Finne arealet til en avgrenset figur. Hvordan beregne arealet til en plan figur ved å bruke det doble integralet? Fullføringen av løsningen kan se slik ut

Figuren avgrenset av grafen til en kontinuerlig ikke-negativ funksjon $f(x)$ på intervallet $$ og linjene $y=0, \ x=a$ og $x=b$ kalles en kurvelinjeformet trapes.

Arealet til den tilsvarende krumlinjet trapes beregnet med formelen:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Problemene med å finne området til en krumlinjet trapes vil vi betinget dele inn i $4$-typer. La oss vurdere hver type mer detaljert.

Type I: en krumlinjet trapes er gitt eksplisitt. Bruk deretter formelen (*) umiddelbart.

Finn for eksempel arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen $y=4-(x-2)^(2)$ og linjene $y=0, \ x=1$ og $x =3$.

La oss tegne denne kurvelinjeformede trapesen.

Ved å bruke formelen (*) finner vi arealet til denne kurvelinjeformede trapesen.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\høyre|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\venstre((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\venstre((1)^(3)-(-1)^(3)\høyre) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (enhet$^(2)$).

Type II: krumlinjet trapes er spesifisert implisitt. I dette tilfellet er de rette linjene $x=a, \ x=b$ vanligvis ikke spesifisert eller er delvis spesifisert. I dette tilfellet må du finne skjæringspunktene til funksjonene $y=f(x)$ og $y=0$. Disse poengene vil være poengene $a$ og $b$.

Finn for eksempel arealet av figuren avgrenset av grafene til funksjonene $y=1-x^(2)$ og $y=0$.

La oss finne skjæringspunktene. For å gjøre dette setter vi likhetstegn mellom de riktige delene av funksjonene.

Så $a=-1$ og $b=1$. La oss tegne denne kurvelinjeformede trapesen.

Finn arealet til denne kurvelinjeformede trapesen.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \venstre.\frac(x^(3))(3)\høyre|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \venstre(1+1\høyre) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (enhet$^(2)$).

Type III: området til en figur avgrenset av skjæringspunktet mellom to kontinuerlige ikke-negative funksjoner. Denne figuren vil ikke være en kurvelinjeformet trapes, noe som betyr at du ikke kan beregne arealet ved å bruke formelen (*). Hvordan være? Det viser seg at arealet til denne figuren kan finnes som forskjellen mellom områdene med krumlinjede trapeser avgrenset av den øvre funksjonen og $y=0$ ($S_(uf)$) og den nedre funksjonen og $y= 0$ ($S_(lf)$), hvor rollen til $x=a, \ x=b$ spilles av $x$-koordinatene til skjæringspunktene til disse funksjonene, dvs.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Det viktigste når du beregner slike områder er ikke å "gå glipp av" med valget av øvre og nedre funksjoner.

Finn for eksempel arealet til en figur avgrenset av funksjonene $y=x^(2)$ og $y=x+6$.

La oss finne skjæringspunktene til disse grafene:

I følge Vietas teorem,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Det vil si $a=-2, \ b=3$. La oss tegne en figur:

Så toppfunksjonen er $y=x+6$ og den nederste er $y=x^(2)$. Finn deretter $S_(uf)$ og $S_(lf)$ ved å bruke formelen (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\venstre.\frac(x^(2))(2)\høyre|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (enhet $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\venstre.\frac(x^(3))(3)\høyre|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (enhet$^(2)$).

Erstatter funnet i (**) og få:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (enhet $^(2)$).

IV-type: figurområde, begrenset funksjon(-s) som ikke tilfredsstiller ikke-negativitetsbetingelsen. For å finne arealet til en slik figur, må du være symmetrisk om $Ox$-aksen ( med andre ord, sett "minuser" foran funksjonene) vis området, og bruk metodene beskrevet i type I - III, finn området til det viste området. Dette området vil være det nødvendige området. Først må du kanskje finne skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

Finn for eksempel arealet av figuren avgrenset av grafene til funksjonene $y=x^(2)-1$ og $y=0$.

La oss finne skjæringspunktene til funksjonsgrafene:

de. $a=-1$ og $b=1$. La oss tegne området.

La oss vise området symmetrisk:

$y=0 \ \Høyrepil \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Høyrepil \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Du får en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen $y=1-x^(2)$ og $y=0$. Dette er et problem med å finne en krumlinjet trapes av den andre typen. Vi har allerede løst det. Svaret var: $S= 1\frac(1)(3)$ (enheter $^(2)$). Så arealet til den ønskede kurvelinjeformede trapesen er lik:

$S=1\frac(1)(3)$ (enhet$^(2)$).

Vi begynner å vurdere den faktiske prosessen med å beregne dobbeltintegralet og bli kjent med dens geometriske betydning.

Dobbelt integral numerisk lik areal flat figur(integrasjonsdomener). den enkleste formen dobbel integral når funksjonen til to variabler er lik en:.

La oss først vurdere problemet i generelt syn. Nå vil du bli overrasket over hvor enkelt det egentlig er! Beregn arealet av en flat figur, avgrenset av linjer. For bestemthets skyld antar vi at på intervallet . Arealet til denne figuren er numerisk lik:

La oss skildre området på tegningen:

La oss velge den første måten å omgå området på:

På denne måten:

Og umiddelbart et viktig teknisk triks: itererte integraler kan vurderes separat. Først det indre integralet, så det ytre integralet. Denne metoden Anbefales på det sterkeste for nybegynnere innen temaet tekanner.

1) Beregn det interne integralet, mens integrasjonen utføres over variabelen "y":

Det ubestemte integralet her er det enkleste, og da brukes den banale Newton-Leibniz-formelen, med den eneste forskjellen at grensene for integrering er ikke tall, men funksjoner. Først erstattet i "y" ( antiderivative funksjon) øvre grense, deretter den nedre grensen

2) Resultatet oppnådd i første ledd må erstattes med den eksterne integralen:

En mer kompakt notasjon for hele løsningen ser slik ut:

Den resulterende formelen - dette er nøyaktig arbeidsformelen for å beregne arealet av en flat figur ved å bruke det "vanlige" bestemte integralet! Se leksjon Beregner areal ved hjelp av et bestemt integral, der er hun på hver sving!

Det er, problemet med å beregne arealet ved hjelp av et dobbeltintegral litt annerledes fra problemet med å finne området ved hjelp av en bestemt integral! Faktisk er de ett og det samme!

Derfor bør ingen vanskeligheter oppstå! Jeg vil ikke vurdere veldig mange eksempler, siden du faktisk har støtt på dette problemet gjentatte ganger.

Eksempel 9

Løsning: La oss skildre området på tegningen:

La oss velge følgende rekkefølge for å krysse regionen:

Her og nedenfor vil jeg ikke gå inn på hvordan man krysser et område fordi det første avsnittet var veldig detaljert.

På denne måten:

Som jeg allerede har nevnt, er det bedre for nybegynnere å beregne itererte integraler separat, jeg vil følge samme metode:

1) Først, ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, tar vi for oss det interne integralet:

2) Resultatet oppnådd i det første trinnet erstattes med det ytre integralet:

Punkt 2 er faktisk å finne arealet til en flat figur ved å bruke en bestemt integral.

Svar:

Her er en så dum og naiv oppgave.

Et interessant eksempel for uavhengig avgjørelse:

Eksempel 10

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjene , ,

Et eksempel på en endelig løsning på slutten av leksjonen.

I eksempel 9-10 er det mye mer lønnsomt å bruke den første måten å omgå området på, nysgjerrige lesere kan forresten endre rekkefølgen på omkjøringen og beregne arealene på den andre måten. Hvis du ikke gjør en feil, oppnås naturligvis de samme områdeverdiene.

Men i noen tilfeller er den andre måten å omgå området mer effektiv på, og som avslutning på kurset til den unge nerden, la oss se på et par flere eksempler om dette emnet:

Eksempel 11

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjer.

Løsning: vi gleder oss til to parabler med bris som ligger på siden. Du trenger ikke å smile, lignende ting i flere integraler oppstår ofte.

Hva er den enkleste måten å lage en tegning på?

La oss representere parablen som to funksjoner:
- øvre gren og - nedre gren.

På samme måte kan du forestille deg en parabel som en øvre og nedre grener.

Deretter plotte stasjoner punkt for punkt, noe som resulterer i en så bisarr figur:

Arealet av figuren beregnes ved å bruke dobbeltintegralet i henhold til formelen:

Hva skjer hvis vi velger den første måten å omgå området på? Først må dette området deles i to deler. Og for det andre vil vi observere dette triste bildet: . Integraler er selvfølgelig ikke av et superkomplekst nivå, men ... det er et gammelt matematisk ordtak: Den som er venn med røttene trenger ikke en motregning.

Derfor, fra misforståelsen som er gitt i betingelsen, uttrykker vi de inverse funksjonene:

Inverse funksjoner i dette eksemplet har den fordelen at de umiddelbart setter hele parabelen uten blader, eikenøtter, greiner og røtter.

I henhold til den andre metoden vil arealgjennomgangen være som følger:

På denne måten:

Som de sier, føl forskjellen.

1) Vi tar for oss den interne integralen:

Vi erstatter resultatet med det ytre integralet:

Integrasjon over variabelen "y" burde ikke være pinlig, hvis det var en bokstav "zyu" - det ville vært flott å integrere over det. Selv om som leste andre avsnitt av leksjonen Hvordan beregne volumet til et revolusjonslegeme, opplever han ikke lenger den minste flauhet med integrasjon over «y».

Vær også oppmerksom på det første trinnet: integranden er jevn, og integrasjonssegmentet er symmetrisk rundt null. Derfor kan segmentet halveres, og resultatet kan dobles. Denne teknikken er kommentert i detalj i leksjonen. Effektive metoder beregning av et bestemt integral.

Hva du skal legge til…. Alt!

Svar:

For å teste integreringsteknikken din kan du prøve å beregne . Svaret bør være nøyaktig det samme.

Eksempel 12

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjer

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er interessant å merke seg at hvis du prøver å bruke den første måten å omgå området, vil figuren ikke lenger deles i to, men i tre deler! Og følgelig får vi tre par itererte integraler. Noen ganger skjer det.

Mesterklassen har kommet til slutten, og det er på tide å gå videre til stormesternivået - Hvordan beregne dobbeltintegralet? Løsningseksempler. Jeg skal prøve å ikke være så manisk i den andre artikkelen =)

Ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2:Løsning: Tegn et område på tegningen:

La oss velge følgende rekkefølge for å krysse regionen:

På denne måten:
La oss gå videre til inverse funksjoner:


På denne måten:
Svar:

Eksempel 4:Løsning: La oss gå videre til direkte funksjoner:


La oss utføre tegningen:

La oss endre rekkefølgen for gjennomkjøring av området:

Svar:

Faktisk, for å finne området til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid konstruksjon av en tegning, så dine kunnskaper og tegneferdigheter vil være et mye mer relevant problem. I denne forbindelse er det nyttig å friske opp grafikken til hovedbildet elementære funksjoner, og i det minste være i stand til å bygge en rett linje og en hyperbel.

En krumlinjet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og en graf for en kontinuerlig funksjon på et segment som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre abscisse:

Deretter arealet av en krumlinjet trapes er numerisk lik en viss integral. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning.

Når det gjelder geometri, er det definitive integralet OMRÅDET.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en figur. Tenk for eksempel på det bestemte integralet . Integranden definerer en kurve på planet som er plassert over aksen (de som ønsker det kan fullføre tegningen), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Det første og viktigste øyeblikket i beslutningen er konstruksjonen av en tegning. Dessuten må tegningen bygges IKKE SANT.

Når du bygger en blåkopi, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle linjer (hvis noen) og bare etter- paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Funksjonsgrafer er mer lønnsomme å bygge punktvis.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss lage en tegning (merk at ligningen definerer aksen):

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

Svar:

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. PÅ denne saken"Med øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi hadde for eksempel svaret: 20 kvadratiske enheter, da ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis den krumlinjede trapesen er lokalisert under akselen(i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

Merk følgende! Ikke forveksle de to typene oppgaver:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare en bestemt integral uten noen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en flat figur avgrenset av linjer, .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. La oss finne skjæringspunktene mellom parabelen og linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Derfor er den nedre grensen for integrasjon, den øvre grensen for integrasjon.

Det er best å ikke bruke denne metoden hvis mulig..

Det er mye mer lønnsomt og raskere å bygge linjene punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som "av seg selv". Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Og nå arbeidsformelen: Hvis det er en eller annen kontinuerlig funksjon på intervallet større enn eller lik noen kontinuerlig funksjon, da kan området til figuren avgrenset av grafene til disse funksjonene og rette linjene , , bli funnet av formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilket diagram som er OVER(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel ovenfra og en rett linje nedenfra.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Eksempel 4

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: La oss lage en tegning først:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt i blått.(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår ofte en "feil" at du må finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler.

Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en rett linjegraf;

2) På segmentet over aksen er en hyperbelgraf.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Eksempel 1 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 og x = 2

La oss bygge en figur (se fig.) Vi bygger en rett linje x + 2y - 4 \u003d 0 langs to punkter A (4; 0) og B (0; 2). Uttrykker y i form av x, får vi y \u003d -0,5x + 2. I henhold til formel (1), hvor f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vi finne

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 kvm. enheter

Eksempel 2 Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 og y \u003d 0.

Løsning. La oss bygge en figur.

La oss bygge en rett linje x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

La oss konstruere en rett linje x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finn skjæringspunktet mellom linjene ved å løse likningssystemet:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

For å beregne det nødvendige arealet deler vi AMC-trekanten i to trekanter AMN og NMC, siden når x endres fra A til N, begrenses arealet av en rett linje, og når x endres fra N til C, er det en rett linje

For trekant AMN har vi: ; y \u003d 0,5x + 2, dvs. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

For NMC-trekanten har vi: y = - x + 5, dvs. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Ved å beregne arealet til hver av trekantene og legge til resultatene finner vi:

sq. enheter

sq. enheter

9 + 4, 5 = 13,5 kvm. enheter Sjekk: = 0,5 AC = 0,5 kvm. enheter

Eksempel 3 Beregn arealet av en figur avgrenset av linjer: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

I dette tilfellet er det nødvendig å beregne arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av en parabel y = x 2 , rette linjer x \u003d 2 og x \u003d 3 og okseaksen (se fig.) I henhold til formel (1) finner vi arealet til en krumlinjet trapesoid

= = 6kv. enheter

Eksempel 4 Beregn arealet av en figur avgrenset av linjer: y \u003d - x 2 + 4 og y = 0

La oss bygge en figur. Det ønskede området er innelukket mellom parabelen y \u003d - x 2 + 4 og akse Oh.

Finn skjæringspunktene til parabelen med x-aksen. Forutsatt y \u003d 0, finner vi x \u003d Siden denne figuren er symmetrisk om Oy-aksen, beregner vi arealet av figuren som ligger til høyre for Oy-aksen, og dobler resultatet: \u003d + 4x] kvm. enheter 2 = 2 kvm. enheter

Eksempel 5 Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her er det nødvendig å beregne arealet til den krumlinjede trapesen avgrenset av den øvre grenen av parabelen y 2 \u003d x, Ox-aksen og rette linjer x \u003d 1x \u003d 4 (se fig.)

I henhold til formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheter

Eksempel 6 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det ønskede området er begrenset av en halvbølgesinus og okseaksen (se fig.).

Vi har - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kvadratmeter. enheter

Eksempel 7 Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: y \u003d - 6x, y \u003d 0 og x \u003d 4.

Figuren er plassert under okseaksen (se fig.).

Derfor er området funnet av formelen (3)

= =

Eksempel 8 Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y \u003d og x \u003d 2. Vi vil bygge kurven y \u003d av punkter (se figur). Dermed er arealet av figuren funnet av formelen (4)

Eksempel 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Her må du beregne arealet avgrenset av sirkelen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet av en sirkel med radius r sentrert ved origo. La oss finne den fjerde delen av dette området, og ta grensene for integrasjon fra 0

dor; vi har: 1 = = [

Følgelig 1 =

Eksempel 10 Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: y \u003d x 2 og y = 2x

Dette tallet er begrenset av parabelen y \u003d x 2 og rett linje y \u003d 2x (se fig.) For å bestemme skjæringspunktene gitte linjer løs ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved å bruke formel (5) for å finne arealet får vi

= funksjonsgraf y = x 2 + 2 plassert over aksenOKSE, derfor:

Svar: .

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen

,

henvise til foredraget Sikker integral. Løsningseksempler. Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet, "etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel hadde svaret: 20 kvadratenheter, så ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer åpenbart ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Hva skal jeg gjøre hvis den krumlinjede trapesen er plassert under akselenOKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en krumlinjet trapes helt under akselen OKSE , da kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

.

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først må du lage en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. Finn skjæringspunktene til parabelen y = 2x – x 2 og rett y = -x. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Så den nedre grensen for integrering en= 0, øvre grense for integrasjon b= 3. Det er ofte mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som «av seg selv». Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Vi gjentar at i punktvis konstruksjon blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen:

Hvis på segmentet [ en; b] noen kontinuerlig funksjon f(x) større enn eller lik noen kontinuerlig funksjon g(x), så kan området til den tilsvarende figuren bli funnet med formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, men det spiller noen rolle hvilket diagram som er OVER(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor fra 2 x – x 2 må trekkes fra - x.

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel y = 2x – x 2 topp og rett y = -x nedenfra.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar: .

Faktisk er skoleformelen for arealet av en krumlinjet trapes i det nedre halvplanet (se eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler

.

Siden aksen OKSE er gitt av ligningen y= 0, og grafen til funksjonen g(x) er plassert under aksen OKSE, deretter

.

Og nå et par eksempler for en uavhengig løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet til en figur avgrenset av linjer

I løpet av å løse problemer for å beregne arealet ved hjelp av en viss integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen ble laget riktig, beregningene var riktige, men på grunn av uoppmerksomhet ... fant området til feil figur.

Eksempel 7

La oss tegne først:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt i blått.(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, bestemmer de ofte at de trenger å finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet [-1; 1] over akselen OKSE grafen er rett y = x+1;

2) På segmentet over aksen OKSE grafen til hyperbelen er lokalisert y = (2/x).

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

La oss presentere ligningene i "skole"-formen

og gjør strektegningen:

Det kan sees fra tegningen at vår øvre grense er "god": b = 1.

Men hva er den nedre grensen? Det er tydelig at dette ikke er et heltall, men hva?

Kan være, en=(-1/3)? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan det godt vise seg en=(-1/4). Hva om vi ikke fikk grafen riktig i det hele tatt?

I slike tilfeller må man bruke ekstra tid og finpusse grensene for integrasjon analytisk.

Finn skjæringspunktene til grafene

For å gjøre dette løser vi ligningen:

.

Følgelig en=(-1/3).

Den videre løsningen er triviell. Det viktigste er ikke å bli forvirret i erstatninger og tegn. Beregningene her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Som avslutning på leksjonen vil vi vurdere to oppgaver som er vanskeligere.

Eksempel 9

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: Tegn denne figuren på tegningen.

For punkt-for-punkt-tegning må du vite utseende sinusoider. Generelt er det nyttig å kjenne til grafene til alle elementære funksjoner, så vel som noen verdier av sinusen. De finner du i verditabellen trigonometriske funksjoner . I noen tilfeller (for eksempel i dette tilfellet) er det tillatt å konstruere en skjematisk tegning, der grafer og integrasjonsgrenser i prinsippet skal vises riktig.

Det er ingen problemer med integrasjonsgrensene her, de følger direkte av betingelsen:

- "x" endres fra null til "pi". Vi tar en ny beslutning:

På segmentet, grafen til funksjonen y= synd 3 x plassert over aksen OKSE, derfor:

(1) Du kan se hvordan sinus og cosinus er integrert i odde potenser i leksjonen Integraler av trigonometriske funksjoner. Vi klyper av en sinus.

(2) Vi bruker den grunnleggende trigonometriske identiteten i skjemaet

(3) La oss endre variabelen t= cos x, deretter: plassert over aksen , så:

.

.

Merk: legg merke til hvordan integralet av tangenten i kuben tas, her konsekvensen av hoved trigonometrisk identitet

.