en verdi som kjennetegner geometriske legemer og bestemmes i de enkleste tilfellene av antall enhetskuber som passer inn i kroppen, dvs. terninger med kanter lik en lengde. Kroppene kan ha samme (dvs. kropper av samme størrelse) og forskjellige volumer.

Vekt- dette er fysisk mengde, som er en av hovedkarakteristikkene til materie, som bestemmer dens treghets- og gravitasjonsegenskaper. Sammenligning av kroppsmasser, er operasjoner på dem redusert til sammenligning og operasjoner på de numeriske verdiene til massene med samme masseenhet.

Tid- en verdi som karakteriserer den suksessive endringen av fenomener og materietilstander, varigheten av væren. Kalender- et system med å telle dager, måneder, år. I matematikk betraktes tid som en skalær størrelse (en verdi, som hver verdi kan uttrykkes med ett reelt tall), fordi Tidsintervaller har egenskaper som ligner på lengde, areal, masse. Tiden strekker seg akkurat som de andre skalarer, kan du sammenligne, addere, subtrahere, multiplisere og dele på et positivt ekte nummer. Forhold mellom mengder av samme art finner sted: "større enn", "mindre enn", "lik".

På visuelt grunnlag introduseres begrepene andel av en mengde og en brøk. dele regnes som en av like deler hel. Brøkdel er definert som et par naturlige tall ( a, n), som karakteriserer settet A med like deler av en; den første av dem en viser hvor mye n-"delen inneholder A og kalles telleren for brøken, den andre n- inn i hvor mange like deler enheten er delt og kalles nevneren til brøken.

Parallelt med det aritmetiske materialet og studiet av mengder, teoretisk materiale: kommutativ egenskap ved addisjon og multiplikasjon (kommutativ); den assosiative egenskapen til multiplikasjon og addisjon (assosiativ), den distributive egenskapen til divisjon med hensyn til sum og differanse; fordelingsegenskap for deling med hensyn til sum og differanse; distributiv egenskap av multiplikasjon med hensyn til addisjon og subtraksjon - betraktet som regler for å multiplisere en sum (forskjell) med et tall (a+b) x c = a x c+b x c. I tillegg vurderes avhengigheten mellom komponentene og resultatet av en aritmetisk operasjon. Senere, på grunnlag av denne avhengigheten, vurderes løsningen av ligninger.

I skolepraksis tvinger mange lærere elevene til å huske definisjonene av begreper og krever at kunnskap om deres grunnleggende egenskaper skal bevises. Imidlertid er resultatene av slik trening vanligvis ubetydelige. Dette skjer fordi flertallet av elevene, når de anvender begrepene som er lært på skolen, er avhengige av uviktige tegn, mens elevene innser og reproduserer de essensielle tegnene til begreper kun når de svarer på spørsmål som krever en definisjon av begrepet. Ofte reproduserer studenter nøyaktig konsepter, det vil si at de oppdager kunnskap om dens essensielle funksjoner, men de kan ikke bruke denne kunnskapen i praksis, de stoler på de tilfeldige funksjonene identifisert gjennom direkte erfaring. Prosessen med assimilering av konsepter kan kontrolleres, de kan dannes med de gitte kvalitetene.

La oss dvele mer detaljert på den fasede dannelsen av konsepter.

Etter å ha fullført fem til åtte oppgaver med virkelige objekter eller modeller, lærer elevene utenat både tegnene på konseptet og handlingsregelen utenat. Deretter oversettes handlingen til en ekstern taleform, når oppgaver gis inn skriving, og tegnene på konsepter, regelen og resepten kalles eller skrives ned av elevene etter hukommelsen. På dette stadiet kan elevene jobbe i par, vekselvis fungere som utøver, deretter som kontroller.

I tilfelle at en handling enkelt og korrekt utføres i en ekstern taleform, kan den oversettes til indre form. Oppgaven er gitt skriftlig, og studenten utfører reproduksjon av tegn, deres verifisering, sammenligning av resultatene med regelen for seg selv. Eleven får fortsatt instruksjoner som «Nevn det første tegnet til deg selv», «Sjekk om det finnes et» osv. Først kontrolleres riktigheten av hver operasjon og det endelige svaret. Gradvis utføres kontroll kun i henhold til sluttresultatet og utføres etter behov.

Hvis handlingen utføres riktig, overføres den til det mentale stadiet: eleven selv utfører og kontrollerer handlingen. Opplæringsprogrammet på dette stadiet sørger for kontroll fra læreren kun over sluttproduktet av handlingen; eleven mottar tilbakemelding dersom det er vanskeligheter eller usikkerhet om resultatets riktighet. Utførelsesprosessen er nå skjult, handlingen har blitt helt mental, ideell, men dens innhold er kjent for læreren, siden han selv bygget den og selv transformerte den fra en ytre, materiell handling.

Dermed skjer transformasjonen av handlingen i form gradvis. Transformasjonen av handlingen i henhold til generalisering er gitt av et spesielt utvalg av oppgaver. Samtidig tas både den spesifikke og den generelle logiske delen av handlingens orienterende grunnlag i betraktning.

For å generalisere den spesifikke delen knyttet til bruken av et system med nødvendige og tilstrekkelige funksjoner, er alle typiske typer objekter relatert til dette konseptet gitt for anerkjennelse. Så når man danner konseptet med en vinkel, er det viktig at elevene arbeider med vinkler som varierer i størrelse (fra 0 ° til 360 ° og mer), i posisjon i rommet, etc. I tillegg er det viktig å ta objekter som bare har noen funksjoner dette konseptet, men gjelder ikke for det.

For å generalisere den logiske delen av anerkjennelseshandlingen, er alle hovedtilfellene gitt av den logiske regelen om subsumering under konseptet gitt for analyse, dvs. oppgaver med positive, negative og usikre svar. Du kan også inkludere jobber med overflødige betingelser. Det er karakteristisk at det i undervisningspraksis som regel bare gis én type oppgave: med et tilstrekkelig sett med betingelser og et positivt svar. Som et resultat lærer elevene handlingen av anerkjennelse i en utilstrekkelig generalisert form, noe som naturlig begrenser omfanget av dens anvendelse. Oppgaver med overflødige, ubestemte betingelser gjør det mulig å lære elevene ikke bare å oppdage visse funksjoner i objekter, men også å fastslå deres tilstrekkelighet for å løse problemet. Sistnevnte i livspraksis fungerer ofte som et selvstendig problem.

Transformasjonen av handlingen i henhold til de to andre egenskapene oppnås ved å gjenta oppgaver av samme type. Det anbefales å gjøre dette, som angitt, bare i de siste stadiene. På alle andre stadier gis det kun et slikt antall oppgaver som sikrer assimilering av handlingen i en gitt form. Det er umulig å forsinke handlingen på overgangsskjemaer, da dette vil føre til automatisering i denne formen, som hindrer handlingen i å overføres til en ny, senere form.

Studiet av algebraisk materiale i grunnskolen. Innføringen av elementer av algebra i det innledende kurset i matematikk gjør det mulig, helt fra begynnelsen av treningen, å utføre systematisk arbeid rettet mot å utvikle så viktige matematiske begreper hos barn som uttrykk, likhet, ulikhet, likning. Inkluderingen av elementer i algebra er hovedsakelig rettet mot en mer fullstendig og dypere avsløring av aritmetiske begreper, og bringe elevenes generaliseringer til en mer høy level, samt opprettelse av forutsetninger for vellykket assimilering av algebrakurset i fremtiden. Å bli kjent med bruken av en bokstav som et symbol som angir et hvilket som helst tall fra området med tall som er kjent for barn, skaper forutsetninger for å generalisere mange av problemene som vurderes i det innledende kurset aritmetisk teori , er en god forberedelse for å introdusere barn i fremtiden med begrepene en variabel, en funksjon. Tidligere bekjentskap med bruken av den algebraiske metoden for å løse problemer gjør det mulig å gjøre alvorlige forbedringer i hele systemet for å lære barn å løse ulike tekstproblemer. Arbeidet med alle de oppførte spørsmålene om algebraisk innhold, i samsvar med måten det er planlagt i lærebøkene, bør utføres systematisk og systematisk i alle årene av grunnopplæringen. Studiet av elementer av algebra i elementær matematikk er nært forbundet med studiet av aritmetikk. Dette kommer spesielt til uttrykk i det faktum at for eksempel likninger og ulikheter løses ikke på grunnlag av å bruke det algebraiske apparatet, men på grunnlag av å bruke egenskapene til aritmetiske operasjoner, på grunnlag av forholdet mellom komponenter og resultatene av disse operasjonene. Dannelsen av hvert av de betraktede algebraiske konseptene bringes ikke til en formell logisk definisjon. Mål med å studere emnet: 1. Å danne elevenes evne til å lese, skrive og sammenligne numeriske uttrykk. 2. Å gjøre elevene kjent med reglene for å utføre rekkefølgen av handlinger i numeriske uttrykk og utvikle evnen til å beregne verdiene til uttrykk i samsvar med disse reglene. 3. For å danne elevenes leseevne, skriv ned bokstavelige uttrykk og regn ut verdiene deres for gitte bokstavverdier. 4. Å introdusere studentene til ligninger av første grad, som inneholder handlingene til første og andre trinn, for å danne evnen til å løse dem ved seleksjonsmetoden, så vel som på grunnlag av kunnskap om forholdet mellom komponentene og resultat av aritmetiske operasjoner. Matematiske uttrykk. Når du danner begrepet et matematisk uttrykk hos barn, må det tas i betraktning at handlingstegnet plassert mellom tall har to betydninger: på den ene siden betegner det en handling som må utføres på tall (for eksempel 6 + 4 - legg til fire til seks); på den annen side tjener handlingstegnet til å betegne uttrykket (6 + 4 er summen av tallene 6 og 4). Uttrykksbegrepet dannes hos yngre elever i nær sammenheng med begrepene regneoperasjoner og bidrar til deres bedre assimilering. Bli kjent med numeriske uttrykk: Metodikken for å arbeide med uttrykk gir to trinn. På den første av dem dannes konseptet med de enkleste uttrykkene (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall), og på det andre, av komplekse (summen av et produkt og et tall, forskjellen av to kvotienter , etc.). Bekjentskap med det første uttrykket - summen av to tall forekommer i klasse I når du studerer addisjon og subtraksjon innen 10. Ved å utføre operasjoner på sett, lærer elevene først og fremst den spesifikke betydningen av addisjon og subtraksjon, derfor, i oppføringer som 5 + 1, 6-2, blir handlingstegn oppfattet av dem som kort betegnelse ord "legg til", "trekk fra". Omtrent i det samme planen går arbeid med følgende uttrykk: forskjell (karakter 1), produkt og kvotient av to tall (karakter 2). Begrepene «matematisk uttrykk» og «verdi av et matematisk uttrykk» introduseres (uten definisjoner). Etter å ha registrert flere eksempler i én handling, rapporterer læreren at disse eksemplene ellers kalles matematiske uttrykk. Regelen som brukes ved lesing av uttrykk: 1) fastslå hvilken handling som utføres sist; 2) husk hvordan tallene kalles i denne handlingen; 3) les hvordan disse tallene uttrykkes. Lese- og skriveøvelser komplekse uttrykk, som inneholder handlingskomponenter gitt av enkle uttrykk, hjelper barna å lære reglene for handlingsrekkefølgen, og også forberede dem til å løse ligninger. Ved å tilby slike øvelser og teste elevenes kunnskaper og ferdigheter, bør læreren bare strebe etter å sikre at de praktisk talt kan utføre slike oppgaver: skrive ned et uttrykk, les det, komponer et uttrykk for den foreslåtte oppgaven, komponer en oppgave for dette uttrykk (eller "les annerledes" dette uttrykket), forsto hva det betyr å skrive ned summen (forskjellen) ved hjelp av tall og handlingstegn og hva det betyr å beregne summen (forskjellen), og senere, etter introduksjonen relaterte vilkår hva det vil si å komponere et uttrykk og hva det vil si å finne dets verdi. Lære prosedyrereglene. Formålet med arbeidet med dette stadiet- basert på studentenes praktiske ferdigheter, trekke deres oppmerksomhet til prosedyren for å utføre handlinger i slike uttrykk og formulere passende regel. Elevene løser selvstendig eksemplene valgt av læreren og forklarer i hvilken rekkefølge de utførte handlingene i hvert eksempel. Så formulerer de konklusjonen selv eller leser konklusjonen fra læreboka. Arbeidet utføres i følgende rekkefølge: 1. Regelen vurderes om rekkefølgen handlinger utføres i i uttrykk uten parentes, når tall enten bare er addisjon og subtraksjon, eller kun multiplikasjon og divisjon. Konklusjon: hvis bare addisjons- og subtraksjonsoperasjoner (eller bare multiplikasjons- og divisjonsoperasjoner) er angitt i uttrykket uten parentes, så utføres de i den rekkefølgen de er skrevet (dvs. fra venstre til høyre). 2. Studer på samme måte rekkefølgen av handlinger i uttrykk med parenteser av formen: 85-(46-14), 60: (30-20), 90: (2 * 5). Elevene er også kjent med slike uttrykk og kan lese, skrive og beregne betydningen. Etter å ha forklart rekkefølgen for å utføre handlinger i flere slike uttrykk, formulerer barna en konklusjon: i uttrykk med parentes utføres den første handlingen på tallene skrevet i parentes. 3. Den vanskeligste regelen er rekkefølgen for utførelse av handlinger i uttrykk uten parentes, når de inneholder handlinger av det første og andre trinnet. Konklusjon: prosedyren vedtas etter avtale: først utføres multiplikasjon, divisjon, deretter addisjon, subtraksjon fra venstre til høyre. 4. Øvelser for å regne ut betydningen av uttrykk, når eleven skal anvende alle de lærte reglene. Bekjentskap med identiske transformasjoner av uttrykk. Identitetstransformasjon av et uttrykk er å erstatte et gitt uttrykk med et annet, hvis verdi er lik verdien av det gitte uttrykket. Elever utfører slike transformasjoner av uttrykk, basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvensene som oppstår av dem (hvordan legge en sum til et tall, hvordan trekke et tall fra en sum, hvordan multiplisere et tall med et produkt, etc. ). Når man studerer hver egenskap, er studentene overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan handlinger utføres på forskjellige måter, men betydningen av uttrykket endres ikke (betydningen av uttrykket endres ikke når rekkefølgen av handlinger bare endres hvis handlingsegenskapene brukes) Introduksjon til bokstavelige uttrykk. Allerede i klasse I blir det nødvendig å introdusere et symbol som angir et ukjent tall. I det pedagogiske og metodisk litteratur for dette formålet ble et bredt utvalg av tegn tilbudt til studentene: ellipse, tom celle, asterisker, spørsmålstegn osv. Men siden alle disse skiltene er ment å brukes til et annet formål, så for å skrive et ukjent nummer, bør du bruke tegnet som er generelt akseptert for disse formålene - en bokstav. I fremtiden vil bokstaven som et matematisk symbol også brukes i grunnleggende matematikkundervisning for å skrive generaliserte tall, det vil si når det ikke er ment ett hvilket som helst ikke-negativt heltall, men et hvilket som helst tall. Et slikt behov oppstår når det er nødvendig å uttrykke egenskapene til aritmetiske operasjoner. Bokstaver er nødvendige for å angi mengder og skrive formler som gjenspeiler forholdet mellom mengder, for å angi punkter, segmenter, hjørner av geometriske former. I klasse I bruker elevene en bokstav for å angi et ukjent nummer de leter etter. Elevene blir kjent med å skrive og lese noen latinske bokstaver, og bruker dem umiddelbart til å skrive eksempler med et ukjent tall (enkle ligninger). Elevene får vist hvordan de kan oversette oppgaven til matematiske symbolers språk, uttrykt verbalt: "Vi la til 2 til et ukjent tall og fikk 6. Finn et ukjent tall." Læreren forklarer hvordan du skriver denne oppgaven: angi det ukjente tallet med bokstaven x, bruk så +-tegnet for å vise at 2 ble lagt til det ukjente tallet og tallet lik 6 ble oppnådd, som skrives med likhetstegnet: x + 2 = 6. Nå må du utføre en subtraksjonsoperasjon for å finne det andre leddet ved summen av to ledd og ett av dem. Hovedarbeidet med å bruke bokstaven som et matematisk symbol gjøres i påfølgende klasser. Med introduksjonen bokstavelige uttrykk viktig rolle i systemet av øvelser spiller en dyktig kombinasjon av induktiv og deduktive metoder. I samsvar med dette legger øvelsene opp til overganger fra numeriske uttrykk til alfabetiske og omvendt fra alfabetiske uttrykk til numeriske. a + b (a pluss b) er også et matematisk uttrykk, bare i det er begrepene indikert med bokstaver: hver av bokstavene står for alle tall. Ved å gi bokstaver forskjellige tallverdier, kan du få så mange du liker numeriske uttrykk. Videre, i forbindelse med arbeidet med uttrykk, avdekkes begrepet en konstant. For dette formål vurderes uttrykk der en konstant verdi er fast ved hjelp av tall, for eksempel: a ± 12, 8 ± s. Her, som i forrige trinn, er det gitt øvelser for overgangen fra numeriske uttrykk til uttrykk skrevet med bokstaver og tall, og omvendt. På samme måte kan du få matematiske uttrykk for formen: 17 ± n, k ± 30, og senere - uttrykk for formen: 7 * b, a: 8, 48: d. Arbeidet med å beregne verdiene til bokstavelige uttrykk for forskjellige betydninger av bokstaver, observere endringen i resultatene av beregninger avhengig av endringen i komponentene i handlinger, legger grunnlaget for dannelsen av konseptet om en variabel. Øvelser å finne numeriske verdier uttrykk for gitte bokstavverdier. Videre brukes bokstavene til å skrive i en generalisert form egenskapene til aritmetiske operasjoner tidligere studert på spesifikke numeriske eksempler. Studentene, som utfører spesielle øvelser, mestrer følgende ferdigheter: 1. Bruk bokstaver til å skrive ned egenskapene til aritmetiske operasjoner, forholdet mellom komponentene og resultatene av aritmetiske operasjoner. 2. Les egenskapene til aritmetiske operasjoner, avhengigheter, relasjoner skrevet med bokstaver. 3. Løp identitetstransformasjon uttrykk basert på kunnskap om egenskapene til aritmetiske operasjoner. 4. Bevis rettferdighet gitt likheter eller ulikheter ved bruk av numerisk substitusjon. Bruken av alfabetiske symboler bidrar til en økning i generaliseringsnivået av kunnskap tilegnet av grunnskoleelever og forbereder dem til studiet av et systematisk algebrakurs i de neste klassene. Likhet, ulikhet. I praksisen med undervisning i grunnskolen anses talluttrykk helt fra begynnelsen som uløselig knyttet til tallmessige likheter og ulikheter. I matematikk er numeriske likheter og ulikheter delt inn i sant og usant. I grunnskoleklasser, i stedet for disse begrepene, brukes ordene "sann" og "vantro". Oppgavene med å studere likheter og ulikheter på barnetrinnene er å lære elevene praktisk å operere med likheter og ulikheter: sammenligne tall, sammenligne regneuttrykk, løse enkle ulikheter med en ukjent, gå fra ulikhet til likhet og fra likhet til ulikhet. Begrepene likheter, ulikheter avsløres i sammenkobling. Når du studerer, aritmetisk materiale. Numeriske likheter og ulikheter studeres som et resultat av å sammenligne gitte tall eller aritmetiske uttrykk. Derfor er skiltene ">", "<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

Spørsmål og oppgaver for selvstendig arbeid

1. Nevn de geometriske begrepene som studeres i grunnskolen. Hvorfor er de gjenstand for studier?

2. Utgjør det geometriske materialet i grunnfaget i matematikk en selvstendig seksjon? Hvorfor?

3. Beskriv metoden for dannelse av geometriske begreper blant elevene: segment, trekant, vinkel, rektangel.

4. Hvilke muligheter for utvikling av logisk tenkning hos studentene gir studiet av geometrisk materiale? Gi eksempler.

5. Hvilke sammenhenger får elevene vite når de studerer geometrisk materiale?

6. Hva er funksjonen til byggeoppgaver i grunnskolen?

7. Gi eksempler på byggeoppgaver som er typiske for grunnskolen.

8. Hva er stadiene for å løse bygningsproblemer? Vis i hvilken grad det generelle opplegget for løsning av bygningsproblemer kan brukes på grunnskolen.

Forelesning 14

1. Grunnleggende begreper i matematikk.

2. Generelle spørsmål om metodikken for å studere algebraisk materiale i løpet av matematikk i grunnklassetrinn.

3. Numeriske uttrykk. Lære reglene for rekkefølgen aritmetiske operasjoner utføres i.

4. Uttrykk med en variabel.

5. Teknikk for å studere ligninger.

6. Metoder for å studere numeriske likheter og numeriske ulikheter.

7. Bekjenning av elever med funksjonell avhengighet.

Referanser: (1) Kapittel 4; (2) §27, 37, 52; (5) - (12).

Grunnleggende begreper i matematikk

Et numerisk uttrykk generelt kan defineres som følger:

1) Hvert tall er et numerisk uttrykk.

2) Hvis A og B er numeriske uttrykk, så (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A)⁽ⁿ⁾ og f(A), der f(x) er en numerisk funksjon, er også numeriske uttrykk.

Hvis det i et numerisk uttrykk er mulig å utføre alle handlingene som er angitt i det, kalles det resulterende reelle tallet den numeriske verdien til det gitte numeriske uttrykket, og det sies at det numeriske uttrykket gir mening. Noen ganger har et numerisk uttrykk ikke en numerisk verdi fordi ikke alle handlinger angitt i den er gjennomførbare; et slikt numerisk uttrykk sies å ikke ha noen betydning. Så, følgende numeriske uttrykk (5 - 3): (2 - 8:4); √7 - 2 6 og (7 - 7)° gir ikke mening.

Dermed har ethvert numerisk uttrykk enten en enkelt numerisk verdi eller er meningsløst. -

Følgende prosedyre brukes ved beregning av verdien av et numerisk uttrykk:

1. Først utføres alle operasjoner inne i brakettene. Hvis det er flere par med parenteser, starter beregningene fra det innerste.

2. Inne i parentesene bestemmes rekkefølgen av beregninger av prioriteringen av operasjoner: verdiene til funksjonene beregnes først, deretter utføres eksponentieringen, deretter multiplikasjonen eller divisjonen, de siste er addisjon og subtraksjon.

3. Hvis det er flere operasjoner med samme prioritet, utføres beregningene sekvensielt fra venstre til høyre.

Numerisk likhet- to numeriske uttrykk A og B, forbundet med et likhetstegn ("=").

Numerisk ulikhet- to numeriske uttrykk A og B, forbundet med et ulikhetstegn ("<", ">", "≤" eller "≥").

Et uttrykk som inneholder en variabel og blir til et tall når variabelen erstattes med verdien kalles variabelt uttrykk eller numerisk form.

Ligning med én variabel(med en ukjent) er et predikat av formen f₁(x) = f₂(x), hvor x ∊X, hvor f₁(x) og f₂(x) er uttrykk med variabelen x definert på settet X.

Enhver verdi av variabelen x fra settet X, der ligningen blir en sann numerisk likhet, kalles rot(løsning av ligningen). løse ligningen- dette betyr å finne alle røttene eller bevise at de ikke eksisterer. Settet med alle røttene til ligningen (eller sannhetsmengden T til predikatet f₁(x) = f₂(x)) kalles settet med løsninger til ligningen

Settet med verdier som begge sider av ligningen er definert for kalles domenet med akseptable verdier (ODV) til variabelen x og domenet til ligningen.

2. Generelle spørsmål om metoden for å studere algebraisk materiale

Grunnkurset i matematikk, sammen med det grunnleggende aritmetiske materialet, inkluderer også elementer av algebra, representert av følgende konsepter:

Numeriske uttrykk;

Variable uttrykk;

Numeriske likheter og ulikheter;

Ligninger.

Hensikten med å inkludere elementer av algebra i matematikkkurset i grunnskolen er:

Mer fullstendig og dypere vurdere aritmetisk materiale;

Ta elevenes generaliseringer til et høyere nivå;

Å skape forutsetninger for mer vellykket studier av algebra på mellom- og seniortrinn på skolen.

Algebraisk materiale er ikke fremhevet i programmet som eget tema. Den er fordelt gjennom løpet av grunnskolematematikken i separate spørsmål. Disse spørsmålene studeres, med start fra 1. klasse, parallelt med studiet av det grunnleggende regnestoffet. Rekkefølgen for vurdering av spørsmålene foreslått av programmet bestemmes av læreboken.

Assimilering av de studerte algebraiske konseptene i elementære karakterer innebærer innføring av passende terminologi og implementering av enkle operasjoner uten å konstruere formelt logiske definisjoner.