Introduksjon

Alle seksjoner beskrivende geometri bruk en metode - metoden for projeksjon, derfor kalles tegninger som ikke bare brukes i beskrivende geometri projeksjonstegninger.

Projeksjonsmetoden ligger i det faktum at alle punktene i settet med punkter i rommet kan projiseres ved å bruke projiserte stråler på hvilken som helst overflate. For å gjøre dette presenterer vi noen gitt overflate(Fig. 1) og en spiss MEN i verdensrommet. Når du leder en stråle S gjennom et punkt MEN i retning av overflaten, vil sistnevnte skjære den i et punkt MEN en . punkt MEN kalt projisert punkt. Planet α som projeksjonen er oppnådd på kalles projeksjonsplan. Skjæringspunktet mellom strålen og planet kalles projeksjonen av punktet MEN. Rett MENMEN 1 (stråle), kalt utstikkende stråle.

Figur 1.

Den sentrale (koniske eller polare) projeksjonsmetoden er basert på det faktum at når du projiserer på et plan en rekke punkter ( MEN, B, C osv.) passerer alle utstrålende stråler gjennom ett punkt, kalt projeksjonssenter, eller stang.

Se for deg en trekant i rommet ABC og projiserer stråler som passerer gjennom en gitt pol S og gjennom poeng ABC trekanter tegnet til skjæringspunktet med planet α. Triangel MEN 1 B 1 C 1 vil være den sentrale projeksjonen av trekanten ABC(Fig. 2).

Den sentrale projeksjonsmetoden tilfredsstiller ikke en rekke betingelser som er nødvendige for en teknisk tegning, nemlig: den gir ikke et enhetlig bilde, fullstendig klarhet av alle geometriske former, har ikke lesbarhet, har ikke enkelheten til bildet.

Metoden for parallell (skrå) projeksjon er at alle utstrålende stråler passerer gjennom punktene i trekanten ABC, vil være parallelle med hverandre (fig. 3). Denne metoden følger av metoden for sentral projeksjon, mens stangen må fjernes i en uendelig avstand fra planet som objektet projiseres på.

Ortogonal (rektangulær) projeksjonsmetode - en metode når de projiserte strålene er parallelle med hverandre og vinkelrett på projeksjonsplaner(Fig. 4). Denne metoden – spesielt tilfelle parallell projeksjon.

Dermed kan et hvilket som helst punkt i rommet projiseres på projeksjonsplanet: på horisontal P 1 , frontal P 2 og profil P 3 . Horisontal projeksjon poeng er angitt MEN 1 eller MEN", frontal MEN 2 eller MEN″ profil MEN 3 eller MEN"(Fig. 5).

Parallell projeksjon kan betraktes som et spesielt tilfelle av sentral projeksjon.

Dersom projeksjonssenteret kl sentralkontor projeksjon til det uendelige, så kan de projiserte strålene betraktes som parallelle. Derfor består det parallelle projeksjonsapparatet av projeksjonsplanet P og retningen R. Ved sentral projeksjon kommer de projiserte strålene ut fra ett punkt, og med parallell projeksjon er de parallelle med hverandre.

Avhengig av retningen til projeksjonsstrålene, kan parallell projeksjon være skrå, når projeksjonsstrålene er skråstilt til projeksjonsplanet, og rektangulær (ortogonal), når projeksjonsstrålene er vinkelrett på projeksjonsplanet.

Tenk på et eksempel på en skrå parallell projeksjon.

Vi konstruerer en parallell projeksjon A1B1 av segmentet AB, på planet P1, med gitt retning projeksjon P ikke P1. For å gjøre dette er det nødvendig å tegne projiserte linjer gjennom punktene A og B parallelt med projeksjonsretningen P. Når de projiserte linjene skjærer planet P1, vil parallelle projeksjoner A1 og B1 av punktene A og B oppnås. de parallelle projeksjonene A1 og B1, får vi en parallell projeksjon A1B1 av segmentet AB.

På samme måte er det mulig å konstruere en parallell projeksjon А1В1С1D1 av firkanten ABCD på planet P1, med en gitt retning av projeksjon P ikke vinkelrett på P1.

For å gjøre dette er det nødvendig å tegne projiserte linjer gjennom punktene A, B, C, D, parallelt med projeksjonsretningen P. Når de projiserte linjene skjærer med planet P1, parallelle projeksjoner A1, B1, C1, D1 av punkter Det vil bli oppnådd A, B, C, D. Ved å koble sammen de parallelle projeksjonene A1, B1, C1, D1 får vi en parallell projeksjon A1B1C1D1 av firkant ABCD.

Egenskaper til projeksjoner i parallell projeksjon:

De seks første egenskapene til sentralprojeksjon er også gyldige for parallellprojeksjon. Vi viser noen flere egenskaper som er iboende i parallell projeksjon:

1. Projeksjoner av parallelle linjer er parallelle.

Det kan sees av figuren at linjene AA 1 , BB 1 , SS 1 og DD 1 danner to parallelle plan en og b. Disse to planene krysser hverandre P 1. Derfor, linjene i skjæringspunktet deres A 1 B 1 og C 1 D 1 vil være parallell.

2. Hvis punktet deler lengden på segmentet i forhold til m:n, så deler projeksjonen av dette punktet lengden på projeksjonen av segmentet i samme forhold.

La poenget FRA tilhører segmentet AB, og |AC| : |CB| = 2:1. La oss bygge en parallell projeksjon A 1 B 1 segmentet AB. Punktum Fra 1 A 1 B 1. La oss bruke AC' || A 1 C 1 og CB' || C 1 B 1, vi får to lignende trekanter ACC' og CBB'. Fra likheten deres følger proporsjonaliteten til sidene: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, men |CB'| = |С1В1|, a |AC'| = |A 1 C 1 |, derfor |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. flat figur, parallelt med projeksjonsplanet, projiseres uten forvrengning.

La oss ta en trekant ABC og projisere den på to parallelle projeksjonsplaner P 1 ' og P 1. Siden lengdene på segmentene er like |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 '| = |C 1 C 1 '| og segmentene er parallelle, deretter firkantene A 1 A 1 'B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 'A 1 A 1 ' er parallellogrammer. Følgelig motsatte sider de er like lange | A 1 B 1 | = | A 1 'B 1 '|, | B 1 C 1 | = |B 1 'C 1 '|, |A 1 C 1 | = |A 1 'C 1 '|, så trekantene er kongruente.

På samme måte kan det samme bevises for enhver annen flat figur. Parallell projeksjon, i motsetning til den sentrale, har mindre klarhet, men gir enkel konstruksjon og større forhold til originalen.

Parallell projeksjon(Fig. 1.6) kan betraktes som et spesielt tilfelle av sentral projeksjon, der projeksjonssenteret fjernes til det uendelige ( S∞). Ved parallell projeksjon brukes parallelle projeksjonslinjer, tegnet i en gitt retning i forhold til projeksjonsplanet

sjoner. Hvis projeksjonsretningen er vinkelrett på projeksjonsplanet, kalles projeksjonene rektangulære eller ortogonale. i andre tilfeller - skrå (i fig. 1.6 er projeksjonsretningen indikert med en pil i en vinkel til projeksjonsplanet).

Parallell projeksjon bevarer alle egenskapene til sentral projeksjon, og introduserer også følgende nye egenskaper.

1. Parallelle projeksjoner av innbyrdes parallelle linjer er parallelle, og forholdet mellom lengdene av segmenter av slike linjer er lik forholdet mellom lengdene av deres projeksjoner.

Hvis rett MN og KL(Fig. 1.7) er parallelle, deretter de utstikkende planene og er parallelle, siden de kryssende linjene i disse planene er innbyrdes parallelle: - etter tilstand,

Følgelig er projeksjonene og parallelle som skjæringslinjene for de parallelle planene p og y med planet l.

Merk på en rett linje MN vilkårlig segment A B og på en rett linje KL vilkårlig segment CD. Tegn i planet p gjennom punktet MEN rett linje og i y-planet gjennom punktet C den rette linjen C - . Segmenter som segmenter av parallelle mellom parallelle. Segmenter og derfor . Segmenter, siden alle sidene deres er innbyrdes parallelle. Fra likheten mellom trekanter følger det:

Av det som er vurdert følger:

a) hvis lengden av et rett linjesegment er delt med et punkt i et hvilket som helst forhold, så deles lengden av projeksjonen av segmentet med projeksjonen av dette punktet i samme forhold (fig. 1.8):

b) projeksjonene av segmenter av innbyrdes parallelle linjer like lange er innbyrdes parallelle og like lange.

Dette er åpenbart, siden (se fig. 1.7) vil være . Derfor, med en skrå projeksjon inn generell sak parallellogram, rombe, rektangel, kvadrat projiseres til et parallellogram.

• 2. En flat figur parallelt med projeksjonsplanet projiseres under parallell projeksjon på dette planet inn i samme figur.
• 3. Parallell overføring av en figur i rommet eller i projeksjonsplanet endrer ikke typen og størrelsen på projeksjonen av figuren.

Parallelle projeksjoner, som sentrale med ett projeksjonssenter, gir heller ikke tegningsreversibilitet.

Ved å bruke metodene for parallell projeksjon av et punkt og en linje, er det mulig å bygge parallelle projeksjoner av en overflate og en kropp.

Parallelle projeksjoner brukes til å konstruere visuelle bilder av ulike tekniske enheter og deres detaljer.

Rektangulær (ortogonal) projeksjon

Et spesielt tilfelle av parallell projeksjon, der projeksjonsretningen er vinkelrett på projeksjonsplanet, kalles rektangulær eller ortogonal projeksjon. Den rektangulære (ortogonale) projeksjonen av et punkt er bunnen av vinkelrett tegnet fra punktet til projeksjonsplanet. Rektangulær projeksjon D 0 poeng D vist i fig. 1.9.

Sammen med egenskapene til parallelle (skrå) projeksjoner ortogonal projeksjon har neste eiendom : ortogonale projeksjoner to innbyrdes perpendikulære linjer, hvorav den ene er parallell med projeksjonsplanet, og den andre ikke er vinkelrett på det, er gjensidig perpendikulære.

På fig. 1.10 La oss bevise det

Den utstikkende linjen er vinkelrett på projeksjonsplanet, projeksjonen og linjen VA. Plan ) er vinkelrett på linjen VA, siden det er vinkelrett på to kryssende rette linjer i dette planet (- etter tilstand, men etter konstruksjon). Projeksjonen er vinkelrett på planet, siden . Derfor er projeksjonen av et plan på et plan en rett linje KL vinkelrett på projeksjonen, men med en rett linje KL sammenfaller projeksjon I °C 0, dvs. som skulle bevises.

I problemer i geometri avhenger suksess ikke bare av kunnskap om teorien, men av en kvalitetstegning.
Med flate tegninger er alt mer eller mindre oversiktlig. Men i stereometri er situasjonen mer komplisert. Tross alt er det nødvendig å skildre tredimensjonale kroppen på flat tegning, og på en slik måte at både du selv og den som ser på tegningen din ville se den samme tredimensjonale kroppen.

Hvordan gjøre det?
Selvfølgelig vil ethvert bilde av en tredimensjonal kropp på et plan være betinget. Det er imidlertid et visst sett med regler. Det er en allment akseptert måte å lage tegninger på parallell projeksjon.

La oss ta en solid kropp.
La oss velge projeksjonsplan.
Gjennom hvert punkt i den volumetriske kroppen tegner vi rette linjer, parallelle med hverandre og krysser projeksjonsplanet i en vinkel. Hver av disse linjene skjærer projeksjonsplanet på et tidspunkt. Sammen danner disse punktene projeksjon volumetrisk kropp på et plan, det vil si dets flate bilde.

Hvordan bygge projeksjoner av volumetriske legemer?
Tenk deg at du har en ramme av en tredimensjonal kropp - et prisme, en pyramide eller en sylinder. Ved å belyse den med en parallell lysstråle, får vi et bilde - en skygge på veggen eller på skjermen. Merk at fra forskjellige vinkler får vi forskjellige bilder, men noen regelmessigheter er fortsatt til stede:

Projeksjonen av segmentet vil være segmentet.

Selvfølgelig, hvis segmentet er vinkelrett på projeksjonsplanet, vil det vises på ett punkt.

I det generelle tilfellet vil projeksjonen av en sirkel være en ellipse.

Projeksjonen av et rektangel er et parallellogram.

Slik ser projeksjonen av en kube på et fly ut:

Her er front- og baksiden parallelle med projeksjonsplanet

Du kan gjøre det annerledes:

Uansett hvilken vinkel vi velger, projeksjoner av parallelle segmenter på tegningen vil også være parallelle segmenter . Dette er et av prinsippene for parallell projeksjon.

Vi tegner projeksjoner av pyramiden,

sylinder:

Nok en gang gjentar vi det grunnleggende prinsippet om parallell projeksjon. Vi velger projeksjonsplanet og tegner rette linjer parallelt med hverandre gjennom hvert punkt på den volumetriske kroppen. Disse linjene skjærer projeksjonsplanet i en vinkel. Hvis denne vinkelen er 90° - vi snakker Om rektangulær projeksjon. Ved hjelp av rektangulær projeksjon bygges tegninger av tredimensjonale deler i engineering. I dette tilfellet snakker vi om ovenfra, sett forfra og sett fra siden.

Et spesielt tilfelle av sentral projeksjon med senter av projeksjoner plassert ved uendelig (på et upassende punkt O). Det utføres av en haug med stråler i en gitt retning S(Fig. 2).

Parallelt projeksjonsapparat:

  projeksjonsplan;

S- projeksjonsretning;

[O  EN][ O  B]  S

EN  = [OA]  - parallell projeksjon av punkt A på planet;

l  = (AA   BB) er en parallell projeksjon av en rett linje på et plan .

Det er ingen reversibilitet. En sentral projeksjon poeng tillater ikke å bedømme posisjonen til et punkt i rommet. A = D

Geometriske figurer projiseres på projeksjonsplanet, generelt, med forvrengning. Arten av forvrengningen avhenger av projeksjonsapparatet og posisjonen til den projiserte figuren i forhold til projeksjonsplanet.

Spesielt bryter parallellprojeksjon metriske spesifikasjoner geometriske figurer (lineære og vinkelverdier er forvrengt). Noen egenskaper til en figur er bevart på projeksjonen.

Egenskapene til figuren som er bevart i projeksjonen kalles uavhengig eller INVARIANT. Disse invariante egenskaper ofte kalt kort fortalt: invarianter.

Parallelle projeksjonsinvarianter

Projeksjonen av et punkt er et punkt (fig. 1; fig. 2)

Projeksjonen av en rett linje er en rett linje (fig. 1; fig. 2)



3 . Projeksjonen av et punkt som tilhører en rett linje hører til projeksjonen.

denne rette linjen (fig. 1; fig. 2)

Projeksjonen av skjæringspunktet for linjene bestemmes av skjæringspunktet mellom projeksjonene til disse linjene (fig. 3)

Projeksjoner av innbyrdes parallelle linjer er innbyrdes parallelle (fig. 4)

Forholdet mellom lengdene til segmenter av gjensidig parallelle linjer er lik forholdet mellom lengdene på deres fremspring (fig. 4)

KONSEKVENS: hvis et rett linjesegment deles med et punkt i et hvilket som helst forhold, så deles projeksjonen av segmentet med projeksjonen av dette punktet i samme forhold (fig. 5)

7 . En flat figur parallelt med projeksjonsplanet projiseres på dette planet til en kongruent figur (fig. 6)

Ris. 3 Fig. fire

Ris. 5 Fig. 6

1. Rektangulær (ortogonal) projeksjon

Et spesielt tilfelle av parallell projeksjon, der projeksjonsretningen er vinkelrett på projeksjonsplanet (fig. 7)

I det følgende er ortogonal projeksjon ubetinget brukt.

En ortografisk projeksjon beholder alle egenskapene til en parallell projeksjon. I tillegg, for ortogonal projeksjon, projeksjonsteoremet rett vinkel(se emne nr. 6) og bruk metoden for å bestemme avstanden mellom punktene (dvs. lengden på segmentet, se emne nr. 3), kalt metoden for en rettvinklet trekant.

Ris. 7

I DETALJER...

Plasseringen til et objekt i rommet bestemmes av dets fire punkter som ikke ligger i samme plan. Bildet av et romlig objekt på tegningen er redusert til konstruksjonen av projeksjoner av settet med punkter til dette objektet på planet R(kalt projeksjonsplanet) ved hjelp av rette linjer (projeksjonsstråler) som går gjennom punktene på objektet og rettet mot projeksjonssenteret S.

Men for å bygge en projeksjon av et objekt, er det ikke nødvendig å bygge alle punktene. Det er nok å finne bare projeksjonene av karakteristiske punkter (toppunkter, kanter, etc.), som deretter er forbundet med en tilsvarende linje.

De utstikkende strålene danner sammen utstikkende overflate. Så når du projiserer en rett linje AB, er den projiserte overflaten planet AB ba(ris.).

Krysslinje ab prosjekterende plan med plan R er en projeksjon av en rett linje AB, som er sammensatt av projeksjonene av de enkelte punktene.

Projeksjon er som en skyggekast fra et objekt opplyst av en lampe eller solen.

Når du projiserer en buet linje i det første tilfellet, dannes de utstikkende strålene konisk overflate med toppen på punktet S, det viser seg til onic (perspektiv) bilde av kurven (fig. 2). I det andre tilfellet blir kjeglen med projiserte stråler til en sylinder og det koniske bildet blir sylindrisk (parallellt) (fig. 2). Projeksjonen av den buede linjen betraktes i dette tilfellet som skjæringslinjen mellom den utstikkende overflaten og planet R.

I perspektiv er objektet avbildet slik det ser ut for observatørens øye. Øyets linse er sentrum for projeksjon. Hver av oss er kjent med følgende fenomen: hvis du ser langs lerretet jernbane, ser det ut for oss at skinnene ser ut til å nærme seg hverandre og konvergerer i horisonten til ett punkt (sentrum), og støttene som ligger langs sporene avtar når de beveger seg bort.

Parallell projeksjon - et spesielt tilfelle av perspektiv. Essensen av parallell projeksjon er som følger: hvis vi betinget fjerner projeksjonssenteret til det uendelige, kan de projiserte strålene betraktes som parallelle.

Så for å bygge en parallell projeksjon av en trekant ABC(fig.), må du stille inn: R- projeksjonsplan (ikke parallelt og ikke sammenfallende med retningen til de projiserte strålene); S- retningen til de utstikkende strålene (projeksjonsretning).

Videre føres utstrålende stråler gjennom de karakteristiske punktene til objektet Ah,Вb og ss parallelt med projeksjonsretningen, og finn deretter punktene en,b og fra deres kryss med flyet R. Disse punktene er de ønskede parallelle projeksjonene av punktene MEN,PÅ og FRA gitt trekant.

Projeksjon abc- skjæringslinjen mellom den utstikkende prismatiske overflaten med planet R. Formen og dimensjonene til en parallell projeksjon av et objekt for en gitt projeksjonsretning avhenger bare av valget av retningen til projeksjonsplanet og avhenger ikke av dets avstand fra objektet. Trekant plassert i et plan R 1, parallelt med projeksjonsplanet, projiseres lik det gitte. I dette tilfellet ab=AB,f.Kr=f.Kr,ac=AC.

Avhengig av helningsvinkelen til den projiserte strålen til projeksjonsplanet, er parallell projeksjon delt inn i to typer: rektangulær og skrå.

REKTANGULÆR(eller ortogonal) projeksjon kalles når projeksjonsretningen er valgt vinkelrett på projeksjonsplanet. Ellers heter det SKRÅ.

Med rektangulær projeksjon (fig. 7) kan ikke verdien av forvrengningskoeffisienten overstige enhet.

I skråprojeksjoner (fig. 5) vil forvrengningskoeffisienten ( Til=ab/AB) i dette segmentet AB kan ta alle numeriske verdier avhengig av helningen til segmentet og de projiserte strålene til projeksjonsplanet. Spesielt hvis retningen til segmentet faller sammen med projeksjonsretningen, vil projeksjonen av dette segmentet være et punkt, og forvrengningskoeffisienten er null.

Parallell projeksjon bevarer grunnleggende egenskaper perspektivene er:

1) projeksjonen av et punkt er et punkt;

2) projeksjonen av en rett linje i det generelle tilfellet vil være en rett linje;

3) hvert punkt som tilhører en linje tilsvarer projeksjonen av dette punktet på projeksjonen av denne linjen.

I tillegg har parallell projeksjon en rekke (bare iboende) egenskaper:

4) hvis et punkt ligger på et rett linjesegment, deler projeksjonen av dette punktet projeksjonen av segmentet i samme forhold som

punktet deler segmentet, dvs. AC/CB=ess/cb(fig. 5);

5) projeksjonen av de kryssende segmentene vil også være de kryssende segmentene, og punktet for deres skjæring vil være projeksjonen av skjæringspunktet for disse segmentene (fig. 3);

6) projeksjonene av parallelle segmenter er parallelle, i samme retning, og deres forhold er lik forholdet mellom lengdene til segmentene, dvs. abcd og AB/CD=ab/cd(fig. 4);

i rektangulær projeksjon projiseres en rett vinkel i rett vinkel bare hvis en av sidene er parallell med projeksjonsplanet, og den andre ikke er en projeksjonsstråle (rettvinklet projeksjonsteorem).