Glidende gjennomsnitt og eksponentielle utjevningsmetoder. Glidende gjennomsnittlig eksponentiell utjevningsmetode i Excel

Identifisering og analyse av trenden til en tidsserie gjøres ofte ved hjelp av justering eller utjevning. Eksponentiell utjevning er en av de enkleste og vanligste seriejusteringsteknikkene. Eksponentiell utjevning kan representeres som et filter, hvis inngang mottas sekvensielt av medlemmene i den opprinnelige serien, og de nåværende verdiene til det eksponentielle gjennomsnittet dannes ved utgangen.

La være en tidsserie.

Eksponentiell utjevning av serien utføres iht tilbakevendende formel: , .

Jo mindre α, jo mer blir filtrert, oscillasjoner i den originale serien og støy undertrykkes.

Hvis denne rekursive relasjonen brukes konsekvent, kan det eksponentielle gjennomsnittet uttrykkes i form av verdiene til tidsserien X.

Hvis tidligere data eksisterer når utjevningen starter, kan det aritmetiske gjennomsnittet av alle eller noen av de tilgjengelige dataene brukes som startverdi.

Etter utseendet til verkene til R. Brown, brukes ofte eksponentiell utjevning for å løse problemet med kortsiktige prognoser for tidsserier.

Formulering av problemet

La tidsserien gis: .

Det er nødvendig å løse problemet med tidsserieprognoser, dvs. finne

Prognosehorisont, er det nødvendig at

For å ta hensyn til foreldelse av data, introduserer vi en ikke-økende sekvens av vekter, deretter

Brun modell

Anta at D er liten (kortsiktig prognose), så bruk for å løse et slikt problem brun modell.

Hvis vi vurderer prognosen et skritt foran, så - feilen i denne prognosen, og den nye prognosen er oppnådd som et resultat av å justere den forrige prognosen, tatt i betraktning dens feil - essensen av tilpasning.

I korttidsprognoser er det ønskelig å reflektere nye endringer så raskt som mulig og samtidig «rense» serien fra tilfeldige svingninger best mulig. At. øke vekten av nyere observasjoner: .

På den annen side, for å glatte tilfeldige avvik, α må reduseres: .

At. disse to kravene er i konflikt. Søket etter en kompromissverdi av α er problemet med modelloptimalisering. Vanligvis tas α fra intervallet (0,1/3).

Eksempler

Arbeid eksponensiell utjevning med α=0,2 basert på data fra månedlige rapporter om salg av et utenlandsk bilmerke i Russland for perioden fra januar 2007 til oktober 2008. La oss merke oss kraftige fall i januar og februar, når salget tradisjonelt synker og øker ved begynnelsen av sommeren .

Problemer

Modellen fungerer kun med en liten prognosehorisont. Trend og sesongmessige endringer er ikke tatt i betraktning. For å ta hensyn til deres innflytelse, foreslås det å bruke følgende modeller: Holt (lineær trend er tatt i betraktning), Holt-Winters (multiplikativ eksponentiell trend og sesongvariasjon), Theil-Wage (additiv lineær trend og sesongvariasjon).

Eksponensiell utjevning - en metode for utjevning av tidsserier, hvis beregningsprosedyre inkluderer behandling av alle tidligere observasjoner, mens det tas hensyn til foreldelse av informasjon når den beveger seg bort fra prognoseperioden. Med andre ord, jo "eldre" observasjonen er, jo mindre bør den påvirke verdien av det prediktive estimatet. Ideen bak eksponentiell utjevning er at etter hvert som de tilsvarende observasjonene blir "aldret", blir det gitt synkende vekter.

Denne prognosemetoden anses å være svært effektiv og pålitelig. De viktigste fordelene med metoden er muligheten til å ta hensyn til vektene bakgrunnsinformasjon, i enkelheten til beregningsoperasjoner, i fleksibiliteten ved å beskrive ulike dynamiske prosesser. Den eksponentielle utjevningsmetoden gjør det mulig å få et estimat av trendparametrene som kjennetegner gjennomsnittlig nivå prosessen, men trenden på tidspunktet for siste observasjon. Metoden har funnet størst anvendelse for implementering av mellomlangsiktige prognoser. For den eksponentielle utjevningsmetoden er hovedpoenget valget av utjevningsparameteren (utjevningskonstanten) og startbetingelser.

En enkel eksponentiell utjevning av tidsserier som inneholder en trend fører til systematisk feil assosiert med forsinkelsen til de utjevnede verdiene fra de faktiske nivåene i tidsserien. For å ta hensyn til trenden i ikke-stasjonære serier, brukes en spesiell to-parameter lineær eksponentiell utjevning. I motsetning til enkel eksponentiell utjevning med én utjevningskonstant (parameter), jevner denne prosedyren ut både tilfeldige forstyrrelser og trenden samtidig ved å bruke to forskjellige konstanter (parametere). To-parameter utjevningsmetoden (Holt-metoden) inkluderer to ligninger. Den første er for å jevne ut de observerte verdiene, og den andre er for trendutjevning:

hvor jeg - 2, 3, 4 - perioder med utjevning; 5, - utjevnet verdi for perioden £; U, - den faktiske verdien av nivået for perioden 1 5, 1 - utjevnet verdi for perioden b-b- utjevnet trendverdi for perioden 1 - utjevnet verdi for perioden JEG- 1; MEN og B er utjevningskonstanter (tall mellom 0 og 1).

Utjevningskonstanter A og B karakterisere vektingsfaktoren til observasjonene. Vanligvis L. PÅ< 0,3. Siden (1 - MEN)< 1, (1 - PÅ)< 1, så avtar de eksponentielt når observasjonen beveger seg bort fra gjeldende periode JEG. Derfor kalles denne prosedyren eksponentiell utjevning.

En ligning legges til den generelle prosedyren for å jevne ut trenden. Hvert nytt trendestimat oppnås som en vektet sum av differansen mellom de to siste utjevnede verdiene (det nåværende trendestimatet) og det forrige utjevnede estimatet. Denne ligningen gjør det mulig å redusere påvirkningen av tilfeldige forstyrrelser på trenden over tid.

Prognose ved bruk av eksponentiell utjevning ligner på den "naive" prognoseprosedyren, når prognoseestimatet for i morgen antas å være lik dagens verdi. PÅ denne saken som en prognose for én periode fremover, vurderes den utjevnede verdien for den gjeldende perioden pluss den nåværende utjevnede trendverdien:

Denne prosedyren kan brukes til å spå for et hvilket som helst antall perioder, for eksempel t perioder:

Prognoseprosedyren starter med at den utjevnede verdien 51 antas å være lik den første observasjonen Y, dvs. 5, = Y,.

Det er et problem med å bestemme startverdien til trenden 6]. Det er to måter å evaluere på bx.

Metode 1. La oss sette bx = 0. Denne tilnærmingen fungerer godt i tilfelle av en lang innledende tidsserie. Da vil den utjevnede trenden for et lite antall perioder nærme seg den faktiske verdien av trenden.

Metode 2. Kan få mer nøyaktig estimat 6 ved å bruke de første fem (eller flere) observasjonene av tidsserien. Basert på dem, gyu-metoden minste kvadrater ligningen er løst Y(= a + b x g. Verdi b tas som startverdien av trenden.

Ekstrapolering er en metode Vitenskapelig forskning, som er basert på fordelingen av tidligere og nåværende trender, mønstre, forhold til fremtidig utvikling av prognoseobjektet. Ekstrapoleringsmetoder inkluderer glidende gjennomsnittsmetode, eksponentiell utjevningsmetode, minste kvadraters metode.

Eksponentiell utjevningsmetode mest effektive i utviklingen av prognoser på mellomlang sikt. Det er akseptabelt når prognoser bare én periode fremover. Dens viktigste fordeler er enkelheten i beregningsprosedyren og muligheten til å ta hensyn til vektene til den første informasjonen. Arbeidsformelen til den eksponentielle utjevningsmetoden er:

Det er to problemer med prognoser ved å bruke denne metoden:

valg av verdien av utjevningsparameteren α;
bestemmelse av startverdien Uo.

Verdien av α avhenger hvor raskt vekten av påvirkningen fra tidligere observasjoner avtar. Jo større α, jo mindre innflytelse fra tidligere år. Hvis verdien av α er nær enhet, fører dette til at man i prognosen hovedsakelig tar hensyn til påvirkningen av kun de siste observasjonene. Hvis verdien av α er nær null, avtar vektene som nivåene i tidsserien vektes med sakte, dvs. prognosen tar hensyn til alle (eller nesten alle) tidligere observasjoner.

Således, hvis det er tillit til at startforholdene som prognosen er utviklet på grunnlag av er pålitelige, bør en liten verdi av utjevningsparameteren (α→0) brukes. Når utjevningsparameteren er liten, oppfører funksjonen som studeres seg som gjennomsnittet av et stort antall tidligere nivåer. Hvis det ikke er nok tillit til de innledende forholdene til prognosen, bør en stor verdi av α brukes, noe som vil føre til at man i prognosen hovedsakelig tar hensyn til påvirkningen av nylige observasjoner.

presis metode det er ingen utjevningsparameter α for å velge den optimale verdien for utjevningsparameteren. PÅ enkeltsaker forfatteren av denne metoden, professor Brown, foreslo å bestemme verdien av α basert på lengden på utjevningsintervallet. I dette tilfellet beregnes α av formelen:

hvor n er antall observasjoner inkludert i utjevningsintervallet.

Uo valg problem (eksponentielt vektet startgjennomsnitt) løses på følgende måter:

hvis det er data om utviklingen av fenomenet i fortiden, kan du bruke det aritmetiske gjennomsnittet og likestille Uo med det;
hvis det ikke er slik informasjon, brukes den første første verdien av prognosebasen Y1 som Uo.

Du kan også bruke ekspertuttalelser.

Merk at når du studerer økonomiske tidsserier og prognoser økonomiske prosesser Den eksponentielle utjevningsmetoden fungerer ikke alltid. Dette skyldes det faktum at økonomiske tidsserier er for korte (15-20 observasjoner), og i tilfellet når veksten og vekstratene er høye, denne metoden«har ikke tid» til å reflektere alle endringene.

Et eksempel på bruk av den eksponentielle utjevningsmetoden for å utvikle en prognose

En oppgave . Det finnes data som karakteriserer nivået på arbeidsledigheten i regionen, %

Bygg en prognose for arbeidsledigheten i regionen for månedene november, desember, januar, ved å bruke metodene: glidende gjennomsnitt, eksponentiell utjevning, minste kvadrater.
Beregn feilene i de resulterende prognosene ved å bruke hver metode.
Sammenlign de oppnådde resultatene, trekk konklusjoner.

Eksponentiell utjevningsløsning

1) Bestem verdien av utjevningsparameteren ved hjelp av formelen:

hvor n er antall observasjoner inkludert i utjevningsintervallet. a = 2/ (10+1) = 0,2

2) Vi definerer Opprinnelig verdi Uo på to måter:
Metode I (aritmetisk gjennomsnitt) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
Metode II (vi tar den første verdien av prognosegrunnlaget) Uo = 2,99

3) Beregn det eksponentielt vektede gjennomsnittet for hver periode ved å bruke formelen

der t er perioden før prognoseperioden; t+1 – prognoseperiode; Ut+1 - antatt indikator; α - utjevningsparameter; Уt er den faktiske verdien av den studerte indikatoren for perioden før prognosen; Ut - eksponentielt vektet gjennomsnitt for perioden før prognoseperioden.

For eksempel:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 \u003d 2,37 (I-metoden)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 \u003d 2,43 (I-metoden), etc.

Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,99 (II-metode)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,92 (II-metode)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 \u003d 2,86 (II-metode), etc.

4) Ved å bruke samme formel beregner vi den anslåtte verdien
Unovember \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 \u003d 1,95 (I-metoden)
Unovember \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (II-metode)
Vi legger resultatene i en tabell.

5) Beregn gjennomsnittlig relativ feil ved å bruke formelen:

ε = 209,58/10 = 20,96 % (metode I)
ε = 255,63/10 = 25,56 % (metode II)

I alle tilfeller prognosenøyaktighet er tilfredsstillende fordi gjennomsnittet relativ feil faller innenfor området 20-50 %.

Bestemmer seg denne oppgaven metoder glidende gjennomsnitt og minste kvadrater La oss trekke konklusjoner.

PhD i økonomi, direktør for vitenskap og utvikling av CJSC "KIS"

Eksponentiell utjevningsmetode

Utviklingen av nye og analyser av kjente styringsteknologier som forbedrer effektiviteten til forretningsstyring blir spesielt relevant for russiske bedrifter for tiden. Et av de mest populære verktøyene er budsjetteringssystemet, som er basert på dannelsen av virksomhetens budsjett med påfølgende kontroll over gjennomføringen. Budsjettet er en balansert kortsiktig kommersielle, produksjonsmessige, finansielle og økonomiske planer for utvikling av organisasjonen. Selskapets budsjett inneholder mål som er beregnet på grunnlag av prognosedata. Den viktigste budsjetteringsprognosen for enhver virksomhet er salgsprognosen. I tidligere artikler ble det foretatt en analyse av de additive og multiplikative modellene og det anslåtte salgsvolumet for de påfølgende periodene ble beregnet.

Ved analyse av tidsserier ble metoden med glidende gjennomsnitt brukt, der alle data, uavhengig av perioden de forekom, er like. Det er en annen måte som vekter tilordnes data på, nyere data tillegges mer vekt enn tidligere data.

Den eksponentielle utjevningsmetoden, i motsetning til den glidende gjennomsnittsmetoden, kan også brukes for kortsiktige prognoser for den fremtidige trenden for en periode fremover og korrigerer automatisk enhver prognose i lys av forskjeller mellom det faktiske og predikerte resultatet. Derfor har metoden en klar fordel fremfor den tidligere vurderte.

Navnet på metoden kommer fra det faktum at den produserer eksponentielt vektede glidende gjennomsnitt over hele tidsserien. Med eksponentiell utjevning tas alle tidligere observasjoner i betraktning - den forrige tas med i maksvekten, den forrige - med en litt lavere, påvirker den tidligste observasjonen resultatet med minimum statistisk vekt.

Algoritmen for å beregne eksponentielt utjevnede verdier på et hvilket som helst punkt i i-serien er basert på tre størrelser:

den faktiske verdien av Ai på et gitt punkt i rad i,
prediksjon på et punkt i serien Fi
noen forhåndsbestemt utjevningskoeffisient W, konstant gjennom hele serien.

Den nye prognosen kan skrives som:

Beregning av eksponentielt utjevnede verdier

På praktisk bruk eksponentiell utjevningsmetode er det to problemer: valget av utjevningsfaktor (W), som i stor grad påvirker resultatene og definisjonen innledende tilstand(Fi). På den ene siden, for å jevne ut tilfeldige avvik, må verdien reduseres. På den annen side, for å øke vekten av nye målinger, må du øke.

Selv om W i prinsippet kan ta en hvilken som helst verdi fra området 0< W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При høye verdier utjevningskoeffisienten tar i større grad hensyn til øyeblikkelige nåværende observasjoner av responsen (for bedrifter i dynamisk utvikling), og omvendt, ved lave verdier, bestemmes den utjevnede verdien i større grad av den tidligere utviklingstrenden enn nåværende tilstand systemrespons (under forhold med stabil markedsutvikling).

Valget av utjevningskonstantfaktor er subjektivt. Analytikere fra de fleste firmaer bruker sine egne tradisjonelle betydninger W. Så ifølge publiserte data i den analytiske avdelingen til Kodak, er verdien på 0,38 tradisjonelt brukt, og hos Ford Motors er den 0,28 eller 0,3.

Manuell beregning av eksponentiell utjevning krever ekstremt mye monotont arbeid. La oss for eksempel beregne det anslåtte volumet for 13. kvartal, hvis det er salgsdata for de siste 12 kvartalene, ved å bruke den enkle eksponentielle utjevningsmetoden.

Anta at for første kvartal var salgsprognosen 3. Og la utjevningsfaktoren W = 0,8.

Fyll ut den tredje kolonnen i tabellen, og bytt ut verdien av den forrige for hvert påfølgende kvartal i henhold til formelen:

For 2 kvartaler F2 = 0,8 * 4 (1-0,8) * 3 = 3,8
For 3. kvartal F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

På samme måte beregnes en utjevnet verdi for koeffisienten 0,5 og 0,33.

Salgsprognoseberegning

Prognosen for salgsvolum ved W = 0,8 for 13. kvartal var 13,3 tusen rubler.

Disse dataene kan presenteres i grafisk form:

Eksponensiell utjevning

Hvor mye Værmelding NÅ! bedre modell Eksponentiell utjevning (ES) kan du se i diagrammet nedenfor. På X-aksen - varenummeret, på Y-aksen - prosentvis forbedring av kvaliteten på prognosen. Beskrivelse av modellen, en detaljert studie, resultatene av eksperimenter, les nedenfor.

Modellbeskrivelse

Eksponentiell utjevning prognoser er en av de mest enkle måter prognoser. En prognose kan kun fås for én periode fremover. Hvis prognoser utføres i form av dager, så bare én dag frem, hvis uker, så én uke.

Til sammenligning ble prognoser utført en uke frem i 8 uker.

Hva er eksponentiell utjevning?

La raden FRA representerer den opprinnelige salgsserien for prognoser

C(1)- første ukes salg FRA(2) i den andre og så videre.

Figur 1. Salg etter uke, serie FRA

Likeledes en rad S representerer en eksponentielt jevnet serie av salg. Koeffisienten α er fra null til én. Det viser seg som følger, her er det et tidspunkt (dag, uke)

S (t+1) = S(t) + α *(С(t) - S(t))

Store verdier av utjevningskonstanten α øker responsen til prognosen på hoppet i den observerte prosessen, men kan føre til uforutsigbare utligninger, fordi utjevning vil være nesten fraværende.

For første gang etter starten av observasjoner, med bare ett resultat av observasjoner C (1) når prognosen S (1) nei, og det er fortsatt umulig å bruke formel (1), som en prognose S (2) bør ta C (1) .

Formelen kan enkelt skrives om i en annen form:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * FRA (t).

Dermed, med en økning i utjevningskonstanten, øker andelen av nylige salg, og andelen av utjevnede tidligere salg synker.

Konstanten α velges empirisk. Vanligvis lages det flere prognoser for ulike konstanter og den mest optimale konstanten velges i forhold til det valgte kriteriet.

Kriteriet kan være nøyaktigheten av prognoser for tidligere perioder.

I vår studie vurderte vi eksponentielle utjevningsmodeller der α tar verdiene (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). For sammenligning med prognosen NÅ! for hvert produkt ble det laget prognoser for hver α, og den mest nøyaktige prognosen ble valgt. I virkeligheten vil situasjonen være mye mer komplisert, brukeren, som ikke vet på forhånd nøyaktigheten til prognosen, må bestemme koeffisienten α, som kvaliteten på prognosen avhenger veldig mye av. Her er en så ond sirkel.

helt klart

Figur 2. α =0,2, graden av eksponentiell utjevning er høy, reelt salg er dårlig tatt i betraktning

Figur 3. α =0,4 , graden av eksponentiell utjevning er gjennomsnittlig, reelt salg er tatt med i gjennomsnittsgraden

Du kan se hvordan etter hvert som den konstante α øker, samsvarer den utjevnede serien mer og mer reelt salg, og hvis det er uteliggere eller anomalier, vil vi få en veldig unøyaktig prognose.

Figur 4. α =0,6 , graden av eksponentiell utjevning er lav, reelt salg tas betydelig i betraktning

Vi kan se at ved α=0,8 gjentar serien nesten nøyaktig den opprinnelige, noe som betyr at prognosen har en tendens til regelen "det samme beløpet vil bli solgt som i går"

Det skal bemerkes at her er det absolutt umulig å fokusere på tilnærmingsfeilen til de opprinnelige dataene. Du kan oppnå en perfekt match, men få en uakseptabel spådom.

Figur 5. α = 0,8, graden av eksponentiell utjevning er ekstremt lav, reelt salg tas sterkt i betraktning

Eksempler på prognoser

La oss nå se på spådommene som er laget ved hjelp av forskjellige betydninger en. Som det fremgår av figur 6 og 7, jo større utjevningskoeffisienten er, desto mer nøyaktig gjentar den reelle salg med en forsinkelse på ett trinn, prognosen. En slik forsinkelse kan faktisk være kritisk, så du kan ikke bare velge maksimal verdi en. Ellers vil vi ende opp med en situasjon hvor vi sier at det skal selges nøyaktig like mye som det ble solgt i forrige periode.

Figur 6. Prediksjon av eksponentiell utjevningsmetode for α=0,2

Figur 7. Prediksjon av eksponentiell utjevningsmetode for α=0,6

La oss se hva som skjer når α = 1,0. Husk at S - spådd (utjevnet) salg, C - reelt salg.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * FRA (t).

S (t+1) = FRA (t).

Salg på dag t+1 er spådd å være lik salget forrige dag. Derfor må valget av en konstant tilnærmes klokt.

Sammenligning med prognose NÅ!

Vurder nå denne prognosemetoden sammenlignet med prognose NÅ!. Sammenligningen ble utført på 256 produkter som har ulikt salg, med kortsiktig og langsiktig sesongvariasjon, med «dårlig» salg og mangel, lagerbeholdning og andre ytterliggere. For hvert produkt ble det bygget en prognose ved hjelp av den eksponentielle utjevningsmodellen, for ulike α ble den beste valgt og sammenlignet med prognosen ved å bruke prognosen NÅ!

I tabellen nedenfor kan du se verdien av prognosefeilen for hvert produkt. Feilen her ble ansett som RMSE. Dette er roten til standardavvik spådom fra virkeligheten. Grovt sett viser den med hvor mange vareenheter vi avvek i prognosen. Forbedringen viser med hvor mange prosent prognosen NÅ! det er bedre hvis tallet er positivt, og verre hvis det er negativt. I figur 8 viser x-aksen varer, y-aksen indikerer hvor mye prognosen NÅ! bedre enn eksponentiell utjevningsprediksjon. Som du kan se fra denne grafen, prognose NÅ! nesten alltid dobbelt så høy og nesten aldri verre. I praksis betyr dette at bruk av Forecast NÅ! vil tillate å halvere lagre eller redusere mangel.