DEFINISJON

Den algebraiske formen av et komplekst tall er å skrive det komplekse tallet \(\ z \) som \(\ z=x+i y \), der \(\ x \) og \(\ y \) er reelle tall, \ (\ i \ ) er en tenkt enhet som tilfredsstiller relasjonen \(\ i^(2)=-1 \)

Tallet \(\ x \) kalles den reelle delen av det komplekse tallet \(\ z \) og er betegnet \(\ x=\operatørnavn(Re) z \)

Tallet \(\ y \) kalles den imaginære delen av det komplekse tallet \(\ z \) og er betegnet \(\ y=\operatørnavn(Im) z \)

For eksempel:

Det komplekse tallet \(\ z=3-2 i \) og det tilhørende tallet \(\ \overline(z)=3+2 i \) er skrevet i algebraisk form.

Den imaginære verdien \(\ z=5 i \) er skrevet i algebraisk form.

I tillegg, avhengig av problemet som løses, kan du konvertere et komplekst tall til et trigonometrisk eller eksponentielt tall.

En oppgave

Skriv tallet \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) i algebraisk form, finn dets reelle og imaginære deler, samt det konjugerte tallet.

Løsning.

Ved å bruke begrepet deling av brøker og regelen for addisjon av brøker, får vi:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) i \)

Derfor er den reelle delen av det komplekse tallet \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) tallet \(\ x=\operatørnavn(Re) z= \frac(59) (4) \) , den imaginære delen er et tall \(\ y=\operatørnavn(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugert tall: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Svar

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatørnavn(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatørnavn(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Handlinger av komplekse tall i algebraisk formsammenlikning

To komplekse tall \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) er like hvis \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) dvs. Deres virkelige og imaginære deler er like.

En oppgave

Bestem for hvilke x og y to komplekse tall \(\ z_(1)=13+y i \) og \(\ z_(2)=x+5 i \) er like.

Løsning

Per definisjon er to komplekse tall like hvis deres reelle og imaginære deler er like, dvs. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Svar \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

addisjon

Addisjonen av komplekse tall \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) gjøres ved direkte summering av de reelle og imaginære delene:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\venstre(x_(1)+x_(2)\høyre) +i\venstre(y_(1)+y_(2)\høyre) \)

En oppgave

Finn summen av komplekse tall \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Løsning.

Den reelle delen av det komplekse tallet \(\ z_(1)=-7+5 i \) er tallet \(\ x_(1)=\operatørnavn(Re) z_(1)=-7 \) , det imaginære del er tallet \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . De reelle og imaginære delene av det komplekse tallet \(\ z_(2)=13-4 i \) er \(\ x_(2)=\operatørnavn(Re) z_(2)=13 \) og \(\ y_ (2 )=\operatørnavn(Im) z_(2)=-4 \) .

Derfor er summen av komplekse tall:

\(\ z_(1)+z_(2)=\venstre(x_(1)+x_(2)\høyre)+i\venstre(y_(1)+y_(2)\høyre)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Svar

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Les mer om å legge til komplekse tall i en egen artikkel: Legge til komplekse tall.

Subtraksjon

Subtraksjonen av komplekse tall \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) og \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) gjøres ved direkte subtraksjon av de reelle og imaginære delene:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\venstre(x_(2)+i y_(2)\høyre)=x_(1)-x_(2) +\venstre(i y_(1)-i y_(2)\høyre)=\venstre(x_(1)-x_(2)\høyre)+i\venstre(y_(1)-y_(2)\høyre )\)

En oppgave

finn forskjellen på komplekse tall \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Løsning.

Finn de reelle og imaginære delene av komplekse tall \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatørnavn(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatørnavn(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatørnavn(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatørnavn(Im) z_(2)=5 \)

Så forskjellen mellom komplekse tall er:

\(\ z_(1)-z_(2)=\venstre(x_(1)-x_(2)\høyre)+i\venstre(y_(1)-y_(2)\høyre)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Svar

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) multiplikasjon

Multiplikasjonen av komplekse tall \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) og \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) utføres av direkte generere tall i algebraisk form, tar hensyn til egenskapen til den imaginære enheten \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\venstre(x_(1)+i y_(1)\høyre) \cdot\venstre(x_(2)+i y_(2)\høyre)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\venstre(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)= \)

\(\ =\venstre(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\høyre)+i\venstre(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)

En oppgave

Finn produktet av komplekse tall \(\ z_(1)=1-5 i \)

Løsning.

Kompleks av komplekse tall:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\venstre(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\høyre)+i\venstre(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Svar

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) delt

Den komplekse tallfaktoren \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) og \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) bestemmes ved å multiplisere teller og nevner til det konjugerte tallet med en nevner:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\venstre (x_(1)+i y_(1)\høyre)\venstre(x_(2)-i y_(2)\høyre))(\venstre(x_(2)+i y_(2)\høyre)\venstre (x_(2)-i y_(2)\høyre))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

En oppgave

For å dele tallet 1 med det komplekse tallet \(\ z=1+2 i \).

Løsning.

Siden den imaginære delen av det reelle tallet 1 er null, er faktoren:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Svar

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Komplekse tall er en utvidelse av settet med reelle tall, vanligvis betegnet med . Ethvert komplekst tall kan representeres som en formell sum, hvor og er reelle tall, er en imaginær enhet.

Å skrive et komplekst tall på formen , , kalles den algebraiske formen til et komplekst tall.

Egenskaper til komplekse tall. Geometrisk tolkning av et komplekst tall.

Handlinger på komplekse tall gitt i algebraisk form:

Vurder reglene som aritmetiske operasjoner utføres på komplekse tall.

Hvis to komplekse tall α = a + bi og β = c + di er gitt, da

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (elleve)

Dette følger av definisjonen av operasjonene for addisjon og subtraksjon av to ordnede par med reelle tall (se formlene (1) og (3)). Vi har fått reglene for addisjon og subtraksjon av komplekse tall: for å addere to komplekse tall, må man legge til deres reelle deler separat og følgelig de imaginære delene; for å subtrahere en annen fra ett komplekst tall, er det nødvendig å trekke fra deres reelle og imaginære deler, henholdsvis.

Tallet - α \u003d - a - bi kalles det motsatte av tallet α \u003d a + bi. Summen av disse to tallene er null: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

For å få multiplikasjonsregelen for komplekse tall bruker vi formel (6), dvs. det faktum at i2 = -1. Tar vi hensyn til dette forholdet, finner vi (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, dvs.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)

Denne formelen tilsvarer formel (2), som definerte multiplikasjonen av ordnede par med reelle tall.

Legg merke til at summen og produktet av to komplekse konjugerte tall er reelle tall. Faktisk, hvis α = a + bi, = a – bi, så er α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, dvs.

α + = 2a, α = a2 + b2. (1. 3)

Når man deler to komplekse tall i algebraisk form, bør man forvente at kvotienten også uttrykkes med et tall av samme type, dvs. α/β = u + vi, hvor u, v R. La oss utlede en regel for å dele kompleks tall. La tallene α = a + bi, β = c + di gis, og β ≠ 0, dvs. c2 + d2 ≠ 0. Den siste ulikheten betyr at c og d ikke forsvinner samtidig (tilfellet når c = 0, d = 0). Ved å bruke formel (12) og den andre av likheter (13), finner vi:

Derfor er kvotienten av to komplekse tall gitt av:

den tilsvarende formelen (4).

Ved å bruke den oppnådde formelen for tallet β = c + di, kan du finne den gjensidige av det β-1 = 1/β. Ved å anta i formel (14) a = 1, b = 0, får vi

Denne formelen bestemmer gjensidigheten til et gitt komplekst tall som ikke er null; dette tallet er også komplekst.

For eksempel: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Handlinger på komplekse tall i algebraisk form.

55. Argument for et komplekst tall. Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall (utdata).

Arg.com.number. – mellom den positive retningen til den reelle X-aksen ved at vektoren representerer det gitte tallet.

trigon formel. Tall: ,

Komplekse tall

Innbilt og komplekse tall. Abscisse og ordinat

komplekst tall. Konjuger komplekse tall.

Operasjoner med komplekse tall. Geometrisk

representasjon av komplekse tall. komplekst plan.

Modul og argument for et komplekst tall. trigonometrisk

kompleks tallform. Operasjoner med kompleks

tall i trigonometrisk form. Moivre formel.

Grunnleggende informasjon om innbilt og komplekse tall er gitt i avsnittet "imaginære og komplekse tall". Behovet for disse tallene av en ny type dukket opp ved løsning av kvadratiske ligninger for tilfelletD< 0 (здесь Der diskriminanten til den kvadratiske ligningen). I lang tid fant ikke disse tallene fysisk bruk, og derfor ble de kalt «imaginære» tall. Imidlertid er de nå veldig mye brukt i ulike felt av fysikk.

og teknologi: elektroteknikk, hydro- og aerodynamikk, teorien om elastisitet, etc.

Komplekse tall er skrevet som:a+bi. Her en og b – reelle tall , a Jeg – imaginær enhet. e. Jeg 2 = –1. Antall en kalt abscisse, a b - ordinatkomplekst talla + b.To komplekse talla+bi og a-bi kalt konjugerer komplekse tall.

Hovedavtaler:

1. Reelt tallenkan også skrives i skjemaetkomplekst tall:et + 0 Jeg eller en - 0 Jeg. For eksempel oppføringer 5 + 0Jeg og 5-0 Jegbetyr samme tall 5 .

2. Kompleks tall 0 + bikalt rent innbilt Antall. Innspillingbibetyr det samme som 0 + bi.

3. To komplekse talla+bi ogc + dianses like hvisa = c og b = d. Ellers komplekse tall er ikke like.

Addisjon. Summen av komplekse talla+bi og c + dikalles et komplekst tall (a+c ) + (b+d ) Jeg .På denne måten, når det legges til komplekse tall, deres abscisse og ordinater legges til separat.

Denne definisjonen følger reglene for håndtering av vanlige polynomer.

Subtraksjon. Forskjellen mellom to komplekse talla+bi(redusert) og c + di(trukket fra) kalles et komplekst tall (a-c ) + (b-d ) Jeg .

På denne måten, når du trekker fra to komplekse tall, trekkes abscissene og ordinatene deres separat.

Multiplikasjon. Produktet av komplekse talla+bi og c + di kalles et komplekst tall.

(ac-bd ) + (annonse+bc ) Jeg .Denne definisjonen stammer fra to krav:

1) tall a+bi og c + dimå formere seg som algebraisk binomialer,

2) nummer Jeghar hovedegenskapen:Jeg 2 = – 1.

EKSEMPEL ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Følgelig arbeid

to konjugerte komplekse tall er lik det reelle

positivt tall.

Inndeling. Del et komplekst talla+bi (delelig) til en annenc + di(deler) - betyr å finne det tredje tallete + fi(chat), som, når multiplisert med en divisorc + di, som resulterer i utbyttea + b.

Hvis divisor ikke er null, er divisjon alltid mulig.

EKSEMPEL Finn (8+Jeg ) : (2 – 3 Jeg) .

Løsning. La oss omskrive dette forholdet som en brøk:

Multipliser telleren og nevneren med 2 + 3Jeg

Og etter å ha utført alle transformasjonene får vi:

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget ENbetyr nummer -3, prikkB er tallet 2, og O- null. I kontrast er komplekse tall representert av punkter på koordinatplanet. Til dette velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Deretter det komplekse talleta+bi vil bli representert med en prikk P med abscisse a og ordinat b (se fig.). Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan .

modul komplekst tall kalles lengden på vektorenOP, som viser et komplekst tall på koordinaten ( omfattende) fly. Kompleks tallmodula+bi betegnet med | a+bi| eller brev r

Tenk på en andregradsligning.

La oss definere dens røtter.

Det er ikke noe reelt tall hvis kvadrat er -1. Men hvis formelen definerer operatøren Jeg som en tenkt enhet, så kan løsningen av denne ligningen skrives på formen . Hvori og - komplekse tall, der -1 er den reelle delen, 2 eller i det andre tilfellet -2 er den imaginære delen. Den imaginære delen er også et reelt (reelt) tall. Den imaginære delen multiplisert med den imaginære enheten betyr allerede imaginært tall.

Generelt har et komplekst tall formen

z = x + iy ,

hvor x, y er reelle tall, er en tenkt enhet. I en rekke anvendte vitenskaper, for eksempel innen elektroteknikk, elektronikk, signalteori, er den imaginære enheten betegnet med j. Reelle tall x = Re(z) og y=Jeg er(z) kalt ekte og imaginære deler tall z. Uttrykket heter algebraisk form notasjon av et komplekst tall.

Ethvert reelt tall er et spesialtilfelle av et komplekst tall i formen . Et imaginært tall er også et spesialtilfelle av et komplekst tall. .

Definisjon av settet med komplekse tall C

Dette uttrykket lyder som følger: sett FRA, bestående av elementer slik at x og y tilhører settet av reelle tall R og er den imaginære enheten. Merk at osv.

To komplekse tall og er like hvis og bare hvis deres reelle og imaginære deler er like, dvs. og .

Komplekse tall og funksjoner er mye brukt innen vitenskap og teknologi, spesielt i mekanikk, analyse og beregning av AC-kretser, analog elektronikk, signalteori og prosessering, automatisk kontrollteori og andre anvendte vitenskaper.

1. Aritmetikk av komplekse tall

Addisjonen av to komplekse tall består i å legge til deres reelle og imaginære deler, dvs.

Følgelig forskjellen mellom to komplekse tall

Komplekst tall kalt kompleks konjugerer Antall z=x +i.y.

De komplekse konjugerte tallene z og z * er forskjellige i fortegnene til den imaginære delen. Det er åpenbart det

.

Enhver likhet mellom komplekse uttrykk forblir gyldig hvis i denne likheten overalt Jeg erstattet av - Jeg, dvs. gå til likheten av konjugerte tall. Tall Jeg og – Jeg er algebraisk umulig å skille pga .

Produktet (multiplikasjonen) av to komplekse tall kan beregnes som følger:

Divisjon av to komplekse tall:

Eksempel:

1. Kompleks fly

Et komplekst tall kan representeres grafisk i et rektangulært koordinatsystem. La oss sette et rektangulært koordinatsystem i planet (x, y).

på aksel Okse vi ordner de ekte delene x, det kalles ekte (virkelig) akse, på aksen Oy– imaginære deler y komplekse tall. Hun bærer navnet imaginær akse. Dessuten tilsvarer hvert komplekst tall et bestemt punkt på planet, og et slikt plan kalles komplekst plan. punkt MEN det komplekse planet vil tilsvare vektoren OA.

Antall x kalt abscisse komplekst tall, tall y – ordinere.

Et par komplekse konjugerte tall vises som prikker plassert symmetrisk rundt den reelle aksen.

Hvis du er på flysettet polart koordinatsystem, deretter hvert komplekst tall z bestemt av polare koordinater. Hvori modul tall er punktets polarradius og vinkelen - dens polare vinkel eller komplekse tallargument z.

Kompleks tallmodul alltid ikke-negativ. Argumentet til et komplekst tall er ikke unikt definert. Hovedverdien til argumentet må tilfredsstille betingelsen . Hvert punkt i det komplekse planet tilsvarer også den totale verdien av argumentet. Argumenter som avviker med et multiplum av 2π anses som like. Tallargumentet null er ikke definert.

Hovedverdien til argumentet bestemmes av uttrykkene:

Det er åpenbart det

Hvori
, .

Kompleks tallrepresentasjon z som

kalt trigonometrisk form komplekst tall.

Eksempel.

1. Eksponentiell form for komplekse tall

Dekomponering i Maclaurin-serien for reelle argumentfunksjoner ser ut som:

For den eksponentielle funksjonen til et komplekst argument z nedbrytningen er lik

.

Maclaurin-seriens utvidelse for eksponentialfunksjonen til det imaginære argumentet kan representeres som

Den resulterende identiteten kalles Euler formel.

For et negativt argument ser det ut som

Ved å kombinere disse uttrykkene kan vi definere følgende uttrykk for sinus og cosinus

.

Ved å bruke Euler-formelen, fra den trigonometriske formen for representasjonen av komplekse tall

tilgjengelig demonstrativt(eksponentiell, polar) form av et komplekst tall, dvs. dens representasjon i formen

,

hvor - polare koordinater til et punkt med rektangulære koordinater ( x,y).

Konjugatet av et komplekst tall skrives i eksponentiell form som følger.

For eksponentialformen er det enkelt å definere følgende formler for multiplikasjon og divisjon av komplekse tall

Det vil si at i eksponentiell form er produktet og divisjonen av komplekse tall lettere enn i algebraisk form. Ved multiplikasjon multipliseres modulene til faktorene, og argumentene legges til. Denne regelen gjelder for en rekke faktorer. Spesielt når du multipliserer et komplekst tall z på Jeg vektor z roterer 90 mot klokken

Ved divisjon deles tellermodulen på nevnermodulen, og nevnerargumentet trekkes fra tellerargumentet.

Ved å bruke eksponentiell form for komplekse tall kan man få uttrykk for kjente trigonometriske identiteter. For eksempel fra identiteten

ved å bruke Euler-formelen kan vi skrive

Ved å likestille de reelle og imaginære delene i dette uttrykket får vi uttrykk for cosinus og sinus til summen av vinklene

1. Potenser, røtter og logaritmer av komplekse tall

Heve et komplekst tall til en naturlig potens n produsert i henhold til formelen

Eksempel. Beregn .

Tenk deg et tall i trigonometrisk form

’

Ved å bruke eksponentieringsformelen får vi

Sette verdien i uttrykket r= 1, får vi den såkalte De Moivres formel, som du kan bestemme uttrykkene for sinus og cosinus for flere vinkler.

Rot n potens av et komplekst tall z Det har n forskjellige verdier bestemt av uttrykket

Eksempel. La oss finne .

For å gjøre dette uttrykker vi det komplekse tallet () til den trigonometriske formen

.

I henhold til formelen for å beregne roten til et komplekst tall får vi

Logaritme av et komplekst tall z er et tall w, for hvilket . Den naturlige logaritmen til et komplekst tall har et uendelig antall verdier og beregnes av formelen

Består av ekte (cosinus) og imaginære (sinus) deler. Slik spenning kan representeres som en vektor av lengde U m, startfase (vinkel), roterende med vinkelhastighet ω .

Dessuten, hvis komplekse funksjoner legges til, blir deres reelle og imaginære deler lagt til. Hvis en kompleks funksjon multipliseres med en konstant eller en reell funksjon, multipliseres dens reelle og imaginære deler med samme faktor. Differensiering/integrasjon av en slik kompleks funksjon reduseres til differensiering/integrasjon av de reelle og imaginære delene.

For eksempel differensieringen av det komplekse stressuttrykket

er å multiplisere det med iω er den reelle delen av funksjonen f(z), og er den imaginære delen av funksjonen. Eksempler: .

Betydning z er representert av et punkt i det komplekse z-planet, og den tilsvarende verdien w- et punkt i det komplekse planet w. Når den vises w = f(z) flylinjer z passere inn i flyets linjer w, figurer av ett plan til figurer av et annet, men formene til linjer eller figurer kan endre seg betydelig.