24.1. Konseptet med differensialfunksjon

La funksjonen y=ƒ(x) ha en derivert som ikke er null i punktet x.

Så, i henhold til teoremet om sammenhengen mellom en funksjon, dens grense og en infinitesimal funksjon, kan vi skrive D у/D x=ƒ"(x)+α, der α→0 ved ∆х→0, eller ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Dermed er inkrementet til funksjonen ∆у summen av to ledd ƒ"(x) ∆x og a ∆x, som er infinitesimale for ∆x→0. Dessuten er det første leddet en infinitesimal funksjon av samme rekkefølge som ∆x, siden og det andre leddet er en uendelig funksjon av mer høy orden, enn ∆х:

Derfor kalles det første leddet ƒ"(x) ∆x hoveddelen trinn funksjoner ∆у.

Funksjonsdifferensial y=ƒ(x) i punkt x kalles hoveddelen dens økninger, lik produktet avledet av funksjonen ved økningen av argumentet, og er betegnet med dу (eller dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆х. (24.1)

Dу differensial kalles også første ordens differensial. La oss finne differensialen til den uavhengige variabelen x, dvs. differensialen til funksjonen y=x.

Siden y"=x"=1, så har vi, i henhold til formel (24.1), dy=dx=∆x, det vil si at differensialen til den uavhengige variabelen er lik inkrementet til denne variabelen: dx=∆x.

Derfor kan formel (24.1) skrives som følger:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

med andre ord differensialen til funksjonen lik produktet avledet av denne funksjonen med differensialen til den uavhengige variabelen.

Fra formel (24.2) følger likheten dy/dx=ƒ"(x). Nå er notasjonen

den deriverte dy/dx kan betraktes som forholdet mellom differensialene dy og dx.

<< Пример 24.1

Finn differensialen til funksjonen ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Løsning: Ved å bruke formelen dy=ƒ"(x) dx finner vi

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Finn differensialen til en funksjon

Beregn dy for x=0, dx=0,1.

Løsning:

Ved å erstatte x=0 og dx=0,1 får vi

24.2. Geometrisk betydning av differensialfunksjonen

La oss finne ut den geometriske betydningen av differensialen.

For å gjøre dette, la oss tegne en tangent MT til grafen til funksjonen y=ƒ(x) i punktet M(x; y) og vurdere ordinaten til denne tangenten for punktet x+∆x (se fig. 138). I figuren ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Fra den høyre trekanten MAV har vi:

Men i henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tga=ƒ"(x). Derfor AB=ƒ"(x) ∆x.

Ved å sammenligne det oppnådde resultatet med formel (24.1), får vi dy=AB, dvs. differensialen til funksjonen y=ƒ(x) ved punkt x er lik inkrementet i ordinaten til tangenten til grafen til funksjonen ved dette punkt, når x mottar en økning ∆x.

Dette er den geometriske betydningen av differensialen.

24.3 Grunnsetninger om differensialer

De grunnleggende teoremene om differensialer kan enkelt oppnås ved å bruke forbindelsen mellom differensialen og den deriverte av en funksjon (dy=f"(x)dx) og de tilsvarende teoremene om deriverte.

For eksempel, siden den deriverte av funksjonen y=c er lik null, er differensialen til en konstant verdi lik null: dy=с"dx=0 dx=0.

Teorem 24.1. Differansen av summen, produktet og kvotienten til to differensierbare funksjoner bestemmes av følgende formler:

La oss for eksempel bevise den andre formelen. Per definisjon av differensial har vi:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorem 24.2. Differensialet til en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og differensialet til dette mellomargumentet.

La y=ƒ(u) og u=φ(x) være to differensierbare funksjoner som danner en kompleks funksjon y=ƒ(φ(x)). Ved å bruke teoremet om den deriverte av en kompleks funksjon kan vi skrive

y" x =y" u u" x.

Ved å multiplisere begge sider av denne likheten med dx, lærer vi y" x dx=y" u u" x dx. Men y" x dx=dy og u" x dx=du. Følgelig kan den siste likheten skrives om som følger:

dy=у" u du.

Ved å sammenligne formlene dy=y" x dx og dy=y" u du ser vi at den første differensialen til funksjonen y=ƒ(x) bestemmes av samme formel uavhengig av om argumentet er en uavhengig variabel eller er en funksjon av et annet argument.

Denne egenskapen til en differensial kalles invarians (uforanderlighet) av formen til den første differensialen.

Formelen dy=y" x dx i utseende sammenfaller med formelen dy=y" u du, men det er en grunnleggende forskjell mellom dem: i den første formelen er x en uavhengig variabel, derfor dx=∆x, i den andre formelen det er en funksjon av x, derfor generelt sett du≠∆u.

Ved å bruke definisjonen av en differensial og de grunnleggende teoremene om differensialer, er det enkelt å konvertere en tabell med deriverte til en tabell med differensialer.

For eksempel: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Differensialbord

24.5. Bruke differensial til omtrentlige beregninger

Som allerede kjent kan inkrementet ∆у til funksjonen у=ƒ(х) i punktet x representeres som ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, hvor α→0 ved ∆х→0, eller ∆у= dy+α ∆х Hvis vi forkaster den uendelige α ∆х av høyere orden enn ∆х, får vi en omtrentlig likhet.

∆у≈dy, (24.3)

Dessuten er denne likheten mer nøyaktig, jo mindre ∆х.

Denne likheten lar oss omtrent beregne økningen til enhver differensierbar funksjon med stor nøyaktighet.

Differensialet er vanligvis mye enklere å finne enn inkrementet til en funksjon, så formel (24.3) er mye brukt i databehandling.

<< Пример 24.3

Finn den omtrentlige verdien av inkrementet til funksjonen y=x 3 -2x+1 ved x=2 og ∆x=0,001.

Løsning: Vi bruker formel (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Så ∆у» 0,01.

La oss se hvilken feil som ble gjort ved å beregne differensialen til en funksjon i stedet for dens inkrement. For å gjøre dette finner vi ∆у:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Den absolutte feilen for tilnærmingen er

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Ved å erstatte verdiene til ∆у og dy med likhet (24.3), får vi

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Formel (24.4) brukes til å beregne omtrentlige verdier av funksjoner.

<< Пример 24.4

Beregn tilnærmet arctan(1,05).

Løsning: Tenk på funksjonen ƒ(x)=arctgx. I henhold til formel (24.4) har vi:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

dvs.

Siden x+∆x=1.05, får vi ved x=1 og ∆x=0.05:

Det kan vises at den absolutte feilen til formel (24.4) ikke overstiger verdien M (∆x) 2, der M er den største verdien av |ƒ"(x)| på segmentet [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Hvilken avstand vil en kropp reise under fritt fall på månen på 10,04 s fra begynnelsen av fallet? Ligning for fritt fall av en kropp

H=gl t 2/2, gl = 1,6 m/s 2.

Løsning: Vi må finne H(10,04). La oss bruke den omtrentlige formelen (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Ved t=10 s og ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, finner vi

Problem (for uavhengig løsning). Et legeme med masse m=20 kg beveger seg med en hastighet ν=10,02 m/s. Beregn omtrent den kinetiske energien til kroppen

24.6. Differanse av høyere orden

La y=ƒ(x) være en differensierbar funksjon, og la argumentet x være uavhengig variabel. Da er dens første differensial dy=ƒ"(x)dx også en funksjon av x; differensialen til denne funksjonen kan bli funnet.

Differensialen til differensialen til funksjonen y=ƒ(x) kalles hennes andre differensial(eller andreordens differensial) og er betegnet med d 2 y eller d 2 ƒ(x).

Så per definisjon, d 2 y=d(dy). La oss finne uttrykket for den andre differensialen til funksjonen y=ƒ(x).

Siden dx=∆х ikke er avhengig av x, så når vi differensierer, vurderer vi dx konstant:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 dvs. .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24.5)

Her står dx 2 for (dx) 2.

Den tredje ordens differensialen er definert og funnet på samme måte

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

Og generelt sett er en differensial av n-te orden en differensial fra en differensial av (n-1) orden: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Herfra finner vi at spesielt for n=1,2,3

følgelig får vi:

det vil si at den deriverte av en funksjon kan betraktes som forholdet mellom dens differensial av den tilsvarende rekkefølgen til den tilsvarende graden av differensialen til den uavhengige variabelen.

Merk at alle formlene ovenfor er gyldige bare hvis x er en uavhengig variabel. Hvis funksjonen y=ƒ(x), hvor x er funksjon av en annen uavhengig variabel, så har ikke differensialer av andre og høyere ordener egenskapen forminvarians og beregnes ved å bruke andre formler. La oss vise dette ved å bruke eksempelet på en andreordens differensial.

Ved å bruke produktdifferensialformelen (d(uv)=vdu+udv), får vi:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , dvs.

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x.

(24,6)

Ved å sammenligne formlene (24.5) og (24.6), er vi overbevist om at når det gjelder en kompleks funksjon, endres andreordens differensialformel: det andre leddet ƒ"(x) d 2 x vises.

Det er klart at hvis x er en uavhengig variabel, da

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

<< Пример 24.6

og formel (24.6) blir til formel (24.5).

Finn d 2 y hvis y = e 3x og x er en uavhengig variabel.

<< Пример 24.7

Løsning: Siden y"=3e 3x, y"=9e 3x, så har vi i henhold til formel (24.5) d 2 y=9e 3x dx 2.

Finn d 2 y hvis y=x 2 og x=t 3 +1 og t er en uavhengig variabel.

Løsning: Vi bruker formel (24.6): siden

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2, At 2

d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt

En annen løsning: y=x 2, x=t 3 +1. Derfor er y=(t 3 +1) 2. ¢¢ Deretter i henhold til formel (24.5)

d 2 år=å

ru

Finne

Differensialer av høyere orden.

La funksjonen y = ¦(x) være definert i et eller annet intervall X (for eksempel et intervall) og ha deriverte av alle ordener ved hvert indre punkt. Da er differensialen dу=у 1 dх. Vi vil kalle det en førsteordens differensial. På hvert spesifikt punkt er differensialen til funksjonen et tall. På intervallet er det en funksjon av x. Derfor kan vi snakke om differensialen fra den første differensialen.

Definisjon: Differensialen til førsteordensdifferensialen til funksjonen y = ¦(x) kalles andreordensdifferensialen til denne funksjonen og er symbolsk skrevet d(dу)=d 2 y.

Notasjonene d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) gjelder også

Differensialer av høyere orden enn den første kalles differensialer av høyere orden.

Ved beregning av differensialer av høyere orden må det tas i betraktning at dx er et vilkårlig tall, men uavhengig av x, og ved differensiering med hensyn til x må det betraktes som en konstant faktor.

Derfor dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(y 1)= dх(y 11 dх)=у 11 (dх) 2. Det er vanlig å skrive graden av differensial uten parentes (dx) 2 = dx 2.

Altså d 2 y = y''dx 2, men dette må ikke forveksles med d(x 2) = 2xdx

Likeså: d 3 y= d (y 11 dx 2)= dx 2 d (y 11)= dx 2 (y 111 dx)= y 111 dx 3; d 3 y = y 111 dx 3.

Her igjen dx 3 = dx dx dx, og ikke d(x 3) = 3x 2 dx

d n y= y n dx n

Her dх n = (dх) n som før.

Spesielt fra den generelle formelen for n'te ordens differensial følger formelen for n'te ordens deriverte.

У (n) = d n у/dх n, dvs. Den deriverte av n-te orden er kvotienten av n-te differensial av funksjonen og n-te grad av differensial. selvstendig endre.

Vi har sett at formen til den første differensialen dу = у 1 dх ikke er avhengig av om x er en uavhengig variabel eller x i seg selv er en funksjon av en variabel t.

Formen til differensialen av orden n=2 er ikke lenger bevart i dette tilfellet, den har ikke invarians.

I tilfellet med en uavhengig variabel er x d 2 y=y 11 dx 2 en andreordens differensial. La nå x=, dу 1 =у 1 dх. Men nå er ikke dx lenger en vilkårlig konstant, dx = dt, dvs. dx- er en funksjon av t og derfor, når vi finner d 2 y, kan vi ikke ta dx ut av differensialtegnet.

d 2 y = d (y 1 dx) = d (y 1) dx + y 1 d (dx) = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, dvs.

d 2 y = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x – formen på differensialen har endret seg, begrepet y 1 d 2 x er lagt til. Dessuten er formen d n y ikke bevart. Dette betyr at i tilfellet der x ikke er en uavhengig variabel, skal betegnelsen y (n) = d p y/ dx p forstås som et enkelt symbol, og ikke som en relasjon av differensialer.

Partielle deriverte av en funksjon av to variabler.
Konsept og eksempler på løsninger

I denne leksjonen vil vi fortsette å bli kjent med funksjonen til to variabler og vurdere kanskje den vanligste tematiske oppgaven - å finne partielle deriverte av første og andre orden, samt den totale differensialen til funksjonen. Deltidsstudenter møter som regel partielle derivater i 1. år i 2. semester. Dessuten, ifølge mine observasjoner, vises oppgaven med å finne partielle derivater nesten alltid på eksamen.

For å effektivt studere materialet nedenfor, du nødvendig kunne mer eller mindre trygt finne "vanlige" deriverte av funksjoner til én variabel. Du kan lære hvordan du håndterer derivater riktig i leksjonene Hvordan finne den deriverte? Og Derivat av en kompleks funksjon. Vi vil også trenge en tabell med avledede funksjoner og differensieringsregler. Det er mest praktisk hvis den er tilgjengelig i trykt form. Du kan få referansemateriale på siden Matematiske formler og tabeller.

La oss raskt gjenta konseptet med en funksjon av to variabler, jeg vil prøve å begrense meg til et minimum. En funksjon av to variabler skrives vanligvis som , med variablene som kalles uavhengige variabler eller argumenter.

Eksempel: – funksjon av to variabler.

Noen ganger brukes notasjonen. Det er også oppgaver hvor bokstaven brukes i stedet for en bokstav.

Fra et geometrisk synspunkt representerer en funksjon av to variabler oftest en overflate i tredimensjonalt rom (plan, sylinder, kule, paraboloid, hyperboloid, etc.). Men faktisk er dette mer analytisk geometri, og på agendaen vår er matematisk analyse, som universitetslæreren min aldri lot meg avskrive og er min "sterke side".

La oss gå videre til spørsmålet om å finne partielle derivater av første og andre orden. Jeg har noen gode nyheter for de som har drukket noen kopper kaffe og ser på noe utrolig vanskelig materiale: partielle derivater er nesten det samme som "vanlige" derivater av en funksjon av en variabel.

For partielle deriverte er alle differensieringsregler og tabellen over deriverte av elementære funksjoner gyldige. Det er bare et par små forskjeller, som vi vil bli kjent med akkurat nå:

...ja, forresten, for dette emnet jeg laget liten pdf-bok, som lar deg "sette tennene i" på bare et par timer. Men ved å bruke siden vil du helt sikkert få det samme resultatet - bare kanskje litt tregere:

Eksempel 1

Finn første og andre ordens partielle deriverte av funksjonen

Først, la oss finne førsteordens partielle derivater. Det er to av dem.

Betegnelser:
eller – delvis derivert med hensyn til «x»
eller – delvis avledet med hensyn til “y”

La oss begynne med . Når vi finner den partielle deriverte med hensyn til "x", anses variabelen som en konstant (konstant tall).

Kommentarer til utførte handlinger:

(1) Det første vi gjør når vi finner den partielle deriverte er å konkludere alle funksjon i parentes under primtall med abonnement.

Oppmerksomhet, viktig! VI MISTER IKKE abonnement under løsningsprosessen. I dette tilfellet, hvis du tegner et "slag" et sted uten , kan læreren i det minste sette det ved siden av oppgaven (umiddelbart bite av en del av poenget for uoppmerksomhet).

(2) Vi bruker differensieringsreglene , . For et enkelt eksempel som dette kan begge reglene enkelt brukes i ett trinn. Vær oppmerksom på den første termen: siden regnes som en konstant, og enhver konstant kan tas ut av det deriverte tegnet, så setter vi den utenfor parentes. Det vil si at i denne situasjonen er det ikke bedre enn et vanlig tall. La oss nå se på det tredje begrepet: her er det tvert imot ingenting å ta ut. Siden det er en konstant, er det også en konstant, og i denne forstand er det ikke bedre enn det siste ordet - "syv".

(3) Vi bruker tabellderivater og .

(4) La oss forenkle, eller, som jeg liker å si, "justere" svaret.

Nå. Når vi finner den partielle deriverte med hensyn til "y", så variabelenbetraktet som en konstant (konstant tall).

(1) Vi bruker de samme differensieringsreglene , . I det første leddet tar vi konstanten ut av tegnet til den deriverte, i det andre leddet kan vi ikke ta ut noe siden det allerede er en konstant.

(2) Vi bruker tabellen med deriverte av elementære funksjoner. La oss mentalt endre alle "X-ene" i tabellen til "jeg". Det vil si at denne tabellen er like gyldig for (og faktisk for nesten alle bokstaver). Spesielt ser formlene vi bruker slik ut: og .

Hva er meningen med partielle derivater?

I hovedsak ligner 1. ordens partielle derivater "vanlig" derivat:

- Dette funksjoner, som kjennetegner endringshastighet fungerer i retning av henholdsvis og aksene. Så for eksempel funksjonen karakteriserer brattheten til "stigninger" og "skråninger" overflater i retning av abscisse-aksen, og funksjonen forteller oss om "relieff" av samme flate i retning av ordinataksen.

! Note : her mener vi retninger som parallell koordinatakser.

For å få en bedre forståelse, la oss vurdere et spesifikt punkt på planet og beregne verdien av funksjonen ("høyde") ved det:
– og forestill deg nå at du er her (PÅ overflaten).

La oss beregne den partielle deriverte med hensyn til "x" på et gitt punkt:

Det negative tegnet til "X"-deriverten forteller oss om avtagende fungerer i et punkt i retning av abscisse-aksen. Med andre ord, hvis vi lager en liten, liten (uendelig liten) skritt mot aksespissen (parallelt med denne aksen), så vil vi gå ned skråningen av overflaten.

Nå finner vi ut naturen til "terrenget" i retning av ordinataksen:

Den deriverte med hensyn til "y" er positiv, derfor funksjonen i et punkt i retning av aksen øker. For å si det enkelt, her venter vi en oppoverbakke.

I tillegg karakteriserer den partielle deriverte på et punkt endringshastighet fungerer i tilsvarende retning. Jo større er den resulterende verdien modulo– jo brattere overflaten er, og omvendt, jo nærmere null er den, jo flatere er overflaten. Så i vårt eksempel er "hellingen" i retning av abscisse-aksen brattere enn "fjellet" i retning av ordinataksen.

Men det var to private veier. Det er helt klart at fra det punktet vi er på, (og generelt fra ethvert punkt på en gitt overflate) vi kan bevege oss i en annen retning. Det er derfor en interesse for å lage et generelt "navigasjonskart" som kan informere oss om overflatens "landskap" hvis mulig på hvert punkt definisjonsdomene for denne funksjonen langs alle tilgjengelige stier. Jeg vil snakke om dette og andre interessante ting i en av de følgende leksjonene, men la oss nå gå tilbake til den tekniske siden av problemet.

La oss systematisere de elementære reglene:

1) Når vi differensierer med hensyn til , anses variabelen som en konstant.

2) Når det utføres differensiering iht, regnes da som en konstant.

3) Reglene og tabellen med deriverte av elementære funksjoner er gyldige og anvendelige for enhver variabel (eller annen) som differensiering utføres med.

Trinn to. Vi finner andreordens partielle derivater. Det er fire av dem.

Betegnelser:
eller – andrederiverte med hensyn til «x»
eller – andrederiverte med hensyn til "Y"
eller - blandet avledet av "x av igr"
eller - blandet avledet av "Y"

Det er ingen problemer med den andre deriverte. Enkelt sagt, den andre deriverte er den deriverte av den første deriverte.

For enkelhets skyld vil jeg omskrive førsteordens partielle derivater som allerede er funnet:

Først, la oss finne blandede derivater:

Som du kan se, er alt enkelt: vi tar den partielle derivativet og skiller den igjen, men i dette tilfellet - denne gangen i henhold til "Y".

Likeledes:

I praktiske eksempler kan du fokusere på følgende likestilling:

Gjennom andreordens blandede derivater er det derfor veldig praktisk å sjekke om vi har funnet førsteordens partielle derivater riktig.

Finn den andrederiverte med hensyn til "x".
Ingen oppfinnelser, la oss ta det og differensier det med "x" igjen:

Likeledes:

Det skal bemerkes at når du finner, må du vise økt oppmerksomhet, siden det ikke er noen mirakuløse likheter for å bekrefte dem.

Andre derivater finner også brede praktiske anvendelser, spesielt brukes de i problemet med å finne ekstrema av en funksjon av to variabler. Men alt har sin tid:

Eksempel 2

Beregn de første ordens partielle deriverte av funksjonen i punktet. Finn andreordens derivater.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen). Hvis du har problemer med å differensiere røtter, gå tilbake til leksjonen Hvordan finne den deriverte? Generelt vil du ganske snart lære å finne slike derivater "i farten."

La oss bli bedre på mer komplekse eksempler:

Eksempel 3

Sjekk det. Skriv ned første ordens totale differensial.

Løsning: Finn de første ordens partielle deriverte:

Vær oppmerksom på subskriptet: , ved siden av "X" er det ikke forbudt å skrive i parentes at det er en konstant. Dette notatet kan være svært nyttig for nybegynnere for å gjøre det lettere å navigere i løsningen.

Ytterligere kommentarer:

(1) Vi flytter alle konstanter forbi tegnet til den deriverte. I dette tilfellet, og , og derfor anses produktet deres som et konstant tall.

(2) Ikke glem hvordan du skiller røtter på riktig måte.

(1) Vi tar alle konstanter ut av tegnet til den deriverte i dette tilfellet er konstanten .

(2) Under primtall har vi produktet av to funksjoner igjen, derfor må vi bruke regelen for å skille produktet .

(3) Ikke glem at dette er en kompleks funksjon (riktignok den enkleste av komplekse). Vi bruker den tilsvarende regelen: .

Nå finner vi blandede derivater av andre orden:

Dette betyr at alle beregninger ble utført korrekt.

La oss skrive ned den totale differensialen. I sammenheng med oppgaven under vurdering gir det ingen mening å fortelle hva den totale differensialen til en funksjon av to variabler er. Det er viktig at den samme differensialen svært ofte må skrives ned i praktiske problemer.

Første ordens total differensial funksjonen til to variabler har formen:

I dette tilfellet:

Det vil si, du trenger bare dumt å erstatte de allerede funnet første-ordens partielle derivatene i formelen. I denne og lignende situasjoner er det best å skrive differensialtegn i tellere:

Og ifølge gjentatte forespørsler fra lesere, andre ordens komplett differensial.

Det ser slik ut:

La oss NØYE finne "en-bokstavs"-derivater av 2. orden:

og skriv ned "monsteret", "fest" forsiktig rutene, produktet og ikke glem å doble det blandede derivatet:

Det er greit hvis noe virker vanskelig, kan du alltid komme tilbake til derivater senere, etter at du har mestret differensieringsteknikken:

Eksempel 4

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon . Sjekk det. Skriv ned første ordens totale differensial.

La oss se på en rekke eksempler med komplekse funksjoner:

Eksempel 5

Finn de første ordens partielle deriverte av funksjonen.

Løsning:

Eksempel 6

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .
Skriv ned den totale differensialen.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen). Jeg vil ikke gi deg en komplett løsning fordi den er ganske enkel.

Ganske ofte brukes alle de ovennevnte reglene i kombinasjon.

Eksempel 7

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .

(1) Vi bruker regelen for å differensiere summen

(2) Det første leddet i dette tilfellet betraktes som en konstant, siden det ikke er noe i uttrykket som avhenger av "x" - bare "y". Du vet, det er alltid hyggelig når en brøk kan gjøres om til null). For det andre leddet bruker vi produktdifferensieringsregelen. Slik sett hadde forresten ingenting endret seg om en funksjon hadde blitt gitt i stedet - det viktige er at her produkt av to funksjoner, HVER avhenger av "X", og derfor må du bruke produktdifferensieringsregelen. For det tredje leddet bruker vi regelen om differensiering av en kompleks funksjon.

(1) Det første leddet i både telleren og nevneren inneholder en "Y", derfor må du bruke regelen for å skille kvotienter: . Det andre leddet avhenger KUN av "x", som betyr at det regnes som en konstant og blir null. For det tredje leddet bruker vi regelen for å differensiere en kompleks funksjon.

For de leserne som modig kom nesten til slutten av leksjonen, vil jeg fortelle deg en gammel Mekhmatov-anekdote for avslapning:

En dag dukket en ond avledning opp i funksjonsrommet og begynte å skille alle. Alle funksjoner er spredt i alle retninger, ingen ønsker å transformere! Og bare én funksjon løper ikke unna. Avledningen nærmer seg henne og spør:

– Hvorfor løper du ikke fra meg?

- Ha. Men jeg bryr meg ikke, for jeg er "e to the power of X", og du vil ikke gjøre meg noe!

Hvorpå den onde avledningen med et lumsk smil svarer:

- Det er her du tar feil, jeg vil skille deg med "Y", så du bør være en null.

Den som forsto vitsen har mestret derivater, i det minste til "C"-nivå).

Eksempel 8

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Den fullstendige løsningen og eksemplet på problemet er på slutten av leksjonen.

Vel, det er nesten alt. Til slutt kan jeg ikke la være å glede matematikkelskere med ett eksempel til. Det handler ikke engang om amatører, alle har et annet nivå av matematisk forberedelse - det er mennesker (og ikke så sjeldne) som liker å konkurrere med vanskeligere oppgaver. Selv om det siste eksemplet i denne leksjonen ikke er så komplisert som det er tungvint fra et beregningsmessig synspunkt.

La y = f (x) være en differensierbar funksjon, og dens argumenter være en uavhengig variabel. Da er dens første differensialdi = f ′ (x)dx også en funksjon otx; du kan finne differensialen til denne funksjonen.

Differensialen til differensialen til funksjonen y = f (x) kalles dens andre differensial(eller andre ordens differensial) og er angitt med d 2 y eller d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Her angir dx 2 (dx )2.

Den tredje ordens differensialen er definert og funnet på samme måte: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Generelt er en differensial av n-te orden en differensial fra en differensial av (n- 1) orden:d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx)n.

Herfra finner vi at f (n) (x) = d n y. Spesielt for n = 1, 2, 3, henholdsvis, får vi: dx n

f ′ (x) =			f "(x) =	d 2 år		f "(x) =	d 3 år	De. den deriverte av en funksjon kan betraktes som

forholdet mellom dens differensial av den tilsvarende rekkefølgen til den tilsvarende graden av differensialen til den uavhengige variabelen.

Merk at alle formlene ovenfor er gyldige bare hvis x er en uavhengig variabel.

Eksempel. Finn d 2 y ify = e 3 x deres er den uavhengige variabelen Løsning: siden y′ = 3e 3 x,y′′ = 9e 3 x, så har vi d 2 y = 9e 3 x dx 2.

L'Hopitals regler

L'Hopitals regler brukes til å avdekke usikkerheter av formen 0 0 og ∞ ∞, som kalles fundamental.

Teorem 3. (L'Hopitals regel for å avsløre usikkerheter av formen 0 0 ).

La funksjonene f (x) og g (x) være kontinuerlige og differensierbare i nærheten av punktene 0 og

forsvinne på dette punktet: f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0. La g ′ (x )≠ 0 i nærheten av punktet x 0 . Hvis

det er en grense

f′(x)

L, da

f(x)

f′(x)

g(x)

g′(x)

x→x0

x→x0

x→x0

Eksempel. Finn lim1 − cos6 x .

x→ 0

2x2

Løsning: lim

1- cos 6x

s. L.

6sin 6x

s. L.

36 for 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Teorem 4. (L'Hopitals regel for å avsløre usikkerheter på formen ∞ ∞ ).

La funksjonene f (x) og g (x) være kontinuerlige og differensierbare i nærheten av punktene 0 (unntatt
kanskje poeng x 0), i dette nabolaget limf (x) = limg (x) = ∞,g ′ (x)≠ 0. Hvis det er
	f′(x)			f(x)			f′(x)	x→x0	x→x0
grense lim
	g′(x)			g(x)
x→x0			x→x0			x→x0	g′(x)

tg 3 x

Eksempel. Finn grense tg 5 x

x→π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim 3cos

s. L.

s. L.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

synd 6x

x→

6cos6x

Usikkerheter i formen , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], reduseres til to hovedmåter ved identiske transformasjoner.

La f (x)→ 0, og g (x)→ 0 i → x 0. Da er følgende transformasjoner åpenbare:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→x

x→x

x→x

g(x)

g(x)

Finn lim tg

π x

(2 − x ).

x→ 2

2 − x

0 =lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

s. L.

x→ 2

x→ 2

π x

ctg 4

x→ 2

2 π x

La f (x)→ ∞, og g (x)→ ∞ komme → x 0. Da kan du gjøre dette:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x→x0

x→x0

x→x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

La f (x)→ 1, og g (x)→ ∞, eller f (x)→ ∞, og g (x)→ 0, eller f (x)→ 0, og g (x)→ 0 ved → x 0.

For å finne en grense på formen lim f (x) g (x), må du huske egenskapen til logaritmen

x→x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Eksempel. Finn lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .