La det være nødvendig å finne ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på en rett linje. Ved å angi radiusvektorene deres med og den nåværende radiusvektoren med , kan vi enkelt få den ønskede ligningen i vektorform. Faktisk må vektorene være koplanære (de ligger alle i det ønskede planet). Derfor må vektor-skalarproduktet til disse vektorene være lik null:

Dette er ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter, i vektorform.

Når vi vender oss til koordinatene, får vi ligningen i koordinater:

Hvis de tre gitte punktene ligger på samme rette linje, vil vektorene være kollineære. Derfor vil de tilsvarende elementene i de to siste radene av determinanten i ligning (18) være proporsjonale og determinanten vil være identisk lik null. Derfor vil ligning (18) bli en identitet for alle verdier av x, y og z. Geometrisk betyr dette at et plan går gjennom hvert punkt i rommet, der det også ligger tre gitte punkter.

Merknad 1. Det samme problemet kan løses uten bruk av vektorer.

Ved å betegne koordinatene til henholdsvis de tre gitte punktene, skriver vi likningen til et hvilket som helst plan som går gjennom det første punktet:

For å oppnå ligningen til det ønskede planet, må man kreve at ligningen (17) tilfredsstilles av koordinatene til de to andre punktene:

Fra ligninger (19) er det nødvendig å bestemme forholdet mellom to koeffisienter til den tredje og legge inn de funnet verdiene i ligning (17).

Eksempel 1. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punkter.

Ligningen for et plan som går gjennom det første av disse punktene vil være:

Betingelsene for at flyet (17) skal passere gjennom to andre punkter og det første punktet er:

Legger vi den andre ligningen til den første, får vi:

Setter vi inn i den andre ligningen, får vi:

Ved å sette inn i ligning (17) i stedet for henholdsvis A, B, C, 1, 5, -4 (tall proporsjonale med dem), får vi:

Eksempel 2. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punktene (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ligningen til et hvilket som helst plan som går gjennom punktet (0, 0, 0) vil være]

Betingelsene for å passere dette planet gjennom punktene (1, 1, 1) og (2, 2, 2) er:

Ved å redusere den andre ligningen med 2, ser vi at for å bestemme de to ukjente, har relasjonen en ligning med

Herfra får vi . Ved å sette inn i planligningen i stedet for dens verdi, finner vi:

Dette er ligningen til det nødvendige planet; det avhenger av vilkårlig

mengdene B, C (nemlig fra forholdet, dvs. det er utallige fly som går gjennom tre gitte punkter (tre gitte punkter ligger på samme rette linje).

Merknad 2. Problemet med å trekke et plan gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på én rett linje løses enkelt i generelt syn hvis du bruker determinanter. Faktisk, siden i ligningene (17) og (19) kan koeffisientene A, B, C ikke samtidig være lik null, så sett på disse ligningene som homogent system med tre ukjente A, B, C, skriver vi de nødvendige og tilstrekkelig tilstand eksistensen av en løsning som ikke er null for dette systemet (del 1, kapittel VI, § 6):

Ved å utvide denne determinanten med elementene i den første raden, får vi en ligning av første grad med hensyn til de nåværende koordinatene , som vil bli tilfredsstilt, spesielt av koordinatene til de tre gitte punktene.

Dette siste kan også verifiseres direkte hvis vi erstatter koordinatene til noen av disse punktene i stedet for i ligningen skrevet ved hjelp av determinanten. På venstre side oppnås en determinant, der enten elementene i den første raden er null, eller det er to identiske rader. Dermed representerer den formulerte ligningen et plan som går gjennom tre gitte punkter.

Planligning. Hvordan skrive en ligning for et fly?
Gjensidig ordning fly. Oppgaver

Romlig geometri er ikke mye mer komplisert enn "flat" geometri, og våre flyvninger i rommet begynner med denne artikkelen. For å forstå temaet må man ha god forståelse for vektorer, i tillegg er det ønskelig å være kjent med flyets geometri - det vil være mange likheter, mange analogier, så informasjonen vil bli fordøyd mye bedre. I en serie av leksjonene mine åpner 2D-verdenen med en artikkel Ligning av en rett linje på et plan. Men nå har Batman gått av flatskjerm-TVen og lanserer fra Baikonur Cosmodrome.

La oss starte med tegninger og symboler. Skjematisk kan flyet tegnes som et parallellogram, som gir inntrykk av plass:

Flyet er uendelig, men vi har muligheten til å avbilde bare et stykke av det. I praksis, i tillegg til parallellogrammet, tegnes også en oval eller til og med en sky. Av tekniske årsaker er det mer praktisk for meg å avbilde flyet på denne måten og i denne posisjonen. Ekte fly, som vi vil vurdere i praktiske eksempler, kan ordnes som du vil - mentalt ta tegningen i hendene og vri den i rommet, og gi flyet en hvilken som helst helling, hvilken som helst vinkel.

Notasjon: det er vanlig å angi fly med små greske bokstaver, tilsynelatende for ikke å forveksle dem med rett på flyet eller med rett i rommet. Jeg er vant til å bruke bokstaven. På tegningen er det bokstaven "sigma", og ikke et hull i det hele tatt. Selv om det er et hullet fly, er det absolutt veldig morsomt.

I noen tilfeller er det praktisk å bruke de samme greske bokstavene med abonnenter for å angi fly, for eksempel .

Det er åpenbart at flyet er unikt bestemt av tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme rette linje. Derfor er trebokstavsbetegnelser for fly ganske populære - i henhold til punktene som tilhører dem, for eksempel, etc. Ofte er bokstaver vedlagt i parentes: , for ikke å forveksle flyet med en annen geometrisk figur.

For erfarne lesere vil jeg gi snarveimeny:

• Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og to vektorer?
• Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke syte bort lange ventetider:

Generell ligning for flyet

Den generelle ligningen til planet har formen , hvor koeffisientene samtidig er ikke-null.

En rekke teoretiske beregninger og praktiske problemer er gyldige både for det vanlige ortonormalgrunnlaget og for affint grunnlag plass (hvis oljen er olje, gå tilbake til leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis). For enkelhets skyld vil vi anta at alle hendelser skjer på ortonormal basis og et kartesisk rektangulært koordinatsystem.

Og nå skal vi øve litt romlig fantasi. Det er greit hvis du har det dårlig, nå skal vi utvikle det litt. Selv å spille på nerver krever trening.

I selve generell sak, når tallene ikke er null, skjærer planet alle tre koordinataksene. For eksempel slik:

Jeg gjentar nok en gang at flyet fortsetter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighet til å avbilde bare en del av det.

Tenk på de enkleste likningene av fly:

Hvordan forstå denne ligningen? Tenk på det: "Z" ALLTID, for alle verdier av "X" og "Y" er lik null. Denne ligningen er "innfødt" koordinatplan. Formelt kan ligningen faktisk omskrives som følger: , hvor det er tydelig synlig at vi ikke bryr oss, hvilke verdier "x" og "y" tar, er det viktig at "z" er lik null.

På samme måte:
er ligningen til koordinatplanet ;
er ligningen til koordinatplanet.

La oss komplisere problemet litt, vurdere et plan (her og videre i avsnittet antar vi at de numeriske koeffisientene ikke er lik null). La oss omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstå det? "X" er ALLTID, for enhver verdi av "y" og "z" er lik et visst tall. Dette planet er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og går gjennom et punkt.

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinatplanet;
- ligningen til et plan som er parallelt med koordinatplanet.

Legg til medlemmer: . Ligningen kan skrives om slik: , det vil si at "Z" kan være hva som helst. Hva betyr det? "X" og "Y" er forbundet med et forhold som tegner en bestemt rett linje i planet (du vil gjenkjenne ligning av en rett linje i et plan?). Siden Z kan være hva som helst, blir denne linjen "replisert" i hvilken som helst høyde. Dermed definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen;
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen.

Hvis de frie leddene er null, vil flyene direkte passere gjennom de tilsvarende aksene. For eksempel den klassiske "direkte proporsjonalitet":. Tegn en rett linje i flyet og multipliser den mentalt opp og ned (siden "z" er hvilken som helst). Konklusjon: fly, gitt av ligningen, går gjennom koordinataksen .

Vi avslutter gjennomgangen: flyets ligning går gjennom origo. Vel, her er det ganske åpenbart at punktet tilfredsstiller den gitte ligningen.

Og til slutt saken som er vist på tegningen: - Flyet er venner med alle koordinatakser, mens den alltid "skjærer av" trekanten, som kan være plassert i hvilken som helst av de åtte oktantene.

Lineære ulikheter i rommet

For å forstå informasjonen er det nødvendig å studere godt lineære ulikheter i planet fordi mange ting vil ligne. Avsnittet vil være en kort oversikt med noen få eksempler, siden materialet er ganske sjeldent i praksis.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulikhetene
spørre halve mellomrom. Hvis ulikheten ikke er streng (de to siste i listen), så inkluderer løsningen av ulikheten, i tillegg til halvrommet, selve planet.

Eksempel 5

Finn enhetsnormalvektoren til planet .

Løsning: En enhetsvektor er en vektor hvis lengde er én. Betegn gitt vektor gjennom. Det er ganske tydelig at vektorene er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra ligningen til planet: .

Hvordan finne enhetsvektor? For å finne enhetsvektoren trenger du hver vektorkoordinat delt på vektorlengde.

La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:

I henhold til ovenstående:

Svar:

Sjekk: , som var nødvendig for å sjekke.

Lesere som har studert det siste avsnittet i leksjonen nøye, har nok lagt merke til det koordinatene til enhetsvektoren er nøyaktig retningscosinusene til vektoren:

La oss gå bort fra det demonterte problemet: når du får en vilkårlig vektor som ikke er null, og av tilstanden kreves det for å finne retningskosinusene (se de siste oppgavene i leksjonen Punktprodukt av vektorer), så finner du faktisk også en enhetsvektor kollineær til den gitte. Faktisk to oppgaver på én flaske.

Behovet for å finne en enhetsnormalvektor oppstår i noen problemer med matematisk analyse.

Vi fant ut fisket av normalvektoren, nå vil vi svare på det motsatte spørsmålet:

Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruksjonen av en normalvektor og et punkt er velkjent av et dartmål. Strekk hånden fremover og velg mentalt et vilkårlig punkt i rommet, for eksempel en liten katt i en skjenk. Åpenbart, gjennom dette punktet, kan du tegne et enkelt plan vinkelrett på hånden din.

Ligningen til et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på vektoren uttrykkes med formelen:

Innenfor rammen av dette materialet vil vi analysere hvordan vi finner ligningen til et plan hvis vi kjenner koordinatene til dets tre forskjellige punkter som ikke ligger på en rett linje. For å gjøre dette må vi huske hva som er rektangulært system koordinater i tredimensjonalt rom. Først introduserer vi det grunnleggende prinsippet gitt ligning og vise hvordan du kan bruke det til å løse spesifikke problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Til å begynne med må vi huske ett aksiom, som høres slik ut:

Definisjon 1

Hvis tre punkter ikke sammenfaller med hverandre og ikke ligger på en rett linje, passerer bare ett plan gjennom dem i tredimensjonalt rom.

Med andre ord, hvis vi har tre forskjellige punkter, hvis koordinater ikke sammenfaller og som ikke kan forbindes med en rett linje, så kan vi bestemme planet som går gjennom den.

La oss si at vi har et rektangulært koordinatsystem. La oss betegne det O x y z . Den inneholder tre punkter M med koordinater M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) som ikke kan kobles rett sammen linje. Basert på disse forholdene kan vi skrive ned likningen til planet vi trenger. Det er to måter å løse dette problemet på.

1. Den første tilnærmingen bruker den generelle ligningen til planet. I bokstavelig form skrives det som A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Med den kan du i et rektangulært koordinatsystem sette en viss plan alfa, som går gjennom det første gitte punktet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Det viser seg at normalplanvektoren α vil ha koordinatene A , B , C .

Definisjon av N

Når vi kjenner koordinatene til normalvektoren og koordinatene til punktet som planet passerer gjennom, kan vi skrive ned den generelle ligningen til dette planet.

Fra dette går vi videre.

I henhold til problemets betingelser har vi altså koordinatene ønsket punkt(til og med tre) som flyet passerer gjennom. For å finne ligningen må du beregne koordinatene til normalvektoren. Betegn det n → .

Husk regelen: enhver vektor som ikke er null i et gitt plan er vinkelrett på normalvektoren til samme plan. Da har vi at n → vil være vinkelrett på vektorene sammensatt av startpunktene M 1 M 2 → og M 1 M 3 → . Da kan vi betegne n → som et vektorprodukt av formen M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Siden M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) og M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (bevisene for disse likhetene er gitt i artikkelen som er viet til å beregne koordinatene til en vektor fra koordinatene til punktene), så viser det seg at:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z en

Regner vi ut determinanten får vi koordinatene til normalvektoren n → vi trenger. Nå kan vi skrive ligningen vi trenger for et fly som går gjennom tre gitte punkter.

2. Den andre tilnærmingen til å finne en ligning som går gjennom M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) er basert på et slikt konsept som komplanariteten til vektorer.

Hvis vi har et sett med punkter M (x, y, z), så definerer de i et rektangulært koordinatsystem et plan for de gitte punktene M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) bare hvis vektorene M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) og M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) vil være koplanar.

På diagrammet vil det se slik ut:

Dette vil bety at blandingsproduktet av vektorene M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vil være lik null: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , siden dette er hovedbetingelsen for komplanaritet: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) og M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Vi skriver den resulterende ligningen i koordinatform:

Etter at vi har beregnet determinanten, kan vi få ligningen til planet vi trenger for tre punkter som ikke ligger på en rett linje M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2, z 2), M3 (x 3, y3, z 3).

Fra den resulterende ligningen kan du gå til ligningen til planet i segmenter eller til normal ligning fly, hvis det kreves av forholdene i problemet.

I neste avsnitt vil vi gi eksempler på hvordan tilnærmingene vi har antydet blir implementert i praksis.

Eksempler på oppgaver for å sette sammen en likning av et plan som går gjennom 3 punkter

Tidligere har vi identifisert to tilnærminger som kan brukes for å finne den ønskede ligningen. La oss se hvordan de brukes i problemløsning og når du skal velge hver enkelt.

Eksempel 1

Det er tre punkter som ikke ligger på én rett linje, med koordinatene M 1 (- 3 , 2 , - 1), M 2 (- 1 , 2 , 4), M 3 (3 , 3 , - 1) . Skriv en ligning for et fly som passerer gjennom dem.

Løsning

Vi bruker begge metodene etter tur.

1. Finn koordinatene til de to vektorene vi trenger M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Nå beregner vi deres vektorprodukt. I dette tilfellet vil vi ikke beskrive beregningene av determinanten:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Vi har en normalvektor av planet som går gjennom de tre nødvendige punktene: n → = (- 5 , 30 , 2) . Deretter må vi ta ett av punktene, for eksempel M 1 (- 3 , 2 , - 1) , og skrive ligningen for planet med vektoren n → = (- 5 , 30 , 2) . Vi får at: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Dette er ligningen til planet vi trenger, som går gjennom tre punkter.

2. Vi bruker en annen tilnærming. Vi skriver ligningen for et plan med tre punkter M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) i følgende skjema:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Her kan du erstatte data fra tilstanden til problemet. Siden x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, som et resultat vil vi få:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Vi har ligningen vi trenger.

Svar:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Men hva om de gitte punktene fortsatt ligger på den samme rette linjen og vi må komponere en planligning for dem? Her skal det sies med en gang at denne tilstanden ikke vil være helt korrekt. Uendelig mange fly kan passere gjennom slike punkter, så det er umulig å beregne et enkelt svar. La oss vurdere et slikt problem for å bevise feilen i en slik formulering av spørsmålet.

Eksempel 2

Vi har et rektangulært koordinatsystem i 3D-rom som inneholder tre punkter med koordinater M 1 (5 , - 8 , - 2), M 2 (1 , - 2 , 0), M 3 (- 1 , 1 , 1) . Det er nødvendig å skrive en ligning for et fly som går gjennom den.

Løsning

Vi bruker den første metoden og starter med å beregne koordinatene til to vektorer M 1 M 2 → og M 1 M 3 → . La oss beregne deres koordinater: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2), M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektorproduktet vil være lik:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Siden M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , så vil vektorene våre være kollineære (les artikkelen om dem på nytt hvis du har glemt definisjonen av dette konseptet). Dermed er startpunktene M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0), M 3 (- 1 , 1 , 1) på samme rette linje, og problemet vårt har uendelig mange alternativer svar.

Hvis vi bruker den andre metoden, får vi:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Av den resulterende likheten følger det også at de gitte punktene M 1 (5 , - 8 , - 2), M 2 (1 , - 2 , 0), M 3 (- 1 , 1 , 1) er på samme linje.

Hvis du ønsker å finne minst ett svar på dette problemet fra et uendelig antall alternativer, må du følge disse trinnene:

1. Skriv ligningen til den rette linjen M 1 M 2, M 1 M 3 eller M 2 M 3 (se om nødvendig materialet om denne handlingen).

2. Ta et punkt M 4 (x 4 , y 4 , z 4) som ikke ligger på linjen M 1 M 2.

3. Skriv ned ligningen til et plan som går gjennom tre ulike punkter M 1 , M 2 og M 4 ligger ikke på en rett linje.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Kan stilles inn forskjellige måter(ett punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankene at likningen til flyet kan ha forskjellige typer. Også, under visse forhold, kan planene være parallelle, vinkelrette, kryssende, etc. Vi vil snakke om dette i denne artikkelen. Vi vil lære å skrive den generelle ligningen til flyet og ikke bare.

Normal form av ligningen

La oss si at det er et rom R 3 som har et rektangulært koordinatsystem XYZ. Vi setter vektoren α, som vil bli frigjort fra startpunktet O. Gjennom enden av vektoren α tegner vi planet P, som vil være vinkelrett på det.

Angi med P et vilkårlig punkt Q=(x, y, z). Vi vil signere radiusvektoren til punktet Q med bokstaven p. Lengden på vektoren α er p=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette er en enhetsvektor som peker sidelengs, akkurat som vektoren α. α, β og γ er vinklene som dannes mellom vektoren Ʋ og de positive retningene til romaksene henholdsvis x, y, z. Projeksjonen av et punkt QϵП på vektoren Ʋ er konstant verdi, som er lik p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Denne ligningen gir mening når p=0. Det eneste er at planet P i dette tilfellet vil skjære punktet O (α=0), som er origo, og enhetsvektoren Ʋ frigjort fra punktet O vil være vinkelrett på P, uavhengig av retningen, som betyr at vektoren Ʋ er bestemt fra fortegn-nøyaktig. Den forrige ligningen er ligningen til P-planet vårt, uttrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se slik ut:

P her er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen til et plan i rommet i normal form.

Generell ligning

Hvis vi multipliserer likningen i koordinater med et hvilket som helst tall som ikke er lik null, får vi en likning tilsvarende den gitte, som bestemmer det samme planet. Det vil se slik ut:

Her er A, B, C tall som samtidig er forskjellige fra null. Denne ligningen blir referert til som den generelle planligningen.

Planligninger. Spesielle tilfeller

Ligningen i generell form kan modifiseres i nærvær av tilleggsbetingelser. La oss vurdere noen av dem.

Anta at koeffisienten A er 0. Dette betyr at det gitte planet er parallelt med den gitte aksen Ox. I dette tilfellet vil formen på ligningen endres: Ву+Cz+D=0.

På samme måte vil formen på ligningen endres under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, vil ligningen endres til Ax + Cz + D = 0, som vil indikere parallellitet til Oy-aksen.
• For det andre, hvis С=0, blir ligningen transformert til Ах+Ву+D=0, noe som vil indikere parallellitet til den gitte aksen Oz.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ut som Ax+By+Cz=0, noe som vil bety at planet skjærer O (origo).
• For det fjerde, hvis A=B=0, vil ligningen endres til Cz+D=0, som vil vise seg parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, så blir ligningen Ax+D=0, som betyr at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen ha formen Ву+D=0, det vil si at den vil rapportere parallellitet til Oxz.

Type ligning i segmenter

I tilfellet når tallene A, B, C, D er ikke-null, kan formen til ligningen (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

der a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Vi får som et resultat Det er verdt å merke seg at dette planet vil skjære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0), og Oz - (0,0,c) .

Når man tar i betraktning likningen x/a + y/b + z/c = 1, er det lett å visuelt representere plasseringen av planet i forhold til et gitt koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planet P har koordinater som er koeffisientene generell ligning gitt plan, det vil si n (A, B, C).

For å bestemme koordinatene til normalen n, er det tilstrekkelig å kjenne den generelle ligningen til et gitt plan.

Når man bruker ligningen i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når man bruker den generelle ligningen, kan man skrive koordinatene til en hvilken som helst normalvektor i et gitt plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det skal bemerkes at normalvektoren hjelper til med å løse ulike problemer. De vanligste er oppgaver som består i å bevise vinkelrett eller parallellitet til plan, problemer med å finne vinkler mellom plan eller vinkler mellom plan og linjer.

Visning av likningen til planet i henhold til koordinatene til punktet og normalvektoren

En ikke-null vektor n vinkelrett på et gitt plan kalles normal (normal) for et gitt plan.

Anta at i koordinatrommet (rektangulært koordinatsystem) er det gitt Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• null vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendig å komponere en ligning for et plan som vil passere gjennom punktet Mₒ vinkelrett på normalen n.

I rommet velger vi et hvilket som helst vilkårlig punkt og betegner det med M (x y, z). La radiusvektoren til et hvilket som helst punkt M (x, y, z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren til punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punktet M vil tilhøre det gitte planet hvis vektoren MₒM er vinkelrett på vektoren n. Vi skriver ortogonalitetsbetingelsen ved å bruke skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM \u003d r-rₒ, vil vektorligningen til planet se slik ut:

Denne ligningen kan ha en annen form. Til dette brukes egenskapene til skalarproduktet, og venstre side ligninger. = - . Hvis betegnet som c, vil følgende ligning bli oppnådd: - c \u003d 0 eller \u003d c, som uttrykker konstansen til projeksjonene på normalvektoren til radiusvektorene til de gitte punktene som tilhører planet.

Nå kan du få koordinert visning oppføringer av vektorligningen til planet vårt = 0. Siden r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B*j +C* k, vi har:

Det viser seg at vi har en ligning for et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på normalen n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Visning av planligningen i henhold til koordinatene til to punkter og en vektor i linje med planet

Vi definerer to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″), samt vektoren a (a′,a″,a‴).

Nå kan vi komponere en ligning for et gitt plan, som vil passere gjennom de tilgjengelige punktene M′ og M ″, samt et hvilket som helst punkt M med koordinater (x, y, z) i parallell gitt vektor en.

I dette tilfellet må vektorene M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanare med vektoren a=(a′,a″,a‴), som betyr at (M′M, M″M, a)=0.

Så ligningen vår av et plan i rommet vil se slik ut:

Type likning for et plan som skjærer tre punkter

Anta at vi har tre punkter: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke tilhører den samme rette linjen. Det er nødvendig å skrive ligningen til planet som går gjennom de gitte tre punktene. Teorien om geometri hevder at denne typen plan virkelig eksisterer, bare det er det eneste og uforlignelige. Siden dette planet skjærer punktet (x′, y′, z′), vil formen på dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskjellige fra null på samme tid. Dessuten skjærer det gitte planet ytterligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I denne forbindelse må følgende betingelser være oppfylt:

Nå kan vi komponere et homogent system med ukjente u, v, w:

I vår tilfelle x,y eller z står vilkårlig poeng, som tilfredsstiller ligning (1). Når man tar i betraktning likningen (1) og likningssystemet (2) og (3), tilfredsstiller likningssystemet angitt i figuren ovenfor vektoren N (A, B, C), som er ikke-triviell. Det er derfor determinanten til dette systemet er lik null.

Ligning (1), som vi har fått, er ligningen til planet. Den går nøyaktig gjennom 3 punkter, og dette er enkelt å sjekke. For å gjøre dette må vi utvide vår determinant over elementene i den første raden. Det følger av de eksisterende egenskapene til determinanten at planet vårt samtidig skjærer tre opprinnelig gitte punkter (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vil si at vi har løst oppgaven som ligger foran oss.

Dihedral vinkel mellom planene

En dihedral vinkel er en romlig vinkel geometrisk figur, dannet av to halvplan som kommer fra én rett linje. Dette er med andre ord den delen av rommet som er begrenset av disse halvplanene.

La oss si at vi har to plan med følgende ligninger:

Vi vet at vektorene N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette iht. gitte fly. I denne forbindelse er vinkelen φ mellom vektorene N og N¹ lik vinkelen (dihedral), som er mellom disse planene. Skalært produkt ser ut som:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

nettopp fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er nok å ta hensyn til at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to plan som skjærer to (diedriske) vinkler: φ 1 og φ 2 . Summen deres er lik π (φ 1 + φ 2 = π). Når det gjelder cosinusene deres, er deres absolutte verdier like, men de er forskjellige i tegn, det vil si cos φ 1 =-cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen vi får bestemme det samme planet, den eneste vinkelen φ i cos-ligningφ= NN 1 /|N||N 1 | vil bli erstattet med π-φ.

Perpendikulært plan ligning

Planer kalles perpendikulære hvis vinkelen mellom dem er 90 grader. Ved å bruke materialet som er skissert ovenfor, kan vi finne ligningen til et plan vinkelrett på et annet. La oss si at vi har to plan: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan slå fast at de vil være vinkelrette hvis cosφ=0. Dette betyr at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallellplanligning

Parallelle er to plan som ikke inneholder fellespunkter.

Betingelsen (likningene deres er de samme som i forrige avsnitt) er at vektorene N og N¹, som er vinkelrett på dem, er kollineære. Og dette betyr at følgende forhold proporsjonalitet:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proporsjonalitetsbetingelsene utvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer at disse flyene faller sammen. Dette betyr at likningene Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.

Avstand til fly fra punkt

La oss si at vi har et plan P, som er gitt ved ligning (0). Det er nødvendig å finne avstanden til den fra punktet med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For å gjøre dette, må du bringe ligningen til planet P til normal form:

(ρ,v)=p (p≥0).

PÅ denne sakenρ (x, y, z) er radiusvektoren til punktet vårt Q plassert på P, p er lengden av vinkelrett på P som ble frigjort fra nullpunktet, v er enhetsvektoren som er plassert i a-retningen.

Forskjellen ρ-ρº til radiusvektoren til et punkt Q=(x,y,z) som tilhører P, så vel som radiusvektoren til et gitt punkt Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) er en slik vektor, absolutt verdi hvis projeksjon på v er lik avstanden d, som må finnes fra Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Så det viser seg

d=|(poo,v)-p|.

Slik finner vi absolutt verdi det resulterende uttrykket, det vil si den nødvendige d.

Ved å bruke parameterspråket får vi det åpenbare:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Hvis en gitt poeng Q 0 er på den andre siden av P-planet, så vel som origo, så mellom vektoren ρ-ρ 0 og v er derfor:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

I tilfellet når punktet Q 0, sammen med origo, er plassert på samme side av P, er vinkelen som skapes spiss, det vil si:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Som et resultat viser det seg at i det første tilfellet (ρ 0 ,v)> р, i det andre (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overflaten ved kontaktpunktet Mº er planet som inneholder alle mulige tangenter til kurvene trukket gjennom dette punktet på overflaten.

Med denne formen av overflateligningen F (x, y, z) \u003d 0, vil ligningen til tangentplanet ved tangentpunktet Mº (xº, yº, zº) se slik ut:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Hvis du spesifiserer overflaten i eksplisitt form z=f (x, y), vil tangentplanet bli beskrevet av ligningen:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Skjæringspunktet mellom to plan

I koordinatsystemet (rektangulært) ligger Oxyz, to plan П′ og П″ er gitt, som krysser hverandre og ikke sammenfaller. Siden ethvert plan som ligger i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av den generelle ligningen, vil vi anta at P′ og P″ er gitt av ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfellet har vi den normale n′ (A′, B′, C′) til P′-planet og den normale n″ (A″, B″, C″) til P″-planet. Siden våre fly ikke er parallelle og ikke sammenfaller, er disse vektorene ikke kollineære. Ved å bruke matematikkens språk kan vi skrive denne betingelsen slik: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. La linjen som ligger i skjæringspunktet mellom P′ og P″ betegnes med bokstaven a, i dette tilfellet a = P′ ∩ P″.

a er en rett linje som består av settet av alle punkter i (felles) plan П′ og П″. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt som tilhører linjen a samtidig må tilfredsstille ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″= 0. Dette betyr at koordinatene til punktet vil være en spesiell løsning av følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det seg at den (generelle) løsningen av dette ligningssystemet vil bestemme koordinatene til hvert av punktene på den rette linjen, som vil fungere som skjæringspunktet for П′ og П″, og bestemme den rette linje a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulær) i rommet.