For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(åtte\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progresjon, fordi hvert neste element er forskjellig fra det forrige og tre (kan fås fra det forrige ved å legge til tre):

I denne progresjonen er forskjellen \(d\) positiv (lik \(3\)), og derfor er hvert neste ledd større enn det forrige. Slike progresjoner kalles økende.

Imidlertid kan \(d\) også være det negativt tall. For eksempel, i aritmetisk progresjon \(16\); \(ti\); \(fire\); \(-2\); \(-8\)... progresjonsforskjellen \(d\) er lik minus seks.

Og i dette tilfellet vil hvert neste element være mindre enn det forrige. Disse progresjonene kalles minkende.

Aritmetisk progresjonsnotasjon

Progresjon er angitt med en liten latinsk bokstav.

Tallene som danner en progresjon kalles det medlemmer(eller elementer).

De er merket med samme bokstav som den aritmetiske progresjonen, men med en numerisk indeks lik elementnummeret i rekkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progresjonen \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\) av elementene \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progresjonen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\)

Løse oppgaver på en aritmetisk progresjon

I prinsippet er informasjonen ovenfor allerede nok til å løse nesten alle problemer på en aritmetisk progresjon (inkludert de som tilbys ved OGE).

Eksempel (OGE). Aritmetisk progresjon gitt av betingelsene \(b_1=7; d=4\). Finn \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De tre første leddene i en aritmetisk progresjon er gitt: \(62; 49; 36…\) Finn verdien av det første negative leddet i denne progresjonen..
Løsning:

	Vi får de første elementene i sekvensen og vet at det er en aritmetisk progresjon. Det vil si at hvert element skiller seg fra naboen med samme antall. Finn ut hvilken ved å trekke den forrige fra det neste elementet: \(d=49-62=-13\).
	Nå kan vi gjenopprette progresjonen vår til ønsket (første negative) element.
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Flere påfølgende elementer i en aritmetisk progresjon er gitt: \(...5; x; 10; 12.5...\) Finn verdien til elementet angitt med bokstaven \(x\).
Løsning:

	For å finne \(x\), må vi vite hvor mye det neste elementet skiller seg fra det forrige, med andre ord progresjonsforskjellen. La oss finne det fra to kjente naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nå finner vi det vi leter etter uten problemer: \(x=5+2.5=7.5\).
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Aritmetisk progresjon gitt følgende forhold: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finn summen av de første seks leddene i denne progresjonen.
Løsning:

	Vi må finne summen av de seks første leddene i progresjonen. Men vi vet ikke betydningen deres, vi får bare det første elementet. Derfor beregner vi først verdiene etter tur ved å bruke det gitte til oss: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Og etter å ha beregnet de seks elementene vi trenger, finner vi summen deres.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Det forespurte beløpet er funnet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progresjon \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finn forskjellen på denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Viktige aritmetiske progresjonsformler

Som du kan se, kan mange aritmetiske progresjonsproblemer løses ganske enkelt ved å forstå det viktigste - at en aritmetisk progresjon er en kjede av tall, og hvert neste element i denne kjeden oppnås ved å legge det samme tallet til det forrige (forskjellen av progresjonen).

Men noen ganger er det situasjoner når det er veldig upraktisk å løse "på pannen". Tenk deg for eksempel at i det aller første eksemplet må vi ikke finne det femte elementet \(b_5\), men det tre hundre og åttiseksende \(b_(386)\). Hva er det, vi \ (385 \) ganger å legge til fire? Eller forestill deg at du i det nest siste eksemplet må finne summen av de første syttitre elementene. Å telle er forvirrende...

Derfor, i slike tilfeller, løser de ikke "på pannen", men bruker spesielle formler utledet for aritmetisk progresjon. Og de viktigste er formelen for det n'te leddet i progresjonen og formelen for summen \(n\) av de første leddene.

Formel for \(n\)te medlem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), hvor \(a_1\) er det første medlemmet av progresjonen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige elementet;
\(a_n\) er medlem av progresjonen med tallet \(n\).

Denne formelen lar oss raskt finne minst det trehundrede, til og med det millionte elementet, og bare vite det første og progresjonsforskjellen.

Eksempel. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsene: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finn \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formelen for summen av de første n leddene er: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) er det siste summerte leddet;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsene \(a_n=3,4n-0,6\). Finn summen av de første \(25\) leddene i denne progresjonen.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For å beregne summen av de første tjuefem elementene, må vi vite verdien av det første og det tjuefemte leddet. Progresjonen vår er gitt av formelen til det n-te leddet avhengig av antallet (se detaljer). La oss beregne det første elementet ved å erstatte \(n\) med ett.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		La oss nå finne det tjuefemte leddet ved å erstatte tjuefem i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Vel, nå beregner vi det nødvendige beløpet uten problemer.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) av de første leddene, kan du få en annen formel: du trenger bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte formelen for det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formelen for summen av de første n leddene er: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige summen \(n\) av de første elementene;
\(a_1\) er det første leddet som skal summeres;
\(d\) – progresjonsforskjell;
\(n\) - antall elementer i summen.

Eksempel. Finn summen av de første \(33\)-ex leddene i den aritmetiske progresjonen: \(17\); \(15,5\); \(fjorten\)…
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplekse aritmetiske progresjonsproblemer

Nå har du alt nødvendig informasjon for å løse nesten alle problemer på en aritmetisk progresjon. La oss avslutte emnet med å vurdere problemer der du ikke bare må bruke formler, men også tenke litt (i matematikk kan dette være nyttig ☺)

Eksempel (OGE). Finn summen av alle negative ledd i progresjonen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Oppgaven er veldig lik den forrige. Vi begynner å løse på samme måte: først finner vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nå ville vi erstattet \(d\) i formelen for summen ... og her dukker det opp en liten nyanse - vi vet ikke \(n\). Vi vet med andre ord ikke hvor mange termer som må legges til. Hvordan finne ut av det? La oss tenke. Vi slutter å legge til elementer når vi kommer til det første positive elementet. Det vil si at du må finne ut nummeret på dette elementet. Hvordan? La oss skrive ned formelen for å beregne et hvilket som helst element i en aritmetisk progresjon: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vårt tilfelle.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Vi trenger \(a_n\) for å bli Over null. La oss finne ut for hva \(n\) dette vil skje.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi deler begge sider av ulikheten med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Vi overfører minus én, ikke glemme å endre skilt
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Databehandling...
\(n>65 333...\)		…og det viser seg at det første positive elementet vil ha tallet \(66\). Følgelig har den siste negative \(n=65\). Bare i tilfelle, la oss sjekke det ut.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Derfor må vi legge til de første \(65\) elementene.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsene: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finn summen fra \(26\)th til \(42\) element inklusive.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne oppgaven må du også finne summen av elementer, men starter ikke fra den første, men fra den \(26\)th. Vi har ingen formel for dette. Hvordan bestemme? Enkelt - for å få summen fra \(26\)th til \(42\)th, må du først finne summen fra \(1\)th til \(42\)th, og deretter trekke summen fra den den første til \ (25 \) th (se bilde).
	For vår progresjon \(a_1=-33\), og forskjellen \(d=4\) (tross alt legger vi fire til det forrige elementet for å finne det neste). Når vi vet dette, finner vi summen av de første \(42\)-uh elementene.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nå summen av de første \(25\)-te elementene.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til slutt beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

For en aritmetisk progresjon er det flere formler som vi ikke har vurdert i denne artikkelen på grunn av deres lave praktiske nytteverdi. Du kan imidlertid enkelt finne dem.

Når du studerer algebra på en ungdomsskole (9. klasse) en av viktige emner er studien tallsekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi ta for oss en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette, er det nødvendig å gi en definisjon av progresjonen som vurderes, samt å gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt videre for å løse problemer.

Aritmetisk eller er et slikt sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert medlem skiller seg fra det forrige med en konstant verdi. Denne verdien kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.

La oss ta et eksempel. Den neste tallsekvensen vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives typen progresjon som vurderes, siden forskjellen for det ikke er konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

Vi gir nå de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved hjelp av en aritmetisk progresjon. Angi med symbol a n nte medlem sekvenser der n er et heltall. La oss betegne forskjellen latinsk bokstav d. Deretter følgende uttrykk:

1. For å bestemme verdien av det n-te leddet, er formelen egnet: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n + a 1)*n/2.

For å forstå noen eksempler på en aritmetisk progresjon med en løsning i klasse 9, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er bygd på bruken. Ikke glem at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1 .

Eksempel #1: Finne et ukjent medlem

Vi gir et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, det er nødvendig å finne fem ledd i den.

Det følger allerede av betingelsene for problemet at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

1. La oss beregne forskjellen først. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan man ta hvilke som helst andre termer ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d \u003d a n - a n-1, så d \u003d a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 \u003d a 4 + d. Erstatning kjente verdier: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den, som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se, fører begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er forskjellen d av progresjonen negativ verdi. Slike sekvenser kalles avtagende fordi hvert påfølgende ledd er mindre enn det forrige.

Eksempel #2: progresjonsforskjell

La oss nå komplisere oppgaven litt, gi et eksempel på hvordan du finner forskjellen på en aritmetisk progresjon.

Det er kjent at i noen algebraisk progresjon er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vi erstatter de kjente dataene fra tilstanden i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 \u003d 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt beregne differansen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dermed ble første del av oppgaven besvart.

For å gjenopprette en sekvens opp til 7 termer, bør man bruke definisjonen algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 og 7 = 18.

Eksempel #3: gjør en progresjon

La oss gjøre det vanskeligere sterkere tilstand oppgaver. Nå må du svare på spørsmålet om hvordan du finner en aritmetisk progresjon. Vi kan gi følgende eksempel: det gis to tall, for eksempel 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd passer mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, er det nødvendig å forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i fremtidig progresjon. Siden det vil være tre vilkår til mellom dem, så en 1 \u003d -4 og en 5 \u003d 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til en oppgave som ligner den forrige. Igjen, for det n-te leddet bruker vi formelen, vi får: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Fra: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Her fikk vi ikke en heltallsverdi av forskjellen, men det er den rasjonalt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende medlemmene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u 5,0 som falt sammen med tilstanden til problemet.

Eksempel #4: Det første medlemmet av progresjonen

Vi fortsetter å gi eksempler på en aritmetisk progresjon med en løsning. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. Tenk nå på et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne ut fra hvilket tall denne sekvensen begynner.

Formlene som har blitt brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. Ingenting er kjent om disse tallene i tilstanden til problemet. La oss likevel skrive ut uttrykkene for hvert begrep som vi har informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi har to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Det spesifiserte systemet er enklest å løse hvis du uttrykker en 1 i hver ligning, og deretter sammenligner de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, hvorav forskjellen d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1 . For eksempel, først: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Hvis det er tvil om resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme det 43. medlemmet av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. En liten feil skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.

Eksempel #5: Sum

La oss nå se på noen eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La det bli gitt numerisk progresjon følgende type: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?

Takket være utviklingen datateknologi du kan løse dette problemet, det vil si sekvensielt legge til alle tallene, som Regnemaskin vil gjøre det så snart personen trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er nysgjerrig å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian" fordi i tidlig XVIIIårhundret klarte den berømte tyskeren, fortsatt i en alder av bare 10 år gammel, å løse det i tankene hans på noen få sekunder. Gutten kjente ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger til tallpar plassert i kantene av sekvensen, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.

Eksempel #6: summen av ledd fra n til m

En annen et typisk eksempel summen av en aritmetisk progresjon er som følger: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne summen av medlemmene fra 8 til 14.

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få begreper, er ikke denne metoden arbeidskrevende nok. Ikke desto mindre foreslås det å løse dette problemet ved den andre metoden, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av en algebraisk progresjon mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Siden n > m er det åpenbart at 2-summen inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene, og legger til begrepet a m (hvis vi tar differansen, trekkes det fra summen S n), så får vi det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskapen om uttrykket for det n-te leddet og formelen for summen av settet med første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser nøye gjennom betingelsen, forstår tydelig hva du vil finne, og først deretter fortsetter med løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på spørsmålet uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og delt felles oppgave i separate deloppgaver (i denne saken finn først begrepene a n og a m).

Hvis det er tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Hvordan finne en aritmetisk progresjon, fant ut. Når du først finner ut av det, er det ikke så vanskelig.

Matrise A -1 kalles den inverse matrisen med hensyn til matrise A, hvis A * A -1 \u003d E, hvor E - identitetsmatrise n. orden. invers matrise kan bare eksistere for kvadratiske matriser.

Tjenesteoppdrag. Med denne tjenesten, online-modus man kan finne algebraiske komplementer, den transponerte matrisen A T , unionsmatrisen og den inverse matrisen. Løsningen utføres direkte på siden (online) og er gratis. Beregningsresultatene presenteres i en rapport i Word-format og i Excel-format (det vil si at det er mulig å sjekke løsningen). se designeksempel.

Instruksjon. For å få en løsning må du spesifisere dimensjonen til matrisen. Deretter fyller du ut matrisen A i den nye dialogboksen.

Matrisedimensjon 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se også invers matrise etter Jordan-Gauss-metoden

Algoritme for å finne den inverse matrisen

1. Finne den transponerte matrisen A T .
2. Definisjon av algebraiske tillegg. Erstatt hvert element i matrisen med dets algebraiske komplement.
3. Kompilering av en invers matrise fra algebraiske tillegg: hvert element i den resulterende matrisen er delt med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse av den opprinnelige matrisen.

Neste invers matrisealgoritme lik den forrige, bortsett fra noen trinn: beregn først algebraiske tillegg, og deretter bestemmes unionsmatrisen C.

1. Bestem om matrisen er kvadratisk. Hvis ikke, er det ingen invers matrise for det.
2. Beregning av determinanten til matrisen A . Hvis den ikke er lik null, fortsetter vi løsningen, ellers eksisterer ikke den inverse matrisen.
3. Definisjon av algebraiske tillegg.
4. Utfylling av unionsmatrisen (gjensidig, tilstøtende) C .
5. Kompilering av den inverse matrisen fra algebraiske addisjoner: hvert element i den tilstøtende matrisen C er delt med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse av den opprinnelige matrisen.
6. Gjør en sjekk: multipliser originalen og de resulterende matrisene. Resultatet bør være en identitetsmatrise.

Eksempel #1. Vi skriver matrisen på skjemaet:

Algebraiske tillegg.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Deretter invers matrise kan skrives som:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

En annen algoritme for å finne den inverse matrisen

Vi presenterer et annet opplegg for å finne den inverse matrisen.

1. Vi finner determinanten for dette kvadratisk matrise EN.
2. Vi finner algebraiske tillegg til alle elementene i matrisen A .
3. Vi skriver de algebraiske komplementene til elementene i radene inn i kolonnene (transposisjon).
4. Vi deler hvert element i den resulterende matrisen med determinanten til matrisen A .

Som du kan se, kan transposisjonsoperasjonen brukes både i begynnelsen, over den opprinnelige matrisen og på slutten, over de resulterende algebraiske tilleggene.

Et spesielt tilfelle: Det omvendte, med hensyn til identitetsmatrisen E, er identitetsmatrisen E.

Online kalkulator.
Aritmetisk progresjonsløsning.
Gitt: a n , d, n
Finn: en 1

Dette matematikkprogrammet finner \(a_1\) av en aritmetisk progresjon basert på brukerspesifiserte tall \(a_n, d \) og \(n \).
Tallene \(a_n\) og \(d \) kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker. Dessuten, brøktall kan angis som en desimal (\(2,5 \)) og som vanlig brøk(\(-5\frac(2)(7) \)).

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også prosessen med å finne en løsning.

Denne nettbaserte kalkulatoren kan være nyttig for elever på videregående skole allmennpedagogiske skoler som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre til å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller trene deres yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået på oppgavefeltet som løses øker.

Dersom du ikke er kjent med reglene for inntasting av tall, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for inntasting av tall

Tallene \(a_n\) og \(d \) kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker.
Tallet \(n\) kan bare være et positivt heltall.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltalls- og brøkdelene i desimalbrøker kan skilles med enten en prikk eller et komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler så 2,5 eller så 2,5

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du kommer inn numerisk brøk Telleren er atskilt fra nevneren med et divisjonstegn: /
Inndata:
Resultat: \(-\frac(2)(3) \)

hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inndata:
Resultat: \(-1\frac(2)(3) \)

Skriv inn tallene a n , d, n

Finn en 1

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Numerisk rekkefølge

Nummerering brukes ofte i hverdagen. ulike gjenstander for å angi rekkefølgen deres. For eksempel er husene i hver gate nummerert. I biblioteket nummereres leserabonnementene og ordnes deretter i rekkefølgen til de tildelte numrene i spesielle arkivskap.

I en sparebank kan du enkelt finne denne kontoen etter nummeret på innskyters personlige konto og se hva slags innskudd den har. La det være et innskudd på a1 rubler på konto nr. 1, et innskudd på a2 rubler på konto nr. 2 osv. Det viser seg numerisk rekkefølge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
der N er antallet av alle kontoer. Her er hvert naturlig tall n fra 1 til N tildelt et tall a n .

Matematikk studerer også uendelige tallsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tallet a 1 kalles det første medlemmet av sekvensen, nummer a 2 - det andre medlemmet av sekvensen, nummer a 3 - det tredje medlemmet av sekvensen etc.
Tallet a n kalles n'te (n'te) medlem av sekvensen, og det naturlige tallet n er dets Antall.

For eksempel i en sekvens av firkanter naturlige tall 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... og 1 = 1 er det første medlemmet av sekvensen; og n = n 2 er nte medlem sekvenser; a n+1 = (n + 1) 2 er det (n + 1) (en pluss det første) medlemmet av sekvensen. Ofte kan en sekvens spesifiseres med formelen til dens n-te medlem. For eksempel gir formelen \(a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) \) sekvensen \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetisk progresjon

Lengden på et år er omtrent 365 dager. En mer nøyaktig verdi er \(365\frac(1)(4) \) dager, så hvert fjerde år akkumuleres en feil på én dag.

For å gjøre rede for denne feilen legges en dag til hvert fjerde år, og det langstrakte året kalles et skuddår.

For eksempel i det tredje årtusen skuddårårene er 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

I denne sekvensen er hvert medlem, fra det andre, lik det forrige, lagt til med samme nummer 4. Slike sekvenser kalles aritmetiske progresjoner.

Definisjon.
Den numeriske sekvensen a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... kalles aritmetisk progresjon, hvis for all naturlig n likheten
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
hvor d er et tall.

Det følger av denne formelen at a n+1 - a n = d. Tallet d kalles differansen aritmetisk progresjon.

Per definisjon av en aritmetisk progresjon har vi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
hvor
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), hvor \(n>1 \)

Dermed er hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to medlemmene ved siden av den. Dette forklarer navnet "aritmetisk" progresjon.

Legg merke til at hvis a 1 og d er gitt, kan de resterende leddene i den aritmetiske progresjonen beregnes ved å bruke den rekursive formelen a n+1 = a n + d. På denne måten er det ikke vanskelig å beregne de første leddene av progresjonen, men for eksempel for en 100 vil det allerede være nødvendig med mange beregninger. Vanligvis brukes den n-te termformelen for dette. I henhold til definisjonen av en aritmetisk progresjon
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
Som regel,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
siden det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon hentes fra det første medlemmet ved å legge til (n-1) ganger tallet d.
Denne formelen kalles formel for det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

La oss finne summen av alle naturlige tall fra 1 til 100.
Vi skriver denne summen på to måter:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Vi legger til disse likestillingene termin for termin:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Det er 100 termer i denne summen.
Derfor er 2S = 101 * 100, hvorav S = 101 * 50 = 5050.

Tenk nå på en vilkårlig aritmetisk progresjon
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
La S n være summen av de første n leddene i denne progresjonen:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Deretter summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon er
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Siden \(a_n=a_1+(n-1)d \), og erstatter en n i denne formelen, får vi en annen formel for å finne summene av de første n leddene i en aritmetisk progresjon:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og OGE-tester online Spill, puslespill Konstruksjon av grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående skoler i Russland Katalog over russiske universiteter Liste over oppgaver

Hva Hovedpoenget formler?

Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER" n" .

Selvfølgelig må du kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.

Det er ikke nok å huske (eller jukse) denne formelen. Det er nødvendig å assimilere essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Og ikke glem det rett øyeblikk, men hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Men hvordan huske Om nødvendig gir jeg deg et hint. For de som mestrer leksjonen til slutten.)

Så la oss ta for oss formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

Hva er en formel generelt - vi forestiller oss.) Hva er en aritmetisk progresjon, et medlemsnummer, en progresjonsforskjell - er tydelig angitt i forrige leksjon. Ta en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva nte medlem.

progresjon i generelt syn kan skrives som en rekke tall:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem en 4- fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - fra en 120.

Hvordan definere generelt noen medlem av en aritmetisk progresjon, s noen Antall? Veldig enkelt! Som dette:

en n

Det er det det er n-te medlem av en aritmetisk progresjon. Under bokstaven n skjules alle medlemstallene på en gang: 1, 2, 3, 4 og så videre.

Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall, skrev de ned en bokstav ...

Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å arbeide med aritmetiske progresjoner. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og en haug med oppgaver å løse i progresjon. Du vil se videre.

I formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon:

a n = a 1 + (n-1)d

en 1- det første medlemmet av den aritmetiske progresjonen;

n- medlemsnummer.

Formelen kobler sammen nøkkelparametrene for enhver progresjon: a n ; a 1; d og n. Rundt disse parameterne kretser alle gåtene i progresjon.

Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en bestemt progresjon. For eksempel, i oppgaven kan det sies at progresjonen er gitt av tilstanden:

a n = 5 + (n-1) 2.

Et slikt problem kan til og med forvirre ... Det er ingen serie, ingen forskjell ... Men ved å sammenligne tilstanden med formelen er det lett å finne ut at i denne progresjonen a 1 \u003d 5, og d \u003d 2.

Og det kan være enda sintere!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, ja, åpne parentesene og gi lignende? Vi får en ny formel:

an = 3 + 2n.

den Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven ligger. Noen tror at første termin er en treer. Selv om det første medlemmet i virkeligheten er en femmer ... Litt lavere vil vi jobbe med en slik modifisert formel.

I oppgaver for progresjon er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, du gjettet riktig, "n pluss det første" leddet i progresjonen. Dens betydning er enkel og ufarlig.) Dette er et medlem av progresjonen, hvor tallet er større enn tallet n ganger en. For eksempel hvis i et problem vi tar for en n femte periode altså en n+1 blir det sjette medlemmet. Etc.

Oftest betegnelsen en n+1 forekommer i rekursive formler. Ikke vær redd for dette forferdelige ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et ledd i en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. Anta at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke den tilbakevendende formelen:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Og hvordan telle umiddelbart, si det tjuende begrepet, en 20? Men ingen måte!) Mens den 19. termen ikke er kjent, kan den 20. ikke telles. Dette er den grunnleggende forskjellen mellom den rekursive formelen og formelen til det n-te leddet. Rekursiv virker bare gjennom tidligere begrep, og formelen til n'te ledd - gjennom den første og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Ikke teller hele tallserien i rekkefølge.

I en aritmetisk progresjon kan en rekursiv formel lett gjøres om til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen i vanlig form, og jobb med den. I GIA finnes ofte slike oppgaver.

Anvendelse av formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:

Gitt en aritmetisk progresjon (a n). Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Dette problemet kan løses uten formler, bare basert på betydningen av den aritmetiske progresjonen. Legg til, ja legg til ... En time eller to.)

Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) Vi bestemmer.

Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Det gjenstår å se hva n. Ikke noe problem! Vi må finne en 121. Her skriver vi:

Vær så snill, følg med! I stedet for en indeks n dukket opp spesifikt nummer: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i termen for den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vår n. Det er denne meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Bytt ut alle tallene i formelen og beregn:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det er alt som skal til. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende medlemmet, og det tusen og tredje, hvilket som helst. Vi setter i stedet nønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi vurderer.

La meg minne deg på essensen: denne formelen lar deg finne noen ledd for en aritmetisk progresjon VED HANS NUMMER" n" .

La oss løse problemet smartere. La oss si at vi har følgende problem:

Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 17 =-2; d=-0,5.

Hvis du har noen problemer, vil jeg foreslå det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja Ja. Skriv for hånd, rett i notatboken din:

a n = a 1 + (n-1)d

Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem ... Alt? Hvis du tror det er alt, så kan du ikke løse problemet, ja ...

Vi har også et nummer n! I tilstanden a 17 =-2 skjult to alternativer. Dette er både verdien av det syttende medlemmet (-2) og dets nummer (17). De. n=17. Denne "lille tingen" glir ofte forbi hodet, og uten den, (uten "den lille", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Selv om ... og uten hode også.)

Nå kan vi bare dumt erstatte dataene våre med formelen:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss legge det inn:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Det er i hovedsak alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen, og beregne. Du får svaret: a 1 = 6.

En slik teknikk - å skrive en formel og ganske enkelt erstatte kjente data - hjelper mye enkle oppgaver. Vel, du må selvfølgelig kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan ikke matematikk studeres i det hele tatt ...

Et annet populært problem:

Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 1 =2; a 15 = 12.

Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)

a n = a 1 + (n-1)d

Tenk på hva vi vet: a1=2; a15=12; og (spesielt høydepunkt!) n=15. Erstatt gjerne i formelen:

12=2 + (15-1)d

La oss regne.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dette er det riktige svaret.

Så, oppgaver en n, en 1 og d besluttet. Det gjenstår å lære hvordan du finner nummeret:

Tallet 99 er medlem av en aritmetisk progresjon (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn nummeret til dette medlemmet.

Vi erstatter de kjente mengdene i formelen til det n-te leddet:

a n = 12 + (n-1) 3

Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n er noen medlem av progresjonen med nummeret n... Og dette medlemmet av progresjonen kjenner vi! Det er 99. Vi vet ikke nummeret hans. n, så dette nummeret må også finnes. Bytt ut progresjonsleddet 99 med formelen:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrykker fra formelen n, vi tror. Vi får svaret: n=30.

Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):

Bestem om tallet 117 vil være et medlem av en aritmetisk progresjon (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen alternativer? Hm... Hvorfor trenger vi øyne?) Ser vi det første medlemmet av progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 \u003d -3.6. Forskjell d kan bestemmes ut fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ja, vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til et ukjent nummer n og et uforståelig tall 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang at ... Hvordan være!? Vel, hvordan være, hvordan være... Slå på Kreative ferdigheter!)

Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja-ja!)) og erstatter tallene våre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:

Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner Kan ikke være. Hvilken konklusjon trekker vi? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom 101. og 102. medlemmer. Dersom tallet viste seg å være naturlig, dvs. positivt heltall, så vil tallet være et medlem av progresjonen med det funnet tallet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Nei.

Oppgavebasert ekte versjon GIA:

Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen:

a n \u003d -4 + 6,8n

Finn første og tiende ledd i progresjonen.

Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel ... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.

Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire, tar fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i en aritmetisk progresjon i den skjult. Ingenting, vi finner det nå.)

Akkurat som i de tidligere oppgavene vikarerer vi n=1 i denne formelen:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!

Tilsvarende ser vi etter den tiende termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Det er alt som skal til.

Og nå, for de som har lest opp til disse linjene, den lovede bonusen.)

Anta, i en vanskelig kampsituasjon, GIA eller Unified State Examination, glemte du nyttig formel nte medlem av en aritmetisk progresjon. Noe kommer til hjernen, men på en eller annen måte usikkert ... Om n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?

Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Ikke veldig streng, men for å være sikker og riktig avgjørelse det er nok!) For konklusjonen er det nok å huske den elementære betydningen av den aritmetiske progresjonen og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.

Vi tegner en numerisk akse og markerer den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og merk forskjellen d mellom medlemmene. Som dette:

Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:

en 2 =a 1 + 1 d

Hva er det tredje begrepet? Tredje termin er lik første termin pluss to d.

en 3 =a 1 + 2 d

Forstår du det? Jeg setter ikke noen ord med fet skrift for ingenting. Ok, ett skritt til.)

Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.

en 4 =a 1 + 3 d

Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, bestandig ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Det vil si opp til antallet n, antall hull vil være n-1. Så formelen vil være (ingen alternativer!):

a n = a 1 + (n-1)d

Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te leddet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette et bilde inn i en ligning...

Oppgaver for selvstendig beslutning.

For oppvarming:

1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Finn en 3.

Hint: ifølge bildet er problemet løst på 20 sekunder ... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 løses dette problemet både av bildet og av formelen. Føl forskjellen!)

Og dette er ikke lenger en oppvarming.)

2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .

Hva, motvilje mot å tegne et bilde?) Likevel! Det er bedre i formelen, ja ...

3. Aritmetisk progresjon er gitt av tilstanden:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.

I denne oppgaven gis progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle opp til den hundre og tjuefemte termin... Ikke alle kan gjøre en slik bragd.) Men formelen til n-te ledd er innenfor makten til alle!

4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.

5. I henhold til betingelsen i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative medlemmene av progresjonen.

6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er null. Finn en 14.

Ikke den enkleste oppgaven, ja ...) Her vil ikke metoden "på fingrene" fungere. Du må skrive formler og løse ligninger.

Svar (i uorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Skjedd? Det er fint!)

Ikke alt ordner seg? Det skjer. Forresten, i den siste oppgaven er det ett subtilt poeng. Oppmerksomhet når du leser problemet vil være nødvendig. Og logikk.

Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i avsnitt 555. Og et element av fantasi for det fjerde, og et subtilt øyeblikk for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer på formelen til det n-te medlemmet - alt er malt. Jeg anbefaler.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.