Minste felles multiplum av 24 og 42. Felles divisor og multiplum

Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.

For eksempel:

Tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles deler av tall. Divisor av et naturlig tall en- dette er hva det er naturlig tall, som deler gitt nummer en uten spor. Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles kompositt .

Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12. Fellesdeleren for disse to tallene en Og b- dette er tallet som begge gitte tall deles med uten rest en Og b.

Felles multipler flere tall er et tall som er delelig med hvert av disse tallene. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et felles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres felles multiplum. Blant alle vanlige multipler er det alltid en minste, i i dette tilfellet dette er 90. Dette nummeret kalles den minstefelles multiplum (CMM).

LCM er alltid et naturlig tall som må være større enn det største av tallene det er definert for.

Minste felles multiplum (LCM). Egenskaper.

Kommutativitet:

Assosiativitet:

Spesielt hvis og er coprimtall, da:

Minste felles multiplum av to heltall m Og n er en divisor av alle andre felles multipler m Og n. Dessuten settet med felles multipler m, n sammenfaller med settet med multipler for LCM( m, n).

Asymptotikken for kan uttrykkes i form av noen tallteoretiske funksjoner.

Så, Chebyshev-funksjon. Og også:

Dette følger av definisjonen og egenskapene til Landau-funksjonen g(n).

Det som følger av fordelingsloven primtall.

Finne det minste felles multiplum (LCM).

NOC( a, b) kan beregnes på flere måter:

1. Hvis den største felles divisor er kjent, kan du bruke dens forbindelse med LCM:

2. La det bli kjent kanonisk dekomponering begge tallene inn i primfaktorer:

Hvor p 1,...,p k- ulike primtall, og d 1,...,d k Og e 1,...,e k- ikke-negative heltall (de kan være null hvis den tilsvarende primtall ikke er i utvidelsen).

Deretter NOC ( en,b) beregnes med formelen:

Med andre ord inneholder LCM-dekomponeringen alle primfaktorer inkludert i minst en av dekomponeringene av tall a, b, og den største av de to eksponentene til denne multiplikatoren tas.

Eksempel:

Å beregne det minste felles multiplum av flere tall kan reduseres til flere sekvensielle beregninger av LCM for to tall:

Regel. For å finne LCM for en serie med tall, trenger du:

- dekomponere tall til primfaktorer;

- overføre den største ekspansjonen (produktet av faktorene til ønsket produkt) til faktorene til ønsket produkt stort antall fra de gitte), og legg deretter til faktorer fra utvidelsen av andre tall som ikke vises i det første tallet eller er i det mindre antall en gang;

— det resulterende produktet av primfaktorer vil være LCM for de gitte tallene.

To eller flere naturlige tall har sin egen LCM. Hvis tallene ikke er multipler av hverandre eller ikke har identiske multiplikatorer i utvidelsen, så er deres LCM lik produktet av disse tallene.

Primfaktorene til tallet 28 (2, 2, 7) er supplert med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produktet (84) vil være det minste tallet som er delelig med 21 og 28.

Primfaktorene til det største tallet 30 er supplert med faktoren 5 av tallet 25, det resulterende produktet 150 er større enn det største tallet 30 og er delelig med alle gitte tall uten en rest. Dette minst produkt av de mulige (150, 250, 300...), som alle gitte tall er multipler til.

Tallene 2,3,11,37 er primtall, så deres LCM er lik produktet av de gitte tallene.

Regel. For å beregne LCM for primtall, må du multiplisere alle disse tallene sammen.

Et annet alternativ:

For å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall trenger du:

1) representere hvert tall som et produkt av dets primfaktorer, for eksempel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) skriv ned potensene til alle primfaktorer:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) skriv ned alle primtallene (multiplikatorene) for hvert av disse tallene;

4) velg den største graden av hver av dem, funnet i alle utvidelser av disse tallene;

5) multiplisere disse potensene.

Eksempel. Finn LCM for tallene: 168, 180 og 3024.

Løsning. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Vi skriver ned de største potensene av alle primdelere og multipliserer dem:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

En online kalkulator lar deg raskt finne den største felles deler og det minste felles multiplum av to eller et hvilket som helst annet antall tall.

Kalkulator for å finne GCD og LCM

Finn GCD og LOC

Funnet GCD og LOC: 5806

Slik bruker du kalkulatoren

Skriv inn tall i inntastingsfeltet
Hvis du skriver inn feil tegn, vil inntastingsfeltet bli uthevet i rødt
klikk på "Finn GCD og LOC"-knappen

Hvordan legge inn tall

Tall legges inn atskilt med et mellomrom, punktum eller komma
Lengden på inntastede tall er ikke begrenset, så det er ikke vanskelig å finne GCD og LCM for lange tall

Hva er GCD og NOC?

Største felles deler flere tall er det største naturlige heltall som alle opprinnelige tall er delbare med uten en rest. Den største felles divisor er forkortet som GCD.
Minste felles multiplum flere tall er minste antall, som er delelig med hvert av de opprinnelige tallene uten en rest. Minste felles multiplum forkortes som NOC.

Hvordan sjekke at et tall er delelig med et annet tall uten en rest?

For å finne ut om ett tall er delelig med et annet uten en rest, kan du bruke noen egenskaper for talls delbarhet. Deretter, ved å kombinere dem, kan du sjekke delebarheten til noen av dem og kombinasjonene deres.

Noen tegn på delbarhet av tall

1. Delbarhetstest for et tall med 2
For å finne ut om et tall er delelig med to (om det er partall), er det nok å se på det siste sifferet i dette tallet: hvis det er lik 0, 2, 4, 6 eller 8, så er tallet partall, som betyr at den er delelig med 2.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 2.
Løsning: se på det siste sifferet: 8 betyr at tallet er delelig med to.

2. Delbarhetstest for et tall med 3
Et tall er delelig med 3 når summen av sifrene er delelig med tre. For å finne ut om et tall er delelig med 3, må du derfor beregne summen av sifrene og sjekke om det er delelig med 3. Selv om summen av sifrene er veldig stor, kan du gjenta samme prosess igjen.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 3.
Løsning: Vi teller summen av tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er delelig med 3, som betyr at tallet er delelig med tre.

3. Delbarhetstest for et tall med 5
Et tall er delelig med 5 når det siste sifferet er null eller fem.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 5.
Løsning: se på det siste sifferet: 8 betyr at tallet IKKE er delelig med fem.

4. Delbarhetstest for et tall med 9
Dette tegnet er veldig likt tegnet på delbarhet med tre: et tall er delelig med 9 når summen av sifrene er delelig med 9.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 9.
Løsning: Vi teller summen av tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er delelig med 9, som betyr at tallet er delelig med ni.

Hvordan finne GCD og LCM med to tall

Hvordan finne gcd av to tall

Den enkleste måten å beregne den største felles divisor av to tall er å finne alle mulige divisorer av disse tallene og velge den største.

La oss vurdere denne metoden ved å bruke eksemplet for å finne GCD(28, 36):

Vi faktoriserer begge tallene: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Vi finner felles faktorer, det vil si de som begge tallene har: 1, 2 og 2.
Vi beregner produktet av disse faktorene: 1 2 2 = 4 - dette er den største felles divisor av tallene 28 og 36.

Hvordan finne LCM for to tall

Det er to vanligste måter å finne det minste multiplumet av to tall på. Den første metoden er at du kan skrive ned de første multiplene av to tall, og deretter velge blant dem et tall som vil være felles for begge tallene og samtidig det minste. Og det andre er å finne gcd for disse tallene. La oss bare vurdere det.

For å beregne LCM, må du beregne produktet av de opprinnelige tallene og deretter dele det med den tidligere funnet GCD. La oss finne LCM for de samme tallene 28 og 36:

Finn produktet av tallene 28 og 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), som allerede kjent, er lik 4
LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finne GCD og LCM for flere tall

Den største felles divisor kan finnes for flere tall, ikke bare to. For å gjøre dette, dekomponeres tallene som skal finnes for den største felles divisor i primfaktorer, deretter blir produktet av de felles primfaktorene til disse tallene funnet. Du kan også bruke følgende relasjon for å finne gcd for flere tall: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Et lignende forhold gjelder for det minste felles multiplum: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Eksempel: finn GCD og LCM for nummer 12, 32 og 36.

La oss først faktorisere tallene: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
La oss finne de vanlige faktorene: 1, 2 og 2.
Produktet deres vil gi GCD: 1·2·2 = 4
La oss nå finne LCM: for å gjøre dette, la oss først finne LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
For å finne LCM for alle tre tallene, må du finne GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12; 32; 36) = 96·36 / 12 = 288.

Største felles deler

Definisjon 2

Hvis et naturlig tall a er delelig med et naturlig tall $b$, kalles $b$ en divisor av $a$, og $a$ kalles et multiplum av $b$.

La $a$ og $b$ være naturlige tall. Tallet $c$ kalles felles divisor for både $a$ og $b$.

Settet med felles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endelig, siden ingen av disse divisorene kan være større enn $a$. Dette betyr at blant disse divisorene er det en største, som kalles den største felles divisor av tallene $a$ og $b$ og er betegnet med følgende notasjoner:

$GCD\(a;b)\ eller \D\(a;b)$

For å finne den største felles divisor av to tall trenger du:

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

Eksempel 1

Finn gcd for tallene $121$ og $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Velg tallene som er inkludert i utvidelsen av disse tallene

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Eksempel 2

Finn gcd av monomialene $63$ og $81$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. Slik gjør du dette:

La oss faktorere tallene inn i primfaktorer

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vi velger ut tallene som inngår i utvidelsen av disse tallene

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

La oss finne produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Du kan finne gcd for to tall på en annen måte, ved å bruke et sett med delere av tall.

Eksempel 3

Finn gcd for tallene $48$ og $60$.

Løsning:

La oss finne settet med divisorer for tallet $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

La oss nå finne settet med divisorer for tallet $60$:$\ \venstre$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\høyre$ $

La oss finne skjæringspunktet mellom disse settene: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - dette settet vil bestemme settet med felles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Største element i gitt sett tallet vil være $12$. Dette betyr at den største felles deleren av tallene $48$ og $60$ er $12$.

Definisjon av NPL

Definisjon 3

Felles multiplum av naturlige tall$a$ og $b$ er et naturlig tall som er et multiplum av både $a$ og $b$.

Felles multipler av tall er tall som er delbare med de opprinnelige tallene uten en rest. For eksempel, for tallene $25$ og $50$, vil fellesmultiplene være $50,100,150,200$, etc.

Det minste felles multiplum vil bli kalt det minste felles multiplum og vil bli betegnet LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$

For å finne LCM for to tall, må du:

Faktorer tall inn i primfaktorer
Skriv ned faktorene som er en del av det første tallet og legg til dem faktorene som er en del av det andre og ikke er en del av det første

Eksempel 4

Finn LCM for tallene $99$ og $77$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette

Faktorer tall inn i primfaktorer

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Skriv ned faktorene som er inkludert i den første

legg til dem multiplikatorer som er en del av den andre og ikke en del av den første

Finn produktet av tallene funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være det ønskede minste felles multiplum

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Å sette sammen lister over deler av tall er ofte en svært arbeidskrevende oppgave. Det er en måte å finne GCD på kalt den euklidiske algoritmen.

Utsagn som den euklidiske algoritmen er basert på:

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall slik at $b

Ved å bruke $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi suksessivt redusere tallene som vurderes til vi når et tallpar slik at det ene er delbart med det andre. Da vil det minste av disse tallene være den ønskede største felles divisor for tallene $a$ og $b$.

Egenskaper til GCD og LCM

Ethvert felles multiplum av $a$ og $b$ er delelig med K$(a;b)$
Hvis $a\vdots b$, så К$(a;b)=a$

Hvis K$(a;b)=k$ og $m$ er et naturlig tall, så K$(am;bm)=km$

Hvis $d$ er en felles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ felles multiplum av $a$ og $b$

For alle naturlige tall $a$ og $b$ gjelder likheten

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Enhver felles divisor av tallene $a$ og $b$ er en divisor av tallet $D(a;b)$

La oss vurdere å løse følgende problem. Guttens trinn er 75 cm, og jentas trinn er 60 cm. Det er nødvendig å finne den minste avstanden der de begge tar et heltall.

Løsning. Hele banen som gutta skal gå gjennom må være delelig med 60 og 70, siden de hver må ta et helt antall trinn. Med andre ord må svaret være et multiplum av både 75 og 60.

Først skal vi skrive ned alle multiplene av tallet 75. Vi får:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

La oss nå skrive ned tallene som vil være multipler av 60. Vi får:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nå finner vi tallene som står i begge rader.

Felles multiplum av tall vil være 300, 600 osv.

Den minste av dem er tallet 300. I dette tilfellet vil det bli kalt det minste felles multiplum av tallene 75 og 60.

For å gå tilbake til tilstanden til problemet, vil den minste avstanden som gutta skal ta et helt antall skritt på, være 300 cm. Gutten vil dekke denne banen i 4 trinn, og jenta må ta 5 trinn.

Bestemme minste felles multiplum

Det minste felles multiplum av to naturlige tall a og b er det minste naturlige tallet som er et multiplum av både a og b.

For å finne det minste felles multiplum av to tall, er det ikke nødvendig å skrive ned alle multiplene av disse tallene på rad.

Du kan bruke følgende metode.

Hvordan finne det minste felles multiplum

Først må du faktorisere disse tallene i primfaktorer.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

La oss nå skrive ned alle faktorene som er i utvidelsen av det første tallet (2,2,3,5) og legge til alle de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet (5).

Som et resultat får vi en serie med primtall: 2,2,3,5,5. Produktet av disse tallene vil være den minst felles faktoren for disse tallene. 2*2*3*5*5 = 300.

Generelt opplegg for å finne det minste felles multiplum

1. Del opp tall i primfaktorer.
2. Skriv ned primfaktorene som er en del av en av dem.
3. Legg til disse faktorene alle de som er i utvidelsen av de andre, men ikke i den valgte.
4. Finn produktet av alle faktorene som er skrevet ned.

Denne metoden er universell. Den kan brukes til å finne det minste felles multiplum av et hvilket som helst antall naturlige tall.

Andre nummer: b=

Tusenskiller Uten mellomromsskilletegn "´

Resultat:

Største felles divisor gcd( en,b)=6

Minste felles multiplum av LCM( en,b)=468

Det største naturlige tallet som kan deles uten en rest med tallene a og b kalles største felles deler(GCD) av disse tallene. Angitt med gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) eller hcf(a,b).

Minste felles multiplum LCM av to heltall a og b er det minste naturlige tallet som er delelig med a og b uten en rest. Betegnes LCM(a,b), eller lcm(a,b).

Heltallene a og b kalles gjensidig prime, hvis de ikke har andre felles deler enn +1 og −1.

Største felles deler

La to bli gitt positive tall en 1 og en 2 1). Det kreves å finne felles divisor for disse tallene, dvs. finne et slikt nummer λ , som deler tall en 1 og en 2 samtidig. La oss beskrive algoritmen.

1) I denne artikkelen vil ordet tall bli forstått som et heltall.

La en 1 ≥ en 2 og la

Hvor m 1 , en 3 er noen heltall, en 3 <en 2 (resten av divisjonen en 1 pr en 2 bør være mindre en 2).

La oss anta det λ deler en 1 og en 2 da λ deler m 1 en 2 og λ deler en 1 −m 1 en 2 =en 3 (Uttalelse 2 i artikkelen "Talls delebarhet. Delbarhetstest"). Det følger at hver felles divisor en 1 og en 2 er felles deler en 2 og en 3. Det motsatte er også sant hvis λ felles deler en 2 og en 3 da m 1 en 2 og en 1 =m 1 en 2 +en 3 er også delelig med λ . Derfor felles divisor en 2 og en 3 er også en felles divisor en 1 og en 2. Fordi en 3 <en 2 ≤en 1, så kan vi si at løsningen på problemet med å finne felles divisor for tall en 1 og en 2 redusert til det enklere problemet med å finne felles divisor for tall en 2 og en 3 .

Hvis en 3 ≠0, så kan vi dele en 2 på en 3. Da

Hvor m 1 og en 4 er noen heltall, ( en 4 gjenværende fra divisjon en 2 på en 3 (en 4 <en 3)). Ved lignende resonnement kommer vi til den konklusjon at felles deler av tall en 3 og en 4 faller sammen med felles deler av tall en 2 og en 3, og også med felles deler en 1 og en 2. Fordi en 1 , en 2 , en 3 , en 4, ... er tall som stadig synker, og siden det er et begrenset antall heltall mellom en 2 og 0, deretter på et eller annet trinn n, resten av divisjonen en n på en n+1 vil være lik null ( en n+2 = 0).

Hver felles deler λ tall en 1 og en 2 er også en deler av tall en 2 og en 3 , en 3 og en 4 , .... en n og en n+1. Det motsatte er også sant, felles deler av tall en n og en n+1 er også deler av tall en n−1 og en n , .... , en 2 og en 3 , en 1 og en 2. Men felles deler av tall en n og en n+1 er et tall en n+1, fordi en n og en n+1 er delelig med en n+1 (husk det en n+2 = 0). Derfor en n+1 er også en divisor av tall en 1 og en 2 .

Merk at nummeret en n+1 er den største deleren av tall en n og en n+1, siden den største deleren en n+1 er seg selv en n+1. Hvis en n+1 kan representeres som et produkt av heltall, da er disse tallene også felles divisorer av tall en 1 og en 2. Tall en n+1 kalles største felles deler tall en 1 og en 2 .

Tall en 1 og en 2 kan være enten positive eller negative tall. Hvis ett av tallene er lik null, vil den største felles divisor av disse tallene være lik absoluttverdien til det andre tallet. Den største felles divisor av null tall er udefinert.

Algoritmen ovenfor kalles Euklidisk algoritme for å finne den største felles divisor av to heltall.

Et eksempel på å finne den største felles divisor av to tall

Finn den største felles divisor av to tall 630 og 434.

Trinn 1. Del tallet 630 med 434. Resten er 196.
Trinn 2. Del tallet 434 med 196. Resten er 42.
Trinn 3. Del tallet 196 med 42. Resten er 28.
Trinn 4. Del tallet 42 med 28. Resten er 14.
Trinn 5. Del tallet 28 med 14. Resten er 0.

I trinn 5 er resten av divisjonen 0. Derfor er den største felles divisor av tallene 630 og 434 14. Merk at tallene 2 og 7 også er divisorer av tallene 630 og 434.

Coprime tall

Definisjon 1. La den største felles divisor av tallene en 1 og en 2 er lik en. Deretter kalles disse tallene coprimtall, uten felles deler.

Teorem 1. Hvis en 1 og en 2 koprimtall, og λ et tall, deretter en hvilken som helst felles deler av tall λa 1 og en 2 er også en felles deler av tall λ Og en 2 .

Bevis. Tenk på den euklidiske algoritmen for å finne den største felles divisor av tall en 1 og en 2 (se ovenfor).

Av betingelsene for teoremet følger det at den største felles divisor av tallene en 1 og en 2 og derfor en n og en n+1 er 1. Det vil si en n+1 = 1.

La oss multiplisere alle disse likhetene med λ , Deretter

La felles divisor en 1 λ Og en 2 ja δ . Da δ er inkludert som en multiplikator i en 1 λ , m 1 en 2 λ og inn en 1 λ -m 1 en 2 λ =en 3 λ (se "Talls delebarhet", påstand 2). Neste δ er inkludert som en multiplikator i en 2 λ Og m 2 en 3 λ , og er derfor inkludert som en faktor i en 2 λ -m 2 en 3 λ =en 4 λ .

Når vi resonnerer på denne måten, er vi overbevist om det δ er inkludert som en multiplikator i en n−1 λ Og m n−1 en n λ , og derfor i en n−1 λ −m n−1 en n λ =en n+1 λ . Fordi en n+1 = 1, da δ er inkludert som en multiplikator i λ . Derfor nummeret δ er felles deler av tall λ Og en 2 .

La oss vurdere spesielle tilfeller av teorem 1.

Konsekvens 1. La en Og c Primtall er relativt b. Så deres produkt ac er et primtall mht b.

Virkelig. Fra teorem 1 ac Og b har samme felles deler som c Og b. Men tallene c Og b relativt enkelt, dvs. ha en felles divisor 1. Da ac Og b har også en felles divisor 1. Derfor ac Og b gjensidig enkelt.

Konsekvens 2. La en Og b coprime tall og la b deler ak. Da b deler og k.

Virkelig. Fra godkjenningsbetingelsen ak Og b har en felles deler b. I kraft av teorem 1, b må være en felles deler b Og k. Derfor b deler k.

Konsekvens 1 kan generaliseres.

Konsekvens 3. 1. La tallene en 1 , en 2 , en 3 , ..., en m er primtall i forhold til tallet b. Da en 1 en 2 , en 1 en 2 · en 3 , ..., en 1 en 2 en 3 ··· en m, produktet av disse tallene er primtall i forhold til tallet b.

2. La oss ha to rader med tall

slik at hvert tall i den første serien er primtall i forholdet til hvert tall i den andre serien. Deretter produktet

Du må finne tall som er delbare med hvert av disse tallene.

Hvis et tall er delelig med en 1, så har den formen sa 1 hvor s et eller annet nummer. Hvis q er den største felles deleren av tall en 1 og en 2, da

Hvor s 1 er et heltall. Da

er minste felles multiplum av tall en 1 og en 2 .

en 1 og en 2 er relativt prime, så det minste felles multiplum av tallene en 1 og en 2:

Vi må finne det minste felles multiplum av disse tallene.

Av ovenstående følger det at et hvilket som helst multiplum av tall en 1 , en 2 , en 3 må være et multiplum av tall ε Og en 3 og tilbake. La det minste felles multiplum av tallene ε Og en 3 ja ε 1. Deretter multipler av tall en 1 , en 2 , en 3 , en 4 må være et multiplum av tall ε 1 og en 4. La det minste felles multiplum av tallene ε 1 og en 4 ja ε 2. Dermed fant vi ut at alle multipler av tall en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m faller sammen med multipler av et visst tall ε n, som kalles det minste felles multiplum av de gitte tallene.

I det spesielle tilfellet når tallene en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er relativt primtall, så det minste felles multiplum av tallene en 1 , en 2, som vist ovenfor, har formen (3). Neste, siden en 3 primtall i forhold til tall en 1 , en 2 da en 3 primtall en 1 · en 2 (konsekvens 1). Betyr det minste felles multiplum av tallene en 1 ,en 2 ,en 3 er et tall en 1 · en 2 · en 3. Ved å resonnere på lignende måte kommer vi til følgende utsagn.

Uttalelse 1. Minste felles multiplum av coprimtall en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er lik deres produkt en 1 · en 2 · en 3 ··· en m.

Uttalelse 2. Ethvert tall som er delelig med hvert av coprimtallene en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er også delelig med produktet deres en 1 · en 2 · en 3 ··· en m.