Kraftmoment og treghetsmoment

I dynamikken til translasjonsbevegelsen til et materiellt punkt, i tillegg til kinematiske egenskaper, ble begrepene kraft og masse introdusert. Når man studerer dynamikken i rotasjonsbevegelse, introduseres fysiske mengder - dreiemoment og treghetsmoment, hvis fysiske betydning vil bli diskutert nedenfor.

La noen kropp under påvirkning av en kraft påført på et punkt MEN, kommer i rotasjon rundt aksen OO "(Figur 5.1).

Figur 5.1 - Til konklusjonen av begrepet kraftmoment

Kraften virker i et plan vinkelrett på aksen. Vinkelrett R, falt fra poenget O(ligger på aksen) til retningen av kraften, kalt skulder av styrke. Produktet av kraften på skulderen bestemmer modulen kraftmoment i forhold til punktet O:

(5.1)

Kraftens øyeblikk er en vektor bestemt av vektorproduktet til radiusvektoren til kraftpåføringspunktet og kraftvektoren:

(5.2)

Enhet for kraftmoment - newton meter(H . m). Retningen til vektoren til kraftmomentet finnes ved hjelp av riktige skruregler.

Et mål på tregheten til legemer i translasjonsbevegelse er massen. Tregheten til legemer under rotasjonsbevegelse avhenger ikke bare av massen, men også av dens fordeling i rommet i forhold til rotasjonsaksen. Treghetsmålet under rotasjonsbevegelse er en størrelse som kalles kroppens treghetsmoment om rotasjonsaksen.

Treghetsmoment for et materialpunkt i forhold til rotasjonsaksen - produktet av massen til dette punktet med kvadratet av avstanden fra aksen:

kroppens treghetsmoment om rotasjonsaksen - summen av treghetsmomentene til de materielle punktene som utgjør denne kroppen:

(5.4)

I det generelle tilfellet, hvis kroppen er solid og er en samling av punkter med små masser dm, treghetsmomentet bestemmes av integrasjon:

, (5.5)

hvor r- avstand fra rotasjonsaksen til masseelementet d m.

Hvis kroppen er homogen og dens tetthet ρ = m/V, deretter treghetsmomentet til kroppen

(5.6)

Treghetsmomentet til et legeme avhenger av hvilken akse det roterer og hvordan kroppens masse er fordelt over hele volumet.

Treghetsmomentet til legemer som har riktig geometrisk form og en jevn fordeling av masse over volum bestemmes enklest.

Treghetsmoment for en homogen stang om aksen som går gjennom treghetssenteret og vinkelrett på stangen,

Treghetsmoment for en homogen sylinder om en akse vinkelrett på basen og som går gjennom treghetssenteret,

(5.8)

Treghetsmoment for en tynnvegget sylinder eller bøyle om en akse vinkelrett på grunnplanet og som går gjennom midten,

Treghetsøyeblikk for ballen i forhold til diameter

(5.10)

La oss bestemme treghetsmomentet til skiven rundt aksen som går gjennom treghetssenteret og vinkelrett på rotasjonsplanet. La massen til disken være m, og dens radius er R.

Området av ringen (Figur 5.2) innelukket mellom r og , er lik .

Figur 5.2 - Til konklusjonen av treghetsmomentet til disken

Diskområde. Med en konstant ringtykkelse,

hvorfra eller .

Deretter treghetsmomentet til disken,

For klarhets skyld viser figur 5.3 homogene faste stoffer av ulike former og angir treghetsmomentene til disse legene rundt aksen som går gjennom massesenteret.

Figur 5.3 - Treghetsmomenter Jeg C noen homogene faste stoffer.

Steiners teorem

Formlene ovenfor for treghetsmomentene til legemer er gitt under forutsetning av at rotasjonsaksen går gjennom treghetssenteret. For å bestemme treghetsmomentene til et legeme rundt en vilkårlig akse, bør man bruke Steiners teorem : kroppens treghetsmoment om en vilkårlig rotasjonsakse er lik summen av treghetsmomentet J 0 om aksen parallelt med den gitte og som går gjennom kroppens treghetssenter, og verdien md 2:

(5.12)

hvor m- kroppsmasse, d- avstand fra massesenteret til den valgte rotasjonsaksen. Treghetsmomentenhet - kilogram-meter i kvadrat (kg . m 2).

Så, treghetsmomentet til en homogen lengdestang l med hensyn til aksen som går gjennom dens ende, ifølge Steiner-setningen er lik

Vurder problemet nå bestemmelse av treghetsmomentet ulike organer. Generell formel for å finne treghetsmomentet objekt i forhold til z-aksen har formen

Med andre ord, du må legge til alle massene, multiplisere hver av dem med kvadratet på avstanden fra aksen (x 2 i + y 2 i). Merk at dette gjelder selv for en tredimensjonal kropp, selv om avstanden har et slikt "todimensjonalt utseende". Imidlertid vil vi i de fleste tilfeller begrense oss til todimensjonale kropper.

Som et enkelt eksempel, betrakt en stang som roterer rundt en akse som går gjennom enden og vinkelrett på den (fig. 19.3). Vi må nå summere alle massene multiplisert med kvadratene av avstanden x (i dette tilfellet er alle y null). Med sum mener jeg selvfølgelig integralet av x 2 multiplisert med "elementene" til massen. Hvis vi deler stangen i stykker med lengde dx, vil det tilsvarende masseelementet være proporsjonalt med dx, og hvis dx var lengden på hele stangen, ville massen være lik M. Derfor

Dimensjonen til treghetsmomentet er alltid lik massen ganger kvadratet på lengden, så den eneste signifikante verdien vi har beregnet er faktoren 1/3.

Og hva blir treghetsmomentet I hvis rotasjonsaksen går gjennom midten av stangen? For å finne det, må vi igjen ta integralet, men allerede i området fra -1/2L til +1/2L. Vær imidlertid oppmerksom på ett trekk ved denne saken. En slik stang med en akse som går gjennom midten kan tenkes som to stenger med en akse som går gjennom enden, hver med en masse på M/2 og en lengde på L/2. Treghetsmomentene til to slike stenger er lik hverandre og beregnes ved formel (19.5). Derfor er treghetsmomentet til hele stangen

Dermed er stangen mye lettere å vri på midten enn på enden.

Det er selvfølgelig mulig å fortsette beregningen av treghetsmomentene til andre kropper av interesse for oss. Men siden slike beregninger krever mye erfaring med å beregne integraler (som er veldig viktig i seg selv), er de som sådan av liten interesse for oss. Imidlertid er det noen veldig interessante og nyttige teoremer her. La det være litt kropp og vi vil vite det treghetsmoment om en eller annen akse. Dette betyr at vi ønsker å finne dens treghet når vi roterer rundt denne aksen. Hvis vi beveger legemet ved at stangen støtter massesenteret slik at det ikke dreier seg under rotasjon rundt aksen (i dette tilfellet virker ingen treghetsmomenter på den, så kroppen vil ikke snu når vi begynner å bevege den) , så for å snu den trenger du nøyaktig samme kraft som om all massen var konsentrert i massesenteret og treghetsmomentet rett og slett ville vært lik I 1 = MR 2 c.m. , hvor R c.m er avstanden fra massesenteret til rotasjonsaksen. Imidlertid er denne formelen selvfølgelig feil. Det gir ikke det riktige treghetsmomentet til kroppen. Tross alt, i virkeligheten, når du snur, roterer kroppen. Ikke bare massesenteret spinner (noe som ville gitt verdien I 1), kroppen selv må også rotere i forhold til massesenteret. Til treghetsmomentet I 1 må du altså legge til I c - treghetsmomentet om massesenteret. Det riktige svaret er at treghetsmomentet om enhver akse er

Denne teoremet kalles parallellakse-translasjonsteoremet. Det bevises veldig enkelt. Treghetsmomentet om enhver akse er lik summen av massene multiplisert med summen av kvadratene av x og y, dvs. I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Vi vil nå fokusere oppmerksomheten på x, men det samme kan sies om y. La x-koordinaten være avstanden til et gitt bestemt punkt fra origo; la oss imidlertid se hvordan ting endres hvis vi måler avstanden x` fra massesenteret i stedet for x fra origo. For å finne ut må vi skrive
x i = x` i + X c.m.
Kvadring av dette uttrykket finner vi
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Hva skjer hvis du ganger det med m i og summerer alle r? Ved å ta konstantene ut av summeringstegnet finner vi

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm jeg

Den tredje summen er enkel å beregne; det er bare MX 2 ts.m. . Det andre leddet består av to faktorer, hvorav den ene er Σm i x` i ; den er lik x`-koordinaten til massesenteret. Men dette må være null, fordi x` måles fra massesenteret, og i dette koordinatsystemet er gjennomsnittsposisjonen til alle partiklene, vektet av massene deres, null. Det første leddet er åpenbart en del av x fra I c. Dermed kommer vi til formel (19.7).

La oss sjekke formel (19.7) med ett eksempel. La oss bare sjekke om det vil være aktuelt for stanga. Vi har allerede funnet at treghetsmomentet til stangen i forhold til dens ende må være lik ML 2 /3. Og massesenteret til stangen er selvfølgelig i en avstand på L/2. Så vi bør få at ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Siden en fjerdedel + en tolvtedel = en tredjedel, gjorde vi ingen feil.

For å finne treghetsmomentet (19,5) er det forresten slett ikke nødvendig å beregne integralet. Man kan ganske enkelt anta at den er lik verdien av ML 2 multiplisert med en ukjent koeffisient γ. Etter det kan man bruke resonnementet om to halvdeler og få koeffisienten 1/4γ for treghetsmomentet (19.6). Ved å bruke parallellakse-oversettelsesteoremet, beviser vi at γ=1/4γ + 1/4, hvorav γ=1/3. Du kan alltid finne en omvei!

Ved bruk av parallellaksesetningen er det viktig å huske at I-aksen må være parallell med aksen som vi ønsker å beregne treghetsmomentet rundt.

Det er kanskje verdt å nevne en egenskap til, som ofte er svært nyttig for å finne treghetsmomentet til enkelte typer kropper. Den består av følgende: hvis vi har en flat figur og en trippel av koordinatakser med origo plassert i dette planet og z-aksen rettet vinkelrett på det, så er treghetsmomentet til denne figuren om z-aksen lik til summen av treghetsmomentene rundt x- og y-aksene. Det bevises ganske enkelt. Legg merke til det

Treghetsmomentet til en homogen rektangulær plate, for eksempel med masse M, bredde ω og lengde L om en akse vinkelrett på den og som går gjennom midten, er ganske enkelt

siden treghetsmomentet om en akse som ligger i platens plan og parallelt med dens lengde er lik Mω 2 /12, dvs. nøyaktig det samme som for en stang med lengde ω, og treghetsmomentet om en annen akse i samme plan er lik ML 2 / 12, det samme som for en stang med lengde L.

Så, la oss liste egenskapene til treghetsmomentet om en gitt akse, som vi vil kalle z-aksen:

1. Treghetsmomentet er

2. Hvis et objekt består av flere deler, og treghetsmomentet til hver av dem er kjent, så er det totale treghetsmomentet lik summen av treghetsmomentene til disse delene.
3. Treghetsmomentet om en gitt akse er lik treghetsmomentet om en parallell akse gjennom massesenteret, pluss produktet av den totale massen ganger kvadratet på avstanden til den aksen fra massesenteret.
4. Treghetsmomentet til en flat figur om en akse vinkelrett på planet er lik summen av treghetsmomentene om to andre innbyrdes vinkelrette akser som ligger i figurens plan og skjærer den vinkelrette aksen.

I tabellen. 19.1 viser treghetsmomentene til noen elementære figurer som har en jevn massetetthet, og i tabell. 19,2 - treghetsmomenter for noen figurer, som kan hentes fra tabellen. 19.1 ved å bruke egenskapene som er oppført ovenfor.

Parameternavn	Betydning
Artikkelemne:	Treghetsmoment
Rubrikk (tematisk kategori)	Mekanikk

Betrakt et materialpunkt med masse m, som er i en avstand r fra den faste aksen (fig. 26). Treghetsmomentet J til et materialpunkt om en akse kalles vanligvis en skalar fysisk størrelse lik produktet av massen m og kvadratet av avstanden r til denne aksen:

J = mr 2(75)

Treghetsmomentet til systemet med N materialpunkter vil være lik summen av treghetsmomentene til individuelle punkter

(76)

Til definisjonen av treghetsmomentet til et punkt

Hvis massen er distribuert i rommet kontinuerlig, erstattes summering av integrasjon. Kroppen er delt inn i elementære volumer dv, som hver har en masse dm. Resultatet er følgende uttrykk:

(77)

For et legeme som er homogent i volum, er tettheten ρ konstant, og etter å ha skrevet den elementære massen i formen

dm = ρdv, transformerer vi formel (70) som følger:

(78)

Dimensjonen til treghetsmomentet er kg * m 2.

Treghetsmomentet til et legeme er et mål på tregheten til et legeme i rotasjonsbevegelse, akkurat som massen til et legeme er et mål på dets treghet i translasjonsbevegelse.

Treghetsmomentet er et mål på treghetsegenskapene til et stivt legeme under rotasjonsbevegelse, avhengig av massefordelingen i forhold til rotasjonsaksen. Treghetsmomentet avhenger med andre ord av massen, formen, dimensjonene til kroppen og posisjonen til rotasjonsaksen.

Ethvert legeme, uansett om det roterer eller er i hvile, har et treghetsmoment rundt en hvilken som helst akse, akkurat som en kropp har masse, uansett om den er i bevegelse eller i hvile. I likhet med masse er treghetsmomentet en additiv mengde.

I noen tilfeller er den teoretiske beregningen av treghetsmomentet ganske enkel. Nedenfor er treghetsmomentene til noen faste legemer med vanlig geometrisk form rundt en akse som går gjennom tyngdepunktet.

Treghetsmoment for en uendelig flat skive med radius R om en akse vinkelrett på skiveplanet:

Treghetsmoment for en kule med radius R:

Treghetsmoment for en stang med en lengde L i forhold til aksen som går gjennom midten av stangen vinkelrett på den:

Treghetsmoment for en uendelig tynn bøyle med radius R om en akse vinkelrett på planet:

Treghetsmomentet til et legeme om en vilkårlig akse beregnes ved å bruke Steiner-teoremet:

Treghetsmomentet til et legeme om en vilkårlig akse er lik summen av treghetsmomentet om en akse som går gjennom massesenteret parallelt med det gitte, og produktet av kroppens masse ganger kvadratet av avstanden mellom aksene.

Ved å bruke Steiner-teoremet beregner vi treghetsmomentet til en stav med lengde L om aksen som går gjennom enden vinkelrett på den (fig. 27).

Til beregning av treghetsmomentet til stangen

I følge Steiner-teoremet er treghetsmomentet til staven om O′O′-aksen lik treghetsmomentet om OO-aksen pluss md 2. Herfra får vi:

Åpenbart: treghetsmomentet er ikke det samme med hensyn til forskjellige akser, og derfor, når du løser problemer med dynamikken i rotasjonsbevegelse, må treghetsmomentet til kroppen i forhold til aksen som er av interesse for oss hver gang søkes hver for seg. Så, for eksempel, når du designer tekniske enheter som inneholder roterende deler (i jernbanetransport, i flykonstruksjon, elektroteknikk, etc.), er kunnskap om verdiene til treghetsmomentene til disse delene nødvendig. Med en kompleks form på kroppen kan den teoretiske beregningen av treghetsmomentet være vanskelig å utføre. I disse tilfellene er det å foretrekke å måle treghetsmomentet til en ikke-standard del empirisk.

Kraftmoment F i forhold til punkt O

Treghetsmoment - konsept og typer. Klassifisering og funksjoner i kategorien "Treghetsmoment" 2017, 2018.

- Kroppens treghetsmoment om en vilkårlig akse.

Fig.35 La oss tegne vilkårlige akser Cx"y"z" gjennom massesenteret C til kroppen, og gjennom et hvilket som helst punkt O på aksen Cx" - aksene Oxyz, slik at Oy½½Сy", Oz½½Cz" (fig. 35) ). Vi betegner avstanden mellom aksene Cz "og Oz med d. Deretter, som det kan sees av figuren, for et hvilket som helst punkt på kroppen eller, a. Substituere ... .

- Kroppens treghetsmoment

Treghetsmomentet til en kropp er en størrelse som bestemmer dens treghet i rotasjonsbevegelse. I dynamikken til translasjonsbevegelse er tregheten til en kropp fullstendig preget av dens masse. Påvirkningen av kroppens egne egenskaper på dynamikken i rotasjonsbevegelse viser seg å være mer kompleks, ... .

- Forelesning 4-5. Kraftmoment om et fast punkt og en akse. Treghetsmoment, momentum av et materialpunkt og et mekanisk system i forhold til et fast punkt og en akse.

Forelesning 3. Krefter. Masse, momentum av et materialpunkt og et mekanisk system. Dynamikk av translasjonsbevegelse i treghetsreferansesystemer. Loven om endring i momentumet til et mekanisk system. Lov om bevaring av momentum. Dynamikk studerer kroppens bevegelser, tar hensyn til årsakene, ... .

- Treghetsmomentet til en stiv kropp.

La oss analysere formelen for treghetsmomentet til en stiv kropp. Treghetsmomentet avhenger av 1) kroppens masse, 2) kroppens form og dimensjoner, 3) posisjonen til rotasjonsaksen i forhold til kroppen (fig. 2). 2a Fig.2b Så, treghetsmomentet er et mål på kroppens treghet under rotasjonsbevegelse,... .

– Treghetsmomentet om sentralaksen kalles det sentrale treghetsmomentet.

Treghetsmomentet om en hvilken som helst akse er lik treghetsmomentet om den sentrale aksen parallelt med den gitte, pluss produktet av arealet til figuren og kvadratet på avstanden mellom aksene. Fra formelen kan det sees at treghetsmomentet rundt sentralaksen er mindre enn øyeblikket ...

Treghetsmoment
For å beregne treghetsmomentet må vi mentalt dele kroppen inn i tilstrekkelig små elementer, hvis punkter kan betraktes som å ligge i samme avstand fra rotasjonsaksen, og deretter finne produktet av massen til hvert element ved kvadratet av avstanden fra aksen, og oppsummer til slutt alle de resulterende produktene. Det er klart at dette er en veldig arbeidskrevende oppgave. For telling
treghetsmomenter av legemer med vanlig geometrisk form, i noen tilfeller kan metodene for integralregning brukes.
Å finne den endelige summen av treghetsmomentene til elementene i kroppen vil bli erstattet av summeringen av et uendelig stort antall treghetsmomenter beregnet for uendelig små elementer:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (på ∆m → 0).
La oss beregne treghetsmomentet til en homogen skive eller en solid sylinder med en høyde h om sin symmetriakse

La oss dele disken inn i elementer i form av tynne konsentriske ringer med sentre på symmetriaksen. De resulterende ringene har en indre diameter r og eksterne r + dr, og høyden h. Fordi dr<< r , så kan vi anta at avstanden til alle punktene i ringen fra aksen er r.
For hver enkelt ring, treghetsmomentet
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
hvor ΣΔm er massen av hele ringen.
Ringevolum 2prhdr. Hvis tettheten av diskmaterialet ρ , deretter massen til ringen
ρ2prhdr.
Ringtreghetsmoment
i = 2πρt 3dr.
For å beregne treghetsmomentet til hele disken, er det nødvendig å summere treghetsmomentene til ringene fra midten av disken ( r = 0) til kanten ( r = R), dvs. beregne integralet:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
eller
I = (1/2)πρhR 4.
Men massen til disken m = ρπhR 2, Følgelig,
I = (1/2)mR2.
Vi presenterer (uten beregning) treghetsmomentene for noen kropper med vanlig geometrisk form, laget av homogene materialer


 1. Treghetsmomentet til en tynn ring rundt en akse som går gjennom dens sentrum vinkelrett på planet (eller en tynnvegget hul sylinder rundt dens symmetriakse):
I = mR 2.
 2. Treghetsmoment for en tykkvegget sylinder om symmetriaksen:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
hvor R1− intern og R2− ytre radier.
 3. Treghetsmomentet til skiven om en akse som faller sammen med en av dens diametre:
I = (1/4)mR 2.
 4. Treghetsmomentet til en solid sylinder om en akse vinkelrett på generatrisen og som går gjennom midten:
I \u003d m (R 2/4 + h 2/12)
hvor R- radius av sylinderens base, h er høyden på sylinderen.
 5. Treghetsmomentet til en tynn stang rundt en akse som går gjennom midten:
I = (1/12) ml 2,
hvor l er lengden på stangen.
 6. Treghetsmomentet til en tynn stang rundt en akse som går gjennom en av endene:
I = (1/3) ml 2
7. Treghetsmomentet til kulen rundt en akse som sammenfaller med en av dens diametre:
I = (2/5)mR2.

Hvis treghetsmomentet til et legeme om en akse som går gjennom dets massesenter er kjent, kan treghetsmomentet rundt en hvilken som helst annen akse parallelt med den første bli funnet på grunnlag av den såkalte Huygens-Steiner-setningen.
kroppens treghetsmoment Jeg i forhold til enhver akse er lik treghetsmomentet til kroppen Er om en akse parallelt med den gitte og som går gjennom kroppens massesenter, pluss kroppens masse m ganger kvadratet av avstanden l mellom aksler:
I \u003d I c + ml 2.
Som et eksempel beregner vi treghetsmomentet til en kule med radius R og vekt m opphengt på en gjenge med lengde l, i forhold til aksen som går gjennom opphengspunktet O. Massen på tråden er liten sammenlignet med massen til ballen. Siden treghetsmomentet til ballen om aksen som går gjennom massesenteret Ic = (2/5)mR2, og avstanden
mellom aksler ( l + R), deretter treghetsmomentet om aksen som går gjennom opphengspunktet:
I = (2/5)mR2 + m(l + R) 2.
Dimensjon av treghetsmomentet:
[I] = [m] × = ML 2.

I forhold til en fast akse ("aksialt treghetsmoment") kalles verdien J a lik summen av produktene av massene av alle n materialpunkter i systemet i kvadratene av deres avstander til aksen:

• m jeg- vekt Jeg-te punkt,
• r jeg- avstand fra Jeg-te punkt til aksen.

Aksial treghetsmoment kropp J a er et mål på tregheten til et legeme i rotasjonsbevegelse rundt en akse, akkurat som massen til et legeme er et mål på dets treghet i translasjonsbevegelse.

Hvis kroppen er homogen, det vil si at dens tetthet er den samme overalt, da

Huygens-Steiners teorem

Treghetsmoment av et fast legeme i forhold til en hvilken som helst akse avhenger ikke bare av kroppens masse, form og størrelse, men også av kroppens posisjon i forhold til denne aksen. I følge Steiner-teoremet (Huygens-Steiner-teoremet), treghetsmoment kropp J i forhold til en vilkårlig akse er lik summen treghetsmoment denne kroppen Jc i forhold til aksen som går gjennom kroppens massesenter parallelt med den betraktede aksen, og produktet av kroppsmassen m per kvadratavstand d mellom aksler:

hvor er kroppens totale masse.

For eksempel er treghetsmomentet til en stang rundt en akse som går gjennom enden:

Aksiale treghetsmomenter for noen kropper

Treghetsøyeblikk homogene kropper av den enkleste formen med hensyn til noen rotasjonsakser

Kropp	Beskrivelse	Akseposisjon en	Treghetsmoment J a
	Materialpunkt med masse m	På avstand r fra et punkt, fast
	Hul tynnvegget sylinder eller ring med radius r og massene m	Sylinder akse
	Solid sylinder- eller skiveradius r og massene m	Sylinder akse
	Hul tykkvegget massesylinder m med ytre radius r2 og indre radius r1	Sylinder akse
	Solid sylinderlengde l, radius r og massene m
	Hul tynnvegget sylinder (ring) lengde l, radius r og massene m	Aksen er vinkelrett på sylinderen og går gjennom massesenteret
	Rett tynn stanglengde l og massene m	Aksen er vinkelrett på stangen og går gjennom massesenteret
	Rett tynn stanglengde l og massene m	Aksen er vinkelrett på stangen og går gjennom enden
	Tynnvegget kule med radius r og massene m	Aksen går gjennom midten av kulen
	kuleradius r og massene m	Aksen går gjennom midten av ballen
	Kjegleradius r og massene m	kjegleakse
	Likebenet trekant med høyde h, utgangspunkt en og vekt m	Aksen er vinkelrett på trekantens plan og går gjennom toppunktet
	Rettvinklet trekant med side en og vekt m	Aksen er vinkelrett på trekantens plan og går gjennom massesenteret
	Firkantet med side en og vekt m	Aksen er vinkelrett på kvadratets plan og går gjennom massesenteret

Utledning av formler

Tynnvegget sylinder (ring, bøyle)

Formelavledning

Treghetsmomentet til et legeme er lik summen av treghetsmomentene til dets bestanddeler. Å dele en tynnvegget sylinder i elementer med en masse dm og treghetsmomenter DJ i. Deretter

Siden alle elementene i en tynnvegget sylinder er i samme avstand fra rotasjonsaksen, konverteres formel (1) til formen

Sylinder med tykk vegg (ring, bøyle)

Formelavledning

La det være en homogen ring med ytre radius R, indre radius R 1, tykk h og tetthet ρ. La oss dele den i tynne ringer med en tykkelse dr. Masse og treghetsmoment for en tynn ring med radius r vil være

Vi finner treghetsmomentet til en tykk ring som et integral

Siden volumet og massen til ringen er like

vi får den endelige formelen for treghetsmomentet til ringen

Homogen skive (solid sylinder)

Formelavledning

Betrakter sylinderen (skiven) som en ring med null indre radius ( R 1 = 0), får vi formelen for treghetsmomentet til sylinderen (skiven):

solid kjegle

Formelavledning

Del kjeglen i tynne skiver med tykkelse dh, vinkelrett på kjeglens akse. Radien til en slik disk er

hvor R er radiusen til kjeglens base, H er høyden på kjeglen, h er avstanden fra toppen av kjeglen til skiven. Massen og treghetsmomentet til en slik skive vil være

Integrering, får vi

Solid uniformsball

Formelavledning

Del ballen i tynne skiver dh, vinkelrett på rotasjonsaksen. Radien til en slik skive plassert i en høyde h fra midten av sfæren, finner vi ved formelen

Massen og treghetsmomentet til en slik skive vil være

Vi finner treghetsmomentet til sfæren ved å integrere:

tynnvegget kule

Formelavledning

For utledningen bruker vi formelen for treghetsmomentet til en homogen kule med radius R:

La oss beregne hvor mye treghetsmomentet til kulen vil endre seg hvis radiusen øker med en uendelig liten verdi ved en konstant tetthet ρ dR.

Tynn stang (aksen går gjennom midten)

Formelavledning

Del stangen i små fragmenter av lengde dr. Massen og treghetsmomentet til et slikt fragment er

Integrering, får vi

Tynn stang (aksen går gjennom enden)

Formelavledning

Når du flytter rotasjonsaksen fra midten av stangen til dens ende, beveger tyngdepunktet til stangen seg i forhold til aksen med en avstand l/2. I følge Steiner-teoremet vil det nye treghetsmomentet være lik

Dimensjonsløse treghetsmomenter for planeter og deres satellitter

Av stor betydning for studier av den indre strukturen til planeter og deres satellitter er deres dimensjonsløse treghetsmomenter. Dimensjonsløst treghetsmoment for et legeme med radius r og massene m er lik forholdet mellom dets treghetsmoment om rotasjonsaksen og treghetsmomentet til et materialpunkt med samme masse i forhold til en fast rotasjonsakse plassert i en avstand r(lik MR 2). Denne verdien gjenspeiler fordelingen av masse i dybden. En av metodene for å måle det i planeter og satellitter er å bestemme Doppler-forskyvningen til radiosignalet som sendes av AMS som flyr rundt en gitt planet eller satellitt. For en tynnvegget kule er det dimensjonsløse treghetsmomentet lik 2/3 (~0,67), for en homogen kule - 0,4, og generelt er jo mindre, jo større masse er kroppen konsentrert i midten. For eksempel har Månen et dimensjonsløst treghetsmoment nær 0,4 (lik 0,391), så det antas at den er relativt homogen, dens tetthet endres lite med dybden. Jordens dimensjonsløse treghetsmoment er mindre enn for en homogen kule (lik 0,335), som er et argument for eksistensen av en tett kjerne i den.

sentrifugalt treghetsmoment

De sentrifugale treghetsmomentene til et legeme i forhold til aksene til et rektangulært kartesisk koordinatsystem er følgende størrelser:

hvor x, y og z- koordinater av et lite element av kroppen med volum dV, tetthet ρ og vekt dm.

OX-aksen kalles kroppens hovedtreghetsakse hvis de sentrifugale treghetsmomentene Jxy og Jxz er samtidig null. Tre hovedtreghetsakser kan trekkes gjennom hvert punkt på kroppen. Disse aksene er gjensidig vinkelrett på hverandre. Treghetsmomenter i kroppen i forhold til de tre hovedtreghetsaksene tegnet på et vilkårlig punkt O kropper kalles kroppens viktigste treghetsmomenter.

De viktigste treghetsaksene som går gjennom kroppens massesenter kalles kroppens viktigste treghetsakser, og treghetsmomentene rundt disse aksene er dens sentrale sentrale treghetsmomenter. Symmetriaksen til et homogent legeme er alltid en av dens sentrale treghetsakser.

Geometrisk treghetsmoment

Geometrisk treghetsmoment - geometrisk karakteristikk av delen av visningen

hvor er avstanden fra den sentrale aksen til et hvilket som helst elementært område i forhold til den nøytrale aksen.

Det geometriske treghetsmomentet er ikke relatert til bevegelsen av materialet, det gjenspeiler bare graden av stivhet av seksjonen. Den brukes til å beregne svingningsradius, bjelkeavbøyning, seksjonsvalg av bjelker, søyler, etc.

SI-måleenheten er m 4 . Spesielt i konstruksjonsberegninger, litteratur og sortimenter av valset metall er det angitt i cm 4.

Fra den er seksjonsmodulen uttrykt:

.

Geometriske treghetsmomenter for noen figurer
Rektangelhøyde og -bredde:
Rektangulært kasseparti med høyde og bredde langs ytre konturer og , og langs indre og hhv.
Sirkeldiameter

Sentralt treghetsmoment

Sentralt treghetsmoment(eller treghetsmomentet om punktet O) er mengden

Det sentrale treghetsmomentet kan uttrykkes i form av de viktigste aksiale eller sentrifugale treghetsmomentene: .

Treghetstensor og treghetsellipsoid

Treghetsmomentet til et legeme om en vilkårlig akse som går gjennom massesenteret og har en retning gitt av en enhetsvektor, kan representeres som en kvadratisk (bilineær) form:

(1),

hvor er treghetstensoren. Treghetstensormatrisen er symmetrisk, har dimensjoner og består av sentrifugale momentkomponenter:

,
.

Ved å velge et passende koordinatsystem kan matrisen til treghetstensoren reduseres til en diagonal form. For å gjøre dette må du løse egenverdiproblemet for tensormatrisen:
,
hvor er den ortogonale overgangsmatrisen til egen basis for treghetstensoren. I sin egen basis er koordinataksene rettet langs treghetstensorens hovedakser og sammenfaller også med treghetstensorellipsoidens hovedhalvakser. Størrelsene er de viktigste treghetsmomentene. Uttrykk (1) i sitt eget koordinatsystem har formen:

,

hvor kommer ligningen fra