Rn,
(MATEMATIKK I ØKONOMI)

Vektor nedbrytning

Vektor nedbrytning EN inn i komponenter - vektorerstatningsoperasjon EN flere andre vektorer ab a2, a3, etc., som når de legges til danner startvektoren EN; i dette tilfellet kalles vektorene db a2, a3 osv. komponenter av vektoren EN. Med andre ord, nedbrytningen av enhver...
(FYSikk)

Grunnlag og rangering av vektorsystemet

Tenk på systemet av vektorer (1.18) Maksimalt uavhengig delsystem av vektorsystemet(1.I8) er et delvis sett av vektorer av dette systemet som tilfredsstiller to betingelser: 1) vektorene til dette settet er lineært uavhengige; 2) en hvilken som helst vektor av systemet (1.18) er lineært uttrykt gjennom vektorene til dette settet....
(MATEMATIKK I ØKONOMI)

Vektorrepresentasjon i ulike systemer koordinater

La oss vurdere to ortogonale rettlinjede koordinatsystemer med sett med enhetsvektorer (i, j, k) og (i j", k") og representere vektoren a i dem. La oss konvensjonelt anta at enhetsvektorene med primtall tilsvarer nye systemer e-koordinater, og uten slag - gamle. La oss forestille oss vektoren i form av en utvidelse langs aksene til både det gamle og det nye systemet...

Dekomponering av en vektor på ortogonal basis

La oss vurdere grunnlaget for rommet Rn, hvor hver vektor er ortogonal til de andre basisvektorene: Ortogonale baser er kjente og godt representable på planet og i rommet (fig. 1.6). Baser av denne typen er praktiske først og fremst fordi utvidelseskoordinatene vilkårlig vektor er bestemt...
(MATEMATIKK I ØKONOMI)

Vektorer og deres representasjoner i koordinatsystemer

Konseptet med en vektor er assosiert med visse fysiske mengder, som er preget av deres intensitet (størrelse) og retning i rommet. Slike størrelser er for eksempel kraften som virker på en materiell kropp, hastighet bestemt punkt av denne kroppen, akselerasjonen av en materiell partikkel ...
(CONTINUUM MEKANIKK: STRESSTEORI OG GRUNNLEGGENDE MODELLER)

De enkleste analytiske representasjonene av en vilkårlig elliptisk funksjon

Representasjon av en elliptisk funksjon som summen av de enkleste elementene. La / (z) er en elliptisk funksjon av orden s med enkle poler jjt, $s, ligger i et parallellogram av perioder. Betegner med Bk subtraherer funksjonen med hensyn til polen, har vi at 2 ?l = 0 (§ 1, avsnitt 3, teorem...
(INNLEDNING TIL FUNKSJONERTEORIEN TIL EN KOMPLEKS VARIABEL)

L. 2-1 Grunnleggende begreper i vektoralgebra. Lineære operasjoner på vektorer.

Dekomponering av en vektor etter basis.

Grunnleggende konsepter for vektoralgebra

En vektor er settet av alle rettede segmenter som har samme lengde og retning
.

Egenskaper:

Lineære operasjoner på vektorer

1.

Parallelogramregel:

MED ummah to vektorer Og kalt en vektor , som kommer fra deres felles opprinnelse og er en diagonal av et parallellogram bygget på vektorer Og begge på sidene.

Polygonregel:

For å konstruere summen av et hvilket som helst antall vektorer, må du plassere begynnelsen av den andre på slutten av den første ledd av vektoren, på slutten av den andre - begynnelsen av den tredje, osv. Vektoren som lukker resultatet brutt linje, er summen. Begynnelsen faller sammen med begynnelsen av den første, og slutten med slutten av den siste.

Egenskaper:

2.

Produkt av en vektor per nummer , er en vektor som tilfredsstiller betingelsene:
.

Egenskaper:

3.

Ved forskjell vektorer Og kalt en vektor , lik summen av vektoren og vektoren motsatt av vektoren , dvs.
.

- loven til det motsatte elementet (vektor).

Dekomponering av en vektor til en basis

Summen av vektorer bestemmes på en unik måte
(og bare ). Den omvendte operasjonen, dekomponeringen av en vektor i flere komponenter, er tvetydig: For å gjøre det entydig, er det nødvendig å indikere retningene som den aktuelle vektoren dekomponeres langs, eller, som de sier, det er nødvendig å indikere basis.

Ved bestemmelse av grunnlaget er kravet om ikke-koplanaritet og ikke-kollinearitet av vektorer vesentlig. For å forstå betydningen av dette kravet, er det nødvendig å vurdere konseptet lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer.

Et vilkårlig uttrykk for formen: , kalles lineær kombinasjon vektorer
.

En lineær kombinasjon av flere vektorer kalles trivielt, hvis alle koeffisientene er lik null.

Vektorer
kalles lineært avhengig, hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av disse vektorene lik null:
(1), gitt
.
Hvis likhet (1) bare gjelder for alle
samtidig lik null, deretter ikke-null vektorer vilje.

lineært uavhengig Lett å bevise:.

alle to kollineære vektorer er lineært avhengige, og alle to ikke-kollineære vektorer er lineært uavhengige

La oss starte beviset med det første utsagnet. Og La vektorene
kollineær. La oss vise at de er lineært avhengige. Faktisk, hvis de er kollineære, skiller de seg fra hverandre bare med en numerisk faktor, dvs.
, derfor Og . Siden den resulterende lineære kombinasjonen tydeligvis er ikke-triviell og lik "0", så er vektorene

La oss nå vurdere to ikke-kollineære vektorer Og . La oss bevise at de er lineært uavhengige. Vi konstruerer beviset ved selvmotsigelse.

La oss anta at de er lineært avhengige. Da må det være en ikke-triviell lineær kombinasjon
. La oss anta det
, Deretter
. Den resulterende likheten betyr at vektorene Og er kollineære, i motsetning til vår opprinnelige antagelse.

På samme måte kan vi bevise: alle tre koplanare vektorer er lineært avhengige, og to ikke-koplanare vektorer er lineært uavhengige.

Tilbake til begrepet basis og til problemet med å dekomponere en vektor på et bestemt grunnlag, kan vi si det grunnlaget på planet og i rommet er dannet av et sett med lineært uavhengige vektorer. Dette begrepet grunnlag er generelt, fordi det gjelder rom av et hvilket som helst antall dimensjoner.

Uttrykk som:
, kalles vektordekomponering av vektorer ,…,.

Hvis vi vurderer en basis i tredimensjonalt rom, så nedbrytningen av vektoren på grunnlag
vilje
, Hvor
-vektorkoordinater.

I problemet med å dekomponere en vilkårlig vektor på et bestemt grunnlag, er følgende utsagn veldig viktig: hvilken som helst vektorkan utvides unikt på et gitt grunnlag
. Med andre ord, koordinatene
for enhver vektor i forhold til grunnlaget
er bestemt entydig.

Innføringen av en basis i rommet og på planet tillater oss å tilordne hver vektor et ordnet trippel (par) av tall – dets koordinater. Dette svært viktige resultatet, som lar oss etablere en sammenheng mellom geometriske objekter og tall, gjør det mulig å analytisk beskrive og studere posisjonen og bevegelsen til fysiske objekter.

Settet av et punkt og en basis kalles koordinatsystem.

Hvis vektorene som danner grunnlaget er enhet og parvis perpendikulære, kalles koordinatsystemet rektangulær, og grunnlaget ortonormal.

L. 2-2 Produkt av vektorer

Dekomponering av en vektor til en basis

Tenk på en vektor
, gitt av koordinatene:
.

- vektorkomponenter langs retningene til basisvektorene
.

Uttrykk av skjemaet
kalt vektordekomponering på grunnlag
.

På lignende måte kan vi dekomponere på grunnlag
vektor
:

.

Cosinus av vinkler dannet av vektoren som vurderes med basisvektorer
kalles retning cosinus

;
;
.

Punktprodukt av vektorer.

Punktprodukt av to vektorer Og er et tall som er lik produktet av modulene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem

Det skalare produktet av to vektorer kan betraktes som produktet av modulen til en av disse vektorene og den ortogonale projeksjonen av den andre vektoren i retningen til den første
.

Egenskaper:

Hvis koordinatene til vektorene er kjent
Og
, deretter etter å ha dekomponert vektorene til basisen
:
Og
, la oss finne

, fordi
,
, Det

.

.

Betingelse for at vektorer skal være vinkelrette:
.

Betingelse for rektorers collinearitet:
.

Vektorprodukt av vektorer

eller

Vektor produkt etter vektor til vektor en slik vektor kalles
, som tilfredsstiller vilkårene:

Egenskaper:

De betraktede algebraiske egenskapene tillater oss å finne et analytisk uttrykk for vektorproduktet gjennom koordinatene til komponentvektorene på en ortonormal basis.

Gitt:
Og
.

fordi ,
,
,
,
,
,
, Det

. Denne formelen kan skrives mer kort, i form av en tredjeordens determinant:

.

Blandet produkt av vektorer

Blandet produkt av tre vektorer ,Og er tallet lik vektorproduktet
, multiplisert skalar med vektoren .

Følgende likhet er sann:
, så det blandede produktet er skrevet
.

Som følger av definisjonen, resultatet av det blandede produktet tre vektorer er tallet. Dette tallet har en klar geometrisk betydning:

Blandet produktmodul
lik volumet til et parallellepiped bygget på redusert til generell begynnelse vektorer ,Og .

Egenskaper til et blandet produkt:

Hvis vektorene ,,spesifisert på ortonormal basis
dens koordinater, blir beregningen av det blandede produktet utført i henhold til formelen

.

Faktisk, hvis
, Det

;
;
, Deretter
.

Hvis vektorene ,,er koplanære, deretter vektorproduktet
vinkelrett på vektoren . Og omvendt, hvis
, da er volumet til parallellepipedet null, og dette er bare mulig hvis vektorene er koplanære (lineært avhengige).

Dermed er tre vektorer koplanære hvis og bare hvis deres blandede produkt er null.

Grunnlaget for plass de kaller et slikt system av vektorer der alle andre vektorer i rommet kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer inkludert i basisen.
I praksis gjennomføres dette ganske enkelt. Grunnlaget blir som regel kontrollert på et plan eller i rommet, og for dette må du finne determinanten til en andre, tredje ordens matrise sammensatt av vektorkoordinater. Nedenfor er skjematisk skrevet forhold som vektorer danner grunnlaget for

Til utvide vektor b til basisvektorer
e,e...,e[n] det er nødvendig å finne koeffisientene x, ..., x[n] der den lineære kombinasjonen av vektorer e,e...,e[n] er lik vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
For å gjøre dette, bør vektorligningen konverteres til et system av lineære ligninger og løsninger bør finnes. Dette er også ganske enkelt å implementere.
De funnet koeffisientene x, ..., x[n] kalles koordinatene til vektor b i basisen e,e...,e[n].
La oss gå videre til den praktiske siden av emnet.

Dekomponering av en vektor til basisvektorer

Oppgave 1. Sjekk om vektorene a1, a2 danner et grunnlag på planet

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Løsning: Vi komponerer en determinant fra koordinatene til vektorene og beregner den

Determinanten er ikke null, derfor vektorene er lineært uavhengige, noe som betyr at de danner en basis.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Løsning: Vi beregner determinanten som består av vektorer

Determinanten er lik 13 (ikke lik null) - av dette følger det at vektorene a1, a2 er en basis på planet.

---=================---

La oss vurdere typiske eksempler fra MAUP-programmet i faget "Høyre matematikk".

Oppgave 2. Vis at vektorene a1, a2, a3 danner grunnlaget for et tredimensjonalt vektorrom, og ekspander vektoren b i henhold til dette grunnlaget (når du løser et lineært system algebraiske ligninger bruke Cramers metode).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Løsning: Vurder først systemet med vektorer a1, a2, a3 og kontroller determinanten til matrise A

bygget på vektorer som ikke er null. Matrisen inneholder ett nullelement, så det er mer hensiktsmessig å beregne determinanten som en tidsplan i første kolonne eller tredje rad.

Som et resultat av beregningene fant vi at determinanten er forskjellig fra null, derfor vektorene a1, a2, a3 er lineært uavhengige.
Per definisjon danner vektorer et grunnlag i R3. La oss skrive ned tidsplanen til vektor b basert på

Vektorer er like når deres tilsvarende koordinater er like.
Derfor får vi fra vektorligningen et system med lineære ligninger

La oss løse SLAE Cramers metode. For å gjøre dette skriver vi ligningssystemet i skjemaet

Hoveddeterminanten til en SLAE er alltid lik determinanten sammensatt av basisvektorer

Derfor telles det i praksis ikke to ganger. For å finne hjelpedeterminanter setter vi en kolonne med frie termer i stedet for hver kolonne i hoveddeterminanten. Determinanter beregnes ved hjelp av trekantregelen



La oss erstatte de funnet determinantene i Cramers formel



Så utvidelsen av vektoren b når det gjelder basis har formen b=-4a1+3a2-a3. Koordinatene til vektor b i basisen a1, a2, a3 vil være (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Løsning: Vi sjekker vektorene for et grunnlag - vi komponerer en determinant fra koordinatene til vektorene og beregner den

Determinanten er derfor ikke lik null vektorer danner et grunnlag i rommet. Det gjenstår å finne tidsplanen til vektor b gjennom dette grunnlaget. For å gjøre dette skriver vi vektorligningen

og transformere til et system av lineære ligninger

La oss skrive det ned matriseligning

Deretter finner vi hjelpedeterminanter for Cramers formler



Vi bruker Cramers formler



Så gitt vektor b har en tidsplan gjennom to basisvektorer b=-2a1+5a3, og dens koordinater i basisen er lik b(-2,0, 5).

Lineær avhengighet og lineær uavhengighet vektorer.
Grunnlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vogn med sjokolade i auditoriet, og hver besøkende i dag vil få et søtt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikkelen vil dekke to deler samtidig. høyere matematikk, og vi får se hvordan de kommer overens i en innpakning. Ta en pause, spis en Twix! ...fan, for en haug med tull. Selv om jeg ikke scorer, til slutt bør du ha en positiv holdning til å studere.

Lineær avhengighet av vektorer, lineær vektoruavhengighet, vektor basis og andre termer har ikke bare en geometrisk tolkning, men fremfor alt, algebraisk betydning. Selve konseptet "vektor" fra lineær algebras synspunkt er ikke alltid den "vanlige" vektoren som vi kan skildre på et plan eller i rommet. Du trenger ikke se langt etter bevis, prøv å tegne en vektor av femdimensjonalt rom . Eller værvektoren, som jeg nettopp dro til Gismeteo for: – temperatur og atmosfærisk trykk hhv. Eksemplet er selvfølgelig feil med tanke på egenskapene til vektorrommet, men likevel er det ingen som forbyr å formalisere disse parameterne som en vektor. Høstens pust...

Nei, jeg skal ikke belaste deg med teori, lineær vektorrom, oppgaven er å forstå definisjoner og teoremer. Nye termer (lineær avhengighet, uavhengighet, lineær kombinasjon, basis osv.) gjelder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men geometriske eksempler vil bli gitt. Dermed er alt enkelt, tilgjengelig og oversiktlig. I tillegg til problemer med analytisk geometri, vil vi også vurdere noen typiske oppgaver algebra. For å mestre materialet, er det tilrådelig å gjøre deg kjent med leksjonene Vektorer for dummies Og Hvordan beregne determinanten?

Lineær avhengighet og uavhengighet av planvektorer.
Plangrunnlag og affint koordinatsystem

La oss vurdere planen til datamaskinpulten din (bare et bord, nattbord, gulv, tak, hva du måtte ønske). Oppgaven vil bestå av følgende handlinger:

1) Velg flybasis. Grovt sett har en bordplate en lengde og en bredde, så det er intuitivt at det kreves to vektorer for å konstruere grunnlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for mye.

2) Basert på valgt grunnlag sette koordinatsystem(koordinatrutenett) for å tildele koordinater til alle objekter på tabellen.

Ikke bli overrasket, først vil forklaringene være på fingrene. Dessuten på din. Vennligst plasser venstre pekefinger på kanten av bordplaten slik at han ser på skjermen. Dette vil være en vektor. Plasser nå lillefinger høyre hånd på kanten av bordet på samme måte - slik at den er rettet mot LCD-skjermen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser bra ut! Hva kan vi si om vektorer? Datavektorer kollineær, som betyr lineær uttrykt gjennom hverandre:
, vel, eller omvendt: , hvor er et tall forskjellig fra null.

Du kan se et bilde av denne handlingen i klassen. Vektorer for dummies , hvor jeg forklarte regelen for å multiplisere en vektor med et tall.

Vil fingrene sette grunnlaget på planet til datamaskinpulten? Åpenbart ikke. Kollineære vektorer reiser frem og tilbake på tvers alene retning, og et plan har lengde og bredde.

Slike vektorer kalles lineært avhengig.

Referanse: Ordene "lineær", "lineært" angir det faktum at i matematiske ligninger, uttrykk inneholder ikke kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus osv. Det er bare lineære (1. grads) uttrykk og avhengigheter.

To planvektorer lineært avhengig da og bare da når de er kolinære.

Kryss fingrene på bordet slik at det er en annen vinkel mellom dem enn 0 eller 180 grader. To planvektorerlineær Ikke avhengig hvis og bare hvis de ikke er kollineære. Så grunnlaget er oppnådd. Det er ingen grunn til å være flau over at grunnlaget viste seg å være "skjevt" med ikke-vinkelrette vektorer av forskjellig lengde. Svært snart vil vi se at ikke bare en vinkel på 90 grader er egnet for konstruksjonen, og ikke bare enhetsvektorer av lik lengde

Noen plan vektor den eneste måten utvides i henhold til grunnlaget:
, hvor - reelle tall. Tallene kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget.

Det sies også at vektorpresentert som lineær kombinasjon basisvektorer. Det vil si at uttrykket heter vektor nedbrytningpå grunnlag eller lineær kombinasjon basisvektorer.

For eksempel kan vi si at vektoren er dekomponert langs en ortonormal basis av planet, eller vi kan si at den er representert som en lineær kombinasjon av vektorer.

La oss formulere definisjon av grunnlag formelt: Grunnlaget for flyet kalles et par lineært uavhengige (ikke-kollineære) vektorer, , mens noen en plan vektor er en lineær kombinasjon av basisvektorer.

Et vesentlig poeng med definisjonen er det faktum at vektorene er tatt i en bestemt rekkefølge. Baser – Dette er absolutt to forskjellige baser! Som de sier, du kan ikke erstatte lillefingeren på venstre hånd i stedet for lillefingeren på høyre hånd.

Vi har funnet ut grunnlaget, men det er ikke nok å sette et koordinatrutenett og tildele koordinater til hvert element på datamaskinpulten din. Hvorfor er det ikke nok? Vektorene er frie og vandrer gjennom hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små skitne flekkene på bordet som er igjen fra en vill helg? Det trengs et utgangspunkt. Og et slikt landemerke er et punkt kjent for alle - opprinnelsen til koordinatene. La oss forstå koordinatsystemet:

Jeg begynner med "skole"-systemet. Allerede i introduksjonstimen Vektorer for dummies Jeg fremhevet noen forskjeller mellom det rektangulære koordinatsystemet og det ortonormale grunnlaget. Her er standardbildet:

Når de snakker om rektangulært koordinatsystem, da betyr de oftest opprinnelsen til koordinatene, koordinatakser og skala langs aksene. Prøv å skrive "rektangulært koordinatsystem" i en søkemotor, og du vil se at mange kilder vil fortelle deg om koordinatakser kjent fra 5.-6. klasse og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den annen side virker det som rektangulært system koordinater kan bestemmes fullstendig gjennom en ortonormal basis. Og det er nesten sant. Ordlyden er som følger:

opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært plan koordinatsystem . Det vil si det rektangulære koordinatsystemet definitivt er definert av et enkelt punkt og to enheter ortogonale vektorer. Det er derfor du ser tegningen som jeg ga ovenfor - i geometriske problemer Ofte (men ikke alltid) tegnes både vektorer og koordinatakser.

Jeg tror alle forstår det ved å bruke et punkt (opprinnelse) og en ortonormal basis HVERT PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedlig talt, "alt på et fly kan nummereres."

Kreves koordinatvektorer for å være enhet? Nei, de kan ha en vilkårlig lengde som ikke er null. Tenk på et punkt og to ortogonale vektorer med vilkårlig lengde som ikke er null:

Et slikt grunnlag kalles ortogonal. Opprinnelsen til koordinater med vektorer er definert av et koordinatgitter, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine koordinater på en gitt basis. For eksempel eller. Den åpenbare ulempen er at koordinatvektorene V generell sak har andre lengder enn enhet. Hvis lengdene er lik enhet, oppnås det vanlige ortonormale grunnlaget.

! Note : i ortogonal basis, og også under i affine baser plan- og romenheter langs aksene vurderes BETINGET. For eksempel inneholder en enhet langs x-aksen 4 cm, en enhet langs ordinataksen inneholder 2 cm. Denne informasjonen er nok til om nødvendig å konvertere "ikke-standard" koordinater til "våre vanlige centimeter".

Og det andre spørsmålet, som faktisk allerede er besvart, er om vinkelen mellom basisvektorene må være lik 90 grader? Ingen! Som definisjonen sier, må basisvektorene være bare ikke-kollineær. Følgelig kan vinkelen være alt unntatt 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet ringte opprinnelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sett affint plan koordinatsystem :

Noen ganger kalles et slikt koordinatsystem skrå system. Som eksempler viser tegningen punkter og vektorer:

Som du forstår, er det affine koordinatsystemet enda mindre praktisk at formlene for lengdene til vektorer og segmenter, som vi diskuterte i den andre delen av leksjonen, fungerer ikke i det; Vektorer for dummies , mange deilige formler relatert til skalært produkt av vektorer . Men reglene for å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall er gyldige, formler for å dele et segment i denne forbindelse, samt noen andre typer problemer som vi snart skal se på.

Og konklusjonen er at den mest praktiske spesielle tilfellet affint system koordinater er et kartesisk rektangulært system. Det er derfor du oftest må se henne, min kjære. ...Men alt i dette livet er relativt - det er mange situasjoner der en skrå vinkel (eller en annen, for eksempel, polar) koordinatsystem. Og humanoider kan like slike systemer =)

La oss gå videre til den praktiske delen. Alle oppgaver denne leksjonen gyldig både for det rektangulære koordinatsystemet og for det generelle affine tilfellet. Det er ikke noe komplisert her; alt materialet er tilgjengelig selv for et skolebarn.

Hvordan bestemme kollinearitet til planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer var kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale I hovedsak er dette en koordinat-for-koordinat-detaljering av det åpenbare forholdet.

Eksempel 1

a) Sjekk om vektorene er kollineære .
b) Danner vektorene et grunnlag? ?

Løsning:
a) La oss finne ut om det er for vektorer proporsjonalitetskoeffisient, slik at likhetene er oppfylt:

Jeg vil definitivt fortelle deg om den "foppish" versjonen av å bruke denne regelen, som fungerer ganske bra i praksis. Tanken er å umiddelbart gjøre opp andelen og se om den er riktig:

La oss lage en proporsjon fra forholdet mellom de tilsvarende koordinatene til vektorene:

La oss forkorte:
, dermed er de tilsvarende koordinatene proporsjonale, derfor,

Forholdet kan gjøres omvendt, dette er et tilsvarende alternativ:

For selvtest kan du bruke det faktum at kollineære vektorer lineært uttrykt gjennom hverandre. I i dette tilfellet det er likheter . Gyldigheten deres kan enkelt verifiseres gjennom elementære operasjoner med vektorer:

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). Vi undersøker vektorer for kollinearitet . La oss lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , fra den andre ligningen følger det at , som betyr systemet er inkonsekvent (ingen løsninger). Dermed er de tilsvarende koordinatene til vektorene ikke proporsjonale.

Konklusjon: vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

En forenklet versjon av løsningen ser slik ut:

La oss lage en proporsjon fra de tilsvarende koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Vanligvis blir ikke dette alternativet avvist av anmeldere, men det oppstår et problem i tilfeller der noen koordinater er lik null. Slik: . Eller slik: . Eller slik: . Hvordan jobbe gjennom proporsjoner her? (du kan faktisk ikke dele med null). Det er av denne grunn at jeg kalte den forenklede løsningen "foppish".

Svare: a), b) form.

Liten kreativt eksempel Til uavhengig avgjørelse:

Eksempel 2

På hvilken verdi av parameteren er vektorene vil de være kollineære?

I prøveløsningen finnes parameteren gjennom proporsjonen.

Det er en elegant algebraisk måte å sjekke vektorer for kollinearitet La oss systematisere kunnskapen vår og legge den til som det femte punktet:

For to plane vektorer er følgende utsagn ekvivalente:

2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke kollineære;

+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er ikke null.

Henholdsvis følgende motsatte utsagn er likeverdige:
1) vektorer er lineært avhengige;
2) vektorer danner ikke grunnlag;
3) vektorene er kollineære;
4) vektorer kan uttrykkes lineært gjennom hverandre;
+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null.

Jeg håper virkelig at du allerede nå forstår alle begrepene og utsagnene du har møtt.

La oss se nærmere på det nye, femte punktet: to planvektorer er kollineære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null:. For å bruke denne funksjonen må du selvfølgelig kunne finne determinanter .

La oss bestemme Eksempel 1 på den andre måten:

a) La oss beregne determinanten som består av koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er kollineære.

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater :
, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Svare: a), b) form.

Det ser mye mer kompakt og penere ut enn en løsning med proporsjoner.

Ved hjelp av materialet som vurderes, er det mulig å etablere ikke bare kollineariteten til vektorer, men også å bevise parallelliteten til segmenter og rette linjer. La oss vurdere et par problemer med spesifikke geometriske former.

Eksempel 3

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er et parallellogram.

Bevis: Det er ikke nødvendig å lage en tegning i oppgaven, siden løsningen vil være rent analytisk. La oss huske definisjonen av et parallellogram:
Parallelogram En firkant hvis motsatte sider er parallelle i par kalles.

Derfor er det nødvendig å bevise:
1) parallellitet av motsatte sider og;
2) parallellitet av motsatte sider og.

Vi beviser:

1) Finn vektorene:

2) Finn vektorene:

Resultatet er den samme vektoren ("i henhold til skolen" - like vektorer). Kollinearitet er ganske åpenbar, men det er bedre å formalisere beslutningen tydelig, med avtale. La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:
, som betyr at disse vektorene er kollineære, og .

Konklusjon: Motsatte sider firkanter er parallelle i par, noe som betyr at det er et parallellogram per definisjon. Q.E.D.

Flere gode og annerledes figurer:

Eksempel 4

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er en trapes.

For en mer streng formulering av beviset, er det selvfølgelig bedre å få definisjonen av en trapes, men det er nok å bare huske hvordan det ser ut.

Dette er en oppgave du må løse på egenhånd. Komplett løsning på slutten av leksjonen.

Og nå er det på tide å sakte bevege seg fra flyet til verdensrommet:

Hvordan bestemme kollinearitet av romvektorer?

Regelen er veldig lik. For at to romvektorer skal være kollineære, nødvendig og tilstrekkelig, slik at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale.

Eksempel 5

Finn ut om følgende romvektorer er kollineære:

A) ;
b)
V)

Løsning:
a) La oss sjekke om det er en proporsjonalitetskoeffisient for de tilsvarende koordinatene til vektorene:

Systemet har ingen løsning, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

"Forenklet" formaliseres ved å sjekke andelen. I dette tilfellet:
– de tilsvarende koordinatene er ikke proporsjonale, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

Svare: vektorene er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter for selvstendig avgjørelse. Prøv det på to måter.

Det er en metode for å sjekke romlige vektorer for kollinearitet gjennom en tredjeordens determinant, denne metoden dekket i artikkelen Vektorprodukt av vektorer .

I likhet med plantilfellet kan de betraktede verktøyene brukes til å studere parallelliteten til romlige segmenter og rette linjer.

Velkommen til den andre delen:

Lineær avhengighet og uavhengighet av vektorer i tredimensjonalt rom.
Romlig basis og affint koordinatsystem

Mange av mønstrene som vi undersøkte på flyet vil også være gyldige for verdensrommet. Jeg prøvde å minimere teorinotatene, siden brorparten av informasjonen allerede er tygget. Jeg anbefaler deg imidlertid å lese den innledende delen nøye, da nye termer og begreper vil dukke opp.

Nå, i stedet for planen til datapulten, utforsker vi det tredimensjonale rommet. Først, la oss lage grunnlaget. Noen er nå innendørs, noen er utendørs, men vi kan uansett ikke unnslippe tre dimensjoner: bredde, lengde og høyde. Derfor, for å konstruere en basis, vil det være nødvendig med tre romlige vektorer. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igjen varmer vi opp på fingrene. Vennligst løft hånden opp og spre den ut forskjellige sider tommel, pekefinger og langfinger. Dette vil være vektorer, de ser i forskjellige retninger, har forskjellig lengde og har forskjellige vinkler seg imellom. Gratulerer, grunnlaget for tredimensjonalt rom er klart! Det er forresten ingen grunn til å demonstrere dette for lærere, uansett hvor hardt du vrir på fingrene, men det er ingen flukt fra definisjoner =)

Neste, la oss spørre viktig sak, danner hvilke som helst tre vektorer en basis tredimensjonalt rom ? Trykk tre fingre fast på toppen av datamaskinpulten. Hva skjedde? Tre vektorer er plassert i samme plan, og grovt sett har vi mistet en av dimensjonene - høyden. Slike vektorer er koplanar og det er ganske åpenbart at grunnlaget for tredimensjonalt rom ikke er skapt.

Det bør bemerkes at koplanare vektorer ikke trenger å ligge i samme plan som de kan være i parallelle plan(bare ikke gjør dette med fingrene, bare Salvador Dali trakk seg av på denne måten =)).

Definisjon: vektorer kalles koplanar, hvis det er et plan som de er parallelle med. Det er logisk å legge til her at dersom et slikt plan ikke eksisterer, så vil ikke vektorene være koplanære.

Tre koplanare vektorer er alltid lineært avhengige, det vil si at de uttrykkes lineært gjennom hverandre. For enkelhets skyld, la oss igjen forestille oss at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke bare koplanære, de kan også være kollineære, deretter kan enhver vektor uttrykkes gjennom hvilken som helst vektor. I det andre tilfellet, hvis for eksempel vektorene ikke er kollineære, blir den tredje vektoren uttrykt gjennom dem på en unik måte: (og hvorfor er lett å gjette ut fra materialene i forrige avsnitt).

Det motsatte er også sant: tre ikke-koplanare vektorer er alltid lineært uavhengige, det vil si at de på ingen måte kommer til uttrykk gjennom hverandre. Og åpenbart er det bare slike vektorer som kan danne grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Definisjon: Grunnlaget for tredimensjonalt rom kalles en trippel av lineært uavhengige (ikke-koplanare) vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, og hvilken som helst vektor av rom den eneste måten dekomponeres over en gitt basis, hvor er koordinatene til vektoren i denne basisen

La meg minne om at vi også kan si at vektoren er representert i formen lineær kombinasjon basisvektorer.

Konseptet med et koordinatsystem introduseres på nøyaktig samme måte som for flat sak, ett punkt og hvilke som helst tre lineært er nok uavhengige vektorer:

opprinnelse, Og ikke-coplanar vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, sett affint koordinatsystem av tredimensjonalt rom :

Selvfølgelig er koordinatnettet "skrå" og upraktisk, men likevel lar det konstruerte koordinatsystemet oss definitivt Bestem koordinatene til enhver vektor og koordinatene til ethvert punkt i rommet. I likhet med et fly, vil noen formler som jeg allerede har nevnt, ikke fungere i det affine koordinatsystemet i rommet.

Det mest kjente og praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem, som alle gjetter, er rektangulært romkoordinatsystem:

Et punkt i rommet kalt opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært romkoordinatsystem . Kjent bilde:

Før vi går videre til praktiske oppgaver, la oss igjen systematisere informasjonen:

For tre romvektorer er følgende utsagn ekvivalente:
1) vektorene er lineært uavhengige;
2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke uttrykkes lineært gjennom hverandre;
5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er forskjellig fra null.

Jeg tror de motsatte påstandene er forståelige.

Lineær avhengighet/uavhengighet av romvektorer kontrolleres tradisjonelt ved hjelp av en determinant (punkt 5). Gjenværende praktiske oppgaver vil ha en uttalt algebraisk karakter. Det er på tide å henge opp geometripinnen og bruke baseballballtreet til lineær algebra:

Tre vektorer av rom er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null: .

Jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten til en liten teknisk nyanse: koordinatene til vektorer kan skrives ikke bare i kolonner, men også i rader (verdien av determinanten vil ikke endre seg fra dette - se. egenskaper til determinanter). Men det er mye bedre i kolonner, siden det er mer fordelaktig for å løse noen praktiske problemer.

For de lesere som litt har glemt metodene for å beregne determinanter, eller kanskje har liten forståelse for dem i det hele tatt, anbefaler jeg en av mine eldste leksjoner: Hvordan beregne determinanten?

Eksempel 6

Sjekk om følgende vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om å beregne determinanten.

a) La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater (determinanten vises i den første linjen):

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige (ikke koplanære) og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Svare: disse vektorene danner et grunnlag

b) Dette er et punkt for selvstendig beslutning. Full løsning og svar på slutten av timen.

Møt og kreative oppgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken verdi av parameteren vil vektorene være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null:

I hovedsak må du løse en ligning med en determinant. Vi svir ned på nuller som drager på jerboas - det er best å åpne determinanten i den andre linjen og umiddelbart bli kvitt minusene:

Vi gjennomfører ytterligere forenklinger og reduserer saken til det enkleste lineær ligning:

Svare: kl

Det er enkelt å sjekke her for å gjøre dette, må du erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige determinanten og sørge for at , åpne den igjen.

Avslutningsvis, la oss se på en til typisk oppgave, som er mer algebraisk i naturen og er tradisjonelt inkludert i løpet av lineær algebra. Det er så vanlig at det fortjener sitt eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom
og finn koordinatene til den 4. vektoren i dette grunnlaget

Eksempel 8

Vektorer er gitt. Vis at vektorer danner grunnlag i tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget.

Løsning: Først, la oss håndtere tilstanden. Ved betingelse er fire vektorer gitt, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller annet grunnlag. Hva dette grunnlaget er, er ikke av interesse for oss. Og følgende ting er av interesse: tre vektorer kan godt dannes nytt grunnlag. Og det første trinnet faller helt sammen med løsningen i eksempel 6, det er nødvendig å sjekke om vektorene virkelig er lineært uavhengige:

La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

! Viktig : vektorkoordinater Nødvendigvis skrive ned inn i kolonner determinant, ikke i strenger. Ellers vil det oppstå forvirring i den videre løsningsalgoritmen.