De største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket område. Den største og minste verdien av funksjonen

La funksjonen $z=f(x,y)$ være definert og kontinuerlig i et avgrenset lukket domene $D$. La den gitte funksjonen ha endelige partielle deriverte av første orden i denne regionen (med mulig unntak av et endelig antall poeng). For å finne de største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et gitt lukket område, kreves det tre trinn av en enkel algoritme.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av funksjonen $z=f(x,y)$ i det lukkede domenet $D$.

Finn de kritiske punktene til funksjonen $z=f(x,y)$ som tilhører regionen $D$. Beregn funksjonsverdier på kritiske punkter.
Undersøk oppførselen til funksjonen $z=f(x,y)$ på grensen til regionen $D$ ved å finne punktene for mulige maksimums- og minimumsverdier. Beregn funksjonsverdiene ved de oppnådde punktene.
Fra funksjonsverdiene oppnådd i de to foregående avsnittene, velg den største og minste.

Hva er kritiske punkter? Vis skjul

Under kritiske punkter antyde punkter der begge førsteordens partielle deriverte er lik null (dvs. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ og $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) eller minst én partiell derivativ eksisterer ikke.

Ofte kalles punktene der førsteordens partielle deriverte er lik null stasjonære punkter. Dermed er stasjonære punkter en undergruppe av kritiske punkter.

Eksempel #1

Finn maksimums- og minimumsverdiene for funksjonen $z=x^2+2xy-y^2-4x$ i det lukkede området avgrenset av linjene $x=3$, $y=0$ og $y=x +1$.

Vi vil følge ovenstående, men først skal vi behandle tegningen av et gitt område, som vi vil betegne med bokstaven $D$. Vi får likningene til tre rette linjer, som begrenser dette området. Den rette linjen $x=3$ går gjennom punktet $(3;0)$ parallelt med y-aksen (akse Oy). Den rette linjen $y=0$ er ligningen til abscisseaksen (okseaksen). Vel, for å konstruere en rett linje $y=x+1$ la oss finne to punkter som vi trekker denne rette linjen gjennom. Du kan selvfølgelig erstatte et par vilkårlige verdier i stedet for $x$. Hvis vi for eksempel erstatter $x=10$, får vi: $y=x+1=10+1=11$. Vi har funnet punktet $(10;11)$ liggende på linjen $y=x+1$. Det er imidlertid bedre å finne de punktene der linjen $y=x+1$ skjærer linjene $x=3$ og $y=0$. Hvorfor er det bedre? Fordi vi skal legge ned et par fugler i en smekk: vi får to punkter for å konstruere den rette linjen $y=x+1$ og samtidig finne ut på hvilke punkter denne rette linjen skjærer andre linjer som begrenser den gitte område. Linjen $y=x+1$ skjærer linjen $x=3$ i punktet $(3;4)$, og linjen $y=0$ - i punktet $(-1;0)$. For ikke å rote opp løsningsforløpet med hjelpeforklaringer, vil jeg sette spørsmålet om å innhente disse to punktene i et notat.

Hvordan ble poengene $(3;4)$ og $(-1;0)$ oppnådd? Vis skjul

La oss starte fra skjæringspunktet mellom linjene $y=x+1$ og $x=3$. Koordinatene til det ønskede punktet tilhører både den første og andre linjen, så for å finne ukjente koordinater, må du løse ligningssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Løsningen av et slikt system er triviell: å erstatte $x=3$ i den første ligningen vil vi ha: $y=3+1=4$. Punktet $(3;4)$ er ønsket skjæringspunkt for linjene $y=x+1$ og $x=3$.

La oss nå finne skjæringspunktet mellom linjene $y=x+1$ og $y=0$. Igjen komponerer og løser vi ligningssystemet:

$$ \venstre \( \begin(justert) & y=x+1;\\ & y=0. \end(justert) \right. $$

Ved å erstatte $y=0$ i den første ligningen får vi: $0=x+1$, $x=-1$. Punktet $(-1;0)$ er ønsket skjæringspunkt for linjene $y=x+1$ og $y=0$ (abscisseakse).

Alt er klart for å bygge en tegning som vil se slik ut:

Spørsmålet om lappen virker åpenbart, fordi alt kan sees fra figuren. Det er imidlertid verdt å huske at tegningen ikke kan tjene som bevis. Figuren er bare en illustrasjon for klarhetens skyld.

Området vårt ble satt ved å bruke linjelikningene som begrenser det. Det er åpenbart at disse linjene definerer en trekant, ikke sant? Eller ikke helt åpenbart? Eller kanskje vi får et annet område, avgrenset av de samme linjene:

Tilstanden sier selvfølgelig at området er stengt, så bildet som vises er feil. Men for å unngå slike uklarheter er det bedre å definere regioner ved ulikheter. Vi er interessert i den delen av flyet som ligger under linjen $y=x+1$? Ok, så $y ≤ x+1$. Området vårt skal ligge over linjen $y=0$? Flott, så $y ≥ 0$. Forresten, de to siste ulikhetene kombineres enkelt til én: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \venstre \( \begin(justert) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(justert) \right. $$

Disse ulikhetene definerer domenet $D$, og definerer det unikt, uten noen tvetydigheter. Men hvordan hjelper dette oss i spørsmålet i begynnelsen av fotnoten? Det vil også hjelpe :) Vi må sjekke om punktet $M_1(1;1)$ tilhører regionen $D$. La oss erstatte $x=1$ og $y=1$ i systemet av ulikheter som definerer denne regionen. Hvis begge ulikhetene er oppfylt, ligger poenget innenfor regionen. Hvis minst en av ulikhetene ikke er tilfredsstilt, tilhører ikke punktet regionen. Så:

$$ \venstre \( \begin(justert) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(justert) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(justert) \right.$$

Begge ulikhetene er sanne. Punktet $M_1(1;1)$ tilhører regionen $D$.

Nå er det turen til å undersøke funksjonen til funksjonen på grensen til domenet, dvs. gå til. La oss starte med den rette linjen $y=0$.

Den rette linjen $y=0$ (abscisseakse) begrenser området $D$ under betingelsen $-1 ≤ x ≤ 3$. Bytt inn $y=0$ i den gitte funksjonen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Den resulterende substitusjonsfunksjonen til en variabel $x$ vil bli betegnet som $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nå for funksjonen $f_1(x)$ må vi finne de største og minste verdiene på intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Finn den deriverte av denne funksjonen og lig den med null:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Verdien $x=2$ tilhører segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, så vi legger også til $M_2(2;0)$ i punktlisten. I tillegg beregner vi verdiene til funksjonen $z$ i enden av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. på punktene $M_3(-1;0)$ og $M_4(3;0)$. Forresten, hvis punktet $M_2$ ikke tilhørte segmentet under vurdering, ville det selvfølgelig ikke være behov for å beregne verdien av funksjonen $z$ i det.

Så, la oss beregne verdiene til funksjonen $z$ ved punktene $M_2$, $M_3$, $M_4$. Du kan selvfølgelig erstatte koordinatene til disse punktene i det opprinnelige uttrykket $z=x^2+2xy-y^2-4x$. For eksempel, for punktet $M_2$ får vi:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Beregningene kan imidlertid forenkles litt. For å gjøre dette er det verdt å huske at på segmentet $M_3M_4$ har vi $z(x,y)=f_1(x)$. Jeg skal forklare det i detalj:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(justert)

Selvfølgelig er det vanligvis ikke behov for slike detaljerte oppføringer, og i fremtiden vil vi begynne å skrive ned alle beregninger på en kortere måte:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

La oss nå gå til den rette linjen $x=3$. Denne linjen avgrenser domenet $D$ under betingelsen $0 ≤ y ≤ 4$. Bytt $x=3$ inn i den gitte funksjonen $z$. Som et resultat av en slik substitusjon får vi funksjonen $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

For funksjonen $f_2(y)$ må du finne de største og minste verdiene på intervallet $0 ≤ y ≤ 4$. Finn den deriverte av denne funksjonen og lig den med null:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Verdien $y=3$ tilhører segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, så vi legger til $M_5(3;3)$ til punktene funnet tidligere. I tillegg er det nødvendig å beregne verdien av funksjonen $z$ ved punktene i enden av segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, dvs. på punktene $M_4(3;0)$ og $M_6(3;4)$. På punktet $M_4(3;0)$ har vi allerede beregnet verdien av $z$. La oss beregne verdien av funksjonen $z$ ved punktene $M_5$ og $M_6$. La meg minne deg på at på segmentet $M_4M_6$ har vi $z(x,y)=f_2(y)$, derfor:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(justert)

Og til slutt, vurder den siste grensen til $D$, dvs. linje $y=x+1$. Denne linjen avgrenser området $D$ under betingelsen $-1 ≤ x ≤ 3$. Ved å erstatte $y=x+1$ i funksjonen $z$, vil vi ha:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Nok en gang har vi en funksjon av én variabel $x$. Og igjen, du må finne de største og minste verdiene av denne funksjonen på segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$. Finn den deriverte av funksjonen $f_(3)(x)$ og lig den med null:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Verdien $x=1$ tilhører intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hvis $x=1$, så $y=x+1=2$. La oss legge til $M_7(1;2)$ til listen over punkter og finne ut hva verdien av funksjonen $z$ er på dette tidspunktet. Punktene i enden av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. poeng $M_3(-1;0)$ og $M_6(3;4)$ ble vurdert tidligere, vi har allerede funnet verdien av funksjonen i dem.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Det andre trinnet i løsningen er fullført. Vi har syv verdier:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

La oss gå til. Ved å velge de største og minste verdiene fra tallene som ble oppnådd i tredje ledd, vil vi ha:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6,$$

Problemet er løst, det gjenstår bare å skrive ned svaret.

Svar: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Eksempel #2

Finn de største og minste verdiene av funksjonen $z=x^2+y^2-12x+16y$ i området $x^2+y^2 ≤ 25$.

La oss lage en tegning først. Ligningen $x^2+y^2=25$ (dette er grenselinjen til det gitte området) definerer en sirkel med senter i origo (dvs. i punktet $(0;0)$) og en radius på 5. Ulikheten $x^2 +y^2 ≤ 25$ tilfredsstiller alle punkter innenfor og på den nevnte sirkelen.

Vi vil handle videre. La oss finne partielle derivater og finne ut de kritiske punktene.

$$ \frac(\delvis z)(\delvis x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Det er ingen punkter der de funnet partielle derivatene ikke eksisterer. La oss finne ut på hvilke punkter begge partielle derivater er samtidig lik null, dvs. finne stasjonære punkter.

$$ \venstre \( \begin(justert) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(justert) \right. \;\; \venstre \( \begin(justert) & x =6;\\ & y=-8.\end(justert) \right.$$

Vi fikk et stasjonært poeng $(6;-8)$. Det funnet punktet tilhører imidlertid ikke regionen $D$. Dette er enkelt å vise uten engang å ty til tegning. La oss sjekke om ulikheten $x^2+y^2 ≤ 25$, som definerer vårt domene $D$, holder. Hvis $x=6$, $y=-8$, så $x^2+y^2=36+64=100$, dvs. ulikheten $x^2+y^2 ≤ 25$ er ikke oppfylt. Konklusjon: punktet $(6;-8)$ tilhører ikke regionen $D$.

Dermed er det ingen kritiske punkter inne i $D$. La oss gå videre, til. Vi må undersøke oppførselen til funksjonen på grensen til det gitte området, dvs. på sirkelen $x^2+y^2=25$. Du kan selvfølgelig uttrykke $y$ i form av $x$, og deretter erstatte det resulterende uttrykket med vår funksjon $z$. Fra sirkelligningen får vi: $y=\sqrt(25-x^2)$ eller $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ved å erstatte for eksempel $y=\sqrt(25-x^2)$ i den gitte funksjonen, vil vi ha:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Den videre løsningen vil være helt identisk med studiet av funksjonen til funksjonen på grensen til regionen i forrige eksempel nr. 1. Imidlertid virker det for meg mer rimelig i denne situasjonen å bruke Lagrange-metoden. Vi er kun interessert i den første delen av denne metoden. Etter å ha brukt den første delen av Lagrange-metoden, vil vi få poeng der og undersøke funksjonen $z$ for minimums- og maksimumsverdier.

Vi komponerer Lagrange-funksjonen:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Vi finner de partielle deriverte av Lagrange-funksjonen og komponerer det tilsvarende likningssystemet:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \venstre \( \begin (justert) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(justert) \ høyre. \;\; \venstre \( \begin(justert) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( justert)\høyre.$$

For å løse dette systemet, la oss umiddelbart indikere at $\lambda\neq -1$. Hvorfor $\lambda\neq -1$? La oss prøve å erstatte $\lambda=-1$ i den første ligningen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Den resulterende motsigelsen $0=6$ sier at verdien $\lambda=-1$ er ugyldig. Utgang: $\lambda\neq -1$. La oss uttrykke $x$ og $y$ i form av $\lambda$:

\begin(justert) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(justert)

Jeg tror at det blir åpenbart her hvorfor vi spesifikt fastsatte $\lambda\neq -1$-betingelsen. Dette ble gjort for å passe uttrykket $1+\lambda$ inn i nevnerne uten forstyrrelser. Det vil si å være sikker på at nevneren er $1+\lambda\neq 0$.

La oss erstatte de oppnådde uttrykkene for $x$ og $y$ inn i systemets tredje likning, dvs. i $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Det følger av den resulterende likheten at $1+\lambda=2$ eller $1+\lambda=-2$. Derfor har vi to verdier av parameteren $\lambda$, nemlig: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Følgelig får vi to par med verdier $x$ og $y$:

\begin(justert) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(justert)

Så vi fikk to poeng av et mulig betinget ekstremum, dvs. $M_1(3;-4)$ og $M_2(-3;4)$. Finn verdiene til funksjonen $z$ ved punktene $M_1$ og $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(justert)

Vi bør velge de største og minste verdiene fra de vi fikk i det første og andre trinnet. Men i dette tilfellet er valget lite :) Vi har:

$$z_(min)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Svar: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=125$.

Leksjon om emnet: "Finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag! Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i nettbutikken "Integral" for klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive byggeoppgaver for klasse 7-10
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet

Hva skal vi studere:

1. Finne de største og minste verdiene i henhold til grafen til funksjonen.
2. Finne den største og minste verdien ved å bruke den deriverte.
3. Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon y=f(x) på segmentet.
4. Den største og minste verdien av en funksjon på et åpent intervall.
5. Eksempler.

Finne den største og minste verdien fra grafen til en funksjon

Gutter, vi har funnet de største og minste verdiene av funksjonen før. Vi så på grafen til en funksjon og konkluderte med hvor funksjonen når sin maksimale verdi, og hvor den når sitt minimum.
La oss gjenta:

Grafen til funksjonen vår viser at den største verdien nås ved punktet x= 1, den er lik 2. Den minste verdien nås ved punktet x= -1, og den er lik -2. På denne måten er det ganske enkelt å finne de største og minste verdiene, men det er ikke alltid mulig å plotte en funksjonsgraf.

Finne den største og minste verdien ved å bruke den deriverte

Gutter, hva synes dere, hvordan kan dere finne den største og minste verdien ved å bruke den deriverte?

Svaret finner du i emnet ekstrema av funksjonen. Der fant du og jeg maksimum og minimum poeng, er ikke begrepene like. Imidlertid bør man ikke forveksle maksimums- og minimumsverdiene med maksimum og minimum for en funksjon, dette er forskjellige konsepter.

Så la oss introdusere reglene:
a) Hvis en funksjon er kontinuerlig på et intervall, når den sine maksimums- og minimumsverdier på dette intervallet.
b) Funksjonen kan nå maksimums- og minimumsverdiene både i enden av segmentene og inne i den. La oss se på dette punktet mer detaljert.

I figur a når funksjonen sine maksimums- og minimumsverdier i enden av segmentene.
I figur b når funksjonen sine maksimums- og minimumsverdier innenfor intervallet . I figur c er minimumspunktet inne i segmentet, og maksimumspunktet er på slutten av segmentet, ved punkt b.
c) Hvis de største og minste verdiene nås inne i segmentet, så bare ved stasjonære eller kritiske punkter.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon y= f(x) på et segment

Finn den deriverte f "(x).
Finn stasjonære og kritiske punkter inne i segmentet.
Regn ut verdien av funksjonen ved stasjonære og kritiske punkter, samt ved f(a) og f(b). Velg de minste og største verdiene, disse vil være punktene til de minste og største verdiene til funksjonen.

Den største og minste verdien av en funksjon på et åpent intervall

Gutter, hvordan finne den største og minste verdien av en funksjon på et åpent intervall? For å gjøre dette bruker vi et viktig teorem, som er bevist i løpet av høyere matematikk.

Teorem. La funksjonen y= f(x) være kontinuerlig på intervallet x, og ha innenfor dette intervallet det eneste stasjonære eller kritiske punktet x= x0, da:
a) hvis x= x0 er maksimumspunktet, så er y maks. = f(x0).
b) hvis x= x0 er minimumspunktet, så y min. = f(x0).

Eksempel

Finn den største og minste verdien av funksjonen y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 på segmentet
a) [-9;-1], b) [-3; 3], c) .
Løsning: Finn den deriverte: y "= x 2 + 4x + 4.
Den deriverte eksisterer på hele definisjonsdomenet, da må vi finne stasjonære punkter.
y"= 0, med x= -2.
Ytterligere beregninger vil bli utført for de nødvendige segmentene.
a) Finn verdiene til funksjonen i enden av segmentet og ved det stasjonære punktet.
Så y nam. = -122, ved x = -9; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, for x= -1.
b) Finn verdiene til funksjonen i enden av segmentet og ved det stasjonære punktet. Den største og minste verdien nås i enden av segmentet.
Så y nam. = -8, ved x= -3, y maks. = 34, ved x= 3.
c) Det stasjonære punktet faller ikke på segmentet vårt, vi finner verdiene i enden av segmentet.
Så y nam. = 34, ved x= 3, y maks. = 436, ved x= 9.

Eksempel

Finn den største og minste verdien av funksjonen y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| på segmentet.
Løsning: Utvid modulen og transformer funksjonen vår:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, for x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, for x ≥ 1.

Da vil funksjonen vår ha formen:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad if\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad if\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Finn kritiske punkter: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad when\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad when\quad x= \begin(cases) 2,\quad when \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for \quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Så vi har to stasjonære punkter og la oss ikke glemme at funksjonen vår består av to funksjoner for forskjellige x.
La oss finne de største og minste verdiene av funksjonen, for dette beregner vi verdiene til funksjonen ved stasjonære punkter og i enden av segmentet:
Svar: Funksjonen når minimumsverdien ved det stasjonære punktet x= 1, minst y. = 3. Funksjonen når sin maksimale verdi på slutten av segmentet ved punktet x= 4, y maks. = 12.

Eksempel

Finn maksimalverdien til funksjonen y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ på strålen: , b) , c) [-4;7].
b) Finn den største og minste verdien av funksjonen y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| på intervallet [-1;5].
c) Finn den største og minste verdien av funksjonen y= $-2x-\frac(1)(2x)$ på strålen (0;+∞).

Fra et praktisk synspunkt er det mest interessante bruken av den deriverte for å finne den største og minste verdien av en funksjon. Hva henger det sammen med? Maksimere profitt, minimere kostnader, bestemme optimal belastning av utstyr... Med andre ord, på mange områder av livet må man løse problemet med å optimalisere noen parametere. Og dette er problemet med å finne de største og minste verdiene av funksjonen.

Det skal bemerkes at den største og minste verdien av en funksjon vanligvis søkes på et eller annet intervall X , som enten er hele domenet til funksjonen eller en del av domenet. Selve intervallet X kan være et linjestykke, et åpent intervall , et uendelig intervall .

I denne artikkelen vil vi snakke om å finne de største og minste verdiene av en eksplisitt gitt funksjon av en variabel y=f(x) .

Sidenavigering.

Den største og minste verdien av en funksjon - definisjoner, illustrasjoner.

La oss kort dvele ved hoveddefinisjonene.

Den største verdien av funksjonen , som for evt ulikheten er sann.

Den minste verdien av funksjonen y=f(x) på intervallet X kalles en slik verdi , som for evt ulikheten er sann.

Disse definisjonene er intuitive: den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) verdien akseptert på intervallet som vurderes med abscissen.

Stasjonære punkter er verdiene til argumentet der den deriverte av funksjonen forsvinner.

Hvorfor trenger vi stasjonære punkter når vi skal finne de største og minste verdiene? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Fermats teorem. Det følger av denne teoremet at hvis en differensierbar funksjon har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punktet stasjonært. Dermed tar funksjonen ofte sin maksimale (minste) verdi på intervallet X i et av de stasjonære punktene fra dette intervallet.

Dessuten kan en funksjon ofte ta på seg de største og minste verdiene på punkter der den første deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, og selve funksjonen er definert.

La oss umiddelbart svare på et av de vanligste spørsmålene om dette emnet: "Er det alltid mulig å bestemme den største (minste) verdien av en funksjon"? Nei ikke alltid. Noen ganger faller grensene til intervallet X sammen med grensene for funksjonens domene, eller intervallet X er uendelig. Og noen funksjoner i det uendelige og på grensene til definisjonsdomenet kan ha både uendelig store og uendelig små verdier. I disse tilfellene kan det ikke sies noe om den største og minste verdien av funksjonen.

For klarhet gir vi en grafisk illustrasjon. Se på bildene – så vil mye bli klart.

På segmentet

I den første figuren tar funksjonen de største (max y ) og minste (min y ) verdiene ved stasjonære punkter inne i segmentet [-6;6] .

Vurder saken vist i den andre figuren. Endre segmentet til . I dette eksemplet oppnås den minste verdien av funksjonen ved et stasjonært punkt, og den største - ved et punkt med en abscisse som tilsvarer den høyre grensen til intervallet.

I figur nr. 3 er grensepunktene til segmentet [-3; 2] abscissen til punktene som tilsvarer funksjonens største og minste verdi.

I det åpne området

I den fjerde figuren tar funksjonen de største (max y ) og minste (min y ) verdiene ved stasjonære punkter innenfor det åpne intervallet (-6;6).

På intervallet kan det ikke trekkes konklusjoner om den største verdien.

I det uendelige

I eksemplet vist i den syvende figuren tar funksjonen den største verdien (max y ) i et stasjonært punkt med x=1 abscisse, og den minste verdien (min y ) nås ved høyre grense av intervallet. Ved minus uendelig nærmer funksjonens verdier seg asymptotisk y=3.

På intervallet når ikke funksjonen verken den minste eller største verdien. Ettersom x=2 har en tendens til høyre, tenderer funksjonsverdiene til minus uendelig (den rette linjen x=2 er en vertikal asymptote), og ettersom abscissen har en tendens til pluss uendelig, nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3 . En grafisk illustrasjon av dette eksemplet er vist i figur 8.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på segmentet.

Vi skriver en algoritme som lar oss finne den største og minste verdien av en funksjon på et segment.

Vi finner domenet til funksjonen og sjekker om den inneholder hele segmentet.
Vi finner alle punkter der den førstederiverte ikke eksisterer og som er inneholdt i segmentet (vanligvis forekommer slike punkter i funksjoner med et argument under modultegnet og i potensfunksjoner med en brøk-rasjonell eksponent). Hvis det ikke er slike punkter, gå til neste punkt.
Vi bestemmer alle stasjonære punkter som faller inn i segmentet. For å gjøre dette likestiller vi den til null, løser den resulterende ligningen og velger de riktige røttene. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter eller ingen av dem faller inn i segmentet, gå til neste trinn.
Vi beregner verdiene til funksjonen ved de valgte stasjonære punktene (hvis noen), på punkter der den første deriverte ikke eksisterer (hvis noen), og også ved x=a og x=b .
Fra de oppnådde verdiene for funksjonen velger vi den største og minste - de vil være henholdsvis de ønskede maksimale og minste verdiene for funksjonen.

La oss analysere algoritmen når vi løser et eksempel for å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.

Eksempel.

Finn den største og minste verdien av en funksjon

på segmentet;
på intervallet [-4;-1] .

Løsning.

Domenet til funksjonen er hele settet med reelle tall, bortsett fra null, det vil si . Begge segmentene faller innenfor definisjonsdomenet.

Vi finner den deriverte av funksjonen med hensyn til:

Det er klart at den deriverte av funksjonen eksisterer på alle punkter i segmentene og [-4;-1] .

Stasjonære punkter bestemmes fra ligningen. Den eneste reelle roten er x=2. Dette stasjonære punktet faller inn i det første segmentet.

For det første tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen ved enden av segmentet og på et stasjonært punkt, det vil si for x=1 , x=2 og x=4 :

Derfor er den største verdien av funksjonen nås ved x=1, og den minste verdien – ved x=2.

For det andre tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen bare i endene av segmentet [-4;-1] (siden det ikke inneholder et enkelt stasjonært punkt):

La funksjonen y=f(X) kontinuerlig på intervallet [ a, b]. Som kjent når en slik funksjon sine maksimale og minimumsverdier i dette intervallet. Funksjonen kan ta disse verdiene enten ved et indre punkt i segmentet [ a, b], eller på grensen til segmentet.

For å finne de største og minste verdiene av en funksjon på segmentet [ a, b] nødvendig:

1) finn de kritiske punktene til funksjonen i intervallet ( a, b);

2) beregne verdiene til funksjonen ved de funnet kritiske punktene;

3) beregn verdiene til funksjonen i enden av segmentet, det vil si for x=en og x = b;

4) fra alle de beregnede verdiene til funksjonen, velg den største og minste.

Eksempel. Finn de største og minste verdiene til en funksjon

på segmentet.

Finn kritiske punkter:

Disse punktene ligger inne i segmentet; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

på punktet x= 3 og på punktet x= 0.

Undersøkelse av en funksjon for konveksitet og et bøyningspunkt.

Funksjon y = f (x) kalt konveks imellom (en, b) , hvis grafen ligger under en tangent tegnet på et hvilket som helst punkt i dette intervallet, og kalles konveks ned (konkav) hvis grafen ligger over tangenten.

Punktet ved overgangen der konveksiteten erstattes med konkavitet eller omvendt kalles bøyningspunkt.

Algoritme for å studere for konveksitet og bøyningspunkt:

1. Finn de kritiske punktene av den andre typen, det vil si punktene der den andrederiverte er lik null eller ikke eksisterer.

2. Sett kritiske punkter på tallinjen, del den inn i intervaller. Finn tegnet til den andre deriverte på hvert intervall; hvis , så er funksjonen konveks oppover, hvis, så er funksjonen konveks nedover.

3. Hvis den, når den passerer gjennom et kritisk punkt av den andre typen, skifter fortegn og på dette punktet er den andre deriverte lik null, så er dette punktet abscissen til bøyningspunktet. Finn ordinaten.

Asymptoter av grafen til en funksjon. Undersøkelse av en funksjon i asymptoter.

Definisjon. Asymptoten til grafen til en funksjon kalles rett, som har egenskapen at avstanden fra et hvilket som helst punkt i grafen til denne linjen har en tendens til null med en ubegrenset fjerning av grafpunktet fra origo.

Det er tre typer asymptoter: vertikal, horisontal og skråstilt.

Definisjon. Ringte direkte vertikal asymptote funksjonsgraf y = f(x), hvis minst en av de ensidige grensene for funksjonen på dette punktet er lik uendelig, dvs.

hvor er diskontinuitetspunktet til funksjonen, det vil si at den ikke tilhører definisjonsdomenet.

Eksempel.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - bruddpunkt.

Definisjon. Rett y=EN kalt horisontal asymptote funksjonsgraf y = f(x) kl, hvis

Eksempel.

x
y

Definisjon. Rett y=kx +b (k≠ 0) kalles skrå asymptote funksjonsgraf y = f(x) hvor

Generelt opplegg for studiet av funksjoner og plotting.

Funksjonsforskningsalgoritmey = f(x) :

1. Finn domenet til funksjonen D (y).

2. Finn (hvis mulig) skjæringspunktene til grafen med koordinataksene (med x= 0 og at y = 0).

3. Undersøk etter partalls- og oddetallsfunksjoner ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ merkelig).

4. Finn asymptotene til grafen til funksjonen.

5. Finn intervaller for monotonisitet til funksjonen.

6. Finn ytterpunktene til funksjonen.

7. Finn intervallene for konveksitet (konkavitet) og bøyningspunkter til grafen til funksjonen.

8. På grunnlag av utført forskning, konstruer en graf over funksjonen.

Eksempel. Undersøk funksjonen og plott grafen.

1) D (y) =

x= 4 - bruddpunkt.

2) Når x = 0,

(0; – 5) – skjæringspunkt med oy.

På y = 0,

3) y(‒ x)= generell funksjon (verken partall eller oddetall).

4) Vi undersøker for asymptoter.

a) vertikal

b) horisontal

c) finn skrå asymptoter hvor

‒skrå asymptote-ligning

5) I denne ligningen er det ikke nødvendig å finne intervaller for monotonisitet til funksjonen.

Disse kritiske punktene deler opp hele domenet til funksjonen i intervallet (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) og (10; +∞). Det er praktisk å presentere de oppnådde resultatene i form av følgende tabell.