Finne synd cos. Grunnleggende formler for trigonometri

Et av matematikkområdene elevene sliter mest med er trigonometri. Det er ikke overraskende: for å fritt kunne mestre dette kunnskapsområdet trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangens ved hjelp av formler, forenkle uttrykk og kunne bruke tallet pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.

Opprinnelsen til trigonometri

Å bli kjent med denne vitenskapen bør begynne med definisjonen av sinus, cosinus og tangens av en vinkel, men først må du forstå hva trigonometri gjør generelt.

Historisk sett er hovedobjektet for studiet i denne delen matematisk vitenskap var rette trekanter. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre forskjellige operasjoner som lar en bestemme verdiene til alle parametere til den aktuelle figuren ved å bruke to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, astronomi og til og med i kunst.

Første etappe

Opprinnelig snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende ved å bruke eksemplet med rette trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide bruksgrensene i Hverdagen denne grenen av matematikk.

Studiet av trigonometri i skolen i dag begynner med rettvinklede trekanter, hvoretter elevene bruker den tilegnete kunnskapen i fysikk og løse abstrakte problemer. trigonometriske ligninger, arbeid med som begynner på videregående.

Sfærisk trigonometri

Senere, da vitenskapen kom ut neste nivå utvikling begynte formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, hvor forskjellige regler gjelder, og summen av vinklene i en trekant alltid er mer enn 180 grader. Denne seksjonen er ikke studert på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens i det minste fordi jordens overflate, og overflaten til enhver annen planet er konveks, noe som betyr at enhver overflatemarkering vil være inne tredimensjonalt rom"bueformet".

Ta kloden og tråden. Fest tråden til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom på at den har fått form av en bue. Sfærisk geometri omhandler slike former, som brukes innen geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt.

Høyre trekant

Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes.

Det første trinnet er å forstå begrepene knyttet til en rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt 90 graders vinkel. Det er den lengste. Vi husker at ifølge Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.

For eksempel, hvis de to sidene er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil lengden på hypotenusen være 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om dette for rundt fire og et halvt tusen år siden.

De to gjenværende sidene, som danner en rett vinkel, kalles ben. I tillegg må vi huske at summen av vinklene i en trekant er rektangulært system koordinatene er 180 grader.

Definisjon

Til slutt, med en solid forståelse av det geometriske grunnlaget, kan man vende seg til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.

Sinusen til en vinkel er forholdet mellom motsatt side (dvs. siden som ligger motsatt ønsket vinkel) til hypotenusen. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen.

Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den lengste. Uansett hvor lang benet er, vil den være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet alltid vil være mindre enn én. Derfor, hvis du i svaret på et problem får en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1, se etter en feil i beregningene eller resonnementet. Dette svaret er åpenbart feil.

Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Å dele sinus på cosinus vil gi samme resultat. Se: i henhold til formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, deler deretter med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme sammenheng som i definisjonen av tangent.

Cotangens er følgelig forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele en på tangenten.

Så vi har sett på definisjonene av hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, og vi kan gå videre til formler.

De enkleste formlene

I trigonometri kan du ikke klare deg uten formler - hvordan finne sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Men det er nettopp dette som kreves når man skal løse problemer.

Den første formelen du trenger å vite når du begynner å studere trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men det sparer tid hvis du trenger å vite størrelsen på vinkelen i stedet for siden.

Mange elever kan ikke huske den andre formelen, som også er veldig populær når de løser skoleoppgaver: summen av en og kvadratet av tangens til en vinkel er lik en delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør den trigonometriske formelen helt ugjenkjennelig. Husk: å vite hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, konverteringsregler og flere grunnleggende formler du kan når som helst trekke de nødvendige mer komplekse formler på et stykke papir.

Formler for doble vinkler og addisjon av argumenter

Ytterligere to formler du trenger å lære er relatert til verdiene av sinus og cosinus for summen og differansen av vinkler. De er presentert i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.

Det er også formler knyttet til argumenter i skjemaet dobbel vinkel. De er helt avledet fra de forrige - som en trening prøv å få dem selv ved å ta alfavinkelen lik vinkelen beta.

Til slutt, merk at formler med dobbel vinkel kan omorganiseres for å redusere kraften til sinus, cosinus, tangent alfa.

Teoremer

De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangens, og derfor arealet av figuren, og størrelsen på hver side, etc.

Sinussetningen sier at ved å dele lengden på hver side av en trekant med den motsatte vinkelen, får vi samme nummer. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, det vil si sirkelen som inneholder alle punktene i en gitt trekant.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras setning, og projiserer den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekker du produktet deres multiplisert med den doble cosinusen til den tilstøtende vinkelen - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser Pythagorean-setningen seg å være et spesialtilfelle av cosinus-teoremet.

Uforsiktige feil

Selv når man vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre en feil på grunn av fravær eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss ta en titt på de mest populære.

For det første bør du ikke konvertere brøker til desimaler før du har endelig resultat- du kan la svaret være som vanlig brøk, med mindre annet er angitt i vilkårene. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert stadium av problemet kan nye røtter dukke opp, som ifølge forfatterens idé bør reduseres. I dette tilfellet vil du kaste bort tiden din på unødvendig matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten av tre eller roten av to, fordi de finnes i problemer på hvert trinn. Det samme gjelder avrunding av «stygge» tall.

Merk videre at cosinus-setningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras setning! Hvis du ved en feiltakelse glemmer å trekke fra dobbelt produkt sider multiplisert med cosinus av vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men også demonstrere en fullstendig misforståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.

For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus på 30 grader er lik cosinus på 60, ​​og omvendt. Det er lett å forvirre dem, som et resultat av at du uunngåelig vil få et feilaktig resultat.

applikasjon

Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å studere trigonometri fordi de ikke forstår dens praktiske betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som du kan bruke til å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt eller sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på en overflate eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form overalt, fra musikk til medisin.

Endelig

Så du er sinus, cosinus, tangens. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.

Hele poenget med trigonometri kommer ned til det faktum at ved å bruke de kjente parameterne til en trekant må du beregne de ukjente. Det er seks parametere totalt: lengde tre sider og størrelser tre hjørner. Den eneste forskjellen i oppgavene ligger i at det gis ulike inputdata.

Hvordan finne sinus, cosinus, tangens basert på kjente lengder bena eller hypotenusen, vet du nå. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, Hoved mål trigonometrisk problem er å finne røttene til en vanlig ligning eller et system av ligninger. Og her vil vanlig skolematematikk hjelpe deg.

Trigonometriske identiteter- dette er likheter som etablerer et forhold mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel, som lar deg finne hvilken som helst av disse funksjonene, forutsatt at en hvilken som helst annen er kjent.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Denne identiteten sier at summen av kvadratet av sinusen til én vinkel og kvadratet av cosinus til én vinkel er lik én, noe som i praksis gjør det mulig å beregne sinusen til én vinkel når dens cosinus er kjent og vice versa .

Ved konvertering trigonometriske uttrykk Denne identiteten brukes veldig ofte, noe som lar en erstatte summen av kvadratene av cosinus og sinus til en vinkel med en og også utføre erstatningsoperasjonen i motsatt rekkefølge.

Finne tangent og cotangens ved hjelp av sinus og cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Disse identitetene er dannet fra definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Tross alt, hvis du ser på det, så er ordinaten y per definisjon en sinus, og abscissen x er en cosinus. Da vil tangenten være lik forholdet \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), og forholdet \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- vil være en cotangens.

La oss legge til at bare for slike vinkler \alfa der de trigonometriske funksjonene som er inkludert i dem gir mening, vil identitetene holde, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

For eksempel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) er gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- for en annen vinkel \alfa enn \pi z, er z et heltall.

Forholdet mellom tangent og cotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Denne identiteten er kun gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2) z. Ellers vil verken cotangens eller tangens bli bestemt.

Basert på punktene ovenfor får vi det tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Det følger at tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dermed er tangenten og cotangensen til samme vinkel som de gir mening ved, gjensidig inverse tall.

Forholdet mellom tangent og cosinus, cotangens og sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- summen av kvadratet av tangenten til vinkelen \alfa og 1 er lik det inverse kvadratet av cosinus til denne vinkelen. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa annet enn \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- summen av 1 og kvadratet av cotangensen til vinkelen \alfa er lik det inverse kvadratet av sinusen til den gitte vinkelen. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa forskjellig fra \pi z.

Eksempler med løsninger på problemer ved bruk av trigonometriske identiteter

Eksempel 1

Finn \sin \alpha og tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Vis løsning

Løsning

Funksjonene \sin \alpha og \cos \alpha er relatert med formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bytter inn i denne formelen \cos \alpha = -\frac12, vi får:

\sin^(2)\alpha + \venstre (-\frac12 \right)^2 = 1

Denne ligningen har 2 løsninger:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er sinusen positiv, så \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

For å finne tan \alpha bruker vi formelen tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Eksempel 2

Finn \cos \alpha og ctg \alpha hvis og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Vis løsning

Løsning

Bytter inn i formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 gitt nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), vi får \venstre (\frac(\sqrt3)(2)\høyre)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Denne ligningen har to løsninger \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er cosinus negativ, så \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

For å finne ctg \alpha bruker vi formelen ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Vi kjenner de tilsvarende verdiene.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

La oss håndtere enkle konsepter: sinus og cosinus og beregning cosinus i annen og sinus i andre.

Sinus og cosinus studeres i trigonometri (studiet av rettvinklede trekanter).

La oss derfor først huske de grunnleggende konseptene høyre trekant:

Hypotenus- siden som alltid ligger motsatt rett vinkel (90 graders vinkel). Hypotenusen er den lengste siden av en rettvinklet trekant.

De resterende to sidene i en rettvinklet trekant kalles bena.

Du bør også huske at tre vinkler i en trekant alltid summerer seg til 180°.

La oss nå gå videre til cosinus og sinus til vinkelen alfa (∠α)(dette kan kalles en hvilken som helst indirekte vinkel i en trekant eller brukes som en betegnelse x - "x", som ikke endrer essensen).

Sinus av vinkel alfa (sin ∠α)– Dette er en holdning motsatte ben (siden motsatt den tilsvarende vinkelen) til hypotenusen. Hvis du ser på figuren, så er synd ∠ABC = AC / BC

Cosinus av vinkel alfa (cos ∠α)- holdning ved siden av til vinkelen av benet til hypotenusen. Ser vi igjen på figuren ovenfor, cos ∠ABC = AB / BC

Og bare som en påminnelse: cosinus og sinus vil aldri være større enn én, siden ethvert kast er kortere enn hypotenusen (og hypotenusen er den lengste siden av en trekant, fordi den lengste siden er plassert overfor stor vinkel i en trekant).

Cosinus i annen, sinus i andre

La oss nå gå videre til de viktigste trigonometriske formler: Regn ut cosinus i annen og sinus i andre.

For å beregne dem, bør du huske den grunnleggende trigonometriske identiteten:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kvadrat pluss cosinus kvadrat av én vinkel er alltid lik én).

Fra den trigonometriske identiteten trekker vi konklusjoner om sinus:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

sinus kvadrat alfa lik en minus cosinus til dobbelvinkelen alfa og del det hele med to.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Fra den trigonometriske identiteten trekker vi konklusjoner om cosinus:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

eller mer vanskelig alternativ formler: kosinus kvadrat alfa er lik en pluss cosinus til dobbelvinkelen alfa og deler også alt med to.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Disse to mer komplekse formlene for sinus-kvadrerte og cosinus-kvadrerte kalles også "redusere kraften for kvadratiske trigonometriske funksjoner." De. det var en annen grad, de senket den til den første og beregningene ble mer praktiske.

Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å ha en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så forferdelig som han er malt," la oss starte fra helt i begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.

Vinkelkonsept: radian, grad

La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.

Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, selvfølgelig, vinkelenheter!

Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.

En vinkel på (én grad) kalles sentral vinkel i en sirkel, basert på en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.

Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.

En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik radiusen til sirkelen. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.

Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen lik lengde buer). Dermed beregnes buelengden med formelen:

Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.

Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:

Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.

Hvor mange radianer er det? Det er riktig!

Har det? Så fortsett og fiks det:

Har du vanskeligheter? Så se svar:

Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen

Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av rett vinkel), og hvis vi vurderer bena i forhold til vinkelen, er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?

Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet til hypotenusen.

I vår trekant.

Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant.

Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).

I vår trekant.

Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant.

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Cotangens→touch→touch→tilstøtende.

Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!

For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.

Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.

Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i Kartesisk system koordinater Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.

Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:

Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:

Så, kan du si hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.

Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.

Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler , og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren lage en full sving og stopper i posisjonen eller.

I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)

Nå, å kjenne definisjonene av grunnleggende trigonometriske funksjoner og bruke enhetssirkel, prøv å svare på hva verdiene er:

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:

Eksisterer ikke;

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:

Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel nok enkel memorering tilsvarende verdier:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?

Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.

For eksempel, her er en sirkel foran oss:

Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

Så har vi det for punktkoordinaten.

Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,

Så inn generelt syn koordinater av punkter bestemmes av formlene:

Koordinater til sentrum av sirkelen,

Sirkelradius,

Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:

Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?

1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?

Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!

1.

Det kan du merke. Men vi vet hva som tilsvarer en full revolusjon av utgangspunktet. Dermed, ønsket punkt vil være i samme posisjon som når du slår på. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:

2. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:

Det kan du merke. Vi vet hva som tilsvarer to hele omdreininger av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:

Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker betydningen deres og får:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

3. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:

Det kan du merke. La oss skildre det aktuelle eksemplet i figuren:

Radius gjør vinkler lik og med aksen. Å vite at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og å ha bestemt at cosinus her tar negativ betydning, og sinusen er positiv, har vi:

Mer informasjon lignende eksempler forstås når man studerer formler for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.

Dermed har ønsket punkt koordinater.

4.

Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand)

For å bestemme de tilsvarende tegnene for sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og vinkel:

Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:

La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor

Koordinater til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,

Sirkelradius (etter tilstand)

Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand).

La oss erstatte alle verdiene i formelen og få:

og - tabellverdier. La oss huske og erstatte dem med formelen:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.

Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden til den motsatte (fjerne) siden.

Eksempler:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument og mening

Cosinus av en spiss vinkel

Cosinus av en spiss vinkel kan bestemmes ved hjelp av en rettvinklet trekant - det er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Eksempel :

1) La en vinkel gis og vi må bestemme cosinus til denne vinkelen.

2) La oss fullføre en rettvinklet trekant på denne vinkelen.

3) Etter å ha målt de nødvendige sidene, kan vi beregne cosinus.

Cosinus av et tall

Tallsirkelen lar deg bestemme cosinus til et hvilket som helst tall, men vanligvis finner du cosinus til tall på en eller annen måte relatert til: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

For eksempel, for tallet \(\frac(π)(6)\) - vil cosinus være lik \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Og for tallet \(-\)\(\frac(3π)(4)\) vil det være lik \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (omtrent \ (-0 ,71\)).

For cosinus for andre tall som ofte oppstår i praksis, se.

Cosinusverdien ligger alltid i området fra \(-1\) til \(1\). I dette tilfellet kan cosinus beregnes for absolutt alle vinkler og tall.

Cosinus av enhver vinkel

Takk til tallsirkel du kan definere cosinus ikke bare spiss vinkel, men også stump, negativ og enda større enn \(360°\) (full rotasjon). Hvordan du gjør dette er lettere å se én gang enn å høre \(100\) ganger, så se på bildet.

Nå en forklaring: anta at vi må bestemme cosinus til vinkelen KOA Med gradsmål i \(150°\). Kombinerer poenget OM med midten av sirkelen og siden OK– med \(x\)-aksen. Etter dette, sett til side \(150°\) mot klokken. Deretter ordinaten til punktet EN vil vise oss cosinus til denne vinkelen.

Hvis vi er interessert i en vinkel med et gradmål, for eksempel i \(-60°\) (vinkel KOV), gjør vi det samme, men vi setter \(60°\) med klokken.

Og til slutt er vinkelen større enn \(360°\) (vinkel CBS) - alt ligner på den dumme, bare etter å ha gått en hel sving med klokken, går vi til den andre sirkelen og "får mangelen på grader". Nærmere bestemt, i vårt tilfelle er vinkelen \(405°\) plottet som \(360° + 45°\).

Det er lett å gjette at for å plotte en vinkel, for eksempel i \(960°\), må du gjøre to svinger (\(360°+360°+240°\)), og for en vinkel i \(2640 °\) - hele syv.

Som du kan erstatte, er både cosinus til et tall og cosinus til en vilkårlig vinkel definert nesten identisk. Bare måten punktet finnes på sirkelen endres.

Cosinus-tegn etter kvartaler

Ved å bruke cosinusaksen (det vil si abscisseaksen, uthevet i rødt i figuren), er det enkelt å bestemme tegnene til cosinusene langs den numeriske (trigonometriske) sirkelen:

Der verdiene på aksen er fra \(0\) til \(1\), vil cosinus ha et plusstegn (I og IV kvartaler - grønt område),
- der verdiene på aksen er fra \(0\) til \(-1\), vil cosinus ha et minustegn (II og III kvartaler - lilla område).

Forhold til andre trigonometriske funksjoner:

- samme vinkel (eller tall): hoved trigonometrisk identitet\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- samme vinkel (eller tall): med formelen \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- og sinus til samme vinkel (eller tall): formelen \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
For andre mest brukte formler, se.

Løsning av ligningen \(\cos⁡x=a\)

Løsningen på ligningen \(\cos⁡x=a\), hvor \(a\) er et tall som ikke er større enn \(1\) og ikke mindre enn \(-1\), dvs. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Hvis \(a>1\) eller \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Eksempel . Løs den trigonometriske ligningen \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Løsning:

La oss løse ligningen ved hjelp av tallsirkelen. For dette:
1) La oss bygge aksene.
2) La oss konstruere en sirkel.
3) Marker punktet \(\frac(1)(2)\) på cosinus-aksen (akse \(y\)) .
4) Tegn en vinkelrett på cosinus-aksen gjennom dette punktet.
5) Marker skjæringspunktene til perpendikulæren og sirkelen.
6) La oss signere verdiene til disse punktene: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) La oss skrive ned alle verdiene som tilsvarer disse punktene ved å bruke formelen \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Svar: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funksjon \(y=\cos(x)\)

Hvis vi plotter vinklene i radianer langs \(x\)-aksen, og cosinusverdiene som tilsvarer disse vinklene langs \(y\)-aksen, får vi følgende graf:

Denne grafen kalles og har følgende egenskaper:

Definisjonsdomenet er en hvilken som helst verdi av x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- verdiområde – fra \(-1\) til \(1\) inklusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- jevn: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisk med punktum \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- skjæringspunkter med koordinatakser:
abscisse-akse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), hvor \(n ϵ Z\)
Y-akse: \((0;1)\)
- intervaller for tegnkonstans:
funksjonen er positiv på intervallene: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen er negativ på intervallene: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), hvor \(n ϵ Z\)
- intervaller for økning og reduksjon:
funksjonen øker med intervallene: \((π+2πn;2π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen avtar på intervallene: \((2πn;π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
- maksimum og minimum for funksjonen:
funksjonen har en maksimal verdi \(y=1\) i punktene \(x=2πn\), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen har en minimumsverdi \(y=-1\) i punktene \(x=π+2πn\), hvor \(n ϵ Z\).