Finn alle vinklene til parallellogrammet. Hvordan finne den spisse vinkelen til et parallellogram? Applikasjon i vektoralgebra

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått eksamen i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 profileksamen matematikk. Også egnet for å bestå Grunnleggende BRUK i matematikk. Skal du bestå eksamen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedende kurs til eksamen for 10.-11. trinn, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av eksamen i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Examination, og verken en hundrepoengsstudent eller en humanist kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, feller og BRUK hemmeligheter. Alle relevante oppgaver i del 1 fra Bank of FIPI-oppgaver er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene i USE-2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av eksamensoppgaver. Tekstproblemer og sannsynlighetsteori. Enkel og lett å huske problemløsningsalgoritmer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer BRUK-oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen av - til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning utfordrende oppgaver 2 deler av eksamen.

Et parallellogram er en firkant der motsatte sider er parvis parallelle.

Et parallellogram har alle egenskapene til firkanter, men har også sine egne særegne trekk. Når vi kjenner dem, kan vi enkelt finne begge sider og vinkler av et parallellogram.

Parallelogramegenskaper

Summen av vinklene i ethvert parallellogram, som i alle firkanter, er 360°.
De midterste linjene i et parallellogram og dets diagonaler skjærer hverandre i ett punkt og halverer det. Dette punktet kalles symmetrisenteret til parallellogrammet.
Motstående sider av et parallellogram er alltid like.
Dessuten har denne figuren alltid motsatte vinkler like.
Summen av vinklene ved siden av hver side av et parallellogram er alltid 180°.
Summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik to ganger summen av kvadratene på de to tilstøtende sidene. Dette uttrykkes med formelen:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), der d 1 og d 2 er diagonaler, a og b er tilstøtende sider.
Cosinus til en stump vinkel er alltid mindre enn null.

Hvordan finne vinklene til et gitt parallellogram ved å bruke disse egenskapene i praksis? Og hvilke andre formler kan hjelpe oss med dette? Vurder spesifikke oppgaver som krever: Finn vinklene til parallellogrammet.

Finne hjørnene på et parallellogram

Tilfelle 1. Mål på en stump vinkel er kjent, det kreves å finne en spiss vinkel.

Eksempel: I parallellogram ABCD er vinkel A 120°. Finn målet på de resterende vinklene.

Løsning: Ved hjelp av egenskap nr. 5 kan vi finne målet på vinkelen B ved siden av vinkelen gitt i oppgaven. Det vil være lik:

180°-120°= 60°

Og nå, ved å bruke egenskap #4, bestemmer vi at de to gjenværende vinklene C og D er motsatte av vinklene vi allerede har funnet. Vinkel C er motsatt av vinkel A, vinkel D er motsatt vinkel B. Derfor er de like i par.

Svar: B=60°, C=120°, D=60°

Tilfelle 2. Lengdene på sidene og diagonalen er kjent

I dette tilfellet må vi bruke cosinus-teoremet.

Vi kan først bruke formelen til å beregne cosinus til vinkelen vi trenger, og deretter bruke en spesiell tabell for å finne hva selve vinkelen er lik.

For en spiss vinkel er formelen:

cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), hvor
a er ønsket skarpt hjørne,
A og B er sider av et parallellogram
d - mindre diagonal

For en stump vinkel endres formelen litt:

cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), der
ß er stump vinkel,
A og B er sider
D - stor diagonal

Eksempel: du må finne den spisse vinkelen til et parallellogram hvis sider er 6 cm og 3 cm, og den minste diagonalen er 5,2 cm

Vi erstatter verdiene i formelen for å finne en spiss vinkel:

cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
cosa = 1/2. I følge tabellen finner vi ut at ønsket vinkel er 60°.

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle. Dessuten har et parallellogram slike egenskaper som motsatte sider er like, motsatte vinkler er like, summen av alle vinkler er 360 grader.

Du vil trenge

Geometrikunnskap.

Instruksjon

1. Tenk deg gitt et av hjørnene på parallellogrammet og lik A. Finn verdiene til de resterende 3. Ved egenskapen til parallellogrammet er de motsatte vinklene like. Så vinkelen som ligger motsatt av den gitte er lik den gitte og verdien er lik A.

2. Finn de resterende to hjørnene. Fordi summen av alle vinklene i et parallellogram er 360 grader, og de motsatte vinklene er like med hverandre, viser det seg at vinkelen som tilhører samme side med den gitte er lik (360 - 2A) / 2. Vel, enten etter reformering får vi 180 - A. Således, i et parallellogram, er to vinkler lik A, og de to andre vinklene er lik 180 - A.

Merk!
Verdien av en vinkel kan ikke overstige 180 grader. De oppnådde verdiene til vinklene kan enkelt verifiseres. For å gjøre dette, legger du dem sammen, og hvis summen er 360, beregnes alt riktig.

Nyttige råd
Et rektangel og en rombe er et spesialtilfelle av et parallellogram, så alle egenskapene og metodene for å beregne vinkler gjelder også for dem.

Gjennomsnittlig nivå

Parallelogram, rektangel, rombe, kvadrat (2019)

1. Parallelogram

Sammensatt ord "parallelogram"? Og bak den er en veldig enkel figur.

Vel, det vil si, vi tok to parallelle linjer:

Krysset av to til:

Og inni - et parallellogram!

Hva er egenskapene til et parallellogram?

Parallelogramegenskaper.

Det vil si, hva kan brukes hvis det er gitt et parallellogram i oppgaven?

Dette spørsmålet besvares med følgende teorem:

La oss tegne alt i detalj.

Hva gjør første punkt i teoremet? Og det faktum at hvis du HAR et parallellogram, så for all del

Andre ledd betyr at hvis det er et parallellogram, så igjen, for all del:

Vel, og til slutt, det tredje punktet betyr at hvis du HAR et parallellogram, så vær sikker:

Se hva et vell av valgmuligheter? Hva skal man bruke i oppgaven? Prøv å fokusere på spørsmålet om oppgaven, eller bare prøv alt etter tur - en slags "nøkkel" vil gjøre det.

Og la oss nå stille oss et annet spørsmål: hvordan gjenkjenne et parallellogram "i ansiktet"? Hva må skje med en firkant for at vi skal ha rett til å gi den "tittelen" til et parallellogram?

Dette spørsmålet besvares med flere tegn på et parallellogram.

Funksjoner av et parallellogram.

Merk følgende! Begynne.

Parallelogram.

Vær oppmerksom: hvis du har funnet minst ett tegn i problemet ditt, så har du nøyaktig et parallellogram, og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.

2. Rektangel

Jeg tror ikke det vil være nyheter for deg i det hele tatt.

Det første spørsmålet er: er et rektangel et parallellogram?

Selvfølgelig er det det! Tross alt har han - husk, vårt tegn 3?

Og herfra følger det selvfølgelig at for et rektangel, som for ethvert parallellogram, og, og diagonalene er delt med skjæringspunktet i to.

Men det er et rektangel og en særegen egenskap.

Rektangel eiendom

Hvorfor er denne egenskapen særegen? Fordi ingen andre parallellogram har like diagonaler. La oss formulere det klarere.

Vær oppmerksom: for å bli et rektangel må en firkant først bli et parallellogram, og deretter presentere likheten til diagonalene.

3. Diamant

Og igjen er spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?

Med full rett - et parallellogram, fordi det har og (husk vårt tegn 2).

Og igjen, siden en rombe er et parallellogram, må den ha alle egenskapene til et parallellogram. Dette betyr at en rombe har motsatte vinkler like, motsatte sider er parallelle, og diagonalene er halvert av skjæringspunktet.

Rombus egenskaper

Se på bildet:

Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, det vil si at for hver av disse egenskapene kan vi konkludere med at vi ikke bare har et parallellogram, men en rombe.

Tegn på en rombe

Og vær oppmerksom igjen: det skal ikke bare være en firkant med vinkelrette diagonaler, men et parallellogram. Forsikre:

Nei, selvfølgelig ikke, selv om dens diagonaler og er vinkelrette, og diagonalen er halveringslinjen til vinklene u. Men ... diagonalene deler seg ikke, skjæringspunktet i to, derfor - IKKE et parallellogram, og derfor IKKE en rombe.

Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som kommer ut av dette.

Er det klart hvorfor? - rombe - halveringslinjen til vinkel A, som er lik. Så den deler seg (og også) i to vinkler langs.

Vel, det er helt klart: rektangelets diagonaler er like; rombediagonaler er vinkelrette, og generelt er parallellogramdiagonaler delt med skjæringspunktet i to.

GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Egenskaper til firkanter. Parallelogram

Parallelogramegenskaper

Merk følgende! Ordene " parallellogramegenskaper» betyr at hvis du har en oppgave det er parallellogram, så kan alt av følgende brukes.

Teorem om egenskapene til et parallellogram.

I et hvilket som helst parallellogram:

La oss se hvorfor dette er sant, med andre ord VI VIL BEVISE teorem.

Så hvorfor er 1) sant?

Siden det er et parallellogram, så:

som å ligge på kryss og tvers
som liggende på tvers.

Derfor, (på II-basis: og - generelt.)

Vel, en gang, da - det er det! - bevist.

Men forresten! Vi beviste også 2)!

Hvorfor? Men tross alt (se på bildet), altså, nemlig fordi.

Kun 3 igjen).

For å gjøre dette må du fortsatt tegne en andre diagonal.

Og nå ser vi det - i henhold til II-tegnet (vinkelen og siden "mellom" dem).

Egenskaper bevist! La oss gå videre til skiltene.

Parallelogram funksjoner

Husk at tegnet på et parallellogram svarer på spørsmålet "hvordan finne det ut?" At figuren er et parallellogram.

I ikoner er det slik:

Hvorfor? Det ville vært fint å forstå hvorfor - det er nok. Men se:

Vel, vi fant ut hvorfor tegn 1 er sant.

Vel, det er enda enklere! La oss tegne en diagonal igjen.

Som betyr:

Og er også lett. Men... annerledes!

Midler, . Wow! Men også - indre ensidig ved en sekant!

Derfor det faktum som betyr det.

Og hvis du ser fra den andre siden, så er de innvendig ensidig ved en sekant! Og derfor.

Se hvor flott det er?!

Og igjen ganske enkelt:

Akkurat det samme, og.

Følg med: hvis du fant i det minste ett tegn på et parallellogram i problemet ditt, så har du nøyaktig parallellogram og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.

For fullstendig klarhet, se på diagrammet:

Egenskaper til firkanter. Rektangel.

Rektangelegenskaper:

Punkt 1) er ganske åpenbart - tross alt er tegn 3 () ganske enkelt oppfylt

Og punkt 2) - veldig viktig. Så la oss bevise det

Så, på to ben (og - generelt).

Vel, siden trekantene er like, så er hypotenusene deres også like.

Beviste det!

Og tenk deg at likheten mellom diagonalene er en særegen egenskap til et rektangel blant alle parallellogrammer. Det vil si at følgende utsagn er sann

La oss se hvorfor?

Så, (som betyr vinklene til parallellogrammet). Men igjen, husk det - et parallellogram, og derfor.

Midler, . Og selvfølgelig følger det av dette at hver av dem Tross alt, i det beløpet de burde gi!

Her har vi bevist at if parallellogram plutselig (!) vil være like diagonaler, da dette akkurat et rektangel.

Men! Følg med! Dette handler om parallellogrammer! Ikke noen en firkant med like diagonaler er et rektangel, og bare parallellogram!

Egenskaper til firkanter. Rombe

Og igjen er spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?

Med full rett - et parallellogram, fordi det har og (Husk vårt tegn 2).

Men det er også spesielle egenskaper. Vi formulerer.

Rombus egenskaper

Hvorfor? Vel, siden en rombe er et parallellogram, er diagonalene delt i to.

Hvorfor? Ja, det er derfor!

Med andre ord, diagonalene og viste seg å være halveringslinjene til hjørnene på romben.

Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, hver av dem er også et tegn på en rombe.

Rombetegn.

Hvorfor det? Og se

Derfor, og både disse trekantene er likebente.

For å være en rombe må en firkant først "bli" et parallellogram, og deretter allerede demonstrere funksjon 1 eller funksjon 2.

Egenskaper til firkanter. Torget

Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som kommer ut av dette.

Er det klart hvorfor? Firkant - rombe - halveringslinjen til vinkelen, som er lik. Så den deler seg (og også) i to vinkler langs.

Vel, det er helt klart: rektangelets diagonaler er like; rombediagonaler er vinkelrette, og generelt er parallellogramdiagonaler delt med skjæringspunktet i to.

Hvorfor? Vel, bare bruk Pythagoras teorem på.

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL

Parallelogramegenskaper:

Motstående sider er like: , .
Motstående vinkler er: , .
Vinklene på den ene siden utgjør: , .
Diagonalene er delt med skjæringspunktet i to: .

Rektangelegenskaper:

Diagonalene til et rektangel er: .
Rektangel er et parallellogram (alle egenskapene til et parallellogram er oppfylt for et rektangel).

Rhombus egenskaper:

Diagonalene til romben er vinkelrette: .
Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene: ; ; ; .
En rombe er et parallellogram (alle egenskaper til et parallellogram er oppfylt for en rombe).

Kvadratiske egenskaper:

Et kvadrat er en rombe og et rektangel på samme tid, derfor er alle egenskapene til et rektangel og en rombe oppfylt for et kvadrat. I tillegg til.

FIRANGLER.

§43. PARALLELOGRAM.

1. Definisjon av et parallellogram.

Hvis vi skjærer et par parallelle linjer med et annet par parallelle linjer, får vi en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle.

I firkantene ABDC og EFNM (fig. 224) BD || AC og AB || CD;
EF || MN og EM || F.N.

En firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle kalles et parallellogram.

2. Egenskaper til et parallellogram.

Teorem. Diagonalen til et parallellogram deler det i to like trekanter.

La det være et parallellogram ABDC (fig. 225) hvor AB || CD og AC || BD.

Det kreves å bevise at diagonalen deler den i to like trekanter.

Tegn en diagonal CB i et parallellogram ABDC. La oss bevise det /\ CAB= /\ CDB.

NØ-siden er felles for disse trekantene; / ABC = / BCD, som indre kryssliggende vinkler med parallell AB og CD og sekant CB; / DIA = / CBD, også som indre tverrliggende vinkler med parallell AC og BD og sekant CB (§ 38).

Herfra /\ CAB = /\ CDB.

På samme måte kan man bevise at diagonalen AD deler parallellogrammet i to like trekanter ACD og ABD.

Konsekvenser. 1 . Motsatte vinkler på et parallellogram er like.

/ A = / D, dette følger av likheten mellom trekanter CAB og CDB.
På samme måte, / C = / PÅ.

2. Motstående sider av et parallellogram er like.

AB \u003d CD og AC \u003d BD, siden disse er sider av like trekanter og ligger motsatte like vinkler.

Teorem 2. Diagonalene til et parallellogram er todelt i skjæringspunktet.

La BC og AD være diagonalene til parallellogrammet ABDC (fig. 226). La oss bevise at AO = OD og CO = OB.

For å gjøre dette, sammenlign for eksempel et par motsatte trekanter /\ AOB og /\ TORSK.

I disse trekantene AB = CD, som motsatte sider av et parallellogram;
/ 1 = / 2, som indre vinkler på tvers som ligger ved parallelle AB og CD og sekant AD;
/ 3 = / 4 av samme grunn, siden AB || CD og CB er deres sekant (§ 38).

Derfor følger det /\ AOB = /\ TORSK. Og i like trekanter er motsatte like vinkler like sider. Derfor er AO = OD og CO = OB.

Teorem 3. Summen av vinklene ved siden av den ene siden av parallellogrammet er lik 2 d .

Bevis deg selv.

3. Tegn på et parallellogram.

Teorem. Hvis motsatte sider av en firkant er parvis like, så er firkanten et parallellogram.

La inn firkanten ABDC (fig. 227) AB = CD og AC = BD. La oss bevise at under denne betingelsen AB || CD og AC || BD, dvs. firkanten ABDC er et parallellogram.
La oss koble sammen med et segment noen to motsatte hjørner av denne firkanten, for eksempel C og B. Firkanten ABDC er delt inn i to like trekanter: /\ CAB og /\ CDB. Faktisk har de en felles side CB, AB \u003d CD og AC \u003d BD etter tilstand. Dermed er de tre sidene av den ene trekanten lik de tre sidene av den andre, så /\ CAB = /\ CDB.

I like trekanter vs. like siderå ligge like vinkler, derfor
/ 1 = / 2 og / 3 = / 4.

Vinkler 1. og 2. er innvendige tverrliggende vinkler i skjæringspunktet mellom linjene AB og CD med linje CB. Derfor AB || CD.

Tilsvarende er vinklene 3. og 4. indre kryssliggende vinkler i skjæringspunktet mellom linjene CA og BD med linje CB, derfor CA || BD (§ 35).

Dermed er de motsatte sidene av firkanten ABDC parvis parallelle, derfor er det et parallellogram som måtte bevises.

Teorem 2. Hvis to motsatte sider av en firkant er like og parallelle, så er firkanten et parallellogram.

La inn firkanten ABDC AB = CD og AB || CD. La oss bevise at under disse forholdene er firkanten ABDC et parallellogram (fig. 228).

Vi forbinder toppunktene C og B med et segment CB. På grunn av parallelliteten til linjene AB og CD er vinklene 1 og 2, som de indre vinklene som ligger på tvers, like (§ 38).
Deretter trekant CAB lik trekantСDВ, siden de har en felles side-CB,
AB \u003d CD av tilstanden til teoremet og / 1 = / 2 som bevist. Fra likheten til disse trekantene følger likheten til vinkel 3 og 4, siden de ligger motsatte like sider i like trekanter.

Men vinklene 3 og 4 er indre tverrliggende vinkler dannet i skjæringspunktet mellom linjene AC og BD av linje CB, derfor AC || BD (§ 35), dvs. firkant
ABDC er et parallellogram.

Øvelser.

1. Bevis at hvis diagonalene til en firkant ved skjæringspunktet deres er delt i to, så er denne firkanten et parallellogram.

2. Bevis at en firkant hvis sum indre hjørner, ved siden av hver av de to tilstøtende sidene, er lik 2 d, er et parallellogram.

3. Konstruer et parallellogram på to sider og en vinkel mellom dem:

a) ved å bruke parallellitet motsatte sider parallellogram;
b) ved å bruke likheten til motsatte sider av parallellogrammet.

4. Konstruer et parallellogram i to tilstøtende partier og diagonaler.

5. Konstruer et parallellogram med de to diagonalene og vinkelen mellom dem.

6. Konstruer et parallellogram langs siden og to diagonaler.